ÍNDICE GENERAL El modelo discreto de Cox-Ross-Rubinstein El modelo continuo de Black-Scholes 52

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1 Valoración y cobertura de opciones financieras. El modelo discreto de Cox-Ross-Rubinstein y el modelo de Black-Scholes como paso al límite del anterior. Marc Lagunas Merino julio de 2013

2 Índice general 1. Introducción Acciones y derivados financieros Acciones Futuros Opciones Historia de los mercados financeros y origen de las opciones Estrategias de inversión Valoración de opciones europeas Cobertura de opciones europeas El modelo de mercado discreto Teoría de martingalas El principio de no arbitraje Fórmula de paridad call/put Viabilidad de un mercado financiero Completitud de un mercado financiero Modelos binomiales de mercado discreto Modelo Binomial de un solo periodo Modelo Binomial de varios periodos

3 ÍNDICE GENERAL 2 4. El modelo discreto de Cox-Ross-Rubinstein El modelo continuo de Black-Scholes 52 A. 61 A.1. Otras definiciones y conceptos A.2. Teorema de separación de conjuntos convexos en R n

4 Capítulo 1 Introducción A lo largo de este primer capítulo, se introducirán los conceptos económicos básicos sobre los que se construirá posteriormente la teoría de la valoración y cobertura de opciones Acciones y derivados financieros Se llama derivado financiero a cualquier producto financiero cuyo valor está supeditado al valor de otro activo financiero que recibe el nombre de activo subyacente y estos pueden ser acciones, índices bursátiles, tipos de interés... Estos productos, que pueden ser contratos de futuros y opciones, tienen la propiedad de ser liquidados en una fecha futura Acciones Se llama acción al título representativo de una de las partes iguales en las que se divide el capital social de una sociedad anónima. Pueden estar representadas por medio de un título o bien de anotaciones en una cuenta. Una acción de una cierta empresa proporciona a su propietario legítimo la condición de socio de esta y le atribuye, como mínimo, los seguientes derechos: Participar en el reparto de los beneficios sociales y en el patrimonio resultante de la liquidación. La suscripción permanente en la emisión de nuevas acciones. 3

5 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 4 Asistir y votar, excepto si son acciones sin voto, en las juntas generales de la empresa. Observamos que hay diferentes tipos de acciones que proporcionan distintos derechos a los propietarios de las mismas. Las acciones comunes (proporcionan los derechos ya dichos), acciones preferentes (como su nombre indica hay una preferencia en el reparto de los dividendos), acciones de voto limitado, etc. Las acciones no tienen un precio fijo, este se define en los mercados y viene determinado por el precio que los inversionistas están dispuestos a pagar por adquirirlas. Hay varios factores que influyen en la variación del precio de una acción y que hacen que los inversionistas estén dispuestos a pagarlas más caras o menos. Entre estos factores, los más relevantes son los siguientes: Els crecimiento de las ventas o ingresos de la empresa, también denominado crecimiento bruto. El crecimiento de los beneficios de la compañía, también llamado crecimiento neto. El método de administración de la empresa. La situación de la economía y los mercados financieros. La situación del sector de la industria en el cual se ubica la empresa. A lo largo de este trabajo notaremos el precio de una acción en un instante de tiempo t determinado, por: S t Futuros Un contrato de futuro es un acuerdo que involucra a dos personas en el cual se negocia la compra/venta de un activo financiero a una fecha específica en el futuro y a un precio acordados por las dos partes de la transacción.

6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 5 Se pueden mantener dos tipos de posiciones ante un contrato de futuros. Si la parte negociante decide comprar el activo a la parte vendedora se dice que adquiere una posición larga en el contrato. Mientras que si el negociante acuerda vender un activo a un comprador se dice que adquiere una posición corta en un contrato de futuros. Tal y como dicen estos nombres, la posición larga hace referencia a la expectativa que tiene el comprador de que el precio suba y la posición corta hace referencia a la expectativa que tiene el vendedor de que el precio baje. Todas las transacciones de compra/venta de futuros se realizan en el mercado de futuros, que está regulado por una cámara de compensación. El origen de los mercados de futuros se encuentra en la edad media y fueron creados para permitir a los agricultores y negociantes asegurarse un precio asequible para abastecerse de productos básicos. Permitían al agricultor asegurarse vender su cosecha a un precio acordado independientemente del rendimiento de la cosecha de ese año. En el caso de que hubiera un excedente de producción y por tanto bajaran los precios de la cosecha, el agricultor hubiera protegido la venta de ésta, habiendo acordado con un comprador un precio satisfactorio para las dos partes sobre ese bien. Por otro lado, en el caso de que ese año hubiera habido un déficit de producción permitiría al comprador protegerse de un fuerte aumento del precio de venta y adquirir el producto a un precio acordado meses antes con el agricultor Opciones Una opción es un contrato que proporciona el derecho pero no la obligación al propietario de comprar, si es una opción de compra, o vender, si es una opción de venta, un activo subyacente 1 a un precio K. Distinguiremos entre dos tipos de opciones: las opciones europeas, que se pueden ejercer únicamente a la fecha de vencimiento y las opciones americanas que se pueden ejercer en cualquier momento desde que se adquiere la opción y hasta su fecha de vencimiento. Este trabajo se centrará, exclusivamente, en el estudio de las opciones europeas. No consideraremos las opciones americanas aunque se puede desarrollar una teoría análoga para la valoración y cobertura de este tipo de opción. 1 Supondremos para fijar ideas, que los activos subyacentes de las opciones con las que trabajaremos son acciones de una cierta empresa que cotiza en bolsa y que no reparte dividendos.

7 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 6 Opciones de compra: también conocida bajo el nombre de call, una opción de compra proporciona a su propietario, la posibilidad de comprar una acción determinada en la fecha de vencimiento T y a un precio de ejercicio K, también conocido como precio strike. Una vez alcanzada dicha fecha de vencimiento, pueden darse tres posibles situaciones: Si el precio de ejercicio de la opción es S T > K, el comprador ejercerá la opción de compra obteniendo un beneficio de S T K. Este beneficio se obtiene de ejercer la opción de compra, comprando la acción a un precio K y vendiéndola instantáneamente al precio real S T que se está pagando por dicha acción en el mercado en ese instante. El momento en el que se produce la situación K < S T, se dice que la opción está in the money. Si el precio de ejercicio de la opción es K = S T, el comprador puede, o no, ejercer la opción de compra ya que es obvio que no tendrá ningún tipo de beneficio. El momento en que se produce esta situación se dice que la opción está at the money. Por último, si el precio de ejercicio de la opción es K > S T, el comprador no ejercerá la opción de compra al precio K, ya que puede encontrar la misma acción más barata en el mercado, en concreto a un precio S T. Cuando se produce esta situación K > S T, se dice que la opción está out of the money.

8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 7 Gráfica del beneficio de la compra de un call. Gráfica del beneficio de la venta de un call.

9 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 8 Opciones de venta: también conocida como put, esta opción proporciona al propietario el derecho, pero no la obligación, de vender una cierta acción en un instante futuro de tiempo T y un precio de ejercicio K determinados. Como antes, una vez alcanzada la fecha de vencimiento del contrato, pueden darse tres posibles situaciones: Si el precio de ejercicio de la opción es K > S T, el vendedor ejercerá el derecho de vender la acción obteniendo un beneficio de K S T. Este beneficio se obtiene comprando una acción en el mercado a un precio S T, al cual se está cotizando y ejercer el derecho de venderla a un precio más caro. Cuando se produce esta situación, se dice que la opción está in the money. Si el precio de ejercicio de la opción es K = S T, el vendedor puede, o no, ejercer la opción de venta, ya que es obvio que no obtendrá ningún beneficio. El momento en que se produce esta situación, se dice que la opción está at the money. Finalmente, si el precio de ejercicio es K < S T, el vendedor no ejercerá la opción ya que podría vender la acción en el mercado, a un precio mayor de lo que le permite la opción. Cuando se produce esta situación, se dice que la opción está out of the money. Gráfica del beneficio de la compra de un put.

10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 9 Gráfica del beneficio de la venta de un put Historia de los mercados financeros y origen de las opciones Los mercados de futuros tienen su origen en la Edad Medieval. En un principio fueron creados para satisfacer las necesidades de los agricultores y negociantes. Si consideramos la situación de un agricultor que en abril de un cierto año conreará una cierta cantidad conocida de grano, hay una cierta incertidumbre sobre el precio que el agricultor recibirá por el grano en junio, cuando la cosecha esté lista. En épocas de escasez podria obtener precios relativamente altos, sobretodo si el agricultor no tiene prisa por vender la cosecha. Pero por otro lado, en épocas de superabundancia el grano solo se vendería a precios de liquidación. Por tanto el agricultor está, claramente, expuesto a un gran riesgo. Ahora consideremos el caso de una empresa que tiene la necesidad de comprar grano constantemente para poder producir su producto. La empresa también está expuesta a un riesgo por el cambio de precio de esta materia. Algunos años, en una situación de superabundancia habría una situación favorable para la empresa debido al bajo precio del grano, pero otros años cuando

11 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 10 la cosecha fuera escasa y hubiera una gran demanda de grano, la empresa tendría que pagar precios desorbitados con la finalidad de poder abastecerse. Por tanto tiene sentido que el agricultor y la empresa se encuentren en abril y acuerden un precio sobre la producción de grano en junio. Esto implica que establezcan lo que se conoce actualmente como un contrato de futuros. Este contrato ofrece a cada parte la oportunidad de eliminar el riesgo sobre la incertidumbre del precio del bien negociado. Los mercados de derivados tienen su origen en los Estados Unidos del siglo XIX y en un principio estaban orientados al comercio de las materias primas, fundamentalmente a los cereales. El Chicago Board of Trade (CBT) fue el primer mercado físico organizado, de contratos de futuros que se constituyó en 1848, en los Estados Unidos. El CBT normalizó estos contratos sobre el trigo, el grano y otros productos agrícolas, definiendo el importe exacto de cada contrato. Los especuladores se interesaron rápidamente por este tipo de contratos y descubrieron que su negociación era una alternativa atractiva. En la actualidad, la CBT ofrece contratos de futuros sobre distintos activos subyacentes como, por ejemplo: trigo, soja, bonos del tesoro, oro, divisas, acciones y muchos otros.

12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 11 Estas posturas especulativas provocaron una de las muchas crisis que se han producido en este tipo de mercados de derivados, como la crisis del tulipán, también conocida como tulipomanía. La tulipomanía representó la euforia que hubo en los Países Bajos durante el siglo XVII con la reciente importación de los tulipanes y fue uno de los primeros fenómenos especulativos a gran escala del que se tiene consciencia. Esta flor llegó procedente de Turquía y se apreciaba mucho por su rareza y belleza. Se empezó a cultivar en los Países Bajos cuando se consiguió un bulbo capaz de sobrevivir a las condiciones climatológicas de la zona. A partir de entonces la cotización del bulbo creció rápidamente puesto que la posesión de esta flor se veía como un símbolo de prestigio y riqueza. En 1636 se establecieron mercados destinados a la venta de tulipanes en la bolsa de Amsterdam entre otras ciudades. Un gran número de comerciantes hicieron fortuna especulando con el precio del bulbo de esta flor, aprovechando las continuas variaciones del precio de compra y venta del bulbo. Muchos particulares pedían grandes préstamos avalados con tulipanes y otros mal vendían la casa y las tierras a precios infravalorados para participar en el negocio de la flor y especular para obtener grandes cantidades de dinero. Con este mismo motivo llegaron muchos inmigrantes a los Países Bajos, hecho que provocó una entrada masiva de capital al país y que tuvo como consecuencia la subida del precio de artículos de primera necesidad, de la misma manera que el precio de la vivienda. Ese mismo año, también se declaró una epidemia de peste bubónica que hizo disminuir la población holandesa, hecho que contribuyó a un aumento aún mayor del precio del bulbo del tulipán. Tal fue la eufória, que se creó un mercado de futuros, a partir de los bulbos aún no recogidos. De esta manera, los compradores se endeudaban y se hipotecaban para adquirir las flores, llegó un momento en el que ya no se intercambiaban bulbos sinó notas de crédito. Todas las clases sociales, tanto la alta burguesía como los artesanos, se vieron implicados en este fenómeno. Pero a finales de 1637, por causas desconocidas, varias personas empezaron a vender los tulipanes que tenían y abandonaron el negocio. De esta manera al ver que paulatinamente se iba abandonando el negocio, se extendió el pánico y se empezó una carrera frenética para vender y así deshacerse de todos los activos en bulbos que tenía cada particular. Pero como más vendía la gente, más caían los precios. De este modo, muchas personas se hallaron con grandes prestamos por pagar y unos bulbos de tulipán cuyo precio era ridículo.

