MA Tarea No 4 Técnicas de Conteo

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1 MA200 - Tarea No 4 Técnicas de Conteo Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 11 de enero de Aproximadamente 50 millones de nombres de dominio web.com fueron registrados (p. ej., yahoo.com). a) Cuántos nombres de dominio compuestos de exactamente dos letras pueden ser formados? Cuántos nombres de dominio de dos letras existen si como caracteres se permiten dígitos y números? [Nota; Una longitud de carácter de tres o más ahora es obligatoria.] El número total de letras descartando ñ, ch y ll es 2. Como la selección de la primera no condiciona la segunda aplica la regla del producto. En el primer caso: N = (2) (2) = 7. En el segundo caso si añadimos a las letras los dígitos del 0 al 9 tendremos en total 3 opciones para selección, por tanto N 2 = (3) (3) = 1, 29 b) Cuántos nombres de dominio existen compuestos de tres letras en secuencia? Cuántos de esta longitud existen si se permiten letras o dígitos? [Nota: En la actualidad todos están utilizados.] La palabra secuencia motivó dos interpretaciones: 1) cuando se piensa que la segunda letra debe ser la siguiente de la primera y la tercera la siguiente de la segunda. 2) cuando se piensa que secuencia indica que van uno despues de otro. En la primera interpretación la elección de la primera determina la segunda y la tercera. Por tanto, la única libertad posible es elegir la primera que no puede ser z ni y (pues no tienen dos caracteres siguientes). Por tanto, N = (24) (1) (1) = 24. En la segunda interpretación, tenemos tres elecciones independientes cada una con 2 alternativas: N = (2) (2) (2) = 17, 57. Si ahora aceptamos dígitos, en la primera interpretación nos daría iniciar con letra o iniciar con dígito. Por tanto, N = = 32 posibles cadenas de tres caracteres en secuencia. Mientras que para la segunda interpretación tendremos 3 posibilidades independientes para las tres selecciones: N = 4, 5. c) Responda las preguntas hechas en b) para secuencias de cuatro caracteres. Tomemos sólo la interpretación de secuencia como cadena de caracteres. Si sólo usamos letras N = (2) (2) (2) (2) = 45, 97. Si ahora también considermos los dígitos del 0 al 9: N = (3) (3) (3) (3) = 1, 79, 1. d) Si 97,78 de las secuencias de cuatro caracteres utilizando letras o dígitos aún no habían sido reclamadas. Si se elige un nombre de cuatro caracteres al azar, cuál es la probabilidad de que ya tenga dueño? Dado que el total de cadenas de cuatro caracteres es 1, 79, 1 y las que las que no han sido reclamadas suman 97, 78. Por tanto, las que sí han sido reclamadas son 1, 79, 1 97, 78 = 1, 581, 830. Si suponemos que toda cadena de 4 caracteres es igualmente probable, entonces la probabili-

2 dad de elegir una con dueño es: p = numero con dueño total de cadenas = 1, 581, 830 1, 79, 1 = Un amigo mío va a ofrecer una fiesta. Sus existencias actuales de vino incluyen 8 botellas de zinfandel (Z), 10 de merlot (M) y 12 de cabernet (C), todos de diferentes fábricas vinícolas. a) Si desea servir 3 botellas de zinfandel y el orden de servicio es importante, cuántas formas existen de hacerlo? Nuestro problema es elegir 3 de las 8 donde el orden es importante. Así lo indicado es usar la fórmula de las permutaciones y no la de combinaciones: N = P 8,3 = 8! (8 3)! = 33 Así, 33 es el número total de formas de seleccionar 3 de los 8 vinos Z disponibles donde el orden importa. b) Si botellas de vino tienen que ser seleccionadas al azar de las 30 para servirse. cuántas formas existen de hacerlo? Como no se hace referencia al orden, suponemos que no importa. Así el problema debe trabajar con combinaciones: C 30, = ( 30 ) = 593, 775 es el número total de formas de seleccionar botellas de vino de las 30 disponibles. c) Si se seleccionan al azar botellas, cuántas formas existen de obtener dos botellas de cada variedad? Nuestro proceso se compone de 3 selecciones: 2 botellas de Z, 2 de M y 2 de C. Como son procesos independientes aplica la regla del producto. Nuevamente asumimos que el orden de las dos botellas de vino de cada tipo no importa y por tanto, para calcular el total de selecciones de cada tipo usaremos la formula de las combinaciones: N = C 8,2 C 10,2 C 12,2 = = 83, 10 es el número total de formas de seleccionar dos vinos de cada tipo