MODELAJE DE SISTEMAS HIDRAULICOS

Transcripción

1 MODELJE DE SISEMS HIDULICOS EJEMPLO.- NQUE DE LMCENMIENO CON DENJE VÉS DE UN UBEÍ CO (FLUJO LMIN) anque de área transversal, que almacena un fluid cuya densidad ρ es cnstante. Fluid drena a través de una válvula. Se desea cntrlar h(t) pr medi de la regulación de q(t). q(t) h(t) q (t) Objetiv: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación de q(t) Supsicines:.- Fluj laminar.- Densidad cnstante 3.- rea transversal del tanque, n varía cn el nivel del líquid 4.- anque abiert y descarga del fluid a la atmósfera. Cnstantes: Variables: resistencia fluídica h(t) nivel del tanque (Var. cntrlada) ρ densidad q (t) fluj de salida área del tanque q(t) fluj de entrada (Var. Manipulada) Dats: q q 00 m 3 /h h 7 m 7 m 5

2 MODELO MEMICO EN ECUCIONES DIFEENCILES Balance de masa MS MS MS QUE QUE QUE SE EN SLE CUMUL () d( ρh ) ρ q( t ) ρq( t ) () mand en cuenta que y ρ sn cnstantes qt ( ) q t dh ( ) (3) Ecuación cnstitutiva Expresión para q (t). mand en cuenta fluj laminar: existe relación lineal entre q (t) y h(t) h( t ) q ( t ) kh( t ) (4) dnde k ceficiente resistencia lineal h(t) q (t) 6

3 Mdel cmplet del sistema: qt ( ) q t dh ( ) (3) q ( ht t ) ( ) (4) cn ls valres numérics: 7 m h 0.07 q MODELO MEMÁICO EN FUNCIÓN DE NSFEENCI Se definen las variables de perturbación: q ( t) q( t) q q ( t) q ( t) q h ( t) h( t) h 0 (5) (6) (7) dnde q, q yhvalres btenids del sistema perand en estad estacinari. Se escriben ecuacines del sistema en estad estacinari: q q dh h q (8) (9) Se restan (8) y (9) de (3) y (4) y se utiliza ntación de variables de pertubación q t q t dh ( ) ( ) q h ( t) ( t) (0) () 7

4 Se supnen variacines pequeñas alrededr del punt de peración. Se tma la transfrmada de Laplace de (0) y () Q ( s) Q ( s) sh ( s) H ( s) Q ( s) () (3) Se sustituye (3) en () y se agrupan términs. Función de ransferencia H Q ( s) ( s) s (4) Frma general. H ( s ) k Q ( s ) τ s (5) dnde: k ganancia estática del sistema τ cnstante de tiemp del sistema DIGM DE BLOQUES Para ls valres numérics cncids 7 m 0.07 Q ( s ) k H ( s ) τ s se calculan ls parámetrs de la Función de ransferencia: k 0.07 τ 0.49 Q ( s ) 0.07 H ( s ) 0.49s 8

5 EJEMPLO.- NQUE DE LMCENMIENO CON DENJE VÉS DE UN UBEÍ CO (FLUJO UBULENO) anque de área transversal, que almacena un fluid cuya densidad ρ es cnstante. Fluid drena a través de una válvula, se desea cntrlar h(t) pr medi de la regulación de q(t). q(t) h(t) Objetiv: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación de q(t) q (t) Supsicines:.- Fluj turbulent.- Densidad cnstante 3.- rea transversal n varía cn el nivel del líquid 4.- Caída ttal de presión es debida a la restricción 5.- Dinámica del fluj en la tubería rápida cn respect a dinámica del nivel 6.- anque abiert y descarga a la atmósfera 7.- N existen pérdidas pr fricción Cnstantes: Variables: área del tanque h(t) nivel del tanque (Var. cntrlada) ρ densidad q (t) fluj de salida q(t) fluj de entrada (Var. Manipulada) Dats: q q 00 m 3 /h h 7 m 7 m 9

