PARA EMPEZAR. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. a) 2,2727 c) 7, b) 3, d) 3, PARA PRACTICAR

Transcripción

1 NÚMEROS REALES PARA EMPEZAR 1 Representa los números enteros 5, 8,, 7 y Escribe un ejemplo de cada una de las interpretaciones de fracción. Partes de una cantidad: 1 5 de los alumnos de mi clase usa gafas. Cociente indicado de dos números enteros: : 4 0,5. Un operador: 1 5 de los alumnos de mi clase usa gafas. Si en mi clase somos 5 alumnos, alumnos usan gafas. 3 4 Halla tres fracciones equivalentes a 1 36 con los numeradores mayores que el de ella, y otras tres con los denominadores menores que el de ella. Con numeradores mayores: ; ; Con denominadores menores: 6 4 ; ; Para el paso de un tren sobre un río, se presenta el proyecto de un viaducto de 359 metros de longitud. Si se quieren sustentar sus arcos con 15 columnas, en qué puntos habría que colocarlas para que estuvieran a la misma distancia unas de otras? La distancia entre las columnas del viaducto se calcula dividiendo la medida total del viaducto entre el número de columnas a colocar ,93 metros 15 Números reales Ejercicio resuelto.1 Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. a),77 c) 7, b) 3, d) 3, a) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico puro, cuyo período es 7. b) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico mixto, cuyo anteperíodo es 54 y cuyo período es 781. c) Es un número irracional, puesto que no existe un grupo de números que se repita periódicamente a partir de una cifra dada, es decir, no tiene período. d) Es un número irracional, puesto que no tiene período. PARA PRACTICAR. Escribe tres números decimales periódicos y tres números decimales no periódicos. Las expresiones decimales de los números periódicos pueden ser: 3, ; 58, ; 100, Las expresiones decimales de los números no periódicos pueden ser: 3, Detrás de cada 11 se van colocando sucesivamente un cero, dos ceros, tres ceros No existe ningún bloque de cifras que se repita. 7, Detrás de cada 1 se colocan sucesivamente, 4, 6, 8, 10 ceros. 3,14159 No es un número periódico y tiene infinitos decimales. 6

2 .3 Indica cuáles de los siguientes números son racionales y clasifícalos. Explica por qué los restantes no son racionales. a) 1, d) 3,0 b) 1, e) 3 c) 1, f) 3 8 a) Es un número irracional, puesto que no existe un grupo de números que se repita periódicamente. b) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico puro, cuyo período es 01. c) Es un número irracional, puesto que no existe un grupo de números que se repita periódicamente. d) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico mixto, cuyo anteperíodo es 0 y cuyo período es. e) Es un número irracional, puesto que es una raíz no exacta. f) Es un número racional, puesto que es una raíz exacta..4 Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. a) 1, c) 7, b) 3, d) 5, a) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico puro, cuyo período es 35. b) Es un número racional, pues se trata de un número decimal periódico puro, cuyo período es 54. c) Es un número irracional, puesto que no existe un grupo de números que se repita periódicamente. d) Es un número irracional, puesto que no existe un grupo de números que se repita periódicamente..5 En la expresión para calcular la longitud de la circunferencia aparece un número que es irracional. Cómo se designa? Cuáles son las primeras cifras? Fórmula de la longitud de la circunferencia: r. El número (pi) es irracional. Valor aproximado: 3, Estas 10 cifras decimales son fáciles de recordar. Ejercicio resuelto Escribe los números naturales del 1 al 100 cuya raíz cuadrada es racional. Tienen raíz racional: 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49, 64, 81, 100 Son 10 números. Escribe los números naturales del 1 al 1000, cuya raíz cúbica es un número natural. Cuántos son? Tienen como raíz cúbica un número natural: 1, 8, 7, 64, 15, 16, 343, 51, 79, 1000 Número de raíces: 10 Escribe los números enteros del 1 al , cuya raíz cúbica es un número entero. Cuántos son? Raíz cúbica más pequeña: 1 3 Raíz cúbica mayor: Cubos entre ambos: 1, 8, 7, 64, 15, Número de cubos: 100 El número 1, es un número irracional. Indica si el número 3 3 (1, ) es un número racional o irracional. Justifica tu respuesta. El número 3 es irracional, puesto que tiene infinitas cifras decimales no periódicas. PARA APLICAR.10 En una clase de 40 alumnos se realiza el siguiente experimento: Cada alumno elegido al azar escribe una cifra en un papel que entrega al profesor; este las irá escribiendo sucesivamente en una hoja sin que se enteren los restantes alumnos. Aparecerá un número periódico (racional) o no periódico (irracional)? La probabilidad de que, al repetir este proceso indefinidamente, aparezca un bloque de cifras que se repita es prácticamente nula. Por tanto, se puede decir, y así es, que hay más números no periódicos que periódicos. 7

