HOJA 4. Proporcionalidad numérica

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1 HOJA 4 Proporcionalidad numérica Magnitudes proporcionales 1) El agua de un depósito se extrae en 200 veces con un bidón de 15 litros. En cuántas veces se extraerá con un bidón de 25 litros? 2) Las ruedas traseras y delanteras de un coche tienen una circunferencia de 1,3 metros y 1 metro, respectivamente. Cuando las primeras han dado 370 vueltas, cuántas han dado las segundas? 3) Cada página de un libro tiene 32 líneas. El libro tiene 70 páginas. Cuántas páginas ocuparía el mismo libro si en cada página se colocaran 35 líneas? 4) Hemos pasado en coche ante el km. 100 a las 11 horas 25 minutos y ante el km. 200 a las 12 horas 10 minutos. A qué hora llegaremos al km. 275? 5) Un grupo de estudiantes contrata un autocar a un precio fijo. En principio se apuntan 42 estudiantes y calculan que cada uno deberá pagar 6,10 euros. Finalmente sólo van 35 personas. Cuánto deberá pagar cada uno? 6) Llenamos un camión con sacos de 4 kg de patatas cada uno y otro camión de igual capacidad se llena con sacos de 5 kg. Cuántos sacos cabrán en el segundo camión? 7) Una tela metálica, que pesa 45 kg, tiene 36 metros de larga por 1,20 metros de ancha. Cuál sería su longitud si su anchura fuera de 0,90 metros sin variar el peso? 8) Jorge tarda 25 minutos de casa al colegio, dando 100 pasos por minuto. Un día se retrasa al salir y tiene que llegar al colegio en 20 minutos. Cuántos pasos deberá dar por minuto? 9) Hemos comprado un saco de melones al precio de 11 cada 5 melones, y los hemos vendido todos en bolsas de 4 melones, a 13 la bolsa, obteniendo un beneficio total de 42. Cuántos melones compramos? 10) En un vaso echamos 5 medidas de zumo y añadimos 2 medidas de azúcar. En un segundo vaso echamos 12 medidas de zumo y añadimos 4 medidas de azúcar. Qué vaso contiene el zumo más dulce? Cuántas medidas de azúcar hay que añadir en un vaso que tiene 15 medidas de zumo, para que sea igual de dulce que el primer vaso? 11) Andando a razón de 8 km. en una hora, das una vuelta a Sevilla en 70 minutos, Cuánto tardarás si vas a 9 km por hora? 12) Un depósito tiene 5 conductos iguales de desagüe. Con tres de ellos abiertos el depósito se vacía en 5 horas y 20 min. En cuánto tiempo se vaciará abriendo los 5 desagües? 44

2 13) En los paseos que Manolito y su padre dan juntos, comprueban que por cada 12 pasos del padre, Manolito tiene que dar 15 de sus pasos. Cuántos pasos tuvo que dar Manolito en un paseo en el que su padre da 1800 pasos? 14) Un grifo arroja 1/3 de litro por segundo. Cuánto tarda en llenar un depósito de 320 litros? Si se abre además otro grifo que arroja 0,20 l. por segundo cuánto tardará en llenarse el depósito? 15) En 12 litros de un buen vino se han echado 5 l. de otro vino menos bueno. Si luego llenamos con esa mezcla una botella de ¾ de litro, qué cantidad de cada tipo de vino hay en esa botella? 16) Son directamente proporcionales los radios de dos círculos y sus correspondientes áreas? Si un círculo tiene 20 cm 2 de área qué área tendrá otro círculo cuyo radio mide el doble que el del primero? 17) Una piscina se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto. a) Cuántas horas tardará si el grifo arroja 90 litros por minuto? b) cuántos litros tienen que salir por minuto para que tarde 36 horas en llenar la piscina? 18) Un barco lleva víveres para alimentar durante 45 días a su tripulación formada por 60 hombres. Si acogen a 30 hombres más de un barco averiado cuántos días durarán los víveres? 19) Antiguamente un tendero empleaba una balanza de brazos desiguales que medían 22 cm y 20 cm. Un cliente compró 4 kg. de café poniendo el tendero las pesas sobre el brazo menor. El cliente, descontento, compró al día siguiente otros 4 kg. pero obligando al tendero a poner las pesas en el otro brazo. Cuántos kg. de café realmente se habrá llevado? Porcentajes 20) Luis hace limonada con 12 litros de agua el porcentaje de zumo que hay en la limonada? y 8 litros de zumo de limón. Cuál es 21) En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, quedando 164. Cuántos han muerto? 22) Un banco prestó a otro euros al 18 % mensual. La cantidad devuelta ha sido de euros Cuánto tiempo ha tardado el segundo banco en devolver el préstamo? 23) Una impresora cuesta 215 euros sin IVA y 249,40 euros con IVA. Qué porcentaje de IVA presenta? 24) En la última subida de precios del autobús el billete sencillo ha pasado de 1,10 euros a 1,16 euros y el bonobus de diez viajes ha pasado de 4,70 euros a 4,91 euros. Qué tanto por ciento de subida han sufrido el billete sencillo y el bonobus? 45