13 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 12 Esto provocó una enorme depresión en la economía del país que duró años. Aunque el cultivo de tulipanes ha seguido en marcha hasta el día de hoy, desapareció la euforia especulativa que hubo inicialmente Estrategias de inversión El éxito de los mercados de derivados yace en gran parte sobre el hecho de haber sido capaces de atraer distintos tipos de negociantes y, además, por el hecho de tener mucha liquidez. De modo que cuando un inversionista quiere tomar parte en un contrato, en general, no habrá ningún tipo de problema en encontrar a alguien dispuesto a ser la otra parte del contrato. Se pueden identificar, tres tipos de negociantes: coberturistas, especuladores y arbitrajistas. Coberturistas. Utilizan los contratos de futuros y opciones financiera, con la finalidad de reducir el riesgo al cual se exponen por los posibles cambios de precio de los distintos activos que cotizan en el mercado. De esta manera, una empresa es capaz de limitar sus pérdidas. Es decir, un coberturista intenta minimizar las pérdidas que puede tener una empresa y que vienen derivadas del riesgo de su actividad como, por ejemplo, la posible variación del precio de las materias primas esenciales para la empresa, para poder manufacturar su producto. La limitación de este riego se lleva a cabo mediante la compra/venta de futuros y opicones sobre estas materias primas. Especuladores. Utilizan los contratos de futuros y opciones, para apostar sobre la dirección futura de la cotización en los mercados, de los activos como materias primas, divisas, acciones, bonos... Mientras el coberturista intenta evitar una exposición a cambios adversos en el precio de un activo, el especulador intentará tomar una posición en el mercado, es decir, apostará a que el precio de un determinado activo, subirá o bien bajará. Hay que diferenciar aquí la especulación sobre futuros y sobre opciones. Cuando un especulador utiliza futuros, la posibilidad de ganar o perder

14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 13 es muy grande. Mientras que cuando se usan opciones, no afecta lo mal que puedan ir las cosas, ya que la pérdida del especulador se limita a la cantidad total de dinero pagada por adquirir dicha opción. Arbitrajistas. Este grupo de negociantes constituye un tercer tipo muy importante de participantes en los mercados de futuros y opciones. El arbitraje implica asegurar un beneficio libre de riesgo, realizando simultáneamente distintas transacciones en dos o más mercados. La existencia de este tipo de negociantes, hace improbable que pueda haber una gran disparidad entre los precios de dos activos relacionados entre sí, por el hecho de ser de la misma empresa, y que cotizan en distintos mercados a la vez. En otras palabras, lo que hace el arbitrajista es intentar obtener ventaja de un estado descompensado entre distintos mercados mediante la combinación de transacciones complementarias que capitalizan el desequilibrio de precios. Esta práctica conlleva el restablecimiento de la compensación y cohesión entre los mercados muy rápidamente, debido a la gran cantidad de negociantes de este tipo, la transparencia informativa y la facilidad de negociación que proporcionan los nuevos sistemas informáticos. Gracias a esto, más adelante podremos suponer el principio de no arbitraje, es decir, la no existencia de oportunidades de arbitraje en el mercado, o equivalentemente, la imposibilidad de obtener un beneficio sin correr ningún tipo de riesgo. Esta suposición nos facilitará la construcción de los modelos de valoración de opciones Valoración de opciones europeas Sean S T el precio spot de la acción subyacente a tiempo t = T, i.e. el precio al cual se cotiza la acción en los mercados en el instante t = T y donde K es el precio de ejercicio de la opción sobre la acción. Definimos C T = (S T K) + = máx {0, S T K}, el beneficio de una opción de compra, o call y P T = (K S T ) + = máx {0, K S T }, el beneficio de una opción de venta o put. A veces, cuando no se especifique si la opción es un put o un call utilizaremos H T, para hacer referencia al beneficio de la opción y se sobreentenderá que nos referimos a un call si viene dado por

15 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 14 H T = (S T K) +, o bien un put si se escribe como H T = (K S T ) +. Estos beneficios también se conocen bajo el nombre de valor intrínseco de la opción. Cuando se suscribe una opción, teniendo en cuenta la variación del valor temporal de ésta, se nos plantea el siguiente problema: Cuál es el precio que debe pagar un comprador por adquirir una opción? En otras palabras, cómo se puede asignar un precio en tiempo t = 0 a una opción sobre una acción que vale (S T K) + en tiempo t = T, donde T es la fecha de vencimiento de la opción? La principal dificultad que nos encontraremos en el problema de la valoración de las opciones europeas es que el valor final del derivado en la fecha de vencimiento es desconocido en tiempo t = 0. Este valor depende única y exclusivamente del precio spot de la acción en tiempo t = T. Para resolver este problema y desarrollar los modelos binomiales y de Black-Scholes, utilizaremos varias suposiciones. Consideraremos la ausencia de oportunidades de arbitraje en el mercado, i.e. no hay oportunidad de obtener beneficio sin ningún riesgo. También asumiremos que se pueden pedir préstamos y prestar a una tasa de interés constante r > 0. Cabe decir, que aunque es obvio que un banco no presta dinero a la misma tasa de interés que proporciona al hacer un depósito, para las grandes empresas esta diferencia es muy pequeña, de manera que podemos hacer esta suposición sin que esto haga cambiar toda la teoría que se desarrollará a lo largo de los próximos capítulos Cobertura de opciones europeas Supongamos, sin pérdida de generalidad, que un inversor adquiere una opción de compra con fecha de vencimiento dentro de 3 meses, que ha emitido una cierta entidad financiera a un precio determinado H 0. Como acabamos de ver, esto quiere decir comprar por un valor H 0 a dia de hoy, un beneficio de (S T K) + dentro de 3 meses. A efectos prácticos la consecuencia de esto es que una vez alcanzada la fecha de vencimiento se dará una de las dos posibles situaciones: Que el precio de la acción S T en ese momento cumpla que S T > K y por tanto el banco tenga que pagar al comprador de la opción la diferencia S T K cuando el inversor decida ejercer su derecho de compra. Que el precio de la acción S T en ese momento cumpla justo lo contrario,

16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 15 i.e. S T K, de manera que el inversor no ejercerá su derecho de compra ya que el precio real del activo subyacente es igual o más barato que el precio de ejercicio del call. De esta manera el banco no deberá pagarle nada al comprador. Ahora para eliminar el riesgo al que está expuesto el banco, éste tiene que hacer, lo que se llama una cobertura de la cartera 2, que consiste en determinar una estrategia formada por una cantidad inicial de dinero y un cierto número de acciones, de modo que a fecha de vencimiento esta estrategia proporcione un beneficio de S T K. Este beneficio se usará para hacer frente al pago en caso de que se ejerza el derecho de compra por parte del propietario del call. 2 Los conceptos de cartera o estategia de inversión, así como el de valor de una cartera se verán a lo largo de los siguientes capítulos.

17 Capítulo 2 El modelo de mercado discreto Sea {S t } t 0 un proceso estocástico discreto, i.e. una sucesión de variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad (Ω, F, P ), que define el precio de una acción en tiempo t [0, T ]. Como el valor de la opción está supeditada, solo, al precio spot ya que K es constante, el precio a pagar por la opción inicialmente vendrá determinado por el beneficio que la opción acabe por proporcionar en la fecha de vencimiento: C T = (S T K) +. P T = (K S T ) +. Lo que se intentará hacer con los modelos de los próximos capítulos será determinar su precio inicial a pagar en tiempo t = 0 y sin conocer {S i } i 1 con i = 1,..., T. Para hacer esto nos hará falta hacer un breve repaso a la teoría de martingalas, ya que nos permitirá desarrollar el principio de no arbitraje sobre el cual se fundamentan los modelos binomiales de mercado discreto y de este modo hallar lo que llamaremos medida neutral al riesgo y que nos servirá para hacer una valoración y posterior cobertura de las opciones. 16

18 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO Teoría de martingalas Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad finito, con Ω el espacio de estados de la economía y es tal que Card(Ω) < +. F una σ álgebra. P una probabilidad tal que ω Ω, P ({ω}) > 0. Consideremos una sucesión creciente de σ álgebras F 0 F 1... F t... F, la llamaremos filtración y la denotaremos por F := {F t } t 0. La σ álgebra F t representa la información sobre los precios del activo que disponemos en tiempo t Definición. Dada una sucesión de variables aleatorias S = (S t ) t 0, también conocido como proceso estocástico, se dice que es adaptada si S t es F t medible t Definición. Sea S = {S t } t 0 una sucesión de variables aleatorias. Se dice que S es una martingala respecto a la filtración F si cumple: 1. S t es F t medible para todo t 0 (entonces se dice que S es adaptada a la filtración F). 2. E ( S t ) < para todo t Para todo t 0, E (S t+1 F t ) = S t. La tercera condición también se puede escribir como E ( S t F t 1 ) = 0, para todo t 1 y donde S t = S t S t 1.

19 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO Definición. Sea S = {S t } t 0 un proceso adaptado a la filtración F. Se dice que S es: Una submartingala si E (S t+1 F t ) S t, para todo t 0. Una supermartingala si E (S t+1 F t ) S t, para todo t 0. Veamos a continuación algunas propiedades elementales de las martingalas, que derivan de la definición de esperanza condicionada. 1. La propiedad de torre: Dadas dos σ álgebras F t F t+p se cumple E (E(S u F t+p ) F t ) = E(S u F t ). 2. (S t ) es una martingala si y sólo si, para todo u t tenemos que E (S u F t ) = S t. Demostración. De hecho, para u > t + 1 E (S u F t ) = E (E (S u F u 1 ) F t ) = E (S u 1 F t ) =... = E (S t+1 F t ) = S t. 3. Si (S t ) es una martingala, entonces E (S t ) = E (S 0 ), t 1. La demostración es análoga a la de la propiedad anterior. 4. (S t ) es una submartingala si y sólo si, ( S t ) es una supermartingala. Demostración. : Si (S t ) t es submartingala entonces se cumple que (S t ) t es F t medible, que E ( S t ) < + y que E (S t+1 F t ) S t E (S t+1 F t ) S t E ( S t+1 F t ) S t. Por tanto S t es supermartingala ya que S t es, también, F t medible del mismo modo que E ( S t ) < +. : se demuestra de forma análoga. 5. Si (S t ) es una martingala y ϕ es una función convexa, definida en un intervalo abierto, tal que E ( ϕ (S t ) ) < + para todo t 0, entonces (ϕ (S t )) es una submartingala.

