Definición de funciones circulares

Transcripción

1 LECCIÓN CONDENSADA 0. Definición de funciones circulares En esta lección Aprenderás cómo se definen las funciones circulares cos t sin t Encontrarás el dominio, el rango, el período de cos t sin t Encontrarás unos valores de seno de coseno usando los ángulos de referencia Muchos fenómenos, incluendo las mareas el movimiento de un caballo en un carrusel, siguen patrones repetitivos, o cíclicos. Puedes usar las funciones seno coseno para modelar estos fenómenos. Investigación: Rueda de paletas Trabaja la investigación de tu libro, después compara tus resultados con los siguientes. Paso Una rotación es 360, de modo que la rana gira 360 en 6 minutos, ó 60 por minuto. Esto es por segundo. Paso Puedes encontrar los valores de cualquier punto al rastrear la gráfica o al sustituir los valores de t en las ecuaciones para. [.35,.35,,.55,.55, ] Paso 3 t t t (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

2 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:35 PM Page 58 Lección 0. Definición de funciones circulares (continuación) He aquí algunas cosas que puedes observar en la tabla: Los valores se repiten después de 360. Los valores son cíclicos. Los valores en grados de en el Cuadrante I son positivos. En el Cuadrante II, los valores son negativos los valores son positivos. En el Cuadrante III, los valores son negativos. En el Cuadrante IV, los valores son positivos los valores son negativos. A medida que los valores aumentan, los valores disminuen, viceversa. El apareamiento de los valores es siempre lo mismo: esto es, siempre acompaña 0.5, así sucesivamente. Paso 4 a. El patrón se repite cada 360 (ó 360 s). Debido a que 5 3(360 ) 35, la ubicación de la rana en 5 s es la misma que su ubicación en 35 s, la cual es (0.707, 0.707). La rana también se encuentra en esta ubicación en , ó 495 s, en (360) 35, ó 855 s. b. La tabla muestra que la rana está a una altura de 0.5 m a los 0 s a los 330 s. Debido al patrón cíclico, la rana se encuentra igualmente a esta altura en los tiempos indicados, más los múltiplos de 360 s. Para las primeras tres rotaciones, estos tiempos son 0 s, 330 s, 570 s, 690 s, 930 s, 050 s. c., Paso 5 La primera gráfica siguiente corresponde a cos t. La gráfica que le sigue corresponde a sin t. Ambas gráficas muestran el mismo patrón cíclico, a pesar de que cos t empieza en sin t empieza en 0. Ambas completan un ciclo entero regresan a la ubicación inicial después de 360. Para hallar la posición de la rana al tiempo t, encuentra el valor correspondiente en la primera gráfica el correspondiente valor en la segunda t t (continúa) 58 CHAPTER 0 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

3 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:35 PM Page 59 Lección 0. Definición de funciones circulares (continuación) Un círculo con un radio de unidad, centrado en el origen, se llama un círculo unitario. Usando el círculo unitario en la investigación, descubriste que los valores de las funciones seno coseno se repiten en un patrón regular. Cuando los valores de salida de una función se repiten en un patrón regular, la función es periódica. El período de una función es la distancia mínima entre los valores de la variable independiente, antes de que el ciclo empiece a repetirse. Lee elejemplo A en tu libro, que muestra que la función coseno tiene un periodo de 360. Después lee el teto entre los Ejemplos A B, que muestra que la función seno también tiene un período de 360. Observa el diagrama atentamente. Asegúrate de que entiendes el significado de posición estandar, lado terminal, ángulo de referencia. Lee elejemplo B atentamente, después lee el ejemplo siguiente. EJEMPLO Encuentra el valor del coseno o seno para cada ángulo. a. cos 5 b. sin 90 Solución Para cada ángulo en las partes a b, gira el lado terminal en sentido opuesto a las manecillas del reloj, desde el lado positivo del eje, traza un triángulo rectángulo dibujando una línea perpendicular al eje. Después identifica el ángulo de referencia. a. Para 5, el ángulo de referencia mide 45. Los valores en el Cuadrante III son negativos, de modo que 5 cos 45. Usando lo que sabes de la razón entre las longitudes laterales en un triángulo de ángulos , o utilizando una calculadora, se obtiene cos b. Debido a que la medida del ángulo 90 es negativa, rota el lado terminal 90 en el sentido de las manecillas del reloj. El ángulo de referencia mide 70. Ya que las coordenadas de los puntos del Cuadrante I son positivas, entonces sin 90 sin Los ángulos en posición estándar son coterminales si comparten el mismo lado terminal. Por ejemplo, los ángulos que miden 70, 90, 430 son coterminales. A menudo las letras griegas como (theta) (alfa) se usan para representar las medidas de ángulos. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

