EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Transcripción

1 MÓDULO 1 Curso: Matemática EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES UNIVERSIDAD DE PANAMÁ CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE BOCAS DEL TORO Introducción Los estudiantes que inician el curso de Matemática a nivel superior buscan profundizar los conocimientos adquiridos durante su instrucción de educación media. Este módulo pretende orientarlos, de la mejor manera posible, en un aprendizaje matemático más significativo y perecedero.

2 Objetivos Competenciales: 1. Define y ejemplifica los distintos conjuntos numéricos. 2. Emplea la notación y simbología adecuada para los conjuntos numéricos.. Resalta la importancia de extender el conjunto de los números naturales al conjunto de los enteros. 4. Resuelve operaciones básicas en el conjunto de los números reales. Un conjunto es una colección o agrupación de cosas, personas, objetos, animales. Usualmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas del alfabeto. Ejemplos de Conjuntos: 1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro. 2. Las letras del alfabeto.. Los alumnos de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO. 4. M = {5, 12, 21, 0, 62} Un subconjunto es una parte de un conjunto. De los ejemplos anteriores, obtendremos algunos subconjuntos. 1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro que son mayores de 5 años. 2. Las vocales.. Los alumnos del primer año de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO. 4. N = {5, 0} Se le denomina elementos a cada uno de los objetos, cosas, animales o personas que forman parte de un conjunto dado. El símbolo matemático empleado para denotar que un elemento pertenece a un conjunto es y cuando deseamos escribir que el elemento no pertenece a un conjunto usamos el símbolo. Ejemplo. Sea el conjunto A = {2,, 5, 7, 11} Podemos decir que A y se lee es elemento o pertenece al conjunto A. Sin embargo, 12 A y se lee 12 no es elemento de A.

3 CONJUNTOS NUMÉRICOS. La historia ha demostrado que la evolución conceptual de los distintos conjuntos numéricos ha evolucionado a lo largo de las distintas épocas de desarrollo del pensamiento humano. En la actualidad conocer su génesis es de suma importancia para poder vencer las dificultades epistemológicas de los aspectos relacionados con la teoría de los conjuntos. Son los números que utilizamos para enumerar o contar. Se denotan mediante el símbolo N y se definen como N = {0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8 } Sistema de Numeración Decimal Nuestro sistema de numeración fue ideado por los hindúes y generalizado por los árabes. Por ello, recibe el nombre de indo arábigo. Características: 1. Es posicional: Cada dígito tiene un valor diferente de la posición que éste ocupa. Por ejemplo, si se escribe 10 el dígito ocupa la posición de las decenas. 2. La base de nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, de base 10.. Los dígitos que se utilizan para representar los números son {0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7,8, 9}. Cada dígito posee un valor por sí mismo y esto recibe el nombre de valor absoluto. El número representa la cantidad de objetos: 4. El valor relativo que posee el símbolo numérico va de acuerdo a la posición que ocupa dentro del número escrito. Lectura de los Números Naturales. Para poder realizar una lectura correcta de los números naturales se debe considerar: a) Orden: El valor relativo o valor posicional se conoce como orden. Viene dado por una sola cifra y se lee de derecha a izquierda. b) La clase está formada por órdenes. c) El período está formado por 6 órdenes. Clase de miles de millones Período de Clase de las unidades de millones Período de las unidades Clase de las unidades de millar Clase de las unidades simples 1 orden 12 orden 11 orden 10 orden 9 orden 8 orden 7 orden 6 orden 5 orden 4 orden orden 2 orden 1 orden Unidad de billón Cente na de miles de millón Decena de miles de millón Unidad de miles de millón Centena de millón Decena de millón Unidad de millón Centena de millar Decena de millar Unidad de millar Centena Decena Unidad

4 Tipos de Números a) Números Pares: Son aquellos cuya unidad termina en {0, 2, 4, 6, 8} Ejemplos de números pares 56; 7890; 11258; 102 b) Números Impares: Son aquellos cuya unidad termina en {1,, 5, 7, 9} Ejemplos de números impares 655; 1701; 247; c) Números Primos: Aquellos números cuyos únicos divisores son la unidad (1) y el propio número. Ejemplos de números primos = {2,, 5, 7, 11, 1, 17, 19, 2, 29, 1, 7, 41, } d) Números compuestos: todos aquellos números que no son primos. Ejemplos de números compuestos = {24, 5, 78, 107, 94, 26, 459, 12, 9, 169, } e) Números Gemelos: son números primos cuya diferencia es dos. Ejemplos: 5 y son gemelos porque ambos son primos y al restarlos, 5, la diferencia es 2. Otras nociones básicas: a) Múltiplo de un número dado: Un número entero r es múltiplo de un número entero s cuando existe otro número natural que, multiplicado por s, nos da como resultado r. Ejemplo, los múltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 0, 6,42,48, 54, 60, 66, 7 } b) Divisor de un número dado: Son los números naturales que dividen al número dado de manera exacta. Ejemplo, los divisores de 15 = {1,, 5, 15} Reglas de Divisibilidad Número Regla Ejemplo 2 Todo número par es divisible por es par La suma de sus dígitos es múltiplo de al sumar =15 que es múltiplo de 4 Los dos últimos dígitos es múltiplo de 4 o son ceros. 5 La unidad debe ser cero o cinco. 6 Debe ser divisible por 2 y por de manera simultánea sus dos últimas cifras son ambos ceros sus dos últimos dígitos son múltiplos de su unidad es su unidad es es par y divisible por 2 La suma de sus dígitos es 9 que es múltiplo de Por tanto, es divisible por 6