3 .11 Una bola perfecta de acero tiene 180 centímetros de diámetro. Cuál será la medida de la circunferencia máxima? Cuál es el valor entero aproximado? Circunferencia máxima: r ,49 cm 565 cm.1 El laboratorio de ciencias tiene forma rectangular. Las dimensiones son 1 metros de largo por 8 de ancho. Existe alguna medida en el laboratorio que no pueda expresarse mediante números racionales? Son las medidas de las diagonales. Se aplica el teorema de Pitágoras: La medida 08 m 14,4 m es irracional, no puede expresarse por un número racional..13 El círculo donde tienen que caer unos paracaidistas mide 30 metros de radio. Cuánto mide el área del círculo? Expresa el resultado con dos cifras decimales. Es racional esta medida? Medida del área del círculo: r 30 87,44 cm La medida es irracional, ya que el número también lo es..14 Una fuente circular tiene 50 metros de radio. Calcula la longitud de la circunferencia y el área que ocupa. Las medidas de estas dos magnitudes, son números racionales o irracionales? a) Longitud de la circunferencia exterior: ,159 m b) Área que ocupa la fuente: r ,981 m Las medidas de estas magnitudes son números irracionales..15 El número 3, , que aparece en la longitud de la circunferencia y en el área del círculo, es un número irracional. Lo será también el número que se obtiene al multiplicarlo por 100? El número , , Si en no existen períodos, tampoco pueden existir períodos en 100, ya que a partir de la cuarta cifra los dos números tienen las mismas cifras decimales en ambos decimales..16 El Ayuntamiento de un pueblo ha perforado un pozo, de sección circular, para obtener agua. Si tiene 30 metros de profundidad y 4 metros de diámetro, cuántos metros cúbicos enteros tiene de capacidad? Es un número exacto? Volumen del pozo: r h , m 3 El error cometido es mínimo. Este volumen, 377 m 3, se puede considerar realmente exacto..17 Luis tiene un tren eléctrico montado en una vía circular de 10 centímetros de radio. Cuántos metros recorre en 50 vueltas? Se puede decir que el resultado es prácticamente un número entero? Cuál es el error cometido? Qué se observa con relación al ejercicio anterior? Camino recorrido: 50 1,0 376,991 m La medida aproximada del recorrido se puede tomar como 377 m. El error no llega a 1 cm. Por tanto, el recorrido se puede considerar un número entero..18 Ana dibuja un triángulo equilátero cuyo lado mide 0 centímetros. Existe alguna medida en el triángulo equilátero que sea un número irracional? a) Teorema de Pitágoras: h Valor de la altura: h b) El número 3 es irracional, luego también lo es el producto 10 3, que es el valor de la altura..19 La plaza mayor de un pueblo es cuadrada y tiene 150 metros de lado. Cuál es el máximo trayecto que puede recorrer un alumno sin cambiar de dirección? Aproxima este trayecto a un número entero. Se puede decir que es exacto? La máxima distancia en línea recta está dada por una cualquiera de las dos diagonales de la plaza. Cuadrado de la diagonal: Medida de la diagonal: ,130 m Se puede tomar como medida exacta 1 m. 8

4 Aproximaciones y errores PARA PRACTICAR.0 Copia y completa la siguiente tabla, aproximando los números que aparecen en la columna de la izquierda. Una cifra decimal Dos cifras decimales Tres cifras decimales Por Por Por Por Por Por defecto exceso defecto exceso defecto exceso 3,1 3, 3,14 3,15 3,14 3, ,7 1,8 1,73 1,74 1,73 1, ,1 0, 0,14 0,15 0,14 0,143.1 Redondea los números que aparecen en la columna izquierda de la tabla. Una cifra decimal Dos cifras decimales Tres cifras decimales 3,1 3,14 3,14 3 1,7 1,73 1, ,1 0,14 0,143. Calcula 3 con dos decimales aproximando ambos números por defecto, por exceso y redondeándolos. En cuál de las sumas es menor el error absoluto? Por defecto: 3 4,87 Por exceso: 3 4,88 Redondeo: 3 4,87 Error absoluto: Por defecto: E 1 4,87 ( 3 ) 4,87 4, , , Por exceso: E 1 4,88 ( 3 ) 4,88 4, , , Redondeo: E 1 4,87 ( 3 ) 4,87 4, , , El menor error absoluto es la suma aproximada por defecto y el redondeo..3 Redondea con cuatro cifras decimales el número áureo, ,6180 Ejercicio resuelto.4 Halla el error absoluto cometido al aproximar el número 8 3 a los siguientes valores: a),6 b),67 a) E a,6 8 3,6, , , b) E a,67 8 3,67, , Calcula el error absoluto cometido cuando se toman para 4 3 las siguientes aproximaciones: a) 1,3 b) 1,33 c) 1,333 d) 1,3333 Valor de 4/3 1, Errores: a) 1, ,3 0, c) 1, ,333 0, b) 1, ,33 0, d) 1, ,3333 0,

5 .6 Dado el número 53,647, escribe: a) Las mejores aproximaciones por defecto y por exceso, y los redondeos con una, dos y tres cifras decimales. b) Los errores absolutos y relativos asociados a los redondeos. a) Mejor aproximación por defecto: 53,64 Mejor aproximación por exceso: 53,65 Redondeo con una cifra decimal: 53,3 Redondeo con dos cifras decimales: 53,6 Redondeo con tres cifras decimales: 53,65 b) Errores absolutos: Errores relativos: 53,647 53,3 0, ,647 53,3 / 53,647 0, ,647 53,6 0, ,647 53,6 / 53,647 0, ,647 53,65 0, ,647 53,65 / 53,647 0, Halla los errores absoluto y relativo cometidos al redondear 0,8484 a las décimas, a las centésimas y a las milésimas. Errores absolutos: Errores relativos: 0,8484 0,8 0, ,8484 0,8 / 0,8484 0, ,8484 0,85 0, ,8484 0,85 / 0,8484 1, ,8484 0,858 0, ,8484 0,848 / 0,8484 0, Para operar con el número se elige la aproximación por exceso 3,1416. Este número es un valor aproximado muy popular. Cuál es el error que se comete? Está justificada la popularidad de este valor? Valor aproximado de : 3, Valor de con 6 cifras decimales: 3, Error por exceso: 3, , , El error por exceso es de unas 8 millonésimas. Para la mayoría de los cálculos es más que suficiente. De aquí la justificada popularidad de este valor de. PARA APLICAR.9 Cuando se cambió la unidad monetaria en España, se utilizó la equivalencia que muestra la figura equivalen a 1 millón de las antiguas pesetas 6 euros 1000 pesetas 1 euro 166,386 pesetas Estima el error cometido en la aproximación. Valor de 1 euro: 1 euro 166,386 Valor de 6 euros: 6 euros 998,316 Error cometido: ,316 1, Una casa de campo tiene un depósito cúbico de agua cuya arista mide 10 m. Cuál es el máximo trayecto que puede recorrer un simpático renacuajo sin cambiar de dirección? Expresa la solución por defecto y por exceso tomando dos decimales. Son iguales? La diagonal de un cubo mide: Aproximación = 10 1, , Valor por exceso: 17,33 m Valor por defecto: 17,3 m Como se ve, los valores son casi iguales. 30