6 MODELO MEMÁICO EN ECUCIONES DIFEENCILES Balance de masa d( ρh ) ρ q( t ) ρq( t ) () mand en cuenta que y ρ sn cnstantes qt ( ) q( t) dh (3) Ecuacines cnstitutivas Expresin para q (t). mand en cuenta fluj turbulent: n existe relación lineal entre q (t) y h(t) q C h (4) dnde C : cnstante prpia del sistema.f(,g) Mdel cmplet del sistema: qt q t dh ( t ) ( ) ( ) (3) q C h(t) (4) cn ls valres numérics: 7 m q C 37.8 h m 3 m / h 0.5 0

7 MODELO MEMÁICO EN FUNCIÓN DE NSFEENCI Se linealiza h. Se utiliza expansión de aylr sabiend que se cumple cn las siguientes cndicines: - las variables sn cntinuas - las derivadas también sn cntinuas En general, expansión de aylr para una función de ds variables f f(x,x ): f ( x, x) f f ( x, x) ( x x ) x x, x ( x f x) x x, x ( x x )! f x x, x ( x x)! f x x, x... (5) Se tma en cuenta la primera derivada. Se aplica a h h h ( h h h ) (6) dnde h : valr del nivel en el estad estacinari Se sustituye (6) en (4): q C h h h h ( ) (7) Ecuacines en estad estacinari: q q dh q C h (8) (9)

8 Se restan (8) (9) de (3)(7) y se utiliza ntación de variable de perturbación: dh q ( t) q ( t) C q h( t) h (30) (3) Se sustituye (3) en (30) y se tma transfrmada de Laplace: Q ( s) C' H ( s) sh ( s) (3) C dnde C' h Se despeja H(s) en función de Q(s). Función de transferencia H ( s ) k Q ( s ) τ s (33) dnde: k h C τ C' C h DIGM DE BLOQUES Q ( s ) k H ( s ) τ s Para ls valres numérics cncids: 7 m C 37.8

9 se calculan ls parámetrs de la Función de ransferencia: k 0.4 τ 0.98 Q ( s ) 0.4 H ( s ) 0.98s 3

10 EJEMPLO 3.- NQUE CON DENJE VÉS DE UN BOMB anque de área transversal, que almacena un fluid cn densidad ρ. Fluid sale a través de una bmba. Se desea cntrlar h(t) pr medi de la regulación de q(t). q(t) h(t) q Objetiv: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación q(t). Supsicines:.- Fluj laminar.- Densidad cnstante 3.- rea transversal del tanque, n varía cn el nivel del líquid 4.- anque abiert y descarga del fluid a la atmósfera. 5.- La bmba mantiene un fluj cnstante de salida Cnstantes area del tanque q fluj de salida Variables h(t) nivel del tanque q(t) fluj de entrada 4

11 MODELO MEMÁICO EN ECUCIONES DIFEENCILES Balance de masa Ecuación que representa el mdel matemátic del sistema: qt ( ) q dh (34) dnde q fluj cnstante de salida que prprcina la bmba. MODELO MEMÁICO EN FUNCIÓN DE NSFEENCI Ecuación en estad estacinari: q q dh (35) Se resta de ecuación estad n estacinari: dh q ( t ) (36) Se tma ransfrmada de Laplace H ( s ) k (37) Q ( s ) s dnde k ganancia estática del sistema / 5

12 DIGM DE BLOQUES Q ( s ) k H ( s ) s Para ls valres numérics cncids k 0.4 Q ( s ) 0.4 H ( s ) s 6

13 EJEMPLO 4.- NQUE CON DENJE VÉS DE UN UBEÍ LG. anque de área transversal, que almacena un fluid cn densidad ρ. Liquid drena a través de una tubería larga. Se desea cntrlar h(t) manipuland q(t) q(t) h(t) 3 v(t),,f q (t) L Objetiv: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación q(t). Supsicines:.- Fluj laminar.- Densidad cnstante 3.- rea transversal del tanque, n varía cn el nivel del líquid 4.- anque abiert y descarga del fluid a la atmósfera. Cnstantes: area del tanque area de la tubería d diámetr de la tubería f ceficiente de fricción L lngitud de la tubería Variables: h(t) nivel en el tanque q(t) fluj de entrada v(t) velcidad del fluj. q (t)fluj de salida 7