5 Número Regla Ejemplo 7 La unidad se separa del resto de los números y se duplica, es decir, se multiplica por 2. Se efectúa la resta de las cifras que quedaron al separar la unidad del duplo de la unidad. Si la diferencia es 0 o múltiplo de 7 entonces el número es divisible por es divisible por 7? 427 se separa la unidad que es 7 y se duplica, es decir, 7 2 = 14 Restamos = 28 que es múltiplo de 7 9 La suma de sus dígitos es múltiplo de es divisible por 9 porque la suma de 2+7+9=18 que es múltiplo de 9 10 Su unidad debe ser cero. 60 es divisible por Se suman los dígitos que ocupan la posición par y análogamente, se suman los dígitos que ocupan la posición impar. Se restan estas sumas y la diferencia debe ser cero o múltiplo de 11. La unidad se separa del resto de los dígitos y se multiplica por 9. Se restan las cifras que quedaron al separar la unidad de este producto anterior obtenido. Si la diferencia es cero o múltiplo de 1 entonces el número es divisible por De derecha a izquierda Sumo los que ocupan la posición par, esto es, 9+8=17 Sumo los que ocupan la posición impar, esto es, +=6 Restamos, 17 6 = será divisible por 1? 624 separamos la unidad que es 4 y la multiplicamos por 9, esto es, 4 9=6 Restamos 62 que fueron las cifras que quedaron al separar la unidad y la restamos del producto anterior = 26 que es múltiplo de La unidad se separa del resto de los dígitos y se multiplica por 5. Se restan las cifras que quedaron al separar la unidad de este producto anterior obtenido. Si la diferencia es cero o múltiplo de 1 entonces el número es divisible por será divisible por 1? 816 separamos la unidad que es 6 y la multiplicamos por 5, esto es, 6 5=0 Restamos 81 que fueron las cifras que quedaron al separar

6 Número Regla Ejemplo la unidad y la restamos del producto anterior = 51 que es múltiplo de 17. Descomposición Factorial: Al descomponer un número natural lo que procede es dividirlo entre sus factores primos. Ejemplo 1. Descomponer el número 1080 factorialmente Quiere decir que el número se puede escribir como 1080 = 2 5 Ejemplo 2. Descomponer el número 00 factorialmente Quiere decir que el número se puede escribir como 00 = Mínimo Común Múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números naturales. Ejemplo: Determine el mcm de 18 y 45. Usaremos la definición de mínimo común múltiplo. Múltiplos de 18 = {18, 6, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 24, 252, 270, 288 } Múltiplos de 45 = {45, 90, 15, 180, 225, 270, 15 } Múltiplos Comunes de 18 y 45 son {90, 180, 270 } Menor de los múltiplos comunes es 90.

7 Veamos el método algorítmico para determinar el mínimo común múltiplo de 18 y Luego, multiplicamos esos factores primos. Resulta que, mcm = 2 5 = 90 Máximo Común: Es el mayor de los divisores comunes de dos o más números naturales. Ejemplo: Determine el MCD de 18 y 45. Usaremos la definición para hallar el máximo común divisor. Divisores de 18 = {1, 2,, 6, 9, 18} Divisores de 45 = {1,, 5, 9, 15, 45} Divisores Comunes de 18 y 45 son {1,, 9} El mayor de los divisores comunes es 9. Aplicaciones del mcm y del MCD Ejemplo 1. Juan asiste a la Escuela de Bellas Artes al curso de guitarra cada 6 días y José a la clase de piano cada 4 días. Si se inicia el conteo desde el día 1 del mes, qué días van a coincidir en encontrarse ambos chicos en el mes en la Escuela de Bellas Artes? Veamos la solución Múltiplos de 6 serán {6, 12, 18, 24, 0} Múltiplos de 4 serán {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28} Múltiplos comunes es el 12. El día 12 y el día 24 van a coincidir ambos en la Escuela de Bellas Artes.

8 Ejemplo 2. María tiene encajes de distintas medidas. Como se muestra la figura. Ella desea recortar las cintas decorativas del mayor tamaño posible y de la misma longitud sin que se desperdicie ningún pedazo. De qué tamaño debe cortar cada cinta? 10 cm 20 cm 45 cm Solución Determinemos el máximo común divisor de 12, 20 y 45 Divisores de 10 son {1, 2, 5, 10} Divisores de 20 son {1, 2, 4, 5, 10, 20} Divisores de 45 son {1,, 5, 9, 15, 45} Divisores Comunes {1, 5} MCD = {5} Entonces, María debe cortar cada cinta decorativa de 5 cm de longitud cada una. A. Escriba numéricamente cada número natural. 1. Dos mil quinientos treinta y ocho. 2. Trece millones doscientos cincuenta y dos mil cuatros cientos trece.. Mil dos. 4. Novecientos diez. 5. Novecientos veinte dos mil cuatros cientos ocho. B. Escriba alfabéticamente cada número natural. a) 127 b) c) d) 9 710