6 .31 Una buena aproximación al número es la fracción. 7 Si un jardín circular tiene 0 metros de radio, qué errores absoluto y relativo se cometen al medir su circunferencia tomando esta aproximación de? Longitud de la circunferencia: 0 15,66370 Longitud aproximada de la circunferencia: , Error absoluto: 15, , , Error relativo: 15, , / 15, , Los Siete Sabios de Grecia conocían la excelente aproximación del número irracional dada por la fracción Comprueba este resultado para calcular la diagonal de una plaza cuadrada de 100 metros de lado. Se puede decir, realmente, que es una buena aproximación? Medida de la diagonal de la plaza. Ecuación: d Valor de la diagonal: d ,413 m Valor con 17/1: d /1 141,6666 m El error cometido es: 3,87 cm, que en 141,4 m es asumible. Operaciones con números reales PARA PRACTICAR.33 Calcula las cinco primeras aproximaciones, por exceso y por defecto, de 3. Aproximaciones de : 1, ; 1,4; 1,41; 1,414; 1,414 Aproximaciones de 3 : 3 4,; 4,3; 4,4; 4, Realiza las operaciones 5 7 y 5 7, por exceso y por defecto, utilizando las cinco primeras aproximaciones de cada término. Aproximaciones de 5 : 5, Aproximaciones de 7 : 7, Aproximaciones de 5 7 : 5 7 4, ;,;,3;,36;,360 ;,6;,64;,645;,6457 4; 4,8; 4,87; 4,881; 4,8818 Realiza las siguientes operaciones con un orden de aproximación de dos cifras decimales, por exceso y por defecto. a) 10 b) 7 3 a) Por exceso: 10 6,00 b) Por exceso: 7 3 4,59 Por defecto: 10 5,99 Por defecto: 7 3 4,58 Ejercicio resuelto.36 Calcula la aproximación por redondeo a centésimas de 4 calculadora y compara los resultados , ; 7, Redondeando: ,33,64 3,97 Con calculadora: , ,98 La diferencia es de 0, Haz también el cálculo directo con la 31

7 .37 Calcula las cinco primeras aproximaciones de Por exceso 1; 0,7; 0,67; 0,667; 0,6667 ; 1,5; 1,4; 1,415; 1,4143 3;,01;,09;,081;,0809 Por defecto 0; 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,414 ;,0;,08;,080;,0808 Ejercicio resuelto Calcula, utilizando la forma fraccionaria, la suma 1, 6, Si x 1, = 10x 1, Restando x: 9x 11 x Si y 6, y 691,9191 Restando y: 99y 685 y Luego: x y Halla, utilizando la forma fraccionaria, las sumas siguientes: a) 0, , b) 1,111 0, a) 0, , /9 5/9 8/9 b) 1, , /99 6/9 10/99 66/99 186/99 1, Las medidas de un rectángulo son: Largo: 9,3333 cm Ancho: 6,4444 cm Expresa las medidas en forma fraccionaria y calcula su superficie exacta. Largo: 9,3333 (93 9)/9 84 / 9 cm Ancho: 6,4444 (64 6)/9 58 / 9 cm Área del rectángulo: (84/9) (58/9) 487 / 81 60, cm Puede suceder que el producto de dos números irracionales sea un número racional? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Se eligen los números irracionales y 8. Producto: El producto de dos números irracionales puede ser un número racional. PARA APLICAR.4.43 Una rotonda de circulación tiene 30 metros de radio exterior. Tomando la aproximación 3,1416, halla la longitud de la circunferencia más externa, aproximando a dos cifras decimales. Longitud de la circunferencia: r 3, ,496 m 188,50 m Las columnas circulares que sostienen la plataforma de un puente tienen 4 metros de circunferencia. a) Cuánto mide el diámetro de cada columna? Y el radio? Aproxima hasta las diezmilésimas. b) Utilizando la misma aproximación, cuánto mide el área de una sección? a) Medida de la circunferencia: r 4 Diámetro de la circunferencia: r 4/ m Luego el radio mide: r / m 0,6366 m b) Área de la sección: r 4/ 4/ m 1,73 m 3

8 En geometría aparecen muchos números irracionales. Si el lado de un cuadrado mide 0 cm, la medida de la diagonal es un número racional o irracional? Escribe el resultado con dos cifras decimales. Sea d el valor de la diagonal. Teorema de Pitágoras: d Valor de la diagonal: d cm Puesto que es un número irracional, también lo es 0 y su valor aproximado: 0 8,8 cm. Las dimensiones de un campo de fútbol son 100 m de largo por 80 de ancho. Cuál es el máximo recorrido que puede hacer un jugador sin cambiar de dirección? El resultado aproximado en metros se puede considerar exacto? La máxima distancia en línea recta es la longitud de la diagonal del campo. Teorema de Pitágoras: d Se opera: d Medida: d ,06 18 m Error cometido: 0,06 6 cm Por tanto, la medida de 18 m puede considerarse exacta. Terna de valores fundamentales: 100 m, 80 m, 18 m Los lados de una pizarra rectangular miden, teóricamente, 3 m. Calcula su perímetro y su área. Son también medidas irracionales? a) Perímetro de la pizarra: 3 ( 3 ) m b) Área de la pizarra: 3 6 m Ambas medidas, perímetro y área, son también irracionales. Las tarjetas de biblioteca, el carné de identidad, las tarjetas bancarias, etc., suelen tener unas dimensiones tales que su cociente es 1,6180 Este número tan especial es el número irracional 1, llamado 5 número áureo. Compruébalo con algunas de estas tarjetas y compara los resultados con dicho número. Dimensiones de la tarjeta de una biblioteca: 85 y 53 cm. Comprobación del valor aproximado: 53 1, ,754 Determina las medidas enteras de un mural rectangular para que su diagonal mida 13 m. Los lados del mural pueden ser: 3 m y m. Medida de la diagonal por el teorema de Pitágoras: m La recta real. Valor absoluto PARA PRACTICAR.49 Expresa los números, 5, 8, 10 y 5, como suma de dos cuadrados. Representa cada uno en la recta real Ejercicio resuelto.50 Representa en la recta real el número 4 3. Como el numerador es mayor que el denominador, se expresan ambos números como suma de un número entero y una fracción menor que 1: Utilizando el teorema de Tales a partir del punto 1, representamos el punto requerido:

