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1 UNIVERSIDAD DE CASTILLA - LA MANCHA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES ALBACETE ÁREA DE ECONOMÍA FINANCIERA DEPARTAMENTO DE ANÁLISIS ECONÓMICO Y FINANZAS RELACIÓN DE EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS PARTE II: RENTAS Obligatoria de segundo curso de la Licenciatura en ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS GRUPO PILOTO Curso Segundo Semestre Francisco Jareño Cebrián

2 RENTAS 1.- Desarrolle y obtenga la expresión del valor actual de una renta pospagable variable en progresión geométrica de razón q, siendo el tipo de interés efectivo periodal i en los siguientes casos: a) Número finito de términos b) Renta perpetua 2.- Demuestre la relación existente entre el valor actual de una renta fraccionada pospagable y la correspondiente sin fraccionar. 3.- Demuestre que el valor actual de una renta fraccionada con frecuencia m, V 0 (m), valorada a un tipo de interés efectivo periodal constante i, viene dado por la siguiente expresión: V 0 (m) = V 0 j(m) i donde V 0 es el valor actual de la renta sin fraccionar y j(m) el tipo de interés nominal pagadero con frecuencia m equivalente al tipo de interés efectivo i. 4.- Suponga que usted posee un inmueble que desea alquilar a un precio de 300 /mes incrementándose dicha cuantía un 3% en septiembre de cada año. Hoy, día 05 de septiembre de 2003, ha conseguido alquilarlo, cuál sería la cuantía acumulada si consigue tener alquilado el piso hasta el 05 de Septiembre de 2008? (Suponga un tipo de interés efectivo anual del 10%) 5.- Suponga que un inversor procede a depositar en una entidad de crédito una determinada cantidad de dinero el día 15 de cada mes, habiendo realizado la primera imposición en junio de 1993 por un importe de ptas. Si estas imposiciones se han ido incrementando un 3% al principio de cada año, determine cuál sería la cuantía acumulada en dicha cuenta a fecha de hoy (25 de mayo de 1998), suponiendo un tipo de interés efectivo anual constante del 10%. 6.- Suponga que el 1 de enero de 2000 un individuo decidió ingresar parte de su salario en una cuenta bancaria, de tal forma que cada 15 de diciembre ingresará en dicha cuenta un 10% de su salario bruto anual. Este individuo espera que su salario se incremente un 2% anualmente, estimando unos ingresos brutos de euros para el año Si dicha cuenta se remunera a un tipo de interés efectivo anual del 3%, determine cuál será la cuantía acumulada el 1 de junio del año Suponga ahora que en vez de realizar una única imposición a final de año, decide distribuirla en doce ingresos mensuales, haciéndolos efectivos el día quince de cada mes. Cuál sería en ese caso la cuantía acumulada el 1 de junio de 2006? 2

3 7.- Un empresario está analizando un proyecto de inversión que generará unos flujos netos de caja anuales de euros durante el primer año, creciendo de forma indefinida un 10% anual durante los primeros cinco años y un 3% a partir del sexto. Si el coste de capital correspondiente a este proyecto es el 10% efectivo anual, obtenga su valor actual neto que supone una inversión inicial de euros (Suponga para el cálculo del V.A.N. que los flujos de caja anuales se reciben mensualmente). 8.- Suponga que un inversor procede a depositar en una entidad de crédito una determinada cantidad de dinero el día 15 de cada mes, habiendo realizado la primera imposición en junio de 1993 por un importe de ptas. Si estas imposiciones se han ido incrementando un 3% al principio de cada año, determine cuál sería la cuantía acumulada en dicha cuenta el 15 de julio de 2000, suponiendo que el tipo de interés efectivo anual es del 6%. 9.- Un individuo decidió llevar adelante un proyecto de inversión que supuso una inversión inicial de euros generando unos flujos de caja netos de euros el primer año, flujos de caja que se espera que se incrementen un 15% acumulativo anual durante los cinco primeros años y un 3% a partir del quinto año. Si el coste de capital medio ponderado es del 15% efectivo anual, calcule el V.A.N. del proyecto Un estudiante ha decidido ingresar en una cuenta corriente 100 el día 15 de cada mes (comenzando en Diciembre de 2004) con el objetivo de adquirir un ordenador portátil el 1 de enero de Si dicha cuantía se revaloriza un 5 % al principio de cada año y el banco remunera sus depósitos a un 2 5 % efectivo anual, obtenga cuál sería la cuantía máxima que el estudiante podría gastar el 1 de Enero de 2008 en la compra de su ordenador Cuál sería la cantidad que podría gastar en el portátil si incrementase los ingresos mensualmente un 2 5 %? (Suponemos que el resto de datos se mantiene constante) 11.- Un individuo decide comprar una acción que se estima que va a generar a favor de su propietario los siguientes flujos de caja: - El próximo 1 de septiembre un dividendo a cuenta de 1,50 por acción. - El próximo 1 de diciembre un dividendo de 3 por acción. Los inversores suponen que este dividendo crecerá un 10% anualmente durante los próximos cinco años, permaneciendo constante a partir de esa fecha. Si el coste de capital de los recursos propios de esa empresa se estima en un 20% anual, calcule el precio de la acción a fecha de hoy, 23 de mayo de Un inversor decide realizar una serie de imposiciones el primer día de cada mes en una cuenta bancaria que es remunerada a un tipo de interés nominal capitalizable semestralmente del 6%. Si estas imposiciones aumentan un 6% cada año, obtenga la cuantía acumulada en dicha cuenta al cabo de quince años, si las imposiciones durante el primer año fueron de ptas. mensuales. 3

