RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 2º ESO

Transcripción

1 Departamento de Matemáticas I.E.S. GRANDE COVIÁN RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 2º ESO Cuaderno de actividades del alumno/a:

2 OPERACIONES BASICAS CON NÚMEROS NATURALES 1 SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de números hay varios elementos: los números que se van a sumar llamados sumandos y el resultado de la operación llamado suma. Ejemplo : Sumandos Suma En cualquier suma se verifica que: sumando desconocido suma sumando conocido Ejemplos : Calcula Completa los huecos Continúa las siguientes series de números: Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 1

3 2 RESTA DE NUMEROS NATURALES En toda resta de números hay tres elementos: el número del que vamos a restar llamado minuendo, el número que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operación llamado resta o diferencia. Ejemplo : 9 6 Diferencia Minuendo Sustraendo En cualquier resta se verifica que: minuendo sustraendo + diferencia sustraendo minuendo - diferencia Ejemplos : Calcula Completa los huecos Continúa las siguientes series de números: Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 2

4 PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES En toda multiplicación de números hay tres elementos: los números que multiplicamos llamados factores y el resultado de la multiplicación llamado producto. Ejemplo : 9 27 Factores Producto En cualquier multiplicación se verifica que: factor desconocido producto : factor conocido Ejemplos : 7 x 49 x x : x 50 x x : Hay algunas frases que tienen un significado especial: doble multiplicar por 2 triple multiplicar por cuádruple multiplicar por 4 quíntuple multiplicar por 5 Ejemplos : El doble de ; El cuádruple de Calcula: 9745 x x x x x x Completa los huecos 6 x 10 x x : x 0 x x : x 14 x x : x 1 x x : x 24 x x : x 9 x x : Calcula El doble de 247 El triple de 18 El doble de El cuádruple de 54 El quíntuple de 8 El triple de El doble de 204 El triple de 209 El cuádruple de Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira -

5 4 DIVISION DE NUMEROS NATURALES En toda división de números hay cuatro elementos: el número que vamos a dividir llamado dividendo, el número entre el que dividimos llamado divisor, el resultado de la división llamado cociente y lo que sobra después de dividir llamado resto. Ejemplo : dividendo 25 7 divisor resto 4 cociente En cualquier división se verifica que: divisor cociente + resto dividendo resto < divisor Ejemplo : En la división del ejemplo anterior se cumple que y 4 < 7 Hay algunas frases que tienen un significado especial: mitad dividir entre 2 tercera parte dividir entre cuarta parte dividir entre 4 quinta parte dividir entre 5 Ejemplos : La mitad de 8 8 : 2 4; La cuarta parte de : 4 7 Completa la siguiente tabla DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESTO La mitad de 462 La tercera parte de 00 La cuarta parte de La cuarta parte de 440 La mitad de 508 La tercera parte de La tercera parte de 51 La mitad de 208 La cuarta parte de La mitad de 52 La tercera parte de 66 La cuarta parte de Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 4

6 5 OPERACIONES COMBINADAS CON NUMEROS NATURALES Cuando en una misma expresión hay sumas, restas, productos y divisiones el orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente: 1º Operaciones dentro de los paréntesis 2º Productos y divisiones º Sumas y restas Ejemplos : ( ) 7 21 ( 12 2 ) : ( 7 5) 10 : (10 + 5) 190 (5 + 6) ( ) (8-7) : (10 + 5) - 2 (12-5) (12 + 6) 209 (5 + 10) (8 + 9) (11-4) : (9 + 7) - 5 (8 - ) (8 + 6) 91 (7 + 6) (5 + 10) (12-4) : (9 + 7) - 4 (8 - ) (12 + 7) 106 (12 + 6) (11 - ) : Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 5

7 6 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Para resolver problemas debes leerlos atentamente varias veces hasta que los entiendas y una vez resueltos debes revisar las operaciones y verificar si la solución tiene sentido. Un torno produce 97 piezas diarias. Cuántas piezas se producirán en 18 días en 1 tornos? Solución Un buque factoría ha capturado 7825 merluzas, de las cuales lleva congeladas 14 cajas con 61 merluzas cada una. Cuántas merluzas le faltan por congelar? Solución 6971 Un oficial reparte 76 cartuchos entre 46 soldados. Cuántos cartuchos recibirá cada soldado? Solución 16 En una caja teníamos 240 ciruelas y hemos tirado 84 por estar estropeadas. Cuántas docenas de ciruelas nos podremos comer? Solución 1 De un saco que contenía 144 kilos de lentejas se sacó la cuarta parte. Cuántos kilos quedaron en el saco? Solución 108 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 6

8 En una caja hay 74 peras, en otra 8 y en otra 90 Cuántas peras faltan para reunir 5 docenas? Solución 17 Para vaciar los 1770 litros de agua que hay en un estanque hemos tenido que sacar 59 cubos. Cuántos litros hemos sacado en cada cubo? Solución 0 Una cinta transportadora lleva 000 piezas en una hora. Cuántas piezas lleva en 1 minuto? Solución 50 Una caja vacía pesa 5 kilos y llena de limones 16 kilos. Cuánto pesará la mercancía de 1 cajas? Solución 14 En una bodega hay 465 botellas de sidra que se han de repartir entre 1 cajas. Cuántas botellas tendrá cada caja? Solución 15 Cuántos litros de agua echará una fuente durante 4 horas y 42 minutos, a razón de 7 litros por minuto? Solución 1044 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 7