9 .51 Representa en la recta real los números racionales 1 3 y Se divide una unidad elegida en tres partes iguales. Se dibujan sucesivamente tres segmentos iguales a partir del origen. También se puede dividir un segmento en partes iguales utilizando el teorema de Tales..5 Representa gráficamente el número racional 1 1 en la recta real. 3 Se tiene: El punto correspondiente está en el intervalo de la recta (3, 4). 3 El intervalo [3, 4] se puede dividir en 3 partes utilizando el teorema de Tales. Al número fraccionario 3 le corresponde la segunda división del intervalo [3, 4] dividido en tres partes. Por tanto, la abscisa del número 1 1 es el punto A Representa en la recta real el número 0,666, expresándolo previamente en forma fraccionaria. 0 0,6 1 0,6 0,66 0,7 Expresión fraccionaria: 0,666 = 6 9 = 3 Por tanto, el punto correspondiente está en el intervalo de la recta (0, 1). El intervalo [0, 1] se divide en 3 partes llevando sucesivamente el segmento OA 3 veces a partir del origen O. El punto correspondiente al número 3 es B, la segunda división. Ejercicio resuelto.54 Representa en la recta real el número 3. No se puede escribir 3 como suma de cuadrados de dos números naturales, pero sí se puede descomponer como 3 1 ( ). 1 Así, para representar 3 se tiene que dibujar primero Representa el número 0 en la recta real, utilizando el teorema de Pitágoras. Se descompone el radicando en suma de cuadrados: 0 4. Ahora se aplica el teorema de Pitágoras. La abscisa del punto A es 4. Se traza el segmento AB, de unidades, perpendicular a la recta OA La hipotenusa OB 4 0 Con centro en el punto O y radio OB se traza un arco que corta a la recta OA en C. El punto C tiene como abscisa 0. 34

10 Expresa los números del 1 al 10 como suma o diferencia de cuadrados enteros. Señala las ternas de números que permiten construir un triángulo rectángulo donde se pueda aplicar el teorema de Pitágoras. Ecuaciones pitagóricas: (no) (no) Halla los números naturales determinados por las siguientes expresiones: a) 6 8 c) 4 3 b) 7 3 d) 8 1 a) c) b) d) Qué distancia hay entre los siguientes pares de números reales? a) 1 y 1 c) 3 y 7 b) y 3 d) 1 y 1 a) 1 y 1; d(1, 1) 1 1 c) 3 y 7; d( 3, 7) 7 ( 3) 5 b) y 3; d(, 3) 3 1 d) 1 y 1 ; d 1, 1 = PARA APLICAR Tomás dice que ha encontrado dos números irracionales cuya suma es racional. Es posible? Si lo es, busca algún ejemplo, y si no, justifica la razón. Si restamos a cualquier número racional uno irracional, obtenemos uno irracional. Por tanto, la suma de esos dos es racional. ( ) 0 e(1 e) 1 41 ( 41 ) Las dimensiones del suelo de un laboratorio rectangular son 9 y 1 m, respectivamente. Si una hormiga recorre la distancia máxima posible sin variar su dirección, cuántos metros ha recorrido? Es esta medida un número entero? La distancia máxima es la diagonal del rectángulo. Se aplica el teorema de Pitágoras en el rectángulo del suelo. Diagonal: (9 1 ) (81 144) 5 15 m Los lados y la diagonal del laboratorio miden: 9 m, 1 m, 15 m. Las medidas son números enteros..61 Inés quiere cortar un listón de madera que tenga, exactamente, 41 centímetros de largo. Si solo dispone de una regla que marca en centímetros, cómo podrá obtener un resultado exacto? Utilizando el teorema de Pitágoras, la hipotenusa del triángulo será 41. Los catetos de este triángulo rectángulo pueden ser 5 y 4. Teorema de Pitágoras: Por tanto, 41 cm es la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 4 cm..6 Estíbaliz ha dibujado un rectángulo cuya diagonal mide 34 cm. Cuáles son las medidas de los lados, si son números enteros? Teorema de Pitágoras: Las medidas de los lados del rectángulo son 5 y 3 cm. 35

11 Un cuadro de la clase de Mónica tiene 100 cm de largo por 80 de ancho. Para que no se mueva el marco, le ha puesto por detrás un travesaño, de vértice a vértice opuesto. Cuánto mide? Qué número entero se puede tomar como medida? Se aplica el teorema de Pitágoras. Ecuación: La medida del travesaño: cm 18,03 cm 18 cm. Se puede tomar como medida entera 18 cm Sabiendo que el área de un triángulo equilátero viene dada por la expresión A a, razona si el área de algún triángulo equilátero puede ser un número racional. 4 3 Basta tomar: a 3. Se aplica la fórmula del área del triángulo equilátero. Área del triángulo equilátero: 3 3 / Intervalos y semirrectas PARA PRACTICAR.65 Representa en la recta real los siguientes intervalos. a) (, 7) b) ( 3, ] c) [ 4, 0) d) [4, 9] a) c) 0 7 b) d) Representa en la recta real las siguientes semirrectas. a) (, 7) b) (, ] c) ( 4, ) d) [4, ) a) c) b) d) Decide si los siguientes conjuntos de números son intervalos o semirrectas, y escríbelos. a) c) b) 0 1 d) a) Intervalo (1, 4) b) Semirrecta (1, ) c) Intervalo ( 1, ] d) Semirrecta (, ].68 Halla dos números racionales en cada uno de los siguientes intervalos. a) (3, 4) b) 1 1 4, Respuestas libres. Por ejemplo, a) 1 0, 1 1 b) 47 48, c) 3 1, 3 3 d) 9, c) 3 5, 4 5 d) 4, 3 36

