TEMA I. PROBABILIDAD

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1 TEMA I. PROBABILIDAD I.1. La Probabilidad. El Origen. Francia, A mediados del siglo XVI la alta sociedad francesa, ociosa y sin ocupación, tenia en los juegos de azar una de sus principales diversiones. Así fue como cierto día de ese año, Antoine Gombard, Caballero de Mère, gran aficionado a las cartas y a los juegosde azar, durante un viaje en compañia de otro francés, Blaise Pascal, amigo del primero y uno de los más eminentes matemáticos del siglo, planteó a este último un par de problemas que le tenían preocupado desde hacía algún tiempo. El primero era lo que podíamos llamar La apuesta interrumpida: Dos jugadores A y B apuestan a cara o cruz, tirando una moneda. El jugador que primero llega a 5 puntos gana la apuesta. Por razones de necesidad, la apuesta se interrumpe cuando el jugador A tiene 4 puntos y el jugador B, 3. Cómo deben repartirse las cantidades apostadas para ser justos? El segundo, El problema de los dados: El Caballero de Mère sabía por experiencia que era ventajoso apostar por sacar al menos un seis en una serie de cuatro lanzamientos de un dado. Sin embargo, cuando apostaba por obtener un doble seis en una serie de 24 lanzamientos la ventaja -muy ligera- correspondia ahora a la posibilidad complementaria, es decir no obtener un doble seis en ninguno de los 24 lanzamientos. Según su razonamiento si los resultados posibles con un dado son 6 y con dos dados son 36, la probabilidad de éxito al lanzar un dado 4 veces deberían ser las mismas que al lanzar dos dados 24 veces, ya que las razones 4 a 6 y 24 a 36 son equivalentes. Parece ser que Pascal, a la vez que su amigo Pierre de Fermat (abogado de profesión, pero gran aficionado a las matemáticas, y con quien mantenia frecuente correspondencia) dieron ambos y por separado con la solución correcta a estos problemas, iniciando el estudio sitemático y formal de los juegos de azar y de la probabilidad. I.2. Probabilidad. Conceptos asociados. Supongamos que desde cierta altura dejamos caer un objeto y nos proponemos medir la velocidad con la que llega al suelo o que lanzamos un dado al aire y nos fijamos en la cara del dado que sale. En ambos casos se dice que hemos hecho un experimento. En el primer caso el experimento es determinista, puesto que conocidas las condiciones iniciales y ambientales es posible determinar con exactitud la velocidad de caída del objeto; en el segundo caso el experimento es aleatorio, puesto que no es posible determinar, aun cuando se den las mismas condiciones, el resultado del experimento

2 Ejemplos de experimentos aleatorios: De entre la familias con hijos, observar qué lugar ocupa el primer hijo varón Contar el número de piezas defectuosas que hay en una caja de 50 piezas. Extraer bolas de una bolsa, devolviéndola a la misma, hasta que aparezca una de un color determinado. Elegir una persona al azar y medir su altura. Observar la cotización en bolsa de las acciones de una compañía el jueves de cada semana. Se denomina suceso elemental o simple a cada uno de los resultados posibles de un experimento. Se denomina suceso compuesto al que se compone de dos o más sucesos simples. Se denomina espacio de sucesos o espacio muestral todos los sucesos elementales de un experimento. (E) al conjunto formado por Por ejemplo: en el experimento de lanzar un dado, son: Sucesos simples: que salga 1 ; que salga 2 ; que salga 3 ; etc. Sucesos compuestos: que salga 1, 2 o 3 ; que salga par ; etc. Espacio de sucesos: resultados posibles del experimento E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ejercicio: Halla los espacios muestrales de los siguientes experimentos. De cada uno de ellos extrae un suceso elemental y otro compuesto. (a) Tirar dos monedas y anotar sus resultados. (b) Tirar un dado y una moneda. (c) Hacer tres extracciones con reemplazamiento de una urna que contiene dos bolas blancas y dos rojas. (d) Número de piezas defectuosas de una caja de 50 piezas. I.3. Sucesos. Operaciones con sucesos. Todo subconjunto del espacio muestral constituye un suceso. Como ya se vio, este puede ser simple o compuesto. Los sucesos suelen donotarse con letras mayúsculas: A, B,... Se denomina suceso imposible a aquel que no puede ocurrir. Se denota por Se denomina suceso complementario de un suceso A a aquel que está formado por todos los sucesos elementales que no son de A. Se le denota por A o A c. Gráficamente: - 2 -