4 Transcurridos los quince años, los tipos de interés de mercado se sitúan en el 5% efectivo anual, ofreciéndole al inversor las siguientes alternativas: a).- Recibir la cuantía acumulada. b).- Recibir una renta vitalicia anual constante que empezará a recibir dentro de un año siendo la cuantía de los términos de esta renta igual al cinco por ciento de la cuantía acumulada. Cuál de las dos alternativas escogería? (Razone la respuesta) Un individuo decide ingresar en una cuenta bancaria 400 al mes incrementando dicha cuantía el 1 de enero de cada año un 2%. Si el primer ingreso se realiza el 1 de agosto de 2002 y la cuenta bancaria está remunerada a un tipo de interés nominal capitalizable mensualmente del 6 %, calcule la cuantía acumulada en dicha cuenta el 1 de enero de El director financiero de una empresa tiene que analizar la viabilidad de un proyecto de inversión de las siguientes características: -Inversión inicial: Flujos netos de caja anuales de durante el primer año y crecientes un 10 % durante los cuatro años posteriores. A partir del sexto año, los flujos netos de caja se espera que aumenten indefinidamente un 5 % anual. a) Estime el VAN del proyecto suponiendo que el coste de capital medio ponderado de la empresa es del 12 % efectivo anual, en el caso de que los flujos de caja se reciban mensualmente b) Si los flujos de caja se recibieran anualmente, cuál sería el valor del VAN del proyecto, mayor o menor que el del apartado anterior? Justifique la respuesta sin necesidad de calcular dicho VAN 15.- Un individuo decide ingresar en una cuenta bancaria 600 al mes incrementando dicha cuantía el 1 de Enero de cada año un 4%. Si el primer ingreso se realiza el 1 de junio de 2003 y la cuenta bancaria está remunerada a un tipo de interés nominal capitalizable mensualmente del 6%, calcule la cuantía acumulada en dicha cuenta el 1 de junio de Suponga que un individuo realiza una operación de ahorro a través de una entidad financiera, consistente en la inversión cada 1º de mes del 10% de su salario, operación que se inició el I de enero de Dicho salario es actualmente de ptas/mes, estimándose un incremento anual del mismo del 2,5% durante los próximos años. Si el tipo de interés a aplicar es el 3% efectivo anual durante los 18 primeros meses y del 2,5% con posterioridad a)- Calcule la cuantía acumulada al cabo de 5 años. 4

5 b)- Cuál es la cuantía constante que al cabo de 5 años le proporcionaría la misma cuantía acumulada? 17.- Un individuo decidió llevar adelante un proyecto de inversión con las siguientes características: - Inversión inicial de de euros - Flujos netos de caja anuales de euros el primer año permaneciendo constantes durante los siguientes tres años y creciendo de forma acumulativa y anual a partir del quinto año un 10% indefinidamente. Si el coste de capital medio ponderado es del 15% efectivo anual, calcule el V.A.N. del proyecto Un individuo decide ingresar en una cuenta bancaria 200 al mes incrementando dicha cuantía el 1 de enero de cada año un 3 %. Si el primer ingreso se realiza el 1 de octubre de 2002 y la cuenta bancaria está remunerada a un tipo de interés nominal capitalizable mensualmente del 4 5 %, calcule la cuantía acumulada en dicha cuenta el 1 de julio de Un individuo se plantea la posibilidad de acometer un proyecto de inversión con las siguientes características: - Inversión inicial de de euros - Flujos netos de caja anuales de euros el primer año creciendo de forma acumulativa y anual un 15% durante el segundo, tercer y cuarto año y un 10% a partir del quinto e indefinidamente. Si el coste de capital medio ponderado es del 15% efectivo anual, le conviene al individuo llevar a cabo dicho proyecto? 20.- Un individuo ha arrendado un inmueble por el que percibirá a partir del 1 de enero de 2004 un alquiler mensual que se hará efectivo el día 1 de cada mes por un importe de 450, alquiler revalorizable un 2 % cada año. Si dicho individuo decide ingresar dichas mensualidades en un banco que remunera sus depósitos a un 1 5 % efectivo anual, obtenga la cuantía acumulada en dicha cuenta al cabo de cinco años 21.- Suponga que un individuo realiza una operación de ahorro que consiste en invertir el día 1 de cada mes 1.000, operación que se inició el 1 de Enero de Se estima un incremento anual de dicha cuantía del 3% durante los próximos años. Si el tipo de interés a aplicar es el 3% efectivo anual durante los 6 primeros meses y del 4% con posterioridad a)- Calcule la cuantía acumulada al cabo de 5 años b)- Cuál es la cuantía mensual constante que al cabo de 5 años le proporcionaría la misma cuantía acumulada que la obtenida en el apartado a)? 5

