POLÍGONOS REGULARES. Geometría. Guía Académica III - Ciencias (S2-UNI-A-16) PRÁCTICA PARA LA CLASE

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1 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) Geometría 9 LÍGS GULS ÁTI L LS 1 Se tiene un octágono regular FH en el cual se han trazado las diagonales y Si ( ) = m Halle la longitud del lado del octágono ) 1 m ) 1, m ) m ) m m n la figura, si F ( 1) halle r = y r= m, ) + ) + ) 10 ) 10 Se tiene un triángulo (==1 m) en el cual m =68, se toma el punto en la región interior, tal que m =1 y = Halle m ) 0 ) 7 ) ) 60 F Se tiene un octágono regular FGH de lado cuya longitud es, tomando como centros los puntos y G se trazan los arcos G y intersecándose en, luego se toma como centro y se traza el arco G que interseca al arco en Q Halle Q ) ) ) ) + + n un triángulo se trazan las cevianas F y Si m F=m =10 y m =1, halle F, siendo =1 ) ) 1 ) + ) n una circunferencia de radio cuya longitud es 6 m, se consideran los puntos,,, Si =, = m y = 6 m, halle ) + m ) 8+ m ) 6+ m ) m m 7 n un heptágono regular FG, la bisectriz del ángulo G interseca a G en H Halle m G 6

2 Geometría ) 70 /7 ) /11 ) 0' ) 1 0' 7 ' 8 n una circunferencia cuya radio mide 0, se inscribe el triángulo G, siendo G= 1 y = 10 Halle G ) ) ) 60 0 ) n una circunferencia cuyo radio mide, se traza una cuerda que subtiende un arco de medida 16 etermine la distancia del centro a la cuerda 1 ) ) 1 10 ) ) n un octágono regular FGH inscrito en una circunferencia, sobre el arco se ubica el punto, si las medidas de los segmentos y F son a y b, halle la longitud del segmento H ) b a ) ab ) a+b ) a+b a+b 11 n un hexágono regular F cuyo lado mide 1 m, las prolongaciones de la diagonal y el lado F se intersecan en el punto Halle la distancia del punto al vétice del hexágono Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) ) 7 m ) 11 m ) 1 m ) 1 m m 1 n un circunferencia de radio = m, se inscribe un octágono regular alcule el perímetro del polígono formado al unir los puntos medios de los lados consecutivos de dicho octágono ) m ) 6 m ) 8 m ) 10 m 1 m 1 n la figura mostrada, si = +1 y m =m, halle el valor de x 1 ) 1 ) ) ) 1 n la figura mostrada, si =1 m, además,,, S y H son puntos tangencia, halle la longitud del lado cuadrado inscrito en la circunferencia ) 7 m ) 1 m ) 7 m ) 10 m m 1 n un triángulo rectángulo isósceles se traza la altura H relativa a la hipotenusa y se prolonga de modo que H= ( están en la prolongación de ) Halle la longitud del radio de la circunferencia circunscrito al triángulo H, si =( 1)m 1 x S 66

3 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) ) ( m ) ) m ) m 1 m 1 + m 16 Si la longitud del lado de un cuadrado es a partir de cada vértice se disminuye una longitud x, entonces en cada esquina se forma un triángulo rectángulo isósceles que al eliminarlos quedará un polígono de ocho lados etermine el valor de x para que el polígono resultante sea regular ) a a ) a ) a a a ) a a a a + 17 n una circunferencia se encuentra inscrito un triángulo obtusángulo Si =6 m y m =90, halle la longitud de la altura relativa al lado mayor ) m ) m ) m Geometría 18 n una circunferencia se encuentra inscrito un triángulo, en el cual el ángulo mide 1 y el ángulo mide, respectivamente Halle la longitud de sabiendo que la distancia del centro de la circunferencia al lado es m ) 1 m ) m ) m ) m m 19 n un pentágono regular, se trazan las diagonales y que se intersecan en Si ()()=10 m, halle ) 0 m ) 1 m ) m ) m m 0 n la figura mostrada, si T=T, = y =, halle m, siendo y 1 centros ) 1 x ) 100 ) 108 ) 1 1 T 10 ) m m 67