dentro de las posibilidades de la cava. d) Si se seleccionan botellas al azar, cuál es la probabilidad de que el resultado sea dos botellas de cada variedad? Si suponemos que las selecciones son igualmente probables entonces la probabilidad buscada es la división de el número de posibles selecciones de dos de cada tipo entre el total de selecciones de vinos, usando el inciso anterior: p = 83, , 775 = e) Si se eligen botellas al azar, cuál es la probabilidad de que todas ellas sean de la misma variedad. Primeramente veamos cuántas selecciones son posibles de la misma marca (X). Para ello debemos considerar los casos en los cuales son tpo Z, tipo M y tipo C: Los de Z: Los de M: X z = C 8, = X M = C 10, = Los de C: X C = C 12, = ( 8 ( 10 ( 12 ) = 28 ) = 210 ) = 924 Por tanto, el número total de selecciones de un mismo tipo de vino será: X = X Z + X M + X C = 1, 12 Si suponemos que las selecciones son igualmente probables entonces la probabilidad 2

3 buscada es la división de el número de posibles selecciones deseada (X) entre el total de selecciones de vinos: p = 1, , 775 = a) Beethoven escribió 9 sinfonías y Mozart 27 conciertos para piano. Si el locutor de una estación de radio de una universidad desea tocar primero una sinfonía de Beethoven y luego un concierto de Mozart, de cuántas maneras puede hacerlo? Como las selecciones son independientes, esta es una aplicación del principio del producto: n 1 n 2 = 9 27 = 243 será el número total de maneras de escoger primero una sinfonía de Beethoven seguido de un concierto de piano de Mozart. b) El gerente de la estación decide que en cada noche sucesiva (7 días a la semana), se tocará una sinfonía de Beethoven, seguida por un concierto para piano de Mozart, seguido por un cuarteto de cuerdas de Schubert (de los cuales existen 15). Durante aproximadamente cuántos años se podría continuar con esta política antes de que exactamente el mismo programa se repitiera? Nuevamente, este problema es una aplicación del principio del producto: n = n 1 n 2 n 3 = = 3, 45 es el número total de programas posibles con el orden deseado. Como sería uno por noche, el programa de la noche tendría que ser uno repetido. Por tanto, sin considerar años bisiestos, esta politica de programación no repetida podría llevar años. 4. Una tienda de equipos de sonido está ofreciendo un precio especial en un juego completo de componentes (receptor, reproductor de discos compactos, altavoces, casetera). Al comprador se le ofrece una opción de fabricante por cada componente. Receptor: Kenwood, Onkyo, Pioneer, Sony, Sherwood Reproductor de CDs: Onkyo, Pioneer, Sony, Technics Altavoces: Boston, Infinity, Polk Casetera: Onkyo, Sony, Teac, Technics Un tablero de distribución en la tienda permite al cliente conectar cualquier selección de componentes (compuesta de uno de cada tipo). Use las reglas de producto para responder las siguientes preguntas. a) De cuántas maneras puede ser seleccionado un componente de cada tipo? Siendo las selecciones diferentes, esta es una aplicación de la regla del producto. Digamos que n 1 = 5 es el total de opciones para receptor, n 2 = 4 es el total de opciones para reproductor de CD, n 3 = 3 es el total de opciones para bocinas, n 4 = 4 es el total de opciones para casetera: N = n 1 n 2 n 3 n 4 = (5)(4)(3)(4) = 240 es el número total de configuraciones de marca para un equipo de 4 componentes. b) De cuántas maneras pueden ser seleccionados los componentes si tanto el receptor como el reproductor de discos compactos tienen que ser Sony? Si tanto el recepetor como el reproductor de CDs están fijos (Sony) las únicas elecciones serán las bocinas y la casetera. Nuevamente aplicaremos la regla del producto. Sin embargo, hay dos interepretaciones del problema. En la primera, los otros componentes no deben ser Sony en cuyo caso el número total de selecciones será N 1 = n 3 (n 4 1) = (3)(3) = 9. Y en la segunda interpretación, no eliminamos la posibilidad de que la casetera también sea Sony, en cuyo caso el número total de selecciones será N 2 = n 3 (n 4 ) = (3)(4) = 12. c) De cuántas maneras pueden ser seleccionados los componentes si ninguno tiene que ser Sony? 3

