!SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 Tema 5.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES!SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES!TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS!MÉTODO DE GAUSS 1 Muchas preguntas en ingeniería, física, matemáticas, economía y otras ciencias se reducen al problema de resolver un sistema lineal. El interés en la solución de esos sistemas es muy antiguo, como lo demuestra el Problema del ganado de Arquímedes. Veamos un problema donde interviene un sistema lineal, del que se ocuparon los matemáticos de hace ochocientos años. Nuestra historia es acerca de Leonardo Pisano, matemático italiano (cerca ), mejor conocido como Fibonacci. Durante sus viajes, aprendió la nueva aritmética árabe, que después presentó al Occidente es su famoso libro Liber abaci. Dice la leyenda que el emperador Federico II de Sicilia invitó a Fibonacci y a otros sabios a participar en una especie de torneo de matemáticas, en el que plantearon varios problemas. Uno de ellos era el siguiente: Tres hombres poseen una sola pila de monedas, y sus partes son 1/2, 1/3 y 1/6. Cada uno toma algo de dinero de la pila hasta que no queda nada. El primero regresa 1/2 de lo que tomó,, el segundo 1/3 y el tercero 1/6. Cuando el total reintegrado se divide por igual entre los tres, se descubre que cada uno posee lo que le corresponde. Cuánto dinero había a en la pila original, y cuánto tomó cada uno de esa pila? 2

2 Arquímedes ( a.c.) es considerado el matemático tico y físico f más m s grande de la antigüedad, así como uno de los matemáticos ticos más m s importantes en la historia de la humanidad. Creció en Siracusa, una población n griega en Sicilia. Pheidias su padre, fue astrónomo. Después s de estudiar matemáticas ticas en Alejandría, a, Egipto, Arquímedes regresó a Siracusa, donde permaneció el resto de su vida. Fue asesinado por un soldado, cuando la ciudad cayó en poder de los romanos. Leonardo Pisano (cerca ) es más m s conocido por su apodo Fibonacci.. Jugó un rol muy importante al revivir las matemáticas ticas antiguas y realizó importantes contribuciones propias. Fibonacci nació en Italia pero fue educado en África del Norte donde su padre ocupaba un puesto diplomático. Viajó mucho acompañando ando a su padre, así conoció las enormes ventajas de los sistemas matemáticos ticos usados en esos países. Liber abaci,, publicado en el 1202 después s de retornar a Italia, esta basado en trozos de aritmética tica y álgebra que Fibonacci había a acumulado durante sus viajes. Liber abaci introduce el sistema decimal Hindú-Ar -Arábico y usa los números n arábicos dentro de Europa. Un problema en Liber abaci permite la introducción n de los números n de Fibonacci y la serie de Fibonacci por las cuales Fibonacci es recordado hoy en día. d El Diario Trimestral de Fibonacci es un moderno periódico dedicado al estudio de las matemáticas ticas que llevan estas series. 3 Ejemplo introductorio: modelos lineales en economía a y en ingeniería Era final del verano de El profesor de Harvard, Wassily Leontief, estaba introduciendo cuidadosamente la última de sus tarjetas perforadas en el computador Mark II de la universidad. Las tarjetas contenían información n sobre la economía a de Estados Unidos y representaban un total de piezas de información n producidas por la Agencia de Estadísticas sticas del Trabajo de E.U.A. tras dos años a de intensa labor. Leontief había a dividido la economía a estadounidense en 500 sectores, tales como la industria del carbón, la industria automovilística, comunicaciones y así sucesivamente. Para cada sector, había a escrito una ecuación n lineal que describía a cómo c éste distribuía a sus salidas hacia otros sectores de la economía. 4