3 25) Si depositamos 300 euros en una cuenta y el banco nos ofrece un 2,5 % anual sobre la cantidad que hay al principio de cada año, qué ganancia obtendremos al cabo de un año? y después de 4 años? 26) Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros. Cuánto costaba antes de la subida? 27) Un póster costaba 4,80 euros. Tras una subida, este precio es el 80 % del precio final. Cuál es el precio final del póster? 28) Un burro atado a un árbol puede comer 35 m 2 de hierba. Cuánta podrá comer si se incrementa en un 20 % la longitud de la cuerda? 29) Una mercancía se encareció un 10 % y luego se abarató también un 10 % Cuándo vale menos: antes o después de todo el proceso? 30) Un comerciante hace a un cliente el 8 % de descuento. Si compra un artículo de 90 de coste inicial y tiene que abonar un 6 % de IVA ; Qué es más beneficioso, aplicar primero el descuento y después el IVA, o al contrario? 31) Por una prenda de vestir que estaba rebajada un 15%, hemos pagado 21,845. Cuál era su precio inicial? 32) Al comprar una lavadora nos han hecho un 15 % de descuento y como resultado, hemos pagado 357. Cuál era el precio inicial sin descuento, de dicha lavadora? 33) Cuál era el precio inicial, sin IVA, de un artículo por el que hemos abonado la cantidad de 205. Incluido ya el 16 % de IVA? 34) Una persona sigue un régimen de adelgazamiento, que le asegura, que durante unos meses, perderá cada semana el 4 % de lo que pesaba al principio de dicha semana. Cuánto pesaba al comenzar el régimen, si al cabo de 4 semanas pesa 81 kilos? Cuánto adelgazará en 6 semanas, otra persona que inicialmente pesaba 68 kg? 35) Un comerciante compra unos televisores a 120 cada uno. Si vende 5 de ellos por un total de 700, Qué porcentaje de ganancia ha obtenido en ésta venta? 36) Una sandía que pesa 10 kg., tiene un 99 % de contenido en peso de agua. Estando al sol se evapora parte de éste agua, de forma que a los dos días, el contenido de agua es del 98 %. Cuánto pesa ahora la sandía? 46

4 37) Un comerciante compró 228 l. de vino a 6,5 el litro. A cómo lo tuvo que vender para ganarse un 25 % sobre el precio al que lo compró? 38) Un artículo valorado en 84 se vende en 79,3. Cuál es el porcentaje de rebaja que se ha hecho? 39) Las aceitunas de una cosecha producen un 9 % de aceite. Qué peso de aceite obtendremos de 2650 K. de aceitunas? 40) Un librero tiene marcadas sus existencias con un 28 % de ganancia sobre su coste al por mayor. Pone luego a la venta sus libros con una rebaja del 15 %. Cuánto cobra por un libro que él compró al por mayor por 12? Qué porcentaje le gana finalmente a sus libros? 41) Se compra un coche de euros pagando los 2/5 al contado y el resto con un aumento del 8 % anual en mensualidades durante dos años. Cuánto debe pagar cada mes? 42) Una persona tiene Lleva una parte de éste dinero a un banco donde le dan un interés del 4 % y el resto, a una Caja de Ahorros donde le dan un 3,5 %. A cuánto asciende cada parte sabiendo que entre las dos recibe al año 192 de intereses? 43) Un hipermercado ofrece una pizza a 2,45 euros y la segunda unidad con un descuento del 70 % sobre el precio anterior. Un cliente observa que, por descuido, han dejado una pegatina con el precio anterior de la pizza: 1,99 euros. En qué porcentaje de este último precio se ha subido el precio de una pizza? Qué ventaja económica supone en realidad adquirir dos pizzas con el nuevo precio respecto a comprarlas con el precio original? 44) Un cultivo de bacterias tiene bacterias y, por la acción de un fármaco, se produce la muerte del 16 % de la población. Tratadas las bacterias supervivientes con otro producto se aumenta la población en un 14 %. Cuántas bacterias forman la población finalmente? Podrías hacerlo hallando un solo porcentaje? 45) Durante la primera cuarta parte de la Liga, un equipo de fútbol ha ganado el 40 % de los puntos posibles. Qué porcentaje de puntos debe ganar en el resto de la Liga para que al finalizarla tenga el 70 % de los puntos posibles? 46) La producción de cebollas y zanahorias en España está en una relación de 8 a 5. Si la producción de cebollas disminuye en un 15 % y la de zanahorias aumenta en un 20 %, en qué relación queda la producción? 47) Un librero ha ganado 308 euros vendiendo 82 ejemplares de un libro, la mitad al precio marcado en el catálogo y la otra mitad con una rebaja del 10 %. El editor le da una comisión por el libro del 25 % sobre el precio final de la venta. Halla el precio marcado en el catálogo. 47