3 E A A c Por ejemplo: Sea el experimento consistente en lanzar dos monedas. Son sucesos de dicho experimento, entre otros, los siguientes: A = sacar una cara y una cruz = CX, XC B = sacar al menos una cruz = CX, XC, XX Es un suceso imposible: C = sacar tres cruces = XXX = Son sucesos complementarios de A y B, respectivamente: A c = sacar dos caras o dos cruces B c = no sacar cruces = CC = CC, XX La operaciones entre sucesos de un experimento se muestran en la siguiente tabla: UNION A4B Es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B INTERSECCIÓN A3B Es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B. DIFERENCIA A B A B Es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. SUCESO CONTRARIO A c = E A A Es es suceso formado por todos los elementos del espacio de resultados que no son de A. Dos sucesos se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común, es decir cuando (. A3B = A y B son disjuntos) - 3 -

4 Ejemplos: 1º.- Supongamos entre los habitantes de Coria los sucesos:, ser hincha del Coria C.F. y, ser mujer. Entonces: H4M es el suceso ser hincha del Coria C.F., ser mujer o ambas cosas, es decir, ser una mujer hincha del Coria C.F. H3M es el suceso formado exclusivamente por la mujeres que son hinchas del Coria C.F. H M es el suceso formado por todos los hinchas del Coria C.F. que no son mujeres. Es decir, todos los hombres hinchas del Coria C.F. H c es el suceso formado por todos los habitantes de Coria (hombres y mujeres) que no son hinchas del Coria C.F. H M 2º.-Supongamos la experiencia lanzar tres monedas al aire y ver el resultado, y sean los sucesos: A = sacar más caras que cruces y B = sacar una o dos cruces. Entonces: A4B = sacar más caras que cruces o sacar una o dos cruces = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC} A3B = CCX, CXC, XCC A B = CCC A c = sacar más cruces que caras = XXX, XXC, XCX, CXX Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complementación (contrario) de sucesos verifican las propiedades que se recogen en la siguiente tabla: 1. Conmutativa 2. Asociativa 3. Idempotente 4. Simplificación 5. Distributiva 6. Elemento neutro Unión A4B = B4A A4(B4C) = (A4B)4C A4A = A A4(B3A) = A A4(B3C) = (A4B)3(A4C) A4E = E A c Intersección A3B = B3A A3(B3C) = (A3B)3C A3A = A A3(B4A) = A A3(B4C) = (A3B)4(A3C) A3 = A estas debemos añadir las Leyes de Morgan: El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus suscesos contrarios: A4B = A3B El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios. A3B = A4B - 4 -

5 Ejercicios y Problemas: 1.- Hallar los espacios muestrales de los siguientes experimentos: a) Tirar un dado y una moneda y anotar sus resultados. b) Hacer tres extracciones de una urna que contiene dos bolas blancas y dos rojas, en los siguientes casos: La bola extraída no se repone. Después de cada extracción se devuelve la bola a la urna. c)lanzamiento simultáneo de tres monedas. 2.- Sea el experimento aleatorio: contar piezas defectuosas en cajas de 50 piezas. Se pide: a) Espacio muestral, E b) Indicar si los siguientes sucesos son simples o compuestos: A = extraer una caja con 7 piezas defectuosas B = extraer una caja con menos de siete piezas defectuosas C = Extraer una caja con un número de piezas defectuosas comprendido entre 5 y En una urna hay 3 bolas negras y 2 rojas. Sea el experimento aleatorio: número de extracciones que debemos hacer hasta sacar una bola roja. Se pide: a) Espacio muestral, E b) Escribir dos sucesos compuestos. 4.- Sea el experimento aleatorio: lanzar tres monedas y anotar los resultados. De dicho experimento se consideran los sucesos: A = sacar más caras que cruces y B = sacar una o dos cruces Obtén los siguientes sucesos: a) A c y B c b) A4B c) A3B d) A B e) A3B c f) A (A4B) 5.- Una urna contiene dos bolas blancas y dos rojas. Se hacen cuatro extracciones con reemplazamiento. Encuentra los sucesos: a) A = sólo ha salido una bola roja y B = la segunda extracción es bola roja b) A4B, A3B c y B (A4B) 6.- Si los sucesos A, B y C representan: A = llueva hoy B = llueva mañana C = llueva pasado mañana - 5 -