3 Debido a que el Mark II, uno de los computadores más m s grandes de aquella época, no podía a manejar los sistemas resultantes de 500 ecuaciones con 500 incógnitas, Leontief destiló el problema a un sistema de 42 ecuaciones con 42 incógnitas. Programar el computador Mark II para las 42 ecuaciones de Leontief había a requerido varios meses de esfuerzo y él l estaba ansioso por ver cuánto le llevaría a al computador resolver el problema. El Mark II zumbó y parpadeó durante 56 horas antes de producir finalmente una solución. Leontief, quien obtuvo el premio Nobel de Economía a 1973, abrió la puerta a una nueva era en modelos matemáticos ticos en economía. Sus esfuerzos en Harvard en 1949 marcaron uno de los primeros usos significativos de los computadores para analizar lo que entonces era un modelo matemático tico a gran escala. Desde ese tiempo, los investigadores en muchos otros campos han usado computadores para analizar modelos matemáticos. ticos. Debido a las cantidades masivas de datos implicados, los modelos generalmente son lineales; esto es, se describen con sistemas de ecuaciones lineales. 5 La importancia del álgebra lineal para las aplicaciones se ha elevado en proporción directa al incremento en la potencia de cómputo. c Con cada nueva generación n de hardware y software se dispara una demanda de mayor capacidad. La ciencia de cómputo está así intrincadamente ligada al álgebra lineal, a través s del crecimiento explosivo del procesamiento en paralelo y de los cálculos c en gran escala. Los científicos e ingenieros trabajan ahora en problemas mucho más m s complejos que los que podían imaginarse hace algunas décadas. d Hoy, el álgebra lineal tiene quizás más s valor potencial para los estudiantes en muchos campos científicos y de negocios que cualquier otra materia de matemáticas! ticas! He aquí algunas de las aplicaciones en distintas áreas.! Prospección n petrolera. Cuando un barco busca depósitos petrolíferos mar adentro, sus computadores resuelven miles de sistemas de ecuaciones lineales independientes diariamente. Los datos sísmicos s smicos para las ecuaciones se obtienen de ondas de choque bajo el agua producidas por medio de explosiones con cañones de aire. Las ondas rebotan en rocas bajo la superficie y se miden con geófonos sujetos a cables de una milla de largo tras del barco.! Programación n lineal. Hoy en día d a muchas decisiones gerenciales importantes se toman con base en modelos de programación n lineal que utilizan cientos de variables. La industria de la aviación, por ejemplo, usa programas lineales que organizan las tripulaciones para los vuelos, registran la ubicación n del aparato aéreo a o planean los diversos programas de servicios de apoyo tales como el mantenimiento y las operaciones de terminal.! Redes eléctricas. Los ingenieros utilizan un software de simulación n para diseñar circuitos eléctricos y microchips que incluyen millones de transistores. El software depende de técnicast de álgebra lineal y de sistemas de ecuaciones lineales. 6

4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: incógnitas: coeficientes: términos independientes: 7 Expresión n vectorial: donde: Expresión n matricial: donde: Escribir en forma vectorial y matricial el sistema: Escribir en forma matricial y en la forma usual el sistema de ecuaciones lineales cuya expresión n vectorial es: 8

5 son una solución n de (1) si considerando: se satisfacen las m ecuaciones del sistema. Todo sistema homogéneo tiene al menos una solución: la solución n trivial o impropia 9 Sistema homogéneo.- Subespacio vectorial de las soluciones de un sistema homogéneo.- S h, el conjunto de todas las soluciones de un sistema homogéneo (4) es un subespa spacio vectorial de Relación n entre los conjuntos solución n de un sistema de ecuaciones lineales (S) y su sistema homogéneo asociado (S h ).- : es una solución n de un sistema (1) : conjunto de las soluciones del sistema homogéneo (4) asociado al sistema (1) 10

6 -EJEMPLO.- S no es subespacio vectorial. Por qué? S h es subespacio vectorial. Por qué? 11 Matriz de coeficientes Matriz ampliada Sistema incompatible: no tiene soluciones Sistema compatible determinado: tiene una única solución Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones 12

7 TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS A : matriz de coeficientes del sistema AM : matriz ampliada del sistema n : número de incógnitas del sistema Para sistemas homogéneos 13 Si y incógnitas principales ecuaciones principales nro. incógnitas NO principales, tambi denominadas incógnitas libres : también 14

