Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción

Transcripción

1 Actividad 9. Razones y Proporciones. Introducción En ocasiones requerimos realizar operaciones empleando proporciones. Imagina que necesitas preparar el desayuno en tu casa, donde se quedaron a dormir varios amigos, y se les antojó desayunar hot cakes, y necesitas preparar 12 hot cakes. Tú tienes la receta sólo para hacer 8, por lo que debes hacer uso de tus conocimientos matemáticos. La receta para 8 hot cakes es la siguiente: 2 tazas de harina, 2 huevos, una taza y media de leche y 2 cucharadas de mantequilla. Cuáles deben ser las cantidades para preparar 12? 1

2 Introducción El concepto de proporcionalidad es uno de los más aplicados hoy en día por toda la población, ya que nos genera una buena medida intuitiva y de aplicación común. Se aplica para medir la relación entre magnitudes. Por lo que podemos calcular la cantidad de ingredientes que se requiere para preparar los 12 hot cakes a partir del concepto de proporcionalidad. Este problema se puede resolver como una regla de tres simple (concepto que aprenderás en esta actividad), y las cantidades a emplear serán: 3 tazas de harina, 3 huevos, dos tazas y un cuarto de leche y 3 cucharadas de mantequilla. Objetivos Al finalizar la actividad serás capaz de: Determinar los conceptos de razón y proporción. Aplicar el principio de proporción para resolver problemas aritméticos. 2

3 Razones y proporciones Vamos a recordar algunos conceptos, el primero de ellos es qué es una razón? Una razón es la relación que existe entre dos valores de la forma a b Ejemplo 1: Se hizo una encuesta entre 28 personas para ver si estaban de acuerdo con el resultado de la final de fútbol entre el Santos Laguna y el Cruz Azul, donde 7 personas manifestaron no estar de acuerdo. Vamos a plantear la razón: 7 personas en desacuerdo 28 personas encuestadas Razones y proporciones Recuerda que una fracción se entiende mejor si se simplifica, por lo que nos queda: / 7 28 / 7 Esto se interpreta como 1 de cada personas no estuvieron de acuerdo. 1 3

4 Proporción El segundo concepto es qué es una proporción? Una proporción es la igualdad de dos razones. a c b d Se entiende: a es a b como c es a d. Una propiedad importante de las proporciones es: Dos razones son proporcionales si el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a y d se llaman extremos b y c se llaman medios ( a )( d) (b)(c) Proporciones Ejemplo 2: Comprobar que ambas razones son proporcionales Se entiende 16 es a 8 como 4 es a 2. Vamos a comprobarlo cómo? Comprobando la propiedad anteriormente descrita, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. 4

5 Proporciones Por lo que debemos realizar productos cruzados y comprobar que el resultado sea el mismo para decir si son o no proporcionales ( 16)(2) 32 Ambas razones son proporcionales entre sí. 4 2 (8)(4) 32 Regla de tres simple Una aplicación muy útil en las proporciones es el uso de la regla de tres simple. El cual a partir de tres cantidades conocidas se requiere obtener una cuarta que mantengan la proporción entre las razones. Esta regla se basa en el principio fundamental de las proporciones. (a)(d) =(b)(c) Ejemplo 3: Se tiene un cuarto que mide m de ancho por 8 m de largo y se quiere construir otro que mantenga la misma proporción, se sabe que el ancho del nuevo cuarto es de 7m, cuánto debe medir el largo?

6 Regla de tres simple El planteamiento será es a 8 como 7 es a? Esta interrogante le asignaremos la letra x 7 8 x La regla de tres simple me dice que los productos cruzados que tengan pareja se multiplican (se indican con la flecha) y se divide por el que no la tiene por lo que el valor de x será: Regla de tres simple x (7)(8) m. Quiere decir que para que los cuartos sean proporcionales debe medir 7m x 11.20m. En ingeniería a este concepto se le llama escala. 6

7 Regla de tres simple Otra forma de resolver el problema, es planteando la siguiente tabla. Ancho Largo Referencia 8 Cuarto nuevo 7 x Para obtener el valor de x se multiplican los factores cruzados y se divide entre el factor que no tiene pareja. x (7)(8) Por lo que el cuarto nuevo debe medir 7m x m, para que guarden la misma proporción. Reglas de tres simple Ejemplo 4: Voy al supermercado y quiero comprar naranjas, el ciento de ellas cuesta $ 7.0 si solo tengo $20.00 cuántas naranjas puedo comprar? Volvemos a plantear nuestra tabla. N de Costo naranjas referencia 100 $ 7.0 compra x $

8 Reglas de tres simple Realizamos la operación: (100)(20) x Como no puedo compra naranjas debo comprar sólo 34 naranjas. Proporciones Ejemplo : Si un litro de leche me cuesta $11.0 cuánto me costarán 8lts? Cantidad Costo Referencia Calculo nuevo 8 x Realizamos la operación: x (8)(11.0) 1 92 Por lo que deberé pagar $92.00 por los 8 lts. de leche. 8

9 Bibliografía Zamora Muñoz, Salvador, Gerardo Vázquez Monroy y Lorenzo Sánchez Álvarez. Matemáticas I Álgebra Bachillerato. México: ST Editorial, (ISBN ). Créditos Diseño de contenido: Ing. Raquel Ramírez Peláez Coordinador de área: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED Edición de contenido: Lic. Miriam Gómez Moore, MED Edición de texto: Lic. Alejandra Zaragoza Scherman Diseño Gráfico: Miguel Angel Reynosa Castro, MANM 9