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5 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:35 PM Page 6 LECCIÓN CONDENSADA 0. Medición en radianes longitudes de arcos En esta lección Calcularás unas longitudes de arcos Convertirás las mediciones angulares de grados a radianes Encontrarás el área de un sector de un círculo Calcularás la velocidad angular de un objeto que sigue una traectoria circular Hasta este momento, has trabajado con ángulos medidos en grados. En esta lección aprenderás sobre una medición de ángulo diferente. Investigación: Un círculo de radianes De tus estudios de geometría, recuerda que la medida de un arco no es lo mismo que la longitud de un arco. Por ejemplo, los arcos marcados en la ilustración a la derecha tienen la misma medida, pero sus longitudes aumentan a medida que el círculo se hace más grande. Puedes encontrar la longitud de un arco usando la siguiente relación. 45 longitud del arco medida del ángulo intersecado s A,ó r circunferencia del círculo Encuentra la longitud, s, de cada arco ilustrado en el Paso en tu libro. Registra tus resultados en una tabla después compáralos con los de esta tabla. (Por ahora, ignora los valores de la última columna.) Los ángulos pueden medirse en una unidad que se llama radián. Un círculo completo, o una revolución, mide radianes, así que medio círculo, o media revolución, mide radianes, un cuarto de revolución mide radianes, así sucesivamente. Puedes usar cualquiera de estas relaciones equivalentes para convertir grados a radianes, oviceversa. ángulo en 36 grados 0 ángulo e n radianes ángulo en 8 grados 0 ángulo en radianes Convierte los ángulos de tu tabla de grados a radianes. Compara tus resultados con los de la columna de la tabla presentada aquí. (Observación: Usando la relaciones de conversión, puedes escribir la fórmula 80 A, donde es la medida del ángulo en radianes A es la medida en grados.) A (grados) r (cm) s (cm) (radianes) r A s (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

6 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:35 PM Page 6 Lección 0. Medición en radianes longitudes de arcos (continuación) La razón entre la longitud del arco la circunferencia es igual a la razón entre la medida del ángulo intersecado la medida de una revolución completa, independientemente de las unidades de medición del ángulo: grados o radianes. Así que s r,ós r (Asegúrate de hacer el álgebra para verificar la equivalencia.) De este modo puedes encontrar la longitud de un arco simplemente multiplicando el radio por la medida del ángulo en radianes. Y, debido a que s r es equivalente a r s, puedes encontrar la medida de un ángulo intersecado al dividir la longitud del arco entre el radio. Observa que no es necesario rotular las medidas en radianes con unidades. Para practicar la conversión entre grados radianes, completa las partes a d del Ejemplo A en tu libro. Después compara tus resultados con las soluciones. El teto en la página 576 de tu libro muestra cómo puedes usar el análisis dimensional para convertir grados a radianes. Lee este teto atentamente. Después, lee el Ejemplo B, que muestra cómo encontrar el área de un sector de un círculo. He aquí otro ejemplo. EJEMPLO El círculo P tiene un radio de cm, la medida del ángulo central DPE es 3 radianes. Cuánto mide s, la longitud del arco intersecado DE? Cuánto mide el área del sector sombreado? P Solución Para hallar s, sustitue r cm 3 radianes en la fórmula de la longitud de arco. s r 3 8 cm D s cm E Para hallar el área del sector, usa el hecho de que A A sector círculo medida del arco intersecado El área del círculo es r,ó 44. Así que A 4 se 4 ct or 3 3 A sector Entonces, el área del sector es 48 cm. Lee el resto de la lección en tu libro. Asegúrate de entender la definición de velocidad angular. 6 CHAPTER 0 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