4 Geometría Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) TIQUS 1 n un triángulo, = 8 u y m = 7, se trazan las alturas F y Q Halle FQ 1 ) ) ) ) 6 n un octógono regular FGH, cuyo lado mide u, si las diagonales y F se intersecan en, entonces H mide ) 1 u ) u ) u ) u u FGH es un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio etermine la distancia de F a ) ( + 1) ) ) ( + ) ) FGH es un octógono regular Si y G, halle m ) 1 ), ) 0 ) 7 l lado de un hexágono regular F mide 1 u y desde se traza y Q perpendiculares a F y F, respectivamente, entonces la longitud del segmento Q es ) u ) u ) u ) u u 6 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide + u y uno de sus ángulos agudos mide 7, Halle la longitud de la altura relativa a la hipotenusa ) 1 u ) 1, u ) u u + u ) ( ) 7 Se tiene un octágono regular FGH y el triángulo equilátero interior al octágono, se traza S perpendicular a (S pertenece a ) Si el circunradio del octágono mide +, halle S ) + ) ( ) 1 ) ( ) ) ( ) ( + ) 8 n un triángulo, la m = Sea su circuncentro, tal que m =1 y = Si =, determine ) ) 6 ) ( 6 ) ) 9 n un triángulo rectángulo, recto en, se cumple que m = si su interior se ubica al punto, tal que m m y = 10 9 = +, halle m ( 1) ) 108 ) 118 ) 16 ) n un triángulo rectángulo recto en,, tal que m =(m Si == u, halle ) ( ) ) ( ) + u + u ) ( ) u ) ( ) + u u 68

5 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 11 n la figura, halle el valor de si m=1 1 H ) ) ) 6 ) scriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta ¾ n todo decágono regular, la longitud de su lado es igual a la longitud de la sección áurea de su circunradio ( ) ¾ La longitud del lado de un pentágono regular es igual a la longitud de la sección aúrea de su diagonal ( ) ¾ l construir un triángulo con el lado de un pentágono regular, con el lado de un decágono regular y con el lado de un hexágono regular que tienen el mismo circunradio, dicho triángulo es rectángulo ( ) ¾ ado un segmento y un punto ( en ), tal que es la sección áurea de, entonces es de igual longitud que la sección áurea de ( ) ) VVVV ) VVVF ) VVFV ) VFVV FVVV 1 n un nonágono regular FGHI, si prolongamos al lado y la diagonal estas se interseca en ; además, la diagonal- G interseca a en Si (( () ()= 1 u, entonces la diagonal mide ) u ) u ) u ) u u T Geometría 1 n un triángulo isósceles ( = = ), se ubica un punto interior Q tal que m Q = 0, Q = 1, m =6 Halle m Q ) 0 ) ) ) 1 n un pentágono regular, la mediatriz de interseca a en un punto etermine ) ) 1 ) ) n el triángulo, de ortocentro H y circuncentro, m H=1, H = + y m =60 Halle la longitud de la proyección de sobre ) 1 ) 1, ) ), 17 etermine la longitud del apotema del decágono inscrito en la misma circunferencia que tiene inscrito un pentágono regular cuya diagonalmide a ) a ) a a ) ( 1) a ) ( + 1) a 18 n un pentágono regular se traza la diagonal ; además, F es el punto medio de y el punto de intersección de y F 1 1 Si + = 1, halle la longitud del ladodel F pentágono regular ) 10 ) + ) )

6 Geometría 19 n un triángulo equilátero, cuyo circunradio mide, se traza una circunferencia que pasa por los puntos L,, y, donde L, es punto medio del arco y es el punto medio del lado etermine L ) 6 ) 8 ) ) Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 0 Los perímetros de dos polígonos regulares de n lados, uno inscrito y el otro circunscrito a una misma circunferencia miden y 1, respectivamente etermine el perímetro del polígono regular circunscrito a la misma circunferencia siendo su número de lados n ) 1 + ) ) 1 1 )

7 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) Geometría 10 Á GIS TIGULS ÁTI L LS 1 Según el gráfico,, y son puntos de tangencia Si = y =9, calcule el área de la región ) 8 u ) 9 u ) 6 u ) u u ) 0 u ) u ) 16 u ) 18 u 1 u Según el gráfico,, y son puntos de tangencia alcule el área de la región sombreada Según el gráfico, la circunferencia está incrita en el triángulo alcule el área de la región sombreada (T es punto de tangencia) ) 1 u ) 6 u ) 8 u ) 18 u 10 u T ) u ) u ) 6 u ) u u Según la figura,, y T son puntos de tangencia Si T= y T=, calcule el área de la región sombreada n el gráfico, y son puntos de tangencia Si = y =9, calcule el área de la región triangular 71

