RELACIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS SOBRE ANÁLISIS DE UNA CARACTERÍSTICA (DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES)

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1 ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I ESTADÍSTICA DIPLOMATURA EN CIENCIAS EMPRESARIALES (PRIMER CURSO) RELACIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS SOBRE ANÁLISIS DE UNA CARACTERÍSTICA (DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES) CURSO

2 1. En el Departamento de Personal de una fábrica se ha realizado una investigación estadística en relación a los salarios en percibidos por los trabajadores diariamente. Los resultados de la misma arrojaron los siguientes valores: A partir de dicha información, se pide: a) Obtenga la distribución de frecuencias sin agrupar para dicha variable, repitiendo la operación agrupando la misma en cuatro intervalos de amplitud constante. b) Calcule la media, moda y mediana para los datos originales y para los datos agrupados. c) Realice la representación gráfica de la variable original a través del correspondiente histograma. Dibuje el diagrama acumulativo de frecuencias para el caso de la distribución agrupada. 2. Para una determinada empresa, los precios de los artículos producidos en un determinado ejercicio vienen dados por la siguiente distribución: Precios Frecuencias 15 k 2k 5 A partir de tales cifras, se quiere conocer: a) El valor de la constante si se sabe que el precio medio es de 25. b) Los valores de mediana, moda, varianza y desviación típica para dicha variable. c) El tercer cuartil y el percentil de orden Una fábrica produce barras de acero utilizando una máquina, cuyas características hacen que la longitud de éstas no pueda ser mayor de 50 cm. Para una determinada hora de funcionamiento de dicha máquina, las longitudes de las barras producidas fueron las siguientes: Longitud 10 (10,20] (20,25] (25,30] (30,40] >40 Nº de barras Desde tales datos, determine para esa hora, si es posible, los valores para la longitud de esas barras de la media, mediana, moda, varianza, percentil de orden 35, cuarto decil y primer cuartil. 2

3 4. En dos empresas se dan las siguientes distribuciones de salarios mensuales (en ) para sus trabajadores: EMPRESA A EMPRESA B Salarios Nº empleados Salarios Nº empleados En función a tales distribuciones, responda a las siguientes preguntas: a) Cuál de las dos tiene menor dispersión? b) Para qué empresa resulta más representativo el salario medio? c) Cuál de las dos empresas se encuentra con una distribución de los salarios más equitativa? Para responder, dibuje la correspondiente curva de Lorenz y determine el índice de Gini para la empresa A. 5. Conocemos los siguientes datos acerca de las dos subpoblaciones (A y B) en las que se encuentra dividida una determinada población: Dato/Subpoblación A B Nº elementos Media 2 5 Desv. Típica 3 4 A partir de tales cifras, calcule la media y la varianza para el conjunto de la población. 6. Dada la siguiente distribución de frecuencias: xi ni Sería más adecuada una media aritmética, geométrica o armónica? Razone la posible respuesta. 7. De una determinada distribución unidimensional sabemos que el recorrido de la variable es 60, y que la misma está dividida en seis intervalos de amplitud constante. Conocemos también que las frecuencias correspondientes a los distintos intervalos (ordenados de menor a mayor) son, respectivamente, 7, 11, 15, 10, 5 y 2, y que la media aritmética toma un valor de 35,2. A partir de esta información, se pide: a) Determine la distribución de frecuencias para dicha variable y represéntela gráficamente. b) Calcule la moda, mediana, desviación típica y los dos cuartiles que restan para dicha variable. c) Determine el grado y tipo de asimetría en tal distribución. 3

