UNIDAD III ANALISIS DE GESTION MATEMATICA FINANCIERA

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1 UNIDAD III ANALISIS DE GESTION MATEMATICA FINANCIERA INTRODUCCION En eonomía y finanzas, una persona o entidad finaniera que presta dinero a otros esperando que le sea devuelto al abo de un tiempo espera ser ompensado por ello, en onreto lo omún es prestarlo on la expetativa de que le sea devuelta una antidad ligeramente superior a la iniialmente prestada, que le ompense por la inonvenienia de no poder haer uso de ese dinero durante un tiempo. Además esperará reibir ompensaión por el riesgo asoiado a que el préstamo no le sea devuelto o que la antidad que le sea devuelta tenga una menor apaidad de ompra debido a la inflaión. El onepto básio que se enierra en este análisis es que el valor de un peso hoy es distinto al valor de ese mismo peso en el futuro. Pensemos uantos bienes, por ejemplo omprábamos on $ hae un año y uantos bienes ompramos on $ 100,00 hoy. En términos generales, a nivel individual, la tasa de interés (expresada en porentajes) representa un balane entre el riesgo y la posible ganania (oportunidad) de la utilizaión de una suma de dinero en una situaión y tiempo determinado. En este sentido, la tasa de interés es el preio del dinero, el ual se debe pagar/obrar por tomarlo prestado/ederlo en préstamo en una situaión determinada. La tasa de interés (o tipo de interés) es el porentaje al que está invertido un apital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere omo "el preio del dinero en el merado finaniero". Hay tres ausas que explian la diferenia en la valoraión del dinero: 1. Riesgo: Vivimos en un mundo de inertidumbre, tener un peso en el bolsillo hoy nos permite omprar osas hoy, pero la promesa de un pago en el futuro es nada más que eso, una promesa, hasta el momento en que se onreta. Diha promesa de pago futuro puede haber sido heha on la mejor buena voluntad, pero una gran antidad de imprevistos pueden ourrir, entre hoy y la feha de pago, que impidan el umplimiento de la misma. 2. Inmediatez en la satisfaión: La naturaleza humana hae que valoremos muho más la satisfaión de una neesidad hoy que en el futuro, por lo ual generalmente es preferible obtener una suma de ingreso lo más pronto posible, salvo que iertas onsideraiones (impuestos, por ejemplo) nos diten lo ontrario. 3. Oportunidades de inversión: Un peso reibido hoy es más valioso que uno reibido en un futuro debido a las alternativas de inversión que existen disponibles para ese peso en la atualidad. Prestando o invirtiendo hoy, puedo obtener una suma onsiderablemente mayor en un determinado lapso de tiempo. 1

2 CONCEPTO DE INTERES Uno de los oneptos del ámbito de las finanzas más difundidos y apliados en la vida otidiana es el de "interés"; al que se lo puede definir omo: La retribuión que se debe abonar al titular de una suma de dinero, por el uso del mismo durante un período determinado. La palabra interés signifia la renta que se paga por el uso de dinero ajeno, o la renta que se gana por invertir dinero propio. Para onretar esto, es neesario realizar iertas preisiones sobre la forma de álulo del interés. Existen dos formas básias de alular el interés, ellas son el interés simple y el interés ompuesto. Gráfiamente veremos que dos operaiones que involuren el mismo apital, el mismo plazo y la misma tasa; pero una sometida al álulo mediante la denominada fórmula de interés simple y la otra a la denominada fórmula de interés ompuesto ; produirán un interés distinto. Interés Simple El sistema de interés simple se arateriza por el heho de que los intereses produidos por el apital en el período NO se aumulan al mismo para generar intereses en el próximo período. Esta es la diferenia o elemento que hae que una suma de dinero oloada a interés simple produza un interés menor a que si fuera oloada a interés ompuesto, es que en el primero los intereses produidos por el apital en el período no se aumulan al mismo para generar intereses en el próximo. Es deir que los intereses que genere este apital invertido a interés simple serán igual en todos los períodos por los que dure la inversión (suponiendo que el resto de los fatores, plazo y nivel de tasa no varíen). Una persona tiene la posibilidad de gastar o invertir el dinero que proveniente de sus ingresos no destine a ubrir neesidades básias. Si optan por ahorrarlo, es porque esperan satisfaer neesidades en el futuro. Una manera de ahorrar es invertir un apital en una Instituión que atúa omo intermediario finaniero (Bano). Reordemos que uando la gente deposita su dinero en el bano y reibe a ambio un ierto interés (tasa de interés pasiva), a su vez esa entidad utiliza los apitales depositados para efetuar préstamos a una tasa de interés mayor (tasa de interés ativa). En una operaión finaniera intervienen tres elementos: Capital iniial invertido que se representa on la letra C Cantidad de momentos en el tiempo (vigenia de la operaión) que se representan on la letra n Tasa de interés (porentaje del apital invertido) que se representa on la letra i 2

3 Estas tres variables son las variables de las que depende el interés. Deimos entones que si se oloa un apital iniial C a una tasa de interés i durante n momentos, para alular las gananias en oneptos de interés obtenidos después de n momentos, se utiliza la siguiente fórmula: I = C i n Donde: i = r/100 De esta formula se desprenden tres identidades: 1. Si onoemos el interés simple obtenido después de n períodos de tiempo a una tasa de interés (i = r/100), podemos obtener el apital iniial que generó ese valor final. C = I i.n 2. Si lo que se desonoe es la antidad de períodos de tiempo; n = I C.i 3. Para alular el porentaje del apital invertido: i = I C.n Nota: El interés simple se alula siempre sobre el apital iniial. Mto 0 Mto 1 Mto 2 Mto 3 Mto n C0 C1 = C0 I C2 = C0 I C3 = C0 I Cn = C0 I C0 C1 = C0 C0.i C2 = C0 C0.i C3 = C0 C0.i Cn = C0 C0.i C0 C1 = C0 (1i) C2 = C0 (1i) C3 = C0 (1i) Cn = C0 (1i) Ejemplo: Si disponemos de $ ,00 que invertimos al 5 % anual simple durante tres años; C0 = ,00 r = 5 anual i = 0,05 anual n = 3 I = C i n I = ,

