Ampliación de Álgebra Lineal y Geometría

Transcripción

1 Ampliación de Álgebra Lineal y Geometría Resumen 1 Elementos de Álgebra Lineal Modos de determinar un subespacio: Generado por k vectores linealmente independientes: S =< u 1, u 2,..., u k > Ecuación vectorial de S: S = λ 1 u λ k u k (siendo u 1,..., u k los vectores generadores de S) x 1 = λ 1 α λ n α n1 Ecuación paramétrica de S:... donde cada α ij sale de las coordenadas de x n = λ k α k1 + + λα nk cada u i vector generador de S pasando de una ecuación vectorial a un sistema de ecuaciones en el cuerpo. x x n α α 1n Ecuación cartesiana de S: Si, ahora, se impone que la matriz tenga rango n-k (o α k α kn euqivalentemente, que el determinante sea 0) se obtienen las ecuaciones cartesianas. Dimensión: Número de vectores que engendran el subesapcio vectorial. Si un subespacio tiene k ecuaciones cartesianas, su dimensión siempre será de n-k. Recta vectorial: Subespacio de dimensión 1 Plano vectorial: Subespacio de dimensión 2 Hiperplano: Subespacio de dimensión n-1 (en un espacio vectorial de dimensión n) Retículo de subespacios S(V): Familia de subespacios de un espacio vectorial V. Con la relación de inclusión se forma un retículo, donde inf{s, T } = S T y sup{s, T } = S + T S + T : es la suma de subespacios. Se halla uniendo las bases de ambos subespacios S y T S T : es la intersección de subespacios. Se halla imponiendo que se cumplan las ecuaciones cartesianas de ambos supespacios S y T Fórmula de Grassman: dim(s + T ) = dim(s) + dim(t ) dim(s T ) S T : es la suma directa de subespacios. Es una suma de subespacios en la que S T = 0. Suplemento: Se dice que S es suplemento de T cuando S T = 0 y S T = V (es decir, engendran todo el espacio 1

2 Aplicaciones lineales Aplicación lineal: es una apliación f : V V entre espacios vectoriales que conserva combinaciones lineales, es decir: f(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 f(x 1 ) + λ 2 f(x 2 ) Matriz asociada a una aplicación lineal: será una matriz compuesta por las imágenes de los vectores de la base de V escritos en la base V'. Propiedades de las aplicaciones lineales: Sea f : V V una aplicación lineal y A su matriz asociada (1) Ker(f) V y Im(f) V (2) f es monomorsmo (aplicación lineal inyectiva) Ker(f) = 0 conserva independencia lineal (3) Si dim(v ) = dim(v ); f es monomorsmo f es epimorsmo (aplicación lineal sobreyectiva) (4) rango(a) = dim(f(v )) (5) Si dim(v ) = dim(v ); f es isomorsmo (aplicación lineal biyectiva) A es inversible Cambio de base: Para hacer un cambio de base se debe multiplicar el vector x por la matriz del cambio de base que no es más que las imágenes de los vectores de la primera base puestos en la. Espacio dual Forma lineal: Es una aplicación lineal φ : V K donde V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K que también es espacio vectorial sobre sí mismo V : Es el espacio dual a V. Se dene como el espacio vectorial sobre K constituido por todas las formas lineales provisto de las operaciones φ + ψ : v φ(v) + ψ(v) y λφ : v φ(v)λ. A V también se le llama ortogonal. Dado un subespacio S V se obtiene S = {f V/f(S) = 0}. Dado un subespacio S V se obtiene que S = f S ker(f) 2 Elementos de Geometría Afín y Proyectiva Retículo de subespacios Espacio afín A: Es un espacio vectorial V sobre K al que a los vectores se les llama puntos Subespacio afín: Es un subespacio vectorial trasladado. T A T = τ a (S). Además, se verica que dim(s) = dim(t ) Espacio proyectivo: Si V es un espacio vectorial cuya dim(v ) = n + 1 sobre K, con n 1, P (V ) es el conjunto de los subespacios de S V con dim(s) = 