SELECCIONANDO CARTERAS EFICIENTES DE UTILIDAD ÓPTIMA CON VALORES IBEX 35 D. Plà-Santamaria, C. Climent.

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1 7 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8- de abril de 003 SELECCIONANDO CARTERAS EFICIENTES DE UTILIDAD ÓPTIMA CON VALORES IBEX 35 D. Plà-Santamaria, C. Climent. Departamento de Economía y Ciencias Sociales, 0380 Alcoy, España RESUMEN Aplic ando la técnica de utilidad-compromiso hemos obtenido una cartera óptima para un inversor con perfil estándar. Ésta se ha comparado con una inversión alternativa en el IBEX-35 durante el año 000, siguiendo una estrategia comparar y mantener (buy & hold). Los resultados son alentadores ya que se comprueba la superioridad de la inversión CP frente a la inversión indexada IBEX-35. Como universo de datos se han tomado los cash-flows correspondientes a 3 valores bursátiles pertenecientes al IBEX- 35 durante el periodo El procedimiento de cálculo y los resultados para el año 000 se explican a través de tablas y figuras. Palabras y frases clave: selección de carteras, modelos multicriterio, carteras eficientes. Clasificación AMS: 9B8.. Introducción La moderna teoría de carteras (Modern Portfolio Theory, MPT) gira fundamentalmente entorno a los conceptos de eficiencia y máxima utilidad esperada. Las carteras eficientes fueron introducidas por Markowitz (95, 970, 987), mientras que Arrow (965) y Pratt (964), desarrollaron el concepto de aversión al riesgo desde la perspectiva de máxima utilidad esperada, una elegante teoría matemática sobre jerarquización de decisiones inciertas bayesianas, la cual había sido propuesta años antes (Von-Neuman and Morgenstern, 947). Alrededor de ambos ejes primarios, se han desarrollado en MPT diversas variantes metodológicas, tales como maximización de la media geométrica (974) y safety first (978). Sin embargo, a pesar del interés que ofrecen estas variantes en el campo aplicado, apenas aportan un contenido sustancial al cañamazo teórico markoviano. Una serie ininterrumpida de trabajos sobre MPT viene apareciendo en la literatura incluyendo artículos en libro (por ejemplo, Bernstein and Fabozzi, 998). Estos trabajos suelen contener comentarios, reflexiones, extensiones de la teoría estándar, contrastes y sugerencias aplicativas más bien que nuevos modelos. El proceso markoviano de selección se instrumenta en etapas: a) Construir una frontera eficiente respecto a variables que representan expectativas de retorno y de riesgo. Estas variables son la rentabilidad esperada (M) y la varianza esperada (V) las cuales se obtienen como proyecciones de

