CAPÍTULO 4. EL MÉTODO DEL SIMPLEX Introducción a los problemas de P.L Caracterización de los problemas de P.L...2

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1 CAPÍTULO 4. EL MÉTODO DEL SIMPLEX 4.1. Introducción a los problemas de P.L Caracterización de los problemas de P.L El algoritmo del Simple Costes reducidos y test de optimalidad Regla de entrada de la ase Regla de salida de la ase Resumen del algoritmo del Simple El Método del Simple en forma de Tableau EJEMPLO 4.1. Aplicación del método Simple en forma de «tableau» Determinación de una solución básica factible inicial: el método de la M grande y el de las 2 fases El método de eliminación (o de la «M grande») EJEMPLO 4.2. Aplicación del método de eliminación (o de la «M grande») El método de las dos fases EJEMPLO 4.3. Aplicación del método de las dos fases El método Simple revisado...35 EJEMPLO 4.4. Aplicación del método del Simple revisado

2 CAPÍTULO 4. EL MÉTODO DEL SIMPLEX 4.1. Introducción a los problemas de P.L Caracterización de los problemas de P.L. El método más conocido y habitual para resolver problemas de P.L. es el método del Simple debido a Dantzig 1. Antes de desarrollar este método es preciso enunciar dos teoremas que no probaremos, aunque en parte vimos como se cumplían en algunos análisis gráficos del capítulo anterior. 1. El conunto de posibles soluciones o conunto factible de cualquier problema de P.L. puede representarse mediante un poliedro conveo. 2. Si un P.L. tiene una solución óptima y finita, ésta estará en un vértice del poliedro conveo que representa al problema de P.L. La epresión general de un P.L. es: Ma( z) c c... c n n Siendo las matrices: a a... a b n n 1 a a a b m1 1 m mn n m 1 2 n c1 c 2 c c n a a A a 11 1n m1 a a 21 2n a mn b1 b bm 2 b De todo lo anterior se deduce que, puesto que el número de vértices de cualquier poliedro factible es finito, el número de posibles soluciones de un P.L. también es finito. Además, sugiere un posible algoritmo para obtener la solución óptima. Consistiría en calcular el valor de la función obetivo en cada uno de los vértices del conunto factible 1 Vid. Dantzig (1963).

3 y escoger el meor. Para ilustrar esta idea empezaremos planteando un problema de P.L. en su forma canónica 2. A continuación ilustramos esta idea mediante un eemplo. n 1 sueto a: Ma() z c n 1 a b i 1,..., m i i 1,..., n añadiendo variables de holgura a cada una de las restricciones se obtendría la formulación equivalente: sueto a: n 1 n Ma() z c 1 a sb i 1,..., m i i i 1,..., n s i 1,..., m i El número de vértices del conunto factible del problema es: m n! m n m m! m n m! [1] La cantidad m + n reflea el número de variables originales (n) más las variables de holgura (una para cada ecuación, en total m). Las posibles soluciones serán tantas como combinaciones de m + n variables tomadas en bloques de m. Cada bloque de m variables con m restricciones dará lugar a la solución eacta de un sistema de ecuaciones de dimensión m m. El eemplo del capítulo anterior nos ilustra sobre todos los vértices del mencionado problema. Recordemos que este problema era: Ma( z) sueto a: , , La forma canónica de un problema de P.L. es aquella que consiste en una función obetivo de maimizar, todas las restricciones menores o iguales que el lado derecho y todas las variables no negativas.

4 EI número de vértices del sistema es, de acuerdo con [1]: 2 2 4! 6 2 2!2! que se corresponde con las seis soluciones básicas del sistema de ecuaciones: s ,8 2 s 124 s 2. Obsérvese que al sistema original se le han añadido las variables de holgura s 1 y Las posibles soluciones son: A) Haciendo s 2 = y 1 = se obtiene: s 8 cuya solución es 2 = 62 y s 1 = 18. ) Haciendo s 1 = y 1 = se obtiene: s 124 cuya solución es 2 = 8 y s 2 = -36. C) Haciendo 1 = y 2 = se obtiene: s2 124 D) Haciendo s 2 = y 2 = se obtiene: s 1, s 124 cuya solución es 1 = 155 y s 1 = -75. E) Haciendo 2 = y s 1 = se obtiene: 1,8 s