8 Geometría Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) T 8 n el gráfico, =1 y =8 etermine la razón de áreas de las regiones sombreadas ) 1 u ) 0 u ) 1 u ) 18 u 16 u 6 n el gráfico, es punto de tangencia Si =6, = y =, calcule el área de la región triangular ) / ) / ) /6 ) 7/8 8/9 9 n el gráfico, es un cuadrado Si =1, calcule el área de la región sombreada ( y T son puntos de tangencia) T ) 1 u ) 1 1 u ) ) 1 u 9 u n el gráfico, el área de las regiones H y H son y, respectivamente alcule el área de la región sombreada H u ) u ) ( 1) u ) ( 1) u ) u ( 1) u 10 Según el gráfico, Q es un trapecio isósceles Si =a, determine el área de la región triangular Q(Q es punto de tangencia) Q ) 6 u ) 7 u ) 8 u ) 9 u 10 u 7

9 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) ) a ) a ) a ) a a 11 Según el gráfico, m =(m, m F= m, =8, =7 y es punto de tangencia alcule el área de la región sombreada 60 ) 6 u ) 1 u ) 0 u ) 8 u 6 u 1 alcule el área de la región sombreada si y son puntos de tangencia ) ) u u ) +1 u u ) 1 n la figura, es un cuadrado y Q es un triángulo equilátero alcule el área de la región sombreada u F ) 1 u ) u ) u ) u u Q Geometría 1 n la figura,, y son puntos de tangencia Si 1 y son áreas de las regiones, determine 1 / 1 ) + ) + 1 ) +1 ) n la figura, T=8, m =60 y, T y son puntos de tangencia, calcule el área de la región triangular ) u ) u ) u ) 8 u u T 7

10 Geometría 16 n el gráfico, determine la razón de áreas de las regiones poligonales regulares y QT Q Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 19 n el gráfico,, y son puntos de tangencia Si =, = y mq=18, calcule el área de la región sombreada Q ) ) ) ) 17 n el trapecio (//), las diagonales se intersecan en Si el área de las regiones triangulares y son 6 u y u, respectivamente, calcule el área de la región trapecial ) 6 u ) 0 u ) u ) 8 u u T ) 1 u ) u ) u ) u u 0 n la figura,, y L son puntos de tangencia Si ()(Q)=0, calcule el área de la región triangular 18 Según la figura, () +( =100 y,, y son puntos de tangencia alcule el área de la región triangular L ) 0 u ) 10 u ) 1 u ) 10 u 0 u Q ) 0 u ) u ) 7 u ) 60 u 100 u 7

11 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) Geometría TIQUS 1 n un triángulo, se trazan las cevianas y Si ={F}, =, F=F y área de la región triangular es 16 u, entonces el área de la región triangular F es ) 6 u ) 7 u ) 8 u ) 9 u 10 u n un triángulo, =c, =b y =a etermine el producto del radio de la circunferencia circunscrita por el radio de la circunferencia inscrita abc abc abc ) ) ) a+ b+ c a+ b+ c ( a+ b+ c ) abc abc ) a+ b+ c ( a+ b+ c ) n un triángulo, el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo al lado, sea r el inradio del triángulo Si ()(r)=0 u, entonces el área de la región triangular es ) u ) 0 u ) u ) 8 u 60 u n un triángulo, recto en, se inscribe una circunferencia, tangente a en y a en H Si H ={F}, = y =10, entonces el área de la región triangular F es ) u ) u ) u ) u 00 1 u es un cuadrante, se traza al interior una semicircunferencia con diámetro y la tangente Q a la semicircunferencia (Q en la semicircunferencia) Si = 10, entonces el área de la región triangular Q es ) 1 u ) u ) u ) u u 6 n un triángulo, se traza la altura H tal que m H=(m H) Si H=8 y H=, entonces el área de la región triangular H es ) 1 u ) 1 u ) 16 u ) 0 u u 7 es un cuadrado, al interior se traza la semicircunferencia de diámetro y la tangente Q con Q en la semicircunferencia Si =, entonces el área de la región triangular Q es ) u ) u ) 6 u ) 7 u 8 u 8 es un triángulo escaleno, se trazan la altura y la mediana H y respectivamente, de modo que m H=m = m H Si H=, entonces el área de la región triangular H es ) 1 u ) u ) u ) u u 9 n una semicircunferencia de diámetro, (=) se prolonga hasta, se traza la secante ( y en la semicircunferencia) Si = m, =7 m y, entonces el área de la región triangular es ) u ) u ) 6 u ) 8 u 9 u 10 es un triángulo rectángulo, se traza la altura H relativa a la hipotenusa Si la suma de los inradios relativos a los triángulo H, H y es 8 y =0, entonces el área de la región triangular es ) 0 u ) 0 u ) 70 u ) 80 u 90 u 7