6 a) Expresa mediante operaciones con sucesos las siguientes situaciones: Llueva uno de esos tres días por lo menos. Llueva hoy, pero no mañana ni pasado mañana. No llueva ninguno de los tres días. Llueva, como máximo, dos de esos tres días. Llueva hoy, pero no mañana. b) Explica el significado de: (A3B) C (A4B) C A4B4C c (A3B)4(C3A) A4B 7.- A un instituto llegan tres periódicos A, B y C. El 30 % de los profesores lee A, el 20 %, B y el 15 % C; el 12 % lee A y B, el 9 %, A y C y el 6 % B y C. Finalmente el 3 % lee A, B y C. Se pide: a) El porcentaje de profesores que leen al menos uno de los tres periódicos b) El porcentaje de profesores que lee sólo A. c) El porcentaje que leen B o C, pero no A. d) El porcentaje de profesores que no lee ningún periódico

7 I.4. Definición de probabilidad. Propiedades. Las siguientes difiniciones de probabilidad son todas equivalentes, y es utilizada una u otra según las características del experimento que estemos estudiando. La deficinición axiomática es una formalización de las definiciones frecuencialista y de Laplace. 1ª. Definición frecuencialista. Fue enunciada por primera vez por Bernouilli y está basada en la Ley de los Grandes Números, que dice que: cuando un experimento es repetido muchas veces la frecuencia relativa de un suceso tiende a un valor fijo. Así, si A es un suceso de dicho experimento, su probabilidad de ocurrencia será: P(A) = número de casos en los que ha ocurrido el suceso A número de veces que se realizó el experimento f r (A) es la frecuencia relativa del suceso A = f r (A) Esta definición tiene el incoveniente de que para determinar el valor de P(A) con cierta exactitud es necesario realizar muchas veces el experimento, y aún así no es posible obtener nunca el valor exacto de P(A). 2ª. Definición de Laplace. Cuando los sucesos elementales de un experimento son todos equiprobables, por ejemplo en el lanzamiento de un dado, o de una moneda, extracción de una bola de una bolsa en la que hay 10 de ellas numeradas, etc, la probabilidad de ocurrencia de uno de estos sucesos elementales es: P(A) = número de casos favorables al suceso A número de casos posibles 3ª. Definición Axiomática. Su enunciado se debe al matemático ruso, Kolmogorov quién consideró la relación entre la frecuencia absoluta de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande. Esta definición parte de tres axiomas que se toman como ciertos: 1º. Cualquier que sea el suceso A, P(A)m0 2º. Si dos sucesos son incompatibles la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades: A3B = ep(a4b) = P(A) + P(B) 3º. La probabilidad del espacio muestral, E es igual a 1: P(E) =