5 cuya solución es 1 = 8 y s 2 = 6. F) Haciendo s 1 = y s 2 = se obtiene: cuya solución es 1 = 3 y 2 = 5., Las seis soluciones indicadas corresponden a los vértices de la figura 4.1. De las seis soluciones, la y la D no son factibles, ya que tienen alguna variable con un valor negativo. La solución F es óptima, ya que ninguna de las otras soluciones factibles tiene asociado un valor meor de la función obetivo. Figura 4.l. So1uciones de un sistema de m inecuaciones y n incógnitas. Pese a que el número de posibles soluciones de un P.L. es finito, en la práctica resultaría ecesivamente costoso comprobadas todas para encontrar el óptimo. En problemas de tamaño más real que el eemplo anterior (aunque no muy grande), el número de vértices se hace enormemente grande. Así por eemplo, un problema con 5 ecuaciones y 7 variables tiene: ! 1,83617E 34 vértices. 5 5!* 5 7 5! y uno de 1 ecuaciones y 2 variables:

6 ! 1 1!* 1 2 1! en la práctica es infinito. El método Simple no recorre eplícitamente todos los vértices del conunto factible sino que, en cada iteración, comprueba si eiste un cambio de vértice que meore la solución actual. Si no eiste ningún vértice meor que el actual, el proceso se detiene puesto que se ha llegado al óptimo. El concepto de vértice es de naturaleza geométrica y resulta, por tanto, poco adecuado para construir a partir de él un algoritmo utilizable por computadoras. Por ello, el método Simple se basa en un concepto algebraico muy similar: el de solución básica factible (SF). De una manera más formal, a partir del sistema de ecuaciones: n 1 a sb i 1,..., m i i i 1,..., n Se dice que una solución básica es aquella que tiene al menos n-m componentes nulos o variables no básicas a las que llamamos. Las m variables restantes se denominan variables básicas y las denominamos. Formalmente, a partir del sistema: A = b se dice que es una solución básica del mismo si puede realizarse la partición: y si =, entonces A = = A = b = + =b = b = b Eisten varios tipos de solución básica: a) Solución básica factible (SF). Todas las variables básicas son mayores o iguales que cero. b) Solución básica factible no degenerada. Todas las variables básicas son estrictamente positivas.

7 c) Solución básica factible degenerada. Alguna variable básica toma un valor nulo. Puede demostrarse que cada SF representa un vértice del conunto factible. Sin embargo, un vértice puede ser representado por más de una SF, si la solución es degenerada El algoritmo del Simple. El algoritmo del Simple busca el óptimo de un problema de P.L. recorriendo sólo algunos de los vértices del poliedro que representa el conunto de soluciones factibles. En cada iteración, al algoritmo se desplaza de un vértice a otro de forma que el valor de la función obetivo meore con el desplazamiento, esto es, que aumente si el problema es de maimización, o disminuya si el problema es de minimización. La optimización de un P.L. puede dar lugar a cuatro posibles resultados: a) Alcanzar un óptimo único. b) Alcanzar un óptimo que no es único (soluciones alternativas o múltiples). c) Concluir que el problema es no factible, esto es, que no eiste ninguna solución que satisfaga simultáneamente todas las restricciones del problema. d) Concluir que el problema es no acotado, es decir, que el valor de la función obetivo en el óptimo es tan grande como se desee si el problema es de maimización, o tan pequeño como se quiera si el problema es de minimización. El método Simple alcanza siempre uno de estos resultados en un número finito de iteraciones. En cada iteración se pasa de una solución básica factible a otra, de manera que en el proceso, el valor de la función obetivo meora en cada iteración. Cuando se determina que no eiste ninguna SF con un meor valor de la función obetivo que el actual se detiene el proceso puesto que se ha llegado al óptimo. A continuación se desarrolla el algoritmo del Simple teniendo en cuenta tres reglas para llegar al óptimo: regla de entrada en la base, regla de salida de la base y test de optimalidad Costes reducidos y test de optimalidad. Sea un P.L. en el que todas las restricciones han sido reducidas a igualdades mediante las transformaciones adecuadas: Ma() z c sueto a: A = b A partir de una SF cualquiera puede realizarse la descomposición:

8 T T z = c + c (4.1.) + = b (4.2.) Suponiendo que la matriz admite inversa, puede despearse en (4.2.) de forma que se obtiene: y sustituyendo en (4.1.) = b- (4.3.) T - 1 T - 1 T z = c b - c + c = = z +c - c = = z T T V c - z (4.4.) donde: T z = cb es el valor de la función obetivo correspondiente a la SF actual. V : Conunto de subíndices correspondientes a las variables no básicas. A los valores c - z se les denomina costes reducidos. Pueden interpretarse como derivadas, ya que miden el efecto sobre la función obetivo de un aumento unitario en el valor de cada una de las variables no básicas (indicadas como en 4.4). Por tanto: Si una variable no básica que tenga asociado un coste reducido positivo entrara en la base (esto es, si tomara un valor positivo), el valor de la funci6n obetivo aumentaría en c - z por cada unidad de. Si una variable no básica que tenga asociado un coste reducido negativo entrara en la base, el valor de la función obetivo disminuiría c - z por cada unidad de. Si una variable no básica que tenga asociado un coste reducido nulo entraran en la base, el valor de la función obetivo permanecería inalterado. Dado que el número de vértices del poliedro factible es finito, puede asegurarse que, en ausencia de degeneración, el método Simple alcanza la conclusión de optimalidad o la de no acotamiento en un número finito de iteraciones. En concreto, se habrá alcanzado un óptimo cuando no sea posible meorar el valor de la función obetivo cambiando las variables que están en la base. Esto es, cuando en un problema de maimización: V : c -z Como ya comentamos anteriormente, la idea fundamental del método Simple es la de ir eplorando los vértices del poliedro factible hasta llegar a una solución óptima. De esta forma, teniendo en cuenta que el número de vértices es finito, puede asegurarse

9 que, tarde o temprano, se alcanzará la optimalidad. Sin embargo, si el valor de r en la base antigua fuera cero, se produciría un pivoteo degenerado, en el que: k, la nueva SF también es degenerada. = b, no cambian los valores de las variables básicas. z representa al mismo punto etremo que la antigua SF. z, no meora el valor de la función obetivo. Por tanto, la nueva SF Es concebible, por tanto en teoría, una situación en la que, a partir de una base determinada, se realice una sucesión infinita de pivoteos degenerados (ciclado). Esta situación se puede resolver fácilmente mediante un procedimiento que, sin embargo no desarrollaremos por estar fuera del obetivo de este libro Regla de entrada de la ase. El método Simple emplea los costes reducidos para determinar si la solución actual es óptima y, en caso de que no lo sea, qué variable debe entrar en la base. El criterio para elegir la variable que entra en la base, en el caso de maimización, es el de introducir en la base una variable tal que 3 k : k ArgMa c z c z esto es, se introduce en la base la variable que tenga el mayor coste reducido positivo o, lo que es lo mismo, aquella que más rápidamente meora el valor de la función obetivo. Análogamente, el criterio de entrada en el caso de minimización es introducir la variable tal que: k k ArgMin c z c z Regla de salida de la ase. Como la dimensión de la base es necesariamente igual al número de restricciones del problema, la introducción de una variable en la base deberá acompañarse con la salida de otra variable de la base. El criterio de salida se determina estudiando el efecto del crecimiento de k sobre las variables básicas, de forma que se mantenga la factibilidad de la solución. Particularizando (4.3.) para valores nulos de todas las variables no básicas ecepto la k, se obtiene: = b - a = b - y k k k k 3 La función ArgMa significa el número subíndice que hace máima la condición que aparece entre {}.