4 I = ,00 En términos de Capitalizaión Simple: Fin del 1º año VF = C0.i = 5.000,00 Fin del 2º año I = C0.i = 5.000,00 Fin del 3º año I = C0.i = 5.000,00 Utilizando la fórmula de Capitalizaión Simple es más rápido: VF = C0 x [1 (i x n)] VF = ,00 x [1 (0.05 X 3)] VF = ,00 x (1 0.15) VF = ,00 x 1.15 VF = ,00 Ejemplo: Calular el interés produido por un apital de $ 5.000,00 oloado durante 3 años al 9 % anual. C = $ 5.000,00 r = 9 anual i = 0.09 anual n = 3 I = C i n I = 5.000,00 x 0.09 x 3 I = 1.350,00 Usando la formula de apitalizaión simple; VF = C0 x [1 (i x n)] VF = 5.000,00 x [1 (0.09 x 3)] VF = 5.000,00 x (1 0.27) VF = 5.000,00 x 1.27 VF = 6.350,00 Ejemplo: Un apital de $ ,00 genera un interés de 1.400,00 al abo de 2 años, alular la tasa de interés de la inversión. I = C i n i = I C.n i = 1.400,00 4

5 i = ,00.2 Ejemplo: Si se dispone de un apital de $ ,00 y la posibilidad de invertirlo a una tasa de interés anual del 8 %, alular el tiempo que se neesita mantener la inversión para generar $ 3.000,00 de intereses I = C i n n = I C.i n = x 0.08 n = 3.000, ,00 n = 2.5 Interés Compuesto El interés ompuesto se alula sobre el monto aumulado al finalizar ada uno de los períodos de tiempo. Cuando se invierte a interés ompuesto, los intereses que se obtienen son reinvertidos para obtener más intereses en los próximos períodos. De esta forma obtenemos intereses sobre intereses y esto es la apitalizaión del dinero, un onepto fundamental para entender la Matemátia Finaniera. El apital ambia en ada periodo, pues hay que sumar al apital anterior el interés produido en ese periodo. El sistema de interés ompuesto se arateriza por el heho de que el interés produido por el apital en el período se aumula al mismo para generar intereses en el próximo período. Por lo que si al venimiento de la operaión se renueva la misma por un nuevo período al inorporarse los intereses al apital original; se podrá observar que los intereses que ganará en este segundo período serán mayores a los generados en el primero. Ello es una onseuenia de que el apital oloado es superior al habérsele aumulado los intereses ganados en el primer período y así suesivamente. Designamos on C0 al apital iniial. El segundo apital C1 se obtiene sumando los intereses al primer apital: C2 = C1 I 5

6 En el segundo período los intereses produidos son mayores por ser mayor el apital C2. Para el terer periodo el apital es; C3 = C2 I. Y así suesivamente. Designamos on Cn al apital en el periodo n. Se tiene; Cn = Cn-1I Pero omo In = Cn x i, entones; Cn =Cn-1 x (1i). Mto 0 Mto 1 Mto 2 Mto 3 C0 C1 = C0 I C2 = C1 I C3 = C2 I C0 C1 = C0 C0.i C2 = C1 C1.i C3 = C2 C2.i C0 C1 = C0 (1i) C2 = C1 (1i) C3 = C2 (1i) C0 C1 = C0 (1i) C2 = C0 (1i)(1i) C2 = C0 (1i)(1i)(1i) C0 C1 = C0 (1i) C2 = C0 (1i)^2 C2 = C0 (1i)^3 Mto n Cn = Cn-1 I Cn = Cn-1 Cn-1.i Cn = Cn-1 (1i) Cn = C0 (1i)(11) (1i) Cn = C0 (1i)^n Si la inversión dura n momentos, los suesivos apitales se obtienen multipliando siempre por el mismo número (1i) y forman una progresión geométria uyo primer término es el apital iniial C0, utilizando la fórmula para alular los términos de una progresión geométria obtenemos: VF = C0 x (1i) ^ n Ejemplo: Si disponemos de $ ,00 que invertimos al 5% anual ompuesto durante tres años. C0 = ,00 r = 5 anual i = 0,05 anual. n = 3 Fin 1º año C1 = C0 I C1 = C0 C0.i C1 = C0 (1i) C1 = ,00 x 1,05 C1 = ,00 Fin 2º año C2 = C1 I C2 = C1 C1.i C2 = C1 (1i) C1 = ,00 x 1,05 C2 = ,00 6

7 Fin 3º año C3 = C2 I C3 = C2 C2.i C3 = C2 (1i) C3 = ,00 x 1,05 C3 = ,50 Utilizando la fórmula es más rápido: VF = C0 x (1i) ^ n VF = ,00 x (1 0.05) ^ 3 VF = ,00 x (1.05) ^ 3 VF = ,50 Los intereses ganados se alulan omo la diferenia entre el apital final y el apital invertido: I = VF - C0 I = , ,00 I = ,50 Ejemplo: Hallar el valor futuro de una inversión de $ ,00 a una tasa del 4 % durante 3 años. VF = C0 x (1i) ^ n VF = ,00 x (1 0.04) ^ 3 VF = ,00 x (1.04) ^ 3 VF = ,00 x VF = ,64 Análisis numério omparativo Para tornar más gráfia la expliaión realizada, se desarrolla un uadro omparativo de una operaión de préstamo de dinero, realizando el álulo del interés utilizando ada uno de los dos sistemas. Capital $ ,00 - Período inversión: 30 días - Se renueva durante 6 períodos - Tasa a 30 días: 1 % INTERES SIMPLE INTERES COMPUESTO Nº de período CAPITAL INTERESES CAPITAL AL INICIO DEL PERIODO INTERESES MONTO AL VENCIMIENTO ,00 100, ,00 100, , ,00 100, ,00 101, , ,00 100, ,00 102, , ,00 100, ,01 103, , ,00 100, ,04 104, , ,00 100, ,10 105, ,20 Total intereses ganados 600,00 Total intereses ganados 615,20 7