20 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 19 Demostración. Es inmediato verlo aplicando la desigualdad de Jensen para la esperanza condicionada ya que E (ϕ (S t+1 ) F t ) ϕ (E (S t+1 F t )) = ϕ (S t ) Definición. Sea F una filtración. Se dice que (ϕ t ) t 1 es un proceso previsible i.e. una sucesión de variables aleatorias previsibles si para todo t 1, ϕ t es F t 1 medible. Intuitivamente, esta propiedad del proceso, viene a decir que en tiempo t 1, nosotros conocemos el valor que tomará el proceso en tiempo t. Esto no contradice el hecho de que sea un proceso aleatorio, ya que el valor S t en tiempo t, sólo lo podemos conocer un instante de tiempo antes y no previamente Definición. Sea F una filtración y (S t ) t 0 una martingala respecto a esta filtración. Dado un proceso previsible (ϕ t ) t 1, respecto a la misma filtración, se define la transformada de una martingala (S t ) t 0 por (ϕ t ) como la secuencia (ϕ S) t = S 0 + t ϕ j S j ; t 1. j= Proposición. Si (S t ) t 0 es una martingala y (ϕ t ) t 1 es un proceso previsible de variables aleatorias acotadas y no negativas, entonces la transformada de la martingala (ϕ S) t es, también, una martingala. Demostración. Es evidente que para todo t 0 la variable aleatoria definida por (ϕ S) t es F t medible e integrable. Además, t 0, tenemos que: E ( (ϕ S) t+1 F t ) = E (ϕt+1 S t+1 F t ) = ϕ t+1 E ( S t+1 F t ) = 0.

21 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO El principio de no arbitraje Una vez vistas las definiciones y propiedades de las martingalas, antes de empezar a construir el modelo binomial, desarrollaremos dos hipótesis que facilitarán la construcción de estos modelos posteriormente: Supondremos cierto el principio de no arbitraje, i.e. supondremos que en el mercado no hay oportunidades de arbitraje. A continuación se introducirán varias definiciones y proposiciones que nos permitirán enunciar matemáticamente el principio de no arbitraje. Supondremos que el mercado está formado por d + 1 activos financieros, donde el activo libre de riesgo, es decir, nuestra cuenta bancaria será el activo 0 y el resto 1,..., d serán los activos con riesgo i.e. las acciones. Los precios de los activos en tiempo t vendrán dados por las variables aleatorias no negativas S 0 (t), S 1 (t),..., S d (t), F t medibles, i.e. en tiempo t conocemos los precios S i (t). Escribiremos S (t) = (S 0 (t), S 1 (t),..., S d (t)) para hacer referencia al vector de precios en tiempo t. Con todo esto nos referiremos al conjunto formado por: el espacio de probabilidad (Ω, F, P ), las fechas de inversión [0, 1,..., T ], el proceso de precios S (t) y la estructura de la información o filtración F, como modelo de mercado M o simplemente un mercado M. Empezaremos definiendo S 0 como el activo libre de riesgo, al que llamaremos cuenta bancaria del inversor y supondremos que el valor actual de la unidad monetaria es 1, i.e. S 0 (0) = 1. Definiremos un factor de descuento β := 1 1+r que multiplicado por el precio de un activo S i (t), i 1,, d o cualquier otro valor, nor proporcionará el valor real del activo en tiempo t 1 teniendo en cuenta el cambio del valor del dinero respecto al tiempo. Nota. A lo largo del trabajo se utilizará β o 1 de descuento según convenga en el contexto. 1+r para referirnos al factor Definición. Una estrategia de gestión, o cartera, ϕ es un vector de procesos estocásticos de dimensión R d+1, definido por ϕ = (ϕ (t)) T t=1 = ( (ϕ 0 (t), ϕ 1 (t),..., ϕ d (t)) ) T t=1, previsible, i.e. que cada ϕ i (t) es F t 1 medible t 1. Por otro lado ϕ i (t) denota el número de acciones de cada activo del mercado que hay en la cartera de valores del inversor en tiempo t.

22 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 21 La estrategia de gestión, i.e. el número de acciones de un activo se determina en base a la información disponible antes del instante t, es decir, el inversor escoge el número de acciones de cada activo en tiempo t observando los precios S (t 1) Definición. El valor de la cartera en tiempo t es el producto escalar V ϕ (t) = ϕ (t) S (t) := d ϕ i (t) S i (t) ; t = 1, 2,..., T i=0 y donde V ϕ (0) = ϕ (1) S (0). El proceso (V ϕ (t)) T t=1 se llama riqueza de la estrategia de gestión ϕ. La riqueza inicial V ϕ (0), recibe el nombre de inversión inicial hecha por el inversor. Ahora ϕ (t) S (t 1), refleja el valor de la cartera en el mercado después del instante t 1, mientras que ϕ (t) S (t) es el valor justo después de que se hayan observado los precios en tiempo t, pero antes de que se hayan hecho los cambios en la cartera Definición. El proceso de beneficio acumulado G ϕ asociado a una estrategia de gestión ϕ, viene dado por G ϕ (t) := t ϕ (τ) (S (τ) S (τ 1)) = τ=1 t ϕ (τ) S (τ) ; t = 1,..., T. τ=1 Definimos S (t) = (1, β t S 1 (t),..., β t S d (t)) como el vector de precios descontados y por extensión definimos el proceso de valores descontados como Ṽ ϕ (t) := β (t) (ϕ (t) S (t)) = ϕ (t) Ŝ (t) ; t = 1, 2,..., T, y el proceso de beneficios descontados G ϕ (t) := t τ=1 ) ϕ (τ) (Ŝ (τ) Ŝ (τ 1) = t ϕ (τ) Ŝ (τ) ; t = 1, 2,..., T. τ=1

23 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO Definición. Una estrategia ϕ es autofinanciada, si ϕ (t) S (t) = ϕ (t + 1) S (t), t = 1, 2,..., T Definición. Una estrategia ϕ es admisible, si es autofinanciada y, además, V ϕ (t) 0, para todo t = 1, 2,..., T. Notación. Denotaremos por Φ, el conjunto de estrategias autofinanciadas y por Φ Φ, el conjunto de las estrategias admisibles Proposición. (Invariancia del factor de descuento) Sea β un factor de descuento. Una estrategia de inversión ϕ es autofinanciada respecto a la evolución de precios S (t) si y sólo si, ϕ es autofinanciada respecto S (t) = β t S (t). Demostración. ϕ (t) S (t) = ϕ (t + 1) S (t) ; t = 1, 2,..., T 1 ϕ (t) β t S (t) = ϕ (t + 1) β t S (t) ; t = 1, 2,..., T Proposición. Una estrategia de inversión es autofinanciada, ϕ Φ, si y sólo si, Ṽϕ (t) = V ϕ (0) + G ϕ (t), t = 1, 2,..., T. Demostración. : Supongamos que ϕ Φ. Ahora utilizando la relación de la definición de estrategia autofinanciada, la proposición de invariancia del factor de descuento y el hecho que S (0) = 1, tenemos que V ϕ (0) + G ϕ (t) = ϕ (1) S (0) + = ϕ(1) S(0) + = ϕ(1) S(0) + t ( ) ϕ (τ) S (τ) S (τ 1) τ=1 t ϕ(τ) S(τ) τ=1 t ϕ(τ) S(τ) τ=1 ϕ(1) S(0) = ϕ(t) S(t) t 1 + ϕ(τ) S(τ) τ=1 t ϕ(τ) S(τ 1) τ=1 t ϕ(τ) S(τ 1) τ=2 t ϕ(τ) S(τ 1) τ=2

24 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 23 imponiendo que ϕ es autofinanciada, = ϕ(t) S(t) t 1 + ϕ(τ + 1) S(τ) τ=1 t 1 t ϕ(τ) S(τ 1) τ=2 t 1 = ϕ(t) S(t) + ϕ(τ + 1) S(τ) ϕ(l + 1) S(l) τ=1 = ϕ (t) S (t) = Ṽϕ (t). : (Por inducción sobre t). Si suponemos cierta la igualdad Ṽϕ (t) = V ϕ (0) + G ϕ (t), por la proposición de invariancia del factor de descuento es suficiente ver la versión de la definición bajo el valor de descuento t = 1, 2,..., T 1. Para t = 2, la igualdad anterior se escribe ϕ (2) S (2) = ϕ (1) S ( ) (0) + ϕ (1) S (1) S (0) + ϕ (2) l=1 ( S (2) S (1) ). Ahora, restando ϕ (2) S (2) en ambos lados de la igualdad, obtenemos que ϕ (2) S (1) = ϕ (1) S (1). Por inducción, se puede ver que efectivamente ϕ (t) S (t) = ϕ (t + 1) S (t), t = 1, 2,..., T Proposición. Si un proceso ˆϕ(t) = (ϕ 1 (t),..., ϕ d (t)) R d es previsible y V 0 es F 0 medible, entonces existe un único proceso previsible (ϕ 0 (t)) T t=1 tal que ϕ = (ϕ 0, ϕ 1,..., ϕ d ) R d+1 es autofinanciada con valor inicial de la cartera V ϕ (0) = V 0. Demostración. Si ϕ es autofinanciada, entonces por la proposición anterior, tenemos que Ṽ ϕ (t) = V 0 + G ϕ (t) = V 0 + t τ=1 ( ϕ 1 (τ) S 1 (τ) ϕ d (τ) S ) d (τ), También se puede escribir, de manera análoga, con la notación de producto escalar como Ṽ ϕ (t) = V 0 + G t ϕ (t) = V 0 + ϕ (τ) S (τ). τ=1

25 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 24 Por otro lado, Ṽ ϕ (t) = ϕ (t) S (t) = ϕ 0 (t) + ϕ 1 (t) S 1 (t) ϕ d (t) S d (t). Ahora, como S 0 (τ) = 0 y S 0 (τ) = 1 τ, si igualamos las dos expresiones de Ṽϕ(t) se obtiene ϕ 0 (t) = V 0 + t τ=1 ( ϕ 1 (τ) S 1 (τ) ϕ d (τ) S ) d (τ) ( ϕ 1 (t) S 1 (t) ϕ d (t) S ) d (t) = V 0 + t ϕ (τ) S (τ) ϕ (t) S (t), τ=1 de manera que ϕ 0 (t) queda determinada de manera única. El principio central de los modelos que es desarrollan a continuación es la absencia de oportunidades de arbitraje, i.e. la imposibilidad de conseguir beneficios sin correr ningún tipo de riesgo. Este principio es absolutamente central y necesario para construir cualquier modelo de mercado y a continuación se define la versión matemática de este principio económico Definición. Una estrategia ϕ Φ, se llama oportunidad de arbitraje, si satisface 1. V ϕ (0) = P {V ϕ (T ) > 0} > 0. Por tanto una oportunidad de arbitraje, es una estrategia autofinanciada con valor inicial 0, que produce un valor final no negativo con probabilidad 1 y con probabilidad positiva de que el valor final sea estrictamente mayor que 0. Observamos que las oportunidades de arbitraje siempre están definidas respecto a una classe de estrategias de gestión autofinanciadas Definición. Decimos que un mercado M está libre de oportunidades de arbitraje, si la clase Φ de estrategias de gestión autofinanciadas y admisibles no contiene ninguna oportunidad de arbitraje.

