CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO EN ESPACIOS DE RIEMANN
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- Mercedes Guzmán Venegas
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1 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL CLCULO IFEENCIL SOLUTO EN ESPCIOS E IEMNN E lo ledño de l eldd Geel Geoo cc-cubo (853-95) u eude uo, Tullo Le-C (873-94), fueo lo oeo e el deollo del clculo eol, ue ecbó el eue defo l coee e l ee eác cle ue eí lbe Ee u exocó coeee de l eldd Geel, eblecedo l focó de e efeecle ede dfeeccó bolu de ude ecole eole. bo ublco e 9 El Cálculo dfeecl boluo ( Méode de clcul dféeel bolu e leu lco, Mece le 54, 5- (9)), u ob á fo, ue eá o ducd deo do e uo de lo exo cláco de efeec del cálculo eol, á de u lo deué de u e ublccó. CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5
2 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL. INTOUCCIÓN LOS ESPCIOS E IEMNN.. efcó de Eco de e: El eco de ue e ule e lo eco eucldo el eo de cuu de e-coffel o ee e e l obldd de ue uede ex oo eco, e eel do lo eucldo, e lo ue el edco eo de cuu o ee e ulo. Eco ue eí á eele ue lo eucldo, eo e, eco de lo cule lo eucldo coeodeí l co cul e ue., Eo eco á eele eí lo Eco de e. P def, o couee, u Eco de e, eo de ocu ue u ude oedde cocd co l de lo eco eucldo, clue e lo ue eec l eo de cuu. í, e de cul l eí e ebldd de l éc l exeó coe del eleeo dfeecl de loud. U eco de e de deoe e u coudo o u edd -deol V u éc. U edd -deol V e u couo de ble x,..., x, ue uede eee loude, áulo, ec., ue eá defd e coeodee elo de úeo ele I,..., I. V ( ) { x / x I,,..., } Eco de e: ( V,( ) ) L éc o dc l fo de eeecó de l edd -deol, eo e, cd éc u fo de eeecó. L dc ee do uo fee óxo, o eleeo dfeecl de loud, d, odeo exel, coo e lo eco eucldo o: d x ( dx, dx) ( dx e, dx e ) dx dx ( e, e ) dx dx o e d dx dx Eo e, e fo deolld, fc ue CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5
3 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL... dx d ( dx,..., dx ) dx... Culédoe o lo deá ue: ( ), d dx dx, Y lo íbolo de Coffel uede defe, de e cocode co l exeó ue ee e lo eco eucldo, o: de e eece: (, ) x x x de eud eece: ( ),. Veeo ue odo eo íbolo efc e el Eco de e l oedde de eí, eoldd, ec., ue e lo Eco Eucldo... El eelo de l edde bdeole de e: E el co de l edde bdeole, odeo defl leee o u éc, eo e, o lo eleeo de l z éc e cd uo de l edd (eelee o ble lo eleeo de ee eo e lo uo de u eco de e), o be, odeo defl o u eeecó e e u edd eucld od deol, obee u éc dede l exeó del eleeo dfeecl de loud e l edd eucld: eeecó e l edd eucld: x x ( x,, z), x x ( x,, z) El. dfeecl de loud e l edd eucld od: d dx d dz E el uee eelo defo e edde bdeole de e ede u eeecó e u edd eucld od deol, l eeecó l, l eeecó eféc l eeecó clídc. Eelo: Suoo l edd de do deoe defd o V x, x / x (,π ), x ( π, π ) o be, llo o cooddd u l ble: CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 3
4 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL V u, / u (,π ), ( π, π ) eo l e fo dfeee de eeecó de e edd, cd u de ello co u coeodee éc : ) Fo de eeecó l. E el co e el ue l do ble eee loude: u x, d dx d dz du du d ( du, d) d Méc de l eeecó: ( ) b) Fo de eeecó eféc de do. Coeode l co e el ue l ble eee áulo: d u ϕ, φ dx d dz [ d( coφ.coϕ) ] [ d( coφ. eϕ) ] [ d( eφ) ] e φ. dφ co φ. dϕ dφ co φ. dϕ co O e: co du d ( du, d) d. du co φdφ d x coφ.coϕ coφ. eϕ z eϕ Méc de l eeecó: co ( ) CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 4