12 .69 Halla dos números irracionales en cada uno de estos intervalos. a) (0, 1) b) (4, 5) c) (, 4) d) (, 3 ) Respuesta abierta. Por ejemplo, a) 0,1, 0, b) 4, , 4, c) 1 3, 1 d),1,,.70 Representa en la recta y escribe el intervalo o semirrecta correspondiente a cada desigualdad. a) x b) x 4 c) x 3 d) 1 x a) (, ) b) (, 4] c) [3, ) d) (, 1) 1 0 Ejercicio resuelto.71 Representa en la recta real x 3. La desigualdad puede escribirse así: 3 x 3. Si se suma a cada término, resulta: 1 x 5. El intervalo correspondiente es el ( 1, 5). ( 1, 5) Representa en la recta real estos intervalos. a) x 4 3 c) x 5 1 b) x 6 d) x 1 5 a) x x x 11 [ 3, 11] b) x 6 6 x 6 3 x 3 ( 3, 3) c) x x x 4 ( 6, 4) d) x x x 6 x 3 [, 3] Ejercicio resuelto.73 Representa en la recta real los intervalos en los que se cumple que x 3 5. { x 3 5 x 3 5 x o x 3 5 x 8 (, 8) (, + ) 8 0 La solución es: (, 8) (, ). 37

13 .74 Representa los intervalos correspondientes a las siguientes expresiones. a) x 4 b) x 1 c) x 1 5 a) x 4 x 6 La solución es: (, ] [6, ). x 4 o x 4 x b) x 1 x 3 La solución es: (, 1) (3, ). x 1 o x 1 x 1 c) x 1 5 x 6 x 3 La solución es: (, ] [3, ). x 1 5 o x 1 5 x 4 x Representa el intervalo correspondiente a esta expresión x x x x 7 4 5, PARA APLICAR Problema resuelto.76 Se nos ha estropeado la tecla Se siguen estos pasos: (5, 6) de la calculadora. Cómo podremos hallar 9 con dos cifras decimales? 5,3 8,09 9 (5,3; 5,4) 5,4 9,16 5,38 8, (5,38; 5,39) 5,39 9,051 Así se tiene una aproximación por defecto y por exceso de 9 con dos cifras decimales..77 Aproxima por tanteo con una y con dos cifras decimales estas raíces. a) 1000 b) 3 10 a) b) (31, 3) 3 10 (, 3) ,6 998,56 31,7 1004,89 31,6 999,844 31, , (31,6; 31,7) 1000 (31,6; 31,63),1 3 9, (,1;,), 3 10,648,15 3 9, (,15;,16), , En un locutorio telefónico nos cobran por una llamada de t segundos un precio de 30 0,5t céntimos, pero no podemos hablar más de 5 minutos seguidos. Calcula lo que puede durar una llamada si disponemos de las siguientes cantidades de dinero. a) 0,8 euros b) 1 euro c) euros a) No se puede llamar, el coste mínimo es de 30 céntimos. b) 30 0,5t 100 t 140. Como máximo se puede hablar durante 140 segundos. t [0,140]. c) 30 0,5t 00 t 340. Supera los 5 minutos. t [0,300]. 38

14 Sabiendo que las dimensiones de un campo de deporte se encuentran entre los 90 y los 10 metros de largo, y entre los 45 y los 90 metros de ancho, entre qué valores se encuentra el área del campo? Sean x la medida del largo e y la medida del ancho. Largo: 90 x 10 Ancho: 45 y 90 Área: 4050 xy El área de los distintos campos se encuentra entre el área mínima, 4050 m, y el área máxima, m. Un motorista se desplaza por una autopista a una velocidad entre 100 y 10 km/h. Entre qué distancias se encontrará al cabo de tres horas? Ecuación del espacio: E v t (velocidad tiempo) Distancia máxima posible: km Distancia mínima posible: km Se encuentra entre 300 y 360 km. Matemáticas aplicadas PARA APLICAR.81 * Utiliza la calculadora o la hoja de cálculo Excel para realizar aproximaciones del número utilizando los algoritmos de Leibnitz y de Wallis. Algoritmo de Leibnitz Algoritmo de Wallis Algoritmo de Leibnitz 3,33968, ,8373 Algoritmo de Wallis 1, ,4685 1, Investiga en internet otros algoritmos para calcular las cifras decimales del número. Respuesta abierta. Actividades finales PARA PRACTICAR Y APLICAR Escribe dos números irracionales con las cifras 1 y. a) Número decimal no periódico Número: 1, Detrás de cada grupo de sucesivos unos (1) se coloca la cifra. No existe ningún bloque de cifras que se repita. b) Número: Cada bloque se forma por dos bloques seguidos: un bloque de unos y otro de doses. Los bloques tienen:, 4, 6, 8 cifras. Escribe dos números irracionales con las cifras 0 y 1. a) 0, Detrás de cada 0 se colocan sucesivamente 1,, 3, 4, 5 unos. b) 7, Delante de cada 0 se colocan sucesivamente 1,, 3, 4, 5 unos. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales: a) 3, b) 4, c) 0, d), a) Es racional, ya que tiene como período 11. b) Es irracional, ya que los grupos que se van formando no son iguales. c) Es irracional, ya que los grupos que se van formando no son iguales. d) Es racional, ya que las cifras son periódicas. 39