26 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO Fórmula de paridad call/put Como consecuencia del principio de no arbitraje a continuación enunciaremos y demostraremos el principio económico de paridad entre opciones de compra y venta, también conocido como fórmula de paridad call/put. Esta segunda relación nos servirá después para construir los modelos binomiales de los capítulos posteriores. Observemos en las gráficas de las curvas de beneficio del Capítulo 1 que un put y un call, por definición, tienen un comportamiento opuesto ante la variación del precio del activo subyacente de la opción. Como consecuencia de este hecho se obtiene la equación de paridad entre un put y un call. Deduciremos esta relación entre los dos tipos de opciones usando un razonamiento puramente económico. Consideremos una opción de compra y una de venta con valores C t, P t respectivamente, con fecha de vencimento t = T y un precio de ejercicio K para ambas opciones. Si consideramos una cartera formada por una acción con valor S t en tiempo t, una posición larga en un put y una posición corta en un call, entonces tenemos que el valor de la cartera en tiempo t viene dado por V (t) = S t + P t C t. De este modo, el valor en tiempo t = T de la cartera que hemos considerado, depende de la relación entre S T y K. Si S T K : S T + 0 (S T K) = K Si S T K : S T + (K S T ) 0 = K Observemos que independientmente del valor del activo en la fecha de vencimento, esta cartera garantiza siempre un beneficio K pero, además, queremos saber cuál es su valor en tiempo t < T. Notemos que la única manera de garantizar un beneficio K en tiempo t = T, bajo el principio de no arbitraje, es depositando en el banco β T t K en tiempo t y no hacer ninguna otra operación. Bajo el principio de no arbitraje, el valor de la cartera en tiempo t debe ser de β T t K ya que en tiempo t = T el valor de la cartera debe ser K y, además, actúa como una cuenta bancaria y cualquier beneficio distinto de este sería una oportunidad de arbitraje.

27 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 26 En efecto, si el valor de la cartera fuera diferente de β T t K en tiempo t, tendríamos lo siguiente: 1. Si V (t) < β T t K, entonces podríamos pedir al banco un préstamo por valor de β T t K y adquirir la cartera que hemos creado previamente por un valor de V (t), de modo que la diferencia β T t K V (t) > 0 se ingresaría en el banco. Finalmente en tiempo t = T, el valor de la cartera es V (T ) = K, mientras que la deuda con el banco ha aumentado a K, de manera que podemos pagarlo con el beneficio de V (T ) = K y obtener un beneficio neto de β T t (Kβ T t V (t)) > 0, que es la cantidad de dinero que habíamos ingresado en el banco más los intereses. Notemos que no hay ningún riesgo de esta manera, ya que obtenemos un beneficio sin poder perder nada, i.e. es una oportunidad de arbitraje. 2. Si por otro lado, V (t) > β T t K, entonces podemos hacer justo lo contrario que en el caso anterior, es decir, vender en corto la cartera V (t) e ingresarlo en el banco en dos cuentas distintas. En la primera pondríamos β T t K y en la segunda cuenta ingresamos la diferencia V (t) β T t K, de manera que en tiempo t = T, el valor de la primera cuenta es K y nos permite recomprar la cartera que ahora tiene valor V (T ) = K, devolverla y, además, obtener un beneficio de β T t (V (t) β T t K) > 0 que corresponde a la cantidad ingresada en el banco de la segunda cuenta más los intereses correspondientes. Observemos que de esta manera, si se diera este hecho, también estaríamos hablando de una oportunidad de arbitraje. Por tanto el único precio razonable por valor de la cartera en tiempo t es V (T ) = β T t K. Cualquier otro precio distinto a este, supondría la existencia de oportunidades de arbitraje, hecho que entraría en contradicción con nuestra primera hipótesis consistente en suponer que en el mercado no hay oportunidades de arbitraje. Como conclusión tenemos la proposición siguiente Proposición. Dado un activo S t, un put y un call con un precio strike K se tiene que S t + P t C t = β T t K.

28 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO Viabilidad de un mercado financiero Definición. Dado un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) se dice que una probabilidad Q es equivalente a P (Q P ) si y sólo si, A F, P (A) = 0 Q(A) = Definición. Sea P : Ω ( )[0, 1], en (Ω, F T ), una probabilidad equivalente a P. Denotamos por P S la clase de medidas equivalentes bajo las cuales el proceso de precios S es una martingala. ( ) Proposición. Sea P P S y ϕ Φ cualquiera. Entonces, el proceso de riqueza Ṽϕ (t) asociado al proceso de precios S(t) es una P martingala respecto a la filtración F. Demostración. Por la propiedad de ser ϕ una estrategia autofinanciada se tiene que Ṽ ϕ (t) = V ϕ (0) + G ϕ (t) t = 0, 1,..., T. Entonces, para ϕ Φ, Ṽϕ (t) es la transformada de la P martingala S por la función ϕ y la transformada de una martingala por un proceso previsible ϕ sigue siendo una martingala. Por tanto tenemos que Ṽϕ (t) es P martingala. Finalmente, podemos introducir la versión matemática del principio de no arbitraje Definición. (de no arbitraje) Se dice que un mercado M es libre de oportunidades de arbitraje si existe una probabilidad P equivalente a P, bajo la cual el proceso d dimensional de los valores descontados de cada ( T activo Si (t)) i = 1,..., d, es una P martingala. t= Definición. Se dice que un mercado M es viable, si es libre de oportunidades de arbitraje Teorema. Un mercado M es viable si y sólo si, existe una probabilidad P equivalente a P bajo la cual todo proceso de precios actualizados es martingala 1. 1 Este teorema fue demostrado por M. Harrison y S. Pliska [6] en el año 1981.

29 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 28 Demostración. : Supongamos que existe una probabilidad P equivalente a P bajo la cual el proceso de precios S t es una martingala. Entonces para toda estrategia de gestión autofinanciada ϕ, se tiene por la Proposición que Ṽ ϕ (t) = V ϕ (0) + t ϕ (τ) S (τ), τ=1 y hemos demostrado previamente en la Proposición 2.1.6, que Ṽϕ (t) es una martingala bajo la medida P. Por tanto, ) ) E P (Ṽϕ (T ) = E P (Ṽϕ (0) = Ṽϕ(0). Ahora, si la estrategia de gestión es admisible, es decir, no es una oportunidad ) de arbitraje y tiene valor inicial Ṽϕ(0) = 0, se tiene que E P (Ṽϕ (T ) = 0, con Ṽϕ (T ) 0, donde Ṽϕ (T ) = 0, ya que P ({ω}) > 0 ω Ω. : Sea Γ el cono convexo 2 de las variables aleatorias positivas y no nulas. El mercado M es viable si y sólo si, para toda estrategia ϕ Φ tenemos que V ϕ (0) = 0 Ṽϕ (T ) / Γ. Como ya hemos dicho antes, a toda estrategia de gestión se le asocia un proceso de beneficio G ϕ (t), definido por G ϕ (t) = t ϕ (τ) S (τ), τ=1 donde G ϕ (T ) es el beneficio acumulado a lo largo de toda la estrategia autofinanciada. Por la Proposición existe un único proceso previsible (ϕ 0 (t)) T t=1 tal que ϕ es una estrategia de gestión autofinanciada con valor inicial de la cartera V ϕ (0) = V 0 = 0. Ahora por la hipótesis de viabilidad del mercado tenemos que si Gϕ (t) 0 para todo t = 1,..., T, entonces G ϕ (T ) = 0. El lema que viene a continuación y antes de proseguir con la demostración, demuestra que sin la hipótesis G ϕ (t) 0, t = 1,..., T se sigue implicando 2 La definición de cono convexo así como la de conjunto convexo, se encuentran en el capítulo 6: Apéndice.

30 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 29 que G ϕ (T ) / Γ. Esto nos servirá para acabar de demostrar la implicación que falta y de esta manera concluir la demostración del teorema Lema. Si el mercado M es viable, todo proceso previsible (ϕ 1,..., ϕ d ) verifica que: G ϕ (T ) / Γ. Demostración. Supongamos que G ϕ (T ) Γ, entonces hay una clara contradicción por definición de viabilidad si G ϕ (t) 0, para todo t = 1,..., T, ya que si el proceso de beneficios acumulados de la estrategia ϕ cumple que G ϕ (T ) Γ, entonces P (Ṽϕ(T ) 0) 0. Esto implica que, por definición ϕ es una oportunidad de arbitraje y por tanto, el mercado M no es viable. Si esta última proposición no se cumple, i.e. Gϕ (t) < 0, procediremos a demostrar el contrarrecíproco, es decir, construiremos una estrategia ψ a partir de ϕ de manera que el proceso de beneficios acumulados G ψ (T ) Γ y veremos que entonces el mercado no es viable. Introducimos el entero t 0 = sup { ( } t P Gϕ (t) < 0) > 0. Tenemos: ( t 0 T 1, P Gϕ (t 0 ) < 0) > 0 y m > t 0, Gϕ (m) 0. Podemos definir, por tanto, un nuevo proceso ψ que viene dado por { 0 si j t0 ψ ω (j) = I A (w) ϕ ω (j) si j > t 0, { donde A es el suceso Gϕ (t 0 ) < 0}. Si utilitzamos que ϕ es un proceso previsible y el hecho que A es F t0 medible, tenemos como consecuencia que ψ es también un proceso previsible. Por otro lado { 0 si ( j t0 G ψ (j) = I A Gϕ (j) G ) ϕ (t 0 ) si j > t 0. Entonces, se ve que G ψ (j) 0 para todo j {0,..., T } y que G ψ (T ) > 0 sobre A, hecho que contradice la viabilidad y acaba la demostración del lema.

31 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 30 Volviendo a la demostración, nos falta ver ahora que bajo la probabilidad P equivalente a P el proceso de precios S t es una martingala. Recordemos, también, que de momento sabemos que el mercado M es viable por hipótesis y hemos demostrado que el proceso G ϕ (T ) / Γ. Está claro que el conjunto V = { G ϕ (T ) v.a. ϕ Φ y V ϕ = 0} de las variables aleatorias de la forma G ϕ (T ), con ϕ estrategia de gestión previsible y a valores en R d es un subespacio vectorial del espacio formado por todas las variables aleatorias reales definidas en Ω. Esta propiedad del conjunto V es inmediata por el hecho de que la combinación lineal de dos variables aleatorias X, Y V cumplen que αx + βy V por definición del conjunto V. Además, por el Lema que acabamos de demostrar, se tiene que el subespacio V cumple V Γ =, y obviamente V K =, donde K = {X Γ ω X (ω) = 1} Γ. De esto resulta, por el teorema de separación de conjuntos convexos 3, que existe (λ (ω)) ω Ω tal que: 1. X K, ω λ (ω) X (ω) > ϕ previsible: ω λ (ω) G ϕ (T ) (ω) = 0. De la propiedad 1. deducimos que λ (ω) > 0 para todo ω Ω, de manera que la probabilidad P definida por es equivalente a P. P ({ω}) = λ (ω) ω Ω λ (ω ) Además, por la propiedad 2 tenemos que para todo proceso previsible ˆϕ (t) = (ϕ 1 (t),..., ϕ d (t)) a valores en R d E P ( T ) ˆϕ (τ) S (τ) = 0. τ=1 3 Ver Apéndice.

32 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 31 Deducimos inmediatamente que para todo índice i {1,..., d} y todo proceso previsible ϕ i (t) a valores reales, se tiene que ( T ) E P ϕ i (τ) S i (τ) = 0, τ=1 ( ),..., Sd t son mar- ( y por la Proposición 2.3.3, los precios actualitzados S1 t tingala bajo la probabilidad P. ) 2.4. Completitud de un mercado financiero Definición. Decimos que una opción, con perfil de beneficio, h es replicable si existe una estrategia admisible, ϕ Φ, tal que V ϕ (T ) = h. Nota. En un mercado viable, para que un derivado con perfil de beneficio h sea replicable es suficiente que exista una estrategia autofinanciada tal que V ϕ (T ) = h. En efecto, si ϕ es una estrategia autofinanciada, i.e. ϕ Φ y si P es una probabilidad equivalente a P bajo la cual el proceso de precios ( S t ) es martingala, entonces Ṽϕ(T ) es martingala, como hemos visto previamente y por tanto tenemos que t 1,..., T, Ṽϕ(t) = E P (Ṽϕ(T ) F t ). Entonces, si Ṽϕ(T ) = h, como Ṽϕ(t) 0, para todo t 0, la estrategia ϕ es admisible, i.e. ϕ Φ Definición. Decimos que el mercado M es completo si toda opción es replicable. La idea intuitiva que hay detrás de esta definición es que, un mercado es completo si para cada uno de los derivados que cotizan existe una estrategia autofinanciada tal que su valor en tiempo t = T venga dado por Ṽϕ(T ) = h, donde h es el valor de un derivado, es decir, que el valor final de la estrategia permita hacer frente al pago de este derivado Teorema. Un mercado viable M es completo si y sólo si, existe una única probabilidad P equivalente a P bajo la cual el proceso de precios actualizados S t es una martingala.