2 series históricas extendidas a periodos entre 3-6 años, generalmente. Las fronteras eficientes Media-Varianza (M-V) responden a la idea Paretiana de optimizar una única variable sin perjudicar por ello a las restantes en el marco de la programación. Para ello, M-V minimiza el riesgo de una cartera con pesos incógnita, manteniendo constante la rentabilidad esperada. Este procedimiento conduce a una cartera eficiente en el sentido de Pareto. En efecto, entre todas las alternativas que ofrecen la misma rentabilidad esperada, se selecciona aquella que garantiza el menor nivel de riesgo; por tanto, dicha alternativa puede considerarse óptima respecto a seguridad inversora. El riesgo (o su antítesis, la seguridad) se mide recurriendo a distintos indicadores estadísticos, aunque la estándar de cuantificacion es la varianza o su raíz cuadrada, la desviación típica. Las ventajas de usar la varianza como medida de riesgo son de tipos, conceptuales y operativas. En primer lugar, muchos inversores identifican riesgo con volatilidad pensando que si un valor bursátil, o una cartera, experimenta fluctuaciones profundas y frecuentes en sus precios se crea incertidumbre a su alrededor, ya que se puede comprar equivocadamente a precios caros y vender a precios baratos, con lo cual resultan abultadas perdidas. Como la volatilidad se refleja matemáticamente en la varianza, queda patente el interés de este indicador de riesgo. En segundo lugar, la varianza de una cartera se puede calcular estadísticamente mediante una formula matemática sencilla lo cual facilita mucho él calculo de fronteras eficientes. Medidas alternativas han sido propuestas en la literatura MPT, pero además de suscitar controversias teóricas, tropiezan con dificultades calculatorias (Nawrocki, 999). Como la minimización restringida del riesgo queda sujeta a un valor paramétrico particular que toma la rentabilidad esperada, tenemos una cartera eficiente para cada nivel paramétrico prefijado de la rentabilidad. Por consiguiente, hay que repetir el proceso de minimización tantas veces como sea necesario, dando a las expectativas de rentabilidad distintos niveles, con el fin de trazar la curva frontera mediante una serie de puntos próximos entre sí y situados sobre ella. En otras palabras, la curva frontera se dibuja aproximadamente a través de una poligonal inscrita sobre la misma. Cuanto más minimizaciones se lleven a cabo, tanto más tupida resultará la poligonal y tanto más fino será el dibujo de la frontera. b) Determinar la cartera eficiente que maximice la utilidad del inversor. Esta segunda etapa de optimización es imprescindible si tenemos en cuenta la multiplicidad de carteras eficientes sobre la frontera. En general, se cumple una ley de correlación entre riesgo y rentabilidad esperada, de tal modo que si se quiere conseguir unas altas expectativas de rentabilidad se incurre también en un alto riesgo. Para cada perfil inversor, existe una función de utilidad que relaciona las preferencias del inversor particular respecto a seguridad y rentabilidad. Aquellos inversores que prefieren arriesgarse con el propósito de aumentar sus expectativas de rentabilidad, elegirán puntos de elevada cota en la frontera, es decir, elegirán carteras que aparejan un considerable riesgo y una considerable rentabilidad esperada. Aquellos otros inversores que se decanten por la seguridad, elegirán carteras en el polo opuesto de la frontera eficiente, a

3 conciencia de que estas carteras implican una baja rentabilidad esperada. En definitiva, la elección depende de unas preferencias que vienen dadas por la función de utilidad correspondiente a cada inversor. Sino se conoce esta función de utilidad, o si solo se la conoce deficientemente, será difícil para el analista aventurar la cartera óptima, quedando así sin resolver el problema selectivo. Sin embargo, hay una gran diferencia operativa entre las etapas (a) y (b). Mientras la etapa (a) requiere únicamente recopilar estadísticas de retornos fácilmente accesibles al analista bursátil y resolver programaciones cuadráticas paramétricas (un problema hoy sin duda superado con el uso de programas estándar), la etapa (b) requiere ante todo elicitar preferencias y especificar una función matemática de utilidad para cada inversor. Esta tarea no es, ni mucho menos, trivial. Si el analista la quiere emprender a través de diálogos interactivos con el inversor, se necesita consumir un tiempo desproporcionado, sin garantías además de obtener una acuracidad suficiente. Por este motivo, los analistas financieros renuncian en la práctica a la etapa (b), lo cual exige acometer la selección de carteras mediante algún procedimiento indirecto que subrogue la función de utilidad. Algunos investigadores han sugerido desde trabajos empíricos que los inversores pertenecientes a una misma familia de aversión al riesgo (en el sentido de Arrow, 965) tienen funciones de utilidad en principio diferentes, pero cuyos óptimos sobre la frontera se encuentran relativamente próximos entre sí (Kallberg and Ziemba, 983). En este artículo seguiremos una línea investigadora que acota el óptimo de utilidad entre dos puntos de la frontera eficiente, los cuales se pueden determinar mediante técnicas de programación compromiso. Dentro del análisis multi-criterio, la programación compromiso (Zeleny, 98; Yu, 985) es una herramienta con diversidad de aplicaciones. Un teorema de enlace entre compromiso y utilidad (Ballestero and Romero, 99, 996, 998, ch.6) establece que el óptimo de utilidad para inversores estándar (es decir, decisores sin sesgos acusados hacia la rentabilidad o la seguridad) se encuentra comprendido entre el punto L8 (que corresponde a una solución compromiso con métrica infinito) y el punto L (que corresponde a una solución compromiso con métrica igual a la unidad). A pesar del tecnicismo involucrado en este teorema, ambas cotas, L8 y L, son fáciles de encontrar sobre la frontera eficiente, ya que su cálculo apenas exige unos minutos al analista. Sin embargo, es obvio que muchos inversores no son estándar, sino que demuestran sesgos a veces profundos hacia las variables clave, rentabilidad esperada y seguridad. Otro teorema de enlace que fue publicado unos años después del primero (Ballestero, 998) proporciona cotas para inversores de perfil sesgado. Una de ellas es la misma L8 ya mencionada, mientras que la otra recibe el nombre de punto L, cuya situación depende de las preferencias respecto a seguridad y rentabilidad que manifiesta el inversor. El primer teorema de enlace ha sido corroborado en diversos artículos matemáticos (Morón et al, 996, Blasco et al, 999, Blasco et al, 000) donde se estudian sus bases topológicas, pero sin llegar a generalizarlo a cualquier número de criterios. Así pues, el teorema que aplicaremos aquí es válido para aproximar óptimos de utilidad con dos atributos, pero hasta ahora no se puede extender a tres o más atributos; por ejemplo, rentabilidad esperada, seguridad y liquidez de la inversión. El caso estudio que presentamos en este artículo se refiere a carteras de renta variable con valores que cotizaban en la Bolsa de Madrid durante el periodo El 3