12 Geometría 11 n un triángulo sus lados miden =6 u, =8 u y =10 u ntonces, el área de la región triangular que se forma al unir el ortocentro, incentro y circuncentro del triángulo es ) 1 u ) 1, u ) u ), u 0, u 1 n un triángulo isósceles ( ) se inscribe una circunferencia; luego se dibuja otra circunferencia tangente a la circunferencia inscrita y tangente a los lados y Si los radios de las circunferencias miden u y 1 u, entonces el área de la región triangular es ) u ) 7 u ) 6 u ) u u 1 n un triángulo, recto en, I es el incentro y es el circuncentro Si m I=90 y S I = u, entonces el área de la región triangular es ) 0 u ) u ) 0 u ) 6 u 8 u 1 n un triángulo rectángulo, recto en, se trazan la mediana y su mediatriz que interseca a los lados y en y Q, respectivamente etermine el área de la región Q si =c, =a y =b b b b ) ) ) 1ac ac 6ac b b ) ac ac 1 esde un punto exterior a una circunferencia se trazan las secantes y de modo que ()()= u, es diámetro y el arco mide 90 alcule el área de la región ) 6 u ) 8 u ) 1 u ) u u Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 16 Se tiene un hexágono equiángulo cuyos lados miden 1,,,, y 6, respectivamente alcule el área de la región hexagonal ) 69 ) 6 u ) 71 u 67 u ) 6 u 17 n un triángulo se tiene que el ángulo mide 60 xteriormente al triángulo se construyen las semicircunferencias cuyos diámetros son y alcule el área de la región sabiendo que la tangente común a las semicircunferencias mide ) 6 u ) 1 u ) u ) 9 u u 18 Se tiene una circunferencia tangente a los lados y de un triángulo equilátero, en los puntos y Q esde se traza la tangente T a dicha circunferencia de modo que, T y son colineales alcule el área de la región si = u ) u ) 8 u ) u ) u 6 u 19 n un cuadrilátero convexo KL, la m LK=m L=90, m L= y m KL=0 Si K=l, entonces el área de la región triangular K es ) l ) l ) l ) l l 0 n un cuadrilátero se tiene que, Q, y T son los puntos medios de,, y, respectivamente or los puntos y Q se trazan dos rectas paralelas a y, las cuales se intersecan en el punto G etermine la relación entre las áreas de las regiones cuadrangulares y GT ) 6 ), ) ),, u 76

13 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) Geometría 11 Á GIS UGULS ÁTI L LS 1 Según la figura (F)(=k, determine el área de la región F α ) k ) k ) k ) k 6 k n el gráfico mostrado, el área de la región triangular es k Si m+ m +(m =180, determine el área de la región cuadrangular α n el gráfico, = y m=0 alcule el área de la región sombreada ) π u ) π u ) π u ) π u 6π u Según el gráfico,, y T son puntos de tangencia Si = y H=, determine el área de la región sombreada T H ) k k ) ) k k ) k ) ) r π + π 1 ) ) r π π π 77

14 Geometría Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) Según el gráfico, determine el área de la región sombreada si =a y // ( es punto de tangencia) Q πa ) 7 πa ) 7 πa ) 9 πa 9 ) πa 9 6 el gráfico, los triángulos Q, US y ST son S sen equiláteros alcule si = S sen1, siendo y las áreas de las regiones sombreadas Q 6 ) u ) 6 u ) 6 u ) u 7 u 8 Según la figura, =, =, = y ((=16 alcule el área de la región θ θ U T ) 8 u ) 16 u ) 8 u ) 16 u u ) ) π π π 7 π ) π π π π S ) π π 7 el gráfico, el incentro del triángulo es centro de la circunferencia Si =, m+m =180 y m Q=, calcule el área de la región sombreada 9 Según la figura, ()()=16 y y son puntos de tangencia alcule el área de la región θ θ ) 16 u ) 8 u ) u ) u 18 u 78