8 De la definición axiomática de probabilidad pueden deducirse, entre otras, siguientes propiedades las 1ª. En cualquier experimento, los sucesos A y su complementario, A c son siempre incompatibles, y además A4A c = E. Así es que: P(A) + P(A c ) = P(E) = 1eP(A) = 1 P(A c ) 2ª. Para dos sucesos cualesquiera A y B, no necesariamente disjuntos, se tiene que: Observaciones: P(A4B) = P(A) + P(B) P(A3B) Para hacer el conteo del número de casos favorables y del número de casos posibles disponemos de dos técnicas fundamentalmente: Los diagramas de árbol y la combinatoria En ocasiones, la probabilidad se da o se pide en tantos por ciento. Así, una probabilidad P(A) = 0.15 equivale en % a P(A) = 0.15%100 = 15 % Ejercicios: 1º. En el lanzamiento de dos dados evaluar las siguientes probabilidades: (a) Probabilidad de ambas caras sean números pares. (b) Probabilidad de que la suma de las caras sea 9. 2º. En el experimento de lanzar tres monedas, halla la probabilidad de los siguientes sucesos: (a) A = sacar más caras que cruces (b) B = sacar al menos una cruz (c) C = sacar como máximo dos cruces 3º. Las probabilidades de los sucesos son: P(A) = 1/3 P(B) = 2/5 P(A3B) = 1/15 Con estos datos, calcula las siguientes probabilidades: (a) De que se cumpla alguno de los sucesos A o B (b) De que no se cumpla A y si B (c) De que se cumpla uno solamente. (d) De que no se cummpla ni A ni B

9 4º. En un banco hay dos alarmas A y B. En caso de atraco, la probabilidad de que se activen A, B o ambas es: P(A) = 0.75 P(B) = 0.85 P(A y B) = 0.65 Calcular la probabilidad de que: (a) Se active alguna de las dos. (b) Se active sólo una de ellas. (c) No se active ninguna. I.5. Probabilidad Condicionada. Definición: Sean A y B dos sucesos. Llamamos probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B teniendo en cuenta que con anterioridad ha ocurrido el suceso A. De manera análoga de define la probabilidad de A condicionada a B, P(A/B). Por ejemplo, supongamos que extraemos dos cartas consecutivas sin reposición de una baraja española (40 cartas) y consideramos los sucesos: A = la primera carta es copas y B = la segunda carta es bastos La probabilidad de que la 1ª carta sea copas es P(A) = = 1 4 La interpretación que damos a la probabilidad P(B/A) la 1ª ha sido copas, y esta probabilidad es: P(B/A) = es la de que la 2ª carta sea bastos sabiendo que Otro más. Supongamos que un instituto hay matriculados 42 alumnos en 2º de Bachillerato de las CC SS, 54 en 2º de Ciencias de la Naturaleza y 15 en 2º del Tecnológico. Siendo el número de alumnas en cada modalidad, respectivamente, 30, 35 y 5. Considera los sucesos: M = ser alumna de segundo de bachilleratoy CS = hacer segundo por la modalidad de ciencias sociales Si extraemos un alumno al azar, cuáles son las probabilidades P(M) y P(M/CS)? En el primer caso, P(M) = En el segundo caso, P(M/CS) = número de alumnas total de alumnos Interpreta la probabilidad P(CS/M) y calcúlala... = = alumnas de segundo de las CC SS total de alumnos de segundo de las CC SS = =

10 Pues bien, supongamos los sucesos A y B dentro del espacio de sucesos, E. E A B Y supongamos que ha ocurrido el suceso B. Gráficamente: E A B Cuál es la probabilidad P(A/B)?... Pues observa que de todos los casos posibles -los que están en B- los favorables a A se encuentran en la intersección de A y B. Así: P(A/B) = elementos de A3B elementos de B = P (A3B) P(B) De manera análoga se llega a que P(B/A) = P(A3B) P(A) Despejando Si los sucesos son tres: P(A3B) se llega a los siguientes importantes resultados: P(A3B) = P(A)$P(B/A) P(A3B) = P(B)$P(A/B) P(A3B3C) = P(A)$P(B/A)$P(C/A3B) Esta misma expresión se generaliza para la intersección de cualquier número de sucesos

