Geometría Afín del Espacio

Transcripción

1 Geometría Afín del Espacio En todo lo que sigue supondremos conocido el espacio vectorial R n y las nociones en él de los términos básicos que utilizaremos: subespacio vectorial, combinación lineal, dependencia e independencia lineal, familia libre, subespacio generado por una familia de vectores, suma de subespacios, base de un subespacio, dimensión de un subespacio, etc Como es habitual en los cursos de matemáticas de la enseñanza secundaria, consideraremos principalmente resultados geométricos en el plano R 2 y en el espacio tridimensional R 3 Los espacios vectoriales, como modelo de espacio geométrico, presuponen la existencia de un punto distinguido: el origen de R n Sin embargo es evidente que cualquier modelo que pretenda aproximar la geometría que observamos en nuestro entorno no debe hacer distinción entre sus puntos, por lo que se hace necesario la introducción de nuevos modelos En R n los conjuntos distinguidos son los subespacios vectoriales, que pasan todos ellos por el origen Si consideramos el conjunto de todos los subespacios de R n y sus trasladados por todos los vectores, entonces obtenemos la familia de todas las subvariedades afines de R n, y la geometría afín se ocupa del estudio de dicha familia respecto de la relación de inclusión Para dicha geometría todos los puntos de R n son iguales En la geometría afín no hay ángulos ni distancias Para poder medir ángulos y distancias es necesario introducir en R n una métrica (un producto escalar), en cuyo caso se entraría en el ámbito de la geometría euclídea 1 Subvariedades afines Definición 11 Llamaremos subvariedad afín (ó subvariedad lineal ) de R n a los subconjuntos suyos de la forma a + F = {a + e : e F }, siendo F un subespacio vectorial de R n y a R n Se dice que el subespacio F es la dirección de la subvariedad a + F Dado un vector e R n, la aplicación t e : R n R n, v t e (v) = v + e, se denomina traslación por el vector e La aplicación t e es biyectiva, y su aplicación inversa es la traslación por el vector e La subvariedad afín X = a + F es la imagen directa de F por la aplicación t a, X = t a (F ) Es decir, las subvariedades afines son los trasladados de los subespacios vectoriales Ejemplos 12 (a) Todo vector de R n es una subvariedad afín cuya dirección es el subespacio nulo (el que tiene como único vector el origen 0 R n ): dado a R n, a = a + 0 (b) Cada subespacio vectorial V de R n es una subvariedad afín cuya dirección es V : trasladando por el origen 0 R n tenemos V = 0 + V 1

2 2 13 Fijemos un subespacio vectorial F en R n Dicho subespacio define en R n la relación siguiente: dados e, v R n, e v : e v F, esto es, e está relacionado con v si y sólo si existe u F tal que e = v + u Es fácil comprobar que dicha relación es reflexiva, simétrica y transitiva, es decir, es una relación de equivalencia La clase de equivalencia de un elemento e R n es [e] = {v R n : v e} = {v R n : v = e + u para algún u F } = {e + u : u F } = e + F Por lo tanto, dado un vector a R n, la subvariedad afín a + F es el conjunto de vectores de R n que están relacionados con a por la relación de equivalencia que F define en R n Como consecuencia inmediata obtenemos las siguientes propiedades: (a) Dados a, b R n se cumple: a + F = b + F a b F (b) (c) Si X = a + F, entonces para todo e X se cumple X = e + F (es decir, una subvariedad afín está totalmente determinada por un vector cualquiera suyo y por su dirección) Los subespacios vectoriales de R n son justamente las subvariedades afines de R n que pasan por el origen Definiciones 14 Diremos que dos subvariedades de R n son incidentes si una de ellas está contenida en la otra, y diremos que son paralelas cuando sus direcciones sean incidentes Dadas dos subvariedades X e Y de R n, la notación X Y significará que son paralelas Se define la dimensión de una subvariedad afín como la dimensión de su dirección Llamaremos puntos a las subvariedades de dimensión cero (es decir, a los vectores), rectas a las de dimensión uno, y planos a las dimensión dos Diremos que una subvariedad afín X de R n es un hiperplano si su dimensión es n 1 Ejemplo 15 En R los hiperplanos son puntos, en R 2 los hiperplanos son rectas, y en R 3 los hiperplanos son planos Observación 16 Aunque, por definición, los puntos coinciden con los vectores, haremos la siguiente distinción: cuando un vector lo estemos considerando como un punto (es decir, como una subvariedad afín), entonces lo denotaremos con letras mayúsculas De este modo, dados un punto P y un vector e, P + e lo interpretaremos como el punto que se obtiene al trasladar P por el vector e Dados puntos P y Q, el único vector por el que puede trasladarse P para obtener Q es el vector Q P ; es bastante común denotar este vector como P Q, de modo que será Q = P + P Q Proposición 17 La intersección de dos subvariedades afines de R n, ó es el vacío ó es una subvariedad afín En el último caso, la dirección de la subvariedad intersección es igual a la intersección de las direcciones de las dos subvariedades

3 1 Subvariedades afines 3 Demostración Sean X 1, X 2 subvariedades afines de R n cuyas direcciones respectivas son los subespacios vectoriales F 1, F 2 Que el conjunto X = X 1 X 2 sea no vacío significa que existe un punto P en R n tal que P X 1 y P X 2 Entonces X 1 = P + F 1, X 2 = P + F 2 y por lo tanto X = X 1 X 2 = (P + F 1 ) (P + F 2 ) = P + (F 1 F 2 ) (la última igualdad se comprueba fácilmente); es decir, X es una subvariedad afín cuya dirección es el subespacio vectorial F 1 F 2 (aquí utilizamos que la intersección de dos subespacios vectoriales de R n siempre es un subespacio de R n ) Proposición 18 Dadas subvariedades afines X = P + F, Y = Q + F en R n se cumplen: (i) X Y F F y P Q F (ii) X Y P Q F + F (iii) La subvariedad afín más pequeña de R n que contiene a X e Y es Z = P + Q P + F + F (iv) Si X Y entonces: X = Y dim X = dim Y (v) Si X e Y son paralelas y tienen algún punto en común, entonces son incidentes Demostración (i) Supongamos en primer lugar que P +F Q+F Por una parte P Q+F (ya que P P + F ) y por lo tanto P + F = Q + F, es decir, P Q F ; por otra parte tendríamos P +F P +F, de lo que se deduce fácilmente la inclusión F F Para demostrar la otra implicación basta invertir los razonamientos (ii) Si existe R X Y, entonces existe v F tal que R = P + v y existe u F tal que R = Q + u; por lo tanto P Q = u v F + F La demostración de la otra implicación se deja como ejercicio (iii) Es claro que Z es una subvariedad afín de R n que contiene a X e Y Probemos que es la más pequeña: si Z = R + V es otra subvariedad afín de R n que contiene a X e Y, entonces P + F R + V P R V y F V Q + F R + V Q R V y F V F V, F V y P Q V P Q + F + F V, es decir, Z P + V ; para concluir basta tener en cuenta que P + V = Z porque P R V (iv) Se sigue de la propiedad análoga para los subespacios vectoriales de R n : si F F, entonces F = F dim F = dim F (v) Se deja como sencillo ejercicio Proposición 19 Sean X = P + F, Y = Q + F subvariedades afines de R n, y sea Z la subvariedad afín más pequeña de R n que contiene a X e Y Tenemos (i) X Y Z = P + F + F ; como consecuencia, si X Y se cumple dim Z = dim X + dim Y dim(x Y ) (ii) cuando X Y = se cumple: X Y dim Z = 1 + máx { dim X, dim Y } }