4 conjunto de oportunidad incluye 3 títulos bursátiles, todos los cuales han formado parte del índice IBEX 35, al menos durante un año en periodos consecutivos o no consecutivos de tiempo. Las ventajas del método aplicado en este artículo respecto a técnicas alternativas se puede resumir como sigue: ) El método garantiza que las carteras son eficientes, lo cual no ocurre cuando se usan técnicas de programación por metas (goal programming, GP) cuyas soluciones se apartan a menudo de la eficiencia. Ejemplos de soluciones GP ineficientes pueden consultarse en Romero (99, p.3). ) El método garantiza aproximaciones al óptimo de utilidad, lo cual le concede superioridad, no solo respecto a las técnicas GP y multi-objetivo sino también a otros procedimientos heurísticos, por ejemplo, Nawroki (000). El artículo se organiza del siguiente modo. En la Sección se detalla la base de datos y se calcula la frontera eficiente para un inversor estándar que sigue la estrategia comprar y mantener (buy & hold). En la Sección 3, se calculan las cotas sobre la frontera, aproximando así una cartera eficiente-óptima para inversores estándar. En la Sección 4 se concluye comparando resultados de dos inversiones alternativas, la primera de ellas consistente en la cartera obtenida, mientras que la segunda es una apuesta sobre el IBEX 35.. Datos estadísticos desde la Bolsa de Madrid y cálculo de la frontera eficiente Los datos que se utilizan en este análisis se han obtenido de para las cotizaciones diarias durante los años , mientras que los datos sobre dividendos y ampliaciones de capital proceden de los Apéndices estadísticos anuales publicados por la Bolsa de Madrid (Servicio de estudios) en los mismos años. Durante los años base del análisis 44 stocks fueron considerados dentro del IBEX 35 en algún semestre. De estos 44 valores, se eliminaron los que empezaron a cotizar en el mercado continuo madrileño con posterioridad al año 997, así como los que únicamente formaron parte del índice un solo semestre. Estas limitaciones disminuyeron el conjunto de oportunidad a 3 stocks, los cuales pueden verse en la Tabla. N' Sociedad Símbolo Telefónica TEF Endesa ELE 3 Iberdrola IBE 4 Bilbao Vizcaya Argentaria BBVA 5 Repsol REP 6 Santander Central Hispano Americano SCH 7 Banco Popular POP 8 Banesto BTO 9 Acesa ACE 0 Unión Fenosa UNF 4