9 La cadena de un reloj de pared desciende 522 milímetros cada 6 horas. Cuántos milímetros descenderá en 11 horas? Solución 957 Un labrador compró un campo por y en mejoras invirtió 111, si lo vende después por cuánto dinero ganó? Solución En una granja se elaboran 196 quesos diarios de 8 kilos cada uno. Cuál será su producción en kilos al cabo de 19 días? Solución Cuántos días hay en 792 horas? Solución Se reparten 1428 caramelos entre los alumnos de aulas, en la primera hay 18 alumnos, en la segunda 18 y en la tercera 15 Cuántos caramelos recibirá cada alumno? Solución 28 Un transportista ha recibido y ha tenido que pagar 1194 al conductor, 1499 al ayudante y 1275 de combustible. Cuál será el beneficio obtenido? Solución 774 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 8

10 Un ciclista que marcha a la velocidad de 1 kilómetros por hora cuánto tiempo tardará en recorrer una distancia de 558 kilómetros? Solución 18 He comprado una docena de claveles a 42 céntimos cada uno, si pago con 50 cuánto dinero me devolverán? Solución 44,96 Tenemos un campo con 0 filas de 165 árboles en cada fila. Cuántos árboles hay en el campo? Solución 4950 He comprado 16 sellos a 25 céntimos cada uno y 11 sellos a 0 céntimos cada uno. Cuánto dinero me he gastado? Solución 70 Se ha repartido un rebaño de 221 cabras entre cierto número de pastores y han correspondido 17 cabras a cada uno, Cuántos pastores había? Solución 1 De las 1070 piezas que tiene un rompecabezas hemos hecho 24 filas de 42 piezas cada una. Cuántas piezas nos faltan para terminarlo? Solución 62 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 9

11 DE REPASO Completa los huecos x x x : : : El doble de 292 es La tercera parte de 819 es: 819 : 27 La cuarta parte de 476 es : 476 : El cuádruple de 21 es: La mitad de 788 es : 788 : 2 94 El doble de 444 es : La tercera parte de 879 es: 879 : 29 La cuarta parte de 500 es : 500 : El triple de 144 es: La quinta parte de 175 es : 175 : 5 5 Calcula: (12 + 4) 88 (6 + 12) (5 + 10) (11-6) : (10 + 4) - 4 (7-5) (9 + 5) (8 + 5) 9-4 (8 + 6) (9 - ) : (8 + ) - 4 (7-5) Cuántos lápices habrá en 29 cajas, sabiendo que una caja contiene 14 docenas de lápices? Solución 4872 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 10

12 Considerando excesivo el consumo de 6515 litros anuales de combustible, se ha efectuado una reparación que permite ahorrar la quinta parte. Cuál será el nuevo consumo anual? Solución 5212 Un pescador compró 45 gusanos, en una caña empleó 115 gusanos y en la otra 119 Cuántos gusanos le sobraron? Solución 201 De una cosecha de kilos de trigo se llevaron 44 camiones con 546 kilos cada uno y destinaron 806 kilos para otro camión. Cuántos kilos de trigo no se transportaron? Solución Entre 6 pescadores cogieron 18 kilos de peces y los vendieron a 8 el kilo. Cuánto dinero correspondió a cada uno? Solución 184 Completa la siguiente tabla DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESTO Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 11

13 POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS DE NUMEROS NATURALES 1- CONCEPTO DE POTENCIA Una potencia es un producto de factores iguales. 6 4 Ejemplo : Expresa en forma de producto y calcula el valor de Para leer una potencia se nombra primero la base, luego la frase "elevado a" y después se nombra el exponente. Toda potencia de base 10 tiene como valor el número que resulta de añadir al 1 tantos ceros como indique el exponente. Ejemplos : Todo número elevado a 1 tiene como valor el mismo número. Ejemplos : Todo número elevado a 0 tiene como valor 1. Ejemplos : Si la base es 1 el valor de la potencia siempre es 1. Ejemplos : Si la base es 0 el valor de la potencia siempre es 0. Ejemplos : Calcula EXPONENTE: Indica las veces que se repite la base BASE: Es el factor que se repite Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 12

14 2 OPERACIONES CON POTENCIAS El producto de potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican. Ejemplos : Expresa en forma de una sola potencia: La división de potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias que se dividen. Ejemplo : Expresa en forma de una sola potencia: 8 7 : La potencia de una potencia se puede expresar como otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Ejemplo : Expresa en forma de una sola potencia: (7 4 ) Expresa en forma de potencia: : ( 7 6 ) ( 6 1 ) : : ( 8 8 ) ( 8 6 ) : : ( 2 7 ) Completa los exponentes que faltan : : : : : : Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 1