5 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL c) Fo de eeecó clídc de do. E el co e el ue u de l ble eee u áulo l o u loud: d u ϕ, dx d dz [ d( coϕ) ] [ d( eϕ) ] [ d] e ϕ. dϕ dϕ d O e: d co ϕ. dϕ d. du d ( du, d) du d Méc de l eeecó: x coφ coφ z ( ).3. L codcoe de defcó de l éc íbolo de Coffel: U eco de e, o edd ld de eco de e, e, e def, u couo de ble defd e elo ele, u edd, uo co u éc o eeecó. Eo o dc ue eo eco o á eele ue lo eco eucldo, do e eel l éc e cd uo de lo uo de l edd, e dec, ( x ),,..., Pueo ue eedeo ue eo eco e u eelzcó de lo eco eucldo, eo de exle l éc l codcoe de eí e ebldd ece ello. Se culá, o couee, elcoe álo l de lo eco eucldo: ) Seí defcó o de l éc:, > ) Ieó de l éc: δ CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 5
6 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL 3) elcó ee l cooee coe coe de u eco:, 4) Poduco eo:, ( u ) u 5) Eleeo dfeecl de loud: d du du dudu du du 6) Síbolo de Coffel de e eece: (, ) ( ) 7) Síbolo de Coffel de eud eece: (, ). 8) Teo -coe, -coe. Vcó e lo cbo de cooded: edo: x x e e e,,..., e e e,,..., x x Veo ue defedo e ude del odo exueo, e efc l oedde bác l éc íbolo de Coffel ue e efc e u eco eucldo. S ebo, l l éc e cd uo, í bé lo íbolo ue deede de ell. Eo uee dec ue u e de cooded ddo, lo íbolo de Coffel ue defo í e cd uo de l edd. Teoe: Lo íbolo de Coffel o éco olo ee cáce eol lo cbo de ble o cooded e l edd o lele. E efeco: ) P lo íbolo de e eece e efc: Seí: (, ) ( ) ( ) ( ), CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 6
7 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL Cooeo e lo cbo de cooded: (, ) ( ).( ) (, ). E def: (, ).(, ) Po o, e, eo e, lo cbo de cooded o lele, eoce el íbolo de Coffel de e eece e u eo coe de ode 3 (eo 3-coe) b) P lo íbolo de eud eece: Seí: (, ). (, ). Cooeo e lo cbo de cooded: (, ). (, ) (, ) (ueo ue,. δ ) δ δ ued flee: [.3_] Eo o dc ue e, eo e, lo cbo de cooded o lele, eoce el íbolo de Coffel de eud eece e u eo - coe -coe. Teoe: P lo íbolo de e eud eece de Coffel e efc, eecee, l dedde de cc Coffel. E efeco: CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 7
8 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL ) L Idedd de cc: E efeco: (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) ( ) b) L Idedd de Coffel: E efeco: Pedo de l elcó obed e ullc bo ebo o ued: :, e ee, l δ δ Teoe: L focoe de ble x ( x ) ue fo u éc de coefcee coe e o éc bé de coefcee coe de e lele: x ( x ) Fx G, F, G co e E efeco: ce (, ) de l dedd de Coffel, eeo ue: O e: ce F x x F x F. x G.3. Eco ee: P u eco de e ( V,( ) ), beo ue l éc í e cd uo de l edd. S codeo el lo de l éc ( ) [ ] e u uo P ( ) ddo, lleo Eco Eucldo Tee e el uo P ( ), l [ ] eco eucldo cu éc e ( ). CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 8