8 Diferenia entre interés simple e interés ompuesto Existe una importante diferenia entre el interés simple y el ompuesto. Cuando se invierte a interés ompuesto, los intereses devengados son reinvertidos para obtener más intereses en los próximos períodos. Al ontrario, en una inversión que produe interés simple solo se reiben intereses sobre el apital iniial (prinipal) invertido o prestado. Para reordar: Debemos tener en uenta que período # momento. El tiempo se divide en períodos, pero podemos tener momentos on distintos períodos de tiempo: Períodos Mensuales Mes 01 Mes 02 Mes 03 Mes 04 Mes 05 Mto 0 Mto 1 Mto 2 Mto 3 Mto 4 Mto 5,,,,,,, Períodos Bimestrales Bimestre 01 Bimestre 02 Bimestre 03 Bimestre 04 Bimestre 05 Mto 0 Mto 1 Mto 2 Mto 3 Mto 4 Mto 5,,,,,,, La Tasa de Interés Nominal y su relaión on la Tasa de Interés Efetiva Es omún esuhar hablar de tasa de interés nominal anual (TNA) y de tasa de interés efetiva anual (TEA). Sin duda alguna el aso más omún que se presenta es el de los ertifiados de depósito a plazo fijo, en donde se puede apreiar que aparee impresa una tasa on las siglas TNA, es la denominada Tasa Nominal Anual. Esta sirve para alular el interés utilizando la fórmula más senilla para álulo de interés que existe, que es la denominada fórmula de interés simple desripta anteriormente. Por ejemplo, si se deposita en un bano en onepto de plazo fijo $ ,00 a 30 días de plazo a una Tasa Nominal Anual del 8 %, los intereses que generaría diha oloaión surgirían del siguiente álulo: Interés = $ ,00 x (8 %) x (30 días/365 días) Interés = $ ,00 x 0,08 x 0, = $

9 Usando la tasa nominal anual se hae posible que el gran públio (que no maneja los onoimientos de matemátia finaniera avanzada), logre la omprensión y el ontrol de la liquidaión de intereses mediante la utilizaión de la fórmula de interés simple. Es deir que la tasa nominal de interés es una tasa uya únia razón de ser es posibilitar que el públio pueda ontrolar su depósito mediante la apliaión de la fórmula de interés simple. Pero esta tasa no indiará el rendimiento real de esa inversión al abo de 365 días dado que "no ontempla el efeto de la apitalizaión de los intereses. Es deir, si al venimiento de los 30 días renueva el plazo fijo por otro período similar, inorporando los intereses al apital y suponiendo que la tasa de interés es la misma; se podrá observar que los intereses que se ganarán en el segundo período de 30 días serán mayores a los generados en el primero; debido a que el apital oloado es superior al habérsele aumulado al depositado originalmente, los intereses ganados en el primer período y así suesivamente. Si se repite esta operaión, al abo de 365 días se habrá obtenido una tasa efetiva anual (T.E.A) del 8,3041 % que es la que india el rendimiento de la inversión y que es superior a la tasa nominal anual (T.N.A) que figura en el ertifiado. La determinaión de esta tasa efetiva anual de interés se realiza sobre la base de la denominada fórmula de interés ompuesto, uya utilizaión para la persona que no posee onoimientos de matemátia finaniera resulta sensiblemente más ompleja que la fórmula de interés simple, y ella es la siguiente: I = C0 X [(1i) 1] ^ n Donde: i: Es la tasa de interés efetiva anual expresada en tanto por uno n: Es un número que resulta de dividir la antidad de días por el uál se realiza la inversión dividido 365 que son los días del año. Cuando los banqueros definen la tasa de interés que van a pagar a un depositante (en su aso obrar a un areedor), piensan en tasas efetivas, y luego que toman la deisión que fija el nivel de la misma; alulan las tasas nominales equivalentes a ellas. Conoer esta diferenia entre tasa efetiva anual y nominal anual también resulta muy importante en el momento de evaluar el osto de un préstamo. Las tasas efetivas son aquellas que forman parte de los proesos de apitalizaión y de atualizaión. En ambio, una tasa nominal, solamente es una definiión o una forma de expresar una tasa efetiva. Las tasas nominales no se utilizan diretamente en las fórmulas de la matemátia finaniera. En tal sentido, las tasas de interés nominales siempre deberán ontar on la informaión de ómo se apitalizan. 9

10 Ejemplo: si tenemos una Tasa Nominal Anual (TNA) que se apitaliza mensualmente, esto signifia que la tasa efetiva a ser usada es mensual. Otro aso sería ontar on una TNA que se apitaliza trimestralmente, lo que signifia que la tasa efetiva será trimestral. Cómo se halla el valor de la tasa de interés efetiva? Las tasas nominales pueden ser divididas o multipliadas de tal manera de onvertirla en una tasa efetiva o también en una tasa proporional: Si queremos pasar de una tasa nominal a una efetiva: Si se reibe la informaión de una tasa nominal on su apitalizaión respetiva, entones esta tasa se divide o se multiplia, según sea el aso por un oefiiente, al que se le denomina normalmente on la letra m. Si queremos pasar de una tasa nominal a una proporional: Cuando la tasa nominal se divide o multiplia, se halla su respetiva tasa proporional. Ejemplo: si se tiene una TNA del 24 % que se apitaliza mensualmente: TNA = 24 % TNA = 0.24 TN mensual = 0.24 / 12 TN mensual = 0.02 TN mensual = 2 % Esta TNA del 24 % también puede onvertirse a una TN semestral, la misma que sería del 12 %. TNA = 24 % TNA = 0.24 TN semestral = 0.24 / 2 TN semestral = 0.12 TN semestral = 12 % Dada una tasa nominal y su forma de apitalizaión, ésta no varía si la tasa nominal se onvirtiera a otra tasa nominal proporional. Por ejemplo, si tenemos nuevamente la TNA del 24 % y se apitaliza mensualmente, podemos hallar la tasa nominal proporional mensual que sería 2 %. Como la TNA se apitaliza mensualmente, la tasa proporional hallada del 2 % también deberá apitalizarse mensualmente, pero omo esta tasa nominal también es mensual, entones la TEM simplemente es igual que la Tasa Nominal Mensual (TN mensual) Conlusión: Las tasas nominales siempre deberán ir aompañadas de su forma de apitalizaión. La tasa nominal puede ser onvertida a una tasa proporional, sin afetar la forma de apitalizaión. Lo que variaría sería el oefiiente m, que es aquel que onvierte a la tasa nominal en una efetiva. Ejemplo: si la TNA es del 24 % y la apitalizaión es mensual, el oefiiente m será 12; si esta tasa nominal la onvertimos en una TN semestral, ésta será del 12 %; sin embargo, para onvertirla en efetiva (TE mensual), deberá dividirse entre 6 y ya no entre 12. En este último aso, omo la tasa nominal se ha transformado a una tasa semestral, el oefiiente m tendrá un valor de seis. Lo importante de las tasas nominales es que es una espeie de representaión de la tasa efetiva. 10