5 Bankinter BKT Aguas Barra AGS 3 Mapfre MAP 4 Acerinox ACX 5 Alba ALB 6 Hidrocantabria CAN 7 FCC FCC 8 Aumar AUM 9 Sol Melia SOL 0 ValleHermoso VAL Dragados DGR Uralita URA 3 Amper AMP 4 Asturiana de Zinc AZC 5 Viscofan VIS 6 Tubacex TUB 7 Telepizza TPZ 8 ACS ACS 9 Acciona ANA 30 NH Hoteles NHH 3 Gas Natural CTG Tabla. Sociedades consideradas en el IBEX 35 al menos dos semestres durante el periodo Para el análisis se han utilizado datos mensuales, por tanto los datos estadísticos obtenidos se han resumido en retornos mensuales del siguiente modo. A las cotizaciones diarias de cada valor se les aplica un análisis de regresión para calcular las plusvalías mensuales eliminando la aleatoriedad en los extremos del periodo. Así pues, se estableció una regresión lineal para cada título-valor y para cada mes, como variable exógena se consideró el tiempo (medido en días naturales); como variable endógena se consideró el precio al cierre en. Los días en que no cotizó el título no dieron lugar a observaciones. De este modo, obtuvimos para cada caso, un ajuste por mínimos cuadrados ordinarios de los precios a una recta en el plano (tiempo, cotización al cierre), cuya pendiente indica la tendencia de las cotizaciones al alza o a la baja, durante el mes considerado. La plusvalía o minusvalía mensual ajustada de cada título es el desnivel que la recta de regresión presenta a final de mes sobre el principio de mes. Los retornos mensuales se calcularon sumando algebraicamente las plusvalías y los flujos de caja. Los dividendos se consideraron el mes en el que se hicieron efectivos. En referencia al cobro de la venta de los derechos de suscripción, se consideró el valor medio durante el periodo que fluctuaron en mercado y se aplicó el último día de su cotización. Como ejemplo, se presentan los resultados para uno de los títulos, Banco Popular (véase Tabla ). 5

6 enero febrero marzo abril mayo junio julio agosto septiembre octubre noviembre diciembre Tabla. Retornos mensuales obtenidos del Banco Popular ( ) Una vez transformada la información estadística inicial se obtuvo el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas históricas, con la información del periodo Esta información puede verse en las Tablas 3 y 4. Símbolo Rentabilidad Esperada TEF ELE 0.03 IBE 0.06 BBVA REP SCH 0.06 POP BTO ACE 0.0 UNF BKT AGS 0.06 MAP ACX ALB CAN 0.00 FCC 0.09 AUM 0.00 SOL 0.03 VAL 0.05 DGR URA 0.00 AMP 0.06 AZC

7 VIS TUB TPZ ACS ANA NHH CTG 0.04 Tabla 3. Vector de Rentabilidades Esperadas. Tabla 4. Matriz de Riesgo Esperado (Covarianzas). De acuerdo con el modelo M-V, la frontera eficiente se calcula mediante el siguiente programa cuadrático-paramétrico: Minimizar la varianza de la cartera sujetándola a una restricción paramétrica según la cual, el rendimiento medio de dicha cartera debe mantenerse a un nivel especificado de antemano. Además se ha introducido las pertinentes restricciones de diversificación con arreglo a las normas legales actualmente vigentes en España. Según estas normas, cualquier valor bursátil seleccionado para la cartera no puede participar, en general, con peso superior al 5%, aunque la ley admite la siguiente excepción: un corto número de valores pueden exceder el nivel 5%, siempre que la suma de sus pesos no exceda el 40%. En la Figura, se representa gráficamente la frontera eficiente obtenida para el 0 de enero de 000, con su clásica forma de bala (bullet shape) la cual nos indica los portafolios eficientes seleccionados para cada nivel de rendimiento especificado (Reilly, 985; p. 30). En la Figura, se representa gráficamente la frontera eficiente obtenida para el 0 de enero de 000, la cual nos indica los portafolios eficientes seleccionados para cada nivel de rendimiento especificado. 7