7 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:35 PM Page 63 LECCIÓN CONDENSADA 0.3 Graficación de funciones trigonométricas En esta lección Encontrarás las ecuaciones para sinusoides Identificarás la amplitud, el período, la desviación de fase de un sinusoide Modelarás datos reales con una función sinusoidal Encontrarás ecuaciones para transformaciones de la función tangente Las gráficas de sin cos, a sus transformaciones se llaman ondas sinusoidales o sinusoides. En el Ejemplo A en tu libro, se ve que trasformar sin es mu parecido a transformar cualquier otra función. Lee ese ejemplo atentamente. La amplitud de un sinusoide es la mitad de la diferencia de los valores máimo mínimo de la función. Esto es igual al valor absoluto del factor de escala, o b. La traslación horizontal de una gráfica de seno o coseno se llama la desviación de fase (phase shift). En el Ejemplo A, la función 3 sin( ) tiene una amplitud de una desviación de fase de. Para practicar las transformaciones de la gráfica coseno, trabaja el ejemplo siguiente. EJEMPLO La gráfica de un ciclo (0 ) de cos se muestra a continuación. Dibuja la gráfica de un ciclo de 3cos. Da la amplitud, el período, la desviación de fase de la función transformada. _ 3 Solución El coeficiente 3 significa que la gráfica de cos está estirada verticalmente por un factor de 3. La gráfica también está trasladada unidades hacia la izquierda unidad hacia abajo. _ _ 3 4 El período de la función transformada es, la amplitud es 3, la desviación de fase es. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

8 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:35 PM Page 64 Lección 0.3 Graficación de funciones trigonométricas (continuación) Investigación: El péndulo II Lee la investigación en tu libro. Si tienes el equipo necesario, reúne tus propios datos ajusta una función seno una función coseno. Si no, puedes usar estos datos. Tiempo (s) Distancia (m) He aquí una gráfica de los datos: Tiempo (s) Distancia (m) Tiempo (s) Distancia (m) [0,, 0., 0,, 0.] Primero ajusta una función coseno. El máimo valor de la distancia es el mínimo es 0.697, de modo que la amplitud de la función es ( ), ó Éste es el factor de estiramiento vertical. Un ciclo completo, de un punto máimo al siguiente, va de 0.0 a.475, así que el período es.375. El factor de escala horizontal que estira a.375 es La función cos tiene un punto máimo en 0. Esta curva tiene un punto máimo en 0.0. Así pues, la desviación de fase es 0.0. Para cos, el valor que se encuentra a la mitad entre los valores mínimo máimo es 0. Para esta curva, este valor es ( ), ó 0.8. Por tanto, la traslación vertical es 0.8. Reuniendo toda esta información, se obtiene la función 0.03 cos. 3 ( 75 0.) 0.8 (continúa) 64 CHAPTER 0 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