15 * Un aula de planta rectangular tiene como medidas de las aristas 6 metros de largo, 5 de ancho y 4 de alto. Calcula las medidas de las diagonales de las paredes y del suelo, e indica si son números racionales o irracionales. Datos: 6 y 5 m Teorema de Pitágoras: d Medida de la diagonal: 61, es irracional. Diagonales de las paredes laterales: Datos: 6 y 4 m Teorema de Pitágoras: d Medida de la diagonal: 5, es irracional. Diagonales de las paredes del frente y trasera: Datos: 5 y 4 m Teorema de Pitágoras: d Medida de la diagonal: 41, es irracional. Cuántos números reales existen comprendidos entre 5,18746 y 5,18747? Escribe tres de ellos. Existen infinitos números. 5, , , El número 3, es un número irracional. Es también irracional el número 1000? Justifica tu respuesta. El número , Si quitamos del número las tres primeras cifras, las restantes forman un número irracional, ya que el caso contrario sería racional y a partir de una cifra se repetirían periódicamente, y, por tanto, también lo sería 100, ya que coinciden salvo las tres primera cifras. Por tanto, por reducción al absurdo, se verifica la afirmación de que 100 es irracional. Calcula el error absoluto que se comete cuando se toman las siguientes aproximaciones del número irracional 3 1, a) Aproximación a unidades por exceso b) Aproximación a décimas por defecto a) Aproximación a unidades por exceso: Aproximación a unidades por defecto: 1 Error máximo cometido, menor que 1 unidad b) Aproximación a décimas por exceso: 1,8 Aproximación a décimas por defecto: 1,7 Error máximo cometido, menor que 1 décima Una aproximación de es el número racional Halla los errores absoluto y relativo que se cometen cuando se toma una aproximación con tres cifras decimales. 17/1 1, , /1 0,00453 Error absoluto: 0,00 Error relativo con tres cifras: (17/1 )/ 0,003 El número 3, es irracional y se ha escrito con 10 cifras decimales correctas. Hay números fraccionarios muy populares que aproximan al número : 355,, Cuál de las tres fracciones se aproxima más al valor de que se ha dado inicialmente con 10 cifras decimales? Para comparar estos valores se expresan los números con 10 cifras decimales, para ver hasta dónde coinciden. 3, (11 cifras correctas) /7 3, (3 cifras correctas) 355/113 3, (7 cifras correctas por exceso) 710/6 3, (7 cifras correctas por defecto) Como se ve, el número que más se aproxima es 355/113, ya que coinciden en las 6 primeras cifras decimales, pero su error es menor que 710/6. Este número fraccionario, 355/113, es el más sencillo y que más se aproxima. 40

16 .9 Copia en tu cuaderno y rellena los recuadros vacíos con los símbolos o, según sea necesario en cada caso: a) 1 6 0, b) 1, c) 1, d) 3 5 1, a) 1 6 0, b) 1, c) 1, d) 3 5 1, Representa en la recta real el número racional Se tiene: El punto correspondiente está en el intervalo de la recta (1, ) Se divide esa unidad elegida en seis partes iguales y se cogen cinco..94 Representa en la recta real el número áureo, Se representa la fracción 1, la fracción 5 y se añade a la anterior. Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden y 1 cm. La hipotenusa medirá: h Valor de la hipotenusa 5. Se divide el segmento hallado entre dos..95 Ordena de menor a mayor los siguientes números reales: ,15 0,67 50 Represéntalos gráficamente en la recta real. _ 3,14 0,67 4,47 3,15 3 0, _ 4 _ _ 3,15 0,66 4,46.96 Representa en la recta real 40. A continuación, representa 41 de dos formas distintas. a) Descomponiendo: b) Descomponiendo: 41 ( 40 ) 1. Comprueba que se obtiene el mismo punto de la recta. a) Y O 41 X b) Y 1 O X.97 La planta de una sala de teatro con forma rectangular mide 0 metros de largo por 15 de ancho. Averigua de manera gráfica cuál es la máxima distancia entre dos puntos de la misma. La máxima distancia, x, es la que hay entre dos vértices opuestos. Teorema de Pitágoras: x Máxima distancia de la base: 65 5 cm 41

17 .98 Dibuja un cuadrado cuyo lado a mida 10 cm. Se trata de dibujar un cuadrado cuyos lados midan: a 10 cm. Triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 1 cm. El cuadrado de la hipotenusa mide: El valor del lado a 10 es igual al valor de la hipotenusa Calcula las medidas de los lados y el área de un triángulo equilátero cuya altura mide 75 cm. Sea x la medida del lado. Por tanto, el semilado mide x. Ecuación: (x) x 75 Se opera: 3x 75. Valor de x: x 5, luego el lado mide x 10. Área del triángulo equilátero: (x) 3 / /4 5 3 cm 43,301 Valor aproximado: , cm Se puede dibujar exactamente una circunferencia de radio 17 centímetros? Se trata de dibujar un segmento que va a ser el radio y cuya medida sea r 17. Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y 1 cm. El cuadrado de la hipotenusa medirá: h Valor de la hipotenusa radio 17 cm. Calcula la distancia existente en la recta real entre los siguientes pares de números. a) y 5 b) 5 y 1 1 c) 3 y 4 d) 3 y 4 3 a) y 5; d(, 5) 5 ( ) 7 b) 5 y 1 1 ; d 5, c) 3 y 4; d( 3, 4) 4 ( 3) 1 d) 3 y 4 3 ; d 3, ( 3) Indica a qué intervalos o semirrectas corresponden las siguientes expresiones: a) x 3 b) x 5 7 c) x 5 7 d) 3x 1 5 a) x 3; [3, ) b) x 5 7; 1 x 6; [ 1, 6] c) x 5 7; x 6; (, 6] d) 3x 1 5; x y x Expresa, mediante desigualdades y gráficamente en la recta real, los siguientes intervalos y semirrectas: a) [ 1, ) b) (, 0] c) (, 3) d) [4, 8] a) [ 1, ) _ 1 0 c) ( 3) x 1 x 3 b) (, 0] 1 0 d) [4, 8] x 0 4 x Representa en la recta real el intervalo A [, 5] y la semirrecta B (3, ). Si existe algún intervalo de puntos común a ambos, hállalo. _ El intervalo de puntos en común es el (3, 5]. 4