4 4 Demostración Recordemos que por definición tenemos dim X = dim F, dim Y = dim F y dim Z = dim ( Q P + F + F ) (i) Tenemos: X Y Q P F + F Q P + F + F = F + F Z = P + F + F Como consecuencia, cuando X Y es no vacío es una subvariedad afín cuya dirección es F F, y además la dirección de la subvariedad afín Z es F + F, de modo que aplicando la fórmula de la dimensión para los subespacios vectoriales obtenemos dim Z = dim(f + F ) = dim F + dim F dim(f F ) = dim X + dim Y dim(x Y ) (ii) La igualdad X Y = equivale a la condición Q P / F + F, por lo que Q P es un vector no nulo (esto es, dim Q P = 1) tal que Q P (F + F ) = 0 Por lo tanto dim Z = dim ( Q P + F + F ) = dim Q P + dim(f + F ) = 1 + dim(f + F ), donde en la segunda igualdad anterior hemos aplicado la fórmula de la dimensión a los dos subespacios Q P y F + F Ahora, por definición de paralelismo tenemos: ( ) ( ) X Y F F ó F F ( dim(f + F ) = dim F ó dim(f + F ) = dim F dim(f + F ) = máx { dim F, dim F }, F + F = F ó F + F = F ) es decir, X Y dim Z = 1 + máx { dim F, dim F } = 1 + máx { dim X, dim Y } 110 Si denotamos por V(R n ) el conjunto de todas las subvariedades afines de R n, entonces dicho conjunto está ordenado por la inclusión (de la que se obtiene la incidencia), y si convenimos en que el vacío es una subvariedad afín de R n de dimensión 1, entonces V(R n ) tiene primer elemento y último elemento ( y R n, respectivamente) Además, al introducir el vacío en V(R n ) la intersección de subvariedades afines es siempre otra subvariedad afín, de modo que en V(R n ) siempre existen el supremo y el ínfimo de dos cualesquiera de sus elementos (véase 17); es decir, V(R n ) es un retículo con primer y último elemento 1 La geometría afín de R n consiste en el estudio del retículo V(R n ), es decir, el estudio del conjunto de las subvariedades afines de R n respecto de la relación de inclusión (y por tanto respecto de la incidencia) 111 Una importante observación es que las traslaciones por vectores de R n son biyecciones que transforman subvariedades afines en subvariedades afines, conservando la inclusión y las dimensiones En particular, cada traslación induce una aplicación de V(R n ) en sí mismo que es un isomorfismo de conjuntos ordenados (biyección que conserva el orden) Por lo tanto las traslaciones conservan los teoremas de la geometría afín de R n : dada una familia {X i } i I en V(R n ) y dado e R n, la familia de las imágenes, {t e (X i )} i I, cumple exactamente los mismos teoremas que la familia dada (véase 11) Este hecho nos permite escoger el origen arbitrariamente a la hora de resolver problemas, para de ese modo simplificar los cálculos 1 Un retículo se define como un conjunto ordenado en el que todo subconjunto finito tiene supremo e ínfimo

5 2 Proporcionalidad 5 Ejercicio 112 Pruébense las siguientes propiedades de la incidencia en V(R n ): (a) Por dos puntos distintos pasa una única recta (b) Dos rectas distintas, ó son disjuntas, ó se cortan en un único punto (c) Por dos rectas paralelas y distintas pasa un único plano (d) Por una recta y un punto que no son incidentes pasa un único plano (e) Dados un punto y una recta que no son incidentes, existe una única recta que pasa por el punto dado y es paralela a la recta dada (f) Dadas dos rectas r y s que se cruzan (es decir, que no están en un mismo plano, o sea, ni se cortan ni son paralelas), existe un único plano π r paralelo a s que contiene a r, y existe un único plano π s paralelo a r que contiene a s; además π r π s (g) En R 2 : dos rectas no paralelas se cortan en un único punto (h) En R 3 : (i) dos planos no paralelos se cortan en una única recta; (ii) un plano y una recta no paralelos se cortan en un único punto (i) En R n : una recta y un hiperplano que no son paralelos se cortan en un único punto Ejercicio 113 Sean A, B, C, D cuatro puntos en R n Según el anterior ejercicio dos puntos siempre están alineados (existe alguna recta en que pasa por ellos) Tenemos: (a) Los tres puntos A, B, C están alineados si y sólo si los dos vectores AB, AC son linealmente dependientes (b) Los tres puntos A, B, C siempre son coplanarios (existe algún plano que pasa por ellos) (c) Si los tres puntos A, B, C no están alineados, entonces por ellos pasa un único plano (d) Los cuatro puntos A, B, C, D son coplanarios si y sólo si los tres vectores AB, AC, AD son linealmente dependientes Ejercicio 114 Fijemos m {1,, n} Por una parte, dados m + 1 puntos Q 0, Q 1,, Q m en R n tenemos: (i) siempre existe alguna subvariedad afín de dimensión m que los contiene; (ii) existe una subvariedad afín de dimensión m 1 que contiene dichos puntos si y sólo si los vectores Q 0 Q 1,, Q 0 Q m son linealmente dependientes; (iii) en general, la dimensión de la más pequeña { subvariedad afín que pasa por los puntos dados es el rango de la familia de vectores Q 0 Q 1,, Q 0 Q m } Por otra parte, para toda subvariedad afín X de dimensión m existen m + 1 puntos Q 0, Q 1,, Q m que la determinan (es decir, tal que X es la única subvariedad afín de dimensión m que pasa por los puntos Q 0, Q 1,, Q m ) 2 Proporcionalidad Como ya hemos dicho, la geometría afín estudia si unas subvariedades dadas se cortan o no, si son paralelas, si se cortan en un punto o en un plano, etc En esta geometría no hay distancias, es decir, no podemos comparar segmentos cualesquiera Lo que sí podemos hacer en geometría afín es comparar segmentos paralelos (segmentos con la misma dirección) Definiciones 21 Llamaremos segmento en R n a todo par de puntos distintos y ordenados A y B de R n, y lo denotaremos AB Diremos que dos segmentos AB y CD son paralelos si la