5 48) En un supermercado tienen tres marcas de tomate en bote. Los botes de azul cuestan un 50 % más que los de verde, pero contienen un 10 % menos de tomate que los de rojo. Los botes de la marca rojo pesan un 50 % más que los de la marca verde y cuestan un 25 % más que los de azul. Cuál es el bote con el precio más alto y el más bajo? Qué marca resulta más económica? Proporcionalidad compuesta 49) Un grifo abierto 9 horas diarias durante 8 días ha arrojado 5400 litros. Cuántos litros arrojará durante 18 días a 8 horas diarias? 50) Una persona leyendo 4 horas diarias, a razón de 15 páginas por hora, tarda en leer un libro 10 días. Si leyendo a razón de 10 páginas por hora tardase 20 días cuántas horas diarias leería? 51) Se ha excavado la mitad de un foso en 35 días con 120 trabajadores. Habiéndose aumentado su número en otros 30 trabajadores, en cuántos días acabarán el trabajo? 52) En una fábrica se han hecho 450 m. de un tejido en 15 días, con 40 máquinas en funcionamiento. Si queremos fabricar éste tipo de tejido con 8 máquinas trabajando 25 días, cuántos metros conseguiremos? 53) Para surtir de pan a soldados, durante 30 días, se necesitan Kg. de harina. Si queremos surtir durante 5 días menos a soldados más, cuánta harina hará falta? 54) Se necesitan 275 kg. de forraje para alimentar 3 caballos durante 10 días. Cuántos kilos se necesitarán para alimentarlos durante 12 días, si añadimos 2 caballos más a la cuadra? 55) Un viajero, andando 9 horas al día, ha tardado 10 días en recorrer 360 km. Cuántos km habrá recorrido en 25 días caminando 8 horas diarias? 56) El transporte de 4 cajas de mercancía que pesan 110 K. cada una, ha costado 90 ; si se han pagado 171 por transportar 10 cajas la misma distancia, cuál es el peso de cada una de éstas cajas? 57) Con 20 kg. de una fibra, se puede tejer una pieza de tela de 30 m. de larga y 0,75 m. de ancha. Qué longitud tendría otra pieza tejida con 30 K. de dicha fibra sino tuviese más que 0,60 m. de ancho? 58) Calcular cuántos caballos se podrán alimentar durante 10 días, en unas cuadras en las que con 6 kg. de pienso se han alimentado 12 caballos a lo largo de 4 días, si contamos en ésta ocasión con 20 kg. de pienso. 59) Tres obreros han ejecutado 720 m. de pared en 5 días trabajando 8 horas diarias. Cuántas horas diarias han de trabajar 4 obreros para ejecutar en 10 días una pared de 1320 m. 48

6 60) Cuatro obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 9 días en hacer la estructura de una nave industrial. Otra cuadrilla trabajando 6 horas diarias realiza el mismo trabajo en 12 días Cuántos obreros tiene la otra cuadrilla? 61) Un pintor pinta una tapia de 385 m 2 en 3 días trabajando 9 horas al día. Le sale una propuesta de trabajo en la que tiene que pintar 770 m 2 en 9 días Cuántas horas diarias tiene que trabajar para poder realizar el trabajo? 62) Para calentar 2 litros de agua desde 0ºC a 20ºC se han necesitado 1000 calorías. Si queremos calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC Cuántas calorías son necesarias? 63) En una mina, una cuadrilla de 4 mineros abren una galería de 60 metros de longitud en 20 días. Si otra cuadrilla tiene 16 mineros. Cuántos metros de galerías abrirán en 25 días? 64) Una piara de 45 cerdos se come, en 30 días 4000 kg de pienso. Cuántos días durarán 6400 kg. a 60 cerdos? Reparto proporcional 65) Se mezclan 20 kg. de trigo tipo A a 0,6 euros/kg. con 60 kg. de trigo tipo B a 0,8 euros/kg. Qué precio tiene la mezcla? 66) Tres amigos han ido a comprar CD s. El primero compró dos CD s, otro compró tres y el último cinco CD s. Si el lote completo vale 120 euros y todos los CD s valen lo mismo cuánto deberá pagar cada uno? 67) Una gratificación de , ha de repartirse entre 8 obreros, directamente proporcional a sus respectivos jornales. Cuánto corresponderá a cada uno, si 5 de ellos ganan 30 diarios y los demás ganan 40 diarios? 68) Un señor encarga a tres personas que le hagan un mismo tipo de trabajo cada uno en su casa. El primero tarda 3 horas, el segundo tarda 2 horas y el tercero tarda 4 horas. Si dispone en total para pagarles de 260 y quiere repartirlos inversamente proporcional a lo que tardó cada uno, Cuánto les corresponde respectivamente? 69) Los vecinos de tres edificios E1, E2 y E3 deciden construir una piscina en común. El presupuesto de la obra asciende a En el edificio E1 viven 44 vecinos, en el E2 viven 55 y en el E3 viven 51. Cuánto ha de aportar a la construcción los vecinos de cada edificio? 70) Tres socios invierten respectivamente 4000, 2500 y 3000, en un negocio. Si consiguen 2210 de beneficios, cómo deben repartírselos? 71) Un grupo de tres pintores, pintan el apartamento de un amigo en sus ratos libres. Trabajaron respectivamente 20, 24 y 16 horas y se repartieron la cantidad cobrada en partes directamente proporcionales a las horas trabajadas. Si el que cobró más recibió 352 Cuánto se pagó por todo el trabajo y cuánto recibieron los otros dos? 49