1. Se tiene que dim(p (V )) = n Subespacio proyectivo: P (S) será un subespacio proyectivo de P (V ) si S es subespacio vectorial de V Puntos: Son los elementos de P (V ) Rectas: Son los subespacios S P (V ) tales que dim(s) = 1 Planos: Son los subespacios S P (V ) tales que dim(s) = 2 Hiperplanos: Son los subespacios S P (V ) tales que dim(s) = n 1 (en un espacio P (V ) con dim(p (V )) = n) Fórmula de Grassman: se sigue vericando en espacios proyectivos de la siguiente manera dim(p (S) + P (T )) = dim(p (S)) + dim(p (T )) dim(p (S) P (T )). Como observación de esta fórmula se puede decir que cada par de rectas un plano proyectivo se interseca en un punto y cada par de hiperplanos se interseca según uno de sus hiperplanos 2

3 Independencia Puntos independientes: Si tenemos que P 1 =< v 1 >... P n =< v n >. P 1... P n son independientes en el espacio proyectivo si, y sólo si, {v 1,... v n } son linealmente independientes P (S) : Subespacio engendrado por S. Es el subespacio más pequeño que contiene a S = {P 1... P n }. Se halla encontrando una base de dicho subespacio, es decir, encontrando el máximo número de puntos linealmente independientes de S. Observaciones: (1) Un punto es independiente (2) Dos puntos son independientes los puntos son distintos (3) Tres puntos son independientes los puntos no están sobre la misma recta (4) En P (V ) con dim(p (V )) = n caben, a lo sumo, n + 1 puntos independientes. Además n + 1 puntos independientes generan la totalidad del espacio P (V ) Subespacios por sus ecuaciones: Se hace de manera similar al espacio vectorial Coordenadas homogéneas Coordenada homogénea de P: Es la n + 1 upla (λ 0,..., λ 1 ) siendo esta la clase de equivalencia de las coordenadas de los vectores que engendran el punto P. Es decir, (λ 0,..., λ 1 ) y sus múltiplos (exceptuando el 0) Número de puntos de P (V ) sobre un cuerpo K con q elementos: qn+1 1 q 1 Sistema de coordenadas homogéneo: Es equivalente a una base en un espacio vectorial. Se puede dar de dos formas: (1) Por las clases de equivalencia: {v 0, v 1,..., v n } (2) Tomando n + 1 puntos independientes y añadiéndole uno, llamado unidad U, que no esté en ninguno de los hiperplanos engendrados por los primeros n + 1 puntos {P 0, P 1,..., P n ; U} Cambio de base: Si A es la matriz del cambio de base, entonces la ecuación: λx = xa es la del cambio de base, siendo, x' el nuevo vector en las nuevas coordenadas, x el vector en las primeras coordenadas y A la matriz cuyas las son las imágenes de los vectores de la base con respecto al segundo sistema de coordenadas. Espacio afín dentro del proyectivo Construcción del espacio afín: Sea H un hiperplano del espacio vectorial V sobre K. Al conjunto de puntos A(V, H) que quedan en el epacio proyectivo P (V ) al eliminar P (H) se le denomina espacio afín sobre K. Es decir, A(V, H) = P (V ) P (H). Dos hiperplanos diferentes H y H del espacio proyectivo P (V ) generan dos espacios anes diferentes, pero, en esencia son el mismo Envolvente proyectiva de A(V, H): es el espacio proyectivo P (V ) en el que está insertado Puntos del innito: Los puntos P de P (V ) tales que P P (H) Hiperplano del innito o impropio: Es el hiperplano proyectivo P (H) Subespacio afín: T A(V, H) S V/S H tal que T = P (S) P (H) Dimensión de A(V, H): coincide con la dimensión del espacio vectorial V y es una menos que la dimensión de su envolvente proyectiva Coordenadas cartesianas: Llamaremos así a las coordenadas dadas en un espacio afín A(V, H) 3