6 6 única recta que pasa por A y B es paralela a la única recta que pasa por C y D, es decir, si los vectores AB y CD son proporcionales Si AB y CD son segmentos paralelos, entonces se define la proporción del segmento AB al segmento CD como el único escalar AB CD para el que se cumple la igualdad AB = AB CD CD Si denotamos AB CD = α, entonces es inmediato comprobar las siguientes igualdades: CD AB = 1 α, BA CD = AB DC = α, BA DC = α La definición del escalar AB CD AB CD = 0 porque se puede generalizar admitiendo que A = B, en cuyo caso AB = B A = 0; lo que no tendrá sentido será AB CD con C = D Definición 22 Sea r una recta en R n Se llama razón simple de tres puntos distintos y ordenados A, B, C de r al escalar (A, B, C) definido por la igualdad (A, B, C) := CA CB = AC BC Cuando (A, B, C) = λ se dice que C divide al segmento AB en la proporción λ : 1 En la definición de la razón simple (A, B, C) puede suponerse que únicamente son distintos los puntos B y C, en cuyo caso: (A, B, C) = 0 si y sólo si A = C, y (A, B, C) = 1 si y sólo si A = B Recordemos las definiciones de las figuras geométricas afines más elementales Definiciones 23 Se define el baricentro de m puntos A 1,, A m de R n como el punto 1 ( ) A1 + + A m m El baricentro P = 1 2 (A + B) de un segmento AB se denomina punto medio del segmento Es claro que P pertenece a la única recta que pasa por A y por B, y que la proporción del segmento AB al segmento AP es 2, es decir AB = 2AP Se denomina triángulo en R n a toda terna de puntos no alineados de R n Dichos puntos son los vértices del triángulo, y las rectas que pasan por dos de los vértices son los lados del triángulo Se llama cuadrilátero en R n a toda cuaterna ordenada A 1 A 2 A 3 A 4 de puntos de R n tales que tres cualesquiera de ellos no estén alineados Dichos puntos son los vértices del cuadrilátero, las rectas que pasan por dos vértices consecutivos son los lados del cuadrilátero (entendiendo que A 4 y A 1 son consecutivos), y las rectas que pasan por vértices no consecutivos son las diagonales del cuadrilátero Dos vértices (lados) se dicen que son opuestos si no son consecutivos (si no tienen ningún vértice en común) Un cuadrilátero se dice que es alabeado si sus cuatro vértices no están en un mismo plano Un cuadrilátero se dice que es un trapecio si uno de sus dos pares de lados opuestos son

7 2 Proporcionalidad 7 paralelos, y se dice que es un paralelogramo si sus dos pares de lados opuestos son paralelos Los dos lados de un trapecio que son paralelos se denominan bases del trapecio Es claro que un cuadrilátero alabeado no puede ser un trapecio (y mucho menos un paralelogramo) Se denomina tetraedro en R n a toda cuaterna de puntos de R n que no sean coplanarios Dichos puntos son los vértices del tetraedro, y dado un vértice, el plano generado por los otros tres se llama cara del tetraedro opuesta al vértice dado; las rectas que unen dos de los vértices se denominan aristas del tetraedro Ejercicios 24 (a) Dado un segmento AB, su punto medio es el único punto P de la recta que pasa por A y B que cumple (A, B, P ) = 1 De otro modo, el punto medio del segmento AB es el único punto de la recta que contiene al segmento y que lo divide en la proporción 1 : 1 (b) Un cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y sólo si sus lados opuestos son iguales (es decir, AB = DC y AD = BC) Además, para que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo basta con que uno de sus dos pares de lados opuestos sean iguales (c) Teorema de Tales: Sean H, H, H tres hiperplanos paralelos y distintos Si r es una recta no paralela a dichos hiperplanos, y P, P, P son los puntos de corte de r con H, H, H respectivamente, entonces la proporción entre los segmentos P P y P P no depende de la recta r (d) Las medianas de un triángulo (rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto) concurren en el baricentro del triángulo Además el baricentro divide a cada mediana en la proporción 2 : 1 (e) Las paralelas a dos lados de un triángulo que pasan por el baricentro dividen al tercer lado en tres segmentos iguales (f) Dado un cuadrilátero, las rectas que unen cada vértice con el baricentro del triángulo formado por los restantes vértices concurren en el baricentro del cuadrilátero Además, las bimedianas del cuadrilátero (rectas que unen los puntos medios de lados opuestos) también concurren en el baricentro del cuadrilátero (g) Las medianas de un tetraedro (rectas que unen cada vértice con el baricentro de la cara opuesta) concurren en el baricentro del tetraedro (h) Un cuadrilátero es un paralelogramo si y sólo si sus diagonales se cortan en sus puntos medios (i) Los puntos medios de los cuatro lados de un cuadrilátero (alabeado o no) son los vértices de un paralelogramo (j) Teorema de Desargues: Sean ABC y A B C dos triángulos sin vértices ni lados comunes tales que dos de los lados del primero son paralelos a dos de los lados del segundo (por ejemplo, AB A B y AC A C ) Los terceros lados de los triángulos son también paralelos (esto es, BC B C ), si y sólo si las tres rectas AA, BB y CC son paralelas ó concurrentes (k) Dado un paralelogramo ABCD, si E es el punto medio del lado AB y F es el punto medio del lado CD, entonces las rectas DE y F B dividen a la diagonal AC en tres partes iguales (l) Las diagonales de un trapecio se dividen en partes cuya proporción es la misma que la proporción entre las bases Si además P es el punto de corte de las diagonales del trapecio, entonces la recta paralela a las bases que pasa por P corta a los dos lados restantes del trapecio en puntos cuyo punto medio es P