4 Basta eliminar la posibilidad de que sea Sony cada elección y apliciar de nuevo la regla del producto: N c = (n 1 1) (n 2 1) (n 3 ) (n 4 1) = 108 será el número total de configuraciones de equipo si no está incluida la marca Sony. equipo de beisbol el orden (posiciones) de los jugadores son importantes. Por tanto, debe usarse la fórmula de permutaciones: P 15,9 = 15! = 1, 81, 214, 400 (15 9)! es el número total de alineaciones posibles. d) De cuántas maneras se puede hacer una selección si por lo menos se tiene que incluir un componente marca Sony? Note que este es un ejemplo de conteo por complemento. El complemento a al menos una componente Sony es ninguna componente es de la marca Sony. Por tanto, el número total de configuraciones de equipos con al menos una componente marca Sony mas el número total de equipos sin ninguna componente marca Sony debe dar 240 (ver inciso a)). Usando el inciso c) tenemos que el número total de configuraciones de equipos con al menos una componente Sony es = 132. e) Si alguien mueve los interruptores en el tablero de distribución completamente al azar, cuál es la probabilidad de que el sistema seleccionado contenga por lo menos un componente Sony? Exactamente un componente Sony? Si suponemos que las configurciones de marca son igualmente probables, habrá que dividir el número total de configuraciones que tiene al menos una componente marca Sony (108) entre el el número total de configuraciones: p = = De nuevo considere el equipo de ligas menores que tiene 15 jugadores en su plantel. a) Cuántas formas existen de seleccionar 9 jugadores para la alineación inicial? En el caso de la alineación inicial de un b) Cuántas formas existen de seleccionar 9 jugadores para la alineación inicial y un orden al bat de los 9 inicialistas? En este caso primero se selecciona una alineación y para tal alineación se crea un orden al bat. Esto es una aplicación de la regla del producto. Aquí habrá que usar que dados 9 jugadores, el número de ordenamientos posibles es 9!: N = (P 15,9 ) (9!) es el total de alternativas. c) Suponga que 5 de los 15 jugadores son zurdos. Cuántas formas existen de seleccionar 3 jardineros zurdos y tener las otras posiciones ocupadas por jugadores derechos? El proceso de selección en este caso consta de dos fases: seleccionar primero 3 zurdos y después derechos. Aquí aplicaremos la regla del producto. Si no importa la posición de los jugadores utilizaremos combinaciones: N = C 5,3 C 15 5,9 3 = = 2, 100. Poco tiempo después de ser puestos en servicio, algunos autobuses fabricados por una cierta compañía presentaron grietas debajo del chasis principal. Suponga que una ciudad particular utiliza 25 de estos autobuses y que en 8 de ellos aparecieron grietas. a) Cuántas maneras existen de seleccionar una muestra de 5 autobuses de entre los 25 para una inspección completa? Como en este ejemplo la palabra muestra 4

5 indica que el orden de aparición no es importante. Aplicamos por tanto la fórmula de combinaciones: N = C 25,5 = 53, 130 será el número total de posibles muestras de 5 tomadas de entre los 25 autobuses. b) De cuántas maneras puede una muestra de 5 autobuses contener exactamente 4 con grietas visibles? Imaginamos que el proceso consiste en primero seleccionar 4 autobuses con grietas y el restante lo elegimos sin grieta y aplicamos la regla del producto: N g=4 = C 8,4 C 17,1 = = 1, 190 será el número de posibles selecciones de una muestra de 5 con exactamente 4 autobuses con grietas. c) Si se elige una muestra de 5 autobuses al azar, cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 5 tengan grietas visibles? Suponiendo que toda muestra es igualmente probable, entonces utilizando los incisos anteriores: p g=4 = 1, , 130 = es la probabilidad de que sea elegida una muestra de 5 que contenga exactamente 4 autobuses con grietas. d) Si los autobuses se seleccionan como en el inciso c), cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 de los seleccionados tengan grietas visibles? Note que el conjunto de las muestras con al menos 4 autobuses con grietas es igual a la unión de el conjunto de las muestras con exactamente 4 autobuses con grietas grietas y el conjunto de las muestras con exactamente 5 autobuses con grietas. Por otro lado, el número de muestras con 5 autobuses con grietas es N g=5 = C 8,5 = 5 Así el total de muestras de 5 con al menos 4 autobuses con grietas es N g 4 = N g=4 + N g=5 = 1, = 1, 24 Por tanto, si suponemos que toda muestra es