4 8. Los operarios de una determinada sección de una empresa recibieron durante el pasado año un salario de fijos más un plus de 7 5 por hora extra trabajada. Para tal ejercicio, se conoce que la distribución del número de horas extras realizadas por tales empleados fue la siguiente: Nº horas extra (100,110] (110,120] (120,130] (130,140] (140,160] (160,180] Nº trabajadores Desde tal información, determine para tal ejercicio: a) El salario medio por obrero b) La varianza de tales salarios c) Los límites salariales que definen el 50 % de la distribución central para los salarios en tal sección. 9. Dada una distribución de frecuencias de una variable que define las ventas para una determinada empresa durante el pasado mes con valores agrupados en intervalos, sólo conocemos de la misma las amplitudes y las frecuencias absolutas de cada uno de tales intervalos, las cuales se presentan en la siguiente tabla, suponiendo una ordenación creciente de los intervalos: Frecuencias Amplitudes Para esta variable, sabemos también que el 90 % de los valores de la variable son mayores que 156. Con estos datos, se pide: a) Represente gráficamente la distribución de frecuencias y obtenga, desde ella, una primera aproximación de los valores de la media, la mediana y la moda. b) Calcule los valores de la media, la mediana, la moda, la varianza, la desviación típica, el coeficiente de variación y el recorrido intercuartílico para esta variable. 10. Consultada la revisión del Padrón Municipal de Habitantes de Andalucía a 1 de enero de 2001, la tabla adjunta proporciona la distribución de la población en Andalucía occidental (Cádiz, Córdoba, Huelva y Sevilla) y en Andalucía oriental (Málaga, Granada, Almería y Jaén), según el tamaño del Municipio: Tamaño del municipio ANDALUCÍA OCCIDENTAL Nº habitantes (miles) Nº municipios ANDALUCÍA ORIENTAL Nº habitantes (miles) Nº municipios Hasta Más de Desde esta información, se pide que responda a las siguientes cuestiones: 4

5 a) Está más concentrada la población en Andalucía occidental, en Andalucía oriental o en el conjunto de la región? Utilice la curva de Lorenz y el índice de Gini para responder a esta pregunta. b) Cuál es el tamaño medio en número de habitantes por municipio en ambas zonas y en el conjunto? 11. La tabla adjunta muestra el salario mensual de los 720 trabajadores de una empresa para el pasado año: Salarios (en ) Nº trabajadores A la hora de renovar el convenio colectivo, la dirección de la empresa presenta dos alternativas a los trabajadores: 1. Aumento proporcional del 5% en el salario de cada trabajador. 2. Aumento lineal de 50 en el salario de cada trabajador. Desde de esta doble posibilidad, y teniendo en cuenta que a la dirección de la empresa le es indiferente cualquier de las dos opciones, se quiere conocer por parte de los negociadores sindicales: a) Cuál de las dos alternativas daría lugar a una menor dispersión? b) A partir de qué salario es preferible el aumento proporcional? Qué porcentaje de trabajadores estarían beneficiados por éste? 12. Durante cuatro años, una familia compró leña para la chimenea de su casa a los precios de precios 8, 9, 10, 12 céntimos de por Kg. Se quiere conocer el coste medio de la leña consumida por esta familia en estos 4 años, bajo los siguientes supuestos: 1. Se consume la misma cantidad de leña cada año. 2. Se gasta la misma cantidad de dinero en leña cada año. 13. En tres empresas se dan las siguientes cifras de producción total y productividad media por empleado: COMPAÑÍA A B C PRODUCCIÓN (UNIDADES) PRODUCTIVIDAD POR EMPLEADO 0,5 0,7 0,8 A de tales guarismos, se desea conocer cuál sería el valor que alcanzaría la productividad media por empleado para el conjunto de las tres empresas. 5

6 14. La compañía de seguros EL CASTAÑAZO, S.A., especializada en el ramo de los automóviles, reúne los datos referentes a los ingresos obtenidos por las pólizas a todo riesgo para automóviles durante 1993, para cada uno de los distintos niveles de precios, obteniéndose la siguiente información: Precio de la póliza (10 3 Pts.) Ingresos totales (10 6 Pts.) Porcentaje de pólizas Menos de Más de Como información adicional, conocemos también que hay 200 pólizas contratadas con un importe superior a las pesetas. Desde estos datos, se le pide que responda a las siguientes cuestiones: a) Diría usted que el coste medio de una póliza contratada en esta compañía es representativo? Razone su respuesta. b) Cree que una gran parte de los ingresos obtenidos por la compañía se concentran en un número reducido de pólizas? Cuantifique su respuesta. c) Qué porcentaje de pólizas costaron menos de Pts? Qué porcentaje de ingresos representaron tales pólizas? d) Ante el gran aumento de los siniestros, la empresa proyecta una subida en el importe de las pólizas, pero duda entre un aumento lineal de pts. y uno proporcional del 12 %. A partir de qué precio le interesará a un cliente la subida lineal de pts. en su póliza? 15. Dos empresas del mismo grupo y pertenecientes al mismo sector productivo, pero ubicadas en regiones distintas, han manifestado a la dirección general de la compañía su descontento por las retribuciones salariales que están percibiendo. La empresa localizada en la región 2 manifiesta que su salario medio es inferior al de la que está en la región 1, argumentando además que la dispersión en sus salarios es menor, a pesar de que el sueldo máximo que se pueda percibir en esta empresa supere al sueldo máximo de la empresa ubicada en la región 1. Además, argumentan que la productividad media por empleado para el conjunto de la empresa supera a la de la región 1, siendo igual dicha productividad por empleado para cada una de las categorías en que se considera dividida la empresa. Conocemos la siguiente información acerca de las dos empresas en conflicto: 6