7 72) Un ayuntamiento quiere repartir entre tres de sus barrios, directamente proporcional a su número de habitantes: 2500, 3100 y 3800 respectivamente. Cuánto corresponde a cada barrio? 73) Dos ganaderos alquilan un terreno para pasto de sus dos manadas por 2100 euros. La manada del primero la componen 40 vacas y la del segundo 300 ovejas. Cuánto ha de pagar cada uno si una vaca come como 10 ovejas? 74) María, Paloma y Sara han cobrado por un trabajo 208 euros. María ha trabajado 7 horas, Paloma 5 horas y Sara 4 horas. Qué le corresponde cobrar a cada una, proporcionalmente a su trabajo? 75) Un padre deja al morir cierto capital, con la condición de que se reparta entre sus tres hijos inversamente proporcional a sus edades, que son : 7, 10 y 14 años. Sabemos que la suma de las partes del hijo mayor y del menor es Hallar lo que corresponde a cada uno y la cantidad heredada en total. 76) Dos socios ponen respectivamente y en una empresa repartiendo proporcionalmente los beneficios. Si el primero obtuvo 1250 de beneficio más que el otro, cuánto ganaron en total? 77) Un video juego otorga una puntuación en función del tiempo que se invierta en finalizarlo. Gana aquel que ha invertido menos tiempo. La suma de las puntuaciones de tres jugadores es puntos. Si el jugador A ha invertido 15 minutos en finalizar el juego, el jugador B 20 minutos y el C 45. Qué puntuaciones ha obtenido cada jugador? 78) Jaime, Laura y Matías participan en un concurso. Una de las pruebas consiste en vaciar un depósito en el menor tiempo posible, hay un premio de 1640 euros a repartir proporcionalmente entre los concursantes, por supuesto el que menos tiempo invierta realizando la prueba obtendrá una mayor parte del premio. Si Jaime realiza la prueba en 90 segundos, Laura en 50 y Matías en 75. Cuántos euros gana cada uno? 50

8 HOJA 4 SOLUCIONES 1.- El procedimiento más sencillo consistiría en comprobar cuál es la capacidad del depósito: 200 x 15 = litros, a lo que habría que dividir entre 25 litros de cada extracción posterior: 3000 : 25 = 120 extracciones. Mediante la regla de tres resultaría una inversa: 200 veces l/extracción X veces l/extracción x = 200 x 15 / 25 = 120 veces 2.- Se cuentan los metros recorridos por el coche: 1, = 481 metros, que habrá quedividir después por la circunferencia de las ruedas posteriores: 481 / 1 = 481 vueltas, resultado que se puede obtener también con la regla inversa: 1,3 metros vueltas 1 metro x vueltas x = 1, / 1 = 481 vueltas 3.- El número total de líneas del libro serán: = 2240 líneas, que en el nuevo libro ocuparían: x x = / 35 = 64 páginas 4.- Suponiendo una velocidad uniforme, los 100 km recorridos desde el 100 al 200 se han realizado en 45 minutos. Es necesario averiguar cuánto tardará en los 75 km restantes a esa velocidad: 100 km min 75 km x min x = 33,75 min = 33 min 45 sg De manera que pasará a las 12 h 10 min + 33 min 45 sg = 12 h 43 min 45 sg 5.- El coste total del autocar será de 42. 6,10 = 256,20 euros que finalmente hay que repartir entre las 35 personas que van: 256,20 : 35 = 7,32 euros 6.- La capacidad del primer camión será de = 4860 kgs, por lo que el número de sacos del segundo camión será: 4860 : 5 = 972 sacos. 7.- Suponiendo el peso constante y uniforme, sea el que sea, la superficie de la tela se obtendrá: 36. 1,20 = 43,2 m 2 de manera que si la anchura se redujese sin variar el peso, quedaría de longitud: 43,2 : 0,90 = 48 metros. 8.- El total de pasos dados por Jorge es: = 2500 pasos, pero como tiene que recorrer la misma distancia en 20 minutos: 2500 : 20 = 125 pasos/minuto. 9.- El coste por melón será de 11:5 = 2,20, mientras que la venta se realiza por 13:4 = 3,25 de manera que el beneficio por cada melón será de 3,25 2,20 = 1,05. Teniendo en cuenta que el beneficio total ha sido de 42 eso corresponde a 42 : 1,05 = 40 melones. 51