9 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:35 PM Page 65 Lección 0.3 Graficación de funciones trigonométricas (continuación) Una transformación de la función seno tiene los mismos factores de escala desviación vertical, pero la desviación de fase es 0., de modo que la función seno es 0.03 sin En estas ecuaciones, 0.8 representa la distancia promedio desde el sensor de movimiento hasta la arandela, 0.03 es la distancia desde esta distancia promedio a la distancia mínima o máima, 0.0 es el número de segundos antes de que la arandela llegue por primera vez a la distancia máima,.375 es el número de segundos que le lleva completar un ciclo. El Ejemplo B en tu libro presenta otra situación que puede modelarse con una función sinusoidal. Intenta resolver el problema planteado en ese ejemplo, antes de leer la solución. Hasta ahora, en este capítulo, has trabajado solamente con senos cosenos. La tangente del ángulo A es la razón entre la coordenada la coordenada de un punto girado A (o A radianes) en sentido opuesto a las manecillas del reloj a partir de la parte positiva del eje. coordenada tan A c oordenada (, ) coordenada A coordenada He aquí la gráfica de la función tan. 6 4 _ Observa que tan A es indefinida para los puntos del círculo cua coordenada es cero. En la gráfica, esto se muestra mediante las asíntotas verticales en,, 3, así sucesivamente. En el Ejemplo C en tu libro se encuentra la ecuación de una transformación de tan. Lee ese ejemplo atentamente. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

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11 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:35 PM Page 67 LECCIÓN CONDENSADA 0.4 Inversos de las funciones trigonométricas En esta lección Trazarás eaminarás las gráficas de los inversos de sin de cos Definirás las funciones sin cos mediante la restricción de los rangos de sin de cos Resolverás unas ecuaciones que implican funciones trigonométricas Las funciones seno, coseno, tangente tienen valores que se repiten. Así que, por ejemplo, si quieres encontrar un ángulo cuo coseno es 0.75, habrá muchas respuestas. Por esta razón, usar una función inversa en tu calculadora no siempre te dará el ángulo que buscas. Esto se ilustra en el Ejemplo A en tu libro. Lee ese ejemplo atentamente. En capítulos anteriores viste que se encuentra el inverso de una relación al intercambiar las coordenadas para todos los puntos. Una gráfica su inverso son refleiones una de otra con respecto a la recta. En la página 595 de tu libro se muestran las gráficas de la función eponencial b su inverso, b ó log b, de la ecuación su inverso,. En el caso de b, el inverso es una función. En el caso de, no lo es. En la investigación, eplorarás los inversos de las funciones trigonométricas. Investigación: Eploración de los inversos Completa la investigación en tu libro después compara tus resultados con los siguientes. Pasos 4 A continuación se muestran las gráficas de sin de sin La gráfica de sin no es una función porque eiste más de un valor para cada valor. Se ha sombreado la parte de la gráfica entre. Esta porción de la gráfica es una función porque ha eactamente un valor para cada valor. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

12 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:36 PM Page 68 Lección 0.4 Inversos de las funciones trigonométricas (continuación) Paso 5 A continuación se muestran las gráficas de cos cos. Cualquier intervalo de la forma n (n ), donde n es un entero, contiene una parte de la gráfica que es una función. Una posibilidad es La función sin es la parte de la gráfica de sin correspondiente al intervalo. (Ésta es la parte sombreada en la investigación). Del mismo modo, la función cos es la porción de la gráfica de cos correspondiente al intervalo 0. Al restringir el intervalo, se garantiza que haa un valor para cada valor. Así que, por ejemplo, aunque la ecuación sin 0.5 tiene un número infinito de soluciones, la ecuación sin (0.5) tiene una sola solución: 6. El valor 6 se llama el valor principal de sin (0.5). En el Ejemplo B en tu libro se muestra cómo resolver una ecuación que implica una función trigonométrica. Trabaja el ejemplo con papel lápiz. Después prueba tu entendimiento de las ideas, intentando resolver el problema del ejemplo siguiente. EJEMPLO Encuentra los primeros cuatro valores positivos de para los cuales 4 sin 3. Solución Gráficamente, esto es equivalente a encontrar las primeras cuatro intersecciones positivas de 4 sin 3. Puedes encontrar las intersecciones aproimadas que se muestran a continuación al rastrear la gráfica. 4 (4.89, 3) (8.378, 3) (6.755, 3) (0.944, 3) (continúa) 68 CHAPTER 0 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