9 C. Escriba la letra C si el enunciado es cierto o F si el enunciado es falso. Enunciado Respuesta La unidad de millar es 1000 veces mayor que la decena. La centena es 100 veces mayor que la unidad. La decena de millones es veces mayor que la centena. La decena es 1000 veces menor que la decena de millar. En una unidad de millar hay 100 decenas. En el número 79 el dígito tiene 00 unidades. D. Encierre el número que cumple la condición dada. Enunciado Números Múltiplo de Número primo cuya suma de dígitos es Divisor de Número múltiplo de Número gemelo de E. Escriba en la línea el tipo de número resultante como par o impar, según sea el caso. a. Número par + número par. b. Número par + número impar. c. Número impar + número impar. d. Número impar número par. e. Número par número par. F. Determine el mínimo común múltiplo (mcm) o máximo común divisor (MCD) según lo solicitado. Números naturales Determine: 12 y 10 mcm 18, 21 y 60 MCD 70 y 90 mcm 60, 90 y 15 mcm G. Resuelva los siguientes problemas de aplicación. 1. Se van a repartir 70 cuadernos y 90 lápices entre la mayor cantidad de niños posibles que asisten a la escuela. Entre cuántos niños se puede repartir ambos artículos.

10 2. El piso del salón de clases tiene forma rectangular el cual mide 245 cm de ancho y 210 cm de largo. Se desea colocar baldosas cuadradas en el piso. Cuánto debe medir de lado la baldosa?. Carmen le escribe a su tía que vive en Estados Unidos cada 15 días y a su abuela que vive en Argentina cada 18 días. Un día le tocó escribirle a ambas. Dentro de cuántos días le tocará escribirles el mismo día? 4. En una escuela hay 126 niños y 12 maestros. Se desean formar grupos de niños y maestros de modo que se distribuyan equitativamente en la mayor cantidad de grupos. Cuántos niños hay en cada grupo? H. Marque en la casilla una equis si el número es divisible o no por el número natural dado. Justifique su respuesta. Número Es divisible por? Divisor Sí No Justificación Los números enteros surgen de la necesidad del ser humano de representar cantidades que requieren de un punto de referencia. Tal es el caso cuando se desea indicar temperaturas por encima del cero y por debajo de él. Temperaturas por debajo del cero Temperaturas por encima de cero

11 Los Números Enteros: Se denota mediante el símbolo Z es el conjunto formado por: Los enteros positivos: Z+ = {+1, +2, +, +4, +5, +6, +7, +8 } Los enteros negativos: Z- = {-1, -2, -, -4, -5, -6, -7, -8 } El número cero. Ejemplo. Dado las siguientes situaciones del entorno, escriba el número entero que lo represente. Enunciado Entero Un aumento de B/ 50 al salario base. +50 Deforestar 8 hectáreas de árboles. 8 Caminar 2 metros hacia el oeste. 2 Un submarino se halla a 75 millas bajo el nivel del mar. 75 Una temperatura de 25 grados centígrados sobre cero. +25 Valor absoluto de un número entero: se define como sigue: x, si x > 0 x = { 0, si x = 0 x, si x < 0 Observación: Cuando se determina el valor absoluto de un número entero nos interesa su valor numérico pero no su signo. Ejemplos: 2 = = 81 0 = 0 Recta Numérica: La recta numérica es una línea orientada y numerada la cual está dividida de la siguiente forma: En el centro de la línea se escribe el número cero. A la derecha del cero se escriben los enteros positivos. A la izquierda del cero se escriben los enteros negativos.

12 Orden en los Números Enteros Los símbolos de relación de orden son: a. Mayor que, >. Ejemplo, -2 > -9 b. Menor que <, Ejemplo, -9 < +2 c. Igual que =, Ejemplo, -5 = -5 Reglas Básicas. 1. Cualquier entero positivo es mayor que otro entero siempre que se halle más a la derecha. 2. Un entero negativo siempre es menor que un entero positivo.. Entre un entero positivo y el cero, el mayor es el positivo. 4. Entre un entero negativo y el cero, el cero es mayor. 5. Entre dos enteros negativos el mayor es aquel que se halle más cerca del cero. Es decir, el que este más a la derecha en la recta numérica. Ejemplo. Trace la recta numérica y escriba un número entero que cumpla con la condición dada. Situación planteada Entero Entero consecutivo negativo par mayor de Entero negativo múltiplo de Entero comprendido entre +8 y Entero positivo y primo que es par. +2 Entero negativo múltiplo de. -6 Operaciones Básicas: 1. Adición con números enteros. Los términos de la adición son sumandos (números que se van a adicionar) y suma o total (resultado de la adición) Para adicionar dos o más números enteros se deben seguir las siguientes reglas: REGLA NÚMERO 1 Si los sumandos tienen signos iguales, se adicionan los valores absolutos de los sumandos y el total lleva el signo del sumando de mayor valor absoluto.