33 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 32 Demostración. : Supongamos que el mercado viable M es completo, es decir que para toda variable aleatoria h que sea F T medible y no negativa, podemos escribir h = Ṽϕ(T ), donde ϕ Φ es una estrategia admisible que replica la opción de valor h. Notemos que todo esto deriva de la definición de completitud del mercado M. Como ϕ es una estrategia autofinanciada tenemos que T β T h = Ṽϕ(T ) = V ϕ (0) + ϕ j S j. Entonces, si P 1 y P 2 son dos probabilidades bajo las cuales el proceso de precios actualizados S es martingala, el proceso del valor de la estrategia Ṽ ϕ (t), t 0, 1,..., T también es martingala bajo P 1 y P 2 simultáneamente, por ser la transformada de S por el proceso previsible ϕ. Ahora para i = 1, 2 se tiene que j=1 Por tanto, tenemos que E Pi (Ṽϕ(T )) = E Pi (Ṽϕ(0)) = V ϕ (0). E P1 (β t h) = E P2 (β t h), en particular podemos tomar h = I B, B F T, entonces tenemos que P 1 = P 2. Por tanto queda visto que existe una única probabilidad P equivalente a P, bajo la cual S t es una martingala. : (Por el contrarrecíproco). Supongamos que el mercado viable M no es completo de manera que existe una variable aleatoria no negativa h 0 tal que no es replicable. Entonces, tenemos que ver que no existe una única probabilidad P equivalente a P bajo la cual el proceso de precios ( S t ) es una P martingala. Lo que haremos a continuación es construir una medida P equivalente a P y distinta de P bajo la cual, el proceso de precios actualizados sea una P martingala. Con esto habremos visto que no existe una única medida bajo la cual los precios actualizados son martingala, ya que habremos construido una nueva medida.

34 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 33 Denotemos Ṽ como el espacio de las variables aleatorias de la forma Ṽ = {U 0 + T ϕ t S t }, t=1 donde U 0 es F 0 medible y ϕ es previsible a valores en R d. Sabemos por la proposición que si un proceso, ˆϕ t, es previsible y V 0 es F 0 medible, entonces existe un único proceso previsible (ϕ 0 (t)) 0 t T, tal que ϕ es autofinanciada y V ϕ (0) = V 0. Por tanto, notemos que Ṽ es el espacio de las variables aleatorias que representan el valor final de una estrategia autofinanciada. Notemos que, por definición de la variable aleatoria h, se cumple que h / Ṽ, ya que h no es replicable por hipótesis y también notemos que Ṽ es un subespacio del espacio de las variables aleatorias definidas en (Ω, F). Como Ṽ es un subespacio de (Ω, F) tenemos que existe Ṽ subespacio de (Ω, F), ortogonal a Ṽ. Entonces, si P es una probabilidad equivalente a P bajo la cual los precios actualizados S t son martingala, tenemos que Y Ṽ, existe X (Ω, F) no nula, tal que (X, Y ) E P (XY ) = 0, al dotar (Ω, F, P ) de este producto escalar. Veamos que existe esta variable aleatoria X no nula, ortogonal a Ṽ. Podemos escribir pues, P ({ω}) = (1 + X(ω) 2 X )P ({ω})), donde X = sup ω Ω X(ω). Como E P (X) = E P (1 X) = 0, ya que 1 Ṽ, hemos definido de esta manera una nueva probabilidad P, equivalente a P y diferente de P. Además, por construcción se tiene que para todo Y Ṽ

35 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 34 E P (Y ) = ω Ω = ω Ω = E P Y + Y (ω)p ({ω}) = ω Ω Y (ω)p ({ω}) + ω Ω 1 2 X E P (X Y ) = 0, Y (ω)(1 + X(ω) 2 X )P ({ω})) 1 2 X Y (ω)x(ω)p ({ω}) para cualquier proceso previsible (ϕ t ). Tenemos pues, que S t es una P martingala. Por tanto, una vez hayamos visto que P es una probabilidad, habremos visto que existen dos probabilidades diferentes y equivalentes a P, bajo las cuales el proceso de precios es una martingala. Veamos que P es una probabilidad. P (Ω) = 1. P ({ω}) = (1 + X(ω) )P ({ω}) 2 X ω Ω ω Ω = P ({ω}) + (1 + X(ω) ) X(ω)P ({ω}) 2 X ω Ω ω Ω = 1 + (1 + X(ω) )E P (X) = 1. 2 X La σ aditividad se tiene por construcción de P. Sólo falta ver que P P ({ω}) [0, 1]. está bien definida, es decir, que ω Ω 0 P ({ω}) 1 0 (1 + X(ω) )P ({ω}) 1 2 X 0 (1 + X(ω) 2 X ) 1 0 (1 + X(ω) 2 X ) 1 X(ω) 2 X 2 X X(ω). Esta última desigualdad es evidente por definición de X. Si P ({ω}) 0, entonces (1 + X(ω) 2 X )P ({ω}) 1 (1 + X(ω) 2 X ) P ({ω}). P ({ω}) P ({ω})

36 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE MERCADO DISCRETO 35 De esta manera hemos visto que P es una probabilidad y es diferente de P ya que existe como mínimo algún ω Ω tal que P ({ω}) = P ({ω}). Esto termina la demostración.

37 Capítulo 3 Modelos binomiales de mercado discreto Una vez tratados el principio de no arbitraje y la fórmula de paridad, consideraremos el caso de un mercado con un único activo financiero, es decir, consideraremos d = 1. Empezaremos construyendo un modelo binomial de valoración de opciones de un solo período de tiempo, i.e. el conjunto T de fechas posibles para llevar a cabo operaciones bursátiles está formado por T = {0, T }. Como tampoco conocemos la evolución del precio de la acción (S t ), la definiremos como un proceso de variables aleatorias no negativas sobre el espacio de probabilidad (Ω, F, P ). Con todo esto podremos afrontar el problema de determinar el precio H 0 = {C 0, P 0 } de una opción. Si consideramos el instante actual de la compra de un call como t = 0, resulta evidente que (S t ) t>0 nos es desconocido, pero por lo que hemos visto en el capítulo anterior referente al principio de no arbitraje, podemos estimar H por E P (βh), donde β es el factor de descuento, i.e. estimamos H por la media de su valor descontado bajo una cierta probabilidad P. Por tanto el problema de la valoración de opciones, se reduce a determinar una probabilidad P que llamaremos probabilidad neutral al riesgo, bajo la cual el proceso de precios (S t ) t 0 sea una martingala. Veamos, a continuación, un ejemplo de como determinar la probabilidad bajo la cual el proceso (S t ) t 0 de precios de una cierta acción es una martingala. 36

38 CAPÍTULO 3. MODELOS BINOMIALES DE MERCADO DISCRETO Ejemplo. Supongamos que el precio de un activo financiero es de S 0 =10 e y que a los 3 meses toma uno de los dos posibles valores: S (u) T =20 e, o bien S (d) T =7.5 e. Si el tipo de interés es del 0.01 anual, veamos cuál es el valor de una opción de compra H = (S T K) + con un precio de ejercicio 15 e, bajo la hipótesis de no arbitraje. Tal y como hemos definido el factor de descuento préviamente, tenemos que como 3 meses corresponden a 1/4 de un año r = 0,01 y por tanto β 1 = 4 (1 + r) = 1,0025. Ahora podemos expresar el precio de la acción a los 3 meses como S T = { S (u) T = 20 e = S 0 u = S S (d) T 7.5 e = S 0 d = S 0 7,5 10. Es obvio que la función H proporcionará un beneficio h (u) =5 e si S T = S (u) T =20 e, o bien h (d) = 0 e si S T = S (d) T =7.5 e H = { 5 e, si ST = 20 e 0 e, alternativamente. Ahora, utilizando el principio de no arbitraje, sabemos que existe una probabilidad Q equivalente a P, bajo la cual el proceso de precios S es una martingala, es decir, E Q ((1 + r) 1 S T ) = E Q (S 0 ) = S 0. Si ahora definimos p = Q(S T = S 0 u) y (1 p) = Q(S T = S 0 d) tenemos que podemos hacer el cálculo de E Q (S T ): E Q ((1 + r) 1 S T ) = (1 + r) 1 E Q (S T ) = S 0 (1 + r)s 0 = E Q (S T ) (1 + r)s 0 = (S 0 u)p + (S 0 d)(1 p). Ahora, como conocemos todas las incógnitas de la ecuación, excepto p, si la despejamos obtenemos que p = (1 + r) d u d = 0,202 y (1 p) = u 1 r 1 d = 0,798.

39 CAPÍTULO 3. MODELOS BINOMIALES DE MERCADO DISCRETO38 Una vez determinada la probabilidad Q, que llamaremos probabilidad neutral al riesgo, veamos que el precio a pagar por la opción a tiempo t = 0 viene dado por H 0 = ( E Q β(st K) +) = βe Q ((S T K) + ) = 1 1,0025 (h(u) p + h d (1 p)) = 1 (5p + 0(1 p)) 1,0025 = e 1 e Modelo Binomial de un solo periodo Supongamos que el precio de una acción toma el valor S 0, conocido en tiempo t = 0 y otro valor aleatorio S T en tiempo t = T, ya que estos son los dos únicos periodos de inversión que tiene el modelo. Sabiendo que el precio de la acción S T y el pago de una opción H = C T o bien H = P T son dos variables aleatorias, hay que encontrar una estrategia de inversión que permita hacer frente al pago H en tiempo t = T, esto es que V T = H. Para conseguirlo, construiremos una cartera en tiempo t = 0, que consiste en un número θ de acciones y η unidades de capital, de manera que el valor inicial de la cartera V 0 se puede escribir como V 0 = η + θs 0. Veamos que se tiene que cumplir la condición V T = η + θs T = H en tiempo t = T. Equivalentemente, en términos del valor descontado veamos que V T = H. Si V T = η + θs T debe ser H, entonces tenemos, trivialmente, que η = H θs T, y por tanto podemos expresar V T como V T = η + θs T = (H θs T ) + θs T = H, Ahora, solo falta determinar la estrategia de inversión (θ, η), i.e. determinar estas dos constantes, de manera que no haya la necesidad de recorrer a ningún fondo monetario extra para hacer frente al pago de H, en tiempo t = T.