9 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL í, o eelo, el Eco Eucldo Tee u Vedd bdeol de éc eféc e u uo P ),, e el lo eucldo de éc coe dd o ( co ( ) ( ) E eel do eco () () e dce ee e u uo ddo P eeece bo eco l éc de lo do eco cocde e dco uo: ) ( ( ) ( ) ) ( o eco ee e dce oculdoe e el uo P e efc ue () () CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 9
10 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5. EIVCIÓN SOLUT COVINTE EN LS VIEES E IEMNN.. ed coe de u fucó ecl: Se u edd V( ), de ble,,...,, éc ( ). Codeeo l fucó ecl UU( ). edo co eeco l ble e obee fucoe ecle: ),..., ( U U U e u cbo de cooded de l fo ( ) e efc ue U U U U ueo ue U U., l fucoe U eul e l cooee coe de u eco ue odeo deo eco ded coe del ecl U... ed coe de u eco ddo e l fo coe: S l ( ),,...,, eee l cooee coe de u eco, e ee ue, e u cbo de cooded ( ): ( ) ( ) ( ) o e: [._] ue o e u cbo eol debdo l eo de lo udo de l exeó. P ee udo odeo ulz l dedd de Coffel: l uu e el e udo ued : δ o lo cul, l ded coe [._] eul: eodedo co eeco l cooded: ( )
11 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 llo, eeo:.. ue e l ded coe bolu del eco de cooee coe ( ),,...,, ee, o o, cáce eol. Se de u eo de eudo ode xo (-coe, -coe)..3. ed coe de u eco ddo e l fo coe: S llo ( ),,...,, l cooee coe de u eco eeo lo o eoe obeeo de fo álo l exeó de l ded bolu coe, ue uí e de l fo Culédoe l elcó eol: Po lo ue e de u eo de eudo ode coe..4. ed coe de u eo -coe: Se el eo -coe exedo e u cbo de cooded o. Se ee: ( ).... ) ( [.4_] Ulzo l Idedd de Coffel: bé: Suuedo e l exeó [.4_] de l ded: odedo:
12 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL o be: b b ( ) b b udo l ocó b b b b e ee e def ue, o lo ue l ded bolu eul e u eo 3-coe. E def, l ded bolu bucd e b b b b.5. ecó coe de o ude eole: Suedo déco ocedeo ecoo l ded coe de u eo de culue ode. E cul e ee, o eelo, ue e el co de u eo de ece ode -coe -coe: u u u u u.6. L ded coe bolu del eo éco: Udo l exeó [.4_] de l ded bolu de u eo -coe, l Idedd de cc, ecoo ue l ded bolu del eo éco e ul: (, ) ( ), edo, o l Idedd de cc: (, ) ( ), e ee obee: CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5
13 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL 3. SISTEMS E COOENS LOCLMENTE INECILES 3.. efcó de e loclee ecl o eodéco: Sbeo ue e cd uo de l edd l éc coeodee u e de efeec ddo, bé beo ue e u uo ddo de l edd l éc coeodee do e de cooded e d. E dec, e dfeee e de cooded {x }, {x }, {x },... l z éc ( ) ee loe do e u uo ddo M. L eu ue e co o ceo e l uee: Exá lú e de cooded l ue e el uo ddo M e ule lo íbolo de Coffel? Se ll Se Loclee Iecl, o be, Se Geodéco, o Se Nol e M, u e de cooded l ue e ulo lo íbolo de Coffel e M. d u edd de e, o leo l obldd de eco, u uo M ( ) ddo, u e loclee ecl e ee uo elzdo focoe de cooded dede l éc dd. í, o { } lo loe de l cooded { } e el uo M, eeeo l éc íbolo de Coffel e dco uo o ( ), (, ), ( ) eo de eco o cooded { } le ue e el uo M, e efue ue l éc e l ue lo íbolo de Coffel e ule: (, ), ( ) El uee eoe o d l fo de u focó ( ) de cooded ue ee obee u e loclee ecl e u uo culue M ). ( Teoe: do el eco de e de edd (,..., ) V éc ( ) e ee ue cd uo M ) de l edd e efc ue el e de cooded ( ( ) ( )( ),,... e loclee ecl e el uo M ). ( E efeco: Podeo e co e u cbo del o: CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 3