7 Categoría Laboral Empresa ubicada en la región 1 Empresa ubicada en la región 2 Productividad Salario Nº Nº por mes y mensual empleados empleados empleado (10 3 pts.) Salario mensual (10 3 pts.) Productividad por mes y empleado A B C Desde esta información, se le pide: a) Comparar las medias salariales para ambas empresas, la representatividad de las mismas, y la productividad media por empleado para el conjunto de las dos empresas. En base a las cifras alcanzadas, confirme o deniegue los argumentos dados por la empresa de la región 2. b) Determine para la empresa ubicada en la región 1 el salario cobrado por un mayor número de trabajadores c) Calcular el intervalo salarial, para la empresa ubicada en la región 2, que abarca el 94 % de la distribución central de la misma. La dirección afirma que, si bien es cierto que existe una diferencia en el salario medio del conjunto de las dos empresas, no existe tal diferencia en cuanto a la productividad. Por ello, propone un aumento proporcional del 5 % en los salarios de la empresa ubicada en la región 2, con objeto de que aumente la media salarial. Adicionalmente, propone reducir proporcionalmente en cada nivel salarial la plantilla en un 2 % para la empresa ubicada en la región 1. A partir de tales modificaciones, se quiere conocer: d) Cuáles serán las nuevas situaciones de las dos empresas en cuanto a las medias salariales, la representatividad de las mismas y las respectivas productividades? 16. El director de una cadena hotelera que dispone de plazas, ha estado recopilando datos sobre el rendimiento diario de cada plaza, observando que en la mitad de éstas el rendimiento diario es superior a las 250 pts., pero sólo 590 tenían un rendimiento superior a las 350 pts. por día. Con ayuda de la secretaría, agrupó los datos en 6 intervalos de igual amplitud, y observó que tenían una distribución simétrica, con un recorrido de 300 pts. La secretaria se percató, además, de que sólo plazas tenían rendimiento superior a las 150 pts., pero no superior a 300 pts. por día, lo que le hacía pensar que no habría mucha dispersión entre los rendimientos diarios. Desde estos planteamientos: a) Podría usted comentar la opinión de la secretaria? b) Si se produce una subida de los precios diarios del 15%, cuánto aumentará en términos absolutos la recaudación diaria de esta sociedad, supuesto que se mantiene la misma distribución? c) Determine el coeficiente de variación para la distribución, antes y después de la subida. 7

8 17. Las cifras de impuestos recaudados durante un determinado ejercicio en la República de Turulandia vienen recogidos en la siguiente tabla: Cuota a pagar (10 4 pts.) Nº de unidades familiares (10 3 ) Total de recaudación (10 7 pts.) Más de A partir de dicha información, se pide: a) Calcular la cuota media con la que contribuyen las unidades familiares de Turulandia. Diría usted que es representativa? b) Cree que el peso de la recaudación se concentra en un número reducido de unidades familiares? Cuantifique su respuesta. c) Calcule aquella cuota tal, que la recaudación total que se sitúe por debajo de ella constituya, globalmente, un volumen igual que la de la que se sitúe por encima de dicha cuota. 18. En una determinada ciudad se ha realizado un estudio del precio del m 2 construido de vivienda durante el año En uno de sus distritos, se han construido m 2 de vivienda. La siguiente tabla muestra los datos correspondientes a las viviendas construidas en el mismo: Precio de venta del m 2 de vivienda (10 4 pts.) Nº de m 2 construidos Volumen de ventas (10 6 pts.) Total Desde los datos ahí reflejados, responda a las siguientes preguntas: a) Si se consideran viviendas de protección oficial (VPO) aquellas cuyo precio es inferior a las pts./ m 2,, qué porcentaje de m 2 construidos correspondería a las mismas? Explique en qué basa su estimación. b) Halle el precio medio del m 2 de vivienda construida e interprete si la media representa bien al total de lo construido, en virtud de la correspondiente dispersión. c) Un 20% de los m 2 construidos, los más caros, corresponden a viviendas catalogadas de lujo. Qué precio mínimo ha de tener el m 2 de una vivienda para ser definida como de lujo? d) En los precios reflejados en la tabla anterior no se incluye un 13 % de IVA, el cual lógicamente tiene que pagar el comprador de la vivienda. Si el IVA se aplica sobre el precio de venta, qué precio medio tiene el m 2 para el comprador de la vivienda? Qué representatividad tendría dicho precio medio? e) Para otro distrito de esa misma ciudad, próximo al analizado, se conoce que se construyeron viviendas por un total de m 2 durante 1991, y que el precio medio se situó en las Ptas./m 2, con una desviación típica de Ptas./m 2. Si hubiésemos hecho el estudio en ambos distritos conjuntamente, cuál sería el precio medio del m 2 construido? Qué representatividad tendría tal precio medio? 8