11 La Tasa de Interés Efetiva Las tasas efetivas son las que apitalizan o atualizan un monto de dinero. Son las que utilizan las fórmulas de la matemátia finaniera. Ahora bien, las tasas de interés efetivas pueden onvertirse de un período a otro, es deir, se pueden hallar sus tasas de interés efetivas equivalentes. En otras palabras, toda tasa de interés efetiva de un periodo determinado de apitalizaión tiene su tasa de interés efetiva equivalente en otro período de apitalizaión. Una diferenia notoria on la tasa de interés nominal es que la efetiva no se divide ni se multiplia. Las tasas nominales pueden ser transformadas a otras proporionalmente pero el período de apitalizaión sigue siendo el mismo. Un apital puede ser apitalizado on diferentes tasas efetivas, las mismas que se relaionan on diferentes períodos de apitalizaión, pero el horizonte de apitalizaión puede ser el mismo. Entones, si tenemos $ ,00 y se desea apitalizar durante un año, entones se puede efetuar la operaión on una Tasa Efetiva Anual (TEA), o también on su equivalente mensual, que vendría a ser una TE mensual pero que apitaliza doe vees en un año. También sería igual utilizar una TE semestral omo tasa equivalente de una TEA, teniendo en onsideraión que la TE semestral apitaliza dos vees en un año. La diferenia on las tasas nominales, es que éstas se pueden transformar independientemente de la apitalizaión. En tal sentido, la tasa nominal se podría definir omo una presentaión de ómo se va a apitalizar o atualizar un monto de dinero en un horizonte de tiempo. Para la onversión de una tasa efetiva a otra tasa efetiva deberá tenerse en uenta que el horizonte de tiempo de la operaión finaniera deberá ser el mismo mas no así el periodo apitalizable (Reordar la diferenia entre periodo y momento). Por lo tanto en términos de tasa efetiva se pueden plantear las siguientes euaiones: (1 TEA) = (1 TE Mensual) ^ 12 TE Mensual = 12 (1TEA) 1 (1 TEA) = (1 iem) ^ 12 = 12 (1TEA) 1 Donde: iem = Tasa equivalente mensual La TE Mensual (iem) hará las vees de tasa equivalente de una TEA. La TEA apitaliza una vez en un año, y la iem apitaliza doe vees al año. Sin embargo el horizonte de tiempo de ambos miembros de la euaión es un año. La diferenia está en que la TEA abara todo el horizonte en una apitalizaión y la TEM solamente abara un mes, onseuentemente apitaliza doe vees. En términos generales; (1 TEA) = (1 ie) ^ H/F 11

12 Donde el oefiiente H será 12 si está en meses, y 360 si está en días; el oefiiente f será 1 si está en meses y 30 si está en días. Lo importante es que H y f estén en la misma unidad de tiempo al igual que la tasa equivalente. Esta es una euaión que relaiona una TEA on una tasa equivalente de ualquier periodo, pudiendo ser una TE mensual, TE bimestral, TE trimestral, TE semestral o una TEA. Inlusive la tasa equivalente puede estar en días omo por ejemplo, 12 días, 35 días, et. Ejemplo: Supongamos que tenemos un apital de $ 1.000,00 y se deposita en una Caja de ahorros que paga una tasa efetiva mensual del 2 %. Para hallar el valor futuro de este apital dentro de un año: VF = C0 X (1 im) ^ 12 VF = 1.000,00 X (10.02) ^12 = 1.268,24 Si queremos ver ual es la TEA equivalente a esta tasa mensual; im = 0.02 Utilizando la fórmula general; (1 TEA) = (1 ie) ^ H/F Si H = 12 Si F = 1 (1 TEA) = (1 0.02) ^ 12/1 TEA = (1.02) ^12 1 TEA = TEA = La TEA orrespondiente a una im del 2 % es del % ACTUALIZACION Y DESCUENTO DESCUENTO Desuento Simple Se denomina así a la operaión finaniera que tiene por objeto la sustituión de un apital futuro por otro equivalente on venimiento presente, mediante la apliaión de la ley finaniera de desuento simple. Es una operaión inversa a la de apitalizaión. Mto 0 Mto 1 Mto n-3 Mto n-2 Mto n-1 Mto n C0 = C1 I C1 = C0 I Cn-3 = C0 I Cn-2 = C0 I Cn-1 = C0 I Cn = C0 I C0 = C1 I C1 = C0 (C0 x i) Cn-3 = C0 (C0 x i) Cn-2 = C0 (C0 x i) Cn-1 = C0 (C0 x i) Cn = C0 (C0 x i) C0 = C1 I C1 = C0 x (1-i) Cn-3 = C0 x (1-i) Cn-2 = C0 x (1-i) Cn-1 = C0 x (1-i) Cn = C0 x (1-i) En este tipo de operaión los intereses no son produtivos, lo que signifia que a medida que se generan no se restan del apital de partida para produir nuevos intereses en el futuro y, por tanto los intereses de ualquier período siempre los genera el mismo apital, al tanto de interés vigente en diho período. 12