10 siendo a k la k-ésima columna de la matriz. Esta epresión proporciona un sistema de m ecuaciones de la forma: i V y : i i - ik k siendo i la i-ésima componente del vector = i b e y ik la k-ésima componente del vector y k. Esta epresión reflea el efecto sobre la variable básica i del crecimiento de k debido a la necesidad de mantener las condiciones de factibilidad A = b. En concreto: Si y ik es negativo, para mantener la factibilidad la variable i debe crecer a la vez que aumenta el valor de la variable k. Si y ik es nulo, puede mantenerse el valor de la variable i sin perder factibilidad. Si yik es positivo, el mantener la factibilidad eige que la variable i decrezca a la vez que aumenta el valor de la variable k. Por tanto, a medida que k crece, todas las variables que tengan un factor y ik, positivo disminuirán. Llegará un momento en que alguna de estas variables valdrá cero y, por tanto, no podrá aumentarse más el valor de k sin violar las condiciones de no negatividad. En este momento, el crecimiento de la variable entrante quedará bloqueado. Ahora bien, i sólo si: i k y ik luego la variable que bloquea el crecimiento de k será r, siendo r el elemento de V tal que: a) yrk b) y iv yik y i i rk ik Esto es, el crecimiento de k es bloqueado por la primera variable básica que llega a valer cero. Si no eiste ningún y ik estrictamente positivo, el problema es no acotado, ya que la variable k puede crecer indefinidamente sin pérdida de factibilidad, meorando el valor de la función obetivo. Una vez que el crecimiento de k ha sido bloqueado, la variable k se considera básica y su valor se fia en: r k y rk

11 que es el máimo valor que puede tomar k sin que ninguna variable básica se anule. La variable r pasa a ser no básica y se inicia de nuevo el proceso. Estos cambios pueden tabularse de la forma que se muestra en la tabla 4.1. Antes de la iteración z z Después de la iteración z z ck zk k V k V k y k k r rk r r r b ykk V V V V r k V V V V r k Tabla 4.1. Cambios que se producen al iterar Resumen del algoritmo del Simple. En resumen, el método Simple opera iterativamente a través de los siguientes pasos: a) Test de optimalidad. En problemas de maimización, el P.L. es óptimo si todos los costes reducidos c z son menores o iguales que cero. En problemas de minimización cada coste reducido debe ser mayor o igual que cero. b) Regla de entrada en la base. La variable que entra en la base debe ser aquella que tenga el mayor coste reducido positivo en el caso de maimización (o mayor coste reducido negativo, en el caso de minimización), ya que ésta es la que aumenta (disminuye) más rápidamente el valor de la función obetivo. Supongamos que la variable entrante es la k-ésima. c) Regla de salida de la base. Después de decidir qué variable entra en la base, es preciso determinar qué variable sale de la base. El criterio consiste en seleccionar aquélla que tiene un menor cociente entre su valor y el coeficiente de y k correspondiente a la columna k-ésima, siempre y cuando este coeficiente sea estrictamente positivo. La interpretación de este cociente es clara: representa el máimo valor que puede tomar la variable entrante antes de que la variable que se está considerando viole su restricción de no negatividad. Si todos los

12 coeficientes de la columna k-ésima son nulos o negativos, estaríamos en el caso de solución no acotada o ilimitada, ya que la variable entrante puede crecer indefinidamente sin pérdida de factibilidad. En la figura 4.2 se presenta un diagrama de fluo que resume el funcionamiento del algoritmo del Simple. COMI EZO Determinar una SF inicial FI Infactible o Eiste alguna SF? Si Determinar los costes reducidos de las v. básicas FI Optimo o Eiste algun coste reducido positivo(maimización) onegativo (Minimización)? Si Seleccionar la variable entrante. Calcular Y ik FI o acotado o Eiste algún Y ik positivo (Maimización) o negativ o (M inimización)? Si Introducir en la base la variable entrante Etraer de la base la variable que bloquee el crecimiento de la variable entrante Actualizar Figura 4.2. Diagrama de fluo del algoritmo del Simple.

13 4.4. El Método del Simple en forma de Tableau. El método Simple se implementa en programas de ordenador (software) y resulta transparente para el usuario, esto es, el usuario no precisa tener un conocimiento de cómo funciona. Sin embargo, a los efectos de interpretar los resultados, resulta conveniente tener un conocimiento más detallado y práctico sobre su funcionamiento que el desarrollo teórico de apartados anteriores. Por estas razones, en este apartado estudiamos la resolución de problemas sencillos de P.L. mediante el método del Simple en forma manual. En este caso, se utiliza el llamado formato de tableau. Esta técnica proporciona una forma cómoda de resolver eercicios sencillos. Un problema de P.L. en forma estándar o canónica puede epresarse como: T Ma(z) = c sueto a: A = b Esta formulación equivale a: sueto a: Ma(z) z - c - c = (4.4.) + = b (4.5.) sustituyendo (4.5.) en (4.4.) y despeando se obtiene: z = c b + c-c Por definición, z = c b, luego: c -c = (4.6.) Las operaciones anteriores pueden ordenarse en una tabla, a la que llamaremos tableau de la siguiente forma:

14 c c c c c b I z c c c-z c-c donde: c-c : Costes reducidos. b: Valores de las variables básicas. Esta tabla contiene todos los elementos necesarios para aplicar el método Simple. Además, forma un sistema de ecuaciones y, por consiguiente, pueden aplicársele una serie de transformaciones elementales, que no cambian su solución. Esto es: Intercambiar dos filas. Multiplicar una fila por un valor distinto de cero. Sustituir la fila i por la fila i más K veces la fila, siendo K un escalar arbitrario. El método Simple aplicado a problemas en formato de tableau se reduce a aplicarle a la tabla estas operaciones de forma que: El nuevo tableau representa una nueva solución básica factible. Salvo en el caso de soluciones degeneradas, el valor de la función obetivo meora en cada iteración. Cuando se aplica este mecanismo de resolución, a cada iteración se la denomina pivoteo. En cada pivoteo se lleva a cabo el paso de una SF a otra. Si la variable k

15 entra en la base y r sale de la base, al elemento y rk se le denomina pivote. El pivoteo sobre y rk consiste en la eecución sucesiva de las siguientes operaciones: 1. Dividir la fila r entre y rk. 2. Actualizar las filas i 1,..., mi r y rk. restándoles la fila r multiplicada por 3. Actualizar la última fila restándole la fila r multiplicada por (z k - c k ). Como puede verse, los pasos 1 y 2 suponen la transformación de la columna k en una columna de la matriz identidad, con ceros en todas las posiciones salvo la k-ésima. El paso 3 actualiza los valores de (z k - c k ), lo cual nos sirve para comprobar si hemos alcanzado el óptimo. En definitiva, se trata de un método que actualiza la inversa correspondiente a las columnas de las variables básicas. A este método se le conoce como Gauss-Seidel. Esta operatoria no altera el contenido del sistema, ya que se limita a aplicar a las distintas ecuaciones una sucesión de transformaciones elementales (multiplicar una ecuación por un elemento y sumar o restar dos ecuaciones). A lo largo de los sucesivos pivoteos, lo único que se cambia es la base considerada, y este cambio se realiza de forma que la solución nunca empeora. En el caso no degenerado, la solución obtenida tras un pivoteo siempre es meor que la solución correspondiente a la base anterior. A lo largo de1 proceso iterativo es posible reconocer todos los casos que pueden darse en la resolución de un P.L.: a) Solución única. En el último tableau, los costes reducidos de las variables no básicas son estrictamente negativos (maimización) o estrictamente positivos (minimización). b) Soluciones alternativas. En el último tableau, alguno de los costes reducidos de las variables no básicas es igual a cero. Esto quiere decir que la variable no básica cuyo coste reducido es cero podría introducirse en la base sin perudicar el valor de la función obetivo. c) Solución no acotada. Si al efectuar el test de salida de la base, todos los coeficientes de la columna correspondiente a la variable entrante son no positivos. Esto querría decir que la variable entrante puede aumentarse hasta el infinito sin que su crecimiento resulte bloqueado. d) Problema infactible. Se reconoce porque alguna variable de apoyo queda en la base en el tableau final. e) Solución degenerada. Alguna variable básica vale cero. EJEMPLO 4.1. Aplicación del método Simple en forma de «tableau» Partimos del programa lineal siguiente:

16 sueto a: M a(z) 1 2, , 1 2 Para convertir las inecuaciones en ecuaciones se añade una variable de holgura por cada ecuación, con lo que queda: Ma(z) s1 s2 sueto a: 1 2 s1 8,81 22 s2 124,, s, s El proceso de cálculo de la solución utilizando el método del Simple en forma de tableau es el siguiente: PASO 1. Solución inicial. Empezamos con la solución básica: Si hacemos 1, 2, el sistema de ecuaciones es anterior es equivalente a resolver: cuya solución es s1 8, s s1 s2 8 s s Esta solución corresponde al vértice señalado con un en la figura 4.3.:

17 Figura 4.3. SF inicial (Iteración ). A esta primera SF inicial la podemos representar en el siguiente tableau: c c s 1 s 2 RATIOS s s 2 124, z c -z 1 2 Tableau 4.1 Iteración. Obsérvese que, de acuerdo con la estructura del tableau definida en el apartado 4.4., debao de aparece b, esto es, los valores de en esta iteración (en este caso de s1 y s 2 ). Asimismo, la última fila contiene el vector c-c (los costes reducidos). El valor de la función obetivo cbno se calcula hasta el final del proceso iterativo. En términos numéricos el valor de los costes reducidos se calcula de la siguiente forma: z 1 = *1 + *,8 = z 2 = *1 + *2 = z 3 =*1 + * = z 4 = * + *1 = c 1 z 1 = 1 = 1 c 2 z 2 = 2 = 2 c 3 z 3 = =

18 c 4 z 4 = = PASO 2. Test de optimalidad. Los costes reducidos de las variables (no básicas) 1 y 2 son positivos. Luego no estamos en el óptimo y debe aplicarse la regla de entrada en la base. PASO 3. Regla de entrada. Se introduce en la base la variable con mayor coste reducido, en este caso, la variable 2 (2). PASO 4. Regla de salida. A continuación debemos determinar qué variable sale de la base. Para ello se calculan los ratios: i y ik para todos los yik. En la solución inicial estos ratios son 8; 62. El 1 2 mínimo es 62 y, por tanto, sale de la base la variable s 2. La próima ase está formada, por lo tanto, por las variables (s 1, 2 ). En el tableau iteración se ha marcado el pivote ( y 2 ) en la celda sombreada. rk PASO 5. Actualización de la solución. Lo que en realidad haremos ahora será recalcular la nueva ase. El cálculo de la nueva solución se realiza de la siguiente manera: 1. Se divide la fila entrante por el pivote (coeficiente que está en la confluencia de la variable entrante y saliente). Esto es: Fila s 2 : =124/2 1 =,8/2 2 = 2/2 s 1 = /2 s 2 = 1/2 2. El resto de la filas se actualizan restándoles la fila correspondiente a la nueva variable básica, multiplicada por y ik.obsérvese que tenemos un único s 1 restante que corresponde a la fila s 1 y que es igual a 1. Fila s 1 : =8-(62*1) = 18 1 = 1-(,4*1) =,6 2 = 1-(1*1) = s 1 = 1-(*1) = 1 s 2 = -(1/2*1) = /2 Una vez que se ha actualizado el nuevo tableau, la fila correspondiente a la variable entrante ( 2 en nuestro caso) debe quedar con un 1 en la confluencia de su fila y columna y ceros en el resto de los coeficientes de su columna. 3. Se recalcula z y los costes reducidos (c z ) de forma análoga a como hicimos en la iteración inicial. z 1 = *,6 + 2*,4 = 8 z 2 = * + 2*1 = 2

19 z 3 = *1 + 2* = z 4 = *(/2) + 2*1/2 = 1 c 2 z 2 = 2 2 = c 3 z 3 = = c 4 z 4 = 1 = c 1 z 1 = 1 8 = 2 La solución gráfica correspondiente a la iteración 1 está señalada con una cruz en la figura 4.4. como puede verse, nos hemos desplazado del vértice 1 = ; 2 = a otro adyacente cuya solución es 2 = 62 ; 1 =. Figura 4.4. Solución correspondiente a la iteración 1 Esto es, nos hemos desplazado al vértice adyacente que tenía mayor ganancia a partir de la solución inicial. El tableau resultante es: c 1 2 c 1 2 s 1 s 2 RATIOS s 1 18,6 1 / ,4 1 1/2 155 z c -z 2 Tableau 4.2. Iteración 1. PASO 6. Test de optimalidad. El coste reducido de la variable (no básica) ( 1 =2) es positivo. Luego no estamos en el óptimo y debe aplicarse la regla de entrada en la base.