9 19. Ante la actual coyuntura económica, la dirección de SOFTINGSA, empresa de ingeniería del software, desea realizar una disminución de plantilla, para lo que solicita del Gabinete de Recursos Humanos un informe que comprenda, al menos, los aspectos que a continuación se relacionan, y que usted tendrá que valorar: a) Salario que percibe el mayor número de empleados b) Salario mínimo que percibe el 50% de los empleados de mayor salario c) Salario que divide en partes iguales el volumen salarial de la empresa Para poder acometer el análisis, la empresa nos proporciona la siguiente información acerca de la distribución salarial en la misma para el último mes: Categoría profesional Salario (10 3 pts.) Nº de empleados Volumen salarial (10 6 pts.) A B C D E Dicho estudio pone de manifiesto la inversión de la pirámide salarial de esta empresa, planteándose la reducción del 50 % en la plantilla y en el volumen salarial de la categoría D, y en un 75 % en la categoría E. A partir de tal modificación, la dirección ha quedado satisfecha con la nueva distribución ya que, no sólo se adecua más a la situación actual y a las características de la empresa sino que, desde el punto de vista estadístico, la distribución de la plantilla presentaría una mayor simetría y homogeneidad. Al objeto de que pueda juzgar adecuadamente lo planteado, valore las siguientes cuestiones: d) La distribución es simétrica (halle media, mediana y moda). e) La distribución es más homogénea, en el sentido que la dispersión relativa sea menor que la anterior. f) Compare la situación de la empresa, antes y después de la disminución de plantilla, en cuanto a concentración. 20. A principios de año, los interventores de 45 municipios elaboraron los presupuestos anuales de sus respectivas localidades, resultando la siguiente distribución para los mismos: PRESUPUESTO (10 6 PTS.) NÚMERO DE MUNICIPIOS 0 a a a a Se conoce también que, por exigencias del gobierno central, todos los municipios dedican el 10 % de su presupuesto a festejos y el 15 % a transportes. A partir de esta información, se quiere conocer: a) Cuál sería el presupuesto mínimo que tendría que dedicar un municipio a festejos para estar considerado entre el 50 % de los que mayores partidas dedican a este fin? b) Qué presupuesto dedica la mayoría de los municipios a transporte? c) Cómo afectaría a los resultados de los apartados anteriores una subvención a todos los municipios de 2 millones de pesetas? 9

10 En una de las localidades pertenecientes a la anterior distribución, desarrollan su actividad dos bancos de reconocido prestigio, el Banco del Norte y el Banco del Sur. A partir de los datos acerca de la distribución de los salarios para el Banco del Norte en esa población, trate de responder a las siguientes preguntas: CATEGORÍA SALARIO (10 3 PTS.) Nº DE TRABAJADORES A B C d) Cuál sería el grado de concentración en tales salarios? e) Suponiendo que el número de asalariados en cada categoría en el Banco del Sur es proporcional al de los asalariados en el Banco del Norte, determine el grado de concentración en aquella entidad. f) Si el Banco del Norte decide aumentar los salarios en un 20 %, cuál sería el nivel de concentración de la nueva distribución de salarios? 21. Disponemos de información sobre los volúmenes de compras realizados por los clientes de un gran almacén en nuestra ciudad un día cualquiera: Valor de las compras (10 3 pts.) porcentaje de clientes Volumen total de compras (10 3 pts.) (0,1] (1,2] (2,5] (5,8] Más de Sabemos, además, que el número de clientes cuyo volumen de compras se encuentra comprendido entre las 1000 y las 5000 pesetas fueron de Se quiere conocer, a partir de estos datos: a) El valor medio de las compras de los clientes y su dispersión. Comente si ésta es grande o pequeña. b) Si al 10% de los clientes de mayor gasto en compras se les regala un obsequio, al considerárseles clientes preferentes, cuál debe ser el gasto mínimo en compras para que un cliente esté incluido en este estrato? c) Si las compras anteriores llevan incluido un 13 % de IVA, cuál sería el valor medio de las compras sin considerar el IVA? Qué grado de dispersión relativa existiría en tal distribución? d) Cuál sería el valor de la compra tal, que divida el volumen total de compras en dos grupos iguales? Qué porcentaje de clientes habría en cada grupo? e) Qué grado de concentración existiría en de estas compras? Responda desde el cálculo de algún indicador específico. 10

