MATEMÁTICAS 2º E.S.O. TEMA 3 PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES.

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1 MATEMÁTICAS 2º E.S.O. TEMA 3 PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES. 3.1 Relación de proporcionalidad entre magnitudes. 3.2 Proporcionalidad directa. 3.3 Proporcionalidad inversa. 3.4 Proporcionalidad compuesta. 3.5 Porcentajes. 3.6 Aumentos y disminuciones porcentuales. 3.7 Interés bancario. 1

2 1. a) Cuándo se dice que entre dos magnitudes hay una relación de proporcionalidad directa? b) Cuándo se dice que entre dos magnitudes hay una relación de proporcionalidad inversa? 2. Indica cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales (D), cuáles son proporcionales (I) y cuáles no son proporcionales (NP). a) Número de ovejas en un corral y días que les dura el pienso. b) Kilos de carne que compro y euros que pago. c) Velocidad que lleva un coche y distancia que recorre en una hora. d) Tiempo que dedico a estudiar y nota que saco en un examen. e) Número de tiros a una portería y goles que consigo. f) Euros que me gasto en gasolina y distancia que recorro. g) Número de grifos que llenan una piscina y tiempo que tarda en llenarse. h) El peso de naranjas y su precio. i) El número de hojas de un libro y su precio. j) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en hacer un recorrido. k) El número de grifos que se abren y el tiempo que tarda en llenarse una piscina. l) La edad de una persona y su altura. m) En número de operarios y el tiempo que se tarda en hacer una obra. n) El número de personas que van en autobús y el dinero que ganan. o) El número de páginas de un libro y su precio. p) El tiempo que se coloca una garrafa en la fuente y la cantidad de agua que se recoge. q) El número de personas que se reparten una pizza y el tamaño de la porción que corresponde a cada uno. r) Cantidad de aprobados y cantidad de suspensos en una evaluación. s) La cantidad de pienso que gasta un ganadero y la cantidad de vacas que tiene. t) Número de personas que participan en la compra de un regalo y el dinero que aporta cada uno. u) Edad de una persona y su peso. v) Lado de un cuadrado y su área. 3. a) Sabiendo que entre las magnitudes A y B hay una relación de proporcionalidad directa, completa la siguiente tabla: A B b) Sabiendo que entre las magnitudes X y Y hay una relación de proporcionalidad directa, completa la siguiente tabla: X Y 5 2

3 c) Sabiendo que entre las magnitudes A y B hay una relación de proporcionalidad inversa, completa la siguiente tabla: A B 10 2 d) Sabiendo que entre las magnitudes M y N hay una relación de proporcionalidad inversa, completa la siguiente tabla: M N A) Cuando entre dos magnitudes hay una relación de proporcionalidad directa, a qué se llama constante de proporcionalidad? b) Halla la constante de proporcionalidad de las apartados a) y b) del ejercicio anterior. c) Relacionamos el tiempo de aparcamiento de un coche con el dinero que ha de pagar por ello en un parking. Hay relación entre las magnitudes?. Si por 4 horas he pagado 5, cuál será la constante de proporcionalidad? 5. En las sigientes tablas indica si hay proporcionalidad directa, inversa o si no hay proporcionalidad. A A B B A A B B Por dejar el coche en un parking durante 4 horas pagué 5. Cuánto hubiera pagado por 7 horas? 7. Un grifo arroja 12 litros de agua en 3 minutos. cuántos litros arroja en 15 minutos? 8. Cuánto pagaré por 300 gramos de un producto que cuesta a 16 /kg? 9. Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora, cuánto tardará en llenar 1000 botellas? 10. Tres operarios hacen un trabajo en 14 horas. Cuántas horas tardarán en hacer el mismo trabajo 7 operarios? 11. Un ciclista tada 30 minutos en hacer un trayecto si va a 20 km/h. Cuánto tardaría en recorrer el mismo trayecto si fuera a 50 km/h? 12. Saúl tiene alfalfa para alimentar a sus 30 vacas durante 10 días. Si tuviera 50 vacas cuántos días las podría alimentar? 13. Una cuadrilla, trabajando 8 horas diarias, hacen un trabajo en 15 días. Cuánto habían tardado si hubieran trabajado 10 horas cada día? 14. Por 15 cajas de aceite pagué 720. Cuánto pagaré por otras 12 cajas? 3