18 .105 El índice de masa corporal (IMC) de una persona se calcula dividiendo su peso en kilogramos entre el cuadrado de su estatura en metros. Si el IMC de Carlos es, aproximadamente, de 33 kg/m y mide 1,79 metros, en qué intervalo se encuentra su peso, suponiendo que el error en el IMC es menor de una décima? Sea x el peso, si el error es menor de una décima: 3,9 IMC 33,1. 3,9 x 1, 79 ; x Kg 33,1 x 1, 79 x Kg Luego el peso se encuentra en el intervalo (58,891; 59,49). PARA REFORZAR.106 Indica a qué conjuntos pertenecen estos números. N Z Q I,555 x 64 x 3,0111 x x 7 3 x 18 x x 3 x.107 Aproxima por defecto y por exceso con una, dos y tres cifras decimales el número , Aproximaciones por defecto: Aproximaciones por exceso: Aprox. con una cifra decimal: 44 6,6 Aprox. con una cifra decimal: 44 6,7 Aprox. con dos cifras decimales: 44 6,63 Aprox. con dos cifras decimales: 44 6,64 Aprox. con tres cifras decimales: 44 6,633 Aprox. con tres cifras decimales: 44 6, Representa en la recta real los números y Se divide una unidad elegida en cuatro partes iguales. Se dibujan sucesivamente cuatro segmentos iguales a partir del origen 0 3 y se cogen tres. 4 También se puede dividir un segmento en partes iguales utilizando el teorema de Tales. 6 Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 1 cm. 1 6 El cuadrado de la hipotenusa medirá: h Valor de la hipotenusa 6 cm Halla los errores absoluto y relativo cometidos al aproximar 0,333 0,4646 por 0,3 0,5 0,8. Valor exacto: 0,333 0,4646 0,7979 Valor aproximado: 0,3 0,5 0,8 Error absoluto: 0,7979 0,8 0,0000 Error relativo: 0,7979 0,8 / 0,7979 0,0053 Calcula 8, redondeando a las milésimas. 8 4, ,43 43

19 .111 Representa los siguientes intervalos e indica de qué tipo es en cada caso. a) (0, 3) b) [ 1, 1] c) [ 3, 3) d) (3, 5] 0 3 _ _ Representa en la recta real los intervalos en los que se cumplen estas expresiones: a) x 3 c) x 0,7 e) x 1 b) x 4 d) x 1 1 f) x 8 a) 3 x 3: c) El valor absoluto de un número e) El valor absoluto de un número tiene que ser siempre positivo, tiene que ser siempre positivo, _ por lo que esta desigualdad nunca por lo que esta desigualdad podrá ser cierta. nunca podrá ser cierta. b) x 4: d) 0 x f) x 6: x 4: x 10: _ _ 10 _ Escribe el intervalo que se describe en cada frase. a) Los números reales mayores que y menores o iguales que 5 b) Los números reales menores que 4 c) Los números reales mayores o iguales que 3 d) Los números reales mayores o iguales que 4 y menores o iguales que 1 a) (, 5] b) (, 4] c) [ 3, ) d) [ 4, 1] Representa las siguientes semirrectas y clasifícalas según su tipo: a) (3, ) b) (, 1) c) [, ) d) (, ] 0 3 _ Las medidas de la circunferencia máxima de los balones de baloncesto oscilan entre 75 cm y 78 cm. Podrías indicar entre qué valores varía el radio de dichos balones? Radio mínimo: 75 r, de donde r 75 : 11,94 cm Radio máximo: 78 r, de donde r 78 : π 1,4 cm PARA AMPLIAR Escribe un número irracional con cada par de números. a) 1 y 5 b) y 3 c) 9 y 8 d) 1 y 7 e) 15 y 3 f) y Los números pueden ser: a) 1, b), c) 9, d) 1, e) 1, Los números son irracionales, ya que los bloques que se forman nunca son iguales. f) No se puede formar un número irracional con y, ya que los bloques que forman serán siempre iguales. Se inscribe un cuadrado en una circunferencia de 0 centímetros de radio. Responde a las siguientes cuestiones: a) Cuál es la expresión de la medida del lado? b) Es racional o irracional? a) La diagonal de un cuadrado es el diámetro de una circunferencia. Sea x el valor del lado x x 40 x 1600 x Valor del lado: 0 centímetros b) El número 0 es irracional. 44

20 .118 Escribe un número irracional comprendido entre 1 5 y 1 4. Expresión decimal: 1 5 0,0, 1 4 0,5 Número irracional: 1 5 0,0 0, ,5.119 Una noria gira a razón de dos revoluciones por minuto. Determina el camino recorrido en 5 minutos por una de las canastillas, si el radio de la noria mide 30 metros. Expresa el resultado en metros, con una aproximación de centímetros. Una revolución equivale a radianes. Número de radianes en 5 minutos: 5 0 radianes Camino recorrido: ,95559 metros Valor aproximado: 1886 m.10 La plaza mayor de un pueblo es un cuadrado de 35 metros de lado. Escribe la longitud de su diagonal, con una aproximación por defecto de dos decimales. Cuál es el error absoluto cometido? Valor de la diagonal: (35 35 ) 35 49,4974 Valor de la diagonal por defecto: 49,49 m Error absoluto cometido: 0, Qué aproximación está más cerca del valor de la hipotenusa del triángulo de la figura, 5,385 ó 5,386 centímetros? Cuánto más cerca? h h 5 h 5, centímetros La aproximación que está más cerca es 5,385. 5,385 está a 0, centímetros de h, y 5,386 está a 0, cm. La aproximación 0,385 está 0, centímetros más cerca. 5.1 Expresa mediante intervalos o semirrectas los conjuntos de los números reales que cumplen las siguientes condiciones: a) Están a más de 3 unidades de distancia del 4. b) Están a una distancia del igual o menor que 3. a) x 7 y x 1 b) x y 1 x 5.13 Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos. a) c) _ b) d) _ 1 0 _ 4 _ 1 0 a) (, 0] c) [, 5] b) [ 1, 0) d) ( 4, 1) 45