13 Ejemplos: a) ( ) + ( 15) = 18 b) ( 47) + ( 58) = 105 c) = +252 Si los sumandos tienen signos distintos, se restan los valores absolutos de los REGLA NÚMERO 2 sumandos y el total lleva el signo del sumando de mayor valor absoluto. Ejemplos: a) ( 425) + (+675) = +250 b) ( 105) + (+87) = 18 c) ( 56) + (+12) + ( 71) + ( 67) + (+21) = ( ) + ( ) = = Sustracción: Los términos de la sustracción son minuendo, sustraendo y diferencia. La resta se indica mediante el signo de menos (-). Para la sustracción se debe recordar que el signo de resta le cambia el signo al sustraendo. Luego se aplican las mismas reglas de la adición. Ejemplos: a) ( 8)( 12) = +96 b) = 045 Signos de Agrupación En algunas ocasiones se debe emplear signos de agrupación para indicar el orden en que debe realizarse las operaciones aritméticas. Los signos de agrupación más empleados en matemáticas son: a. Llave { } b. Paréntesis circular ( ) c. Corchete [ ] Ejemplo 1. Resuelva las operaciones de adición indicadas. 89 { 72 + [ 12 + ( )]} Solución 89 { 72 + [ 12 + ( )]} 89 { 72 + [ 12 + ( )]} 89 { 72 + [ 12 + ( 2)]} 89 { 72 + [ 12 2]} 89 { 72 + [ 44]}

14 89 { 72 44} 89 { 116} Ejemplo 2. Resuelva de forma ordenada la siguiente operación [ 81 + (+4 (5 67) + 1) 2] + { [ 12] } Solución [ 81 + (+4 (5 67) + 1) 2] + { [ 12] } [ 81 + (+4 ( 2) + 1) 2] + { [ 45] } [ 81 + ( ) 2] + { } [ 81 + (+79) 2] + { } [ ] + {+56 } [ ] + {+56 + } [ 25] + {+59} Multiplicación: Los términos de la multiplicación son factores (los números que se multiplican) y producto (resultado de la multiplicación) La multiplicación se puede indicar simbólicamente de tres formas: a. Empleando el símbolo de por b. Utilizando signos de agrupación: llaves { }, paréntesis (), corchete [ ] c. Utilizando un punto ( ) o un asterisco (*). Para multiplicar dos o más números enteros se aplican las siguientes reglas: + + = = = = - Ejemplos: a) ( 6)( 1) = +78 b) 12 5 = 405 c) = +840

15 4. División: Los términos de la división son dividendo, divisor y cociente. La división se puede denotar mediante el símbolo o por medio de una barra horizontal de la forma m n. Para dividir dos números enteros se siguen las mismas reglas de los signos de la división. Ejemplos: a) = +1 b) = 7 c) = = Potenciación. La potenciación es una operación en la cual se multiplica un mismo factor un número de veces dado. Elementos de la potenciación: + + = = = = - 1. Base: Factor que se multiplica. 2. Exponente: Indica el número de veces que se multiplica la base.. Potencia: Resultado de la operación potenciación.

16 Ejemplos: Base Exponente Potencia 2 5 = = ( 5) 4 = = ( 12) = = Regla de los Signos de la Potenciación: 1. Si la base es positiva o negativa y el exponente es par, la potencia resulta positiva. 2. Si la base es positiva y el exponente es impar, la potencia es positiva.. Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa. Propiedades Básicas de la Potenciación: Nombre de la Regla enunciada Propiedad Escritura simbólica Ejemplo Práctico Toda base elevada al exponente uno Exponente uno. resulta como potencia la misma a 1 = a ( 5) 1 = 5 base. Exponente cero. Toda base, distinta de cero, elevada al exponente cero resulta uno como potencia. a 0 = 1 ( 5) 0 = 1 Producto potencia igual base. de de Al multiplicar potencias de igual base se escribe la misma base y se adicionan los exponentes. a m a n = a m+n ( 5) 2 ( 5) 4 = ( 5) 6 = División potencia igual base. de de Al dividir potencias de igual base se escribe la misma base y se restan los exponentes. a m a n = a m n ( 5) 12 ( 5) 8 = ( 5) 12 8 = ( 5) 4 = 625 Potencia de una potencia. Toda base elevada a un exponente y a su vez está elevada a otro exponente, se escribe la misma base y se multiplican los exponentes. (a m ) n = (a) m n ( 5 2 ) 4 = ( 5) 8 = 90625

17 Nombre de la Propiedad Regla enunciada Escritura simbólica Ejemplo Práctico Al multiplicar dos potencias de Potencia de un producto. bases distintas pero de igual exponente se debe multiplicar las bases y se escribe el mismo exponente. a m b m = (a b) m = (2 ) 4 = 6 4 = 1296 Potencia de un cociente Al dividir dos potencias de bases distintas pero de igual exponente se debe dividir las bases y se escribe el mismo exponente. a m b m = (a b) m 15 5 = (15 5) = = 27 Exponente negativo Toda base, distinta de cero, elevada a un exponente negativo se debe invertir la base y en exponente cambia a positivo. 1 a m = 1 5 = 5 a m = Radicación. n La radicación es una operación inversa a la potenciación. Se utiliza el símbolo a indicar esta operación aritmética. Los elementos de la radicación son: a) Radicando: Número que se escribe debajo del signo de radical. b) Índice: Número que se coloca en la abertura del signo de radical. c) Raíz: Es la solución. para La radicación consiste en determinar un número (raíz) que elevado a una potencia (índice) resulte el radicando. Procedimiento para extraer la raíz cuadrada. 1. Las cifras del radicando se separan de dos en dos de derecha a izquierda a partir de la cifra de las unidades.

