Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Alexander Carvajal

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1 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Alexander Carvajal Universidad de Granada Departamento de Estadística e Investigación Operativa Granada, España 2014

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3 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R Alexander Carvajal Trabajo de Fin de Máster presentado como requisito parcial para optar al título de: Máster en Estadística Aplicada Director: Doctor, Francisco Javier Alonso Morales Línea de Investigación: Análisis de series temporales. Aplicaciones a riesgos financieros Universidad de Granada Departamento de Estadística e Investigación Operativa Granada, España 2014

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5 Dedicatoria Para mi señora madre, mi sobrino y Mabel quienes conforman mí muy querida familia. Más allá del miedo esta la paz. Saúl Hernández

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7 Agradecimientos Particularmente deseo agradecer al Doctor Francisco Alonso, docente del Máster y tutor del presente TFM, por el aporte bibliográfico y los lineamientos que permitieron la satisfactoria elaboración de este trabajo. También quisiera agradecer a mi compañera de estudio Carolina Cabrera por el apoyo y trabajo conjunto, lo cual me permitió superar los obstáculos que se presentaban mientras desarrollaba el Máster.

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9 Resumen y Abstract IX Resumen Este trabajo se inicia con una descripción de las series temporales y el método Box- Jenkins como preámbulo para el estudio de los modelos de heterocedasticidad condicional y, en estos modelos la varianza condicional depende de las observaciones en periodos anteriores de la serie temporal. Finalmente se realiza una aplicación práctica a una serie de retornos de los precios de las acciones del Banco de Bogotá, dicha aplicación se lleva a cabo empleando el software R-Project. Palabras clave: Modelos y, Varianza Condicional, heterocedasticidad, R- Project, Series temporales. Abstract This paper starts with a description of time series and the Box-Jenkins method as a preamble to study the conditional heteroscedasticity models and, in these models the conditional variance depends of observations in earlier periods of time series. Finally, it realizes a practice application to series of return of the Banco de Bogotá s share price. That application is developed using the software R- Project. Keywords: Models and, conditional variance, heteroscedasticity, R- project, time series.

10 Contenido X Contenido Pág. Resumen... IX Abstract... IX Introducción Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales Definición e ideas básicas Objetivos de las series temporales Componentes y clasificación descriptiva de las series temporales Procesos estocásticos Procesos estacionarios Ruido blanco, camino aleatorio y autocorrelación Procesos autorregresivos y de media móvil, modelos ARMA y ARIMA Procesos autorregresivos y de media móvil Modelos ARMA Y ARIMA Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins Paso 1: Identificación Estabilización de la no estacionariedad Identificación de órdenes del proceso Paso 2: Estimación Método de los momentos Algoritmo de máxima verosimilitud Método de los mínimos cuadrados condicionales Métodos de optimización no lineal Estimadores óptimos Paso 3: Diagnóstico del modelo Diagnóstico de los coeficientes estimados Diagnóstico de los residuos el modelo Paso 4: Predicción Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales Modelos Modelo Modelo Modelos Extensiones del modelo Test de Heterocedasticidad Condicional...48

11 Contenido XI Multiplicador de Lagrange Contraste de Portmanteau Contrastes Robustos Capítulo 4: Aplicación usando el Software R Consideraciones iniciales para la construcción del modelo en R Estimación del Modelo Conclusión Bibliografía ANEXO 1: Código R ANEXO 2: Datos Cotización Banco de Bogotá... 71

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13 Introducción En el estudio de series de tiempo los modelos de alta volatilidad son de amplio interés puesto que en la realidad existen muchos datos que se comportan de forma muy volátil y por consiguiente su pronóstico debe involucrar un modelo que tenga en cuenta esa acelerada volatilidad, es decir no se puede realizar la estimación basándose en un modelo de serie estacionaria. Los Modelos (AutoRegressive Conditional Heteroscedastic) y (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity) toman en cuenta que la varianza condicional de la serie temporal no es constante, convirtiéndose así en modelos apropiados para estudios de la alta volatilidad, normalmente estos modelos se aplican al estudio de los retornos series financieras y en general para variables económicas donde la incertidumbre del pronóstico es elevada. Con este trabajo se busca dar a conocer la teoría existente sobre los modelos y y realizar una aplicación a una serie de retornos de las acciones del Banco de Bogotá, Para esto el trabajo se divide en cuatro capítulos, en el primero de ellos se realiza una introducción a las series temporales, explicando su concepto, sus objetivos, su utilidad y sus componentes, posteriormente se estudian los procesos estocásticos llegando al definición de estacionariedad y ruido blanco, el capítulo termina con una explicación teórica de los procesos autorregresivos y de media Móvil (AutoRegressive Moving Average) y (AutoRegressive Integrated Moving Average) los cuales muestran estructuras lineales asociadas a una serie temporal de datos. En el segundo capítulo se estudia la metodología Box-Jenkins, la cual busca crear una secuencia de pasos que permiten modelar una serie temporal y obtener una predicción a corto plazo bajo un modelo o. Los pasos de la metodología son: identificación, estimación, diagnóstico del modelo y predicción.

14 2 Introducción En el capítulo tercero se estudian los principales modelos heterocedásticos condicionales, como lo son los modelos, y sus extensiones como, o y, además se introduce al tema de los contrastes de heterocedasticidad condicional. Finalmente en el capítulo cuarto se realiza una aplicación práctica de los modelos estudiados utilizando el software R Project, dicha aplicación se realiza a una serie de retornos de las cotizaciones, en la Bolsa de Valores de Colombia, de la acción del Banco de Bogotá.

15 1. Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales En este capítulo se plantea el los conceptos básicos de las series temporales partiendo de un modelo general para luego estudiar los procesos estocásticos que serán la base para comprender los modelos,, y, procesos que se discuten en forma introductoria. 1.1 Definición e ideas básicas Para lograr una aproximación a la definición de series temporales es necesario conocer su utilidad, la cual es obtener patrones de comportamiento de una variable mediante la observación de sus datos en el transcurso de un periodo de tiempo. De lo anterior se puede afirmar que dada una sucesión de observaciones, en distintos instantes de tiempo, se tiene una serie temporal. En el estudio práctico de las series temporales se mide el tiempo en periodos aproximadamente equidistantes, como por ejemplo minutos, horas, días, meses, años etc. Esto a pesar de que el tiempo es una variable continua. El estudio de las series temporales permite conocer una variable a lo largo del tiempo y con ello realizar predicciones. Los comportamientos en la variable estudiada pueden obedecer a patrones deterministas o a patrones aleatorios. Las formas de obtener los datos en una serie temporal son básicamente el muestreo y la agregación (muestreo temporal), el muestreo consiste en observar directamente el valor de la magnitud en el instante dado y en la agregación se obtienen los valores de la magnitud observando el valor acumulado durante cierto intervalo de tiempo.

16 4 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R Objetivos de las series temporales El objetivo general de las series temporales es estudiar el comportamiento evolutivo de una o varias magnitudes en el tiempo; como objetivos particulares se enuncian los siguientes: Describir mediante medidas estadísticas y mediante gráficos las características principales de la serie. Predecir mediante métodos sofisticados estimaciones de los valores de las magnitudes en instantes futuros. Explicar el efecto de los valores de una magnitud sobre otra en el tiempo. Controlar los valores de parámetros que puedan influir en el comportamiento de la serie. El cumplimiento de estos objetivos permiten a ciencias como la Economia y las Finanzas a crear modelos que buscan realizar pronosticos de corto y largo plazo en temas de precios, macroeconomicos, sistemas de inversión entre otros Componentes y clasificación descriptiva de las series temporales En el análisis clásico de las series temporales se supone que los valores que toma la variable en observación son consecuencia de las componentes tendencia, estacional y aleatoria, a saber: Componente tendencia: Se identifica con movimientos suaves de la serie a largo plazo, es decir cambios a largo plazo de la media. Este tipo de tendencias es muy apreciable en temas económicos y temas financieros, como los precios, las exportaciones, las importaciones entre otras. Componente estacional: Se identifica con variaciones de cierto periodo (anual, mensual, diario etc.), en estos casos se procede a desestacionalizar la serie, en otras palabras corresponde a movimientos de una variable que ocurre reiteradamente durante una frecuencia homogénea de tiempo, para series de tiempo cuya periodicidad es diaria, semanal, mensual, trimestral o semestral. Este elemento se caracteriza por aparecer en un periodo desvanecerse en el siguiente (Morales, Urrego, Perdomo, & Rosales, 2013)