14 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL dode l ( )( ),,... C [3._] C o coe. eo: ( ) C ( ) δ C [3._] o e el uo ) M e: δ ( ) C ( ). C ( ). ( ) δ ( deá, beo ue bé e efc l elcó de Coece l ce :.. Po o e δ ( ).( ) δ ( ) δ ( ) δ. edo o l exeó [4._] co eeco : e el uo M : ( ) C.. C ( ) C. C. ( ) C.( ) ( ) C.( ) ( ) ( ) C. δ. δ C. δ. δ o e: o lo cul: ( ) C C ( ) ( C C ) [3._3] elco e coe co lo íbolo de Coffel odeo ulz l oedd [.3_]:. Y odeo ecb e el uo M : ( ) δ. δ. δ.( ) ( ). δ ( ) ( C C ) ueo ue de e ulo el íbolo de Coffel de l edeo ue ce: l olucó á ecll e ( ) ( ) ( C C ) ( ) ( C C ) C C ( ) eo uee dec ue u olucó del cbo de cooded oueo e [3._] e l focó: ( ) ( )( ),,... CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 4
15 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL Coolo: U fudel coecuec de ee eoe de deecó de l focó ue ee obee u e de cooded eodéco, e ue l cooee de u eo de culue ode de coz coz e el e de cooded { } o e el uo M ( ) l ue l cooee de coz coz del eo e el e { } loclee ecl e M ). Efecee: ( No ue ce o co ue exe ue l ce de focó o elee l del de coece: Se el cbo eol u eo -coe -coe ddo o e el uo M ) eá: ( (... ) δ (... ) δ δ δ 4.. eue de l deecó ácc de u e de cooded eodéco: S ueeo dee u e loclee ecl e u uo M ( ) de u edd V (,..., ) ocedeeo ede lo uee o: ) eeo l cooee del eo éco ( ) e el uo M ( ) ue ued deed o l cooded e cd uo de l edd (uede ee el eelo de edde bdeole de e e el do. de ee bo, dode e deedo l éc de l eeecoe bdeole l, eféc clídc). [( ) ] b) de l cooee de l éc clculo lo íbolo de Coffel e el uo M ( ) : (, ) ( x x x ) (, ).( ) c) Ecoo l cooded bucd del e eodéco ede l exeó deducd e el eoe eo: ( ) ( )( ),,... CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 5
16 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL 4.TENSO E CUVTU. TENSOES OTENIOS ESE L FOM COVINTE E IEMNN 4..L ded eud coe de u eco. Teo de cuu: ( ), (bedo lldo ) de lo cul, e ee: ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] Φ ode e lldo Φ éo éco eeco lo ubídce, ue Φ Φ, ue e u Po o, l exeó de l ded coe bolu de eudo ode del eo de e ode coe, uede exee o [ ] Φ (Sedo Φ ) edo l exeoe e l ue euo lo ubídce de l decó coe: [ ] Φ [ ] Φ ([ ] [ ]) ( ) e dec, e ee ue,, l eo e le ll, l ul ue e lo eco eucldo, Teo de Cuu, o, bé, eo de e de cuo ídce eud eece:, CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 6
17 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL 4..Síbolo de e de cuo ídce e eece: Se defe ee eo, ue e cooce bé coo fo coe de e, o l exeó: (, ),., Culédoe obee ue.( ),, 4.3.El eo de cc: Se deo Teo de cc l eo obedo dede el Teo educdo de e de ª eece, eo e, del eo de cuu e el ue el ídce ueo cocde co uo de lo ubídce feoe (coccó eol de ídce):, Exeó e fucó de lo íbolo de Coffel: ( b ) b.,, 4.4.L cuu ecl de e. L cuu ecl de Gu: Llo Cuu Ecl de e l coccó del Teo de cc ede el eo éco:. e fucó ecl, defd e cd uo de lo uo de l edd de e e, coo beo, ul e lo eco eucldo. Se ll Cuu Ecl de Gu l ud obed dede l Cuu Ecl de e o K ( ) L cuu ecl ee exe de u fo ecll el eo de cc e eco de do deoe: E do deoe e, [4.4_], o lo cul: CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 7