13 En una operaión de desuento el punto de partida es el apital futuro onoido (VF) uyo venimiento se quiere adelantar. Debemos onoer las ondiiones en las que se quiere haer esta antiipaión: La duraión de la operaión (tiempo que se antiipa el apital futuro) El interés apliado. El apital que resulte de la operaión de desuento (apital atual o presente que a partir de ahora llamaremos C0) será de uantía menor, siendo la diferenia entre ambos apitales los intereses que el apital futuro deja de tener por antiipar su venimiento. En definitiva, si trasladar un apital desde el presente al futuro implia añadirle intereses, haer la operaión inversa, antiipar su venimiento, supondrá la reduión de esa misma arga finaniera. Por tanto, el apital presente (C0) es inferior al apital futuro (Cn), y la diferenia entre ambos es lo que se denomina desuento (D). Se umple la siguiente expresión: D = Cn C0 Además, el desuento, propiamente diho, no es más que una disminuión de intereses que experimenta un apital futuro omo onseuenia de adelantar su venimiento, por lo tanto se alula omo el interés total del intervalo de tiempo que se antiipe el apital futuro. Se umple entones la siguiente expresión; D = C x i x n Desuento Compuesto Se denomina así a la operaión finaniera que tiene por objeto la sustituión de un apital futuro por otro equivalente on venimiento presente, mediante la apliaión de la ley finaniera de desuento ompuesto. Es una operaión inversa a la de apitalizaión. El ahorro de intereses se alula sobre el valor efetivo (C0) empleando un tipo de interés efetivo (i). Mto 0 Mto 1 Mto n-3 Mto n-2 Mto n-1 Mto n C0 C1=C0 I Cn-3=Cn-4 I Cn-2=Cn-3 I Cn-1=Cn-2 I Cn=Cn-1 I C0 C1=C0 (C0 x i) Cn-3=Cn-4 I Cn-2=Cn-3 I Cn-1=Cn-2 I Cn=Cn-1 I C0 C1=C0 (C0 x i) C0 C1=C0 (C0 x i) Cn-3=Cn-4 (Cn-4 x i) Cn-3=C0 x (1i) ^n- 3 Cn-2=Cn-3 (Cn-3 x i) Cn-2=C0 x (1i) ^n-2 Cn-1=Cn-2 (Cn-2 x i) Cn-1=C0 x (1i) ^n- 1 Cn=Cn-1 (Cn-1 x i) Cn = C0 x (1i) ^n 13

14 Los intereses son produtivos, lo que signifia que a medida que se generan se restan del apital de partida para produir y restar nuevos intereses en el futuro y, por tanto los intereses de ualquier período siempre los genera el apital del período anterior, al tanto de interés vigente en diho período. Si onsideramos los momentos de la operaión; Período n: n Período n-1: Cn-1 = Cn In Cn-1 = Cn Cn-1 x i Si agrupamos términos; Cn-1 Cn-1 x i = Cn Despejamos Cn-1; Cn-1 = Cn / (1i) Período n-2: Cn-2 = Cn-1 In-2 Cn-2 = Cn-1 Cn-2 x i Si agrupamos términos; Cn-2 Cn-2 x i = Cn-1 Despejamos Cn-2; Cn-2 = Cn-1 / (1i) Cn-2 = (Cn / (1i)) / (1i) Cn-2 = Cn / (1i) ^ 2 Período n-3: Cn-3 = Cn-2 In-3 Cn-3 = Cn-2 Cn-3 x i Si agrupamos términos; Cn-3 Cn-3 x i = Cn-2 Despejamos Cn-3; Cn-3 = Cn-2 / (1i) Cn-3 = (Cn / (1i) ^ 2) / (1i) Cn-3 = Cn / (1i) ^ 3 Período 0: C0 = C1 I0 C0 = C1 C0 x i Si agrupamos términos; C0 C0 x i = C1 Despejamos C0; C0 = C1 / (1i) C0 = (Cn / (1i) ^ n-1) / (1i) C0 = Cn / (1i) ^ n De otra forma, partiendo de la expresión fundamental de la apitalizaión ompuesta, se despeja el apital iniial (C0): VF = C0 x (1i) ^ n O lo que es lo mismo; C0 = VF / (1i) ^ n C0 = Cn / (1i) ^ n 14

15 En una operaión de desuento el punto de partida es un apital futuro onoido (Cn) uyo venimiento se quiere adelantar. Deberemos onoer las ondiiones en las que se quiere haer esta antiipaión: Duraión de la operaión (tiempo que se antiipa el apital futuro) El interés apliado. El apital que resulte de la operaión de desuento (apital atual, C0) será menor, siendo la diferenia entre el apital final y el iniial los intereses que un apital deja de tener por antiipar su venimiento. Resumiendo, si trasladar un apital desde el presente al futuro implia añadirle intereses, haer la operaión inversa, antiipar su venimiento, supondrá la disminuión de esa misma arga finaniera. Una vez alulado el apital iniial, por diferenia entre el apital de partida y el iniial obtenido, se obtendrá el interés total de la operaión (D), o desuento propiamente diho: D = Cn C0 D = Cn Cn / (1i) ^ n D = Cn x {1 [1 / (1i) ^ n]} Ejemplo: Se desea antiipar el pago de una deuda de $ ,00 que vene dentro de 3 años. Si el pago se hae en el momento atual, qué antidad tendremos que entregar si la operaión se onierta a un tipo de interés del 5% anual ompuesto? Cuánto nos habremos ahorrado por el pago antiipado? Cn = $ ,00 n = 3 años i = 0.05 anual ompuesto C0 = Cn / (1i) ^ n C0 = ,00 / (10.05) ^ 3 C0 = ,00 / (1.05) ^ 3 C0 = ,00 / C0 = ,11 SI alulamos el ahorro de la operaión D = Cn x {1 [1 / (1i) ^ n]} D = ,00 x {1 [1 / (10.05) ^ 3]} D = ,00 x [1 (1 / )] D = ,00 x ( ) D = ,00 x D = 3.267,89 Tasa de Desuento (d) La tasa de desuento es la medida finaniera que se aplia para determinar el valor atual de un pago futuro. La tasa de desuento se diferenia de la tasa de interés, en que esta se aplia a una antidad original para obtener el inremento que sumado a ella da la antidad final, mientras que el desuento se resta de una antidad esperada para obtener una antidad en el presente En este aso se onsidera generador de los intereses de un período el apital al final del mismo, utilizando la tasa de desuento (d) vigente en diho período. 15