9 10.- En el primer vaso hay una razón de 5:2 = 2,5 zumo/azúcar, mientras que en el segundo obtenemos 12:4 = 3 zumo/azúcar, resultando más dulce el primero. Si ahora se dispone de 15 medidas de zumo 15/x = 2,5 x = 15 : 2,5 = 6 medidas de azúcar Vas a una velocidad de 8 km cada 60 minutos pero tardas 70 min, luego has recorrido una distancia de 8. 70/60 = 9 1/3 km. Pero si vas a 9 km cada 60 min, /3 : 9 = 62,22 min Cuantos más desagües estén abiertos, menos tarda en vaciarse el depósito, luego es un caso de prop. inversa: 3 des min 5 des ---- x min x = : 5 = 192 minutos Es un caso de prop. directa: cuantos más pasos da el padre, más da Manolito en la misma proporción, luego se mantendrá la proporción 12 / 15 = 1800 / x x = pasos Arroja 1 litro cada 3 sg de donde el depósito tardará en llenarse = 960 sg = 16 min. Con el otro grifo ambos arrojarán 1 + 0,60 = 1,60 litros cada 3 segundos, así que planteamos la regla de tres 1,60 litros sg 320 litros x sg x = : 1,60 = 600 sg = 10 minutos 15.- La razón que se mantiene en la botella es de 12/17 entre el buen vino y el vino total, de manera que 3/4. 12/17 = 9/17 = 0,53 litros de buen vino y 0,75 0,53 = 0,22 litros del vino menos bueno Sea un círculo de radio R y área A = π R 2, así como otro círculo de radio R tal que su área es A = π R 2. Se cumple que R/R = A/A? Ello garantizaría que estas magnitudes (radio y área del círculo) serían directamente proporcionales. Sustituyendo su valor habría de resultar la proporción R/R = π R 2 / π R 2 = R 2 / R 2 pero esto no tiene por qué ser cierto. Para R = 1 y R = 2, ½ no es igual a 1 2 / 2 2 = ¼. Si con un radio R se tiene un círculo de 20 cm 2 veces mayor: = 80 cm 2 de área, con un radio 2R tendremos un área cuatro 17.- En este caso no tendría sentido porque no es posible combinar estas unidades. Habría que transformar los 180 litros/min en litros/hora: = litros. Si, en cambio, se considerase una prop. inversa : a) 12 horas litros/min x horas litros/min x = / 90 = 24 horas b) 12 horas litros/min 36 horas x x = / 36 = 60 litros/min hombres días 90 hombres x x = / 90 = 30 días 52

10 19.- La ley de la balanza indica que el producto de la longitud del brazo por el peso es constante en ambos lados de la balanza. Por tanto, en la primera pesada se cumplirá = 22 x x = / 22 = 3,636 kg En la segunda pesada, sin embargo, es al contrario: = 20 x x = / 20 = 4,4 kg de donde en total el cliente, en vez de 8 kg, se ha llevado 8,036 kg 20.- Hay 8 litros de zumo en 20 litros de limonada (12 + 8), por lo que en 100 litros de limonada habrá: 8/20 = x/100 x = 40 % 21.- Si ha muerto el 18 % sobrevive el 82 % de la cantidad inicial, es decir, 164 animales. Puede calcularse esa cantidad: 82 % animales 100 % ---- x x = 205 animales para pasar a calcular el 18 % de dicha cantidad: 18/ = 36,90, aprox La cantidad de intereses mensual es 18/ = euros/mes. Los intereses abonados son de = euros, por lo que el número de días resultará de / = 3 meses 23.- La diferencia de precios es de 249, = 34,40 euros, cantidad que tenemos que averiguar qué porcentaje representa considerando la cantidad inicial (215 euros) como euros % 34,40 eur x x = 16 % ,10 euros % 4,70 euros % 0,06 euros x x = 5,45 % 0,21 euros x x = 4,46 % 25.- Año 1: 300 euros % X ,5 % x = 7,5 euros Año 2: 307,50 euros % X ,5 % x = 315,18 euros Año 3: 315,18 euros % X ,5 % x = 323,05 euros Año 4: 323,05 euros % X ,5 % x = 331,12 euros 53