8 Rentabilidad Esperada Figura. Frontera eficiente para un el año Acotación del Óptimo de Utilidad para Inversores Estándar Después de calcular la frontera eficiente M-V, el análisis se inicia con la función de utilidad bi-criterio u ( θ,θ ), para un inversor estándar. En la función de utilidad que consideramos, el argumento θ es un índice normalizado correspondiente a las expectativas de retorno mientras que el argumento θ es un índice normalizado de seguridad inversora. Para normalizar las expectativas de retorno se usa el siguiente índice de rentabilidad: * E E θ = () * E E* donde: E = retornos esperados de la cartera. E * = máximo retorno esperado entre las carteras situadas sobre la frontera eficiente. E * = mínimo retorno esperado entre las carteras situadas sobre la frontera eficiente. Para normalizar la seguridad inversora, el índice empleado es el siguiente: * V V V* V θ = Indice de riesgo = = () * * V* V V* V donde: V = varianza de los retornos en la cartera. V * = mínima varianza entre las carteras situadas sobre la frontera eficiente. 8

9 V * = máxima varianza entre las carteras situadas sobre la frontera eficiente (Ballestero and Romero, 998, p. 90). Como el valor ideal CP (denotado con asterisco superior) es, por definición, el mejor valor del conjunto considerado, tenemos que este ideal corresponde a un máximo en el caso de atributos cuanto más mejor. Por el contrario, el valor ideal corresponde a un mínimo en el caso de atributos cuanto más peor. Por ello, las expectativas de retorno (variable más-mejor ) se asocian a un máximo como ideal mientras que la varianza (variable más-peor, representativa de la volatilidad) va asociada a un mínimo en su punto ideal. A la inversa ocurre con el anti-ideal CP, que se define como el peor valor del conjunto y se denota con asterisco inferior. En la ecuación () resulta un mínimo θ = 0 cuando E = E *, encontrándose el valor máximo θ = para E = E *. Así pues, cualquier valor del índice normalizado cae sobre el intervalo [0,]. Análogamente, para el índice de seguridad inversora (). A través de este cambio, la volatilidad se transforma en seguridad. Así pues, el plano de las variables normalizadas ( θ,θ ) ofrece la relación de intercambio preferencial (tradeoff) entre seguridad y expectativas. Para el año de aplicación, esta relación se especifica en la Tabla 5 refiriéndola a cada cartera eficiente calculada sobre la frontera. Así mismo, la tabla recoge otros resultados significativos como son las esperanzas y varianzas antes de la normalización. La frontera normalizada con su característica forma de cuadrante circular se ha dibujado en la Figura. Como nuestro objetivo se centra en una política buy & hold, es suficiente calcular la frontera para el día 0 de enero de 000 (con la información obtenida de los 36 meses anteriores) y mantenerla invariante durante los doce meses siguientes. () () (3) (4) (5) (6) (7) # DIV/0! () Esperanza no normalizada; () Varianza no normalizada; (3) Índice θ de rentabilidad; (4) Índice (5) Cociente θ/θ, para determinar la cota L8 donde θ θ ; (6) Valor θ + θ de seguridad; θ cuyo máximo corresponde a la cota L. 9

10 Tabla 5. Frontera normalizada y acotación de carteras óptimas para el año 000. En el siguiente paso, se fijan las cotas L y L, sobre la frontera normalizada. Se demuestra que la cota L es la intersección de la diagonal OI con la curva frontera (véase Figura ). Se observará que la diagonal OI es la recta que une el origen de coordenadas con el punto ideal I (,). Por tanto, las coordenadas de L se encuentran fácilmente buscando en la Tabla 5, columna (6), el valor θ /θ más próximo a la unidad, ya que este valor corresponde a la igualdad θ =θ que es la ecuación de la bisectriz OI. La cota L se obtiene maximizando la expresión ( θ + θ ) sobre la frontera. La maximización se consigue de modo casi inmediato tanteando valores de ( θ + θ ) en la Tabla 5, columna (7). Según los teoremas de enlace, ya citados, entre utilidad y compromiso, los puntos L -L acotan el óptimo de utilidad para un inversor estándar. Para determinar la cota L en la columna (6), basta observar cuál es la cifra más aproximada al nivel dentro de dicha columna. Vemos que esta cifra es que corresponde a la cartera número. En efecto, las cifras de la columna (6) son los cocientes θ /θ, y en consecuencia, un cociente aproximadamente igual a equivale a la igualdad aproximada θ θ. Como sabemos que el punto L se obtiene interceptando la frontera con la diagonal θ = θ, el procedimiento seguido en la tabla conduce a la cota deseada. Pasamos ahora a determinar la cota L en la Tabla 5. Según hemos indicado, esta cota corresponde al máximo valor de la suma ( θ + θ ) sobre la frontera. Por tanto, iremos sumando las cifras de θ y θ situadas en cada fila de la tabla y observaremos a simple vista cuál es su nivel más alto. De este modo, comprobamos que el máximo de la suma corresponde a la cartera número, donde se tiene: θ = θ = θ + θ =.80 Al aparecer dos carteras susceptibles de ser óptimas, seleccionamos la número siguiendo un criterio de centralidad, como puede apreciarse en la Figura. La cartera # será la cartera CP elegida para el inversor estándar. Esta cartera CP tendrá la composición indicada en la Tabla 6. Símbolo Peso en la cartera CP TEF 0.00 ELE IBE BBVA REP 0.00 SCH 0.00 POP