11 22. En cierta localidad se ha observado la temperatura máxima registrada en varios días de verano, obteniéndose la siguiente tabla de frecuencias de las temperaturas (en grados centígrados): Temperatura (º C) nº días (10,20] 8 (20,25] 7 (25,30] 12 (30,35] 10 (35,45]? Desde esa información, responda a las siguientes cuestiones: a) Sabiendo que la temperatura media ha sido de 29 05º C, halle la temperatura mediana. Utilice el dato de este apartado para dar respuesta a los siguientes apartados. b) Represente el histograma y determine la asimetría por medio de alguno de los coeficientes estudiados. c) Si convertimos todas las temperaturas de grados centígrados a grados Fahrenheit por medio de la fórmula F=C 9/5+32, cuál sería la media y la desviación típica para la temperatura de esos días en grados Fahrenheit? d) El Servicio Meteorológico afirma que el 90% de los días hay una máxima inferior a 38º C en esa localidad. Se presenta dicha circunstancia en los datos recogidos? 23. Un grupo de expertos en análisis cuantitativo ha realizado un estudio sobre el consumo semanal de alcohol (variable Y) en un determinado conjunto de individuos a partir de la siguiente información: Y Número de personas Desde los datos aquí recogidos, dé respuesta a las siguientes preguntas: a) Cuál es el consumo semanal de alcohol más frecuente? b) Construye un intervalo para el consumo de alcohol, tal que contenga el 95 % central de la frecuencia. c) Basándonos con otro criterio de medida el consumo de alcohol (Y =Y/2+1), cómo se modificaría la dispersión relativa de la nueva distribución (medida a través del coeficiente de variación) respecto de la primitiva? d) Representa el histograma de Y e interpreta a partir del mismo el tipo de asimetría que presenta la variable. 24. La empresa A tenía una plantilla compuesta por 2000 trabajadores en el año 1998, en tanto que en el año 1999 el total de empleados de la misma disminuyó un 10 % en cada uno de los estratos salariales, merced a las jubilaciones y prejubilaciones habidas el 31 de Diciembre de 1998, y a que no se contrató ningún trabajador nuevo. La distribución de la masa salarial global correspondiente al año 1998 supuso un coste global para la empresa de 4000 millones de pesetas, el cual se puede desglosar de la siguiente forma: 11

12 SALARIO ANUAL (10 3 pts.) MASA SALARIAL (10 6 pts.) Nº TRABAJADORES A pesar de haber disminuido el número de trabajadores, la masa salarial por estratos de la empresa en 1999 no varió, lo que no es óbice para que los sindicatos muestren su descontento con la situación salarial de sus representados en la negociación colectiva que se llevó a cabo durante los últimos meses de 1999 para el año En la misma, basándose en los datos de 1998, se plantearon por parte de los trabajadores diversas afirmaciones, a saber: 1. Aunque la media salarial aumentó entre los años 1998 y 1999, la dispersión relativa de tales salarios aumentó. 2. El salario que cobraba la mayor parte de trabajadores en 1998 se situó sensiblemente por debajo de las pesetas anuales. 3. En 1998, el 10 % de los trabajadores que cobraba más, se llevó más del 20 % de la masa salarial total de la empresa. 4. El 60 % de los trabajadores cobraba por debajo de pesetas en Estaría usted de acuerdo con tales afirmaciones? Razone sus respuestas con los cálculos estadísticos que estime más oportunos. 25. A partir de los datos sobre el paro registrado en la comunidad autónoma de Andalucía en 1997 que aparecen en la siguiente tabla, responda a las cuestionen que se relacionan a continuación. Rango de edad (años) Nº personas (miles) (18,20] 35.1 (20,25] 71.1 (25,55] (55,65] 32.4 a) A qué edad el número de parados es mayor? b) Calcula la dispersión relativa de la edad de los parados. c) Qué edad máxima tiene el 90 % de los parados de menor edad? d) Se pretende establecer una política laboral que potencie la contratación de los parados en función de su edad. Para ello, se establece una subvención en dinero (en pesetas) para las contrataciones que se realicen, según la cual, el dinero que recibiría la empresa sería igual al producto entre la edad del trabajador y la constante No obstante, y en función de las disponibilidades presupuestarias, no se podría subvencionar cualquier número de contrataciones, por lo que se proponen dos tipos de políticas de subvenciones alternativas: 1. La subvención sólo se aplicaría a las 5000 primeras contrataciones que se realicen en cada rango de edad. 2. La subvención sólo se aplicaría al 25 % de las primeras contrataciones que se realicen en cada rango de edad. Cuál sería la subvención media otorgada si se aplicase la primera política de subvenciones y si se aplicase la segunda? 12