8 -EJEMPLO.- incógnitas principales ecuaciones principales 15 SISTEMAS EQUIVALENTES Dos sistemas de ecuaciones lineales se dicen equivalentes si tiene las mismas soluciones. Cómo conseguir sistemas equivalentes? Si las matrices ampliadas de dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, entonces los sistemas son equivalentes. 16

9 MÉTODO DE GAUSS En esta sección n estudiamos el método m que utilizamos normalmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales y que se suele denominar eliminación gaussiana.. Matemáticos ticos chinos usaron un método m de eliminación n similar para sistemas de ecuaciones lineales aproximadamente en el 250 a.c. El proceso se desconoció en la cultura occidental hasta el siglo XIX, cuando un famoso matemático tico alemán, Karl Friedrich Gauss ( ), lo descubrió.. Un ingeniero alemán, Wilhelm Jordan ( ), popularizó el algoritmo en un texto de 1888 sobre geodesia. Obtener un sistema equivalente de discusión n y resolución inmediatas (en caso de ser compatible). Conseguir una matriz equivalente a la matriz ampliada AM del sistema ( 1 ) en forma escalonada. 17 Si denominamos entrada principal de una fila a la entrada diferente de cero que está más a la izquierda en una fila no nula, diremos que una matriz está en forma escalonada si tiene las siguientes tres propiedades: 1.- Todas las filas diferentes de cero están n arriba de cualquier fila nula. 2.- Cada entrada principal de una fila está en una columna a la derecha de la entrada principal de una fila superior. 3.- Todas las entradas de una columna que están n debajo de una entrada principal son cero. RECORDAR 18

10 Teorema de la matriz invertible.- Sea A una matriz cuadrada de orden n.. Entonces los enunciados que siguen son equivalentes. 1.- A es una matriz invertible. 2.- A es una matriz regular. 3.- A es equivalente por filas a la matriz I n, es decir:. 4.- Los vectores columna de A son linealmente independientes. 5.- Los vectores columna de A generan. 6.- Los vectores columna de A forman una base de. 7.- Los vectores fila de A son linealmente independientes. 8.- Los vectores fila de A generan. 9.- Los vectores fila de A forman una base de A T es una matriz invertible Existe una matriz B cuadrada de orden n tal que A B = I n Existe una matriz C cuadrada de orden n tal que C A = I n r ( A ) = n El sistema homógeneo A x = 0 tiene solamente la solución n trivial El sistema A x = b es siempre compatible determinado y la solución n viene dada por: x = A -1 b. 19 El teorema de la matriz invertible divide el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n en dos clases disjuntas: (I) (II) las matrices invertibles (regulares o no singulares) y las matrices no invertibles (singulares). Cada enunciado del teorema describe una propiedad de toda matriz cuadrada de orden n invertible. La negación de un enunciado del teorema describe una propiedad de toda matriz singular cuadrada de orden n. Por ejemplo, una matriz singular cuadrada de orden n no es equivalente por filas a I n, no es de rango n,, y tiene columnas linealmente dependientes. La fuerza del teorema de la matriz invertible radica en las conexiones que establece entre tantos conceptos importantes, como la independencia lineal de las columnas (filas) de una matriz A y la existencia de soluciones para ecuaciones de sistemas lineales de la forma A! x = b.. Sin embargo, se debe subrayar que el teorema de la matriz invertible se aplica solamente a matrices cuadradas.. Por ejemplo, si las columnas de una matriz 4 3 son linealmente independientes, no podemos usar el teorema de la matriz invertible para sacar conclusiones acerca de la existencia o no existencia de soluciones de ecuaciones de la forma A! x = b. 20

11 Matriz de coeficientes Matriz ampliada Definiciones preliminares Sistema de ecuaciones lineales CONCEPTOS FORMAS DE EXPRESIÓN CLASIFICACIÓN Coeficientes Incógnitas Términos independientes Algebraica Vectorial Matricial (In)Homogéneo (In)Compatible (In)Determinado Concepto de solución Sol. homogénea Sol. general Teorema de Rouché-Frobenius Incógnitas principales RESOLUCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Sistemas equivalentes Método de Gauss Método de Jordan 21