17 Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales 5 Componente aleatoria: La serie se muestra como resultado de factores fortuitos que le inciden de forma aislada. Esta componente es de naturaleza aleatoria, ya que su movimientos no vienen definidos es decir son irregulares. Existen algunas clasificaciones para las series de tiempo en función de criterios particulares, algunas de estas clasificaciones son: Deterministas o aleatorias: dependiendo del patrón de comportamiento de la variable observada, sea este fijo o no lo sea. Discretas o continuas: dependiendo del tiempo en que se recogen las observaciones de la serie, sean momentos determinados o de forma continua en el tiempo. Univariantes o multivariantes: dependiendo si la serie estudiada se encuentra en función de su propio pasado o se estudian varias series temporales a la vez para analizar las interacciones dinámicas entre varias series. 1.2 Procesos estocásticos Un proceso estocástico se entiende como una secuencia de datos que evolucionan en el tiempo, siendo así las series temporales un caso particular de los procesos estocásticos (Villavicencio, 2014). De manera más formal se puede definir un proceso estocástico como una colección de variables aleatorias ordenadas en el tiempo (Gujarati, 2004) Definición Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias { } definidas sobre un espacio de probabilidad, donde el conjunto paramétrico T es un subconjunto de. El conjunto suele ser un intervalo o un conjunto de valores discretos, por consiguiente el proceso estocástico depende de los argumentos, el tiempo y el suceso elemental. Para cada fijo, es una variable aleatoria y, para cada fijo, es una realización proceso, por consiguiente una serie temporal es considerada como una realización de un proceso estocástico. En síntesis en cada instante existirá una variable aleatoria distinta, por tanto en un proceso estocástico las características de las variables aleatorias varían en el tiempo

18 6 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R Procesos estacionarios Un proceso estocástico estacionario, débil o de segundo orden, se define como aquel en que su media y su varianza son constantes en el tiempo y si el valor de la covarianza entre dos periodos depende solamente de la distancia o retardo entre estos dos periodos de tiempo y no del tiempo en el cual se ha calculado la covarianza (Gujarati, 2004). Formalmente se tiene la siguiente definición: Definición (Estacionariedad estricta) Un proceso estocástico { } se dice estrictamente estacionario si, para cualquier { } y para cualquier tal que{ }, las distribuciones conjuntas de ( ) y ( )coinciden. La estacionariedad en sentido fuerte se debe contrastar por medio de distribuciones conjuntas para cualquier selección de variables del proceso, por ello se procede a definir la estacionariedad débil, la cual es de fácil comprobación. Definición (Estacionariedad débil) Un proceso estocástico { } de segundo orden se dice débilmente estacionario o estacionario en sentido amplio si, y tal que, se verifica: 1. [ ] (es constante) 2. Cov( (depende de sólo de ). Un proceso estrictamente estacionario y con momentos de segundo orden finitos es débilmente estacionario. El recíproco no es cierto, debido a que la estacionariedad débil no impone restricción alguna sobre la distribución de las variables ni los momentos de orden superior a dos, sin embargo en el caso de los procesos Gausianos los dos tipos de estacionariedad equivalen.

19 Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales Ruido blanco, camino aleatorio y autocorrelación Ruido Blanco Dentro de los procesos estocásticos se encuentra un caso simple llamado ruido blanco, donde los valores son independientes e idénticamente distribuidos a lo largo del tiempo con media cero e igual varianza, se notan como, esto es: ( ) Camino aleatorio Se define camino aleatorio como un proceso estocástico, donde y al obtener su primera diferencia se tiene es decir, siendo este resultado un ruido blanco. Definición Sea { función de autocovarianzas de } un proceso estocástico de segundo orden. Se define la como: [ ] Se define la función de autocorrelación de como: La función de autocorrelación es una medida adimensional de la dependencia lineal entre variables aleatorias de un proceso estocástico. En el caso estacionario las dos funciones dependen de y la función de autocorrelación presenta las siguientes propiedades: , es una función par.

20 8 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. 1.3 Procesos autorregresivos y de media móvil, modelos ARMA y ARIMA Existen modelos que tratan de estructuras estocásticas lineales y su asociación con una serie temporal de datos. Usualmente este tipo de procesos se presentan como combinación lineal de variables aleatorias. Si estos procesos siguen una distribución normal con media cero se presenta la serie como combinación lineal de valores anteriores infinitos de la misma serie más un ruido blanco Procesos autorregresivos y de media móvil Para la correcta identificación de estos procesos es necesario conocer el teorema de descomposición de Wold y la siguiente definición de un proceso estocástico lineal: Teorema (Teorema de descomposición de Wold) Cualquier proceso estacionario en donde, es una función determinística y. Definición (Proceso estocástico lineal) Un proceso estocástico es un proceso lineal si para todo puede ser representado como: Donde es un proceso de ruido blanco y { } es una sucesión de constantes reales absolutamente sumable, es decir, verifica. Para la interpretación de estos procesos primero se define el operador de retardos así: Definición (Operador de retardos) El operador de retardo de una función del tiempo en un instante proporciona la función en el instante anterior. Y presenta las siguientes propiedades: 1. con una constante.

21 Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales , operador de retardo de orden. El primer proceso a trabajar son los modelos autorregresivos de orden conocidos como, estos modelos parten del supuesto de que el valor presente de la serie se explica en función de valores previos así, siendo el número de retardos necesarios para pronosticar. El proceso general de se puede modelizar bajo la siguiente ecuación:, donde: representa las vv.aa concebidas como realizaciones de un proceso estocástico en los momentos de tiempo los cuales se caracterizan por y la varianza del proceso son los parámetros que definen el modelo y que deben ser estimados. Reescribiendo en términos del operador de retardos se tiene: ( ) Proceso Autorregresivo de orden 1: Un proceso solo está determinado por el valor pasado más un ruido y se define mediante la siguiente ecuación: Este modelo debe ser estacionario en media y en varianza, por tanto se deben probar estas condiciones.

22 10 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. La estacionariedad en media implica que media debe ser constante finita en el tiempo por tanto tiene que: y además la ; de lo anterior se Por tanto cuando el proceso es estacionario. La estacionariedad en covarianza se cumple si la varianza es constante y finita en el tiempo, tenemos así, dada la autocorrelación del proceso se tiene [ ] y suponiendo que el proceso es estacionario se tiene. De donde, entonces: Por tanto si existirá varianza constante y finita. Dada la función de autocovarianza de orden, ( )( ) [ ] es decir: Por lo anterior se tiene: Por lo que un proceso es estacionario si y solo si. Tenemos además para el proceso : Función de autocovarianza:

23 Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales 11 { Coeficientes de autocorrelación Función de autocorrelación { Siendo la función de autocorrelación de una función exponencial De donde Proceso Autorregresivo de orden 2: Este proceso está determinado por el valor pasado y el anterior a este. El modelo es una representación autorregresiva de segundo orden y es modelizado por la ecuación: Siendo un ruido blanco. También la ecuación se puede reescribir de forma más general como Además, si se asume estacionariedad para este proceso, se tiene: Media

24 12 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. [ ] De lo anterior se puede ver la expresión con media Función de autocovarianza Siendo y quienes proporcionan las dos primeras autocovarianzas en función de los parámetros y de la varianza del ruido blanco. Autocovarianzas de orden, para todo Función de autocovarianza { Coeficientes de autocorrelación Escritos de forma general { Las condiciones de estacionariedad para los dos procesos son las siguientes: Condición de estacionariedad para el modelo : entonces

25 Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales 13 Condición de estacionariedad para el modelo Si el radicando las raíces son reales y si el radicando las raíces son complejas (Villavicencio, 2014). Proceso de medias móviles Una serie temporal de medias móviles de orden se representa mediante la ecuación: Dónde: es una variable aleatoria concebida como realización de un modelo estocástico en los momentos de tiempo, presentando la característica de. y la varianza del modelo, representan los parámetros del modelo a estimar. representa la variable aleatoria ruido blanco. La característica fundamental de estos modelos suponen que el valor presente de la serie vienen determinados por una fuente externa. La representación de este modelo en términos del operador de retardos viene dada así: Proceso de medias móviles de orden 1: La serie temporal para este proceso se modeliza mediante la ecuación: Asumiendo estacionariedad para este proceso se tiene:

26 14 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Media: Si la esperanza de viene dada por : Y como Por la condición de estacionariedad en media la cual exige que no sea función del tiempo y también que sea finita y determinada, esto se cumple si es finito. Por tanto: Además si se supone que se tiene que: La estacionariedad en varianza se cumple automáticamente pues la varianza de un finito será siempre finita. Función de autocovarianza: { La función de autocovarianza es finita y depende solo de y no del tiempo, esto es para cualquier valor del parámetro. Esto implica que no es necesario poner restricciones al parámetro para que el se estacionario (Villavicencio, 2014). Además el proceso siempre es estacionario. Función de autocorrelación:

27 Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales 15 { Proceso de medias móviles de orden 2: Una serie temporal se puede representar como un si se puede modelizar por medio de la siguiente ecuación: Estacionariedad en media: La estacionariedad en media se cumple si es finito y Teniendo que y si se tiene. Así un modelo es estacionario en media y varianza si es finito o determinado y además Función de autocovarianza Función de autocorrelación:

28 16 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Condiciones de invertibilidad Invertir un modelo consiste en transformarlo en su modelo equivalente. El requisito para que se pueda invertir un modelo es que las raíces del polinomio característico, en modulo, sean menores que la unidad (Cabrer, 2004)., se parte de de donde. Por tanto el polinomio de medias móviles viene dado por y resolviendo la ecuación se tiene. Así la condición de invertibilidad en este modelo viene dada por o, se parte de, de donde Por tanto el polinomio de medias móviles viene dado por, y resolviendo la ecuación se tiene: Estas condiciones, se puede apreciar, son similares a las de estacionariedad pero con el operador aplicado Modelos ARMA Y ARIMA. Una serie de tiempo, que presente las características y de manera conjunta, seguirá un proceso, con términos autorregresivos y términos de media móvil, estos modelos permiten aproximar la estructura de covarianza de un proceso estacionario hasta el nivel que se fije previamente. Los modelos son una extensión de los que se utiliza para modelizar algunos procesos no estacionarios. Definición (Modelos ARMA) Se dice que la serie estacionaria tiene estructura si admite una representación del tipo: ( ) La definición anterior la podemos escribir por medio del operador de retardos así: Definiendo los polinomios:

29 Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales 17 El modelo toma la forma: Definición (Modelos ARIMA) se dice que un proceso tiene estructura ARIMA(p,q,d) si existen dos polinomios y de grado y, respectivamente, verificando que Estacionariedad e invertibilidad En los modelos ARMA la estacionariedad se representa así: Siendo y Lo que equivale a que las raíces de la ecuación sean en modulo mayores que. La invertibilidad es una propiedad similar. Para un proceso una estructura es invertible si existe una sucesión de constantes { }, tal que y además: ( ). Se puede comprobar que el proceso será invertible si los ceros de la ecuación tienen todos módulo mayor que 1. Función de autocorrelación: Donde Presentando esta función de autocorrelación un decaimiento exponencial o sinusoidal amortiguado a partir del retardo.

30 18 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Función de autocorrelación parcial: Definición Se define la función de autocorrelación parcial como aquella función que para un valor entero nos proporciona la autocorrelación entre y eliminando la información que, contienen ambas es decir, Por convenio. Siendo esta definición análoga a: Pues los residuos de la regresión son ortogonales con todas las variables regresoras, la función de autocorrelación es par y por tanto la varianza del residuo de la regresión de una variable sobre las variables sobre el pasado es la misma que la varianza del residuo de la regresión de una variable sobre las variables más próximas hacia el futuro. Para los procesos la función de autocorrelación parcial se anula para valores superiores a, se observa como el coeficiente de una regresión sobre variables, al comparar con la estructura de la serie: Y con la estructura de la regresión: Esto verifica que para valores de superiores a, por consiguiente será nulo. Para los modelos o donde hay correspondencia entre los modelos y los coeficientes decaerán hacia cero.

31 2. Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins En este capítulo se estudiara la metodología de Box Jenkins la cual fue desarrollada en los años 70 por George Box y Gwilym Jenkins, en la actualidad esta metodología ha adquirido gran relevancia por la aplicabilidad que tenido gracias al desarrollo de los sistemas de computación. La idea principal del enfoque Box - Jenkins es proponer un conjunto de procedimientos para escoger entre los modelos, y el que se ajuste a los datos de una serie temporal observada y con ello realizar pronósticos sobre ésta. Este procedimiento plantea cuatro pasos a saber: 1. Identificación: Este primer paso busca establecer los valores apropiados para. 2. Estimación: Luego se deben estimar los parámetros incluidos en el modelo. 3. Verificación de diagnóstico: Al seleccionar el modelo particular se debe comprobar si el modelo se ajusta a los datos (puede existir otro modelo que presente mejor ajuste). La prueba más simple de ajuste es comprobar si los residuos obtenidos son ruido blanco. 4. Predicción: El último plazo consiste en la elaboración de los pronósticos de la serie temporal en particular. Como desarrollo de la temática para el presente capitulo se procede a estudiar, de forma más precisa, cada uno de los pasos que comprende el Box - Jenkins 2.1 Paso 1: Identificación. Este paso comprende identificar la estructura no estacionaria, realizar las transformaciones a que haya lugar para obtener varianza y media constantes y finalmente determinar las órdenes del modelo.

32 20 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Este análisis nos permite identificar en la serie temporal características como la alta frecuencia (característica intrínseca de la serie que no es corregible), el comportamiento no estacionario y la presencia de estacionalidad en los datos Estabilización de la no estacionariedad. Para la estabilización de la no estacionariedad es posible realizar transformaciones de Box-Cox diferenciaciones, entre otras. Transformaciones de Box-Cox Para una serie temporal, el proceso que se obtiene luego de realizar una transformación Box-Cox de parámetro se encuentra definido por: { Box-Cox además incluye una familia infinita de funciones como logaritmos raíz cuadrada etc. También se utiliza esta transformación para solucionar problemas de normalidad de los datos. Diferenciación Este procedimiento implica identificar si la serie temporal tiene un centro de gravedad o si carece de éste, es decir si se presentan tendencias (para lo cual se usara, sobre todo, el grafico de la serie) y además se busca identificar en la función de autocorrelación muestral un decaimiento lento. Para estabilizar la media se toman diferenciaciones del tipo: En este caso los instrumentos gráficos son muy útiles, se utilizan el grafico de la serie, el grafico de autocorrelación y el de autocorrelación parcial, con ellos se puede realizar una diferenciación regular o una diferenciación en la parte estacional.

33 Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins 21 En la diferenciación en el grafico presentará una tendencia clara, la función de autocorrelación muestral decaerá de forma lenta y lineal y la función de autocorrelación parcial muestral presentara un coeficiente de primer retardo cercano a 1. Se debe tener presente que las tendencias lineales se eliminan con y las tendencias cuadráticas con. Para la diferenciación en se mostrara un gráfico con pautas repetidas de periodo y se observara que la función de autocorrelación simple muestral mostrara coeficientes altos que decrecen de manera lenta en los retardos múltiplos de periodo. Nota: La diferenciación, a veces, también estabiliza la varianza de la serie Identificación de órdenes del proceso. Se proceden a estimar los órdenes y, para ello se compara las funciones estimadas de autocorrelación simple y parcial con sus respectivas funciones teóricas, se debe seleccionar un conjunto de modelos que se supongan adecuados. Los coeficientes de autocorrelación muéstrales se estiman mediante la ecuación: Donde que representa la serie estacionaria. Para la obtención de se debe primero calcular la covarianza muestral del retardo, y la varianza muestral, definidas como (Gujarati): donde es la media muestral y el tamaño de la muestra, por tanto. Para identificar los órdenes del modelo es necesario apoyarse en la función de autocorrelación parcial ya que (coeficiente de correlación parcial de orden ) mide el grado de asociación lineal existente entre variables habiendo ajustado el efecto lineal de todas las variables intermedias, el cálculo se realiza mediante la regresión lineal entre variables como en que representada seria