11 I.6. Sucesos dependientes e independientes. Definición: Se dice que el suceso A es independiente del suceso B cuando la ocurrencia del suceso A no se encuentra afectada por la ocurrencia de B. Es decir: Ejemplos: P(A/B) = P(A) En el nacimiento de los hijos, el sexo del primer hijo no afecta al del segundo. Si extraemos una carta de una baraja y la devolvemos a la baraja, la segunda extracción no queda afectada por la primera. De acuerdo con la definición, para sucesos independientes: Y en general: P(A3B) = P(A)$P(B) P(A3B3C...) = P(A)$P(B)$P(C)$... I.7. Tablas de Contingencia y Diagramas de Árbol. En los problemas de probabilidad y en especial en la probabilidad condicionada resulta muy práctico organizar la información en tablas de contingencia o diagramas de árbol. Por ejemplo la siguiente tabla muestra los datos hipotéticos de alumnos y alumnas matriculados en 1º y 2º de bachillerato de las ciencias sociales: 1º 2º totales alumnos alumnas totales En clave de sucesos y probabilidades, si A = ser alumno, A = ser alumna B = ser de primero y B = ser de segundo B B Total A P(A3B) P(A3B) P(A) A P(A3B) P(A3B) P(A ) Total P(B) P(B)

12 La tabla anterior adopta la forma del diagrama de árbol siguiente: P(B/A) A3B P(A) P(A) A A P(B/A) P(B/A) A3B A3B P(B/A) A3B Ejercicios: 1. Si de una urna que contiene 3 bolas blancas y 4 negras hacemos tres extracciones sin reposición, calcula la probabilidad del suceso A = sacar exactamente dos bolas blancas 2. Un opositor se sabe 35 temas de los 50 de que consta el temario. La prueba consiste en responder a dos temas elegidos al azar. Calcula la probabilidad que tiene el opositor de aprobar la oposición si para ello debe contestar correectamente a los dos temas. 3. Se extraen, simultaneamete, tres cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de obtener: (a) tres copas (b) dos copas y un oro (c) al menos una copa 4. Un tirador tiene una probabilidad de 0.8 de dar en el blanco. Si realiza cuatro disparos, calcula la probabilidad de haber hecho diana: (a) Con algún disparo (b) con tres disparos. 5. Se estima que el porcentaje de hombres de 40 años que llegan a la edad de 65 es del 76 %. Si tres amigos se reúnen para celebarar su cuadragésimo cumpleaños, halla la probabilidad de que en su 65 aniversario: (a) vivan los tres amigos (b) los tres hayan fallecido (c) viva alguno de ellos

13 I.8. Probabilidad Total Supongamos que en un experimento el espacio muestral E puede descomponerse como suma (más propiamente, unión) de n sucesos A i (desde i = 1 hasta n ) incompatibles entre sí, tal como se muestra en la figura: E A1 A6 A2 A3 A4 A8 A7 A5 Es decir (ver figura de abajo), tales que: A i 3 A j = y A 1 4 A A n = E Sea ahora un suceso B que contenga elementos de algunos (o todos) los sucesos A i, tal y como se muestra en siguiente figura: E A1 B A2 A6 A3 A4 A8 A7 A5 Entonces, como B = B3E se tiene que: B = B3(A 1 4 A A n ) = (B3A 1 )4(B3A 2 )4...4(B3A n ) Y como los sucesos B3A i son todos incompatibles entre s, podemos escribir: P(B) = P(B3A 1 ) + P(B3A 2 ) P(B3A n ) Y aplicando la relación expresión final: P(B3A i ) = P(A i )$P(B/A i ) a cada sumando, se llega a la P(B) = P(A 1 )$P(B/A 1 ) + P(A 2 )$P(B/A 2 ) P(A n )$P(B/A n ) La fórmula anterior permite calcular la probabilidad del suceso B conociendo las probabilidades de los sucesos, y recibe el nombre de probabilidad total del suceso B. A i