40 CAPÍTULO 3. MODELOS BINOMIALES DE MERCADO DISCRETO39 Recordemos que el valor de nuestra cartera inicialmente, en tiempo t = 0, tiene la forma V 0 = η + θs 0, y cuando dejamos pasar el tiempo t = 0 t = T, se convierte en H = ηβ 1 + θs T = V 0 + θ S. Observemos que para hacer una cobertura de la cartera, de manera que su valor V T en tiempo t = T sea H solo tenemos que determinar θ en función del precio del activo en el mercado. Un modelo muy sencillo, se obtiene de tomar S como una partición binomial del espacio muestral, i.e. tomando S T como una variable aleatoria en el espacio de probabilidades Ω, de manera que S T venga determinada por S T = { (1 + b) S0, con probabilidad p (1 + a) S 0, con probabilidad (1 p). con a, b R tales que a < r < b (para evitar oportunidades de arbitraje) y 0 < p < 1, tales que P (S T = (1 + b) S 0 ) = p y P (S T = (1 + a) S 0 ) = 1 p. Ahora para culquier valor de H podemos encontrar θ y V 0, tales que de la siguiente manera. ( S) P H = V0 + θ = 1, Escribiremos H = h b cuando S T = (1 + b) S 0 = S b y análogamente H = h a cuando S T = (1 + a) S 0. Ahora tenemos que escoger θ y V 0, para satisfacer { βh b = V 0 + θ (β (1 + b) S 0 S 0 ) βh a = V 0 + θ (β (1 + a) S 0 S 0 ) (3.1)

41 CAPÍTULO 3. MODELOS BINOMIALES DE MERCADO DISCRETO40 Ahora restando, β ( h b h a) = θ (β (1 + b) S 0 S 0 β (1 + a) S 0 + S 0 ) β ( h b h a) = θ (β (b a) S 0 ) θ = hb h a (b a) S 0 = hb h a S b S a = δv δs, donde esta última expresión denota el cambio relativo en V respecto el cambio en el precio de la acción. Este parámetro también se llama parámetro delta. Podemos determinar la inversión inicial V 0 necesaria para llevar a cabo la estrategia de cobertura mediante (3.1) de la siguiente manera. Por (3.1) tenemos que V 0 = βh a θ (β (1 + a) S 0 S 0 ) y sustituyendo θ por la expresión que hemos encontrado tenemos ( ) ) h V 0 = βh a b h a (βs a S S b S a 0 ) = β (h b β 1 S 0 S a + h a Sb β 1 S a.(3.2) S b S a S b S a En particular, cuando β = (1 + r) 1 obtenemos V 0 = 1 (h b (1 + r) S ) 0 S a + h a Sb (1 + r) S r S b S a S b S a Podemos introducir ahora el concepto de volatilidad σ que desarrollaremos más en profundidad en el capítulo del Modelo de Black-Scholes, ya que jugará un papel muy importante a la hora de desarrollar el modelo. La volatilidad mide la variabilidad del precio de la acción S y se puede calcular mediante el cociente de S T /S 0 = 1+ξ, donde la variable aleatoria de Bernoulli ξ toma valores entre b y a, con probabilidades p y (1 p), respectivamente. Por tanto σ se puede calcular como σ 2 = (b a) 2 p (1 p), ya que la volatilidad σ es la variancia de la variable aleatoria ξ (a, b) y que tiene una distribución de Bernoulli de parámetro p. Por tanto σ = V ar[ξ] donde ξ Ber(p).

42 CAPÍTULO 3. MODELOS BINOMIALES DE MERCADO DISCRETO Ejemplo. Consideraremos el caso en que H = C T = (S T K) + es una opción de compra europea con un precio strike K. Además, supondremos que (1 + a) S 0 < K < (1 + b) S 0 y que la tasa de interés libre de riesgo r (a, b) es constante, de manera que β = (1 + r) 1. Entonces tenemos que de modo que h b = (1 + b) S 0 K y h a = 0, θ = hb h a S 0 (b a) = (1 + b) S 0 K. S 0 (b a) Con todo esto, tenemos que el precio neutral al riesgo de la opción es V 0 = 1 ( ) r a (S 0 (1 + b) K). 1 + r b a Por (3.2), sabemos que V 0 = β ya que h a = 0. Ahora ( ) ( h b β 1 S 0 S a + h a Sb β 1 S a = β h b β 1 S 0 S ), a S b S a S b S a S b S a ) β (h b β 1 S 0 S a S b S a = = = ( ) 1 (1 + r) S0 (1 + a) S 0 h b 1 + r (1 + b) S 0 (1 + a) S ( ) 0 1 r a h b 1 + r b a ( ) 1 r a (S 0 (1 + b) K). 1 + r b a Notemos que la diferenciación respecto b y a, respectivamente muestra en este caso que el precio de la opción aumenta con b y disminuye con a. Veamos un ejemplo práctico sobre un caso real. Supongamos que la tasa de interés libre de resgo es r = 0, S 0 = 1 = K, donde K es el precio strike, de manera que V 0 = ab (b a). Para b = a = 0,05, tenemos que V 0 = 0,025, i.e. { 1,05S0 S T = V 0,95S 0 = 0,025, 0 y la volatilidad del precio de la acción es σ 2 = 0,1p (1 p).

43 CAPÍTULO 3. MODELOS BINOMIALES DE MERCADO DISCRETO Modelo Binomial de varios periodos Ahora consideremos un modelo binomial de valoración de opciones pero con fechas de operación 0, 1, 2,..., T, i.e. T N; T > 1. Con esto queremos decir que el precio de la acción toma valores S 0, S 1, S 2,..., S T y t T. Entonces tenemos que { (1 + b) St 1, con probabilidad p S t = (1 + a) S t 1, con probabilidad (1 p), donde, de la misma manera que antes, r > 0 es la tasa de interés libre de riesgo (de manera que β = (1 + r) 1 ) y a < r < b. De nuevo, supondremos que H T es el pago que se debe efectuar en tiempo t = T. Consideremos el valor de H T 1 en tiempo t = T 1, es decir, un periodo antes de que llegue la fecha de vencimiento t = T. Podemos considerarlo como el valor inicial del pago en el modelo binomial de un solo periodo que acabamos de construir en el apartado anterior, de manera que existe una única estrategia de inversión (θ, η) que permitirá hacer frente al pago H T en el conjunto de fechas {T 1, T } y una medida neutral de riesgo Q. Por tanto podemos calcular el valor de βh como su esperanza bajo la probabilidad Q, i.e. H T 1 = E Q (βh T ). Para ser más concretos, supongamos que H T = (S T K) + es un call con un precio strike K y fecha de vencimiento t = T. De la misma manera que lo hemos hecho con el modelo binomial de un solo periodo y para simplificar la notación, definimos h b = H T, si S T = (1 + b) S T 1 y h a = H T, de manera análoga, si S T = (1 + a) S T 1. Entonces el valor de H T 1 viene dado por ( ) HT H T 1 = E Q (βh T ) = E Q, 1 + r donde Q es la medida que viene dada por (q, 1 q), por tanto con H T 1 = 1 ( qh b + (1 q) h a), 1 + r q = (1 + r) S T 1 (1 + a) S T 1 (1 + b) S T 1 (1 + a) S T 1 = r a b a. De nuevo, esto nos muestra porque hemos llamado Q medida neutral al riesgo, ya que un inversor neutral al riesgo, es aquel que es indiferente a una inversión con un cierto grado de beneficio, de otra cuya incertidumbre del grado de

44 CAPÍTULO 3. MODELOS BINOMIALES DE MERCADO DISCRETO43 beneficio tiene el mismo valor estimado, es decir, bajo Q, la esperanza de S T, suponiendo que S T 1 = S, viene dada por la siguiente expresión E Q (S T S T 1 = S) = q (1 + b) S + (1 q) (1 + a) S = (1 + r) S. Para conocer la V 0 que nos permitirá hacer frente al pago de H en la fecha de vencimiento t = T, solo hay que iterar este proceso, cambiando el conjunto de fechas de manera sucesiva por: {T 1, T }, {T 2, T 1},..., {1, 0}. Haremos como caso particular el modelo de dos periodos. { (1 + b) 2 S (1 + b) S T 1 = T 2 S T = { (1 + a) (1 + b) S T 2 (1 + b) (1 + a) ST (1 + a) S T 1 = 2 (1 + a) 2 S T 2 Notemos que (1 + a) (1 + b) S T 2 = (1 + b) (1 + a) S T 2, por tanto solo hay tres valores posibles por tomar. Ahora aplicaremos este análisis al valor V T 2 del call H en tiempo t = T 2. La acción, cuyo valor es S T 2 la escribiremos como S para facilitar la notación y puede tomar los tres únicos valores que acabamos de ver: (1 + b) 2 S, (1 + b) (1 + a) S, (1 + a) 2 S en tiempo t = T. Por tanto, el call H debe tener uno de estos tres valores en la fecha de vencimiento. Podemos escribir estos valores como h bb, h ab, h aa respectivamente, para simplificar la notación. Ahora de la expresión (3.2) de V 0 y utilizando la definición de q q = β 1 S 0 S a S b S a, 1 q = Sb β 1 S 0 S b S a, podemos extraer los posibles valores de V T 1, ya que respectivamente. V b = β ( qh bb + (1 q) h ab) V a = β ( qh ab + (1 q) h aa) Para cada uno de estos casos habremos encontrado el valor de la opción en tiempo t = T 1 y por tanto podremos escoger una estrategia de inversión (θ, η) adequada como antes. El valor de los parámetros θ y η se determinan en cada paso de la misma manera que lo hemos hecho en el modelo binomial de un solo periodo con tal de no tener que ingresar dinero en la cuenta y hacer frente al pago de H en la fecha t = T de vencimiento del call.

45 CAPÍTULO 3. MODELOS BINOMIALES DE MERCADO DISCRETO44 Obtenemos pues, que V T 2 = β ( qv b + (1 q) V a) = β { qβ ( qh bb + (1 q) h ab) + (1 q) β ( qh ab + (1 q) h aa)} = β 2 { q [ (1 + b) 2 S K ] + + 2q (1 q) [(1 + a) (1 + b) S K] + + (1 q) 2 [ (1 + a) 2 S K ] + }. Por tanto, el valor actual del pago está únicamente determinado por cantidades conocidas por el inversor en tiempo t = T 2.

46 Capítulo 4 El modelo discreto de Cox-Ross-Rubinstein Observando el desarrollo de la expresión de V T 2 en el modelo binomial de varios periodos del capítulo anterior, podemos continuar la recursión hacia atrás para calcular el proceso de valores V = (V t ), para todo t T. Tomando β = (1 + r) 1 como factor de descuento, la inversión inicial necesaria para hacer frente al pago de una opción de compra europea con perfil de beneficio C T, es decir, el valor V 0 viene dado por la siguiente expresión T V 0 = β T T! [ t! (T t)! qt (1 q) T t (1 + b) t (1 + a) T t S 0 K t=0 [ ] T T! = S 0 t! (T t)! qt (1 q) T t (1 + b) t (1 + a) T t (1 + r) T t=a K T T! (1 + r) T t! (T t)! qt (1 q) T t, t=a { } donde A = ínf k Z S 0 (1 + b) k (1 + a) T k > K. Observemos que utilitzando q = (r a) y (b a) q = q (1+b), obtenemos que (1+r) q (0, 1) y (1 q ) = (1 q)(1+a). De esta manera podemos escribir el precio neutral al (1+r) riesgo de un call, como V 0 = S 0 Ψ (A; T, q ) K (1 + r) T Ψ (A; T, q). (4.1) donde Ψ es la función de distribución binomial complementaria, es decir, 45 ] +