18 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL K. (: cuu ecl de e, K: cuu ecl de Gu) No: L elcó [4.4_] e ed e eco de do deoe: ( ) 4.5.Exeó de l fo coe de e e fucó del eo éco de lo íbolo de Coffel: O e: ) ( ) ( ) ( ) [ (, ) (, )(, ) ] [ (, ) (, )(, ) ] (, ) (, ) (, )(, ) (,, (, )(, ) (, ) (, ) [(, )(, ) (, )(, ) ] ( ) [(, )(, ) (, )(, ) ] ( ) [(, )(, ) (, )(, )] (, ) No: Se udo el eco de ue l e bé e, ue e ufc cudo uo l cooded eodéc (e eccó 3), de lo cul eul, o eelo, ue [(, ). ]. (, ) 4.6. Exeó de l fo coe de e e u e de cooded loclee ecl: S eo udo cooded eodéc, l exeó de lo íbolo de e de cuo ídce e eece e educe (, ) ( ) e elcó ee obee l elcoe de eí de lo íbolo de fo ecll: CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 8
19 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL ) (, ) (, ) ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ), (, ) 3) (, ) (, ) (, ) E uldde, o u cáce eol, o deede del e de cooded eledo e l eeecó. El be ulzdo cooded eodéc fcdo leee u educcó e l lboodd de lo cálculo Poedd de eí el eo de cc: Udo l oedde de eí de lo íbolo de e, odeo eblece bé l eí del eo de cc: b b b ( b, ).(, b) (, b) b b., eo uee dec ue l eu lo do ubídce del eo, ued e Cálculo del úeo ol de íbolo de cuo ídce: L deecó del úeo ol de íbolo de e de cuo ídce e eece e be lbooo, o obe, ulzdo l elcoe de eí odeo educ l dfculd de u cálculo. Teo e cue ue lo íbolo o ulo cule ue de e do lo eo ídce bé de e do lo eudo ídce: (, ), Podeo clcul el úeo de e oble, co lo do dío do,, coucó, el úeo ol de cobcoe oble do e. l úeo ol eule e eco ele el úeo de elcoe de l fo 3) del do eo, ue de ee do lo cuo ídce, o lo ue e ol e l cobcoe de eleeo odo de cuo e cuo. Se ee, eoce: Núeo de e de ídce do: φ Núeo de cobcoe de do e: d á lo de do e ule) Núeo de l elcoe 3): ϕ 4 φ φ ϕ (lo de do e CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 9
20 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL E def, el úeo ol de íbolo o ulo: N φ φ ϕ ϕ φ( φ ) φ 4 4 ( )( )( 3) φ( φ ) ( )( )( 3). ( ) ( ) ( )( )( 3) 4 4 E def lfcdo l exeó: N ( ) Eo uee dec, o eelo, ue e u edd bdeol el úeo de íbolo o ulo de cuo ídce de e e: N. E u eco deol e N6. E u eco de cuo deoe ecoo ue e N 4.9. Eelo de deecó de lo eoe báco e u edd bdeol de éc eféc: Suoo ue l edd bdeol V ( u, ) eá dod de l éc Clculeo: co ( bu) ( ) ) eee de l z de G: b) Mz e de G: co ( bu) co ( bu) ( ) c) Eleeo dfeecl de loud: d du du d co ( bu). d co ( bu) ( du, d) ( du, co ( bu) d) du co ( bu) d d) Síbolo de Coffel de e eece: du d CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5
21 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL (, ) ( ) Teedo e cue ue,, co ( ), eeo: bu (,) (,) (,) (,)-b.co(bu).e(bu) (,) (,)b.co(bu).e(bu) (,)-b.co(bu).e(bu) (,) e) Síbolo de Coffel de eud eece: (, ) uí edeo e cue lo loe de lo eleeo de l z e de G,, co ( bu) : (,). (,). (,). (,). (,). (,). (,). (,). (,). (,). (,). (,). (,). (,). (,). (,). b. ( bu) b. ( bu) b.co( bu). e( bu) f) Teo de Cuu (Teo de e de 4 ídce eud eece):, Lo íbolo o ulo o:, b, b, b.co ( bu), b.co ( bu) ) Fo coe de e (Síbolo de 4 ídce e eece): (, ), El úco íbolo o ulo ee exedo o: CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5