15 RAÍZ CUADRADA Se llama raíz cuadrada exacta de un número natural a otro número que elevado al cuadrado da como resultado el primero. Ejemplo : 9 porque porque RADICAL Es el símbolo de la operación RAÍZ Es el número que elevado al cuadrado da el radicando RADICANDO Es el número del que vamos a calcular su raíz Se llama raíz cuadrada entera de un número natural a otro número natural que elevado al cuadrado da como resultado un número cercano al primero sin pasarse; la diferencia entre uno y otro es el resto. Ejemplo : Si conocemos la raíz y el resto para calcular el radicando aplicamos la siguiente expresión: RAÍZ 2 + RESTO RADICANDO En el ejemplo anterior sería Para calcular la raíz cuadrada de un número de varias cifras se procede así: 1º Se divide el número en grupos de dos cifras empezando por la derecha. 2º Se calcula la raíz cuadrada del primer grupo de cifras de la izquierda y así se obtiene la primera cifra de la raíz, el cuadrado de esta cifra se resta del primer grupo. º A la derecha del resto obtenido se escribe el segundo grupo y se separa la cifra de la derecha. 4º El número que queda a la izquierda de la cifra separada se divide por el doble de la raíz obtenida. El cociente se escribe a la derecha del divisor y el número queresulta se multiplica por el mismo cociente. Si este producto se puede restar del dividendo seguido de la cifra separada, el cociente es la siguiente cifra de la raíz, si no es así se prueba con una cifra inferior. 5º Se repiten los pasos º y 4º hasta que no quede ningún grupo del radicando por bajar. Ejemplos : x x Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 14

16 x - x - - RAIZ 21 RESTO 18 RAIZ 52 RESTO x - x - - RAIZ 26 RESTO 49 RAIZ 95 RESTO x - x - - RAIZ 20 RESTO 5 RAIZ 77 RESTO x - x - - RAIZ 18 RESTO 22 RAIZ 89 RESTO 108 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 15

17 4 OPERACIONES COMBINADAS Cuando en una misma expresión hay sumas, restas, productos, divisiones, potencias y raíces cuadradas el orden en el que se realizan estas operaciones es: 1º Paréntesis. 2º Potencias y raíces. º Productos y divisiones. 4º Sumas y restas. Ejemplos : (9 4) Completa la siguiente tabla: a b c d a + b 2 - d (a + b) 2 d a b + c d (b + d) 2 - a Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 16

18 DE REPASO Calcula Expresa en forma de potencia: : ( 7 ) ( 9 7 ) : : ( 9 7 ) x x x x Completa la siguiente tabla: a b c d a + b 2 - d (a + b) 2 d a b + c d (b + d) 2 - a Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 17

19 DIVISIBILIDAD DE NUMEROS NATURALES 1 MULTIPLOS Y DIVISORES Fíjate en las siguientes divisiones: como la primera división es exacta decimos que 18 es múltiplo de 2 o que 2 es divisor de 18; como la segunda división no es exacta decimos que 1 no es múltiplo de 2 o que 2 no es divisor de 1. Si al dividir un número entre otro la división es exacta decimos que el primero es divisible entre el segundo. Es 74 divisible entre 22? SI Es 14 múltiplo de 1? NO Es 18 divisor de 290? NO Es 1150 divisible entre 2? SI 2 MULTIPLOS DE UN NUMERO Si multiplicamos un número cualquiera, por ejemplo el por 1, 2,, 4, etc.. obtenemos:, 6, 9, 12, etc. el conjunto formado por los resultados de estas multiplicaciones será el conjunto de todos los múltiplos de y lo representaríamos así: múltiplos del {, 6, 9, 12,...}, como puedes ver el conjunto de los múltiplos de un número es infinito y por tanto imposible de escribirlo en su totalidad, pero si podemos escribir algunos de ellos. Ejemplos : Escribe los 10 primeros múltiplos de 6 : Escribe los múltiplos de 44 que estén entre el 90 y el 800 : Escribe los 10 primeros múltiplos de 21 : Escribe los múltiplos de 67 que estén entre el 50 y el 1150 : Escribe los 10 primeros múltiplos de 61 : Escribe los múltiplos de que estén entre el 290 y el 600 : Escribe los 10 primeros múltiplos de 29 : Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 18

20 DIVISORES DE UN NUMERO Observa las siguientes divisiones: Fijándonos en las divisiones anteriores, vemos que el 6 tiene 4 divisores, luego el conjunto de los divisores del 6 sería y se representaría así: divisores del 6 {1, 2,, 6} Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de 1 11 Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Divisores de Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 19

21 4 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD MAS IMPORTANTES Para saber si un número es múltiplo o divisible por otro hay que hacer la división, salvo en los siguientes casos: 1º Un número es múltiplo o divisible por 2 cuando acaba en 0 o en cifra par. Ejemplos : 106 es múltiplo de 2 porque acaba en 6 que es par. 45 no es múltiplo de 2 porque acaba en 5 que no es par. 50 es múltiplo de 2 porque acaba en 0. 2º Un número es múltiplo o divisible por cuando la suma de sus cifras es múltiplo de. Ejemplos : y como 12 es múltiplo de también lo es y como 14 no es múltiplo de tampoco lo es 92. º Un número es múltiplo o divisible por 5 cuando acaba en 0 o en 5. Ejemplos : 120 es múltiplo de 5 porque acaba en no es múltiplo de 5 porque no acaba ni en 0 ni en es múltiplo de 5 porque acaba en 5. DIVISIBLE ENTRE 2 DIVISIBLE ENTRE DIVISIBLE ENTRE SI NO SI SI NO NO 12 NO SI NO SI NO NO 205 NO NO SI SI NO SI SI NO NO 8225 NO NO SI 7021 NO NO NO 2805 NO SI SI SI SI NO 081 NO SI NO 462 SI SI NO 1520 SI NO SI SI NO NO 102 NO SI NO NO NO NO 140 SI NO SI 1090 SI NO SI Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 20