15 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 10 Según el gráfico, el triángulo es equilátero Si == y =, calcule el área de la región sombreada (p=,1) ),8 u ),07 u ),0 u ),07 u,1 u 11 Según el gráfico == y m =m =m Si =, calcule el área de la región sombreada ) π u ) π u ) π u ) 9π u 16π u 1 L es punto de tangencia Si = u y el área de la región rectangular es 8 u, halle la longitud de la cuerda L L ) u ) 6 u ) + u ) u u Geometría 1 esde un punto exterior a una circunferencia se trazan las tangentes y ( y son puntos de tangencia), tal que m =90, luego se traza la cuerda de manera que sea un paralelogramo Si =a, determine el área de la región paralelográmica ) a a a ) ) a a ) 8 1 n un cuadrilátero se trazan las perpendiculares y a ( y en ) n se ubica el punto, tal que // alcule el área de la región cuadrangular si =6, =8, = y =7 ) 68 u ) 6 u ) 6 u ) 60 u 66 u 1 n un triángulo rectángulo se traza exteriormente el cuadrado, luego se trazan las perpendiculares F y G a los lados y en F y G respectivamente Si F=7 y F=, calcule el área de la región cuadrangular FG ) 16 u ) 160 u ) 1 u ) 17 u 16 u 16 n un triángulo rectángulo, recto en, se traza la ceviana interior y la altura H, en dicha altura se ubica el punto de modo que //, =H y m =m H Si H=1, calcule el área de la región cuadrangular ) u ) u ) u ) u u 79

16 Geometría 17 n la figura, si =a, F=b y =c, determine el área del semicírculo Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 19 Según el gráfico, y son puntos de tangencia etermine la diferencia de las áreas de las regiones sombreadas Q F ab π ) ac bc π ) 8b ) abπ c bcπ a ) ac π 8b 18 Según la figura,, y T son puntos de tangencia y = alcule el área de la región circular T ) 7π u ) π u ) 1π u ) π u 9π u ) 7 ) ) ) 0 n el gráfico se observan las circunferencias inscritas y exinscritas al triángulo Si =T y el área de la región IQ es 0 u, calcule el área de la región IT I ) 60 u ) 70 u ) 6 u ) u 80 u Q T 80

17 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) Geometría TIQUS 1 Se tiene un cuadrado de centro, cuyo lado mide u icho cuadrado gira 0 alrededor de obteniéndose otro cuadrado '''' alcule el área de la región común a ambos cuadrados ) ( + ) u ) ( + ) u ) ( +1) u ) 9( 1) u 6( ) u n un cuadrado, y son puntos que trisecan al lado (<, ), = {}, = {} y = {Q} Si el área de la región es 8 u, entonces el área de la región Q es ) u ) 6u ) 7u ) 8u 9u Se tiene un cuadrado, en la prolongación de se ubica el punto, tal que = esde se traza la tangente T a la semicircunferencia de diámetro, T es el punto de tangencia alcule el área de la región cuadrangular si T = u ) 1 u ) 1, u ) 0,7 u ) 1, u u La circunferencia inscrita a un trapecio, es tangente a los lados laterales y en los puntos y Q, respectivamente, tal que =, = y Q= alcule el área de la región ) 8 u ) 0 u ) 6 u ) u 0 u alcule el área de una región pentagonal sabiendo que =6 u, =, =, los ángulos y son rectos ) 18 u ) u ) 16 u ) 0 u 1 u 6 n un rectángulo las diagonales se intersecan en el punto Se ubican y puntos medios de y, los segmentos y intersecan a las diagonales en los puntos Q y Si el área de la región rectangular es 8 u, entonces el área de la región cuadrangular Q es ) u ) u ) 6 u ) 8 u 10 u 7 l área de una región rectangular de l unidades de perímetro, inscrito en un círculo de radio unidades es ) ) l 16 ) 10 l 16 ) 7 l 16 8 l 16 9 l Sobre los lados,, y de un cuadrilátero se ubican los puntos, Q,, y T, respectivamente, tal que =, Q=Q, = y T=T alcule el área de la región QT si el área de la región ()es 6 u ) 18 u ) 1 u ) 16 u ) u 9 u 9 n la figura, se tiene dos hexágonos regulares Si = l y F=FG, entonces el área de la región Q es 81