22 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL (,) b.co ( ),,, bu ) Teo de cc:, e ee eelo olo o o ulo do íbolo:,, b b.co ( bu) ) Cuu ecl de e:. b co ( bu).co ( bu) b b b ) Cuu ecl de Gu: K ( ) b K b ) Coobcó de ue e de u éc eféc de do /b: Hcedo el cbo de ble: d du d du co ( bu). d ϕ bu, ω b, e ee: d ϕ bdu, dω bd, co lo cul, l uu: d b dϕ b co ϕ. dω b dϕ b co ϕ. dω l z éc eule e ( ) b b co ϕ ue, coo eo o e l á 4, coeode u éc eféc de do. b CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5
23 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL 5. L IENTI E INCHI 5.. L obecó de l Idedd de c: Se efc, l decó coe bolu del eo de cuu, u elcó coee e eu cculee e ídce, el de l decó cl lo do ubídce ecudo del eo. E elcó d e cooce coo Idedd de c:,,, Po lcdd, odeo obee l elcó edo de l exeó e cooded eodéc del eo de cuu, ue l e de u elcó eol o deede del e de cooded ue e ulce., Ecbo l ded co eeco l ble x :, eudo ubídce:,,, S uo l e uldde: ( ),,,, o o:,,, flee, o l oedd de cbo de o l eu lo do ubídce ecudo del eo de cuu:,,, 5.. Teoe: Se efc l elcó: dode e el eo codo de cc ede el eo éco, e l cuu ecl de e.., CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 3
24 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL E efeco: S ceo e l Idedd de c, e ee:,,, o be eodedo ídce del ece udo: co lo cul ued: o be:,,,, b ( b, ), co obeo de coe uo de lo eoe de cc ue fu e l exeó, ullco od l exeó o eeo e cue ue o u euldo eo e, e ee: ued, flee: b b b b ( b, ) b, b, b CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 4
25 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL 6. TENSO E EINSTEIN. ESPCIOS E EINSTEIN 6.. efcó del Teo de Ee: Se defe el Teo de Ee coo el eo cc o l exeó: E obedo dede el Teo de E. ue odeo exe coo u eo de eudo ode xo: E E E edo ue e lo eco de e de do deoe,, el Teo de Ee e décee ulo. E Teoe: L ded coe del eo xo de Ee e ul: E E efeco: Sedo E E.. δ L ded coe eá: E δ 6.3. Eco de Ee: Se defe u Eco de Ee coo u eco de e e dode el eo de cc e el oduco de u fucó ecl o el eo éco: φ. E lo eco de e de do deoe beo ue e efc ue el eo de cc e CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 5
26 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL. edo l cuu ecl de e, o lo ue odeo f ue eo eco o co cule de eco de Ee Exeó de lo eoe de cc e Ee e u eco de Ee: e l defcó de cuu ecl de e, e ee, e u eco - deol: φ. φ φ o o e φ. El eo de cc e, e u eco de Ee -deol:.. Y el eo de Ee: E L cuu ecl de e e u eco de Ee: E odo eco de Ee, E, co >, e efc ue l cuu ecl de e e coe. E efeco: de e.. e u eco de Ee, e ee l exeó del eo xo de cc de l fo: dedo:.... δ. δ ueo ue e odo eco de e e e ee ue. e dec, l cuu ecl de e,, e coe e lo eco de Ee. CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 6
27 CLCULO IFEENCIL SOLUTO. EN LOS LEÑOS E L ELTIVI GENEL 6.6. Teoe de Scu: Todo eco eo e el ue e fce, lu fucó ecl φ, l uldde: (, ) φ.( ) E u eco de Ee, e dode φ ( ) E efeco: Mullco l exeó dd o, l obeo de coe eoe: o e: ceo : (, ) φ. ( ) φ. ( ) φ. ( δ δ ), φ. ( δ δ ) ( δ δ ) φ. (. ). φ.( ), φ. e dec, φ.( )., o lo ue e de u eco de Ee. Y coo e eo eco e cule ue.., e ee: O e:.. φ.( ). φ ( ) φ K (dode K eee l cuu ecl de Gu) CLOS S. CHINE. MCHEN OCTUE, 5 7
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