22 5- DESCOMPOSICION FACTORIAL Descomponer factorialmente un número es expresarlo como producto de números primos, para ello se va dividiendo el número entre los sucesivos números primos: 2,, 5, 7, 11, 1, etc... hasta que el último cociente sea 1, siempre que las divisiones sean exactas. Ejemplo : Descomponer factorialmente el número y por tanto la descomposición factorial de 120 sería: Descompón factorialmente los siguientes números Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 21

23 6 MAXIMO COMUN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS Se llama máximo común divisor de varios números al mayor de los divisores comunes a varios números. Para calcularlo se hace lo siguiente: 1º Se descomponen factorialmente los números. 2º Se cogen los factores repetidos elevados al menor exponente con el que aparezcan y se multiplican. Ejemplo : Calcular el M.C.D. (140, 90) M.C.D. (140, 90) M.C.D.(14520, 22275) M.C.D.(6600, ) M.C.D.(5544, 1860) Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 22

24 M.C.D.(8820, 21780) M.C.D.(528, 5544) M.C.D.(45276, 14700) M.C.D.(880, ) Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 2

25 7 MINIMO COMÚN MULTIPLO DE VARIOS NÚMEROS Se llama mínimo común múltiplo de varios números al menor de los múltiplos comunes a varios números. Para calcularlo se hace lo siguiente: 1º Se descomponen factorialmente los números. 2º Se cogen los factores repetidos y no repetidos elevados al mayor exponente con el que aparezcan y se multiplican. Ejemplo : Calcular el m.c.m. (140, 90) m.c.m. (140, 90) m.c.m.(10500, 18640) m.c.m.(2520, 960) m.c.m.(67914, 57750) Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 24

26 m.c.m.(1080, 29106) m.c.m.(8910, 1860) m.c.m.(4659, 240) m.c.m.(6600, 1248) Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 25

27 DE REPASO Es 288 divisible entre 16? SI Es 7 múltiplo de 21? NO Es 18 divisor de 648? SI Es 1881 divisible entre 47? NO Es 682 múltiplo de 20? NO Es 22 divisor de 08? SI Es 1718 divisible entre 9? NO Es 1912 múltiplo de 9? NO Escribe los 10 primeros múltiplos de 77 : Escribe los múltiplos de 74 que estén entre el 140 y el 820 : Divisores de Divisores de M.C.D.(19602, 276) m.c.m.(2520, 42) Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 26

28 1 FRACCION FRACCIONES Una fracción es una expresión formada por dos números separados por una raya horizontal, al número de abajo se le llama denominador y nos indica el número de partes iguales en que se divide algo y al número de arriba se le llama numerador y nos indica cuantas de esas partes iguales cogemos. Ejemplo : 4 Numerador Denominador Para hallar la fracción de una cantidad se divide la cantidad entre el denominador y el resultado se multiplica por el numerador. Ejemplo : Hallar 2 de : 20 y 20 x Una fracción también se puede considerar como el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Ejemplo : Expresa en forma de número decimal 4 : 4 0,75 Calcula: 15 2 de : de : de : de : de : de : de : de : Expresa en forma decimal las siguientes fracciones, con dos cifras decimales si es necesario: : 28 1, : 7 5, : 25 1,96 51 : 1,54 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 27

29 Tenía 1728 y me gaste 4/12 por la mañana y 2/16 por la tarde. Cuánto dinero me sobró? Solución 96 Cuántas rosas son 2/11 de 77 docenas de rosas? Solución 168 rosas Cuántos días son 4/15 de 15 semanas? Solución 252 días Un padre reparte 825 entre sus tres hijos, al primero le da 4/17 al segundo 2/15 y al tercero lo que queda. Cuánto dinero le corresponde al tercer hijo? Solución 2415 Cuántos meses son /18 de 108 años? Solución 216 meses De un depósito que tenía 822 litros se sacan 5/14 y más tarde se sacan 5/1 Cuántos litros quedan en el depósito? Solución 987 litros Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 28

30 Cuántos minutos son /7 de 6 horas? Solución 1620 minutos De los 182 km que tiene que hacer un coche ya ha recorrido 8/7 Cuántos km le quedan por recorrer? Solución -26 km Tenía 456 y me gaste 5/19 por la mañana y /12 por la tarde. Cuánto dinero me sobró? Solución 222 Cuántas rosas son 9/ de 12 docenas de rosas? Solución 42 rosas Cuántos días son 5/14 de 84 semanas? Solución 210 días Un padre reparte 2800 entre sus tres hijos, al primero le da 4/20 al segundo 5/14 y al tercero lo que queda. Cuánto dinero le corresponde al tercer hijo? Solución 1240 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 29

31 2 - FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes si los productos cruzados dan lo mismo. Ejemplos : porque 2 x 6 x 4 porque x 6 4 x Halla el valor de x en las siguientes expresiones 4 x 4 98 x x x x 7 x x x x 5 88 x x x x x x 11 x x x x 156 x x x x x x 5 x Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 0