18 2. Se busca un número que elevado al cuadrado resulte o se aproxime al dígito o par de dígitos que resultaron al separar las cifras de derecha a izquierda. Éste número elevado al cuadrado hallado se coloca debajo de los dígitos del radicando y se restan.. Se bajan las dos siguientes cifras y se escriben al lado del resto de la diferencia anterior. 4. El resultado parcial de la raíz se duplica (se multiplica por 2) y se escribe este debajo de la barra horizontal. 5. Se escribe un número (del 0 al 9) al lado del duplo anterior de tal manera que el producto de estas cifras por la última cifra de como resultado el número que está en el radicando o muy próximo a él. 6. Se continua éste proceso análogo (se repiten los pasos, 4, 5) hasta que se terminen las cifras del radicando o sea exacta la raíz. Ejemplo. Halle 529 Ejemplo. Halle Cálculos realizados: 1. Se elevó 2 al cuadrado.2 2 = 4 2. Se restó 5 de 4 y quedó 1.. Al lado del 1 se colocó el 29 y se expresa El resultado parcial 2 se duplicó, esto es se multiplicó 2 por 2 y resultó 4. Se colocó 4 debajo de la barra horizontal. 5. Al lado del 4 se escribió el y se multiplicó 4 por. 6. El producto 4 = Ese producto se restó de 129. Es decir, y quedó cero. Cálculos realizados: 1. Se elevó 2 al cuadrado. 2 = 9 2. Se restó 15 de 9 y quedó 6.. Al lado del 6 se colocó el 21 y se expresa El resultado parcial se duplicó, esto es se multiplicó por 2 y resultó 6. Se coloca 6 debajo de la barra horizontal. 5. Al lado del 6 se escribió el 9 y se multiplicó 69 por El producto 69 9 = Ese producto anterior se restó de 621. Es decir, y quedó cero.

19 A. Cada una de las siguientes imágenes asócialas como positivas o negativas. B. Escribe un número entero que represente cada situación. Situación presentada Un submarino se encuentra a 1950 m bajo el nivel del mar. La altura del Volcán Barú es de 2600 m sobre el nivel del mar. La temperatura más baja en la Antártida es de 88 grados centígrados. Un ascensor subió 15 pisos. Se realizó un retiro de la cuenta bancaria de $250. Una persona consume litros de alcohol diariamente. Se deforestaron 5 hectáreas de árboles. Ana hurtó B/ 10 de la cartera de su mamá. Platón murió en el siglo 427 antes de Cristo. 18 unidades hacia la izquierda. Entero

20 C. Escriba situaciones de la vida cotidiana que se representen mediante acciones o situaciones positivas o negativas. Positivas Negativas D. El conjunto de los números enteros se denotan mediante una letra estilizada Z: Z + significa enteros positivos. Z - significa enteros negativos. Dada la lista, usted debe identificar si el número entero es positivo o negativo. Número Z + Z E. Se tiene un edificio, en la cual hay un ascensor. Cuarto Piso Tercer Piso Segundo Piso Primer Piso Planta Baja Primer Sótano Segundo Sótano Tercer Sótano a. Julián está en el cuarto sótano y se desplaza 2 pisos hacia arriba, en qué piso quedó? b. María está ahora en el primer piso y anteriormente se había desplazado 2 pisos hacia abajo. dónde estaba inicialmente? c. Carlos está en la planta baja y asciende dos pisos, en qué piso se halla actualmente? d. Samanta está en el tercer piso luego se desplaza un piso hacia arriba y desde esta ubicación se desplaza cinco pisos hacia abajo, en qué piso está ahora?

21 e. Julián está en el segundo sótano, desciende 2 más, luego asciende 6 pisos y finalmente desciende pisos, en dónde está ubicado? f. María está en la planta baja y desciende 2 pisos, luego desciende otro piso, asciende cuatro pisos y desciende 2 pisos, dónde quedó María? F. Escriba un número entero que cumpla cada una de las situaciones presentadas. Debe trazar la recta numérica en cada caso. a) Un número entero par entre +0 y +4. b) Enteros impares negativos entre -22 y -10. c) Enteros que sean primos entre +16 y +20. d) Enteros negativos que sean múltiplos de 5. e) Naturales comprendidos entre - y +4 G. Juguemos a qué prefiere usted. a. Ganar 5 canicas o perder 10. b. Perder 74 canicas o perder 50. c. Perder 12 canicas o no poseer ninguna. d. Ganar 16 canicas o ganar 0. e. No poseer ninguna canica o ganar 24. f. Perder 17 canicas o ganar 5 canicas.