13 26. El Departamento de estudios de una conocida compañía de suministros telefónicos que ofrece, entre sus servicios, conexión a internet de sus usuarios, ha llevado a cabo un estudio durante el último mes (mayo), de acuerdo a la facturación realizada por este servicio, sobre los clientes que no tienen contratada tarifa plana ni ningún tipo de bono. De este análisis, se desprende la información relativa al número de conexiones a internet realizadas por tales usuarios: Número de conexiones/mes Porcentaje de usuarios Se sabe también que para de tales clientes, el número de conexiones fue superior a 60. A partir de tales datos, y de toda la información anterior, se desea conocer para este mes y el colectivo de clientes analizado: a) Cómo sería el histograma de frecuencias correspondiente a esta distribución? Realice para ello la correspondiente representación gráfica y comente las características más relevantes de la misma. b) Cuál es el número más frecuente de conexiones establecidas por un cliente? Razone su respuesta e indique si tal medida es exacta o aproximativa y, en su caso, si se estableció algún tipo de hipótesis para poder llegar a calcular tal cifra, indicando la misma. c) Cuál es el número medio de conexiones establecidas por un usuario? Considera tal media como representativa? Razone su respuesta. d) Si se quisiera primar al 20 % de los clientes que realizan un mayor número de conexiones rebajando el precio pagado por aquellos, a partir de qué número de conexiones al mes se establecería el precio más reducido? e) A fin de incentivar el hábito de conexión a internet, se ha planteado una oferta para el próximo mes mediante la cual cualquier conexión se facturará a 75 céntimos de euro, siempre y cuando se dieran de alta en el servidor de la compañía antes del pasado día 30. De los estudios realizados por la compañía derivados del número de contrataciones realizadas, del historial de conexiones efectuadas, y de su experiencia en otros países, se prevé un crecimiento del 90 % en las conexiones realizadas en julio respecto de las computadas para el mes de mayo, manteniéndose la estructura de la distribución de frecuencias de ese mes. Desde estas previsiones, cuál sería la nueva media de conexiones? Cuáles serían los ingresos totales de la compañía por este concepto? Razone sus respuestas. 27. Un gimnasio está estudiando las horas de mayor asistencia de sus socios, al objeto de mejorar o reforzar determinadas actividades en determinados horarios, teniendo en cuenta que los socios pagan una determinada cuota mensual, que depende del horario elegido. En este sentido, existen cinco posibilidades de horario, entre las cuales los socios pueden elegir: - Asistir entre las 8 y las 10 horas, en cuyo caso el socio pagaría la tarifa 1. - Asistir entre las 10 y las 13 horas, en cuyo caso el socio pagaría la tarifa 2. - Asistir entre las 13 y las 16 horas, en cuyo caso el socio pagaría la tarifa 3. - Asistir entre las 16 y las 19 horas, en cuyo caso el socio pagaría la tarifa 4. - Asistir entre las 19 y las 21 horas, en cuyo caso el socio pagaría la tarifa 5. 13