32 - SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar una fracción es encontrar otra equivalente que tenga el numerador y el denominador más pequeños, se llama fracción irreducible a una fracción que no se puede simplificar más. Para simplificar una fracción se dividen los dos términos por su máximo común divisor. Ejemplos : Simplifica las siguientes fracciones: M.C:D. ( 120, 168 ) : : M.C:D. ( 180, 540 ) : : 180 Simplifica las siguientes fracciones: M.C:D. ( 18, 60 ) 6 18 : 6 60 : M.C:D. ( 60, 660 ) : : M.C:D. ( 140, 6 ) 140 : : : 12 5 M.C:D. ( 60, 6 ) 12 6 : : 0 7 M.C:D. ( 210, 660 ) : : 28 5 M.C:D. ( 140, 168 ) : : M.C:D. ( 12, 6 ) 12 6 : : 60 5 M.C:D. ( 00, 660 ) : Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 1

33 4 REDUCCION DE FRACCIONES A COMUN DENOMINADOR Reducir fracciones a común denominador es hallar otras fracciones equivalentes a las primeras que tengan todas el mismo denominador. Para reducir fracciones a común denominador se calcula el m.c.m. de los denominadores que será el nuevo denominador de las fracciones y el numerador de cada fracción será el resultado de dividir el m.c.m. entre cada denominador y multiplicar por el numerador. Ejemplo : Reduce a común denominador las siguientes fracciones: ,, y,, y m.c.m. ( 6, 60, 6, 54 ) : : : : Reduce a común denominador las siguientes fracciones: ,, y,, y m.c.m. ( 2, 96, 60, 96 ) : : : : ,, y,, y m.c.m. ( 12, 40, 16, 80 ) : : : : Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 2

34 Reduce a común denominador las siguientes fracciones: ,, y,, y m.c.m. ( 96, 72, 50, 90 ) : : : : ,, y,, y m.c.m. ( 120, 0, 24, 2 ) : : : : ,, y,, y m.c.m. ( 50, 27, 20, 60 ) : : : : Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira -

35 5 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES La suma o resta de fracciones de igual denominador es otra fracción con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores de las fracciones dadas. Ejemplo : Calcula y simplifica si se puede M.C.D.( 66, 100 ) 2 66 : : 2 50 Calcula y simplifica si se puede M.C.D.( 216, 0 ) : 6 0 : M.C.D.( 108, 6 ) : 6 6 : M.C.D.( 250, 56 ) : 2 56 : M.C.D.( 90, 200 ) : : M.C.D.( 26, 16 ) 4 26 : 4 16 : M.C.D.( 6, 200 ) : : : M.C.D.( 248, 96 ) : 8 12 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 4

36 Para sumar o restar fracciones de distinto denominador primero hay que reducirlas a común denominador y después se opera como con las de igual denominador. Ejemplo : Calcula y simplifica si se puede: M.C.D. ( 486, 126 ) : : m.c.m. ( 42, 18 ) : : Calcula y simplifica si se puede: M.C.D. ( 250, 162 ) 250 : ## : 2 81 c.m. ( 18, 81 ) : : : 6 M.C.D. ( 252, 72 ) : c.m. ( 6, 24 ) 72 : : : 48 - M.C.D. ( 96, 144 ) : 48 2 c.m. ( 48, 72 ) : 48 6 : Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 5

37 Calcula y simplifica si se puede: M.C.D. ( 20, 252 ) 20 : : 4 6 c.m. ( 12, 6 ) : : : 60 M.C.D. ( 420, 120 ) : c.m. ( 24, 0 ) : : : 8 - M.C.D. ( 28, 216 ) : c.m. ( 24, 54 ) : : : M.C.D. ( 0, 108 ) : 6 18 c.m. ( 6, 27 ) : : Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 6

38 6 PRODUCTO DE FRACCIONES El producto de varias fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores de las fracciones dadas y como denominador el producto de los denominadores de las fracciones dadas. Ejemplos : 2 x x 4 x x 6 x 4 2 x 6 x 1 x1x DIVISIÓN DE FRACCIONES Se llama fracción inversa a la fracción que resulta de intercambiar entre sí el numerador y el denominador de una fracción Ejemplos : La fracción inversa de es La fracción inversa de es 7 2 La división de fracciones es otra fracción que se obtiene al multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda. Ejemplos : 2 1 : 4 2 x : x Calcula y simplifica si se puede M.C.D.( 192, 96 ) : : : M.C.D.( 60, 1050 ) 0 60 : : M.C.D.( 1200, 480 ) : : : M.C.D.( 504, 160 ) : : : 24 M.C.D.( 1176, 1200 ) : : M.C.D.( 1260, 1400 ) : : : 6 5 M.C.D.( 210, 192 ) : : 48 2 : M.C.D.( 96, 720 ) : Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 7

39 DE REPASO Calcula: de : de 6 6 : de : de : Expresa en forma decimal las siguientes fracciones, con dos cifras decimales si es necesario: : 41 0, : 5 0, : 22 2, : 4 0,7 Tenía 2700 y me gaste /15 por la mañana y 5/18 por la tarde. Cuánto dinero me sobró? Solución 1410 Cuántas rosas son 8/14 de 56 docenas de rosas? Solución 84 rosas Cuántos días son 8/14 de 56 semanas? Solución 224 días Halla el valor de x en las siguientes expresiones 9 x x x x Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 8