igualmente probable, la probabilidad de elegir una muestra de 5 con al menos 4 autobuses con grietas es: P g 5 = N g 4 N = 1, 24 53, 130 = Una empresa de producción emplea 20 trabajadores en el turno de día, l5 en el turno de tarde y 10 en el turno de medianoche. Un consultor de control de calidad va a seleccionar de estos trabajadores para entrevistas a fondo. Suponga que la selección se hace de tal modo que cualquier grupo particular de trabajadores tiene la misma oportunidad de ser seleccionado al igual que cualquier otro grupo (sacando papelitos de entre 45 sin reemplazarlos). a) Cuántas selecciones resultarán en que los trabajadores seleccionados provengan del turno de día? En este caso habrá que elegir trabajadores de los 20 del turno de día: N = C 20, = 38, 70 será el número total de posibles selecciones donde los trabajadores están en el turno de día. b) Cuál es la probabilidad de que los trabajadores seleccionados sean del mismo turno? Note que el conjunto de todas las muestras donde los trabajadores están en el mismo turno es la unión de los conjuntos de muestras donde los trabajadores están en la mañana, o en la tarde o en medianoche y N t=dia = C 20, = 38, 70 N t=tarde = C 25, = 5, 005 N t=noche = C 10, = 210 5

6 así: N mismo turno = N t=dia + N t=tarde + N t=noche = 48, 770 será el número total de muestras de donde los trabajadores están en el mismo turno. Por otro lado, el número total del muestras de tomadas entre los 45 trabajadores es: M T = C 45, = 8, 145, 00 Por tanto y suponiendo que las muestras de sean igualmente probables, la probabilidad de que en una muestra de los trabajadores estén en el mismo turno es: p = N mismo turno M T = 48, 770 8, 145, 00 = c) Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos turnos diferentes estarán representados entre los trabajadores seleccionados? Este es una buena aplicación de cálculo de probabilidad por complemento. Si A es el evento por lo menos dos turnos están representados en la muestra de, entonces A es el evento en el cual sólo un turno está representado en la muestra. Por tanto, Haciendo esto para todos los elementos de A: p = x A p x = es la probabilidad de los tres turnos estén representados en una muestra de. Por lo tanto, la probabilidad de que al menos un turno no esté representado es q = 1 p = Un departamento académico compuesto de cinco profesores limitó su opción para jefe de departamento a el candidato A o el candidato B. Cada miembro votó entonces con un papelito por uno de los candidatos. Suponga que en realidad existen tres votos para A y dos para B. Si los papelitos se cuentan al azar, cuál es la probabilidad de que A permanezca delante de B durante todo el conteo de votos (p. ej. ocurre este evento si el orden seleccionado es AABAB pero no si es ABBAA)? 9. Un experimentador está estudiando los efectos de la temperatura, la presión y el tipo de catalizador en la producción de cierta reacción química. Tres diferentes temperaturas, cuatro presiones distintas y cinco catalizadores diferentes se están considerando. P (A) = 1 P (A ) = = d) Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los turnos no estará representado en la muestra de trabajadores? Este inciso es difícil. Note que el evento es el opuesto a que los tres turnos estén representados. Hay 10 formas de que estén representados los tres: [1, 1, 4], [1, 2, 3], [1, 3, 2], [4, 1, 1], [1, 4, 1], [2, 2, 2], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1], y [2, 1, 3] donde [i, j, k] representa que i son del turno de mañana, j son del turno de tarde y k son del turno de media noche. Representemos a este conjunto por A. La probabilidad de que una muestra de seis cumpla [i, j, k] es p [i,j,k] = C 20,i C 15,j C 10,k M T a) Si cualquier experimento particular implica utilizar una temperatura, una presión y un catalizador, cuántos experimentos son posibles? Esta es una aplicación de la regla del producto: para la selección de la temperatura tenemos n t = 3 posibilidades, para la selección de la presión tenemos n p = 4 posibilidades y para la selección del catalizador tenemos n c = 5 posibilidades: N = n t n p n c = (3)(4)(5) = 0 es el número total de configuraciones de temperatura, presión y catalizador. b) Cuántos experimentos existen que impliquen el uso de la temperatura más baja y dos presiones bajas?