22 H. El signo < significa menor que, el signo > significa mayor que y = es el signo e igualdad. Escriba el signo <, >, = según sea el caso que corresponda I. Escriba la situación opuesta. Situación presentada Situación opuesta Caminar 5 m al sur. Ganar 10 balboas. Sembrar ha de árboles frutales. Inhalar 4 paquetes de cigarrillo. J. Escriba el entero opuesto. a) -89 b) +56 c) -12 d) -9 e) 45 K. Juego de Naipes. Materiales: Cartulinas de dos colores diferentes, tijera. Indicaciones:

23 Recorte cartas de 2 colores diferentes. Preferiblemente los colores fuertes representan a los enteros positivos y los colores débiles a los negativos. Reglas del Juego: 1. Dos cartas de colores iguales, se adicionan. 2. Dos cartas de colores distintos, se anulan una a una entre sí. Para cada situación, escriba el entero resultante. a) ( 8) + ( 2) = b) (+) + (+5) = c) (+10) + ( 6) = d) ( 4) + ( ) = e) (+5) + (+4) = f) (0) + ( 5) = g) (+68) + 0 = h) (+6) + ( 4) = i) ( 9) + (+5) = j) (+) + ( 9) = L. Debe resolver las operaciones indicadas. a) 12 + [ 16 + (8 + 11) 15] b) ( 5 10) ( ) 12 c) {5 + ( 12 6)} + { 16 + [1 + ( 8 11)]}2 M. Resuelva los productos indicados. a) 2 5 b) c) 1 19 N. Resuelva el siguiente mategrama. -28 = = = = = - = +2

24 Este conjunto se denota con el símbolo Q. Se escriben de la forma a. A los elementos del b conjunto de los números racionales usualmente se les llama fracciones. Una fracción es una parte de la que se ha dividido la unidad. Ejemplo: Supóngase que usted tiene una barra de chocolate y desea compartirla usted con otras personas más. Observe la figura. Responda: En cuántas partes iguales se dividió la barra de chocolate? Respuesta: 15 Cuántas partes le corresponden a usted? Respuesta: 1 Al escribir la fracción resulta 1 15 El número 1 recibe el nombre de numerador y el número 15 recibe el nombre de denominador. Los números racionales pueden ser: a. Fracciones propias: son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Ejemplo, es una fracción propia. 5 b. Fracciones impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Ejemplo, 8 es una fracción impropia. c. Fracción Mixta: poseen una parte entera y una parte fraccionaria. Ejemplo, es una fracción mixta ya que la parte entera es 5 y la fraccionaria es

25 Conversiones: Para obtener el numerador de la fracción impropia se debe multiplicar el entero por el denominador del mixto y a este producto se le agrega el numerador. El denominador sigue siendo el mismo. Ejemplo. Convertir la fracción mixta 6 a fracción impropia ( 11) + 6 = = + 6 = Para expresar una fracción impropia a fracción mixta se debe dividir el numerador entre el denominador. El cociente obtenido será el entero de la fracción mixta. El residuo será el numerador y el divisor será el denominador. Ejemplo. Convertir la fracción = 2 (cociente) 16 1 (residuo) a fracción mixta 17 8 = Representación Gráfica de Racionales. Una fracción es un número que representa una unidad dividida en partes iguales de la cual se toman porciones o secciones. Ejemplos: 1 es una fracción significa que la unidad se divide en 4 partes iguales de las 4 cuales se toma

26 b) Si la fracción es 11, la unidad se divide en ocho partes iguales, y se toman en total 11 de 8 ellas, por ello se debe tener más de una sola unidad. Orden en los racionales. Para comparar dos o más números racionales emplearemos la regla fundamental de las proporciones que se enuncia así: a b = c si y sólo sí ad = bc d Ejemplo. Escriba el símbolo >, <, =, según sea el caso. 2 < > = 7 9 Amplificación de fracciones: fracción por un mismo factor. significa multiplicar el numerador y el denominador de la Ejemplo. Amplificar la fracción por = Simplificación de fracciones: significa dividir el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número. Ejemplo. Simplificar la fracción = = 0 6 = = 5 6 Operaciones con números racionales: 1. Adición: para adicionar dos números racionales debemos considerar los denominadores. Si los denominadores son iguales se dicen homogéneas.

27 Ejemplo de fracciones homogéneas Si tienen denominadores diferentes se llaman heterogéneas. Ejemplo de fracciones heterogéneas Observación: Las reglas de los signos son las mismas que se aplican cuando se usan números enteros. 1. Si las fracciones son homogéneas se adicionan los numeradores y se escribe el mismo denominador. Ejemplo. Adicione = = 12 4 = = 4 2. Si las fracciones son heterogéneas se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores, este número se divide entre cada denominador de los sumandos y el cociente obtenido se multiplica por cada numerador. Luego, se adicionan las fracciones homogéneas resultantes. Ejemplo. Adicione Los denominadores son 8, 18 y = = = = 1 18

28 Recordemos cómo se calcula el mínimo común de los denominadores Luego, se multiplica = 72 Se divide 72 entre cada denominador = = = 18 Se multiplica los cocientes anteriores por cada numerador. 9 2 = = = 54 Veamos un segundo ejemplo. Adicionar Solución: = = = = Multiplicación: en esta operación se pueden simplificar numeradores con denominadores. Luego, se multiplican todos los numeradores y todos los denominadores. Ejemplo. Multiplique = = División: para dividir dos números racionales se conserva igual la fracción dividendo pero la fracción divisor debe invertirse. Ejemplo = = = Potenciación: Se multiplica la fracción tantas veces lo indique el exponente. Ejemplo. Determine la potencia de ( 5 )4 ( 5 ) 4 = =