40 Simplifica las siguientes fracciones: M.C:D. ( 126, 60 ) : : : 10 4 M.C:D. ( 40, 450 ) : M.C:D. ( 154, 840 ) 154 : : Reduce a común denominador las siguientes fracciones: ,, y,, y m.c.m. ( 180, 48, 6, 48 ) : : : : Calcula y simplifica si se puede: : Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 9

41 NÚMEROS DECIMALES 1 LECTURA Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Todo número decimal se compone de una parte entera, la coma y la parte decimal. Parte entera, Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas Cienmilésimas Millonésimas Los números decimales se leen de la siguiente manera: 1º Nombramos la parte entera seguida de la palabra "unidades". 2º Nombramos el número a la derecha de la coma, dándole el nombre de la última unidad decimal que aparece. Ejemplos : 12,2 Doce unidades veintitrés centésimas. 0,074 Cero unidades setecientas treinta y cuatro diezmilésimas. Escribe con cifras las siguientes cantidades: Cuatro unidades y ochocientas cuatro milésimas 4,804 Novecientas unidades y dieciocho diezmilésimas 900,0018 Ocho unidades y cuarenta y cinco centésimas 8,45 Cuarenta unidades y tres décimas 40, Dos unidades y veintiocho cienmilésimas 2,00028 Seiscientas unidades y ochocientas cuarenta y dos millonésimas 600, Siete unidades y ochocientas treinta y seis milésimas 7,86 Tres unidades y sesenta y cinco centésimas,65 Ocho unidades y quinientas cinco milésimas 8,505 Trescientas unidades y dieciocho diezmilésimas 00,0018 Dos unidades y sesenta y cuatro centésimas 2,64 Cuarenta unidades y cinco décimas 40,5 Nueve unidades y veintiocho cienmilésimas. 9,00028 Ochocientas unidades y ochocientas cuarenta y cuatro millonésimas 800, Nueve unidades y ciento sesenta cuatro milésimas 9,164 Seis unidades y sesenta y dos centésimas 6,62 Doscientas unidades y ochocientas cincuenta y tres millonésimas 200,00085 Nueve unidades y doscientas cuarenta siete milésimas 9,247 Cuatro unidades y sesenta y cuatro centésimas 4,64 Tres unidades y trescientas cuatro milésimas,04 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 40

42 Para ordenar números decimales se pueden igualar todos con el mismo número de cifras decimales, añadiendo ceros al final de los que menos tengan. Ejemplo : Ordena de menor a mayor los siguientes números decimales:,2, 17,168,200,170,000,168,000 <,168 <,170 <, 200 <,168 <,17 <,2 Ordena de menor a mayor los siguientes números: 0,16 0,22 0,215 0,915 0,90 0,891 0,886 0,16 < 0,215 < 0,22 < 0,886 < 0,891 < 0,90 < 0,915 Ordena de mayor a menor los siguientes números: 0,0205 0,0805 0,0755 0,7755 0,765 0,7515 0,7465 0,7755 > 0,765 > 0,7515 > 0,7465 > 0,0805 > 0,0755 > 0,0205 Ordena de menor a mayor los siguientes números: 2,86 2,92 2,915,615,60,591,586 2,86 < 2,915 < 2,92 <,586 <,591 <,60 <,615 Ordena de mayor a menor los siguientes números: 8,5 8,41 8,405 9,105 9,09 9,081 9,076 9,105 > 9,09 > 9,081 > 9,076 > 8,41 > 8,405 > 8,5 Ordena de menor a mayor los siguientes números: 7,11 7,17 7,165 7,865 7,85 7,841 7,86 7,11 < 7,165 < 7,17 < 7,86 < 7,841 < 7,85 < 7,865 Ordena de mayor a menor los siguientes números: 71, 71,6 71,55 72,055 72,04 72,01 72,026 72,055 > 72,04 > 72,01 > 72,026 > 71,6 > 71,55 > 71, Ordena de menor a mayor los siguientes números: 65,2 65,26 65,255 65,955 65,94 65,91 65,926 65,2 < 65,255 < 65,26 < 65,926 < 65,91 < 65,94 < 65,955 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 41

43 2 SUMA DE NÚMEROS DECIMALES Para sumar números decimales se escriben unos debajo de otros de manera que se correspondan las unidades del mismo orden y se pone la coma en el resultado bajo la columna de las comas. Ejemplos : 41,25 + 0,081 41,25 28, ,42 28,7 + 0, ,1 + 1,42 5,12 Calcula ,1 686,1 0, ,5 628,08 0, ,5 + 74,9 142,209 0, ,2 65, ,17 + 4,5 545,67, ,6 + 0,4 69,62 18,2 + 0, ,984 2,48 + 0,18 + 4,1 6,766 61,9 + 0, ,06 62,15 8,48 + 2, , , ,45 0,71 + 7, ,99 RESTA DE NÚMEROS DECIMALES Para restar dos número decimales se coloca uno debajo de otro de manera que se correspondan las unidades del mismo orden y se añaden los ceros necesarios para que los dos números tengan el mismo número de cifras decimales. Ejemplos : 261,82 5,6 261,82 8,45 8,00-5,60 -,45 226,22 4,55 Calcula 702-1, ,291 6,9-0,88 6,02 88, - 1,96 86,4 6,1-0,699 5, ,46 99,54 47,7-2,76 44,94 52,8-7,01 45,79 2,58-0,594 1, , ,05 16,1-0,66 15,47 77,9-2,76 75,14 6,14-0,887 5,25 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 42