14 MODELO MEMÁICO EN ECUCIONES DIFEENCILES Balance de masa qt ( ) q t dh ( ) (38) Ecuación cnstitutiva Expresión para q (t). q ( t ) v ( t ) (39) Utilizand La ecuación de Bernulli: dv L L gh( t) f v ( ) d t (4) Mdel cmplet del sistema: dh q ( t) q ( t) q( t) v ( t) dv L gh( t) L f d v ( t) (38) (39) (4) MODELO MEMICO EN FUNCIÓN DE NSFEENCI Se linealiza v v v v( v( t) v) (43) Se sustituye en (4) 8

15 dv L L gh( t ) f ( v v( v( t ) d v ) (44) Se resta (38), (39) y (44) de las ecuacines de estad estacinari, se utiliza variables de perturbación, se tma la transfrmada de Laplace: sh ( s) Q ( s) Q ( s) Q ( s) V ( s) ( Ls vk) V ( s) gh ( s) (45) (46) (47) dnde k f L d Función de transferencia glbal del sistema: se sustituye (46) y (47) en (45) se utiliza la frmula de Masn pasand pr ls diagramas de blque y diagramas de fluj de señales. DIGM DE BLOQUES DE CD ECUCION Q - ( s) H ( s ) s s V ( ) ( ) Q s Q ( s) H ( s) g Ls ν k V ( s) DIGM DE BLOQUES GENEL Q ( s) Q ( s) - s H ( s ) V ( s) g Ls ν k 9

16 Q ( s) H ( s ) - s g Ls ν k Si se utiliza la técnica de reducción de blques ls diagramas de fluj de señales y la fórmula de Masn se encuentra el diagrama de blques reducid: Q ( s ) Ls ν k H ( s ) s( Ls ν k g ) 30

17 EJEMPLO 5.- DOS NQUES CONECDOS Ds tanques intercnectads. Se desea cntrlar el nivel del segund tanque manipuland el fluj de entrada al mism. q(t) h (t) h (t) anque q (t) anque q (t) Objetiv: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación de q(t). Supsicines:.- Fluj laminar.- Densidad cnstante 3.- rea transversal de ls tanques n varían cn el nivel del líquid 4.- anques abierts y descarga del fluid a la atmósfera. Cnstantes: Variables: area del primer tanque h (t) nivel del primer tanque area del segund tanque h (t) nivel del segund tanque resistencia fluídica de la º válvula q (t) fluj de líquid de resistencia fluídica de la º válvula q (t) fluj de salida del sistema q(t) fluj de entrada al sistema 3

18 MODELO MEMÁICO EN ECUCIONES DIFEENCILES Balance de masa dv ρq t ρ ρ ( ) (49) dv dh ρ q ( t ) ρq( t ) ρq( t ) ρ ρ (50) Ecuacines cnstitutivas Expresión para q (t) y q (t) q q h( t) h( t) ( t) h ( t) 0 ( t) (5) (5) Se sustituye (5) y (5) en (49) y (50) dh h h dh h ( ) h q (53) (54) 3

19 MODELO MEMÁICO EN FUNCIÓN DE NSFEENCI Se escriben las ecuacines en estad estacinari y se restan de las ecuacines en estad n estacinari dh h h dh h ( ) h q (55) (56) Se tma transfrmada de Laplace a (55) y (56) ( s ) H ( s ) H ( s ) [ s ( )] H ( s ) H ( s ) Q ( s ) (57) (58) Función de transferencia glbal : se despeja H de (57) y se sustituye en (58), se utiliza la frmula de Masn pasand pr ls diagramas de blque y diagramas de fluj de señales DIGM DE BLOQUES DE LS ECUCIONES ( H s ) s Q ( s) H ( s) H ( s ) H ( s) s 33