21 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER.14 Errores en la medida El Ayuntamiento de una localidad quiere plantar césped artificial en el campo de fútbol que hay en el polideportivo municipal. Los técnicos miden las longitudes del campo con una cinta métrica que les permite asegurar que los verdaderos valores no pueden diferir en más de 0,5 metros. a) Entre qué valores están comprendidas las verdaderas medidas del largo y el ancho del campo de fútbol? b) Entre qué valores estará comprendida la verdadera área del campo? c) Si las verdaderas medidas son 70,66 y 110,3 metros, indica los errores absolutos y relativos de las medidas tomadas. Calcula el error relativo que se cometería al tomar como área del campo 7800 m. a) Largo: [110, 110,5]. Ancho: [70,5, 71] b) Sean x la medida del largo e y la medida del ancho. Largo: 110 x 110,5 Ancho: 70,5 y 71 Área: 7755 xy 7845,5 El área se encuentra entre el área mínima, 7755 m, y el área máxima, 7845,5 m. c) Errores del ancho: E a 70,66 70,75 0,09; E r 70,66 70,75 / 70,66 0, Errores del largo: E a 110,3 110,5 0,07; E r 110,3 110,5 / 110,3 0, Error relativo del área: E r / , Representación de números reales. En la gráfica de abajo aparecen representados los números reales A, B y C. a) Escribe la expresión exacta de los números A y B. 3 b) De los siguientes números reales, cuál piensas que se corresponde con C?, ,75 1 c) Calcula la distancia exacta entre A y B. 0 A B C 1 3 a) El número A es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son 1 y : La hipotenusa medirá: h h 5. El número B es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son 1 y 3: La hipotenusa medirá: h h 10 b) C corresponde a A más la distancia media de A a B; por tanto: C c) Distancia entre A y B: Dist

22 AUTOEVALUACION.A1.A Indica si son irracionales las raíces cuadradas de los siguientes números: a) 60 b) 65 c) 9 d) 65 El único número que tiene raíz exacta es 65: Los demás son irracionales, ya que no tienen raíz exacta. Ordena los siguientes números de menor a mayor. 10 3, , , , A3 Dibuja un segmento cuya longitud mida exactamente 13 centímetros. Teorema de Pitágoras: Ecuación: 13 (3 ) Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y unidades. Medida aproximada de la hipotenusa: 13 3,60555 cm A4 En una circunferencia de radio 10 cm se ha inscrito un cuadrado. Cuánto mide el lado del cuadrado? El diámetro es la diagonal del cuadrado. Sea x el valor del lado. Ecuación: x x 100 Se simplifica: x 50 Medida del lado: x 50 5.A5 Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales. a) 3 5 c) 5 e) 63 b) 4 d) 0,75 f) 3, a, b, d y e son números racionales. c y f son números irracionales..a6.a7 Representa el intervalo cerrado más pequeño, de extremos números enteros, en cuyo interior se encuentran los siguientes números irracionales. a) 35 c) 10 b) 4 d) 899 a) , es decir, (5, 6) b) 4 4 5, es decir, (4, 5) c) , es decir, (3, 4) d) , es decir, (9, 30) Qué diferencia hay entre los números racionales e irracionales según su expresión decimal? Los números racionales tienen expresión periódica, y los irracionales no..a8 El lado de un triángulo equilátero mide 1 centímetros. Calcula la altura y el área del triángulo. Altura h del triángulo: h Medida de la altura: h 6 3 Área del triángulo: centímetros 47

23 .A9 Representa en la recta real y escribe en forma de intervalo los números que verifican estas relaciones: a) 3 x 7 c) x b) x 4 d) 3 x a) c) 0 b) d) _ 4 0 _ 3 0.A10 Indica qué intervalos o semirrectas equivalen a las siguientes expresiones. a) x 3 10 b) x 7 11 a) x 3 10 Intervalos: 10 x 3 10; 13 x 7 [ 13, 7] b) x 7 11 Intervalos: 11 x 7; 4 x ( 4) x 7 11; x 18 (18, ) 48

24 Entretenido LAS DOS JARRAS Las dos jarras son iguales y contienen igual cantidad de líquido Voy a pasar un vaso de leche a la jarra de zumo y después un vaso de la mezcla resultante a la jarra de leche. Al final, qué hay más, zumo en la jarra de leche o leche en la jarra de zumo? En las dos jarras hay la misma proporción de mezcla. Vamos a verlo. Para fijar ideas vamos a suponer que en una de las jarras hay 1 litro de leche, y en la otra, 1 litro de zumo. Y vamos a suponer que el contenido de cada vaso es de 50 ml. El bloqueo de este problema surge al pensar que hay más leche en la del zumo que zumo en la de la leche porque primero echamos el 100% de leche y luego no echamos el 100% de zumo. Para resolverlo vamos a hacer un dibujo. Cada cuadrado de la cuadrícula representa 50 ml. Al comienzo: Pasamos 50 ml de leche a la de zumo: Pasamos 50 ml de mezcla (00 ml de zumo y 50 ml de leche) a la jarra de leche: 1 litro de 1 litro de 750 ml de 150 ml de 1 litro de 1 litro de leche zumo leche mezcla mezcla mezcla Al final, cada jarra tiene 800 ml del contenido que tenía al principio y 00 ml del contenido de la otra jarra. 49