14 Los precios mensuales para cada una de las tarifas son de 3500, 4000, 3500, 4000 y 5000 pesetas respectivamente para las tarifas 1, 2, 3, 4 y 5. Actualmente el gimnasio cuenta con 1200 socios, y se sabe que los socios que pagan la tarifa 1 son el 10 % del total, en tanto que los que pagan la tarifa 3 son el 15 %, y las otras tres tarifas cuentan con igual proporción de socios. Desde esta información, se pide: a) Calcule la hora de mayor asistencia de socios a las instalaciones del gimnasio. b) Calcule la franja horaria central del día, dentro de la cual asisten el 50 % de los socios. c) Calcule la tarifa media que cobra el gimnasio y su representatividad en términos del coeficiente de variación. Comente los resultados. d) Determine la recaudación mensual del gimnasio. e) Estudie si existe o no concentración en la recaudación mensual según los horarios o tarifas. 28. En una empresa dedicada al envío a domicilio de comida preparada, se han recogido, durante las últimas semanas, datos de los pedidos, tomando nota de sus correspondientes precios, obteniéndose la siguiente distribución: Precio pedido ( ) Número de pedidos (9,12] 25 (12,14] 30 (14,16] 35 (16,18] 25 (18,22] 20 A partir de tal información, dé su opinión acerca de las siguientes cuestiones: a) Cuál fue el precio más frecuente? b) Es importante la dispersión relativa respecto del precio medio? Razone su respuesta. c) Se quiere ofrecer un servicio de máxima urgencia en los pedidos más caros, aquellos que tienen un precio superior a los 17'5 euros. A qué porcentaje de los pedidos afectaría este servicio? Razone su respuesta. d) Ante la competencia existente en el sector, se está planteando una variación en los precios en dos pasos: 1º. Reducción del 10 % 2º. Aumento constante de 1 euro para cada pedido Considerando los precios resultantes, cuál sería el ingreso total de la empresa si se mantuviera la misma distribución de frecuencias? 14

15 29. En la tabla que se ofrece a continuación se muestra la superficie útil de las viviendas principales en m 2 para un barrio de Sevilla: Superficie útil (en m 2 ) Número de viviendas Total de m 2 (en miles) Menos de (60,90] (90,120] (120,150] ,6 Más de ,8 Total ,4 Desde esa información, se pide: a) Calcule la superficie útil media y cuantifique su representatividad en términos de una medida de dispersión relativa. b) Cuántos m 2 tiene la vivienda que utilizan con mayor frecuencia estas familias de Sevilla? c) Cuántos m 2 tiene la vivienda que divide al volumen total de m 2 útiles en dos partes iguales? d) Cree usted que la superficie útil total se concentra en las viviendas de pocas familias? Cuantifíquelo. e) Si la superficie construida se puede obtener incrementando en un 30 % la superficie útil, cuál sería la superficie construida media? Será más representativa esta superficie que la superficie media útil? 30. En la empresa X se está debatiendo entre los sindicatos y la dirección de la misma la subida salarial a aplicar en el convenio colectivo para el año Después de estudiar la distribución salarial correspondiente al año 2002, que se presenta como ANEXO I, se ha llegado al acuerdo de plantear una subida lineal para todos los trabajadores de 200 en los salarios mensuales. A partir de ese planteamiento, se le pide que valore razonadamente si a) La dispersión relativa de los salarios respecto de su media ha mejorado. Calcule la dispersión relativa de los salarios en 2002 e indique razonadamente cómo variaría la misma en b) La equidad en el reparto de la masa salarial global en la empresa tras la modificación propuesta es alta. c) Cuál sería el salario mínimo que cobrarían el 20 % de los trabajadores que más ganan en 2003? ANEXO I: Distribución de la masa salarial global mensual en el año 2002 Salarios ( ) Masa salarial Núm. Trabajadores TOTAL