16 Mto 0 Mto 1 Mto n-3 Mto n-2 Mto n-1 Mto n C0 = C1 I C1=C2 - I Cn-3 = Cn-2 - I Cn-2 = Cn-1 - I Cn-1 = Cn - I Cn C0 = C1 (C1 x d) C1 = C2 - (C2 x d) Cn-3=Cn-2 - (Cn-2 x d) Cn-2=Cn-1 (Cn-1 x d) Cn-1 = Cn (Cn x d) Cn C0 = Cn x (1-d) ^n C1 = Cn (1-d) ^n-1 Cn-3=Cn-2 (1-d) ^3 Cn-2=Cn-1 x (1-d) ^2 Cn-1 = Cn x (1-d) Cn El proeso es el siguiente; Período n: Cn Período n-1: Cn-1 = Cn In Cn-1 = Cn Cn x d Si agrupamos términos; Cn-1 = Cn x (1 d) Período n-2: Cn-2 = Cn-1 In-2 Cn-2 = Cn-1 Cn-1 x d Si agrupamos términos; Cn-2 = Cn-1 x (1 d) Cn-2 = Cn x (1 d) x (1 d) Cn-2 = Cn x (1 d) ^ 2 Período n-3: Cn-3 = Cn-2 In-3 Cn-3 = Cn-2 Cn-2 x d Si agrupamos términos; Cn-3 = Cn-2 x (1 d) Cn-3 = Cn x (1 d) ^ 2 x (1 d) Cn-3 = Cn x (1 d) ^ 3 Período 0: C0 = C1 I0 C0 = C1 C1 x d Si agrupamos términos; C0 = C1 x (1 d) C0 = Cn x (1 d) ^ n-1 x (1 d) C0 = Cn x (1 d) ^ n Así podemos determinar el apital iniial de una operaión de auerdo a la tasa de desuento (d) que se obtiene por el heho de adelantar ese pago: C0 = Cn x (1 d) ^ n 16

17 De esta forma, una vez alulado el apital iniial, por diferenia entre el apital de partida y el iniial obtenido, se obtendrá el interés total de la operaión (D): D = Cn C0 D = Cn Cn x (1 d) ^ n De esta manera obtenemos que, D = Cn x [1 (1 d) ^ n] Ejemplo: Se desea antiipar un apital de $ ,00 que vene dentro de 5 años. Si el pago se hae en el momento atual, qué antidad tendremos que entregar si la operaión se onierta a un tipo de desuento del 10% anual? Cuánto nos habremos ahorrado por el pago antiipado? C0 = Cn x (1 d) ^ n C0 = ,00 x (1 0.10) ^ 5 C0 = ,00 x (0.90) ^ 5 C0 = ,00 x C0 = 5.904,90 D = Cn x [1 (1 d) ^ n] D = ,00 x [1 (1 0.10) ^ 5] D = ,00 x [1 (0.90) ^ 5] D = ,00 x ( ) D = ,00 x D = 4.095,10 Equivalenia entre la tasa de interés y la tasa de desuento Al evaluar los dos proedimientos de desuento, se observa que desontando un apital ualquiera, on el mismo tiempo y on el mismo porentaje, los resultados serán diferentes según se realie por un proedimiento u otro. Por lo tanto, es neesario enontrar la relaión entre la tasa de interés y la tasa de desuento para que el resultado de la antiipaión sea el mismo ualquiera sea el modelo de desuento empleado. Esta relaión de equivalenia debe onseguir que el resultado final sea el mismo en uno y otro aso, es deir, se tiene que umplir la igualdad entre ambos desuentos, por lo que si: D = Cn x {1 [1 / (1i) ^ n]} usando la tasa de interés (1) D = Cn x [1 (1 d) ^ n] usando la tasa de desuento (2) Si igualamos (1) y (2); Cn x {1 [1 / (1i) ^ n]} = Cn x [1 (1 d) ^ n] 1 [1 / (1i) ^ n] = 1 (1 d) ^ n [1 / (1i) ^ n] = (1 d) ^ n Multipliamos ambos miembros por 1; 1 / (1i) ^ n = (1 d) ^ n 17

18 Extrayendo la raíz n de la euaión; 1 / (1i) = (1 d) d = 1 [1/ (1i)] Usando fator omún; d = (1 i 1) / (1 i) Podemos realizar la equivalenia de tasas; d = i / (1 i) Hay que tener en uenta que la relaión de equivalenia es independiente de la duraión de la operaión. Por tanto, se umple que para una tasa de interés solamente habrá una tasa de desuento que produza el mismo efeto, es deir, sea equivalente (y vieversa) sin tener en uenta el tiempo en la operaión. Ejemplo: Se desea antiipar el pago de una deuda de $ que vene dentro de 3 años. Si el pago se hae en el momento atual, qué antidad tendremos que entregar si la operaión se onierta? 1. A una tasa de interés del 5% anual (interés ompuesto): Cn = ,00 n = 3 años i = 0.05 C0 = Cn / (1 i) ^ n C0 = ,00 / (1 0.05) ^ 3 C0 = ,00 / (1 0.05) ^ 3 C0 = ,00 / (1.05) ^ 3 C0 = ,00 / C0 = ,11 D = Cn x {1 [1 / (1i) ^ n]} D = ,00 x {1 [1 / (10.05) ^ 3]} D = ,00 x {1 [1 / (1.05) ^ 3]} D = ,00 x [1 (1 / )] D = ,00 x [1 (1 / )] D = ,00 x ( ) D = ,00 x D = 3.267,89 2. A una tasa de desuento del 5% anual (tasa de desuento): Cn = ,00 n = 3 años d = 0.05 C0 = Cn x (1 d) ^ n C0 = ,00 x (1 0.05) ^ 3 C0 = ,00 x (0.95) ^ 3 C0 = ,00 x C0 = ,00 18