20 DIGM DE BLOQUES GENEL Si se utiliza la técnica de reducción de blques ls diagramas de fluj de señales y la fórmula de Masn se encuentra el diagrama de blques reducid: ( ) s s s s ) ( Q ) s H ( s ) ( s Q ) ( H s s 34

21 EJEMPLO 6.- NQUE PESUIZDO anque cerrad que cntiene un líquid cuy nivel varía y sbre el cual se encuentra un gas. La entrada y salida del líquid al tanque se realiza a través de una válvula. Se desea cntrlar el nivel del líquid en el tanque manipuland la presión de entrada al sistema. P (t) h(t) q (t) P (t) V P (t) V P 3 q (t) Objetiv: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación de P (t) Supsicines:.- Gas ideal.- La expansión y cmpresión sn istérmicas 3.- N se cnsidera evapración 4.- Densidad cnstante y Cv Cv 5.- Presión en el fnd del tanque Presión de entrada y salida del tanque 6.- Dinámica del fluid en tubería más rápida respect dinámica del nivel del tanque 7.- Caída ttal de presión es debida a la restricción. 8.- Presión de salida P 3 es la presión atmsférica. Cnstantes: Variables: area del tanque q (t) fluj vlumétric de entrada temperatura del tanque q (t) fluj vlumétric de salida P 3 presión atmsférica P (t) presión del gas V válvula de entrada P (t) presión de entrada V válvula de salida P (t) presión de salida h(t) nivel del tanque 35

22 MODELO MEMICO EN ECUCIONES DIFEENCILES Balance de masa en el líquid dρv ( t ) ρ q ( t ) ρ (60) dh ( t ) q ( t ) (6) q q Ecuacines cnstitutivas Expresión para q (t) y q (t). En este cas deben ser función de la caída de presión: q ( t ) q ( t ) f ( p ) f ( p ) P q q P v v dnde: v velcidad del fluid aguas arriba v velcidad del fluid en la garganta de la válvula Se expresa el fluj en función de la presión: q ( t ) Cv P P (70) dnde C v es la cnstante de la válvula Expresines para el fluj de entrada y fluj de salida q ( t ) C q ( t ) C v v P P P P 3 C C v v P ( P ( P γh ) γh ) P 3 (7) (73) 36

23 Se busca P (h). V V V g (74) dnde: V vlumen de liquid h V g vlumen de gas V h Se usa la Ley de ls gases ideales: PV m g (75) dnde: P presión del gas V g vlumen del gas m g masa del gas g temperatura del gas cnstante universal Se sustituye (74) y se despeja P P m V h (76) Mdel cmplet del sistema dh q ( t ) q( t ) (6) q ( t ) C P P C P ( P γh ) (7) v q ( t ) C v P P 3 C v v ( P γh ) P 3 (73) P m V h (76) 37

24 MODELO MEMICO EN FUNCIÓN DE NSFEENCI Se linealizan ls términs n-lineles ) Fluj de entrada: m q Cv P γ h q( P, h) (77) V h Linealizand m q Cv P V h m C P v V h m γh Cv P V h γh / ( m ) ( V h ) γh ( P P) γ ( h h ) / (78) q ( P, h) q b( P P ) c( h h ) (79) dnde : m b C P v V h m c Cv P V h γh γh / / ( m ) ( V h ) γ ) Fluj de salida q ( h) q d( h h ) (80) dnde d C m V h γh P v 3 / m ( V h ) γ 38

25 Se escriben las ecuacines en estad estacinari y se restan de las ecuacines en estad n estacinari: dh q q (8) q q dh bp ch (8) (83) Se sustituye (8) y (83) en (8), se tma la transfrmada de Laplace y se despeja H P ( s) k ( s) τs (84) dnde: b k d c τ d c DIGM DE BLOQUES P ( s ) b d c s d c H ( s ) dnde: m b C P v V h m c Cv P V h γh γh / / ( m ) ( V h ) γ 39

26 d C m V h γh P v 3 / m ( V h ) γ 40