13 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:36 PM Page 69 Lección 0.4 Inversos de las funciones trigonométricas (continuación) Al resolver la ecuación de manera simbólica, encontrarás una solución. 4 sin 3 4 sin sin sin sin El círculo unitario muestra que sin 6. Recuerda, la función sin tiene un rango de Así que, una solución es Sin embargo, estás buscando soluciones positivas. Debido a que el período de 4 sin es 4, 4 3 4, ó 8 3, es una solución. Esto es aproimadamente 8.378, que corresponde a la segunda solución positiva en la gráfica. Puedes usar la simetría de la gráfica para encontrar la primera solución positiva. La primera solución positiva está a la misma distancia de que la segunda solución, 8 3. Esta distancia es 3.Por tanto, 3,ó 4 3, es una solución también. Esto es aproimadamente Usando el hecho de que el período es 4, las siguientes dos soluciones son Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

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15 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:36 PM Page 7 LECCIÓN CONDENSADA 0.5 Modelación con ecuaciones trigonométricas En esta lección Interpretarás unas ecuaciones trigonométricas que modelan situaciones reales Escribirás unas ecuaciones trigonométricas para modelar situaciones reales Encontrarás unas frecuencias de funciones periódicas El Ejemplo A en tu libro muestra cómo la altura del agua en la boca de un río puede ser modelada con una ecuación trigonométrica. Trabaja el ejemplo meticulosamente. Asegúrate de entender cómo los números en la ecuación corresponden a la situación real. Cuando la variable independiente es el tiempo, el período de una función es el tiempo que le lleva a la función completar un ciclo. La frecuencia de una función es el recíproco del período. Es el número de ciclos completados en una unidad de tiempo. Por ejemplo, si una onda tiene un período de 0. segundos, entonces tiene una frecuencia de 0 ciclos por segundo. Investigación: Un muelle en movimiento Lee la investigación en tu libro. Si tienes el equipo necesario, reúne los datos completa los pasos de la investigación. Si no lo tienes, completa los pasos usando esta muestra de datos. Los resultados siguientes se basan en la muestra de datos. Tiempo (s) Altura (m) Tiempo (s) Altura (m) Tiempo (s) Altura (m) Tiempo (s) Altura (m) (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

16 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:36 PM Page 7 Lección 0.5 Modelación con ecuaciones trigonométricas (continuación) Paso He aquí una gráfica de los datos: El máimo promedio es 0.78, el mínimo promedio es 0.575, de modo que la amplitud es El valor promedio, que es la traslación vertical, es Los períodos correspondientes a los cuatro ciclos son 0.808, 0.805, 0.806, 0.860; por tanto puede ser una buena opción. La frecuencia es, entonces, 0.8, 07 ó.39 ciclos por segundo. El primer máimo se presenta en t 0.43, así pues, si escoges una función coseno, deberá tener una desviación de fase de Paso 3 h cos (t ) 807 Una gráfica de la curva con los datos muestra un buen ajuste. [0, 3.3,, 0., 0.9, ] [0, 3.3,, 0., 0.9, ] Paso 4 a m es la altura promedio del muelle m es la distancia hacia arriba hacia abajo que el muelle se desplaza desde la altura promedio s es el tiempo que le lleva completar un ciclo s es el tiempo en que se presenta el primer máimo. b. Si alejas el sensor m, la traslación vertical aumenta en. Todos los demás valores permanecen iguales. c. Si jalas el muelle más abajo, la amplitud aumenta. El período podría cambiar también. El Ejemplo B en tu libro presenta otra situación que se puede modelar mediante una función periódica. Trabaja el ejemplo con papel lápiz. El ejemplo siguiente corresponde al Ejercicio 8a en tu libro. Intenta escribir la ecuación sin mirar la solución. EJEMPLO Solución El tiempo entre la marea alta la baja en el puerto de un río es aproimadamente 7 h. La profundidad de la marea alta de 6 pies se presenta a mediodía la profundidad promedio del puerto es de pies. Escribe una ecuación que modele esta relación. La marea completa medio ciclo en 7 h, así que el período es de 4 h. El factor de escala horizontal que estira a 4 es 7. La profundidad promedio,, es la traslación vertical. La amplitud es 5, consistente en la diferencia entre la profundidad de la marea alta la profundidad promedio. Si supones que t 0 corresponde al mediodía, entonces la función empieza en un punto máimo. Por tanto, si utilizas la función coseno, no ha desviación de fase. La ecuación es d 5cos t 7 7 CHAPTER 0 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