19 D = Cn x [1 (1 d) ^ n] D = ,00 x [1 (1 0.05) ^ 3] D = ,00 x [1 (0.95) ^ 3] D = ,00 x ( ) D = ,00 x D = ,00 x D = 3.423,00 Por tanto, apliando una tasa de interés y una tasa de desuento idéntias los resultados son distintos, siendo mayor el valor atual obtenido en el interés ompuesto debido a que el apital que genera intereses es el apital iniial (más pequeño) y en onseuenia menor el ahorro por la antiipaión. Para onseguir el mismo resultado habría que alular el tipo de desuento equivalente al 5% de interés mediante la relaión de equivalenia: d = i / (1 i) d = 0.05 / (1 0.05) d = 0.05 / (1.05) d = Atualizando omerialmente al nuevo tipo de desuento, el resultado será: C0 = Cn x (1 d) ^ n C0 = ,00 x ( ) ^ 3 C0 = ,00 x ( ) ^ 3 C0 = ,00 x ( ) ^ 3 C0 = ,00 x ( ) ^ 3 C0 = ,00 x C0 = ,11 RENTAS Hasta ahora las operaiones finanieras que hemos analizado se omponían de un apital únio (o poos) tanto en la prestaión omo en la ontraprestaión. Sin embargo, hay un gran número de operaiones que se omponen de un elevado número de apitales: la onstituión de un apital, los planes de jubilaión, los préstamos, et. En todas ellas intervienen muhos apitales y sería difíil y poo prátio moverlos de uno en uno, omo lo hemos heho hasta ahora A través de un método matemátio que se pueden desplazar un elevado número de apitales on relativa failidad: las rentas. La renta se define omo un onjunto de apitales on venimientos equidistantes de tiempo. Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos: Existenia de varios apitales(al menos dos) Periodiidad onstante, entre los apitales, es deir, entre dos apitales onseutivos debe existir siempre el mismo espaio de tiempo (ualquiera que sea) 19

20 Elementos Fuente de la renta: es el fenómeno eonómio que da origen a la renta. Iniio: momento en el que omienza a devengarse el primer apital. Final: momento en el que termina de devengarse el último apital. Duraión: tiempo que transurre desde el origen hasta el final de la renta. Término: ada uno de los apitales que omponen la renta. Período: intervalo de tiempo entre dos apitales onseutivos. Tasa de interés: tasa empleada para mover los apitales de la renta. Períodos Mensuales C1 C2 C3 Cn-1 Cn Mto 0 Mto 1 Mto 2 Mto 3 Mto n-1 Mto n Duraión = Mn M0 Iniio Final El valor finaniero de una renta en el momento t (Vt) Es el resultado de llevar finanieramente (apitalizando o desontando) todos los términos de la renta a diho momento de tiempo t. Si t = 0 hablamos del Valor Atual, es deir, el resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento ero. Si t = n hablamos del Valor Final, es deir, el resultado de desplazar todos los términos de la renta al momento n. Clases de renta Según la omposiión del apital Constante: uando todos los apitales son iguales. Variable: uando al menos uno de los apitales es diferente al resto, pudiéndose distinguir: Variables sin seguir una ley matemátia, uando varían aleatoriamente. Variables siguiendo una ley matemátia, uando lo haen on un orden. En progresión geométria. En progresión aritmétia. 20

21 Según la duraión en el tiempo Temporal: tienen un número finito y onoido de apitales. Perpetua: tienen un número infinito o demasiado grande de apitales. Según el venimiento del término Venida: los apitales se enuentran al final de ada período de tiempo. Adelantada: los apitales se sitúan a prinipio de ada período. Según el momento de valoraión Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su final. Diferida: uando se valora la renta en un momento anterior a su origen. Antiipada: el valor de la renta se alula on posterioridad al final. Según la periodiidad del venimiento Entera: El término de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que el la tasa, ualquiera que sea la unidad tomada. No entera: el término de la tasa Fraionada: el término de la renta se expresa en una unidad de tiempo menor que aquella en la que viene expresada la tasa Según la el tipo de interés empleado en el álulo Simple: uando se emplea el interés simple, para desplazar los apitales. Compuesta: uando se emplea la de apitalizaión ompuesta. Para el orreto empleo de las fórmulas finanieras de las rentas, será neesario lasifiar las rentas atendiendo a ada uno de estos riterios y, en funión de la ombinaión que presente habrá que apliar una u otra, según proeda. Rentas Temporarias Las rentas temporarias son aquellas uyo número de periodos es finito. Anualidad Venida Se paga al final de ada periodo. M0 M1 M2 M3 Mn VA= (1i) (1i)^2 (1i)^3 (1i)^4 (1i)^n 21

22 Si multipliamos ambos términos por (1 i) VA(1i) = (1i) (1i)^2 (1i)^3 (1i)^n-1 Si ahora restamos a la nueva igualdad la anterior; VA (1i) - VA = (1i) Simplifiamos los términos iguales; (1i)^2 (1i)^n- 1 - (1i) (1i)^2 (1i)^n VA (1i) - VA = - (1i)^n Apliamos propiedad distributiva; VA VA X i - VA = - (1i)^n Entones; VA X i = - (1i)^n VA = i [ 1-1 (1i)^n ] Anualidad Adelantada Se paga al iniio de ada periodo. M0 M1 M2 M3 Mn Cuando alulamos el Valor Atual (VA) de una anualidad venida nos da el valor de la anualidad en el momento 0, entones, uando la anualidad se paga en forma adelantada hay que tener en uenta la uota del momento iniial: VA = i [ 1-1 (1i)^n ] Saando fator omún y trabajando matemátiamente; VA = i (1i) [ 1-1 (1i)^n ] 22

23 Rentas Perpetuas Las rentas perpetuas son aquellas uyo número de periodos es infinito. Por este motivo a este tipo de rentas sólo se le podrá alular valor atual pero nuna el valor final, y todo ello on independenia de que sea venida o adelantada, onstante o variable, et. Perpetuidad Venida Se paga al final de ada periodo. M0 M1 M2 M3 Infinito VA = (1i) (1i)^2 (1i)^3 (1i)^4. Si multipliamos a esta igualdad por (1 i) VA(1i) = C (1i) (1i)^2 (1i)^3. Si ahora restamos a la nueva igualdad la anterior; VA (1i) - VA = - (1i) (1i)^2 (1i) (1i)^2 (1i)^3 Simplifiamos los términos iguales; VA (1i) - VA = Entones; VA = i Perpetuidad adelantada Se paga al final de ada periodo. M0 M1 M2 M3 Infinito 23

24 Cuando alulamos el Valor Atual (VA) de una perpetuidad venida nos da el valor de la anualidad en el momento 0, entones, uando la perpetuidad se paga en forma adelantada hay que tener en uenta la uota del momento iniial: VA = i Utilizando denominador omún; x i VA = i Saando fator omún; VA = i (1i) IMPOSICIONES Y SISTEMAS DE AMORTIZACION La Imposiión es un aso partiular de renta en el ual ada término devenga interés (simple o ompuesto) desde la feha de su abono hasta la feha final. Imposiiones venidas Se paga al final de ada periodo. M0 M1 M2 M3 n VA = i [ 1-1 (1i)^n ] Imposiiones adelantadas Se paga al iniio de ada periodo. M0 M1 M2 M3 n-1 n Cuando alulamos el Valor Atual (VA) y se paga en forma adelantada hay que tener en uenta la uota del momento iniial: 24