11 % ,08 euros 100 % x x = 3,40 euros ,80 euros % X % x = 6 euros como precio final 28.- El área que podía comer es de π R 2 = 35 m 2 pero ahora podrá comer π (120 /100 R) 2 = (120/100) 2 π R 2 = 1, = 50,4 m Si se encarece un 10 % del precio original x, su precio será entonces del 110/100 x, es decir, 1,1 x. Si luego se abarata un 10 % quiere decir que valdrá finalmente el 90 % del precio antes de la bajada, es decir, 90/100 1,1 x = 0,9 1,1 x = 0,99 x. En otras palabras, finalmente quedará un precio que será el 99 % del inicial Resulta lo mismo puesto que el resultado será siempre / /100 euros ,845 euros % X euros % x = 25,7 euros euros % X % x = 420 euros % euros 100 % x x = 176,72 euros 34.- Al principio pesaría el 100 %. En la semana 1 perdería un 4 % de esa cantidad, luego pesaría un 96 % del peso inicial. Luego perdería un 4 % del peso anterior, quedando en 96/ /100, por lo que en la cuarta semana sería 96 4 / = 0,85 del peso inicial P. Así, 0,85 P = 81 kg de donde P = 81 : 0,85 = 95,3 kg. En 6 semanas habrá quedado en 96 6 / será de 68. 0,78 = 53,04 kg. = 0,78 del peso inicial, luego el peso final resultante 35.- Los cinco televisores le costaron 5 x 120 = 600 euros, pero los vende en total por 100 euros más, de donde 600 euros % 100 euros x x = 16,66 % de ganancia 36.- La sandía de 10 kg estará formada por un 1 % de materia (0,1 kg) y 99 % de agua (9,9 kg). Si ha perdido un 1 % de agua, se entiende que ha perdido 1/100. 9,9 = 0,099 kg = 99 gr, de modo que ahora la sandía pesa 10 0,099 = 9,901 kg. 54

12 37.- Independientemente del número de litros, si ha pagado 6,5 euros/litro y quiere ganar un 25 % tendrá que aumentar 6,5. 25/100 = 1,625 euros dejándolo en 6,5 + 1,625 = 8,125 euros/litro de manera que los 228 litros los vendería a ,125 = 1852,5 euros euros % 79,3 euros --- x x = 94,4 % así que la rebaja ha sido de 5,6 % /100 = 238,5 kg de aceite 40.- Si el coste original es C y gana un 28 % el precio resultaría C. 128/100 pero como luego impone una rebaja del 15 % el precio final sería C. 128/ /100 = C. 1,088 de modo que si el coste inicial era de 12 euros, ahora será 12. 1,088 = 13,9056 euros, es decir, un 8,8 % más que el coste inicial al por mayor La cantidad que se debe tras la entrada será de 3/ = 9360 euros. El incremento anual será de 8/ = 748,8 euros que en dos años supone una cantidad de intereses de 748,8. 2 = 1497,6 euros. En total ha de pagar ,6 = 10857,6 que, dividido entre los 24 meses, 10857,6 : 24 = 452,4 euros/mes 42.- Al banco llevará P que le producirán P. 4/100, mientras que a la Caja llevará 5200 P que le producirán (5200 P). 3,5/100. En total 4/100 P + 3,5/100 (5200 P) = 192 P = euros 43.- Si se ha pasado de 1,99 euros a 2,45 el incremento ha sido de 0,46 euros, que suponen 1, % 0,46.. x x = 23,1 % de subida Si se hubieran comprado dos pizzas originales hubieran costado 2 x 1,99 = 3,98 euros. Con la nueva oferta la primera pizza se compra a 2,45 euros y la segunda a: 2,45. 30/100 = 0,73 euros. En total, 2,45 + 0,73 = 3,18 euros El descuento real supone, entonces, pasar de 3,98 a 3,18, es decir, ahorrar 0,80 euros, lo que significa: 3, % 0,80.. x x = 20,1 % de ahorro o bien, comprar la primera a 1,99 euros y la segunda por 1,19 euros, es decir, que la diferencia supone 1, % 1,19... x x = 59,7 % de modo que la oferta se traduce en realidad en: Compre la primera a 1,99 euros y la segunda con un 40,3 % de descuento. 55

13 bacterias % x % x = bacterias sobreviven bacterias % x % x = bacterias finales / /100 = /10000 = Si el máximo de puntos a ganar es x, en la primera cuarta parte de la Liga podría ganar x/4 como máximo. En ese intervalo, los puntos ganados realmente han sido 40/100. x/4 = 0,1 x. Se pretende alcanzar el 70 % de los puntos posibles en la Liga, o sea 70/100 x = 0,7 x luego en las ¾ de la Liga que queda debe obtener 0,7 x 0,1 x = 0,6 x, así que el porcentaje será, sobre ¾ x posibles: ¾ x % 0,6 x ?? = 80 % 46.- Si es C la producción de cebollas y Z la de zanahorias, se afirma que C/Z = 8/5. Lo que se plantea entonces con las variaciones es qué relación resulta de 85 C/100 : 120 Z/100 = 85 C / 120 Z = 85/120. 8/5 = 17/ Sea x el precio marcado en el catálogo. Ha vendido 41 ejemplares a ese precio, obteniendo 41 x euros. Luego ha vendido los 41 restantes a un precio rebajado del 10 %, luego será 41 x 90/100 = 36,90 x de manera que en total ha obtenido: 77,90 x. Ahora bien, el librero se lleva el 25 % de esta cantidad, luego: 25/ ,90 x = 19,25 x = 308 euros, de donde x = 16 euros Escribiendo P el precio y C el contenido de las marcas a (azul), v (verde) y r (rojo), los datos del problema son: 1) Pa = 150 % de Pv, 2) Ca = 90 % de Cr, 3) Cr = 150 % Cv y 4) Pr = 125 % Pa Combinando 1) y 4) Pr = 125/ /100 Pv = 1,25. 1,5 Pv = 1,875 Pv Considerando 3) Cr = 1,5 Cv resulta que el Rojo tiene el 50 % más de contenido que el verde pero cuesta el 87,5 % más, de manera que resulta más económico el verde que el rojo. Por otro lado, por 2) y estos últimos datos Ca = 90/100 Cr = 90/ /100 Cv = 0,9. 1,5 Cv = 1,35 Cv Teniendo en cuenta 1), será Pa = 1,5 Pv de manera que el azul tiene un 35 % más de contenido que el verde pero cuesta un 50 % más, luego el verde resultará más económico que el azul. 56