4 Cambio de coordenadas homogéneas a cartesianas: Si tenemos un punto expresado en las coordenadas homogéneas (x 0, x 1,..., x n ), sus coordenadas cartesianas serán (y 1,..., y n ) donde cada y i = xi x 0 para i = 1,..., n Cambio de coordenadas cartesianas a homogéneas: Si tenemos un punto expresado en las coordenadas cartesianas (y 1,..., y n ), sus coordenadas homogéneas serán (1, y 1,..., y n ) Principio de dualidad Correlación estándar: Son las aplicaciones S S y su inversa S S que resulta ser un antiisomorsmo de retículos (cambia de sentido las inclusiones y, por consiguiente, cambia sumas en intersecciones y viceversa) Principio de dualidad: Todo teorema en espacios proyectivos con dim(p (V )) = n sobre un cuerpo K, enunciado en términos de inclusiones, sumas, e intersecciones de subespacios proporciona un teorema dual, igualmente válido en espacios proyectivos n dimensionales sobre el mismo cuerpo K, obtenido mediante la inversión de las inclusiones, la sustitución de sumas por intersecciones y viceversa y los subespacios de dimensión r por n r 1. Esto se debe fundamentalmente a la correlación estándar 3 Proyectividades, Involuciones y Anidades Proyectividades Transformación regular: Es una aplicación lineal f : V V en la que Ker(f) = 0 (equivalentemente, f es inyectiva) Proyectividad: Es una aplicación P (f) : P (V ) P (V ) denida como P (f) < v >=< f(v) > donde f es una transofrmación regular Propiedades: (1) Tiene carácter functorial: P (1 v ) = 1 P (V ) y P (f g) = P (f) P (g) (2) dim(p (V )) dim(p (V )); la igualdad se produce cuando hay proyectividad (3) Las proyectividades conservan subesapcios: Si P (S) P (V ) f(p (S)) f(p (V )) (4) La inversa de una proyectividad es una proyectividad (5) Una proyectividad conserva: inclusiones, sumas e intersecciones (6) Si A BC σ(a) σ(b)σ(c) donde σ es una proyectividad Ecuación de una proyectividad: λx = x A donde x es el vector la de coordenadas homogénas de P en la base B, x' es el vector imagen respecto al sistema B', y A es la matriz cuyas las son las imágenes del sistema B en coordenadas B' Anidades Anidad: Es la aplicación restricción de una proyectividad al dominio A(V, H) y a la imagen A(V, H ). No hay problema porque se sabe que una proyectividad conserva dimensiones, por tanto, transforma un hiperplano H en otro hiperplano H Ecuación de una anidad: Existen dos formas: 1 α α 0n (1) (1, y 1,..., y n) 0 α α 1n = (1, y 1,..., y n ) donde, y son las coordenadas cartesianas de un α n1... α nn punto de A(V, H); y' son las coordenadas de su imagen y la matriz es la asociada a la aplicación.α

5 porque como u o / P (H); P (F ) < u o >/ P (H ) (es decir, el primer vector de la base cae fuera del hiperplano impropio) y los demás caen dentro y por eso α i0 = 0 con i > 0 α α 1n (2) También puede escribirse como: y = a + ya donde a = (α 01,..., α 0n ) y A = α n1... α nn Teorema fundamental de la Geometría proyectiva Símplex: Son n + 2 puntos de un plano proyectivo P (V ) con dim(p (V ) 1 sobre K de manera que los n+1 primeros son independientes y el último no pertenece a ninguno de los hiperplanos engendrados por los n+1 primeros. Tiene la misma construcción que un sistema de coordenadas homogéneo {P o, P 1,..., P n ; U} Teorema fundamental de la Geometría Proyectiva: Dados {P i }, {Q i } dos símplex de dos espacios proyectivos P y P con dim(p ) = dim(p ) > 0 sobre K,!