8 8 3 Representación en coordenadas Definiciones 31 Un sistema de referencia afín (ó sistema de referencia cartesiano, ó simplemente referencia si no hay motivo de confusión) en R n, consiste en una sucesión (P 0 ; e 1,, e n ) donde P 0 es un punto de R n y {e 1,, e n } es una base de R n Fijada una referencia afín (P 0 ; e 1,, e n ) en R n, veamos cómo queda coordenado el espacio Dado un punto P R n existe un único vector v R n tal que P = P 0 + v, y si (x 1,, x n ) son las coordenadas de v en la base {e 1,, e n }, entonces diremos que la sucesión (x 1,, x n ) son las coordenadas afines (ó coordenadas cartesianas, ó simplemente coordenadas) del punto P en el sistema de referencia fijado Es claro que x 1,, x n son los únicos escalares que cumplen P = P 0 + v = P 0 + x 1 e x n e n De otro modo: las coordenadas del punto P en la referencia (P 0 ; e 1,, e n ) son las coordenadas del vector P 0 P en la base {e 1,, e n } El punto P 0 se llama origen del sistema de referencia (P 0 ; e 1,, e n ), y la familia de rectas P 0 + e i, i = 1,, n, son los ejes de la referencia Es claro que las coordenadas de P 0 son (0,, 0), de ahí su nombre Para todo lo que sigue en esta sección fijaremos una referencia (P 0 ; e 1,, e n ) en R n respecto de la que se tomarán las coordenadas y las ecuaciones En general, la expresión sea P = (λ 1,, λ n ) un punto significará que P es un punto de R n cuyas coordenadas afines en la referencia fijada son (λ 1,, λ n ), y cuando digamos sea e = (λ 1,, λ n ) un vector debe entenderse que e es el vector de R n cuyas coordenadas en la base asociada a la referencia fijada son (λ 1,, λ n ) Ejercicios 32 (a) Dados dos puntos P = (a 1,, a n ) y Q = (b 1,, b n ), las coordenadas del vector P Q = Q P son (b1 a 1,, b n a n ) (b) Sean A = (a 1,, a n ), B = (b 1,, b n ) y C = (c 1,, c n ) tres puntos alineados de R n tales que B C Si i {1,, n} es un índice para el que b i c i 0, entonces se cumple (A, B, C) = a i c i b i c i (c) Dados tres puntos alineados A, B, C en R n tales que B C, si (A, B, C) = λ, entonces existen referencias en R n respecto de las cuales se tiene A = (λ, 0,, 0), B = (1, 0,, 0) y C = (0, 0,, 0) (d) El baricentro de m puntos A j = (a 1j,, a nj ), j = 1,, m, es ( a11 + +a 1m m, a 21+ +a 2m m,, a n1+ +a nm m En particular, el punto medio de dos puntos A = (a 1,, a n ) y B = (b 1,, b n ) es ( ) a1 +b 1,, a n+b n (Ecuaciones implícitas de una subvariedad afin) Sea X una subvariedad afín no vacía en R n cuya dirección es un subespacio vectorial F Supongamos que tenemos un punto )

9 3 Representación en coordenadas 9 cualquiera P = (b 1,, b n ) en X, y también que conocemos unas ecuaciones implícitas del subespacio vectorial F en la base {e 1,, e n } de la referencia fijada, a 11 x a 1n x n = 0 (31) a r1 x a rn x n = 0 Recordemos el significado de las anteriores ecuaciones: Dado un vector e R n, e F si y sólo si las coordenadas de e en la base {e 1,, e n } son solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo (31) Ahora, dado un punto cualquiera Q = (x 1,, x n ) en R n, veamos cómo expresar en términos de esas coordenadas la condición Q pertenece a X Sabemos que Q X = P + F si y sólo si P Q F, y como las coordenadas de este vector en la base de la referencia son (x 1 b 1,, x n b n ), concluimos que Q = (x 1,, x n ) pertenece a X si y sólo si a 11 x a 1n x n = d 1 (32) a r1 x a rn x n = d r donde d i = a i1 b a in b n, i = 1,, r El sistema (32) se denomina ecuaciones implícitas de X en la referencia (P 0 ; e 1,, e n ) El significado es claro: los puntos de X son (en coordenadas) las soluciones del sistema de ecuaciones lineales (32) Observación 34 La argumentación del punto anterior es reversible: si (32) son unas ecuaciones implícitas de la subvariedad X en la referencia (P 0 ; e 1,, e n ), entonces su sistema homogéneo asociado (31) son unas ecuaciones implícitas de la dirección de X en la base {e 1,, e n } 35 (Ecuaciones paramétricas de una subvariedad afin) Siguiendo con la notación de 33, supongamos ahora que tenemos una base {v 1,, v m } de la dirección F de X Dado un punto Q R n tenemos: Q X P Q v1,, v m existen escalares λ 1,, λ m R tales que P Q = λ1 v λ m v m ; la última igualdad podemos expresarla como Q = P + λ 1 v λ m v m (33) La (33) se llama ecuación vectorial-paramétrica de X; expresémosla en coordenadas respecto de la referencia fijada Como antes pongamos P = (b 1,, b n ) y Q = (x 1,, x n ) Si en la base {e 1,, e n } es v j = (a 1j,, a nj ), j = 1,, m, entonces la igualdad P Q = λ1 v λ m v m podemos expresarla matricialmente como x 1 b 1 a 11 a 1m = + λ λ m x n b n a n1 a nm b 1 a 11 a 1m λ 1 = +, b n a n1 a nm λ m

10 10 ya que las coordenadas del vector P Q son (x1 b 1,, x n b n ) = (x 1,, x n ) (b 1,, b n ) Igualando coordenada a coordenada obtenemos x 1 = b 1 + λ 1 a λ m a 1m x n = b n + λ 1 a n1 + + λ m a nm (34) Las (34) se denominan ecuaciones paramétricas de X en la referencia (P 0 ; e 1,, e n ) Cuando en dichas ecuaciones los parámetros λ 1,, λ m toman valores en R, obtenemos una n-upla (x 1,, x n ) correspondiente a las coordenadas en la referencia (P 0 ; e 1,, e n ) de un punto de X, y todo punto de X se obtiene así Observaciones 36 (a) Si en las ecuaciones (34) eliminamos las coordenadas (b 1,, b n ) del punto P tomado en X, entonces llegamos a unas ecuaciones paramétricas de la dirección F de X en la base {e 1,, e n }: x 1 = λ 1 a λ m a 1m (35) x n = λ 1 a n1 + + λ m a nm (b) Si las ecuaciones implícitas (32) de X se resuelven como un sistema de ecuaciones lineales, entonces se obtienen todos los puntos de X en función de ciertos parámetros y lo que tenemos son unas ecuaciones paramétricas de X Recíprocamente, si partimos de unas ecuaciones paramétricas de X como las (34) y en ellas se eliminan los parámetros, entonces se obtienen unas ecuaciones implícitas de X 37 (Rectas) Consideremos en R n dos puntos distintos de los que conocemos sus coordenadas respecto de la referencia fijada, A = (a 1,, a n ) y B = (b 1,, b n ), y sea r = A + AB la recta que determinan Entonces las ecuaciones paramétrica de r son x 1 = a 1 + λ(b 1 a 1 ) x n = a n + λ(b n a n ) Como A B los escalares b i a i (i = 1,, n) no se anulan simultáneamente; si por ejemplo suponemos que es b 1 a 1 0, entonces podemos despejar el parámetro λ en la primera de las anteriores ecuaciones, y sustituyéndolo en las otras n 1 ecuaciones obtenemos (a 2 b 2 )x 1 (a 1 b 1 )x 2 = a 2 b 1 a 1 b 2, (36) (a n b n )x 1 (a 1 b 1 )x n = a n b 1 a 1 b n que son unas ecuaciones implícitas de la recta r Cuando todos los escalares b i a i (i = 1,, n) son no nulos, las ecuaciones implícitas (36) pueden expresarse como (compruébese): La (37) se conoce como ecuación continua de la recta r x 1 a 1 b 1 a 1 = x 2 a 2 b 2 a 2 = = x n a n b n a n (37)