18 Geometría Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) F G 1 Se tiene un cuadrado de lado 6 u alcule el área de la región limitada por la circunferencia inscrita en el cuadrado y la circunferencia que triseca a los cuatro lados del cuadrado π ) u π ) u π ) u 1 ) l ) l ) 11 l 11 ) l 11 l 10 Se tiene un pentágono, donde == y los ángulos, y son rectos alcule el área de la región sabiendo que la suma de las áreas de las regiones y es igual a 8 u ) 8 u ) 7 u ) 76 u ) 9 u 96 u 11 Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia de modo que =, =6 u y es diámetro alcule el área de la región si el radio mide u ) u ) 6 u ) u ) u u 1 os circunferencias 1 y de radio y centros y Q, son secantes en los puntos y, de modo que Q= La tangente común es ( 1 y ), la prolongación de Q interseca a en T y el ángulo es obtuso etermine el área de la región limitada por QT, Q y T ) ) (7 6 ) π+ ) ( π+ 9 ) (6 7 ) π+ ) (9 ) π+ ( ) 16 π+ Q ) p u π u 1 n una circunferencia se trazan las cuerdas y concurrentes en el punto, tal que = y el ángulo mide 0 Se traza una circunferencia que contiene a los puntos, y alcule el área del menor segmento circular determinado por ) 8π u ) 7π u ) π + u ) π + 7π u u 1 es un octógono regular, y G se intersecan en, centro del octógono Si =1 m, entonces el área del circulo cuya circunferencia circunscribe al octagono es ) (1 + ) π m ) ( + ) π m ) ( + ) π m ) ( + ) π m ( + ) π m 16 ara qué es valor del radio, se hace máximo el área de un sector circular de perímetro lp? lp lp ) lp ) ) lp lp ) 17 n un triángulo regular cuyo lado mide l, con centro en el baricentro de la región triangular l y radio se dibuja una circunferencia etermine el área de la parte de la región triangular exterior a la circunferencia 8

19 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) Geometría ) ) l ( π ) ) l ( π ) ) 6 l ( π) 9 l ( π) l ( π) 18 L 1 18 e la siguiente figura, calcule Q Q ) 1 ) 1 ) ) 1 πl ) ) πl ) πl ) L π πl 0 Se tienen dos circunferencias tangentes exteriormente en, cuyos radios miden 6r y r, se traza la tangente común exterior etermine el área de la región del triángulo mixtilíneo 19 Si 1,,,, y 6 son semicírculos de radios congruentes, entonces el área de la figura sombreada en función del lado L del rectángulo es ) ) r (8 π ) ) r (8 11 π ) ) r (96 π) r (8 π) r ( π) 8

20 Geometría Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 1 GTÍ L SI ÁTI L LS 1 scriba verdadero (V) o falso (F) según corresponde, luego marque la alternativa correcta ¾ Si las proyecciones ortogonales de dos segmentos sobre un mismo plano son iguales en longitud, entonces, dichos segmentos son congruentes ( ) ¾ Si una recta es perpendicular a la intersección de dos planos perpendiculares, entonces, dicha recta es perpendicular a uno de dichos planos ( ) ¾ Si las distancias de un punto hacia dos planos son iguales, entonces dichos planos son paralelos ( ) ) VVV ) VFV ) VFF ) VVF FFF scriba verdadero (V) o falso (F) según corresponde, luego marque la alternativa correcta ¾ ualquier recta perpendicular a una recta perpendicular a un plano, será paralela a dicho plano ( ) ¾ Un ángulo diedro es un conjunto convexo ( ) ¾ Si las proyecciones ortogonales de dos rectas sobre un plano, son paralelas, entonces, dichas rectas son paralelas ( ) ¾ La proyección ortogonales de una línea curva sobre un plano, es siempre un conjunto no convexo ( ) ) FFVV ) FVVF ) FFFV ) FFFF FVVV el gráfico, halle el valor de x si ' y Q' son las proyecciones ortogonales de y Q y la medida del ángulo determinado por y 'Q' es 0 ; además, el ángulo entre y Q es ' Q Q' ) ) ) ) x el gráfico, ST es un cuadrado siendo ' la proyección ortogonal de y punto medio de ; además, la medida del ángulo determinado por las alabeadas y es 0, donde =1 Halle ' ' S T α α L ) ) ) ) 1 8