σ : P P proyectividad tal que σ(p i ) = Q i para cada i. Observación: Se deduce de este teorema que basta dar la imagen del simplex para determinar por completo una proyectividad Proyectividades entre rectas en un plano Perspectividad de centro O de r sobre s: es una aplicación π o : r s denida como A A = S OA Punto doble: es un punto que se aplica sobre sí mismo a través de una aplicación. Punto jo Propiedades inmediatas: (1) π O es biyectiva (2) M = r s es un punto doble (3) r = s π O = id (4) π 1 O es otra perspectividad con el mismo centro Abcisa: Es el número λ K tal que en una perspectividad π O, dadas las imágenes de un sistema de coordenadas {A, B; C} de la recta s, donde A =< a >,B =< b >, C =< a + b >, sobre la recta r {A, B ; C } existe un único escalar λ K tal que si se toma D r con D A, D =< λa+b >en el sistema de coordenadas {A, B; C} en el que A está en el innito, B en el origen y C es el punto unidad. λ es la coordenada cartesiana en la recta afín r A Razón doble de cuatro puntos: (ABCD) = λ siendo A, B, C, D P 1 (V ) con A B C A y D A Propiedades de la razón doble: (1) Las perspectividades conservan la razón doble (2) (ABCB) = 0 (3) (ABCC) = 1 (4) (ABCD) = λ1µo λ donde 0µ 1 A, B, C, D P 1 (V ) y {a, b} es base de V ; A =< λ 0 a >, B =< λ 1 b > y D =< µ 0 a + µ 1 b > elegido el par (λ 0, λ 1 ) para que C sea el punto unidad. (5) (ABCD) = (γ α)(δ β) (δ α)(γ β) donde A, B, C, D tienen abcisa α, β, γ, δ en un sistema de coordenadas prejado Ecuación explicita de una perspectividad: x = λ0+λ1x µ 0+µ 1x donde λ 0, λ 1, µ 0, µ 1 son escalares que vienen dados al manipular la fórmula obtenida de la razón doble (ABCX) = (σ(a)σ(b)σ(c)x ) despejando x y se conocen las abcisas de dichos cuatro puntos. Puntos límite: son las imágenes y originales de los respectivos puntos impropios de r y s. Se pueden hallar haciendo tender a 0 el denominador y a la x 5

6 Teorema: Sea σ : r s una biyección entre rectas de un mismo plano proyectivo. Entonces: σ conserva razones dobles σ es una proyectividad σ se descompone, a lo sumo, en producto de 3 proyectividades Teorema: σ : r s es una perspectividad entre rectas del mismo plano M = r s es un punto doble Teorema: Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos dos a dos de una recta proyectiva con (ABCD) = λ. Se tiene que se reducen a 6 las posibles razones dobles de 4 puntos distintos (que pueden ordenarse de 4! maneras) Involuciones Ecuación implícita de σ: λxx +µx+νx +ζ = 0 (operando desde la ecuación explícita) donde λζ µν 0 y los puntos límite se pueden hallar dividiendo por x y x' y hallando límite cuando tienden a respectivamente Hallar puntos dobles: Se pueden obtener los puntos dobles de una proyectividad tomando x = x en la ecuación implícita y hallando sus raíces Proyectividad hipérbolica: Es una proyectividad que posee dos puntos jos Proyectividad parabólica: Es una proyectividad que posee un punto jo Proyectividad elíptica: Es una proyectividad que no posee puntos jos Involución: Es una proyectividad de una recta r en sí misma con σ 2 = 1 r Lema: Si A r/σ(a) A y σ 2 (A) = A σ es una involución con σ id Cuadrivértice: Es un símplex en el plano proyectivo {A, B, C, D} Vértices: Cada uno de los puntos que forman un cuadrivértice Puntos diagonales: E = AB CD, F = AC BD, G = AD BC Cuadrilátero: Son cuatro rectas {a, b, c, d} tales que no haya tres de ellas concurrentes. Es el concepto dual de cuadrivértices Lados: Son las rectas que forman el cuadrilátero Diagonales: Las tres rectas distintas de los lados que determinan los siete puntos de intersección de los cuatro lados Segundo teorema de Desargues: Sea {A, B, C, D} un cuadrivértice de un plano proyectivo y r una recta del plano que no contiene a ninguno de los vértices y que corta a BC en P, AD en P', a AB en Q, a CD en Q, a BD en R y a AC en R. Entonces, la única proyectividad σ : r r tal que σ(p ) = P, σ(q) = Q y σ(r) = R es una involución. Esto quiere decir que una recta corta a los lados opuestos de un cuadrivértice según parjeas de puntos que están en involución Teorema de Fano Teorema de Fano: Los tres puntos diagonales de un cuadrivértice sobre un plano proyectivo están alineados la característica del cuerpo base es 2. Dice lo mismo que su dual. Trapecio: Es un cuadrivértice con un punto diagonal en el innito (tiene un par de lados opuestos paralelos) Paralelogramo: Es un cuadrilátero con dos de sus puntos diagonales en el innito (tiene dos parejas de lados paralelos) 6