6 22.- A fecha 28 de Mayo de 2002, un individuo decide alquilar un inmueble por un importe de 400 al mes. El importe del alquiler se revalorizará el 1 de enero de cada año según la previsión del IPC. Si el primer pago del alquiler se realiza el 1 de Junio de 2002 y las cuantías del alquiler son ingresadas en una cuenta bancaria a un tipo de interés nominal capitalizable mensualmente del 6 %, calcule la cuantía acumulada el 1 de enero de 2006 si prevé que el IPC se sitúe en un 3 % anual durante los próximos años 23.- Un individuo decide depositar en una cuenta bancaria, el día 15 de cada mes el 5 % de su salario mensual estimado para el año 2005 en al mes excepto en junio y diciembre en los que recibe una paga extraordinaria adicional de Este individuo espera que dicho salario se incremente un 2 5 % anual. La cuenta es remunerada a un 3 % efectivo anual. Si el primer ingreso lo realiza el 15 de enero de 2005 obtenga a) La cuantía acumulada el 1 de enero de b) La cuantía acumulada el 1 de julio de Se espera que un activo financiero genere unos flujos de caja de 2 euros el 1 de diciembre próximo, flujos de caja que se estima que se incrementarán un 10 % acumulativo anual durante los próximos 5 años (hasta diciembre de 2010) y del 4 % a partir de ese momento en adelante. Obtenga el valor de dicho activo a fecha 6 de septiembre de 2005 si dichos flujos de caja se valoran a un tipo de interés efectivo anual del 15 %. Suponga que el propietario de 1000 de estos títulos decide ingresar los flujos de caja recibidos en una cuenta bancaria que es remunerada a un tipo de interés nominal pagadero semestralmente del 1 5 %. Cual sería la cuantía acumulada en dicha cuenta el 1 de enero de 2011 si la entidad financiera le cobra unos gastos de administración de 6 euros cada 15 de junio y 15 de diciembre? 25.- Un individuo decide alquilar un inmueble por 300 a pagar el primero de cada mes. Este alquiler, cuyo primer pago se realizará el día 1 de julio de 2005 se incrementará al principio de cada año en un 3%. Si el contrato tiene una vigencia de cinco años (hasta el 1 de julio de 2010), calcule el valor a fecha 3 de junio de 2005 de dicho contrato de alquiler si se valora a un tipo de interés efectivo anual del 2 5 %. Cuál sería el valor de dicho alquiler si decidiera prorrogar indefinidamente el contrato? 26.- Un individuo decide depositar en una cuenta bancaria, cada 1 de julio, el 10 % de su salario anual estimado para el año 2006 en y esperando que dicho salario se incremente un 3 % anual. Si dicha cuenta es remunerada a un 2 % efectivo anual, obtenga: a) La cuantía acumulada el 1 de enero de b) Si en lugar de realizar un depósito anual, decide realizar depósitos semestrales (cada 1de julio y 1 de enero) por un importe igual a la mitad de los depósitos anuales del apartado anterior, obtenga cuál sería la cuantía acumulada antes de realizar el depósito correspondiente al 1 de enero de 2012 (el primer depósito lo realiza el 1 de julio de 2006) 6

7 c) Cuál sería la cuantía mensual constante que depositada en esa misma entidad financiera desde el 1 de julio de 2006 hasta 1 de diciembre de 2011 (ambos inclusive) produciría la misma cuantía acumulada que en el apartado (a), a 1 de enero de 2012? 27.- a) Un individuo decide ingresar en un plan de pensiones 6000 euros el día 31 de diciembre de cada año, realizando la primera aportación el 31 de diciembre de Si la rentabilidad obtenida por dicho plan es del 6 % efectivo anual, indique la cuantía acumulada en dicho plan de pensiones a 30 junio de b) Cuál habría sido dicha cantidad si las aportaciones hubiesen ido incrementándose un 3 % acumulativo anual? c) Por último, obtenga cual sería la cuantía acumulada si en lugar de realizar la aportación a final de año hubiese realizado aportaciones al final de cada mes por importe de 500 euros incrementándose al principio de cada año un 3 % (la primera aportación se realizaría en este caso el 31 de enero de 2007 y la última el 31 de mayo de 2012) ) Un individuo decide ingresar en una cuenta bancaria euros el día 31 de diciembre de cada año, realizando la primera aportación el 31 de diciembre de Si el tipo de interés aplicado en dicha cuenta es del 6 % nominal anual pagadero mensualmente, indique la cuantía acumulada en dicha cuenta a 11 de mayo de ) Cuál habría sido dicha cantidad si las imposiciones hubiesen ido incrementándose un 5 % acumulativo anual? 3) Por último, obtenga cual sería la cuantía acumulada si en lugar de realizar la imposición a final de año hubiese realizado imposiciones al final de cada mes por importe de euros incrementándose al principio de cada año un 5 % Nota: La primera aportación se realiza el 31 de diciembre de 2006 y la última el 30 de abril de

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