4 15. Una piscina tiene tres desagües iguales. Si se abren dos de ellos la piscina se vacía en 45 minutos. En cuánto tiempo se vaciará con los desagües abiertos? 16. Un ciclista ha recorrido 6,3 km en 18 minutos. Expresa su velocidad en km/h. 17. Dos ciudades que distan entre sí 350 km están separadas en un mapa 5 cm. Cuál será la distancia real entre otras dos ciudades que el mapa está separadas 13 cm? 18. Si un ciclista recorrió 25 en una hora y cuarto y mantiene la velocidad constante, cuánto tardará en recorrrer 64 km? 19. Un grifo que tiene un caudal de 3,5 litros por minuto llena un depósito en un hora y media. Cuánto tardaría si el caudal fuera de 4,5 litros por minuto? 20. Óscar terminó un libro en 8 días leyendo 100 páginas diarias. Si hubiera leído 80 páginas cada día, cuánto habría tardado? 21. Un granjero tiene comida paralimentar a sus 24 cerdos durante 30 días. Si vende 4 de ellos, cuánto tiempo podrá alimentar a los que le quedan? 22. Ocho amigos queréis hacerle un regalo a vuestro profesor de Historia y para ello ponéis 12 cda uno. A última hora dos no quieren participar en el regalo. Cuánto dinero os tocará poner a cada uno de vosotros? 23. Cuatro máquinas iguales producen 360 piezas diarias. Si ayer fabricaron 1080 piezas, cuántas máquinas estuvieron trabajando? 24. Para recorrer 3,2 metros María da 4 pasos. Para recorrer 1600 metros cuántos pasos dará? 25. Si el coche de Ernesto consume 7,2 litros de gasolina cada 100 km. Cuánto consumirá en un viaje de 250 km? Cuántos km puede recorrer con 50,4 litros de combustible? 26. Para pintar el instituto se contrata a 10 pintores que harán el trabajo en 16 días. Cuánto tardarían si fueran dos pintores menos? 27. Para llenar un estanque un grigo que vierte 5 litors cada minuto tarda 10 horas. cuánto tardaría si el caudal fuera de 2 litros por minuto? 28. Si por 3 kg de peras he pagado 4,50 Cuánto me costarán 7 kg? 29. Cuatro obreros tardan 12 días en hacer un trabajo. Cuánto tardarán 3 obreros en hacer ese mismo trabajo? 30. Siete máquinas tardan 28 horas en realizar un trabajo. Si se quisiera terminar ese trabajo en 14 horas, cuántas máquinas serían necesarias? 31. En un congreso la proporción de europeos respecto de los americanos es de tres octavos. Cuántos europeos hay si son 25 más que los americanos? 32. Si a 20 km/h tardo media hora en hacer un recorrido, a qué velocidad he de ir para tardar solo 25 minutos? 33. Entarimar una casa de 75 m² cuesta Cuánto costaría si la casa tuviera 60 m² más? 4