7 Cuaterna armónica Cuaterna arnmónica: Es una cuaterna A, B, C, D tal que (ABCD) = 1 Cuarto armónico: Es el punto D que produce una cuaterna armónica en la terna (A, B, C) Conjugados armónicos: A los puntos C y D se les denomina conjugados armónicos de A y B de una cuaterna armónicaa, B, C, D Punto medio R del segemento P Q: R = P +Q 2. Sólo tiene sentido en el espacio afín Lema: Cuatro puntos A, B, C, D de una recta proyectiva se encuentran en cuaterna armónica localiza, cuando A está en el innito, en el punto medio del segmento CD Lema: Las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio B se Transformaciones entre haces de rectas (concepto dual) Lápiz (a, b, c, d): Son cuatro rectas distintas dos a dos y concurrentes de un plano proyectivo Lápiz armónico: Es un lápiz en el que existe un cuadrilátero que integre a a y b como dos de sus lados, a c como una de sus diagonales y a d que pase por el punto de corte de las otras dos rectas diagonales. Observación: Si una recta cualquiera r corta al lápiz en A, B.C, D, estos puntos forman una cuaterna armónica A : Es el haz de rectas que pasa por A P(V ) Perspectividad de eje r: Es la aplicación π : A B, denida como: π r (a) = a = (a r)b donde a A y a B Razón doble de un lápiz: Concepto dual de la razón doble de cuatro puntos(abcd) Teorema: Sea (a,b,c,d) un lápiz de un plano P y r una recta arbitraria de P que no pase por a b (abcd) = (ABCD), donde A = a r, B = b r, C = c r, D = d r Teorema (de dualizaciones): (1) Toda proyectividad entre haces del mismo plano factoriza en producto de, a lo sumo, tres perspectividades (2) Las proyectividades entre haces de recta de un mismo plano que conserve dobles de lápices es una proyectividad (3) Toda biyección entre haces de rectas de un mismo plano que conserve razones dobles de lápices es una proyectividad (4) Una proyectividad entre haces de rectas A y B de un plano es una perspectividad la recta AB es doble (5) El lápiz (a, b, c, d) es armónico (abcd) = 1 (6) Una proyectividad σ id de un haz en sí mismo es una involución existe una recta a del haz tal que σ(a) a y σ 2 (a) = a (7) Una involución en un haz distinta de la identidad tiene, a lo sumo, 2 rectas dobles 4 Teoremas de conguración Homologías, homotecias y traslaciones Subespacio doble: Es un subespacio que permanece invariante por una proyectividad Recta doble: Es una recta que permanece invariante por una proyectividad. 7

8 Observación: Los puntos que forman la recta no tienen por qué ser dobles. Ahora bien, si P = r s entonces sí que es doble. Además toda recta determinada por dos puntos dobles es doble Proyectividad central: proyectividad σ : P P tal que existe un punto C P tal que cada recta por C es doble, es decir, si X C XC = σ(xc). Además, C es el centro de la proyectividad Propiedades: (1) Si hay en P dos rectas distintas llenas de puntos dobles σ = id (2) Si C es el centro de una proyectividad C es doble (3) Si existen C y C centros de una proyectvidad σ = id (4) Si σ es central con centro C y r es una recta doble que no pasa por C todo punto de r