11 3 Representación en coordenadas (Hiperplanos) Sea H un hiperplano en R n, es decir, H es una subvariedad afín cuya dirección es un subespacio F de R n de dimensión n 1 Si conocemos una base {v 1,, v n 1 } de F, entonces un vector e R n está en F si y sólo si la familia de vectores {e, v 1,, v n 1 } no es libre Si para cada j = 1,, n 1, (a 1j,, a nj ) son las coordenadas del vector v j en la base {e 1,, e n }, y si (x 1,, x n ) son las coordenadas del vector e en la misma base, entonces de las propiedades de los determinantes se sigue que e F si y sólo si se cumple x 1 a 11 a 1,n 1 = 0 ; (38) x n a n1 a n,n 1 así, (38) es una ecuación implícita de F Como consecuencia, si P = (b 1,, b n ) es un punto cualquiera de H, entonces una ecuación implícita de H es x 1 b 1 a 11 a 1,n 1 = 0 (39) x n b n a n1 a n,n 1 Si lo que conocemos son n puntos que determinan el hiperplano H (véase el ejercicio 114) Q j = (b 1j,, b nj ), j = 1,, n, { entonces una base de su dirección F es Q 1 Q 2,, } Q 1 Q n y por lo tanto una ecuación implícita del hiperplano es x 1 b 11 b 12 b 11 b 1n b 11 = 0 x n b n1 b n2 b n1 b nn b n1 39 Si se desarrolla el determinante de la ecuación (39) y se sacan factor común a las incógnitas x 1,, x n, entonces dicha ecuación es de la forma a 1 x a n x n = d con (a 1,, a n ) (0,, 0) (310) Recíprocamente, dada una ecuación de la forma (310), sus soluciones son las coordenadas (en la referencia fijada) de los puntos de un hiperplano de R n Para comprobar esta afirmación veamos que los vectores cuyas coordenadas son solución de la ecuación homogénea a 1 x a n x n = 0 forman un subespacio vectorial de dimensión n 1 Si por ejemplo se cumple a 1 0, entonces una base del conjunto de soluciones de la ecuación homogénea la forman los n 1 vectores de coordenadas ( a 2, a 1, 0,, 0), ( a 3, 0, a 1, 0, 0),, ( a n, 0,, 0, a 1 ) 310 (Interpretación geométrica) De lo dicho en el punto anterior se sigue la siguiente interpretación geométrica de las ecuaciones implícitas (32): cada subvariedad afín no trivial de R n (esto es, distinta de y de R n ) puede obtenerse como intersección de hiperplanos, necesitándose mayor número de estos cuanto más pequeña sea la dimensión de la subvariedad Concretamente, si X es una subvariedad afín de dimensión m, 0 m < n, entonces X es

12 12 la intersección de n m hiperplanos Por ejemplo: un hiperplano sólo necesita una ecuación; una recta es la intersección de n 1 hiperplanos, pues en el sistema (36) hay n 1 ecuaciones; un punto P = (b 1,, b n ) es la intersección de los n hiperplanos x 1 = b 1,, x n = b n 311 (Rectas en R 2 ) En R 2 los hiperplanos coinciden con las rectas, así que para cambiar el punto de vista utilizado en el punto 37 miraremos las rectas como hiperplanos Si en coordenadas tenemos dos puntos distintos A = (a 1, a 2 ) y B = (b 1, b 2 ), entonces la ecuación implícita de la única recta r = A + B A que pasa por ellos es x a 1 b 1 a 1 y a 2 b 2 a 2 = 0, es decir, (b 2 a 2 )x (b 1 a 1 )y = a 1 b 2 a 2 b 1 (311) Si por ejemplo fuera a 1 b 1, entonces en la ecuación podemos tomar x como parámetro y despejar y en función de dicho parámetro, llegando a las ecuaciones paramétricas x = λ y = a 1b 2 a 2 b 1 b 1 a 1 + λ b 2 a 2 b 1 a 1 Cuando a 1 b 1 y a 2 b 2 la ecuación implícita (311) puede escribirse como x a 1 b 1 a 1 = y a 2 b 2 a 2, que es la ecuación continua de una recta en el plano R (Rectas y planos en R 3 ) Supongamos ahora que estamos en el plano real tridimensional R 3 (a) El único plano que pasa por tres puntos no alineados A, B y C es Π = A + AB, AC, y si en coordenadas tenemos A = (a 1, a 2, a 3 ), B = (b 1, b 2, b 3 ) y C = (c 1, c 2, c 3 ), entonces la ecuación implícita de Π es x a 1 b 1 a 1 c 1 a 1 y a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 = 0 z a 3 b 3 a 3 c 3 a 3 Desarrollando el anterior determinante obtenemos la ecuación donde a = b 2 a 2 c 2 a 2 b 3 a 3 c 3 a 3, b = } ax + by + cz = d (312) b 3 a 3 c 3 a 3 b 1 a 1 c 1 a 1, c = b 1 a 1 c 1 a 1 b 2 a 2 c 2 a 2