5 34. En un reloj antiguo un engramaje tiene dos ruedas de 18 y 12 dientes respectivamente. Calcula cuántas vueltas da la rueda pequeña cuando la grande da 6 vueltas. 35. Dos ruedas de 1,5 m y 2,4 m de diámetro se mueven por una polea. Si la rueda más pequeña da 20 vueltas, cuántas dará la grande? 36. El engranaje de un reloj tiene dos ruedas de 24 y 9 dientes, respectivamente. Mientra que la primera de 3 vueltas, cuántas dará la segunda? 37. Para ir desde una ciudad a otra un hombre tarda 50 minutos si circula a 100 Km/h. Cuánto tiempo tardaría si su coche sólo fuese a 80 Km/h? 38. Una manada de 10 vacas tarda 24 días en comer la hierba de un prado. En cuánto tiempo la habrían comido 15 vacas? 39. Un grifo vierte 15 litros por minuto y tarda en llenar un depósito 20 minutos. Si Laura abre otro grifo con un caudal de 20 litros por minuto, cuánto tardará este último grifo? 40. La piscina de mi barrio se llena en 4 horas con un grifo que mana 30 litros por minuto. Cuánto tiempo tardará en llenarse este año si han instalado otros tres grifos iguales? 41. Un camión ha recorrido 12,4 km en 8 minutos. Cuál es su velocidad en kilómetros horas? 42. Un grifo arroja un caudal de 8 litros por minuto y tarda 35 minutos en llenar un depósito. Si se abre otro grifo que aporta 6 litros por minuto Cuánto tardarían en llenar el depósito entre los dos? Resuelve los sigientes problemas de proporcionalidad compuesta: 43. Un granjero ha necesitado 294 kg de pienso para alimentar a 15 vacas durante una semana. Cuántos kilos necesitará para alimentar 10 vacas durante 30 días? 44. Una cuadrilla de albañiles, trabajando 8 horas diarias, construye 400 m² de pared en 15 días. Cuánto tardará la misma cuadrilla en construir 600 m² si deciden trabajar 10 horas cada día? 45. Cincuenta garrafas de aceite, de 5 litros cada una, cuestan 900. Cuánto costarán 35 garrafas del mismo aceite, de 3 litros cada una? 46. Una excavadora, trabajando 10 h/día, abre una zanja de 1000 metros en 8 días. Si trabajase 12 horas diarias, Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 m? 47. En una ciudad se han contratado a 5 pintores para decorar un muro de 30 m² de superficie en 3 horas. En el siguiente encargo tienen que pintar otro muro de 72 m² y cuentan con un pintor más en la cuadrilla. Cuánto tardarán? 48. Juan está preparando las vacaciones con 5 amigos y reserva una estancia de 7 días por Al final solo van cuatro amigos, pero deciden ampliar su estancia a 10 días. Cuánto les costará el alojamiento? 5

6 49. Un cartero publicitario, trabajando 5 horas diarias, ha repartido folletos de propaganda en 3 días. En un nuevo encargo se ha comprometido a repartir folletos en 4 días. Cuántas horas diarias deberá trabajar? 50. Un camión, haciendo dos viajes diarios durante 6 días, ha distribuido botes de refresco. Cuántos botes repartirá en 5 días haciendo 3 viajes? 51. Un criador de caballos ha necesitado 200 alpacas de heno para alimentar a 80 caballos durante 25 días. Para cuantos días le queda heno, si vende 15 caballos y le quedan 390 alpacas en el almacén? 52. Para el desmonte de una ladera en la construcción de una autopista se han empleado 4 camiones de 10 toneladas de carga durante 15 días. Cuánto hubieran tardado 8 camiones de 6 toneladas de carga? 53. Cuatro grifos llenan un depósito de litros de capacidad en 10 horas. Cuánto tiempo tardarán 10 grifos del mismo tipo que los anteriores en llenar un depósito de litros de capacidad? 54. Una familia de 4 personas puede mantenerse durante 8 meses con Cuántas personas podrán mantenerse durante 16 meses con con el mismo gasto diario? 55. En un laboratorio 60 operarios frabricaban 8000 metros de película en 4 horas. Si se hubieran contratado 2 operarios más, cuántos metros de película habrían fabricado en 9 horas? 56. Treinta electricistas en 12 días, trabajando 10 horas diarias, colocan 6 km de tendido. Cuántos días necesitarán 25 electricistas para colocar 15 km de tendido, trabajando 8 horas diarias? 57. Cuatrocientos tripulantes tienen provisiones para 63 días si toman una ración diaria de 1960 gramos. Si la tripulación aumenta en 140 tripulantes, qué ración corresponderá a cada uno para que las provisiones durasen 80 días? 58. Tres obreros, trabajando 8 horas diarias, hacen un trabajo en 15 días. Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros en jornadas de 9 horas? 59. Una máquina, trabajando 8 horas diarias tarda 3 días en fabricar 6000 botellas. Si trabajara 10 horas diarias, cuánto tardaría en fabricar 5000 botellas? 60. Cinco fotocopiadoras tardan 6 minutos en hacer 600 fotocopias. Si ponemos en funcionamiento 7 fotocopiadoras y queremos hacer 1400 copias, cuánto tardarán? 61. Dos máquinas funcionando 6 horas diarias consumen 1500 kwh en un día. Cuánto consumirán 3 máquinas funcionando 8 horas diarias? 62. Cuatro mineros abren una galería de 15 metros de longitud en 9 días. Cuántos metros de galería abrirán 6 mineros en 15 días? 63. Seis fontaneros, trabajando 8h diarias durante un mes, han cobrado por una reparación de red municipal Cuánto cobrarían 10 obreros trabajando 10h diarias durante 7 días? 6