es doble Homología: Es una proyectividad central de un plano en sí mismo distinta de la identidad Teorema: Toda homología posee una única recta con todos sus puntos dobles Eje de homología: Es la única recta del plano cuyos puntos son dobles por la homología Observación: Una homología queda determinada por su centro C, su eje r, y un par de puntos A y σ(a). Si nos dan B, σ(b) se obtiene como la intersección de σ(a)p CB donde P = AB r Homotecia de centro C: Es una anidad que es la identidad o una restricción de una homología de la envolvente proyectiva que tiene a C por centro, y a la recta del innito por eje. C es un punto del afín Teorema de Tales: Para cada homotecia σ de centro C existe un escalar λ, denominado razón de la homotecia, tal que σ(x) C = λ(x C). Es más, para cualquiera X, Y del plano afín: σ(x) σ(y ) = λ(x Y ) Observación: La restricción al afín en la que el eje es la recta impropia y C es un punto del innito, no es más que una traslación Teorema de Pappus Teorema de Pappus: En un plano proyectivo, dadas dos ternas (A, B, C) y (P, Q, R) de puntos alineados, los puntos X = AB BP, Y = AR CP y Z = BR CQ están en línea recta. Como observación podemos decir que se sule usar como regla nemotécnica para recordar las intersecciones que intervienen el colocar (A, B, C) y (P, Q, R) como si se fuera a hacer el cálculo de un determinante Teorema: Sean (A, B, C) una terna de puntos distintos de una recta r de un plano afín y (P, Q, R) otra terna de puntos situados sobre otra recta s del mismo plano secante con la anterior en un punto O / {A, B, C} y tales que AQ BP y AR CP BR CQ Teorema menor de Pappus: Sean A, B, C puntos de una recta r de un plano afín y P, Q, R otros tres puntos situados sobre una recta s del mismo plano paralela a r. Si AQ BP y AR CP, entonces BR CQ Teorema: En un plano proyectivo, se verica el teorema de Pappus un par de homologías son conmutativas (σ τ = τ σ) Teorema de Desargues Teorema de Desargues: Sean ABC y A B C dos triángulos de un plano proyectivo tales que las rectas AA, BB y CC concurren en un punto O las parjeas de lados (AB, A B ), (AC, A C ) y (BC, B C ) se cortan según puntos que están alineados Conguración de Desargues: Es la disposición en la que se encuentran dos triángulos bajo las hipótesis del Teorema de Desargues Triángulos homólogos: Son dos triángulos que se encuentran en la conguración de Desargues 8

9 Teorema de Desargues (Dual): Sean (A, B, C) y (A, B, C ) dos triángulos de un plano proyectivo. Entonces, las rectas que pasan por vértices homónimos concurren en un punto las parejas de lados homónimos se cortan según puntos que están alineados. Teorema: Sean (A, B, C) y (A, B, C ) dos ternas de puntos de un plano afín tales que, o bien AA,BB, CC se cortan en un punto O, o bien las retas son paralelas entre sí: (1) Si P = AB A B, Q = AC A C y R = BC B C, entonces R P Q (P, Q, R están alineados) (2) Si AB A B, entonces QR AB A B (3) Si AB A B y AC A C, entonces BC B C (4) El recíproco también es cierto, es decir, Si se verica (1),(2), o (3), entonces se tiene que, o bien AA,BB, CC se cortan en un punto O, o bien las retas son paralelas entre sí Teorema: Dado un cuadrivértice (A, B, C, D) de un plano proyectivo con puntos diagonales E = AB CD, F = AC BD, G = AD BC, sea M la intersección de la diagonal EF y el lado AD. Entonces G P Q donde P = AB CM y Q = CD BM Teorema: En un plano afín, las medianas de un triángulo concurren en un punto de la envolvente proyectiva, que, además reside en el afín a partir de caracterísitca 3. Baricentro: Es el punto de corte de las medianas de un triángulo 9