13 3 Representación en coordenadas 13 y d = aa 1 + ba 2 + ca 3 Nótese que a, b, c son los 3 menores de orden 2 de la matriz b 1 a 1 c 1 a 1 b 2 a 2 c 2 a 2 b 3 a 3 c 3 a 3 que tiene rango 2 porque A, B, C están no alineados; por lo tanto (a, b, c) (0, 0, 0) Si por ejemplo fuera b 0, entonces dividiendo por b en la ecuación (312) podemos despejar y en función de x y z (es decir, tomaríamos x y z como parámetros), y obtenemos las siguientes ecuaciones paramétricas del plano x = λ y = d b λ a b µ c b z = µ (b) Sea r una recta en R 3 de la que conocemos un punto A = (a 1, a 2, a 3 ) y un vector director v = (c 1, c 2, c 3 ), esto es, r = A + v Entonces unas ecuaciones paramétricas de r son, x = a 1 + λc 1, y = a 2 + λc 2, z = a 3 + λc 3 Teniendo en cuenta que al menos una de las coordenadas del vector v es no nula, de las anteriores ecuaciones paramétricas se sigue que r puede expresarse como intersección de dos planos Por ejemplo, si es c 1 0, entonces una ecuaciones implícitas de r son c 2 (x a 1 ) c 1 (y a 2 ) = 0, c 3 (x a 1 ) c 1 (z a 3 ) = 0 Cuando todas las coordenadas de v son no nulas podemos expresar la recta r por su ecuación continua: x a 1 = y a 2 = z a 3 c 1 c 2 c 3 Ejercicios 313 (a) En el plano R 2, la condición necesaria y suficiente para que tres puntos A = (a 1, a 2 ), B = (b 1, b 2 ) y C = (c 1, c 2 ) estén alineados es que se cumpla a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 = 0 c 1 c 2 1 (b) En el espacio tridimensional R 3, la condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos A = (a 1, a 2, a 3 ), B = (b 1, b 2, b 3 ), C = (c 1, c 2, c 3 ) y D = (d 1, d 2, d 3 ) sean coplanarios es que se cumpla a 1 a 2 a 3 1 b 1 b 2 b 3 1 = 0 c 1 c 2 c 3 1 d 1 d 2 d 3 1

14 (Haz de hiperplanos) Fijada una subvariedad afín X en R n, el conjunto de todos los hiperplanos que la contienen se llama haz de hiperplanos que pasan por X Supongamos que conocemos unas ecuaciones implícitas de X, a 11 x a 1n x n = d 1, (313) a r1 x a rn x n = d r y veamos cómo son las ecuaciones de los hiperplanos del haz determinado por X Supondremos que en (313) no sobra ninguna ecuación (ninguna de las ecuaciones es combinación lineal del resto), es decir, suponemos que la matriz A = tiene rango igual a r ( = número de ecuaciones) Ahora, si un hiperplano H de ecuación a 11 a 1n d 1 a r1 a rn d r a 1 x a n x n = d con (a 1,, a n ) (0,, 0), contiene a X (o equivalentemente, X H = X), entonces las soluciones del nuevo sistema a 11 x a 1n x n = d 1 a r1 x a rn x n = d r a 1 x a n x n = d (314) son justamente los puntos de X Que los dos sistemas tengan las mismas soluciones significa que la ecuación añadida a (313) para obtener (314) es combinación lineal de las r ecuaciones de (313): existen escalares λ 1,, λ r R, no todos nulos porque (a 1,, a n ) (0,, 0), tales (a 1,, a n, d) = λ 1 (a 11,, a 1n, d 1 ) + + λ r (a r1,, a rn, d r ) ; es decir, existen escalares λ 1,, λ r R no todos nulos tales que la ecuación de H es λ 1 (a 11 x a 1n x n d 1 ) + + λ r (a r1 x a rn x n d r ) = 0 (315) Recíprocamente, para cualesquiera escalares λ 1,, λ r R no todos nulos, (315) es la ecuación de un hiperplano que pasa por X (justifíquese esta afirmación) Ejercicio 315 Dados hiperplanos H de ecuación a 1 x a n x n = d y H de ecuación ā 1 x ā n x n = d, se cumplen: (i) H = H existe λ 0 tal que (a 1,, a n, d) = λ(ā 1,, ā n, d) (ii) H H existe λ 0 tal que (a 1,, a n, 0) = λ(ā 1,, ā n, 0)

15 3 Representación en coordenadas 15 Ejercicios 316 (a) Dado un punto P = (α 1,, α n ) en R n, calcúlese el haz de hiperplanos que pasan por P (b) En R 3, si r es la recta que pasa por dos puntos distintos A = (a 1, a 2, a 3 ) y B = (b 1, b 2, b 3 ), obténgase el haz de planos que pasan por la recta r Ejercicio 317 En R 2, considérense tres rectas r, s y t de las que se conocen sus ecuaciones implícitas: r a 1 x + b 1 y = d 1, s a 2 x + b 2 y = d 2, t a 3 x + b 3 y = d 3 Pruébese que de la discusión del sistema de ecuaciones lineales a 1 x + b 1 y = d 1 a 2 x + b 2 y = d 2 a 3 x + b 3 y = d 3 se sigue la siguiente propiedad: r, s y t son paralelas ó concurren en un punto a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 = 0 [Indicación: Es fácil argumentar que basta probar la anterior equivalencia cuando las tres rectas son distintas] Ejercicio 318 (Teorema de Pappus) Sean r y s dos rectas distintas de un plano y consideremos: A 1, A 2, A 3 tres puntos de r, distintos y fuera de s, y B 1, B 2, B 3 tres puntos de s, distintos y fuera de r Si la recta A 1 B 2 es paralela a la recta A 2 B 1 y la recta A 2 B 3 es paralela a la recta A 3 B 2, entonces la recta A 1 B 3 es paralela a la recta A 3 B 1 Ejercicios 319 En un triángulo ABC sean: un punto A en el lado BD (distinto de B y de C), un punto B en el lado AC (distinto de A y de C), y un punto C en el lado AB (distinto de A y de B) Se cumplen: (a) Teorema de Ceva: La condición necesaria y suficiente para que las rectas AA, BB y CC sean paralelas ó concurran en un punto es que se satisfaga la igualdad A B A C B C B A C A C B = 1 (b) Teorema de Menelao: La condición necesaria y suficiente para que los puntos A, B y C estén alineados es que se satisfaga la igualdad A B A C B C B A C A C B = 1