14 Ejercicios: 1. En cierta población, un 20 % de los trabajadores lo hace en la agricultura (A), un 25 % en la industria (I) y el resto en el sector servicios (S). Un 63 % de los que trabajan en el campo son mayores de 45 años, siendo ese procentaje del 38 % y el 44 % en los otros dos sectores. Seleccionado un trabajador al azar, qué probabilidad hay de que tenga menos de 45 años? 2. La población estudiantil de un IES se reparte entre 3º y 4º de secundario y 1º y 2º de bachillerato, según el 32 %, 30 %, 17 % y 21 %, respectivamente. Los porcentajes de alumnas en esos cursos son: 52 %, 55 %, 59 % y 64 %. Elegido un alumno al azar, qué probabilidad hay de que sea varón? 3.- En un instituto se va a hacer una excursión a una estación de esquí con dos autobuses, uno grande y otro pequeño. Las dos tercera partes de los alumnos apuntados a la excursión irán en el autobús grande y el resto en el pequeño. Se sabe que todos los alumnos que viajarán en le autobús pequeño saben esquiar y el 40 % de los que lo harán en el otro autobús no saben. Si se elige un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que sepa esquiar? I.10. Teorema de Bayes La probabilidad total resuelve la cuestión del cálculo de la probabilidad de los efectos a partir de las causas que los originan. El Teorema de Bayes aborda la cuestión desde el punto de vista contrario, es decir, conocido un efecto se plantea determinar la probabilidad de la causa que lo creó. Por ejemplo: En el primero de los problemas anteriores nos preguntábamos por la probabilidad de que elegido un trabajador al azar éste fuera menor de 45 años. Esto lo resuelve la probabilidad total. Ahora bien, supongamos que hemos elegido un trabajador y ha resultado ser menor de 45 años, cuál es la probabilidad de que provenga, por ejemplo, del sector de la industria?... Esto lo resuelve el Teorema de Bayes. Otro más. En el problema 3. nos preguntábamos por la probabilidad de que elegido un alumno al azar éste supiera esquiar. Bien, y si hemos elegido un alumno y ha resultado saber esquiar, cuál es la probabilidad de que viaje, por ejemplo, en el autobús pequeño?... Esto también corresponde al Teorema de Bayes. Conocemos el efecto, cuál es la probabilidad e la causa?... El teorema de Bayes puede expresarse de la siguiente manera: Sean B y A i sucesos que verifican las condiciones antes dichas para la probabilidad total. Es decir, tales que los A i son disjuntos y su unión es el espacio muestral E, y B es un suceso que contiene elementos de algunos o todos los A i. Como antes,

15 E A1 B A2 A6 A3 A4 A8 A7 A5 Con estas condiciones, la probabilidad de un suceso cualquiera A i, dado que ocurrió el suceso B (y sin entrar en demostraciones), se determina a partir de la fórmula: P(A i /B) = P(A i )$P(B/A i ) P(A 1 )$P(B/A 1 ) + P(A 2 )$P(B/A 2 ) P(A n )$P(B/A n ) Conocida como Teorema de Bayes. Ejercicios. 1.- Determina la probabilidad de que si como resultado del experimento del ejercicio 1 anterior ha salido un trabajador menor de 45 años, éste provenga del sector de la industria. 2.- Determinar la probabilidad de que si ha salido un alumno que sabe esquiar en el problema 3. anterior, éste viaje en el autobús pequeño. Problemas de Selectividad en Extremadura 1. Los equipos de baloncesto de las ciudades A y B se han clasificado para la final de un torneo. La final se disputa al mejor de 5 partidos, en consecuencia el equipo vencedor será el que primero gane 3 partidos. Por la experiencia acumulada entre ambos equipos se sabe que de cada 10 partidos que juegan, 7 los gana el equipo A y 3 los gana el equipo de la ciudad B. Determinar justificando la respuesta: (a) La probabilidad de que la final la gane el equipo de la ciudad B al finalizar el tercer partido. (b) La probabilidad de que la final la gane el equipo de la ciudad A al finalizar el cuarto partido. (Septiembre de 2009) 2. Un joyero compra los relojes a dos casas comerciales (A y B). La casa A le proporciona el 40 % de los relojes, resultando defectuosos un 3 % de ellos. La casa B le suministra el resto de los relojes, resultando defectuosos un 1 % de ellos. Cierto día, al vender un reloj el joyero observa que está defectuoso. Determinar la probabilidad de que dicho reloj proceda de la casa comercial B. Justificar la respuesta. (Junio de 2009) 3. El 40 % de los residentes en cierta Comunidad Autónoma son varones. A partir de un estudio realizado en dicha Comunidad, se ha determinado que 45 de cada 100 varones y 75 de cada 100 mujeres suelen ver el canal autonómico de televisión. Determinar la probabilidad de que