29 5. Radicación: Es una operación que consiste en determinar el número que actúa como base cuando se conoce la potencia y el exponente. Ejemplo. Para la expresión Solución Para obtener la raíz enésima de un número dado, emplearemos el método de descomposición de factores o factorización, el cual consiste dividir el número especificado entre los números primos que lo dividan. Factorización: = = 6 2 = 29 2 = Observación: Cuando la raíz es inexactas. Esto nos conduce a otro sistema numérico llamado irracionales. Números Decimales Los números decimales constan de una parte entera y una fracción decimal. Ejemplos de Números Decimales: 0,15 156, ,

30 Lectura de números decimales: décima centésima milésima diez milésima Cien milésima millonésima Ejemplos: a) 0,4 treinta y cuatro centésimos. b), tres enteros con doce mil quinientos sesenta y siete millonésimas. c) 1,0026 un entero con veintiséis diez milésimas. d) 0,01 trece milésimas Conversiones: Los números racionales se pueden escribir de forma decimal y viceversa. Caso 1. Cuando la expresión decimal es finita. Para hacerlo debemos el numerador será la parte decimal y en el denominador al 1 se le adicionan tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Ejemplo, escribir 0,125 de forma decimal. 0,125 = 125 = Caso 2. En algunos casos, la parte decimal resulta infinita y periódica pura (se repite el mismo digito o grupo de ellos). Para expresar el período se debe escribir una barrita horizontal por encima del dígito que se repite. Para escribir un decimal periódico puro como fracción se debe escribir como numerador el período y como denominador tantos 9 como cifras tenga el período. Ejemplo, escribir 1,55555 = 1, 5 de forma racional. 1, 5 = = = 14 9 Caso. En otros casos, la parte decimal resulta infinita y periódica mixta (tiene una parte no periódica y una periódica). Para escribir un decimal periódico mixto como fracción se debe escribir como numerador el todo las cifras de la parte decimal y esta cantidad se le resta la parte decimal no

31 periódico y como denominador tantos 9 como cifras tenga el período y tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Ejemplo, escribir 0, = 0,872 de forma racional ,872 = = = Operaciones Aritméticas 1) Adición: se debe escribir atendiendo al orden de los números sumandos. Esto significa que la unidad debajo de la unidad, decena debajo de decena y así sucesivamente. Ejemplo. Adicionar 0,45 + 1,59 + 0, , , 5 9 0, 4 5 1, ) Sustracción: entendida como operación opuesta a la adición. ) Multiplicación: se realiza el producto de la forma habitual solamente hay que considerar que el colocar la coma decimal se suman la cantidad de dígitos que tienen ambos factores en su parte decimal. Ejemplo. Multiplicar 1,27 2,5 1,27 2, ,1845 4) División: si el divisor no es un número entero entonces se corre la coma decimal del divisor hacia la derecha hasta expresarlo como entero y el dividendo se le correrá la coma decimal tantas veces se hizo en el divisor. Ejemplo. Dividir 1,256 0,16 Vemos que el divisor noes entero por lo cual le vamos a correr su coma decimal dos lugares hacia la derecha. Resulta 0,16 = 16 Como se corrió la coma decimal a la derecha 2 lugares en el dividendo, por tanto, le corremos la coma decimal a la derecha del dividendo. Resulta 1,256 = 125,6 Nos queda la siguiente división: 125,6 16 = 7,85

32 A. Escriba numéricamente cada número racional. a) Tres octavos. b) Dieciséis veinte tres avos. c) Tres medios. d) Un tercio. B. Escriba cada número racional de forma alfabética. a) b) 7 25 c) 2 9 C. Calcule qué fracción representa de la unidad. a) La mitad de la mitad. b) La mitad de la tercera parte. c) La tercera parte de la cuarta parte. D. Diga si el enunciado es cierto (V) o falso (F). 1. Todas las fracciones representan cantidades inferiores a la unidad. 2. Un número racional es una fracción.. Cualquier número decimal se puede escribir como una fracción. 4. Los números enteros también son racionales. E. Dada la representación gráfica, escriba numéricamente la fracción que corresponde.

33 F. Escriba el número racional representado en cada recta numérica. a) b) c) d) e) 0 1 G. Represente en una misma recta numérica el siguiente conjunto de fracciones. 5, 4 7, 9 2, 2 5, 15 4 H. Exprese las fracciones impropias como número mixto

34 I. Exprese el número mixto como fracción impropia J. Simplifique las siguientes fracciones K. Amplifique las fracciones dadas por el factor numérico indicado. Fracción Factor Amplificación Fracción Factor Amplificación L. Escriba el signo mayor que (>), menor que (<) o igual que (=), según corresponda el caso. M. Exprese los siguientes números decimales como fracciones. a) 0,5 b) 1, c),125 d) 0,

35 N. Resuelva las operaciones con números racionales. a) b) ( ) ( ) c) 5 6 ( ) d) [ ] [ ] e) ( 15 9 ) f) ( 7 )2 g) (1 5 ) (2 5 )2 O. Escriba los siguientes números decimales en forma alfabética. a. 0,45 b. 12,048 c. 1, d. 10,01010 e. 2,00675 f. 4,00005 P. Escriba los números decimales que correspondan. a. Doce enteros con treinta y cinco cien milésimas. b. Mil doscientos siete millonésimas. c. Cuatrocientos doce diez milésimas. d. Doscientas seis milésimas. e. Mil doscientos veinte ocho cien milésimas. Q. Resuelva las operaciones indicadas con números decimales. a) 0,5 + 0,7978 0,0015 5,012 b) 12,56 0,02 c) 12,15 2,25 d) 0,046 56,7,2 e) 5,187,8 f) ,705 g) 0,0927 0,075