16 (Ecuaciones de cambio de coordenadas) Empecemos recordando cómo cambian las coordenadas de un vector al cambiar la base Para simplificar la notación lo haremos en R 3 (en el plano se tendrían fórmulas análogas pero más sencillas) Sea B = {e 1, e 2, e 3 } la base asociada a la referencia afín fijada en R 3, y sea B = {e 1, e 2, e 3 } otra base de R 3 Se define la matriz de cambio de la base B a la base B, como la matriz cuadrada de orden 3 cuya columna j-ésima son las coordenadas en la base B del j-ésimo vector de la base B, es decir, la matriz A siguiente donde A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + a 31 e 3, e 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3, e 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 Esta matriz permite obtener las coordenadas de un vector e R 3 en la nueva base B, siempre que se conozcan las coordenadas de e en la antigua base B En efecto, si las coordenadas de e en la base B son (α 1, α 2, α 3 ), entonces tenemos, e = α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = α 1 (a 11 e 1 + a 21 e 2 + a 31 e 3) + α 2 (a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3) + α 3 (a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3) = (α 1 a 11 + α 2 a 12 + α 3 a 13 )e 1 + (α 1 a 21 + α 2 a 22 + α 3 a 23 )e 2 + (α 1 a 31 + α 2 a 32 + α 3 a 33 )e 3, y si las coordenadas de e en la base B son (β 1, β 2, β 3 ) (es decir, e = β 1 e 1 + β 2e 2 + β 3e 3 ), igualando coordenada a coordenada obtenemos que debe cumplirse β 1 = α 1 a 11 + α 2 a 12 + α 3 a 13, β 2 = α 1 a 21 + α 2 a 22 + α 3 a 23, β 3 = α 1 a 31 + α 2 a 32 + α 3 a 33, lo que en forma matricial se expresa como β 1 β 2 β 3 = A Supongamos ahora que tenemos una nueva referencia afín (P 0 ; e 1, e 2, e 3 ) en R3 Dado un punto P R 3, sean (x, y, z) sus coordenadas en la antigua referencia (P 0 ; e 1, e 2, e 3 ) y sean (x, y, z ) las coordenadas de P en la nueva; es decir, (x, y, z ) son las coordenadas del vector P 0 P en la base B y (x, y, z) son las coordenadas del vector P 0 P en la base B Como queremos encontrar la relación que hay entre las dos coordenadas, de la igualdad α 1 α 1 α 3 P 0P = P P 0 = (P 0 P 0) + (P P 0 ) = P 0P 0 + P 0 P se deduce que necesitamos conocer las coordenadas del vector P 0 P 0 en la base B, es decir, necesitamos conocer las coordenadas del origen de la antigua referencia respecto de la referencia

17 4 Problemas 17 nueva En efecto, si las coordenadas de P 0 en la referencia (P 0 ; e 1, e 2, e 3 ) son (b 1, b 2, b 3 ), entonces es fácil comprobar que se cumple x y z = b 1 b 2 b 3 + A e igualando coordenada a coordenada obtenemos las ecuaciones de cambio de coordenadas del sistema antiguo al nuevo: x = b 1 + a 11 x + a 12 y + a 13 z y = b 2 + a 21 x + a 22 y + a 23 z (316) z = b 3 + a 31 x + a 32 y + a 33 z Ejercicio 321 En plena guerra, el servicio de contraespionaje de los buenos intercepta un mensaje de los malos que dice: El día 23 del próximo mes de febrero, a las 6:25 PM, iniciaremos un ataque contra los buenos Comenzará con el fuego intenso de una batería de artillería de campaña que tenemos situada en el punto (23, 5) En el punto ( 11, 03) tenemos preparada una división de infantería dispuesta a entrar en combate después del bombardeo inicial Finalmente, en el punto (9, 71) tenemos una batería de artillería antiaérea para defender las unidades antes citadas del ataque de los aviones de los buenos Dirigirá la operación desde el origen de coordenadas el general Bum-Bum El jefe de defensa de los buenos ordena urgentemente que salgan patrullas de reconocimineto para localizar las unidades enemigas Esas patrullas descubren que la batería de artillería de campaña está situada en el punto (15, 75), la división de infantería está acampada en el punto (19, 27) y la batería de artillería antiaérea está situada en el punto ( 14, 92) Todos estos datos según el sistema de referencia de los buenos, por supuesto Después de recibir esa información, el general bueno pide que le traigan un matemático y le pregunta si es posible descubrir cuál es el origen de coordenadas de los malos, al objeto de cargarse al general Bum-Bum y desmoralizar así a los malos, que muy probablemente ya no llevarían a cabo la ofensiva El matemático se acordaba de que en sus clases de Álgebra y Geometría había resuelto problemas parecidos, y en un santiamén calculó el tan deseado punto Cuál es? 4 Problemas En toda esta sección, y salvo que en algún problema se diga expresamente lo contrario, estaremos suponiendo que en R n se ha fijado la referencia usual, esto es, aquella para la que el origen de la referencia es el origen de R n (el vector nulo) y la base asociada es la base usual de R n Todas las coordenadas y ecuaciones estarán referidos a ella 41 Un subconjunto no vacío X de R n es una subvariedad afín si y sólo si tiene la siguiente propiedad: para cada par de puntos distintos de X, la recta que pasa por ellos está contenida en X 42 Dados puntos A 1,, A m en R n, las rectas que unen cada A i, i = 1,, m, con el baricentro de los puntos restantes son concurrentes (en el baricentro de A 1,, A m ) (Generalización de 24 (d) y 24 (g)) x y z,

18 18 43 Dado un triángulo ABC y tres puntos A, B y C sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente, hállese una condición necesaria y suficiente para que los triángulos ABC y A B C tengan el mismo baricentro 44 Dados tres puntos distintos y alineados A, B y C, calcúlese la relación que hay entre las seis razones simples que se obtienen al permutar dichos puntos En qué condiciones las seis razones simples toman como máximo tres valores diferentes? 45 Sea r una recta y sea π un plano paralelo a r Pruébese que el lugar geométrico de los baricentros de los triángulos que tienen un vértice sobre r y los otros dos vértices sobre π es un plano paralelo a π 46 Dado un tetraedro ABCD, sea r una recta que corta en puntos A, B, C y D a las caras BCD, CDA, DAB y ABC, respectivamente Pruébese que los puntos medios de los segmentos AA, BB, CC y DD son coplanarios 47 Hállense las ecuaciones paramétricas e implícitas del hiperplano de R 4 determinado por los puntos O = (0, 0, 0, 0), A = (1, 1, 1 0), B = (1, 1, 0, 1) y C = (1, 0, 1, 1) 48 En R 4, considérese la base B = { e 1 = (1, 0, 0, 0), e 2 = (1, 1, 0, 0), e 3 = (1, 0, 1, 0), e 4 = (0, 0, 0, 1) }, y considérense los subespacios vectoriales: (a) F 1 = {(x, y, z, t) R 4 : x + y = z + t} ; (b) F 2 = {(a, a, 0, b) R 4 : a, b R} ; (c) F 3 = (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0) Hállense las ecuaciones paramétricas en la base de B los subespacios F 1, F 2 y F 3 de R 4 49 En R 3, dados los planos π 1 3x + 4y + 5z = 1 y π 2 2x + y + z = 2, y dados los puntos A = (1, 0, 1) y B = ( 1, 4, 2), hállese la ecuación del plano que pasa por π 1 π 2 y por el punto medio del segmento AB 410 En R 3, una recta está contenida en el plano x + y + z = 4 y pasa por el punto (2, 1, 1) Hállese su ecuación sabiendo además que es paralela al plano x y + z = En R 3, calcúlese la ecuación del plano que contiene a la recta r 1 y es paralela a la recta r 2, donde r 1 x 3 = y 2 = z 1 x = 3λ, r 2 y = 1 + 2λ z = λ 412 En R 3, hállese la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 1, 1), es coplanaria con la recta x 1 1 = y 2 = z 3, y es paralela al plano x 2y z = En R 3, calcúlese la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0, 2) y se apoya en las rectas r 1 x 3 = y = z 1, r 2 x = y 2 = z 1