44 4 PRODUCTO DE UN NÚMERO DECIMAL POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros sigan a la unidad y si no hay bastantes cifras se completan con ceros. Ejemplos :, ,5 2, x 10 x 100 x x x ,0048 0,048 0,48 4, ,05 90, ,881 2,881 28,81 288, ,70 77,0 770, ,0004 0,004 0,04 0, ,01 0,1 1, ,402 4,02 40, ,76 697, PRODUCTO DE DOS NÚMEROS DECIMALES Para multiplicar dos números decimales se efectúa la multiplicación normalmente y en el resultado se separan desde la derecha tantas cifras decimales como decimales tuviesen entre los dos números. Ejemplo : 25, 5,2 25, x 5, ,56 Calcula 198 x 7, ,224 64,7 x 0,672 4, x 5,14 21, 4,57 x 0,462 2, x,8 1440,08 78,1 x 4,54 54,574 67,9 x 7,68 521,472 7,4 x 0,494, x, ,906 77,5 x 0,679 52,6225 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 4

45 6 DIVISION DE DOS NÚMEROS DECIMALES Para dividir dos números decimales se suprime la coma del número que más cifras decimales tenga y se desplaza la coma del otro número tantos lugares a la derecha como cifras decimales tuviese el otro número, añadiendo ceros si es preciso. Ejemplo : Calcula aproximando hasta las décimas 25,6 :, ,6 190 Calcula 0,8589 : 0,677 0,57,7026 : 0,6 0, ,9 : 7, ,9 : 87, 54,1 6,92172 : 0,884 7,8 29,4756 : 72,6 0,406 27,1884 : 6,52 4,17 420,09 : 20,1 20,9 667,04 : 8,8 75,8 0,87192 : 0,252,46 7 DIVISIÓN DE UN DECIMAL ENTRE LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS Para dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros, se corre la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad, añadiendo ceros si es preciso. Ejemplos : 85,6 : 100,856 28,7 : , : ,0126 Calcula 0,554 : 10 0, ,8 : 10 2,98 41 : 10 4,1 61,6 : , , : ,002 0,007 : , , : 10 4,5 0,0456 : , ,515 : 100 0, ,78 : , ,8 : , ,598 : , ,41 : , ,784 : , ,01 : 10 0,401 0,071 : , : 100 0,6 54,8 : ,00548 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 44

46 8 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Para resolver problemas debes leerlos atentamente varias veces hasta que los entiendas y una vez resueltos debes revisar las operaciones y verificar si la solución tiene sentido. David compró bolígrafos a 1,14 cada uno; 5 cuadernos a 2,0 cada uno y rotuladores a 1,72 cada uno; si pago con 50 cuánto dinero le devolverán? 1,27 Un grifo gotea 0,46 litros de agua cada minuto Cuántos litros de agua se perderán en 8 horas? 220,8 litros La suma de tres números es 69,68; el primero es 17,2;5 el segundo es 40,88 cuál es el tercer número? 11,6 Andrés corta un listón de madera de 5,98 metros en trozos de 0,46 metros cuántos trozos obtiene? 1 trozos Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 45

47 Un abrigo cuesta 111,5, por estar rebajado nos descuentan la quinta parte de su precio cuál es su precio final? 89,2 Elena ha echado 7 litros de gasolina y Juan ha echado 4,2 litros menos que Elena; si cada litro degasolina cuesta 0,97 cuánto tiene que pagar Juan? 1,816 Un comerciante compra 141 litros de leche a 0,4 el litro y los vende a 0,8 el litro cuánto dinero ha ganado? 56,4 Para tapizar un tresillo Miguel compra tres clases de tela, de la primera compra,8 metros a 27,2 el metro, de la segunda compra 4,7 metros a 18,9 el metro y de la tercera 5,8 metros a 18,1 el metro Cuánto le costó? 297,17 Carlos vive a,66 km de su trabajo cuántos km recorrerá en ir y venir de su casa al trabajo en 16 días? 117,12 km Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 46

48 DE REPASO Escribe con cifras las siguientes cantidades: Nueve unidades y ciento tres milésimas 9,10 Setecientas unidades y quince diezmilésimas 700,0015 Tres unidades y sesenta y cuatro centésimas,64 Sesenta unidades y cuatro décimas 60,4 Ordena de menor a mayor los siguientes números: 0,028 0,088 0,08 0,78 0,771 0,759 0,754 0,028 < 0,08 < 0,088 < 0,754 < 0,759 < 0,771 < 0,78 Ordena de mayor a menor los siguientes números: 7,95 8,01 8,005 8,705 8,69 8,681 8,676 8,705 > 8,69 > 8,681 > 8,676 > 8,01 > 8,005 > 7,95 Calcula 2,2 + 0, ,11 6,415 2, , 662, , ,291 6,9-0,88 6,02 1,9 x 7,42 26,698 4,4 x 0,496 2,15264,746 : 7,69 4,4 0,11119 : 0,79 0,421 0,0629 x 100 6,29 1,8 x x 8, ,76 64,4 x 0,6 21, x 8,62 741,2,96 x 0,875,465 David compró bolígrafos a 1,96 cada uno; 5 cuadernos a 2,52 cada uno y 4 rotuladores a 1,2 cada uno; si pago con 50 cuánto dinero le devolverán? 26,24 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 47