36 Ya hemos visto que un número racional se puede expresar como un número decimal y en esta representación la parte decimal puede ser finita o infinita periódica. Los números irracionales son aquellos números cuya parte decimal es infinita y no periódica. 2 Operaciones con números Irracionales 1. Adición: Para adicionar números irracionales éstos deben ser radicales semejantes, Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo índice. Ejemplo. Marque con un gancho los radicales que sean semejantes ( ) y use una equis (X) los radicales no semejantes. 5 6; ; ; ; 2 5 Radicales Al sumar dos o más radicales semejantes se adicionan los factores numéricos (número que precede al signo de raíz).

37 Ejemplo 1. Adicionar Solución = ( ) 7 = ( ) = ( ) 7 = ( ) = Ejemplo 2. Adicionar 0, 5 6 un número racional. Solución 0, ,17 6 0, = ( ) 6 = Sustracción. + 0,17 6 0, Exprese el factor numérico como = (0, 5 + 0,17 0,175) = = Ejemplo 1. De ( ) restar ( ) Solución De ( ) restar ( ) = ( ) ( ) = = (12 8 1) 5 + ( 11 7) 17 = (12 21) 5 + ( 18) 17 = = ( ) 6 Ejemplo 2. Restar ( ) de ( ) Solución Restar ( ) de ( ) De ( ) restar (2 1 7 ) = = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) 1 =

38 . Multiplicación. Para multiplicar dos o más radicales deben tener el mismo índice. Ejemplo 1. ( 8 Solución ( 8 )( 4 10) )( 4 10) = ( 4) 8 10 = = = = ( 12 2) 10 Ejemplo. ( )( ) Solución ( )( ) = () + 25(7) = = División Para Dividir radicales los mismos deben tener el mismo índice. Ejemplo 1. (15 91 Solución Ejemplo 2. 0, Solución ) 25( 5 7) ( , = = ) 25( 5 7) = = = = ( 1 2 2) 1 = Ejemplo ,96 8 Solución ,96 4 0,2 0,04 4 0,2 0,04 = ,96 0,04 = =

39 Resuelva las operaciones indicadas con los números irracionales De restar Restar ( ) de ( ) 5. 0,56 1 +, ,25 1, ( )( ) 7. ( , (2 14 ) (56 000) )( ( ) ( ) ) El conjunto de los números reales se denotan mediante el símbolo matemático R. Es el conjunto que resulta de la unión de los números racionales con los números irracionales.

40 Resuelva los siguientes problemas de aplicación con números reales. 1. Unos de los teoremas más famosos es el atribuido al griego Pitágoras de Samos y que se enuncia así En un triángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas construidos sobre los catetos. Aplique este resultado y determine la longitud de un cable que debe colocarse para sujetar un poste eléctrico que mide 12 pies a una distancia de 4 pies la base. Observe la figura. 2. Una persona posee un parcela de terreno y en 1 del terreno siembra pepino, en 1 del terreno 4 siembra maíz y en 2 del terreno siembra guandú. Qué porción del terreno tiene disponible 5 para poder sembrar frijoles?. El salón de pre escolar mide 6,75 m de largo por 5 m de ancho. Se desea colocar baldosas cuadradas de 50 cm de longitud. Qué cantidad se deben comprar para recubrir el piso con esas baldosas? 4. El 24 de mayo del 2008 fue sábado. Qué fechas fueron lunes en ese mes? 5. Si las manzanas pesan 2,45 libras y la caja vacía pesa 0,2 libras. Cuántas libras pesa la caja con las manzanas dentro?

41 6. Un estudiante obtuvo las siguientes calificaciones en matemática:,6 4,,2 4,8,7 5,0 Cuál es el promedio de calificaciones de ese estudiante? 7. Hay cintas de color verde, azul y rosado. La verde mide 58 cm. La azul es dos veces la verde y la rosada es veces la azul. Cuánto mide la cinta rosada? 8. En una plaza de un pueblo hay bancas azules y bancas rojas. Si 12 niñas están sentadas en cada una de las bancas azules y 12 niños en cada una de las bancas rojas. Cuántos niños y niña están sentados? 9. Se tienen 1256 botellas de vidrio. Se desea acomodar las botellas en cajas que tiene capacidad para 24 botellas. Cuántas cajas se necesitan y cuántas botellas sobran? 10. Una niña pequeña ha elaborado un mapa de su comunidad, como se observa en la figura. Si Teresa hace el siguiente recorrido: sale de su casa temprano en la mañana hacia la escuela, al salir de la escuela va al comedor, después se dirige al hospital a ver a su tía enferma, pasa a la tienda a comprar el mercado, va al parque a jugar con unos amigos, luego asiste a la clase de catequesis y regresa a su casa. Qué distancia total en km recorrió Teresa? 11. Ana compró 1 libras de ñame y le costó $2,80. Ella desea comprar del mismo producto. - Cuánto deberá pagar ahora? libras más