7 64. Quince arquitectos trabajando 8h diarias realizan un proyecto en 20 días Cuántos días tardarán 10 de ellos dedicando 6h diarias? 65. En una tintorería trabajan 6 operarios 7h diarias y en 15 días han teñido 450 trajes. Cuántos trajes habrán teñido en los 8 días siguientes si había 14 operarios y han trabajado 9h diarias? 66. Una cuadrilla de 10 leñadores, en 6 días, trabajando 7h al día, talan un bosque de 8ha Cuántas horas diarias tendrá que trabajar un grupo de 12 para talar en 10 días una superficie de 6ha? 67. En un oasis hay agua para abastecer a 4 caravanas de comerciantes durante 45 días, con un consumo medio de 2700 litros diarios. Cuánto consumirán 15 caravanas durante sólo 20 días? 68. Un ganadero necesita 9720kg de alfalfa para alimentar 18 yeguas durante 4 semanas Cuánto tiempo podrá alimentarlas si dispone de la mitad de kg y doble número de yeguas? 69. Un carpintero tarda 18 días en realizar 3 armarios trabajando 6h al día. Cuántos días necesitará para construir 5 armarios, empleando 3h al día? 70. Una empresa de pintura para señalizar una carretera de 750m contrata 25 operarios que trabajan durante 9 h Cuántas personas más necesitarán para pintar 1 km trabajando 6h diarias? 71. Con el detergente de 35 bidones iguales se llenan 630 botes de 125cl Cuántos envases de 75cl se necesitarán para envasar el contenido de 69 bidones? 72. Para alimentar 8 cerdos durante 15 días se precisan 140 kg de pienso. Cuántos kilos se necesitarán para mantener a 24 cerdos durante 60 días? 73. Cómo se calcula un tanto por ciento de una determinada cantidad? 74. Calcula: a) El 20% de 65 f) El 12% de 750 b) El 40% de 75 g) El 85% de 360 c) El 9% de 300 h) El 14% de 650 d) El 7% de 46 i) El 35% de 240 e) El 5% de 420 j) El 25% de Cómo se hace el cálculo rápido del 50%, 25%, 10% y 20%? 76. Calcula: a) El 50% de 250 f) El 25% de 500 b) El 10% de 75 g) El 10% de 360 c) El 25% de 24 h) El 75% de 50 d) El 75% de 80 i) El 20% de 250 e) El 50% de 420 j) El 25% de