21 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) Se tiene el triángulo de circuncentro, ubicado en el plano H, H, por se traza L H, la cual interseca a La proyección ortogonal de sobre el H es ( es punto medio de ), =10 y m = Halle si =8 ) ) ) 11/1 ) 1/ 6 el gráfico mostrado, calcule el área de la región sombreada si es la proyección ortogonal de, m = y, además, la medida del ángulo diedro determinado por los semicírculos es 60 ) 1 u ) u ) u ) 10 u 10 u 7 Se tiene un semicírculo de diámetro y un cuadrante (=), ubicados en planos perpendiculares, en dicha circunferencia se ubica, tal que m=60 Halle m ) 7 / ) / ) 1 ) Se tienen dos circunferencias 1 y congruentes de radio y de centros 1 y, respectivamente, secantes en y, además, contenidas en un plano Si se trazan Q 1 y Lperpendiculares al plano hacia un mismo semiespacio de modo que 1 Q== L y m =10, halle la medida del diedro determinado por la región QL y el plano Geometría ) ) 60 ) 17 / ) 7 1 / 9 Una región triangular, al ser proyectada sobre el plano Q, determina otra región triangular cuya área es la mitad de la región triangular inicial Halle la medida del ángulo diedro determinado por la región triangular inicial y el plano Q ) 0 ) 7 ) ) Se tiene un cuadrado y una semicircunferencia de diámetro ubicados en planos perpendiculares y se ubica el punto medio de ; luego se traza perpendicular al plano que contiene al cuadrado de modo que = Si G 1 y G son baricentros de las regiones y, respectivamente, halle la medida del ángulo que determinan GG 1 y ) 0 ) ) 60 ) Sea un cuadrado, desde se traza H ( y H ) Luego se traza perpendicular al plano del cuadrado y la prolongación de H interseca a la de en L Si L= (m H=0 ) ) 1 ) ) 6 10 ) 1 Se traza perpendicular al plano de un triángulo equilátero, =8 y la distancia entre y es Halle m ( es punto medio de ) ) 7 ) 8 ) 1 )

22 Geometría 1, se traza perpendicular al plano de dicho rectángulo Si ==6 y =, halle la distancia entre y ) ) ) ) 1 scriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta ¾ os rectas siempre determinan un plano ( ) ¾ Si por dos puntos de una circunferencia se trazan dos rectas, dichas rectas serán coplanares ( ) ¾ os rectas perpendicualres a una recta contenida en un plano son paralelas ( ) ¾ Si un plano es perpendicular a la recta L, dicho plano paralelo a todas las rectas alabeadas ortogonales a L ( ) ) VVVV ) VFFV ) FFFF ) VVFV FFVF 1 Sea un cuadrado Se trazan las perpendiculares y Q al plano que contiene a dicho cuadrado ( y Q en un mismo semiespacio) Si es punto medio de, ==Q y = ( ), halle la medida del ángulo que determinan y Q ) ) ) 60 ) ado un triángulo, de incentro I, donde =1, =1 y =1, si G es baricentro de la región y la distancia de G a un plano que contiene a es, halle la distancia de I a dicho plano ) ) ), ) 1,8, Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 17 Se tiene el cuadrado, de centro, y el triángulo equilátero, ubicados en planos perpendiculares; además, se traza la semicircunferencia de diámetro perpendicular al plano del cuadrado y se ubica el punto medio en y S es el punto medio de G Halle la medida del ángulo que forma S con el plano que contiene al cuadrado + 1 arctan ) arctan( 1) ) arctan( 6 ) + 1 arctan 6 18 Se tiene los triángulos y ubicados en los planos H y F, respectivamente Las distancias de y a los planos H y F son, respectivamente, y Si el ángulo diedro formado por los planos mide 60, halle la distancia entre y ) arctan( 7 ) ) ) 10 ) ) 1 ) 19 el gráfico, =, =, = y F= Halle la distancia entre F y F ) 11 ) ) ) 1 86

23 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) Geometría 0 l triángulo equilátero y el cuadrado se encuentran ubicados en planos perpendiculares alcule el área de la región si la distancia entre y es ) 18 u ) 1 u ) 1 u ) u 10 u TIQUS 1 scriba verdadero (V) o falso (F) según corresponde, luego marque la alternativa correcta ¾ Tres puntos cualesquiera, siempre pertenecen a un plano ( ) ¾ Una recta y un punto determinan un plano ( ) ¾ os rectas determina un plano ( ) ) VVV ) VVF ) VFF ) FFF FFV scriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta ¾ os rectas que no se intersecan, siempre son paralelas ( ) ¾ Si una recta L es perpendicular a otra L 1 contenidas en el plano, entonces L es perpendicular al plano ( ) ¾ or dos rectas secantes pasan infinitos planos ( ) ) VFV ) VFF ) VVV ) FFF FVF scriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta ¾ Si una recta L es paralela a un plano, entonces la recta L es paralela a infinitas rectas del plano ( ) ¾ Si una recta L es paralela a un plano, entonces la recta L no es paralela a infinitas rectas del plano ( ) ¾ Si una recta L es perpendicular a una recta L contenida en el plano, entonces la recta L es perpendicular a infinitas rectas del plano ( ) ) VVV ) VVF ) FFF ) VFV FFV scriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda, luego marque la alternativa correcta ¾ ara dos rectas paralelas, como para dos rectas cruzadas, su intersección siempre es un conjunto vacío ( ) ¾ La intersección de tres planos, siempre es una recta ( ) ¾ Si una recta es paralela a un plano, entonces esta recta es paralela a infinitas rectas contenidas en el plano ( ) ) FFF ) VVV ) FFV ) VFV VFF es un triángulo, recto en, por se traza la perpendicular al plano, punto medio de Si =6, =, y =, entonces el área de la región triangular es 87