49 Bañador Calcetines Camiseta Pantalón Chaqueta 11,7 2,16 26,2 6 5, 1) Si compras bañadores y 2 camisetas y pagas con 200 cuánto te devuelven? Solución 141,12 2) Si compras calcetines y pantalones y pagas con 500 cuánto te devuelven? Solución 85,52 ) Si compras 2 pantalones y 2 chaquetas y pagas con 500 cuánto te devuelven? Solución 21,4 4) Si compras camisetas y 5 pantalones y pagas con 500 cuánto te devuelven? Solución 241,4 5) Si compras bañadores y 5 chaquetas y pagas con 500 cuánto te devuelven? Solución 198,4 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 48

50 NÚMEROS ENTEROS 1 CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO Un número entero es un número natural que lleva delante un signo + o -. Los números enteros que llevan delante un signo + se llaman positivos y los que llevan delante un signo se llaman negativos. Ejemplos : + 5, + 12, + 5 serían positivos y 5, - 12 y 5 serían negativos. Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se le llama Conjunto de los números enteros y está compuesto por infinitos números {..., - 4, -, - 2, - 1, 0, +1, + 2, +, + 4,...} Los números enteros se pueden representar sobre una recta en la que situamos el cero, los números negativos a su izquierda y los positivos a su derecha Se llama valor absoluto de un número entero al número que resulta después de quitar el signo + o al número entero. Ejemplos : Valor absoluto de Valor absoluto de 7 7 Los números enteros crecen de valor según nos movemos de izquierda a derecha en la recta numérica Ejemplo : Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros: +4, -5, 0, +2, -, +1, -2-5 < - < -2 < 0 < +1 < +2 < +4 Ordena de menor a mayor los siguientes números: < -66 < -40 < -26 < -6 < 21 < 4 < 9 < 55 < 78 Ordena de mayor a menor los siguientes números: > 42 > 17 > 10 > -1 > -21 > -6 > -45 > -61 > -64 Ordena de menor a mayor los siguientes números: < -62 < -42 < -2 < - < 17 < 7 < 56 < 59 < 80 Ordena de mayor a menor los siguientes números: > 16 > 2 > -4 > -8 > -47 > -58 > -78 > -82 > -8 Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 49

51 2 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar dos números enteros hay que distinguir dos casos: 1º Si tienen el mismo signo: Se suman los valores absolutos de los números y al resultado se le pone el mismo signo que llevasen los números. 2º Si tienen distinto signo: Se restan los valores absolutos de los números y al resultado se le pone el signo del número que tuviese mayor valor absoluto. Ejemplos : Calcula Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 50

52 Para sumar varios números enteros se suman primero todos los positivos luego todos los negativos y después se suman los dos resultados anteriores Ejemplo : Calcula Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 51

53 SUMAS CON PARENTESIS Y CORCHETES Si en una expresión hay paréntesis y corchetes el orden de las operaciones debe ser: 1º Se efectúan las operaciones que hay dentro de los paréntesis, si el paréntesis no lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el paréntesis lleva delante un signo se escribe el resultado opuesto. 2º Se efectúan las operaciones que hay dentro de los corchetes, si el corchete no lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el corchete lleva delante un signo se escribe el resultado opuesto. Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo + delante, es decir +5 y 5 es lo mismo. Ejemplo : 5 [2 ( 9) + (2 )] Calcula 5 [ ] (6-26) + (8 + 4) [(2-9) + (2 - ) + ] [(2-2) - (6 - ) + 18 ] (5-8) - ( + ) ( - 8) + ( + 6) [(6-9) + (7-1) + 15 ] [(8-2) - (6-4) + 28 ] (2-6) - (4 + 8) ( - ) + (28 + 4) [(9-21) + (11-18) + ] [( - 1) - (7-26) + 1 ] (7-26) - (1 + 11) ( - 27) + (7 + 16) [(9-17) + (9-16) + 2 ] [(8-17) - ( - 10) + 2 ] (5-14) - (9 + 17) Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 52

54 4 PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros hay que distinguir dos casos: 1º Si tienen el mismo signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado será positivo. 2º Si tienen distinto signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado será negativo. Ejemplos : (- 4) - 4 ( - ) (- 5) + 15 ( - 2) 4-8 Para multiplicar varios números enteros se multiplican el primero por el segundo, este resultado por el tercero, este resultado por el cuarto y así sucesivamente hasta el último. Ejemplo: (- 2) ( - ) 1 ( - 2) DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para dividir dos números enteros hay que distinguir dos casos: 1º Si tienen el mismo signo: Se dividen los valores absolutos y el resultado será positivo. 2º Si tienen distinto signo: : Se dividen los valores absolutos y el resultado será negativo. Ejemplos : 8 : : (- 4) - 2 ( - 8) : (- 4) 2 ( - 8) : 4-2 Completa los recuadros vacíos a b a b a b a : b a b a b a b a : b Recuperación de Matemáticas 2º ESO Manuel Balcázar Elvira - 5