16 seleccionado al azar un residente en esa comunidad, sea de los que suelen ver el canal autonómico de televisión. Justificar la respuesta. (Sept de 2008) 4. En una pobblación se ha determinado que de cada 100 aficionados al fútbol, 25 son abonados del equipo A, 45 son abonados del equipo B y el resto son abonados de C. Sabiendo que el 30 % de los abonados de A, el 40 % de los abonados de B, y el 50 % de los abonados de C, tienen menos de 30 años, determinar la probabilidad de que seleccionado al azar un aficionado al fútbol en esa población sea menor de 30 años. Justificar la respuesta. (Junio de 2008) 5. Una empresa se dedica a la fabricación de calefactores. Cada calefactor, antes de ser enviado al mercado para su venta, ha de superar tres controles de calidad: C1, C2 y C3 en ese orden. Si no supera alguno de ellos es rechazado. por la experiencia acumulada, se sabe que un 95 % de los calefactores superan C1, que en C2 se rechaza un calefactor con probabilidad 0.02 y que 90 de cada 100 calefactores superan C3. Determinar, justificando la respuesta, la probabilidad de que un calefactor elegido al azar en la producción de esa empresa sea rechazado. ( Sept de 2007). 6. Se sabe que 3000 de los estudiantes matriculados en cierta universidad hacen uso del comedor universitario y acuden a sus clases en transporte público. A partir de la información proporcionada por una amplia muestra de estudiantes universitarios, se ha estimado que uno de cada cuatro universitarios que utilizan el transporte público para acudir a sus clases hacen también uso del comedor universatirio. Determinar, justificando la repsuesta, la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa universidad resulte ser de los que utilizan el transporte público para acudir a sus clases. ( Junio de 2007) 7. En un instituto hay 250 alumnos cursando estudios de bachilerato, 110 de ellos son alumnos del segundo curso. El director pregunta a todos si están de acuerdo en realizar determinada actividad cultural. Obtiene respuesta (afirmativa o negativa) de los 250 alumnos. Un 30 % de los alumnos del primer curso le contestan que están de acuerdo y un 40 % de los alumnos del segundo curso le contestan que no están de acuerdo. Si seleccionamos al azar un alumno entre los 250 determinar, justificando la respueta: (a) La probabilidad de que sea un alumno del segundo curso de los que están de acuerdo en realizar la actividad cultural. (b) La probabilidad de que sea un alumno de los que no están de acuerdo en realizar la actividad cultural. (c) Sabiendo que el alumno seleccionado pertence al primer curso, la probabilidad de que sea de los que están a favor de realizar la actividad cultural. (sept de 2006) 8. El Congreso de Diputados de cierto Estado está constituido por tres grupos parlamentarios: A, B y C con 140, 150 y 60 diputados, respectivamente. Una propuesta sometida a votación es rechazada por un 25 %, un 42 % y un 5 % de los diputados de los grupos A, B y C, respectivamente. Los diputados restantes aceptan la propuesta. Finalizada la votación, un medio de información entrevista a un diputado elegido al azar. Se pide, justifiando la respueta: (a) La probabilidad de que el diputado entrevistado sea miembro del grupo C y haya rechazado la propuesta. (b) La probabilidad de que el diputado entrevistado haya aceptado la propuesta. (c) Sabiendo que el diputado entrevistado es miembro del grupo B, la probabilidad de que haya rechazado la propuesta. (Junio de 2006)