14 La marca más económica, por tanto, es el verde. Además, tomando como referencia el precio del verde, el azul es el 50 % más caro pero el rojo es el 87,5 % más caro, luego el rojo es la marca más cara Este problema puede reducirse a uno de proporcionalidad directa sin más que traducir a horas totales las cantidades que se dan. Así, 9. 8 = 72 serán las horas que permiten arrojar 5400 litros. 72 horas litros 144 horas x x = litros Donde 5400/72 = 75 tienen el sentido de litros/hora Este problema, en su traducción a uno simple de proporcionalidad inversa, presenta más dificultad. Así, lo lógico desde el punto de vista dimensional, es considerar el número de páginas al día que se leen: = 60 páginas/día estableciendo su relación con una tardanza de 10 días. Pero al ser la incógnita el número de horas diaria, el planteamiento debe ser distinto del anterior: 60 páginas/día días 10 x pg/día días 10 x = / 20 = 30 páginas/día x = 3 páginas/hora trabajadores días 150 trabajadores x días x = / 150 = 28 días m días máquinas X días máquinas Si 40 máquinas han trabajado 15 días, es como si = 600 máquinas trabajaran un día. Del mismo modo, = 200 máquinas trabajaran un día. Dado que la relación de metros producidos respecto de número de máquinas es directa, al utilizar la tercera parte de las máquinas, se producirá la tercera parte del tejido: 450 : 3 = 150 metros soldados. 30 días = raciones en total, para las cuales se emplean kg de harina. Ahora las raciones que se necesitan son días = raciones, y su harina x = / = kg de harina caballos. 10 días = 30 raciones, para lo que se emplean 275 kg de forraje. Pero ahora hacen falta = 60 raciones, el doble, luego harán falta 550 kg de forraje h/día. 10 días = 90 horas ha caminado para recorrer 360 km. Pero como ahora cambian las condiciones: 8 h/día. 25 días = 200 horas caminando, entonces el camino que ha recorrido será x = 200/ = 800 km. 57

15 56.- Se puede considerar el número total de kg transportados: en el primer caso habrán sido los siguientes: 4 cajas. 110 kg/caja = 440 kg, por lo que se pagan 90 euros. En el segundo caso, se transportan 10 x kg pagándose 171 euros. Como es una proporcionalidad directa resultará que 440 / 10 x = 90/171 x = 83,6 kg/caja La primera pieza tiene una extensión de 30. 0,75 = 22,5 m 2 para lo cual hacen falta 20 kg de fibra. En el segundo caso, la extensión de 0,60 x m 2 necesita 30 kg. Este caso de proporcionalidad directa da: 22,5 / 0,60 x = 20/30 x = 56,25 m caballos. 4 días = 48 raciones en las que se emplean 6 kg de pienso. Pero ahora se necesitan 10 x raciones para lo que se dispone de 20 kg de pienso. Será entonces, por proporcionalidad directa: 48/10 x = 6/20 x = 16 caballos obreros m días h/día 4 obreros m días x Podemos simplificar reduciendo las dos últimas magnitudes a horas de trabajo por obrero: 3 obreros m horas/obrero 4 obreros m x horas/obrero Multiplicando los obreros por el número de horas tendremos el número total de horas empleado para hacer ese trabajo: 720 m horas 1320 m x horas Que es una relación directa: 720/1320 = 120/40 x x = 5,5 horas/día 60.- Si reducimos al total de horas tendremos que 4 obreros emplean 10 h/día. 9 días = 90 h mientras que ahora se emplean 6 h/día. 12 días = 72 horas. Pero ahora la relación es inversa, porque para terminar la nave industrial, si se emplean menos horas habrá que hacerlo con más obreros: = 72 x x = 5 obreros 61.- En el primer caso, para 385 m 2 emplea 3 días. 9 h/día = 27 horas, mientras que luego debe realizar 770 m 2 en 9 x horas, de donde 385/770 = 27/9x x = 6 horas/día litros ºC calorías 3 litros ºC x Si son más litros harán falta más calorías y si hay que aumentar la temperatura más grados también serán necesarias más calorías. Las dos relaciones, por tanto, son directamente proporcionales. Considerando fijos los 2 litros, se plantearía 58