34 22 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. La función de autocorrelación parcial se estima basándose en los datos de la serie y como función de. Es claro que si, la serie es ruido blanco, si por el contrario, la serie no es ruido blanco, por lo anterior se emplea una prueba de significancia conjunta que determina si los coeficientes estimados estadísticamente equivalen a cero, pruebas soportadas por los test de Q de Box y Pierce y por la prueba Ljung- Box (Morales, Urrego, Perdomo, & Rosales, 2013) que se estudian en la sección VS Para identificar órdenes en un proceso estacional se sigue un proceso similar con la diferencia que se deberán observar los coeficientes en los retardos específicos que muestren estacionalidad ya que indicaran en la función de autocorrelación y la función de autocorrelación simple los ordenes y. Como ilustración de cómo interpretar correlogramas de la FAC y de la FACP en la identificación de las órdenes del proceso se presentan los siguientes casos (Morales, Urrego, Perdomo, & Rosales, 2013): La FAC decrece de manera exponencial y simultáneamente el primer retardo FACP está por fuera de su intervalo de confianza para sus valores positivos. La FAC presenta movimientos sinusoidales y simultáneamente el primer retardo de la FACP está por fuera de su intervalo de confianza para sus valores negativos

35 Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins 23 Figura 2.1 Correlogramas de Identificación AR(1) La FAC decrece de manera exponencial y simultáneamente los dos primeros retardos de la FACP están fuera de su intervalo de confianza para sus valores positivos. La FAC tiene movimientos sinusoidales y simultáneamente los dos primeros retardos de la FACP están fuera de su intervalo de confianza, intercalándose en su valor positivo y negativo o solamente hacia el lado de los negativos. Figura 2.2 Correlogramas de Identificación AR(2) La FACP tiene movimientos sinusoidales y simultáneamente el primer retardo de la FAC está fuera de su intervalo de confianza para sus valores positivos. La FACP no tiene movimientos (o puede presentar un crecimiento exponencial en sus valores negativos) y el primer retardo de la FAC está fuera de su intervalo de confianza para sus valores negativos

36 24 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Figura 2.3 Correlogramas de Identificación MA(1) La FACP crece de manera exponencial desde los valores negativos hacia los positivos y los dos primeros retardos de la FAC están fuera de su intervalo de confianza para sus valores negativos. La FACP no tiene movimientos o tienen forma sinusoidal y simultáneamente los dos primeros retardos de la FAC están fuera de su intervalo de confianza para sus valores negativos. Figura 2.4 Correlogramas de Identificación MA(2) La FAC y la FACP decrecen o crecen exponencialmente de manera simultánea desde los valores positivos hacia los negativos o viceversa, y el primer retardo de ambas está fuera de su intervalo de confianza para sus valores positivos o negativos. La FAC y la FACP tienen movimientos sinusoidales y su primer retardo está fuera de su intervalo de confianza, intercalando sus valores negativos y positivos o solamente hacia alguno de estos lados.

37 Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins 25 Figura 2.5 Correlogramas de Identificación ARMA(2) El modelo se puede identificar teniendo en cuenta que para la FAC la caída a cero puede ser oscilatoria a partir del retardo y para la FACP la caída a cero puede ser oscilatoria a partir del retardo 2.2 Paso 2: Estimación. En este paso se realiza la estimación de los parámetros que constituyen el modelo,, y (si es el caso), esta estimación se obtiene por diferentes métodos a saber: Método de los momentos Algoritmo de máxima verosimilitud Método de mínimos cuadrados condicionales Métodos de optimización no lineal Estimadores óptimos Estos métodos son de complejo cálculo y de manera enunciativa se presentan en este apartado.

38 26 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R Método de los momentos. Este método realiza la estimación de los parámetros sustituyendo momentos teóricos por momentos muéstrales y luego resolviendo las ecuaciones correspondientes. Normalmente se emplean las ecuaciones de Yule- Walker y al solucionarlas se sustituyen las autocorrelaciones por las estimaciones. Para una serie temporal que responda a una estructura como en las ecuaciones de Yule-Walker se obtienen mediante la estimación de las covarianzas o correlaciones de con si, de donde se tienen las ecuaciones en diferencias. Las ecuaciones de Yule- Walker son de la forma: ( ) Donde y son estimadores de y respectivamente, además se tiene que y. Para muestras grandes, los estimadores Yule-Walker siguen distribuciones normales y se aproxima al verdadero valor poblacional y además, se pueden construir intervalos de confianza para los valores estimados. Para ello se utiliza la varianza de, ( ) para. Para tamaños muéstrales grandes la distribución del estimador obtenido es, donde de donde un intervalo de confianza para vendría dado por: Siendo el elemento de.

39 Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins 27 Este método se utiliza en modelos y genera peores estimaciones, sin embargo se utiliza para el cálculo de valores iniciales y luego proceder con estimaciones más complejas. En síntesis este método proporciona estimaciones de los parámetros bajo la hipótesis de que la función de autocorrelación estimada coincida con la teórica para los primeros retardos. Normalmente se resuelve haciendo uso de algoritmos como el algoritmo de Burg, algoritmo de las innovaciones y el algoritmo de Hannan- Rissanen Algoritmo de máxima verosimilitud. Con este método se busca que los estimadores de los parámetros maximicen la función de verosimilitud con respecto a la varianza del error. Por ello el algoritmo se basa en la función de verosimilitud en modelos planteada por Newbold en 1974: (( ) ) ( ) { ( )} donde representa la función dependiente de los parametros y ( ) [ ] donde la esperanza condicional de se representa [ ] dado y { donde es función lineal de los valores iniciales no observables ( ) y ( ). La utilización de representaciones de los procesos ARMA como modelos en el espacio de estados y del filtro de Kalman permite calcular de manera exacta la función de verosimilitud. Al maximizar se logran obtener las predicciones.

40 28 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R Método de los mínimos cuadrados condicionales. Con esta técnica se busca minimizar la suma de cuadrados condicionales ( ) suma que se obtiene de la suma de cuadrados no condicionales, donde su valor esperado. son la base de los cálculos de igualados a cero que corresponde a Para un modelo la estimación viene dada por al siguiente ecuación: ( ) De donde se plantean las ecuaciones normales siendo: [ ] ( ) y ( ) y por tanto Métodos de optimización no lineal. Los métodos de suma de cuadrados condicional y máxima verosimilitud exacta, al utilizarse en modelos que contiene términos de medias móviles, generan funciones no cuadráticas lo que obliga a realizar estimaciones no lineales en la maximización de y la minimización de la suma de cuadrados condicionales ( ), principalmente se utiliza el algoritmo de Gauss-Newton, el cual resulta de una variación del método de optimización de Newton sin el uso de segundas derivadas, este procedimiento es iterativo por lo cual parte de una estimación inicial del parámetro Estimadores óptimos. Para los modelos los estimadores de máxima verosimilitud, mínimo cuadráticos condicionales y no condicionales que se basan en el método de los momentos, permiten obtener buenos estimadores para sus parámetros

41 Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins 29. El modelo debe presentar las características de estacionariedad e invertibilidad y venir dado por: Donde y representan polinomios conocidos cuando, donde presenta distribución normal multivariante con vector de medias y una matriz de covarianzas de dimensión y que se representa así: [ ] Siendo: donde representa el valor de la función de autocorrelación simple en el retardo para un proceso de la forma. donde representa el valor de la función de autocorrelación simple en el retardo para un proceso de la forma. ( ) ; donde representa la covarianza cruzada de los modelos autorregresivos dados por y, por consiguiente [ ]. 2.3 Paso 3: Diagnóstico del modelo. En este paso se busca verificar que tan adecuado es el modelo, es decir se debe comprobar que: Las condiciones de estacionariedad e invertibilidad de los coeficientes estimados del modelo se cumplan, así como determinar que estos parámetros estimados sean significativos. Los residuos se comporten como ruido blanco Diagnóstico de los coeficientes estimados Para los modelos se plantean los siguientes contrastes de hipótesis:

42 30 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Siendo la constante media. Para los coeficientes los cuales presentan distribución asintótica ( ) esto donde la inversa de la matriz de información permite estimar la varianza, el estadístico normal viene dado por: de contraste con distribución ( ) La hipótesis nula con se rechaza cuando: ( ). Las condiciones de estacionariedad e invertibilidad se comprueban calculando las raíces del polinomio autorregresivo, y las raíces del polinomio de medias móviles, si alguna se encuentra cercana a 1 se puede presumir falta de estacionariedad o invertibilidad. Por otra parte la matriz de covarianzas permite detectar presencia de factores comunes al modelo valiéndose de los niveles de correlación entre los modelos Diagnóstico de los residuos el modelo. Para el modelo se debe comprobar que los residuos presentan un comportamiento de ruido blanco, media cero, varianza constante y autocorrelaciones nulas. Para el contraste de media cero se plantean las hipótesis El estadístico viene dado por:

43 Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins 31 Donde y representan la media y al varianza muestral de los residuos estimados. También se puede usar el análisis grafico de los residuos que junto con el de dispersión nos podrá indicar la existencia de varianza constante. Para determinar la no existencia de correlaciones entre los residuos se utiliza el estadístico de Ljung-Box el cual viene dado por: Siendo el coeficiente de autocorrelación de los residuos estimados, representa el número de valores de la serie y representa el número de parámetros estimados. El estadístico se distribuye como una Chi-cuadrado, donde el número de grados de libertad es igual a, siendo el número de coeficientes utilizados en la suma. Las hipótesis a probar con este test son: Gráficamente se pueden observar los coeficientes de las funciones de autocorrelación muestrales (simple y parcial) que no deberán ser significativos para considerar la independencia entre residuos (comparados con las bandas de confianza). Nota: Alguno puede ser significativo debido al azar. Si los residuos presentan comportamiento de ruido blanco se procede a calcular las predicciones, de no cumplirse esto se debe repetir el proceso y proponer un nuevo modelo en la fase de identificación. Como conclusión se puede decir que en esta etapa se selecciona la mejor especificación del modelo para realizar el pronóstico, el cual se estudia en el paso Paso 4: Predicción. Una vez que se cuenta con un modelo estimado que cumpla los criterios de validez anteriores, este puede ser utilizado para realizar pronósticos (Morales, Urrego, Perdomo, & Rosales, 2013) para instantes observados la predicción a realizar es del tipo y viene dada a partir de la ecuación de diferencias:

44 32 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Como suma infinita ponderada de los valores : Como suma infinita ponderada de los valores previos más un ruido Si la predicción de la observación se denomina predicción de pasos hacia el futuro y se representa por y que se expresa como combinaciones lineales de valores pasados y presentes, siendo además función de los valores pasados y presentes del proceso ruido. Donde representa los pesos que minimizan el error cuadrático medio de la predicción, luego el error de la predicción se expresa como: La varianza de la predicción se representa por: [ ] Asumiendo que el ruido blanco sea Gaussiano se tiene el siguiente límite de confianza para un :

45 3. Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales. En este capítulo se continua con una introducción teórica de la series de tiempo, pero abarcando los modelos y, esto es indispensable para comprender los procedimientos a trabajar en la aplicación a los datos que se realizara en el último capítulo de este trabajo. En series financieras lo normal es observar como el precio de algunos activos se comportan establemente durante un periodo de tiempo determinado para luego presentar una alta volatilidad y finalmente retomar la estabilidad previa. Los periodos de alta volatilidad son propios de dichas series de tiempo financieras, siendo la volatilidad una característica no constante, implicando que los modelos de series de tiempo clásicos, donde se supone varianza homocedástica, no son idóneos en la modelación de series financieras. Los modelos de series de tiempo clásico se refieren a los estudiados en el capítulo 2 (Box-Jenkins) donde se parte de un proceso estocástico estacionario y se supone media y varianza constantes. Estos procesos estocásticos, que no siguen un patrón Box-Jenkins, se denominan modelos heterocedásticos condicionales y con ellos se busca determinar un patrón estadístico que defina el comportamiento de la varianza. En este capítulo se estudian los principales modelos heterocedásticos condicionales a saber: El modelo planteado por Engle en 1982 en el cual la varianza condicionada a la información pasada no es constante, y depende del cuadrado de las innovaciones pasadas (Casas Monsegny, 2008).

46 34 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. El modelo planteado por Bollerslev en 1986 el cual resulta de una generalización del modelo y donde la varianza condicional no solo depende de los cuadrados de las perturbaciones, sino además, de las varianzas condicionales de periodos anteriores (Casas Monsegny, 2008). También se estudiaran las familias resultantes de las extensiones del modelo como por ejemplo Modelos, o y entre otros. En la parte final del capítulo se enuncian los principales contrastes de heterocedasticidad condicional a saber: los multiplicadores de Lagrange, el test de Portmanteau y los contrastes robustos. 3.1 Modelos En un modelo se supone que en la serie de tiempo se permiten tener procesos de ruido blanco formados por variables dependientes, tenemos por tanto: Los modelos normalmente se utilizan para modelar series de retornos de activos financieros, los retornos de cada periodo representan la variación del precio del activo para cada periodo, si se denota al retorno para cada periodo como, se tiene: Donde representa el precio del activo en el periodo. Si se elimina el 1 y se toman logaritmos, se define el que se expresa mediante la ecuación: Entonces podemos reemplazar, por lo cual: Como y son procesos estacionarios independientes entre sí; representa un ruido blanco normal formado por variables independientes con media cero y varianza unitaria,

47 Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales 35 también es estacionario pero presenta una estructura dinámica en función de los valores previos que se notara como. La media marginal cero de la serie se garantiza por la independencia entre y y como se muestra en (Contreras, 2007) esto se explica ya que: La media condicional también es nula ya que: Y al ser un proceso estacionario, se tendrá una varianza marginal constante, la cual se calcula así: Que es igual a la varianza del proceso puesto que, pero presenta una varianza condicionada no constante: Además que, se puede ver que representa la varianza condicionada de la serie en cada instante, que va variando en el tiempo con cierta estructura estacionaria (Contreras, 2007). Para el estudio financiero de estos modelos es también importante tener claro que la varianza condicional se conoce como volatilidad. Dentro de los modelos se estudiaran los modelos Modelo Para analizar este modelo se supone que se tiene una serie temporal de retornos, la cual normalmente es una secuencia de correlación serial con media cero, esto es cierto aun cuando presente algunos periodos de volatilidad, por tanto la varianza condicional de, dada la rentabilidad pasada, no es constante.

48 36 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. La varianza condicional de se denota por, es decir el condicionamiento se refiere al periodo. Al elevar al cuadrado, se pude obtener un estimador insesgado de. En el modelo se supone que la varianza condicional tiene una estructura y que depende del último valor observado. Este modelo asume que la serie de retornos se genera así: Donde y son parámetros desconocidos y es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas cada una con media cero y varianza 1, además es independiente de y si el valor de es alto, la varianza de la siguiente observación condicionada a este valor será alta, por lo cual, probablemente, el valor siguiente de será alto (Cryer y Chan, 2008). Como se presume de varianza unitaria, la varianza condicional de es igual por consiguiente: ( ) ( ) Si bien es cierto que el modelo es similar a un modelo de regresión, su utilización no es igual ya que la varianza condicional unitaria no es directamente observable (variable latente). Por ello si en reemplazamos la varianza condicional por un valor observado, donde la innovación representa una serie incorrelada con media cero y también es incorrelada con el retorno pasado, al sustituir, se tiene que:

49 Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales 37 Lo que indica que la serie de retornos al cuadrado satisface un modelo bajo el supuesto de una serie de retornos con modelo ; como debe ser no negativo, es lógico que y sean también no negativos, Además, si la serie de retorno es estacionaria con varianza unitaria, reemplazando los retornos en ambos lados de la ecuación, se tiene: Lo que es igual a con, condición necesaria y suficiente para la estacionariedad débil del modelo. La varianza es constante en un proceso débilmente estacionario, la condición implica que existe una distribución inicial de de tal forma que como en y para sea débilmente estacionario. Por tanto para el modelo la estacionariedad débil no excluye el proceso de varianza condicional, es decir el modelo es de ruido blanco y admite un proceso de varianza condicional no constante que varía con el retardo de uno de los procesos al cuadrado (Cryer y Chan, 2008). En un modelo, si la innovación tiene distribución normal, su distribución estacionaria con es de cola gruesa, es decir su curtosis es mayor que cero (Cryer y Chan, 2008). El principal uso de los modelos es predecir las varianzas condicionales futuras, por ejemplo se pueden predecir los futuros pasos de la varianza condicional mediante: ( ) Cuando Lo que representa un promedio ponderado de la varianza a largo plazo y el retorno cuadrado actual. Usando la esperanza iterada (véase (Cryer y Chan, 2008)) se tiene: ( )