17 9. En un Instituto hay 800 personas. De ellas, 680 son alumnos, 90 son profesores y el resto personal de administración y servicios. El director del Instituto les pregunta si están a favor o en contra de realizar determinada reforma en el Instituto. Sabiendo que un 40 % de los alumnos, un 30 % de los profesores y un 10 % del personal de administración y servicios cotestan que están a favor de dicha reforma y el resto contesta eu no está a favor de la reforma, determinar la probabilidad de que seleccionada una persona al azar entre las 800: (a) resulte ser un alumno de los que han contestado que están a favor de la reforma. (b) Resulte ser una persona de la s que han contestado que están en contra de la reforma. Justificar las respuestas. (Sept de 2005) 10. En cierta ciudad residen personas, de ellas 4000 son mayores de 50 años. Como resultado de una encuesta realizada en dicha ciudad, se ha determinado que 70 de cada 100 personas mayores de 50 años no se hacen ninguna revisión dental anual. Determinar la probabilidad de que elegida al azar una persona en esa ciudad, resulte ser mayor de 50 años y de las que se hace una revisión dental anual. Justificar la respuesta. (Junio de 2005) 11. Cierto meteorólogo ha comprobado en determinada ciudad: 1º) Que si un día llueve, con probabilidad 0.6 también llueve al día siguiente. 2º) Que si cierto día no llueve, hay un 30 % de posibilidades de que llueva al día siguiente. Sabiendo que en esa ciudad ha llovido el lunes, determinar la probabilidad de que llueva el miércoles de esa misma semana. Justificar la respuesta. (Sept de 2004) 12. En el segundo curso de bachcillerato de cierto instituto se han matriculado el doble de mujeres que de varones. Sabiendo que un 25, 5% de las mujeres fuman y que no lo hacen un 60 % de los varones, determinar la probabilidad de que seleccionada al azar una persona en el segundo curso de bachillerato de ese instituto resulte ser una persona fumadora. Justificar la respuesta. (Junio de 2004) 13. Se sabe que un 10 % de las empresas del sector automovilístico de cierto país cotizan en bolsa y exportan más de la mitad de su producción, y que un 40% de las empresas que exportan más del 50 % de su producción cotizan en bolsa. Determinar la probabilidad de que seleccionada al azar una empresa de dicho sector, sea un de las que xportan más de la mitad de su producción. Justificar la respuesta. (Sept de 2003) 14. En una empresa hay un total de 500 trabajadores, de los cuales 350 son obreros, 120 son administrativos y el resto es personal directivo. El gerente de la empresa pregunta a todos si están a favor o en contra de donar un 2 % de sus ingresos mensuales para una causa benéfica. Sabiendo que obtiene respuesta (a favor o en contra) de todo el personal de la empresa y que se manifiestan a favor un 30 % del personal obrero, un 50 % del personal administrativo y un 60 % del personal directivo, determinar la probabilidad de que seleccionado al azar un trrabajador de dicha empresa: a) Resulte ser un directivo de los que se han manifestado a favor de la propuesta. b) Resulte ser de los que se han manifestado en contra de la propuesta. Justificar las respuestas. (Junio de 2003) 15. Tras varios años de seguir a su equipo de fútbol, un aficionado ha comprobado que si en determinada jornada del campeonato su equipo gana un partido entonces en la siguiente jornada gana con probabilidad 0.3 y empata con probabilidad 0.5, que si en determinada jornada empata entonces en la jornada siguiente con probabilidad 0.5 vuelve a empatar y gana con probabilidad

18 0.25. Sabiendo que en la jornada 36 su equipo ha empatado, qué probabilidad hay de que en la jornada 38 no empate? Justificar la respuesta. (Sept de 2002) 16. Un examen de inglés consta de tres pruebas. En primer lugar se hace una prueba de gramática que suele ser superada por el 85 % de los alumnos que se presentan. Esta primera prueba es eliminatoria y los alumnos que no la superan suspenden la asignatura. La segunda prueba es de fonética y 7 de cada 10 alumnos que la realizan la superan. Esta segunda prueba tiene recuperación y es conocido que el 50 % de los alumnos que se presentan a dicha recuperación la superan. La última prueba es oral y a ella acceden los alumnos que han superado las dos pruebas anteriores. La prueba oral se supera con probabilidad Sabiendo que la asignatura se aprueba cuando se han suerado las tres pruebas, determinar la probabilidad de que un alumno apruebe el inglés. Justificar la respuesta. (Junio de 2002)

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