16 20ºC calorías 50ºC x x = 2500 calorías De manera que, a 50ºC de incremento fijos, se plantearía: 2 litros calorías 3 litros x x = 3750 calorías mineros días metros 16 mineros días x El número total de jornadas de trabajo se obtendrían multiplicando el número de mineros por los días que trabajan, quedando que = 80 jornadas permiten hacer 60 metros, teniendo que calcular para = 400 jornadas. Así, 80/400 = 60/x x = 300 metros cerdos días kg 60 cerdos ---- x kg La multiplicación de cerdos por días daría la cantidad de raciones disponibles, es decir: 1350 raciones kg 60 x raciones kg De donde 1350/60 x = 4000/6400 x = 36 días 65.- El trigo A habrá costado en total 20. 0,6 = 12 euros mientras que el tipo B habrá costado 60. 0,8 = 48 euros, de manera que en total se tendrán 80 kg que han costado 60 euros, de manera que el precio por kg se obtendrá con 60/80 = 0,75 euros/kg 66.- En total han comprado 10 Cds. Si el lote completo cuesta 120 euros quiere decir que cada CD vale 120 : 10 = 12 euros. Entonces el pago se repartirá del modo siguiente: El primero = 24 euros. El segundo 36 euros. El tercero 60 euros En total ganan cada día = 270 euros, de manera que la gratificación se divide entre esta cantidad /270 = 66,66 euros que le correspondería por cada euro ganado, de modo que los que cobrasen 30 euros se llevarían ,66 = 2000 euros y los que cobrasen 40 euros, ,66 = 2666,66 euros Habrá de repartir los 260 euros directamente proporcionales a 1/3, ½ y ¼ que en total suman 1/3 + ½ + ¼ = 13/12. Pues bien, se divide 260 : 13/12 = 240 correspondiendo al primero la cantidad 1/ = 80 euros, ½. 240 = 120 euros, ¼. 240 = 60 euros. 59

17 69.- En total hay = 150 vecinos, entre los que hay que repartir el costo de la piscina, para cada uno: / 150 = euros. De este modo, el primer edificio deberá pagar = euros, = euros, = euros El total invertido es = 9500 euros, de modo que el beneficio generado por cada euro es 2210 / 9500 = 0,2326 euros, que habría que multiplicar por lo aportado por cada uno: ,2326 = 930,5 euros, ,2326 = 581,5 euros, ,2326 = 698 euros Si la cantidad cobrada fuera C, habría que repartirla en total entre = 60 horas, de modo que el que más cobrara sería 24. C/60 = 352 euros C = 880 euros, y así los otros recibirían: /60 = 293,33 euros, /60 = 234,66 euros El número total de habitantes será = 9400 habitantes, así que a cada uno le correspondería: / = 3,723 euros. Así a cada barrio: ,723 = 9307,5; ,723 = ,3 euros; ,723 = ,4 euros En primer lugar, se uniformiza el consumo de ambos tipos de ganado. Mientras en la segunda manada hay 300 ovejas, las vacas de la primera equivalen a 400 ovejas, de manera que puede admitirse un reparto equitativo entre 700 ovejas: 2100 : 700 = 3 euros(oveja, de modo que el reparto es de: Manada 1: = 1200 euros, Manada 2: = 900 euros El total de trabajo efectuado es de = 16 horas, de modo que los euros cobrados se repartirían del siguiente modo por hora de trabajo: 208 : 16 = 13 euros/hora. Así, el reparto se haría: María: = 91 euros Paloma: = 65 euros Sara: = 52 euros Si se reparte un capital C, habría que dividirlo en total en 1/7 + 1/10 + 1/14 = 22/70 de manera que se multiplicaría cada fracción por: C : 22/70 = 70C/22. Eso significa que si sumamos las dos partes: (1/7 + 1/14) 70C/22 = 15 C / 22 = C = euros. En consecuencia, 70C/22 = euros. Ahora cada uno recibiría: 1/ = euros ; 1/ = euros ; 1/ = euros Sean B los beneficios, el total invertido será = euros, de manera que el primero recibiría B/ y el segundo B/ de manera que restando ambos: ( ). B/ = B/ = B/5 = 1250 euros, de manera que el beneficio será B = 5 x 1250 = euros Se trata de repartir puntos directamente proporcional a 1/15, 1/20, 1/45. Para ello sumamos 1/15 + 1/20 + 1/45 = 5/36 de manera que se repartirá sobre : 5/36 = y cada uno 1/ = 7056 puntos; 1/ = 5292 ; 1/ = 2352 puntos Se repartirán 1640 euros, directamente proporcional a 1/90, 1/50 y 1/75, así que dividimos 1640 euros entre 1/90 + 1/50 + 1/75 = 2/45 siendo 1640 : 2/45 = La parte de cada uno será: 1/ = 410 euros, 1/ = 738 euros, 1/ = 492 euros. 60

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