17 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:36 PM Page 73 LECCIÓN CONDENSADA 0.6 Identidades trigonométricas fundamentales En esta lección Definirás las funciones cotangente, secante, cosecante Aplicarás las identidades recíprocas las usarás para probar otras identidades trigonométricas Derivarás demostrarás tres identidades pitagóricas Una identidad es una ecuación que es cierta para todos los valores para los cuales las epresiones se definan. Por ejemplo, sin A cosa es una identidad porque es cierta independientemente del valor que le des a A. Lee la introducción sin A de la lección en tu libro, donde se muestra que tan A c os A es una identidad. Los recíprocos de las funciones tangente, coseno, seno también son funciones trigonométricas. El recíproco de la tangente es la cotangente, abreviada como cot. El recíproco del coseno es la secante, abreviada como sec. El recíproco del seno es la cosecante, abreviada como csc. Estas definiciones conducen a las seis identidades recíprocas siguientes. cot A tan A sec A co s A tan A co t A cos A sec A csc A sin A sin A csc A Tu calculadora no tiene teclas especiales para cotangente, secante, cotangente. Así que, por ejemplo, para graficar cot, debes usar la epresión ta n. Para que te familiarices con las nuevas funciones, grafica cada par de funciones recíprocas, un par a la vez, en tu calculadora (es decir, grafica la cotangente la tangente, después el secante el coseno, luego la cosecante el seno). Un método para probar una identidad implica escribir epresiones equivalentes para un lado de la ecuación, hasta que es igual al otro lado. Puedes usar cualquier identidad que a haas probado. Esto se muestra en el ejemplo en tu libro. Trabaja dicho ejemplo con papel lápiz. Investigación: Identidades pitagóricas Intenta completar la investigación por tu cuenta. A continuación se dan las respuestas, por si las necesitas. Paso La gráfica de sin cos es la recta horizontal. Basándote en esta gráfica, puedes escribir la identidad sin cos. [0,,, 3, 3, ] (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

18 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:36 PM Page 74 Lección 0.6 Identidades trigonométricas fundamentales (continuación) Paso Las longitudes de los catetos del triángulo mostrado son sin A cos A, la hipotenusa tiene una longitud de. Por el Teorema de Pitágoras, sin A cos A. Paso 3 La ecuación sin cos se llama una identidad pitagórica, porque se deriva utilizando el Teorema de Pitágoras. (En un círculo unitario con un triángulo de referencia, sin cos son las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo es la longitud de la hipotenusa. Entonces, según el Teorema de Pitágoras, sin cos.) Paso 4 cos sin sin cos Paso 5 La identidad es tan sec. La derivación siguiente sirve como prueba, pero te convendría practicar el método del ejemplo, manipulando el lado izquierdo de la identidad, tan, hasta que sea igual al lado derecho, sec. sin cos sin cos (sin ) (cos ) Identidad original. cos cos cos Divide ambos lados entre cos. (cos ) (cos ) (cos ) sin significa (sin ) cos significa (cos ). sin cos cos cos cos tan sec b a a b sin Usa las identidades c tan co sec. Paso 6 tan sec tienen la misma gráfica, lo cual verifica la identidad. La identidad es indefinida cuando cos 0, ó cuando n ó n, donde n es un entero. Paso 7 La identidad es cot csc. La derivación siguiente sirve como prueba: sin cos Identidad original. [0,,, 3, 3, ] sin cos sin sin sin Divide ambos lados entre sin. (sin ) (sin ) os (cos ) (sin ) (sin ) sin significa (sin ) cos significa (cos ). s sin cos sin sin sin b a a b cot csc Usa las identidades c os sin cot sin csc. Paso 8 cot csc tienen la misma gráfica, lo cual verifica la identidad. La identidad es indefinida cuando sin 0, ó cuando n ó 80 n, donde n es un entero. Las identidades pitagóricas que probaste en la investigación se resumen en la página 6 de tu libro. [0,,, 3, 3, ] 74 CHAPTER 0 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press