11 BTO ACE UNF BKT AGS MAP ACX ALB CAN FCC AUM SOL VAL DGR URA AMP AZC VIS TUB TPZ ACS ANA NHH CTG Tabla 6. Composición de la cartera optima CP. Figura. Frontera normalizada y acotación de carteras óptimas para el año 000

12 Rentabilidad por Plusvalías /Minusvalías Rentabilidad Incluyendo Dividendos Volatilidad (Indicador Normalizado) Cartera CP Cartera IBEX Tabla 7. Rentabilidades y volatilidades efectivas en el año 000 Por último, la Tabla 7 recoge resultados comparativos en un marco de performance, es decir, rentabilidades efectivamente obtenidas por la cartera CP y por una cartera indexada al IBEX 35 durante el año 000. Estas rentabilidades hubieran sido, en ambos casos negativas, como consecuencia de las fuertes caídas en las cotizaciones a lo largo del año. La última columna de la tabla proporciona un indicador de volatilidad normalizado a niveles de magnitud IBEX 35, con el fin de comparar cifras homogéneas. Figura 3. Evolución temporal de la cartera CP y el índice IBEX 35, durante el año de análisis. La escala de la izquierda se refiere al IBEX 35 y la escala de la derecha a la cartera CP. Como se puede apreciar, partimos de una inversión de

13 Figura 4. Evolución temporal en porcentaje de la cartera CP y el índice IBEX 35, durante el año de análisis. En la Figura 3 se muestra la evolución temporal de las dos carteras objeto de análisis. Como se puede observar, el balance del año 000 tanto en una como en la otra supone una caída de precios generalizada, debido a la bajada de las cotizaciones tanto en el mercado español como en la mayoría de los mundiales. 4. Conclusiones Expondremos brevemente los resultados obtenidos siguiendo una línea argumental de discusión. ) La cartera seleccionada incluye 8 títulos de renta variable, la mayoría de los cuales limitan su participación a un 5% en el conjunto del portafolio, cumpliendo así lo establecido por la ley española. Solo tres valores, TEF, REP y SCH, tienen pesos del 0% cada uno, una excepción permitida por la misma ley, ya que la suma de sus tres pesos no excede el 40% del total (véase Tabla 6) ) Se ha demostrado que esta cartera satisface los siguientes requisitos: (a) eficiencia, en el sentido de que minimiza el riesgo (en términos de volatilidad o varianza) para el conjunto de todos aquellos portafolios con iguales expectativas de rentabilidad; (b) optimalidad, en el sentido de satisfacer las aspiraciones de un inversor estándar con estrategia comprar y mantener ya que se aproxima suficientemente a la cartera de máxima utilidad para inversores sin sesgos particulares hacia la rentabilidad o la seguridad. 3) Podemos preguntarnos hasta qué punto el inversor hubiera acertado comprando una cartera CP como la anteriormente seleccionada, y manteniéndola durante el año 000. Un juicio a este respecto podría basarse ya en un análisis de performance mediante índices Sharpe (994) o análogos, ya en un análisis comparativo suponiendo que el inversor hubiera elegido un fondo de inversión 3