47 CAPÍTULO 4. EL MODELO DISCRETO DE COX-ROSS-RUBINSTEIN46 viene definida como Ψ (m; n, p) = n j=m n! j! (n j)! pj (1 p) n j. La fórmula (4.1) es lo que se conoce como fórmula de Cox-Ross-Rubinstein de valoración binomial de un call europeo. Pero veremos a continuación una variante de esta fórmula que se obtiene de calcular directamente la esperanza de H bajo la medida Q neutral al riesgo utilizando la propiedad de martingala del proceso de precios descontados ( St ), bajo esta medida. Antes pero, veremos como hacer la cobertura de un call haciendo su valoración con este modelo. Es decir, hemos de determinar una estrategia de inversión (η t, θ t ). Está claro que el valor V t de la opción en tiempo t T viene dado por la fórmula V t = S t Ψ (A t ; T t, q ) K (1 + r) (T t) Ψ (A t ; T t, q), donde, de nuevo, A t = ínf { k Z S t (1 + b) t (1 + a) T t > K }. Ahora la estrategia de inversión (θ t, η t ) en el intervalo de tiempo [t 1, t) con tal de hacer frente a V t es V t = θ t S t + η t (1 + r). Por tanto V t viene determinado por S t 1 y el movimiento del precio en el intervalo [t 1, t), de manera que toma dos posibles valores, dependiendo de si S t = (1 + b) S t 1 o bien S t = (1 + a) S t 1. Escribiendo Vt b y Vt a respectivamente, hemos de resolver el siguiente sistema de ecuaciones: { θt (1 + b) S t + η t (1 + r) = Vt b θ t (1 + a) S t + η t (1 + r) = Vt a De nuevo obtenemos que θ t = V b t Vt a, η t = (b a) S t 1 (1 + b) V a t (1 + a) V b t (1 + r) (b a). Ahora podemos escribir, de manera análoga igual que lo hicimos en la cobertura del modelo binomial de un solo periodo, las expresiones binomiales de

48 CAPÍTULO 4. EL MODELO DISCRETO DE COX-ROSS-RUBINSTEIN47 V a t y y V b t y acabar determinando (θ t, η t ). θ t = Vt b Vt a (b a) S t 1 = (1 + b) S t 1Ψ (A t ; T t, q ) K (1 + r) (T t) Ψ (A t ; T t, q) (b a) S t 1 (1 + a) S t 1Ψ (A t ; T t, q ) K (1 + r) (T t) Ψ (A t ; T t, q) (b a) S t 1 = ((1 + b) (1 + a)) S t 1Ψ (A t ; T t, q ) (b a) S t 1 = Ψ (A t ; T t, q ) = T t s=a t (T t)! s! (T t s)! (q ) s (1 q) T t s. η t = = (1 + b) V a t (1 + a) V b t (b a) (1 + r) [ ] (1 + b) (1 + a) S t 1 Ψ (A t ; T t, q ) K (1 + r) (T t) Ψ (A t ; T t, q) (b a) (1 + r) [ ] (1 + a) (1 + b) S t 1 Ψ (A t ; T t, q ) K (1 + r) (T t) Ψ (A t ; T t, q) (b a) (1 + r) ( ) (1 + b) K (1 + r) (T t) Ψ (A t ; T t, q) = (b a) (1 + r) (1 + a) ( K(1 + r) (T t) Ψ(A t ; T t, q) ) (b a)(1 + r) = K (1 + r) (T t) Ψ (A t ; T t, q). (1 + r) Finalmente tenemos que las expresiones de θ t y η t son θ t = T t s=a t T t η t = K (1 + r) (T t) (T t)! s! (T t s)! (q ) s (1 q) T t s, s=a t (T t)! s! (T t s)! (q ) s (1 q) T t s.

49 CAPÍTULO 4. EL MODELO DISCRETO DE COX-ROSS-RUBINSTEIN48 Veamos ahora, el modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein desde otro punto de vista que nos proporcionará un ejemplo de la importancia de la teoría de martingalas que hemos desarrollado previamente. Recordemos que el modelo ha sido desarrollado sobre un activo, es decir, que hemos tomado con tal de simplificar los cálculos d = 1 y por tanto solamente consideraremos un único activo S 1 = S, a parte del activo libre de riesgo, es decir, la cuenta bancaria. Recordemos que tomamos una tasa de interés libre de riesgo r > 0, de manera que S 0 (t) = (1 + r) t, para todo t T y por tanto β (t) = (1 + r) t. Hemos visto también que, las sucesivas variables aleatorias que determinan el precio del activo S (t) t T siguen una distribución de Bernoulli, es decir, para todo t T, S t = (1 + b) S t 1 o bien S t = (1 + a) S t 1, donde b > a > 1 están fijadas, mientras que S 0 (0) es constante. Por tanto podemos escoger el espacio muestral convenientemente de la siguiente manera Ω = {1 + a, 1 + b} T ; T = {1, 2,..., T }, juntamente con la filtración de σ álgebras escogida al inicio del capítulo (F t ) donde, recordemos, F 0 = {, Ω} y F t = {S (u) ; u t} para todo t T. Notemos que F T = F = 2 Ω es la σ álgebra de todos los subconjuntos de Ω, i.e. P (Ω). La probabilidad P en Ω es la inducida por los cambios de los precios S t. Definimos R t = St S t 1, de manera que ahora para todo {ω = (ω 1,..., ω T )} Ω, definimos P ({ω}) = P (R t = ω t ; t = 1, 2,..., T ). Para cualquier medida Q en (Ω, F), el hecho de que el proceso de precios descontados sea una Q martingala, es decir, E Q ( St F t 1 ) = S t 1 es equivalente a que E Q (R t F t 1 ) = (1 + r), ya que β t /β t 1 = 1 + r. Por tanto si Q es una medida de probabilidad equivalente bajo la cual el proceso de precios S t es una martingala, tenemos que E Q (R t ) = (1 + r). Por otro lado, R t solo toma los valores 1 + a y 1 + b, por tanto su valor promedio puede ser 1 + r solo si a < r < b. Hemos probado previamente, en el Capítulo 2. Modelo de mercado discreto que: 1. Para tener una medida de probabilidad equivalente, en el modelo binomial, bajo la cual el proceso de precios S t sea una martingala se debe cumplir que a < r < b.

50 CAPÍTULO 4. EL MODELO DISCRETO DE COX-ROSS-RUBINSTEIN49 2. Cuando el modelo binomial es viable, hay una única medida equivalente Q bajo la cual, S es una Q martingala. Podemos construir esta medida viendo el lema siguiente: Lema. S es una Q martingala si y solo si, las variables aleatorias (R t ) son i.i.d. (independientes identicamente distribuidas) con Q (R 1 = 1 + b) = q y Q (R 1 = 1 + a) = 1 q, donde q = (r a) / (b a). Demostración. : Para verlo, notemos que, bajo la independencia de las variables aleatorias (R t ), se satisfacerá la igualdad E Q (R t F t 1 ) = E Q (R t ) = q (1 + b)+(1 q) (1 + a) = q (b a)+1+a = 1+r. Por tanto por lo que hemos visto antes, S es una Q martingala. : Si E Q (R t F t 1 ) = 1+r, entonces, como R t toma solo los valores 1+a, 1 + b tenemos que (1 + a) Q ({R t = 1 + a} F t 1 ) + (1 + b) Q ({R t = 1 + b} F t 1 ) = 1 + r, mientras que Q ({R t = 1 + a} F t 1 ) + Q ({R t = 1 + b} F t 1 ) = 1. Si q = Q ({R t = 1 + b} F t 1 ), entonces obtenemos que (1 + a) (1 q) + (1 + b) q = 1 + r, Por tanto q = (r a) / (b a). La independencia de las variables aleatorias R t se demuestra por inducción sobre t > 0, ya que ω Ω; ω = (ω 1,..., ω T ) Q (R 1 = ω 1, R 2 = ω 2,..., R T = ω T ) = t q i, i=1 donde q i = q cuando ω i = 1 + b y es igual a 1 q cuando ω i = 1 + a. Por tanto las variables aleatorias (R t ) son i.i.d. La fórmula de valoración de Cox-Ross-Rubinstein: La fórmula que hemos obtenido al inicio del capítulo mediante el argumento de ir calculando la estrategia de inversión en cada paso, se puede deducir, también, mediante la formulación de martingalas calculando la esperanza bajo la medida Q de una opción de compra europea.

51 CAPÍTULO 4. EL MODELO DISCRETO DE COX-ROSS-RUBINSTEIN50 Más generalmente, el valor del call C T = (S T K) + en tiempo t T viene dado por V t (θ) = βt 1 E Q (β T H F t ), es decir, V T = β 1 t E Q (β T C T F t ). Como S T = S T t u=t+1 R u, por la definición de R u, podemos calcular su esperanza de manera sencilla, ya que S t es F t medible y cada R u con (u > t) es independiente de F t : ( ) + F t V T = β 1 t β T E Q S t ( = (1 + r) t T E Q T u=t+1 S t R u K T u=t+1 R u K ) + F t = v (t, V t ), donde ( v (t, x) = (1 + r) t T E Q x T u=t+1 R u K ) + T = (1 + r) (T t) T! u! (T t u)! qu (1 q) T t u u=0 ( + x (1 + b) u (1 + a) T t u K). En particular, el precio en tiempo t = 0 del call viene dado por T [ = (1 + r) T u=a T! u! (T u)! qu (1 q) T u ( ) E Q CT = v (0, S 0 ) ( ) ] S 0 (1 + b) u (1 + a) T u K donde A es el primer natural k N para el cual S 0 (1 + b) k (1 + a) T +k > K. Por tanto hemos escrito la fórmula de Cox-Ross-Rubinstein en términos de la esperanza del valor del call respecto a la medida Q, bajo la cual el proceso de precios S t es una martingala. Esta medida Q es la que recibe el nombre de medida neutral al riesgo.

52 CAPÍTULO 4. EL MODELO DISCRETO DE COX-ROSS-RUBINSTEIN51 Este modelo conocido bajo el nombre de modelo de Cox-Ross-Rubinstein fue desarrollado por tres economistas, John Carrington Cox, Stephen A. Ross y Mark Rubinstein y presentado en 1979 en forma de artículo bajo el título Option pricing: A simplified approach[10] y publicado en el Journal of financial economics.

53 Capítulo 5 El modelo continuo de Black-Scholes Lo que queremos hacer a continuación es, no solo quedarnos con un número finito de valores de S t en el intervalo de n periodos [0, T ], con n finito y desarrollar toda la teoría a partir de esto, sino llevar el modelo binomial que hemos planteado al límite, es decir, si teníamos n periodos de longitud T/n en los que se dividía el intervalo [0, T ] que representaba la vida de la opción, queremos que n tienda a infinito y dejar T fijada. Por tanto lo que haremos es ver que el modelo de Black-Scholes es el resultado de llevar el modelo de Cox-Ross-Rubinstein al límite. Consideremos el proceso de precios S = (S t ), t [0, T ], un put y un call con perfil de beneficio P T = (K S T ) + y C T = (S T K) +, respectivamente. Tomemos una partición del intervalo [0, T ], de longitud T, de manera que N t (N) i = i T, i {0,..., N} y reescribimos el proceso de valores del activo N como S i = S ti. Tomamos r N = r T como tasa de interés libre de riesgo de manera que el N precio de 1 e a dia de hoy sea (1 + r N ) e, al cabo de un periodo de longitud T. N De la misma manera que hemos hecho en el modelo binomial, consideremos que el precio del activo puede variar a lo largo de un periodo de la siguiente manera, es decir, dando lugar a dos posibles escenarios: 52

54 CAPÍTULO 5. EL MODELO CONTINUO DE BLACK-SCHOLES 53 S 0 = { S 0 u, tal que u = (1 + r N )e σ N S 0 d, tal que d = (1 + r N )e σ N Igual que con los modelos vistos en los capítulos anteriores, observamos que d < (1 + r N ) < u. Por otro lado, resulta evidente que podemos escribir S n = S 0 donde T i {u, d}. También sabemos que n i=1 T N i, P (T N i = u) = p N = 1 + r N d u d P (T N i = d) = 1 p N = u 1 r u d = 1 e σ N e σ N e σ N = e σ N 1 e σ N σ. e N Definimos haciendo un cambio de escala, las variables aleatorias Xi N := log( T i N 1+r N ), de manera que Xi N Ber(p), sobre { σ σ N, N }. Podemos, pues, reescribir S n como N S N = S 0 (1 + r N )e XN i i=1 log(s N ) = log(s 0 ) + N log(1 + r N )Xi N i=1 log(s N ) = log(s 0 ) + log(1 + r N ) N + N Xi N. Veamos qué pasa cuando hacemos tender N, mientras dejamos T fijada, es decir, estudiamos como se comporta la expresión que hemos obtenido de S n cuando n tiende a infinito. i=1