7 Eliminado 2 posibilidades de eligir la temperatura y elimiando 2 posibilidades de elegir presión: M = (n t 2) (n p 2) n c = = 10 es el número total de configuraciones para el experimento al elegir 1 temparatura y las dos presiones bajas. c) Suponga que se tienen que realizar cinco experimentos diferentes el primer día de experimentación. Si los cinco se eligen al azar de entre todas las posibilidades, de modo que cualquier grupo de cinco tenga la misma probabilidad de selección, cuál es la probabilidad de que se utilice un catalizador diferente en cada experimento? Este problema es difícil y una manera de resolverlo es con probabilidad condicional: Primero determinemos la probabilidad de que A 1 : el primer experimento tenga el catalizador 1 y A 2 : que el segundo experimento tenga el catalizador 2,.., y A 5 : el quinto experimento tenga el catalizador 5: (digamos que B = A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 ) P (B) = P (A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 ) P (A 4 A 3 A 2 A 1 ) P (A 3 A 2 A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 1 ) = = Como tenemos 5! = 120 maneras de escoger los catalizadores entonces p = 5! = será la probabilidad de que al seleccionar 5 configuraciones de las 0 posibles los 5 catalizadores estén representados. 10. Una caja en un almacén contiene cuatro focos de 40 W, cinco de 0 W y seis de 75 W. Suponga que se eligen al azar tres focos. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los focos seleccionados sean de 75 W? Primeramente calculemos el número total de muestras de 3 focos entre los 15 posibles: N = C 15,3 = 455 Ahora determinemos el número de muestras de tres focos tomadas en el conjunto de los focos de 75 watts: M = C,3 = 20 Por tanto, si las muestras de tres focos se consideran igualmente probables, la probabilidad de que en una muestra de 3 focos tomados de los 15, los 3 focos sean de 75 watts es: p = M N = b) Cuál es la probabilidad de que los tres focos seleccionados sean de los mismos watts? El evento (A m ) la muestra de 3 focos tiene focos de los mismos watts es la unión de los eventos ME (A w=40 ) la muestra de 3 focos tiene sólo focos de 40 watts, (A w=0 ) la muestra de tres focos tiene sólo focos de 0 watts y (A w=75 ) la muestra de 3 focos tiene sólo focos de 75 watts. De manera análoga al inciso anterior Así P (A w=40 ) = C 4,3 C 15,3 = = P (A w=0 ) = C 5,3 C 15,3 = = P (A w=75 ) = (inciso (a)) P (A m ) = P (A w=40 )+P (A w=0 )+P (A w=75 ) = c) Cuál es la probabilidad de que se seleccione un foco de cada tipo? Primero contemos cuántas muestras hay con un foco de cada tipo. Tales muestras se pueden construir eligiendo primero un foco de 40 watts; luego un foco de 0 watts; y por último 1 de 75 watts. Siendo independientes tales elecciones entre sí podemos aplicar la regla del producto: N d = C 4,1 C 5,1 C,1 = (4)(5)() = 120 7

8 Por tanto, suponiendo que cada selección de muestra de tres focos es igualmente probable, la probablidad de que en una muestra de 3 focos exista uno de cada watt es: r = N d N = = d) Suponga ahora que los focos tienen que ser seleccionados uno por uno hasta encontrar uno de 75 W. Cuál es la probabilidad de que sea necesario examinar por lo menos seis focos? Debemos pensar primeramente en el total de formas en las que sólo el último debe ser de 75 watts. Las muestras ordenadas de i fotos podrían ser desde 1 foco hasta a lo más 10 focos, pues sólo hay 9 focos que no son de 75 watts. Las cadenas estarán consituidas de i 1 focos que no son de 75 watts y el foco i de 75 watts. El total de muestras de i focos es N i = C 9,i 1 C,1 Así el total de muestras desde la longitud 1 hasta la longitud 10 es: N = 10 i=1 N i = = 3072 Ahora las que deseamos contar son las que tienen logitud ó más. N i = 10 i= N i = = 153 Por tanto, suponiendo que las muestras sean igualmente probables, la probabilidad de examinar al menos focos donde sólo el último es de 75 watts es: p = N i N = = 0.5 8