16 31. En una conocida y visitada zona playera de nuestro litoral, se está realizando un estudio sobre el precio de las copas en los chiringuitos situados en dichas playas. Para ello, se recogió información a partir de una muestra de 112 establecimientos de esta categoría, en un día cualquiera de verano, agrupándose posteriormente en intervalos y resultando la siguiente distribución: Precio ( ) Nº copas Más 15 5 Se conoce, así mismo, que el importe de las ventas procedente de las copas más caras en el día analizado fue de 100. Con esta información, se desea conocer, para este día: a) Cuál es el precio medio de una copa en los establecimientos analizados? Es representativo? Cuantifique y razone su respuesta. b) Qué porcentaje de copas tiene un precio inferior a 12,25? Cuál es el precio mínimo del 25 % de las copas más caras? Cuantifique y razones sus respuestas. c) Cuál es el precio más frecuente en este tipo de establecimientos? d) Si se decide aumentar el precio un 1,5 %, cómo afectaría este hecho a las cuestiones analizadas anteriormente? 32. Se ha realizado un estudio en 100 explotaciones agrarias dedicadas a la producción de fresas en la provincia de Huelva para la campaña del pasado año, obteniéndose la siguiente información: Producción anual Número Producción anual total (miles de toneladas) de explotaciones (miles de toneladas) Menos de Más de Conocemos también que la superficie total cultivada de estas explotaciones agrarias es de km 2. A partir de esta información: a) Calcular la producción anual media y la superficie media cultivada. Cuantifique la representatividad de la producción anual media. b) Qué producción mínima ha de tener una explotación agraria para encontrarse entre el 10 % de las explotaciones más productivas? c) Cuál es el número de explotaciones con una producción anual entre 2 y 5 miles de toneladas? d) Está concentrada la producción anual en un escaso número de explotaciones agrarias? Justifique su respuesta gráfica y analíticamente. 16

17 33. La empresa MAMPABAÑO, distribuidora nacional de accesorios para cuartos de baño, consciente de las enormes dificultades que va a entrañar la negociación colectiva para este año, decide realizar un estudio previo sobre los salarios que cobran sus trabajadores, a partir de la distribución de los mismos para el año 2003: Categoría profesional Salario Anual Empleados Volumen total de Salario (10 4.) (10 2.) A ,5 B C D ,5 E A partir de tales datos, responda razonadamente, y de acuerdo a sus conocimientos de estadística, a las siguientes preguntas: a) Cuál es el salario más habitual entre los trabajadores de esta empresa? b) Qué salario debe tener un empleado para que el número de personas que cobran más que él fuese igual al del número de personas que cobran menos? c) Cuál es el salario mínimo que debe tener un empleado para encontrarse dentro del 20 % que más cobran? d) Cree usted que en esta empresa existe una distribución equitativa de los salarios? e) La empresa planea ofrecer a los sindicatos un 10 % de subida para el sueldo de todos sus trabajadores. Cuál sería el sueldo medio antes y después de la subida? La dispersión aumentaría o disminuiría después de esta subida? 34. Una empresa proveedora de servicios de acceso a Internet tiene una cartera de 1900 clientes en una zona geográfica. Las edades de estos clientes están recogidas en la siguiente tabla, en donde figuran las frecuencias acumuladas relativas referentes a cada intervalo de edad, expresadas en términos porcentuales: Edad Fi (18,25] 17 (25,35] 45 (35,50] 77 (50,70] 100 A partir de tal información, se pide: a) Represente el histograma de frecuencias absolutas referente a esta distribución. b) Para el conjunto de clientes con edades no mayores de 50 años, cuál sería la edad mediana? c) Cuantifique e interprete el grado de dispersión relativa de las edades del colectivo. d) Si tuviésemos que dirigir una campaña de marketing al 90 % central de edades, a qué intervalos de edades estaría dirigida dicha campaña? e) Podría valorar el grado de simetría de la distribución de edades? Responda cuantificando la simetría a través de la determinación del coeficiente de asimetría de Pearson. 17

18 35. Las ventas mensuales (en 10 2 litros) de una conocida marca de limonada en los diversos establecimientos en que se vende en una determinada zona geográfica, se recogen en una variable estadística, cuya tabla de frecuencias se especifica a continuación: Ventas nº establecimientos [20, 22] 24 (22, 25] 30 (25, 30] 35 (30,?] 22 a) Se sabe que la media aritmética de las ventas, calculada a través de las correspondientes marcas de clase, se situó, para esta distribución, en los 2650 litros. A partir de la información suministrada, cuantifique el grado de dispersión relativa. Tenga en cuenta este apartado para la realización de los siguientes. b) Represente gráficamente el polígono de frecuencias acumuladas relativas y sitúe en él, de forma aproximada, la posición de la mediana. c) Construya la Curva de Lorenz y, a partir de ella, razone si se puede afirmar que la venta se concentra principalmente en unos pocos establecimientos. d) Se conoce que, por cada grado más de temperatura media diaria, se incrementaría un 5 % el consumo de esta limonada. Cómo afectaría tal subida a la media, dispersión relativa y concentración de las ventas analizadas en los apartados a y c? 18