14 indexado al IBEX 35, o hubiera jugado a este índice. Se comprueba que durante el año 000, la cartera CP habría arrojado pérdidas de un 5.4% (sin contabilizar dividendos) y del 3.46%, contabilizando dividendos no reinvertibles. Ello contrasta con las favorables expectativas que se situaban en un 48% de ganancia y se explica por la caída de la bolsa. Al conducir la cartera a pérdidas efectivas, el índice de Sharpe no es obviamente aplicable. Sin embargo, el resultado efectivo (-5.4%) se evidencia notablemente superior al resultado efectivo de invertir en un fondo indexado al IBEX 35, sin considerar, en ambos casos, dividendos ni ampliaciones de capital. Como se revela en la Tabla 7, una apuesta por el fondo indexado habría conducido a pérdidas efectivas del.53%. Aunque la volatilidad efectiva se mueve a niveles algo inferiores en el IBEX 35 que en la cartera CP, esta ventaja parece pequeña en comparación con el alto diferencial de rentabilidades negativas. Referencias Arrow, K. (965): Aspects of the Theory of Risk Bearing, Academic Book Store, Helsinky. Ballestero, E. (998) Approximating the Optimum Portfolio for an Investor with Particular Preferences, Journal of the Operational Research Society, 49, pp Ballestero, E.; Romero C. (996) Portfolio Selection: A Compromise Programming Solution, Journal of the Operation Research Society, Vol. 47, pp Ballestero, E.; Romero, C. (99) A Theorem Connecting Utility Function Optimization and Compromise Programming, Operation Research Letters, Vol. 0, pp Ballestero, E.; Romero, C. (998) Multiple-Criteria Decision Making and Its Application to Economic Problems, Kluwer Academic Publishers, Boston, Massachusetts. Bawa, V. (978) Safety-First, Stochastic Dominance, and Optimal Portfolio Choice, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 3, 5, pp Bernstein, P.L., Fabozzi, F.J. (998) Streetwise, The Best of the Journal of Portfolio Management. Princeton University Press, New Jersey. Blasco, F., Cuchillo-Ibáñez, E., Morón, M.A. (000) Computing Compromise Sets in Polyhedral Framework, Applied Mathematics Letters,, pp Blasco, F., Cuchillo-Ibáñez, E., Morón, M.A., Romero, C. (999) On the Monotonicity of the Compromise Set in Multicriteria Problems, Journal of Optimization Theory and Applications, 0,, pp Elton E.J., Gruber M.J. (974) An Algorithm for Maximazing the Geometric Mean, Management Science, pp Kallberg, J.C.; Ziemba W.T. (983) Comparison of Alternative Utility Functions in Portfolio Selection Problems, Management Science, Vol. 9, pp Markowitz, H. (95) Portfolio Selection, Journal of Finance, Vol.7, pp Markowitz, H. (970) Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, John Wiley and Sons, New York. 4

15 Markowitz, H. (987) Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets, Basil Blackwell, New York. Morón, M.A., Romero, C., Ruiz del Portal, F.R. (996) Generating Well-Behaved Utility Functions for Compromise Programming, Journal of Optimization Theory and Applications, 9, 3, pp Nawrocki D. (999) A Brief History of Downside Risk Measures. Journal of Investing, pp. -7. Nawrocki, D. (000) Portfolio Optimization, Heuristics, and the Butterfly Effect, Journal of Financial Planning, February, pp Pratt, J. (964) Risk Aversion in the Small and in the Large, Econometrica, Vol.3, pp Romero, C. (99) Handbook of Critical Issues in Goal Programming, Pergamon Press, Oxford. Reilly, F.K. (985) Investment Analysis and Portfolio Management. The Dryden Press. New York. p.30 Sharpe, W.F. (994) The Sharpe Ratio. Journal of Portfolio Management. Fall. Von Neumann, J.; Morgenstern, O. (947) Theory of Games and Economic Behaviour. nd Edition. Princeton University Press. Yu, P. (985) Multiple Criteria Decision Making: Concepts, techniques and Extensions. Plenum Press, New York. Zeleny, M. (98) Multiple Criteria Decision Making. McGraw-Hill, New York. 5

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