24 Geometría ) u ) 6 u ) 7 u ) 8 u 9 u 6 Se tiene un segmento de recta de 1 m contenida en un plano qué distancia de este plano debe trazarse otro plano paralelo para que m =0 y m =? ) 6 ) 6 ) 6( 1) ) 6( +1) 6( + ) 7 os planos rectangulares unidos por barras de 6 cm de longitud, penden de sus vértices, tal como se indica en a figura Las placas son rectángulos congruentes donde uno de sus diagonales mide 10 cm n cuanto disminuirá la distancia entre estas si se hace girar 180 una de ellas sabiendo que las barras son perpendiculares a las placas? ' ' ' ' ) cm ) cm ) cm ) cm 7 cm 8 n un plano, se traza un triángulo equilátero cuyo lado mide a or el vértice, se traza F perpendicular al plano Si F=a, entonces la distancia entre las rectas y F es a 1 ) 8 ) a 1 ) 6 a 1 ) 7 a 1 10 a 1 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 9 n un hexaedro regular - FGH, K pertenece al plano F y L pertenece al plano FGH, KL=10 u Si la medida del ángulo entre KL y el plano F es igual a 7, la medida del ángulo entre KL y el plano FGH es igual a 60, entonces la distancia entre KL y F es ) ) ) ) La proyección del segmento sobre el plano es el segmento H l rayo está en el plano Si m H=m H=, entonces la m es ) 0 ) 0 ) 6 ) es un cuadrado, punto medio de, y se intersecan en el punto, por se traza el segmento perpendicular al plano del cuadrado Si = y =8, entonces mide ) 9 ) 9 ) ) n un plano, se dibuja el triángulo equilátero cuyo lado mide l or el vértice se traza la perpendicular F al plano Si F=l, entonces la medida del ángulo entre las rectas y F es 7 ) arcsen ) arcsen 1 1 tan 7 tan ) ( ) ) ( ) 1 tan ( ) 88

25 Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 1 n un plano, se dibuja el triángulo rectángulo, recto en or el vértice se traza la perpendicular F al plano Si =a, =a y F=a, entonces el área de la región triangular F es ) a ) 6a ) 7a / ) 8a 9a 1 Sea un triángulo rectángulo isósceles tal que ==a, en se eleva la perpendicular al plano sobre la cual se toma a = Se junta el punto a los vértices y etermine el valor del ángulo die- dro de arista ) 60 ) ) 0 ) 7 1 l diedro mide 60, halle la distancia entre y si m =, la m =60, y la m = 6,, = y = ) ) ) ) 16 ado un triángulo rectángulo isósceles, siendo == 6, en el vértice se eleva una perpendicular al plano y se toma un punto sobre esta perpendicular, uniendo con los vértices y Halle el valor de para que el diedro mida 60 ) ) ), ) 1 Geometría 17 Un triángulo equilátero está en un plano perpendicular a un cuadrado, siendo el lado común de ambos polígonos l segmento de recta que une el punto medio del lado del triángulo con el punto medio del lado del cuadrado mide 1 m uál es la longitud del lado del triángulo o del cuadrado? ) 1 m ) 1, m ) m ), m 0, m 18 y F son cuadrados en planos perpendiculares etermine la medida del ángulo diedro -F- ) ) arcsen arcsen arcsen ) arcsen ) arcsen 19 y F están en planos perpendiculares, punto medio de F y punto medio de Halle la medida del ángulo determinado por las rectas y ) arccos ) arccos 1 arccos ) arccos 1 arccos 89

26 Geometría Guía cadémica III - iencias (S-UI--16) 0 Sea un círculo de radio y centro, perpendicular al plano del círculo, es diámetro y una cuerda Si m = 60 y m = 60, entonces la medida del ángulo determinado por y es ) arccos ) 7 arccos 6 ) arccos ) arccos arccos 90