50 38 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Por tanto. Siendo otra forma de calcular el futuro paso de la varianza condicional Modelo El análisis de la sección anterior se puede generalizar para permitir una dependencia de la varianza condiciona con retardos. Las fórmulas de predicción derivadas en la sección anterior muestran las fortalezas y debilidades de un modelo como la previsión de las futuras varianzas condicionales donde sólo se involucra el último retorno al cuadrado. En la práctica, se puede esperar que la precisión de la predicción mejore mediante la inclusión de todos los últimos retornos al cuadrado con menor peso de las volatilidades más distantes. En 1982 Engle propone el modelo cuyo enfoque consiste en incluir los retornos al cuadrado más rezagados en el modelo. Este modelo generaliza la ecuación así: representa el orden del modelo. Este modelo implica que las posibilidades de rachas de alta volatilidad dependerán de los últimos valores. Para este modelo se tiene que: [ ( )] De donde con la restricción de. Al igual que en el modelo donde: se introduce la innovación y si se sustituye tenemos, de La innovación presenta las mismas propiedades que en el modelo a saber: Variables incorreladas de media cero, varianza constante e incorreladas con los regresores. Por otro lado, estas variables no son independientes entre sí, ni con los regresores, ya que la positividad de exige que (Contreras, 2007).

51 Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales Modelos El modelo presenta dificultades de estimación al aplicarse a estructuras dinámicas en los cuadrados de las series, tal es el caso de las series financieras donde el número de retardos a utilizar es muy alto, lo cual llevaría a un gran número de iteraciones para alcanzar la solución al sistema planteado, incluso podría no encontrarse una solución (Rafael de Arce y LL Klein, 1998). Partiendo de la ecuación y aplicando el enfoque propuesto por Bollerslev (1986) y Taylor (1986) que introducen retardos de la varianza condicional, se tiene que representa el orden del modelo, al combinar el modelo se tiene el modelo llamado heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada, modelo que representa una fórmula ampliada del modelo donde la varianza condicional depende de los valores previos de la variable y de sus propios valores anteriores (Cryer y Chan, 2008), se expresa así. Para este modelo las varianzas condicionales deben ser no negativas, por tanto los coeficientes presentan la restricción de no negatividad, sin embargo es conveniente aclarar que las limitaciones de no negatividad de los parámetros no son necesarias para que el modelo tenga varianzas no negativas con probabilidad 1. Para el desarrollo de este capítulo supondremos la restricción de no negatividad de los parámetros del modelo. Para el ajuste del modelo se deben seguir los pasos previstos en la metodología Box-Jenkins, es decir identificación, estimación, diagnóstico y predicción. La identificación del modelo de órdenes permite expresar el modelo para las varianzas condicionales en función de los retornos al cuadrado. Retomando la definición. Como en el modelo se puede demostrar que { } es una secuencia no correlacionada en la serie, además no presenta correlación con los retornos cuadrados pasados. Si se sustituye la expresión en la ecuación se obtiene:

52 40 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Donde para todos los enteros y para todo. Lo que demuestra que el modelo para la series de retornos al cuadrado es un modelo, lo que implica que se pueden aplicar las técnicas de identificación de modelos utilizadas en los modelos de retornos al cuadrado y así identificar y Cuando primero se obtiene un modelo y luego se procede a estimar examinando la significancia de las estimaciones de los coeficientes resultantes en el modelo. Para demostrar la condición de estacionariedad débil se supone que el proceso de retornos toma un modelo y además que este proceso es débilmente estacionario. Al tomar esperanzas en ambos lados de la ecuación se obtiene una ecuación para la varianza no condicional. de donde que es finito si condición necesaria y suficiente para la estacionariedad débil en un modelo Se supone que y, además, en adelante se supondrá que. Para el pronóstico del pasos de la varianza condicional se toma la fórmula recursiva en donde. Generalizando para un valor arbitrario, la formula se torna más compleja

53 Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales 41 donde y { El cálculo de las varianzas condicionales puede ilustrarse más claramente con el modelo. Si se supone que se tienen observaciones y Para el cálculo de las varianzas condicionales cuando se debe establecer el valor inicial. Lo anterior se puede ajustar a la varianza estacionaria no condicional bajo la suposición de estacionariedad o simplemente como, de lo cual se puede calcular por la fórmula que define el modelo, se puede ver que: Se puede ver que la estimación de un paso por delante de la volatilidad condicional es un promedio ponderado de la varianza de largo plazo, el retorno cuadrado actual y la estimación actual de la volatilidad condicional. Además la representación, de la varianza condicional implica que: Siendo una media móvil infinita de los retornos al cuadrado pasados, en la formula se puede ver que los retornos pasados más distantes reciben pesos exponencialmente decrecientes. En el caso en que el modelo es no estacionario y se denomina un modelo, donde se supone que y entonces:

54 42 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. La estimación se basa en el método de máxima verosimilitud de donde la función de probabilidad del modelo se puede derivar de manera sencilla para el caso de las innovaciones normales. Particularmente para el modelo se parte de tener dados los parámetros, y de donde se pueden calcular las varianzas condicionales por la fórmula: Para con valor inicial de, se asume el supuesto de estacionariedad en la varianza no condicional estacionaria densidad de probabilidad pdf:, e incluyendo la función de [ ] Y para la pdf conjunta: Por iteración se obtiene la fórmula para la función de : { } No hay una solución analítica para los estimadores de máxima verosimilitud, y pero se pueden calcular maximizando la función numérica de. Los estimadores de máxima verosimilitud se distribuyen normalmente y se aproximan a los valores de la media de los parámetros reales. Sus covarianzas pueden verse en una matriz identificada por y que se obtiene como se muestra a continuación: [ ] El vector anterior representa el vector de parámetros, donde se escribe el componente de como, de modo que, y. Los elementos

55 Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales 43 diagonales de representan las varianzas aproximadas de los estimadores y los elementos por fuera de la diagonal representan sus covarianzas aproximadas. Así el primer elemento diagonal de es la varianza aproximada de. El elemento de es la covarianza aproximada de y ; y así sucesivamente. Para el desarrollo matemático en el cálculo de revisar el capítulo 12 de Time Series Analysis (Cryer y Chan, 2008) Para la estimación del modelo se suponen innovaciones normales, la función de verosimilitud que resulta con este supuesto se conoce como la verosimilitud de Gauss, y los estimadores que maximizan esta verosimilitud se conocen como los estimadores de verosimilitud cuasi máximos (QMLEs) por sus siglas en ingles. Se puede demostrar que, bajo ciertas condiciones de regularidad leve, incluyendo la estacionariedad, los QMLEs son aproximadamente normales y con valores medios aproximados a los de los parámetros verdaderos, además su matriz de covarianzas es igual [ ], donde es la curtosis de las innovaciones y es la matriz de covarianza, asumiendo que las innovaciones se distribuyen normalmente. Si no se puede mantener el supuesto de innovaciones normales, se deben ajustar los errores estándar de los QMLEs multiplicando los errores estándar de la verosimilitud Gaussiana (basada en el supuesto de innovaciones normales) por, donde se puede sustituir por la curtosis muestral de los residuos estandarizados (Cryer y Chan, 2008). La desviación estándar condicional estimada se denota por el residuo estandarizado se define como: El residuo estandarizado del modelo ajustado sustituye las innovaciones y permite identificar la manera en que se distribuyen dichas innovaciones. En el paso de diagnóstico se comprueba que el modelo proporciona un ajuste adecuado a los datos, para ello se debe comprobar la correcta especificación del modelo, esto es, si los datos apoyan los supuestos del modelo. Se toma como base la ecuación que define los residuos estandarizados, los cuales son aproximadamente independientes e idénticamente distribuidos, si se ha