8 77. Para calcular un tanto por ciento de una cantidad se multiplica la cantidad por el tanto y se divide el resultado entre cien. Cómo se puede hallar multiplicando por un número decimal? Pon ejemplos. 78. Aplica el ejercicio anterior para calcular: a) El 30% de 250 f) El 25% de 500 b) El 14% de 650 g) El 16% de 360 c) El 50% de 24 h) El 7% de 5000 d) El 85% de 200 i) El 12% de 750 e) El 6% de 420 j) El 5% de La biblioteca del IES tiene 260 nuevos libros de los que el 25% son de matemáticas. Cuántos nuevos libros de matemáticas hay? 80. De los 875 habitandes de un pueblo el 12% son estudiantes. Cuántos estudiantes hay en el pueblo? 81. De los 30 alumnos de 2º de bachillerato han aprobado el examen de matemáticas el 90%. Cuántos han suspendido? 82. De un viaje de 180 km ya se ha recorrido el 35%. Cuántos km faltan para llegar al destino? 83. De los 180 km del viaje anterior completé 126 km antes de hacer una parada. Qué porcentaje del viaje ya tenía recorrido? 84. El F.C. 2ºESO esta temporada ha marcado 216 goles, lo que supone un 20% más que en la anterior. Cuántos goles marcó la temporada pasada? 85. Si este año he entrenado 180 días y el próximo pienso hacerlo 216 días. En qué porcentaje he aumentado los días de entrenamiento? 86. Juanito ha comprado por 527 una bici que está rebajada un 15%. Cuánto costaba antes? 87. Luego Juanito vió en otra tienda que una bici que costaba 620 la vendían por 434. Qué porcentaje de descuento se hace? 88. Si de los 200 que Juanito tenía ahorrados después de comprarse la bici, se gasta 50 en comprarse un casco. Qué tanto por ciento de sus ahorros le queda? 89. De los 24 alumnos de 1ºA, 21 están en clase. Qué porcentaje falta? 90. Hay han faltado a clase 6 alumnos, lo que supone un 20% del total. Cuántos alumnos hay en clase? 91. Un jugador de baloncesto ha efectuado 25 lanzamientos y ha conseguido 16 canastas. Cuál es su porcentaje de aciertos? 92. La barra de pan ha subido un 10% y ahora cuesta 0,55. Cuánto costaba antes de la subida? 93. El equipo A ha perdido 18 de los 45 partidos que ha jugado, y el equipo B ha ganado 20 de los 49 partidos disputados. Cuál de los dos equipos tiene mayor porcentaje de triunfos? 8

9 94. Sonia compra un libro de 20. Le descuentan un 2% y luego le añaden un 4% de IVA. Cuánto paga por el libro? 95. Un artículo cuesta 500. Primero rebajaron su precio un 10% y más tarde otro 10%. La rebaja es mayor o menor de un 20%. Razona la respuesta. 96. A un individuo que cobraba 1200 le subieron el sueldo un 2% el año pasado y este año un 1%. Cuánto cobra ahora? 97. Por un CD de 12 el vendedor me hace un descuento de 15% por ser de mi pueblo, pero luego me añade el 21% de IVA. Cuánto pago por el disco? 98. El valor de una acción es de 150. El lunes sube un 3%, el martes baja un 7% y el miércoles sube un 10%. Con qué valor comienza el jueves? 99. La población de una villa disminuye un 40% después del verano. Sabiendo que en septiembre quedaron 3600 habitantes, Cuántos había en el verano? 100. El precio final de un electrodoméstico incluido el 21% de IVA es de 605. Cuánto costaría sin IVA? 101. Otro electrodoméstico costaba 428. En las primeras rebajas se le hizo un descuento del 20%, y en las segundas rebajas un descuento de 25% sobre el precio rebajado. Cuánto cuesta ahora? 102. El precio de un móvil era de 240. A Juanito le han hecho una rebaja de 21%, pero después le han cargado el 21% de IVA sobre el precio rebajado. Cuánto ha pagado finalmente por el móvil? 103. Al subir un 20% el precio de una gafas es de 86,40. Cuánto valían antes de la subida? 104. Iván sacó un 8 en un examen. Como siempre hace los deberes (al menos los trae copiados a clase) le subí un 10 % la nota, pero luego le bajé un 10% por ser un chapuzas. Cuál fue la nota final de Iván? 105. Cuál es la fórmula que nos da el beneficio producido por un capital, C, colocado al r% anual durante t años? 106. Un banco ofrece un beneficio anual del 4%: Qué beneficio obtendremos si depositamos 750 durante 3 años? 107. Un banco ofrece un beneficio del 5% anual. Qué beneficio producen 600 en 4 años? 108. Calcula el interés producido por 8000 colocados al 5% durante 3 años Qué interés debo pagar por un préstamo de 5000 al 6% durante 3 años? 110. Si Virginia invierte a un 3% durante 3 años. Qué interés obtiene? 111. Qué cantidad puede retirar Rebeca de un banco transcurrido un año desde que ingresó un capital de 5200 al 10%? 9