19 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:36 PM Page 75 LECCIÓN CONDENSADA 0.7 Combinación de funciones trigonométricas En esta lección Modelarás un sonido con una suma de dos ecuaciones sinusoidales Desarrollarás o probarás varias identidades trigonométricas Usarás unas identidades trigonométricas para encontrar los senos cosenos de ángulos El sonido de una nota tocada por un instrumento musical puede modelarse con la combinación de más de una función trigonométrica. Lee el teto que precede la investigación en tu libro, para aprender más sobre este asunto. Investigación: Onda de sonido La investigación te pide tocar un diapasón después registrar los datos, usando una sonda de micrófono. A continuación se presentan las ecuaciones las gráficas de los datos producidos por los diapasones G-39 Hz C-56 Hz. G: 0.6 sin ( ).68 [0, 0.0,,., 3, ] C: sin ( ).685 [0, 0.0,,., 3, ] Sólo tienes que sumar las ecuaciones de las notas C G individuales, para obtener una buena aproimación de la onda que se forma al tocar las dos notas juntas, ecepto que la curva se corre hacia arriba porque se combinan las dos desviaciones horizontales. Restar.685 de la suma de las ecuaciones hará que la nueva ecuación se ajuste a la desviación horizontal de los nuevos datos. [0, 0.0,,., 6, ] 0.6 sin ( ) sin ( ) (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

20 DAACLS_678_0.qd 4/5/04 3:36 PM Page 76 Lección 0.7 Combinación de funciones trigonométricas (continuación) Un sinusoide trasladado de manera horizontal puede escribirse como la suma de dos curvas no trasladadas. Por ejemplo, puedes usar tu calculadora para verificar que cos( ) es equivalente a 0.8 cos 0.6 sin. En el teto en la página 67 de tu libro se prueba la identidad cos(a B) cos A cos B sin A sin B Sigue los pasos usando papel lápiz. El Ejemplo A de tu libro muestra cómo puedes usar la identidad anterior para hallar los valores eactos del coseno para algunos ángulos más, usando valores que a conoces. He aquí otro ejemplo. EJEMPLO A Encuentra el valor eacto de cos 7. Solución 7 cos cos 0 3 Reescribe 7 cos Reduce. como la diferencia de dos fracciones. cos 5 6 cos 4 sin 5 6 sin cos(a B) cos A cos B sin A sin B Sustitue los valores eactos del seno del coseno, 4,respectivamente. 5 6 Combina los términos. El Ejemplo B en tu libro utiliza la identidad cos(a B) cos A cos B sin A sin B para desarrollar la identidad cos(a B) cos A cos B sin A sin B Lee dicho ejemplo atentamente. En el ejemplo siguiente se desarrolla la identidad sin(a B) sin A cos B cos A sin B EJEMPLO B Usa la identidad del cos(a B) las identidades sin A cos A cos A sin A para desarrollar una identidad para sin(a B). Solución sin(a B) cos (A B) sin A cos A. cos A B Reescribe (A B) como A B. cos A cos B sin A sin B sin A cos B cos A sin B Usa la identidad del cos(a B). cos A sin A sin A cos A. Se dan más identidades en el recuadro en la página 69 de tu libro. Probarás tales identidades en los ejercicios. 76 CHAPTER 0 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 004 Ke Curriculum Press