25 VA = i (1i) [ 1-1 (1i)^n ] Préstamos El préstamo es una operaión finaniera de prestaión únia y ontraprestaión múltiple. En ella, una parte (llamada prestamista) entrega una antidad de dinero (C0) a otra (llamada prestatario) que lo reibe y se ompromete a devolver el apital prestado en el (los) venimiento(s) patado(s) y a pagar intereses en los venimientos señalados en el ontrato. La operaión de amortizaión onsiste en distribuir on periodiidad la devoluión del prinipal (C0), junto on los intereses que se vayan devengando a lo largo de la vida del préstamo. Los pagos periódios que realiza el prestatario tienen, pues, la finalidad de rembolsar, extinguir o amortizar el apital iniial. La terminología utilizada será la siguiente: C0 = Importe del préstamo, antidad finaniada. n = Número de pagos a realizar durante el tiempo que se mantiene ontraída la deuda. I = Tasa de interés efetiva onvenida Ck = Término amortizable al final del período k, pago total realizado por el prestatario en ada venimiento (mensual, trimestral, semestral). Por lo tanto: Ck = Ik Ak Ik = interés del período k, antidad destinada a remunerar al prestamista por el período orrespondiente. Ak = amortizaión del período k, antidad destinada a devolver deuda en ada venimiento. Ck = Capital pendiente de amortizaión en el momento k. Es el saldo por pagar del préstamo Mk =Capital total amortizado al final del período k. Es importante tener SIEMPRE en uenta que: 1. Los intereses de ada período se alulan sobre el apital a prinipio del período: Ik = Ck-1 x i 2. El parámetro que amortiza diretamente el apital es la amortizaión (A), e indiretamente el término amortizable = uota 3. El apital a amortizar siempre es la suma aritmétia de todas las amortizaiones periódias C0 = A1 A2 A3... An 4. El apital pendiente es la suma aritmétia de las uotas de amortizaión que queden por amortizar. Ck = Ak1 Ak2 Ak3... An Aunque también se obtiene por la diferenia entre el importe del préstamo y el total amortizado hasta ese momento. Ck = C0 mk 25

26 Prinipales Sistemas de Amortizaión de Préstamos Según la finalidad a la que se destinen los términos amortizables es posible distinguir diferentes formas de llevar a abo la devoluión del apital iniial: es lo que se sistema de amortizaión del préstamo. 1. Préstamos amortizables mediante reembolso únio del prinipal al final de la operaión. a. Sin pago periódio de intereses: Préstamo simple. Se trata de diferir la devoluión del apital y de los intereses devengados hasta el final de la operaión, pagando todo onjuntamente de una sola vez. Para el prestatario esta operaión solamente produe dos flujos de aja: uno de entrada (obro) en el origen, por el importe del préstamo, y otro al final, de salida (pago), por el importe del préstamo más los intereses devengados y aumulados. La aumulaión de intereses se puede realizar tanto en régimen de apitalizaión simple omo en ompuesta. b. Con pago periódio de intereses: Sistema ameriano. El sistema Ameriano establee una sola amortizaión al final de un período, en el ual solo se pagan intereses. Al no haber pagos de apital, los intereses son fijos. El deudor paga mensualmente los intereses y al finalizar el plazo onvenido debe anelar el total del apital. Son hipoteas que por lo general se patan a uno o dos años, existiendo láusulas de renovaión automátia y de anelaiones pariales. El tipo de amortizaión "Ameriano" benefiiará a quienes neesiten abonar uotas bajas durante un periodo de tiempo y puedan efetuar la anelaión de apital al venimiento del plazo patado. 2. Préstamos reembolsables mediante una serie de pagos periódios a. Sistema Franés Este sistema de amortizaión se arateriza porque los términos amortizables (uotas) permaneen onstantes durante toda la vida del préstamo. De esta forma al prinipio la mayor parte de la uota son intereses, siendo la antidad destinada a amortizaión muy pequeña. Esta proporión va ambiando a medida que el tiempo va transurriendo. Si es venido: C0 M0 M1 M2 M3 n C0 = i [ 1-1 (1i)^n ] 26

27 Si es adelantado C0- M0 M1 M2 M3.n-1 n C0 = i (1i) [ 1-1 (1i)^n ] Donde C0 representa el importe del préstamo, n el número de pagos en los que se amortiza el préstamo, el término amortizable. Ejemplo1: Se toma un préstamo por $ pagadero en tres uotas anuales venidas al 10% anual por el sistema franés. C0 = i [ 1-1 (1i)^n ] = 1 [ (10.10)^3 ] = 1 [ ] = 0.10 [ ] = 0.10 ( ) = AÑO CUOTA INTERES AMORTIZACION TOTAL AMORT SALDO , , , , , , , , , , , , , , ,00 0,00 27

28 b. Sistema Alemán Este sistema es también llamado método de uota de amortizaión onstante o método lineal En este tipo de préstamos, el prestatario se ompromete a devolver todos los períodos la misma antidad de apital, esto es, la uota de amortizaión (Ak) se mantiene onstante durante todo el préstamo. Considerando que el importe del préstamo es C0, on un tipo de interés onstante i, y amortizable en n períodos, en este aso debe umplirse que: A1 = A2 = A3 = An = A Sabiendo que la suma de todas las uotas es el importe del préstamo y que, además, éstas se mantienen onstantes se debe umplir: Co = A1 A2 A3..An En este sistema; A1 = A2 = A3 =..= An = A Entones; Co = A x n Por lo tanto, A = C0 n Ejemplo: Se toma un préstamo por $ ,00 pagadero en tres uotas anuales al 10% anual por el sistema alemán A = C0 n A = A = ,33 AÑO CUOTA INTERES AMORTIZACION TOTAL AMORT SALDO , , , , , , , , , , , , , , ,99 0,01 28