19 4 Problemas En R 4, hállese la recta que pasa por el origen y se apoya en las dos rectas siguientes: x = 2 + 3λ x = 7µ y = 1 λ y = 1 r 1 r z = 1 + 2λ 2 z = 1 + µ t = 3 2λ t = 1 + 2µ 415 Hállese la menor subvariedad afín de R 4 que contiene a las rectas 2x y = 0 x + y 3 = 0 r 1 x + z = 0 r 2 2x z 1 = 0 3x t = 0 t = En R 4, hállese la familia de hiperplanos que son incidentes con el plano determinado por los puntos A = (1, 2, 3, 1), B = (0, 0, 1, 5) y C = (3, 1, 5, 0) 417 En R 5, hállense las ecuaciones de la mínima subvariedad afín que pasa por las rectas r 1 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5, r 2 x = x 2 3 = x 3 2 = x = x Dados tres puntos distintos y alineados A, B, C de un plano, si elegimos un punto G exterior a la recta AB y un punto F de la recta GC que no sea ni G ni C, entonces se cumple que el punto de corte de la recta AB con la recta que pasa por los puntos AF BG y AG BF no depende de los puntos F y G elegidos 419 Dadas dos rectas paralelas y distintas, r y r, y pares de puntos distintos, A, B r y A, B r, la recta que pasa por los puntos AA BB y AB A B corta al segmento AB en su punto medio 420 Razón doble: Se llama razón doble de cuatro puntos distintos y alineados A, B, C, D (en ese orden) al escalar (A, B; C, D) definido por la igualdad (A, B; C, D) := (A, B, C) (A, B, D) Pruébese que es posible elegir una referencia afín respecto de la cual para las coordenadas A = (a 1,, a n ), B = (b 1,, b n ), C = (c 1,, c n ) y D = (d 1,, d n ) se cumple: existe un índice i {1,, n} para el que todos los escalares a i b i, a i c i, a i d i, b i c i, b i d i y c i d i son no nulos En la anterior situación será (A, B; C, D) = (a i c i ) (b i d i ) (b i c i ) (a i d i ) 421 Dados cuatro puntos distintos y alineados A, B, C, D, pruébese que se cumplen (A, B; C, D) = (B, A; D, C) = (C, D; A, B) = (D, C; B, A) Es decir, si siempre que se intercambian dos de los cuatro puntos también se intercambian los otros dos, entonces la razón doble no varía

20 La noción de razón simple es muy importante en geometría afín, y el teorema de Tales afirma que la razón simple de tres puntos distintos y alineados se conserva por proyecciones paralelas Pruébese que la razón doble de cuatro puntos distintos y alineados se conserva por proyecciones arbitrarias: Sean r y s dos rectas distintas de un plano y sea P un punto exterior a ellas Dados cuatro puntos distintos A, B, C, D sobre r, sean A, B, C, D los puntos sobre s que se obtienen al proyectar desde P los cuatro puntos dados en r Entonces se cumple (A, B; C, D) = (A, B ; C, D ) (La noción de razón doble es muy importante en geometría proyectiva) 423 Cuaternas armónicas: Dados cuatro puntos distintos y alineados A, B, P, Q, se dice que la pareja (A, B) separa armónicamente a la pareja (P, Q) cuando sea (A, B; P, Q) = 1, en cuyo caso también se dice que los puntos A, B, P, Q forman una cuaterna armónica Pruébese que si (A, B) separa armónicamente a (P, Q), entonces (P, Q) separa armónicamente a (A, B) Por este motivo, cuando (A, B; P, Q) = 1 se dice que las parejas (A, B) y (P, Q) se separan armónicamente 424 Conjugado armónico: Sean A, B, P, Q cuatro puntos distintos y alineados Cuando (A, B; P, Q) = 1 se dice que A es el conjugado armónico de B respecto de la pareja (P, Q) Pruébese que A, B, P, Q es una cuaterna armónica si y sólo si se cumple (A, B; P, Q) = (B, A; P, Q) Por tanto, A es el conjugado armónico de B respecto de la pareja (P, Q) si y sólo si B es el conjugado armónico de A respecto de la pareja (P, Q), por lo que en ese caso se dice que A y B son conjugados armónicos respecto de la pareja (P, Q) 425 Cuarto armónico: Fijemos dos puntos distintos A y B en una recta r Dado otro punto P de r distinto de A y de B, nos preguntamos por la existencia del cuarto armónico, es decir, existe Q r tal que A, B, P, Q es una cuaterna armónica? (a) Pruébese que existe el cuarto armónico Q si y sólo si P no es el punto medio del segmento AB (b) Pruébese que cuando el punto P tiende al punto medio del segmento AB, entonces el cuarto armónico Q tiende al punto del infinito de la recta r Del mismo modo, cuando el punto P tiende al punto del infinito de la recta r, entonces el cuarto armónico Q tiende al punto medio del segmento AB 426 Construcción del cuarto armónico: Supongamos que r es una recta que está contenida en un plano (para poder hacer la construcción geométrica que vamos a describir) Si A, B, P son tres puntos distintos en r, entonces el conjugado de P respecto de la pareja (A, B) puede construirse de la siguiente forma: Trazadas rectas paralelas r 1, r 2 y r 3 que pasen por A, B y P, respectivamente, y eligiendo un punto X de r 3 distinto de P, la recta s que pasa por los puntos r 1 BX y r 2 AX corta a la recta AB en el cuarto armónico buscado Cuando el punto P es el punto medio del segmento AB, la recta s es paralela a r y por lo tanto el conjugado armónico es el punto del infinito de la recta r ( Compárese con los problemas 418 y 419 Véanse también 24 (a) y 24 (m) )