56 44 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. especificado correctamente el modelo. Los residuos estandarizados son muy útiles para controlar la especificación del modelo, la hipótesis de normalidad se puede contrastar con los graficos QQ de probabilidad normal, además, la prueba Shapiro-Wilk y la prueba Jarque-Bera son útiles para probar formalmente la normalidad de las innovaciones. El supuesto de que las innovaciones están independiente e idénticamente distribuidas se comprueba examinando su función de autocorrelación simple (acf) muestral, en este caso es útil el estadístico de Portmanteau (conocido como estadístico de Box-Pierce y, en una versión modificada, el estadístico de Ljung-Box) que se define como, donde es la autocorrelación del retardo de los residuos estandarizados y representa el número de valores de la serie y el número de parámetros estimados. Además se puede demostrar que el estadístico de prueba presenta una distribución con grados de libertad, donde indica que el modelo se ha especificado correctamente. Este resultado se basa en el hecho de que las autocorrelaciones muestrales de los retardos distintos de cero, de una secuencia independiente e idénticamente distribuida, son aproximadamente independientes y normalmente distribuidos con media cero y varianza, resultado que se mantiene para las autocorrelaciones muestrales de los residuos estandarizados, si los datos son realmente generados por un modelo con las mismas ordenes que las del modelo ajustado. Otro test para la detección de estructuras no lineales es el Test de Keenan (1985) el cual es similar al test de Tukey (1949) de no aditividad con un grado de libertad, la prueba de Keenan está justificada por la aproximación de la expansión de Volterra (Wiener 1958) de una serie estacionaria de segundo orden (Cryer y Chan, 2008) Con el estadístico: donde, RSS representan los residuos al cuadrado ajustados y es el coeficiente de regresión. Bajo la hipótesis nula de linealidad, el estadístico de prueba se distribuye, aproximadamente, con distribución F con y grados de libertad.

57 Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales 45 Para los residuos estandarizados absolutos se utiliza el estadístico de prueba de Portmanteau generalizado: Los dependen del número de retardos y son específicos para el verdadero modelo subyacente, por tanto se deben estimar a partir de los datos. Para los residuos al cuadrado toma valores diferentes, los y representan las estimaciones de las autocorrelaciones y de los residuales estandarizados absolutos. El modelo estudia el cumplimiento de las condiciones para lo no negatividad de las varianzas condicionales puesto que esto genera que los parámetros del modelo presenten la restricción de no negatividad, sin embargo esta restricción no implica que se deba cumplir la no negatividad de las varianzas condicionales. Considerando el caso de un modelo, la varianza condicional viene dada por: Suponiendo retornos consecutivos pueden tomar cualquier conjunto arbitrario de valores dentro de los números reales. Si uno de los es negativo, por ejemplo, lleva a que puede ser negativa si es suficientemente grande y el otro es suficientemente cercano a cero, de donde resulta evidente que todo deben ser no negativos para que las varianzas condicionales sean no negativas. Al igual, si se permite que los retornos estén cercanos a cero, debe ser no negativo para que la varianza condicional no pueda ser negativa. Para el caso de un modelo se estudia expresando el modelo como un modelo de orden infinito. La varianza condicional del proceso { } es un modelo, donde los retornos al cuadrado cumplen el papel del proceso de ruido. Un modelo se puede expresar como un modelo, por lo cual si se asume que las raíces de tienen una magnitud mayor que 1, las varianzas condicionales satisfacen:

58 46 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. donde [ ] donde las varianzas condicionales son no negativas si y solo si y para todos los enteros. Los coeficientes del se refieren a los parámetros del modelo a través de la igualdad: Si entonces se puede comprobar que para, de donde para todo si y solo si y. Para las modelos de orden superior véase el capítulo doce al capítulo de Time Series Análisis de Cryer y Chan. 3.3 Extensiones del modelo En algunos casos se pueden usar un modelo que mejore el modelo, esto es que compile de forma más exacta las características y la dinámica de una serie temporal, en ese caso se utiliza lo que se conoce como extensiones del modelo. El supuesto del modelo de media condicional cero no siempre se cumple en las series de tiempo, normalmente se utiliza una modelización de un, incluido el ruido blanco, con algún modelo Representado una serie de tiempo cualquiera con se tendría: ] Las partes del modelo se muestran después del signo más (+). La identificación de los órdenes se realiza sobre la base de la serie temporal, mientras que los órdenes se identifican con los residuos al cuadrado del modelo ajustado. La estimación de máxima verosimilitud para el modelo completo ( + ) se realiza maximizando la función de probabilidad establecida en la ecuación, reemplazando en la notación por. La independencia de los estimadores de máxima

59 Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales 47 verosimilitud de los parámetros y se cumple si las innovaciones se distribuyen simétricamente y sus errores estándar vienen dados por el modelo puro, de igual manera se cumple para los estimadores de los parámetros donde sus resultados presentan una distribución similar a la del modelo puro, sin embargo, si las innovaciones presentan distribución asimétrica indica que los estimadores y están correlacionados. Otra generalización del modelo se da cuando el proceso de volatilidad no es lineal, esto se puede modelar con los llamados modelos de una variante (umbral desconocido y distinto de cero) (Zarraga, 2011), esto es una configuración de un modelo con modelación de asimetría según la siguiente especificación: Existen otras extensiones del modelo que estudian el llamado efecto apalancamiento efecto que consiste en incorporar al modelo el impacto asimétrico de la información externa sobre la serie temporal, tomando la información externa como innovaciones, se puede decir que existen innovaciones positivas e innovaciones negativas, las extensiones que estudian esto se conocen como, y. Modelo este modelo fue propuesto por Nelson (1991) y se conoce como el modelo (García Centeno & Ibar Alonso, 2008), el log de su varianza condicional viene dado por la ecuación: Modelo, este modelo fue propuesto por Ding, Granger y Engle (1993) y se conoce como modelo, su varianza condicional viene dada por al ecuación: Donde es un exponente positivo y representa los coeficientes del efecto apalancamiento

60 48 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. 3.4 Test de Heterocedasticidad Condicional La detección de la heterocedasticidad condicional se realiza utilizando el análisis gráfico y unos contrastes formales, en series de tiempo los principales test destinados a esto son: Multiplicador de Lagrange Este contraste fue propuesto por Engle (1982) y busca detectar modelos (aunque Lee en 1991 demostró que este contraste es el mismo para procesos ) y viene dado por donde representa el tamaño muestral y es el coeficiente de determinación del cuadrado de las observaciones, para el caso de los retornos,. Se contrasta vs, el estadístico se distribuye asintóticamente como una variable con grados de libertad (Carnero Fernandez, 2003) Contraste de Portmanteau Este test fue enunciado previamente en la sección 3.2, propuesto por McLeod y Li (1983) basado en el estadístico, se busca contrastar la hipótesis nula, se distribuye con una con grados de libertad Contrastes Robustos Van Dijk (1999) propusieron un contraste robusto que logra diferenciar entre efectos verdaderos y los espurios que son causados por la presencia de rachas atípicas, cuestión que el contraste de los multiplicadores de Lagrange no lograba solucionar. El estadístico usado es el mismo que el contraste de los multiplicadores de Lagrange,, pero representa el coeficiente de determinación de la regresión sobre una constante y y donde viene dada por: ( ) ( ) Siendo y constantes de ajuste, y, es la función signo y es un polinomio de orden 5 que hace que sea dos veces

61 Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales 49 continuamente diferenciable y vendría dada por:, donde es un estimador robusto de escala, en este caso el MAD (Mediana de las observaciones absolutas con respecto a la mediana) y que viene dada por. Siendo la función definida en y la distancia de Mahalanobis donde es una medida robusta de localización de la mediana y. (Carnero Fernandez, 2003).