55 CAPÍTULO 5. EL MODELO CONTINUO DE BLACK-SCHOLES 54 Estudiamos por separado cada parte del sumando de la expresión cuando N log(1+r N ) N rt cuando n, ya que (1+r N ) N = (1+r T N ) ert cuando n. Ahora, observemos que donde p N = µ = lim N + E( N Xi N ) = lim N + σ N(2p N 1) i=1 v = lim N + V ar( σ 1 e N σ σ e N e N Xi N ) = lim N + 4σ 2 p N (1 p N ), i=1 N. En efecto, utilizando los desarrollos de Taylor de la exponencial cuando x 0 tenemos que p N = 1 + r N d u d = = 1 e σ N e σ N e σ N σ N 1( σ 2 N ) ( σ 3! N ) σ N + 2 ( σ 3! N ) ( σ 5! N ) ; N +. Conocida la probabilidad cuando N + es inmediato que podemos conocer µ y v, que son los parámetros esperanza y variancia de la ley que regula el proceso de precios S T µ = lim N + σ N(2p N 1) σ2 2 ; N + v = lim N + 4σ 2 p N (1 p N ) σ 2 ; N + Demostración. lim N + N E(X N ) = lim N + Nσ(2pN 1) lim N + N V ar(x N ) = lim N + σ 2 4p N (1 p N ),

56 CAPÍTULO 5. EL MODELO CONTINUO DE BLACK-SCHOLES 55 si p N 1, se tiene 2 N E(X N ) 0 σ 2 4p N (1 p N ) σ 2, cuando N +. Por tanto v = σ 2. Ahora demostramos el valor del límite de la esperanza µ. Por tanto, 2p N 1 = 2 N 2e σ/ e σ/ N + e σ/ N e σ/ N e σ/ N = 2σ N σ2 + 2o( 1 N N ) 2σ 1 N N o( N ) N 2 σ 1 N + o( N ) N = σ2 + o( 1 N 2 σ 1 N + o( N ) = N N N ) Nσ(2p N 1) = σ2 N + o( 1 ) N 2σ + o( 1 ) N σ2 N + o( 1 N ) 2σ + o( 1 N ) σ2 2 = µ. N i=1 X N i N( σ2 2, σ2 ), converge en ley cuando N +. Demostración. Sea Y N la variable aleatoria definida por Y N := N i=1 XN i, sabemos que para todo N las variables aleatorias Xi N son independientes e idénticamente distribuidas a valores en: { σ σ, }, N N Entonces sea φ YN (u)la función característica 1 de la variable aleatoria Y N, de manera que tenemos 1 Se puede encontrar una proposición sobre la función característica de una variable aleatoria en los Apéndices.

57 CAPÍTULO 5. EL MODELO CONTINUO DE BLACK-SCHOLES 56 φ YN (u) = E(e iuy N ) = = (E(e iuxn 1 )) N N E(e iuxn j ) j=1 = (1 + iuµ N σ2 u 2 Ahora, haciendo el paso al límite, tenemos que 2N + o(1/n))n. lim N + φ YN (u) = lim N + (1 + iuµ N σ2 u 2 = e iuµ u2 σ 2 2 = ϕ(u), 2N + o(1/n))n donde ϕ(u) es la función característica de una variable aleatoria con distribución N(µ, σ 2 ). Deshaciendo el cambio de variable, tenemos que S T = log(s N ) N(log(S 0 ) + rt, σ 2 ). Con la ley que regula el proceso de precios (S t ) t 0 conocida, ahora podemos afrontar el problema de la valoración de cualquier derivado. Notemos que si definimos C T = (S T K) + o análogamente P T = (K S T ) +, y f = C T, S T, f converge en ley E(f(log(S N ))) E[(f(Z))]; N +, donde Z N(µ, v), f C b, es decir, el conjunto de funciones continuas y acotadas. Observemos que C T / C b, ya que un call no es una función acotada, en cambio P T (X) = (K X) + cumple que K (K X) + 0 y por tanto tenemos que P T (X) C b. Por tanto, haremos la valoración de un put y la valoración de un call se obtendrá usando la fórmula de paridad call/put. Por tanto calculamos el valor del put: P (N) 0 = (1 + rt N ) N E Q (K S 0 N Tj N ) + j=1 = E Q ((1 + rt N ) N K S 0 e N j=1 XN j ) +.

58 CAPÍTULO 5. EL MODELO CONTINUO DE BLACK-SCHOLES 57 Definimos ϕ(y) := (Ke rt S 0 e y ) + [0, Ke rt ], de manera que P (N) 0 = E Q (ϕ( N j=1 X N j )) P (N) 0 E Q (ϕ( N Xj N )) 0, cuando N +. Ahora, como (α S 0 e y ) + (β S 0 e y ) + α β, para todo α, β, S 0 e y, tenemos que P 0 E Q (ϕ( N j=1 XN j )) K (1 + rt N ) N e rt 0, cuando N +. Por tanto, E[ϕ( j=1 N Xj N )] E[ϕ(Z)]; Z N(µ, v). j=1 Con esto podemos dar una primera versión de la fórmula de valoración de Black-Scholes: R 2 2 )2 1 ϕ(y) e (y+ σ 2σ 2 dy = 2πσ 2 = R (Ke rt S 0 e y ) + 1 e (y+ σ 2σ 2 2πσ )2 dy Ke rt S 0 e y 1 e (y+ σ 2σ 2 Ke rt S 0 e y 2πσ )2 dy. Lo que sigue ahora es solamente un intento de arreglar la expresión obtenida con tal de simplificarla y expresarla en términos de la función de distribución de la ley normal, que regula el proceso de precios (S t ). Por tanto, hacemos el cambio de variables u = y + σ, de manera que y = σ(u σ ) y dy = σdu. σ 2 2 = = = Ke rt S 0 e σ(u σ 2 ) 1 e (σ(u σ 2 )+ σ 2σ 2 Ke rt S 0 e σ(u σ 2 ) 2πσ 2 Ke rt S 0 e σ(u σ 2 ) 1 e u2 2 du Ke rt S 0 e σ(u σ 2 ) 2π Ke rt 1 e u2 2 du Ke rt S 0 e σ(u σ 2 ) 2π S 0 e σ(u σ 2 ) 1 e u2 2 du. Ke rt S 0 e σ(u σ 2 ) 2π 2 2 )2 σdu

59 CAPÍTULO 5. EL MODELO CONTINUO DE BLACK-SCHOLES 58 Ahora nos ocupamos de arreglar el primer sumando usando el cambio u = z N(0, 1): Ke rt 1 e u2 2 du Ke rt S 0 e σ(u σ 2 ) 2π = Ke rt P(Ke rt S 0 e σz e σ 2 ) = Ke rt P(S 0 e σz Ke rt e σ 2 ) = Ke rt P(e σz Ke rt e σ 2 S 0 = Ke rt P(z 1 σ log( K S 0 ) rt σ + σ2 2 ). Si definimos α := 1 σ log( K S 0 ) rt σ, entonces ) = Ke rt P(σz log( K S 0 ) rt + σ2 2 ) = Ke rt P(z α + σ2 2 ) = Ke rt Φ(α + σ2 2 ). Una vez arreglado el primer sumando y expresado en términos de la función de distribución de la ley N(0, 1), hacemos lo mismo con el segundo sumando. = S 0 e σ(u Ke rt S 0 e σ(u σ 2 ) 1 S 0 Ke rt S 0 e σ(u σ 2 ) σ 2 ) 1 2πσ 2 σ u2 2πσ 2 eσ(u ) 2 e u2 2 du 2 du. Notemos que σ(u σ) u2 = y u2 + σ 2 2σu = y 2 (u σ) 2 = y 2 u σ = y u = y + σ. Ahora si hacemos el cambio u = y + σ, tenemos que 1 = S 0 y2 Ke rt S 0 e σ((y+σ) σ 2 ) 2πσ 2 e 2 dy = Ke rt σy+ σ2 S 0 e 2 S 0 1 2πσ 2 e y2 2 dy

60 CAPÍTULO 5. EL MODELO CONTINUO DE BLACK-SCHOLES 59 De la misma manera que con el anterior sumando definimos z = y N(0, 1). Entonces = S 0 P(Ke rt σ2 σz+ S 0 e 2 ) = S0 P(S 0 e σz Ke rt e σ2 2 ) = S 0 P(e σz Ke rt e σ 2 2 ) = S 0 P(σz log( K ) rt σ2 S 0 S 0 2 ) = S 0 P(z 1 σ log( K S 0 ) rt σ2 2 ) Recordemos ahora que hemos definido previamente α := 1 σ log( K S 0 ) rt, por tanto es inmediato que la igualdad siguiente es = S 0 P(z α σ2 2 ) = S 0Φ(α σ2 2 ). Finalmente si juntamos la expresión manipulada de los dos sumandos tenemos que la fórmula de la valoración de un put por el modelo de Black-Scholes se puede expresar de manera reducida como P 0 = Ke rt Φ(α + σ2 2 ) S 0Φ(α σ2 2 ). Ahora veamos la expresión de un call, usando la fórmula de paridad call/put. Sabemos que S 0 + P 0 C 0 = Ke rt, por tanto, tal y como acabamos de ver P 0 = Ke rt Φ(α + σ2 ) S 2 0Φ(α σ2 ). 2 De esta manera si sustituimos en la ecuación de paridad, tenemos que C 0 = S 0 + P 0 Ke rt = S 0 + Ke rt Φ(α + σ2 2 ) S 0Φ(α σ2 2 ) Ke rt = S 0 (1 Φ(α σ2 2 )) Ke rt (1 Φ(α + σ2 2 )) = S 0 (Φ(x > α σ2 2 )) Ke rt (Φ(x > α + σ2 2 )).

61 CAPÍTULO 5. EL MODELO CONTINUO DE BLACK-SCHOLES 60 Finalmente, por la simetria de la función de la distribución normal, tenemos que Φ(x > α σ2 σ2 σ2 σ2 ) = Φ(x α + ) y Φ(x > α + ) = Φ(x α ) Por tanto tenemos que podemos escribir el call de manera análoga como C 0 = S 0 Φ( α + σ2 2 ) Ke rt Φ( α σ2 2 ).

62 Apéndice A A.1. Otras definiciones y conceptos A.1.1 Definición. Sea S R n un subespacio, se dice que S es convexo si para toda pareja de puntos x, y S y para todo t [0, 1], todo punto del camino σ(t) = (1 t)x + ty S. A.1.2 Definición. Sea C R n un subespacio, C recibe el nombre de cono convexo si para toda pareja de escalares α, β 0 y todo x, y C se cumple que αx + βy C. A.2. Teorema de separación de conjuntos convexos en R n Nota: Este teorema también se conoce con el nombre de Teorema del hiperplano separador. A.2.1 Teorema. Sea L R n un subespacio, sea K R n un conjunto convexo y compacto tal que K L =. Entonces podemos separar L y K por un hiperplano que contiene L, es decir, existe un funcional lineal φ : R n R, acotado y definido por φ(x) = { 0 si x L a > 0 si x K. 61

63 APÉNDICE A. 62 Interpretación geométrica en R 2 : Supongamos sin pérdida de generalidad que L es un punto de R 2. Si K es convexo existe un hiperplano H que contiene a L y no intersecta K. Si K no es convexo cualquier hiperplano H que contenga a L, intersecta K.

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