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63 Precio de cierre de la Acción Capítulo 4: Aplicación usando el Software R 4.1 Consideraciones iniciales para la construcción del modelo en R Los datos a trabajar corresponden a los a los valores que tomó la acción del Banco de Bogotá a precio de cierre en la Bolsa de Valores de Colombia. Los datos pertenecen al periodo comprendido entre 16 de enero de 2012 al 17 de enero de 2014, aunque la Bolsa de Valores de Colombia no opera fines de semana se supone que la distancia entre los diferentes datos es la misma, es decir se consideran datos de días seguidos. El Banco de Bogotá es uno de los Bancos más tradicionales de Colombia con sedes de operación en casi todos los municipios del país, presta servicios de ahorro y crédito y es un fuerte participante del mercado público de valores. Para trabajar series de tiempo en R se pueden instalar los siguientes paquetes: forecast, lmtest ; timsac ; tseries ; TSA. Para iniciar el estudio de la serie se procede a ejecutar la lectura de los datos y realizar la gráfica respectiva utilizando el software R Precio de cierre de la acción de Banco de Bogotá Tiempo en días 16 de Enero de 2012 al 17 de Enero de 2014 Figura 4.1. Precio de Cierre de la acción Banco de Bogotá desde el 16/01/2012 hasta 17/01/2014

64 Rendimientos Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. Se observa en la figura 4.1, como varían los precios de las acciones del Banco de Bogotá a lo largo del tiempo. Se evidencian algunos picos altos y algunos picos bajos que corresponden a alzas y caídas en el valor de dichas acciones. Es necesario comprender que los retornos (rendimientos) de los precios tienen propiedades estadísticas que facilitan el trabajo analítico. Por tanto, en lugar de trabajar con los precios directamente, se recomienda trabajar con los retornos de estos 1. Se procede a calcular el valor de los retornos y realizar su grafica respectiva en R: De donde se obtiene la figura siguiente: Rendimientos Diarios Banco de Bogotá Tiempo Figura 4.2 retornos Banco de Bogotá La figura 4.1 muestra que la serie de tiempo de los precios de cierre de las acciones del Banco de Bogotá presenta un comportamiento con tendencia creciente, donde después del dato 400 la volatilidad se incrementa, también se debe resaltar el dato 135 que es bastante atípico en la serie. La figura 4.2 permite ver que los retornos de la serie se comportan de forma volátil, incrementándose la variabilidad sobre el final de la serie. 1 Se trabaja con la diferencia de los

65 PACF ACF Capítulo 4: Una aplicación usando R 53 En la figura 4.2 se observa que esta serie presenta los hechos estilizados frecuentemente vistos en las series financieras: períodos de alta y baja volatilidad, saltos de precios discontinuos. Se obtiene la función de autocorrelación (ACF) y la función de autocorrelación parcial (PACF) en R, los cuales son una buena ayuda gráfica para detectar si hay correlación serial entre los retornos, y también si hay independencia entre ellos. ACF para Rendimientos Rezagos Figura 4.3 ACF retornos Banco Bogotá PACF para Rendimientos Rezagos Figura 4.4 PACF retornos Banco de Bogotá Las figuras 4.3 y 4.4, de ACF y PACF, tienen su primer retardo fuera del intervalo de confianza, además los correlogramas ACF y PACF decrecen sinusoidalmente, por lo cual

66 54 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. se puede pensar que es un modelo o, es de tener presente que el retardo 17 en los dos correlogramas está por fuera del intervalo de confianza. Construcción y Estimación del Modelo: Ahora interesa construir un modelo de series de tiempo capaz de explicar las características de la serie. Estas características, como se dijo anteriormente, corresponden a las de una serie financiera: elevado exceso de curtosis, saltos de precios discontinuos, períodos de alta y baja volatilidad. Modelo para la media El primer paso en esta labor, es construir un modelo para la media, el cual tenga la capacidad de eliminar toda la dependencia lineal entre los retornos. Como se vio anteriormente, las correlaciones seriales entre los retornos son muy débiles, por esto, se presume que un modelo muy simple es suficiente para explicar el comportamiento medio de los retornos. Para identificar el modelo para la media, haremos uso de la EACF, Figura 4.5 EACF retornos Banco de Bogotá La figura 4.5 indica que el modelo sugerido para la media es el

67 Capítulo 4: Una aplicación usando R 55 Se calcula el modelo Resumiendo el proceso de estimación: Parámetro Estimación Error Estándar Valor-p Tetha e-05 Intercepto 7e-04 4e e-01 El modelo se encuentra sobre especificado ya que el valor del intercepto no es significativo dado su por tanto se estima nuevamente el modelo seleccionado eliminando este parámetro. Es de resaltar que esta decisión se toma con una confianza del 95% Resumiendo el proceso de estimación: Parámetro Estimación Error Estándar Valor-p Tetha e-05 De esta forma, un posible modelo econométrico para la media de los retornos sería modelo, tomando la ecuación a saber y al ser el coeficiente negativo, quedaría de la siguiente forma: Se proceden a obtener los residuos de este modelo, estandarizándolos y calculando los gráficos ACF Y PACF, se tiene:

68 Partial ACF ACF 56 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. ACF Residuales Estandarizados Rezagos PACF Residuales Estandarizados Rezagos Figura 4.6 ACF y PACF residuos MA(1) En la figura 4.6 se observa que los correlogramas ACF y PACF del modelo no muestran correlaciones importantes, por tanto se puede pensar que es ruido blanco, lo anterior se comprueba con el test de Ljung-Box que presenta un mayor que 5%, con lo cual se puede aceptar que se trata de ruido blanco, como se puede ver a continuación: Es decir: VS y como Resultado test Ljung-Box Estadístico df Valor-p Siendo el criterio de rechazo que,. Para comprobar la normalidad de los datos se realiza el test de Shapiro Wilk, de donde se tiene.

69 Capítulo 4: Una aplicación usando R 57 Shapiro-Wilk normality test data: resid W = 0.872, p-value < 2.2e-16 Los residuales del modelo no vienen de una distribución normal, el modelo se ajusta bien a los datos, sin embargo se debe tener en cuenta que la distribución tiene colas por fuera de la distribución normal. En este punto se transformaron los datos de la serie mediante una transformación de precios, obteniendo un de 2.2E-16, es decir, tampoco se cumple el supuesto de normalidad, es de considerar que en los modelos, comúnmente se emplean tres distribuciones de probabilidad sobre la distribución del error: la distribución Normal; la distribución t-student, o, la distribución generalizada del error GED (Montenegro, 2010), en este trabajo se asumirá una distribución t-student. Se realiza la prueba de Dickey. Fuller Aumentada (ADF) para descartar la estacionariedad de la serie, en R se tiene: Augmented Dickey-Fuller Test data: resid Dickey-Fuller = , Lag order = 7, p-value = 0.01 alternative hypothesis: stationary El test ADF indica que se debe rechazar la hipótesis nula de que la serie no sea estacionaria. Sabiendo ya que los residuos del modelo son ruido blanco (figura 4.6) se grafican los correlogramas ACF y PACF de los residuales al cuadrado y se realiza el test de Ljung-Box: Box-Ljung test data: resid^2 X-squared = , df = 30, p-value = 1.775e-07

70 Partial ACF ACF Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación usando R. ACF Residuales Estandarizados Cuadrados Rezagos PACF Residuales Estandarizados Cuadrados Rezagos Figura 4.7 ACF y PACF de los residuos al cuadrado Se puede observar en la figura 4.7 que los residuos al cuadrado del modelo no son ruido blanco, como confirmación de lo anterior el test de Ljung-Box tiene un menor que 5% con lo cual se rechaza que se trata de ruido blanco, además se observa que para el retardo 1 los coeficientes, en la ACF y en la PACF, son significativos; se hace necesario aplicar un modelo heterocedástico, lo cual se realiza en la siguiente sección. 4.2 Estimación del Modelo Para la estimación de los parámetros del modelo se utilizara la librería rugarch 2, y para identificar los parámetros del modelo para la varianza, haremos uso de la EACF de los residuos al cuadrado: 2 Para el estudio de esta librería véase:

71 Capítulo 4: Una aplicación usando R 59 Figura 4.8 EACF residuos al cuadrado del modelo para la media De la figura 4.8, se observa que el modelo sugerido para la varianza es el forma:, de la donde ; Se realiza la estimación conjunta de las ecuaciones de media y varianza, de donde se obtiene: Parámetro Estimación Valor p ma omega alpha Se puede observar que todos los parámetros del modelo son significativos, de esta forma un posible modelo econométrico para la varianza de los retornos seria de la siguiente forma: