PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA (CURSO ) MATERIA: MATEMÁTICAS II 2º BACH. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 1.INTRODUCCIÓN CONTENIDOS...

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1 ÍNDICE 1.INTRODUCCIÓN CONTENIDOS TEMPORALIZACIÓN CONTENIDOS, OBJETIVOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESPECÍFICOS DE CADA UNIDAD DIDÁCTICA...5 BLOQUE I: ANÁLISIS...5 U.D.1 FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD...5 U.D. 2 DERIVADAS...6 U.D.3 ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. OPTIMIZACIÓN...8 U.D.4 ESTUDIO GLOBAL Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES...9 U.D.5 CÁLCULO INTEGRAL...10 BLOQUE II : ÁLGEBRA...12 U.D.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS...12 U.D.7 MATRICES...13 U.D.8 DETERMINANTES...15 U.D.9 APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES A LA RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...16 BLOQUE III : GEOMETRÍA...18 U.D.10 VECTORES EN EL ESPACIO...18 U.D.11 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO...19 U.D. 12 DISTANCIAS, ÁREAS Y VOLÚMENES...20 U.D.13 CURVAS Y SUPERFICIES METODOLOGÍA...23 I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 1

2 6.MATERIALES PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN CRITERIOS DE CALIFICACIÓN PROCEDIMIENTO DE RECUPERACIÓN DE EVALUACIONES PENDIENTES PROCEDIMIENTOS Y ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN PARA LOS ALUMNOS CON MATERIAS PENDIENTES DE CURSOS ANTERIORES PRUEBAS EXTRAORDINARIAS DE SEPTIEMBRE PROCEDIMIENTO PARA LA INFORMACIÓN A LAS FAMILIAS MEDIDAS ORDINARIAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD ADAPTACIONES CURRICULARES ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES ACTIVIDADES PARA EL FOMENTO DE LA LECTURA MEDIDAS PARA EVALUAR LA APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA Y LA PRÁCTICA DOCENTE, CON INDICADORES DE LOGRO...29 I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 2

3 1. INTRODUCCIÓN Entre las propuestas de mejora incluidas en la memoria del curso de este departamento, aplicables a este curso, destacamos las siguientes: Se propone mantener y mejorar en lo posible los acuerdos sobre los contenidos mínimos exigibles a todos los alumnos y los criterios de calificación de los mismos. Dado que venimos observando en la mayoría de los grupos dificultades para conseguir la participación activa y adecuada de los alumnos en la clase, debemos diseñar estrategias para hacer razonar a los alumnos y para que participen activamente en las clases, además de estudiar los contenidos teóricos y enfrentarse de manera razonada con los ejercicios y problemas en casa. Estas propuestas serán tenidas en cuenta en el presente curso académico con la finalidad de lograr la consecución de los objetivos de la asignatura. Los objetivos de las Matemáticas II son los que aparecen recogidos en el Decreto 67/2008, de 19 de junio de 2008 (BOCM de 27 de junio de 2008) por el que se establece el currículo del Bachillerato para la Comunidad de Madrid Dichos objetivos generales se concretan en los objetivos, contenidos y criterios de evaluación de cada una de las unidades didácticas en las que organizamos el curso. 2. CONTENIDOS Los contenidos de la materia Matemáticas II de 2º de Bachillerato aparecen recogidos en el Decreto 67/2008, de 19 de junio de 2008 (BOCM de 27 de junio de 2008) por el que se establece el currículo del Bachillerato para la Comunidad de Madrid, en los siguientes bloques: Bloque 1. Álgebra lineal. Bloque 2. Geometría. Bloque 3. Análisis I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 3

4 3. TEMPORALIZACIÓN La siguiente secuenciación de contenidos tiene en cuenta la necesidad de los alumnos de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y de Ingeniería de manejar con soltura conceptos del análisis matemático para el seguimiento de la programación de Física: UNIDAD DIDÁCTICA Número de sesiones Evaluación 1 FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 6 2 DERIVADAS 6 3 ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. OPTIMIZACIÓN 8 PRIMERA 4 ESTUDIO GLOBAL Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 5 CÁLCULO INTEGRAL 12 6 SISTEMAS DE ECUACIONES: MÉTODO DE GAUSS 8 7 MATRICES 8 8 DETERMINANTES. 8 SEGUNDA 9 APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES A LA DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS VECTORES EN EL ESPACIO 8 11 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO DISTANCIAS, ÁREAS Y VOLÚMENES. 8 TERCERA 13 CURVAS Y SUPERFICIES. 4 I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 4

5 4. CONTENIDOS, OBJETIVOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESPECÍFICOS DE CADA UNIDAD DIDÁCTICA. Todos los contenidos que se señalan a continuación para todas y cada una de las unidades didácticas se consideran contenidos mínimos, excepto aquellos que aparecen en cursiva y entre paréntesis. En la programación de estos contenidos se han tenido también en cuenta las pautas dadas por los coordinadores de la Universidad en los cursos precedentes sobre los principales conceptos sobre los que se elaboran las Pruebas de Acceso a la Universidad. BLOQUE I: ANÁLISIS U.D.1 FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD. OBJETIVOS: 1. Utilizar los conceptos básicos de límites y continuidad y la terminología adecuada del análisis. 2. Desarrollar las destrezas más usuales para el cálculo de límites. 3. Aplicar las condiciones de continuidad y las propiedades de las funciones continuas para analizar, interpretar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y sociales. CONTENIDOS: Función real de variable real. Dominio y recorrido de una función. Sucesiones de números reales. El número e. Límite de una sucesión. Límites laterales de una función en un punto. Límite de una función en un punto. Límites en el infinito. Propiedades de los límites. Cálculo de límites. Resolución de indeterminaciones. Infinitésimos equivalentes. Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad. Operaciones con funciones continuas. Continuidad en un intervalo cerrado. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 5

6 Teorema de acotación en un intervalo cerrado. Máximo y mínimo absolutos de una función en un intervalo cerrado. Propiedades fundamentales de las funciones continuas: Teoremas de Weierstrass, de Bolzano y de los valores intermedios. Aplicación del teorema de Bolzano para detectar la existencia de raíces y para separarlas. CRITERIOS DE EVALUACIÓN. 1. Calcular el dominio de definición de una función. 2. Calcular límites de sucesiones y funciones, aplicando las propiedades adecuadas, identificando y resolviendo la indeterminación correspondiente o por sustitución por el infinitésimo equivalente. 3. Aplicar conceptos de límites para encontrar e interpretar características de funciones expresadas en forma explícita. 4. Conocer la definición de continuidad de una función en un punto y su significado. 5. Analizar la continuidad de una función definida a trozos, o bien de una función que se obtiene como resultado de operaciones con funciones elementales, y distinguir los diversos tipos de discontinuidades. 6. Saber cómo se define la continuidad en intervalos cerrados. 7. Enunciar y aplicar los teoremas básicos de las funciones continuas. 8. Exponer y analizar ejemplos de funciones no continuas para las que las conclusiones de los teoremas de continuidad sean inválidos. U.D. 2 DERIVADAS OBJETIVOS: 1. Utilizar los conceptos básicos y la terminología adecuada del análisis. 2. Desarrollar las destrezas más usuales para el cálculo de derivadas y dar significado a las operaciones y procedimientos involucrados en la resolución de un problema, valorando los resultados obtenidos de acuerdo con el enunciado. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 6

7 CONTENIDOS: Tasa de variación media. Derivada de una función en un punto: tasa de variación instantánea. Interpretación geométrica de la derivada: recta tangente y recta normal. Derivadas laterales. Función derivable en un punto. Función derivada de una función dada. Derivadas sucesivas. Derivadas de las funciones elementales y reglas de derivación. Derivación logarítmica. Derivada de una función potencial exponencial. (Derivación de funciones inversas) (Derivación de funciones implícitas) Relación entre derivabilidad y continuidad. CRITERIOS DE EVALUACIÓN. 1. Conocer y aplicar la definición de derivada. 2. Conocer y aplicar la interpretación de la derivada como pendiente o como velocidad instantánea. 3. Obtener la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. 4. Saber que la continuidad es requisito previo a la derivabilidad. 5. Conocer las derivadas de las funciones elementales: constante, potencia, exponencial, logarítmica, seno, coseno, tangente, arcoseno, arcocoseno y arcotangente. 6. Conocer las reglas de derivación (suma, producto, cociente, y de forma especial la regla de la cadena) y usarlas con destreza para calcular derivadas. 7. Utilizar la derivación logarítmica para derivar una función potencial exponencial. 8. (Aplicar la regla de derivación de la función inversa para obtener la derivada de las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente) 9. (Usar la derivación implícita para calcular la recta tangente en un punto de una cónica) I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 7

8 10. Determinar la función derivada de una función definida a trozos y analizar si es derivable en los puntos de empalme. 11. Aplicar el concepto de derivabilidad para analizar, interpretar y resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos o sociales. U.D.3 ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. OPTIMIZACIÓN. OBJETIVOS: 1. Utilizar los conceptos básicos y la terminología adecuada del análisis. 2. Dar significado al cálculo de derivadas y a los procedimientos involucrados en la resolución de un problema, valorando los resultados obtenidos de acuerdo con el enunciado. 3. Analizar y valorar la información proveniente de algunas fuentes, formarse una opinión, expresarla analíticamente, estudiarla y obtener conclusiones y aplicaciones. 4. Utilizar estrategias y procedimientos propios de las Matemáticas como plantear problemas, formular y contrastar hipótesis, planificar, manipular y experimentar. CONTENIDOS: Extremos relativos o locales de una función. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Criterio de la primera derivada para determinar el crecimiento o decrecimiento de una función en un punto. Criterio de la segunda derivada. La regla de L Hôpital y su aplicación en el cálculo de límites. Optimización en intervalos cerrados. Optimización en intervalos abiertos. CRITERIOS DE EVALUACIÓN. 1. Definir los conceptos de extremo relativo y punto crítico. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 8

9 2. Localizar los extremos relativos de una función. 3. Enunciar, comprender y aplicar correctamente los teoremas de Rolle y del valor medio. 4. Relacionar el signo de la derivada con el carácter creciente o decreciente de una función en un punto. 5. Determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función. 6. Conocer la regla de l Hôpital y aplicarla para calcular límites con indeterminaciones de tipo 0/0 e / 7. Reducir otros casos de indeterminación a indeterminaciones de tipo 0/0 e / con el fin de resolverlos utilizando la regla de l Hôpital. 8. Optimizar funciones en intervalos abiertos o cerrados, en semirrectas o en toda la recta. 9. Determinar el valor de los parámetros que aparecen en la expresión explícita de una función a partir de sus propiedades locales. 10. Traducir en términos de funciones y resolver problemas de optimización en situaciones prácticas que vengan descritos en palabras. U.D.4 ESTUDIO GLOBAL Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES OBJETIVOS: 1. Utilizar los conceptos básicos, la terminología la representación gráfica propia del análisis. 2. Analizar las propiedades globales de la gráfica de una función y obtener información práctica que ayude a analizar el fenómeno del que se derive. 3. Esbozar las gráficas de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas sencillas, ayudándose del estudio de sus propiedades. 4. Utilizar los distintos recursos tecnológicos (calculadoras científicas y gráficas, programas informáticos, etc.) como apoyo en el análisis gráfico y algebraico de las propiedades globales y puntuales de las funciones. CONTENIDOS: Dominio de definición. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 9

10 Intervalos de continuidad y puntos de discontinuidad. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Ramas infinitas. Simetrías Cortes con los ejes y signo de la función. Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión. Representación gráfica. CRITERIOS DE EVALUACIÓN. 1. Calcular el dominio de definición de la función e interpretar su significado en el esbozo de la gráfica. 2. Obtener las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función y establecer las implicaciones de la existencia de dichas asíntotas sobre la gráfica. 3. Determinar las simetrías, los cortes con los ejes y el signo de la función y trasladar estas ideas a la gráfica. 4. Determinar, a partir del estudio de la derivada primera, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y a partir de ellos los extremos relativos de la función. 5. Determinar, a partir del estudio de la derivada segunda, los intervalos de convexidad y concavidad, y a por su relación con ellos los puntos de inflexión de la función. 6. Realizar la representación gráfica una función polinómica, racional, trigonométrica, o que contenga exponenciales y logaritmos. U.D.5 CÁLCULO INTEGRAL OBJETIVOS: 1. Comprender la relación de operadores inversos que existe entre la integral indefinida y la derivada. 2. Desarrollar las destrezas más usuales para el cálculo de integrales. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 10

11 3. Comprender el proceso de aproximación del área bajo una función positiva mediante rectángulos y a partir de él el concepto de integral definida. 4. Comprender el teorema fundamental del cálculo y su importancia para reducir el cálculo de integrales definidas, y con él el de áreas, a la búsqueda de primitivas. 5. Conocer la utilidad del cálculo integral para la determinación de sumas de infinitos sumandos infinitesimales y su aplicación al cálculo de volúmenes. CONTENIDOS: Primitivas de una función. La integral indefinida. Integrales inmediatas. Integración por cambio de variable o sustitución. Método de integración por partes. Integración de funciones racionales por descomposición en suma de fracciones. Área encerrada bajo una curva. Integral definida. Propiedades. Teorema fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow. Cálculo de áreas planas por integración. Área entre dos curvas. Cálculo de volúmenes de revolución por integración. CRITERIOS DE EVALUACIÓN. 1. Hallar primitivas sencillas usando las integrales inmediatas. 2. Identificar y calcular integrales que requieren cambio de variable. 3. Calcular primitivas de algunos productos aplicando el método de integración por partes. 4. Descomponer funciones racionales en fracciones más simples e integrar estas últimas. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 11

12 5. Conocer el teorema fundamental del cálculo y aplicarlo para derivar integrales con límites variables. 6. Conocer la regla de Barrow y aplicarla para calcular integrales definidas. 7. Efectuar correctamente cambios de variable en integrales definidas, modificando simultáneamente los límites de integración. 8. Calcular áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas. 9. Calcular volúmenes de revolución por integración. BLOQUE II : ÁLGEBRA U.D.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS OBJETIVOS: 1. Mostrar la utilidad del lenguaje algebraico en el planteamiento y resolución de problemas diversos. 2. Conseguir un dominio elemental de transcripción de problemas reales a problemas algebraicos y resolución de los mismos por el método de Gauss. 3. Comprender el significado de sistema dependiente de un parámetro y realizar la discusión del mismo. CONTENIDOS: Sistemas de ecuaciones lineales. Solución de una ecuación. Soluciones de un sistema y clasificación. Sistemas homogéneos. Ecuaciones equivalentes. Sistemas equivalentes. Operaciones elementales. Matrices asociadas a un sistema: matriz de los coeficientes y matriz ampliada. Método de eliminación de Gauss. Sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro. Aplicación de los sistemas de ecuaciones a la resolución de problemas. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 12

13 CRITERIOS DE EVALUACIÓN: 1. Conocer los conceptos de sistema de ecuaciones lineales y conjunto solución del mismo. Interpretar estos conceptos geométricamente en el caso de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 2. Transcribir problemas de contexto real como sistemas de ecuaciones lineales. 3. Saber interpretar el número de soluciones que puede tener un sistema de ecuaciones lineales en problemas prácticos. 4. Saber clasificar los sistemas en compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles según su número de soluciones y escribir ejemplos de cada uno de ellos. 5. Conocer los sistemas homogéneos y cuáles son sus posibles soluciones. 6. Conocer las operaciones que transforman un sistema en otro equivalente y aplicarlas para transformar un sistema en otro más sencillo con las mismas soluciones. 7. Clasificar sistemas escalonados y resolverlos cuando sea posible. 8. Resolver y clasificar sistemas de ecuaciones por el método de Gauss. 9. Discutir sistemas dependientes de un parámetro en función de los valores del mismo, por el método de Gauss. U.D.7 MATRICES OBJETIVOS: 1. Introducir el concepto abstracto de matriz de dimensión m x n y adquirir destreza en las operaciones con matrices. 2. Entender y manejar la notación de subíndices. 3. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices como herramienta algebraica útil para manejar datos estructurados en tablas de doble entrada y resolver problemas de contexto real o relacionados con las demás materias del ámbito científico tecnológico. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 13

14 CONTENIDOS: Matrices de números reales. Dimensión de una matriz. Tipos especiales de matrices. Orden de una matriz cuadrada. Igualdad de matrices. Suma y diferencia de matrices. Propiedades. Producto de una matriz por un número. Propiedades. Producto de matrices. Propiedades. Matriz traspuesta. Propiedades. Inversa de una matriz cuadrada. Cálculo de la inversa por el método de Gauss Jordan. Potencias de una matriz cuadrada. Rango de una matriz: obtención por el método de Gauss. Ecuaciones matriciales. CRITERIOS DE EVALUACIÓN: 1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices como instrumento para representar e interpretar datos estructurados en tablas y grafos. 2. Identificar tipos especiales de matrices cuadradas: diagonales, escalares, triangulares, simétricas y antisimétricas. 3. Sumar y restar matrices y multiplicar una matriz por un número. 4. Conocer las nociones de matriz cero y de matriz opuesta 5. Efectuar productos de matrices e interpretarlos en algunas aplicaciones. 6. Conocer las propiedades de las operaciones con matrices y buscar contraejemplos concretos para las propiedades que no verifican. 7. Conocer los conceptos de matriz unidad o identidad y de matriz inversa para el producto de matrices. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 14

15 8. Conocer las propiedades de la inversión de matrices (y su demostración). 9. Aplicar el método de Gauss Jordan para decidir si una matriz es invertible y, en caso afirmativo, calcular su inversa y comprobar el resultado. 10. Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss. 11. Calcular potencias arbitrarias de matrices nilpotentes y periódicas. 12. Utilizar matrices para resolver problemas reales. 13. Realizar manipulaciones algebraicas con matrices para resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones matriciales. U.D.8 DETERMINANTES. OBJETIVOS: 1. Introducir el concepto de determinante de una matriz cuadrada. 2. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como herramienta algebraica útil para expresar y resolver situaciones diversas. 3. Conocer la utilidad de los determinantes para decidir si una matriz tiene inversa y, en caso afirmativo, calcularla. 4. Resolver ecuaciones matriciales utilizando matrices inversas. CONTENIDOS: Determinantes de orden 1, 2 y 3. Regla de Sarrus. Determinantes de orden n. Menor complementario. Matriz adjunta. Propiedades de los determinantes. Determinante y matriz inversa. Matriz singular. Matriz invertible. Rango de una matriz mediante determinantes. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 15

16 CRITERIOS DE EVALUACIÓN: 1. (Saber la definición de determinante de una matriz cuadrada). 2. Calcular determinantes de orden tres mediante la regla de Sarrus 3. Calcular determinantes de cualquier orden mediante el desarrollo por los adjuntos de una fila o columna. 4. Conocer las propiedades de los determinantes. 5. Aplicar las propiedades de los determinantes en distintas situaciones sabiendo decidir cómo afecta al resultado final el cambio de filas y/o columnas. 6. Hallar el valor de un determinante obtenido de otro dado mediante transposición y operaciones elementales entre filas y columnas. 7. Calcular el determinante de una matriz por transformación en matriz triangular usando el método de Gauss. 8. Utilizar los determinantes como criterio para decidir si una matriz es o no invertible. 9. Hallar la inversa de una matriz usando determinantes. 10. Estudio de la inversa de una matriz que depende de un parámetro. 11. Calcular el rango de una matriz por menores. 12. Discutir el rango de una matriz que depende de una parámetro. 13. Utilizar matrices inversas para resolver ecuaciones matriciales. U.D.9 APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES A LA RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. OBJETIVOS 1. Manejar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como herramienta algebraica útil para expresar y resolver situaciones diversas y problemas relacionados con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, contextualizado la solución. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 16

17 2. Utilizar los distintos recursos tecnológicos (calculadoras científicas y gráficas, programas informáticos, etc) como apoyo en los procedimientos que involucran el manejo de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. CONTENIDOS: Sistemas de ecuaciones lineales en notación matricial. Matriz de los coeficientes y matriz ampliada Resolución de sistemas de ecuaciones mediante la matriz inversa. Resolución de sistemas de ecuaciones mediante determinantes. Regla de Cramer. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales: Teorema de Rouché Fröbenius. Discusión de las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro. Discusión de las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. CRITERIOS DE EVALUACIÓN: 1. Resolver ecuaciones en notación matricial mediante la matriz inversa. 2. Utilizar la regla de Cramer para la resolución de sistemas compatibles. 3. Conocer el enunciado del Teorema de Rouché Fröbenius 4. Aplicar el Teorema de Rouché Fröbenius a la clasificación de sistemas de ecuaciones lineales. 5. Discutir las soluciones de un sistema en función de los valores de un parámetro. 6. (Discutir las soluciones de un sistema en función de los valores de dos parámetros) 7. Estudiar la posición relativa de rectas en el plano a partir de la discusión de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 8. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método que se indique. 9. Transcribir problemas reales a problemas algebraicos de sistemas de ecuaciones lineales y resolverlos. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 17

18 BLOQUE III : GEOMETRÍA U.D.10 VECTORES EN EL ESPACIO OBJETIVOS: 1. Comprender y utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas de cálculo vectorial adecuadas, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos derivados de la geometría, la física y demás ciencias del ámbito científico tecnológico. 2. Utilizar los contenidos, procedimientos y estrategias de la Geometría y, en particular, los vectores, para resolver problemas, intuyendo soluciones, justificando procedimientos, encadenando razonamientos con rigor y verificando e interpretando las soluciones de acuerdo con los enunciados. CONTENIDOS: Vectores fijos y vectores libres en el espacio Características de un vector: módulo, dirección y sentido. Coordenadas de un vector. Igualdad de vectores. Operaciones elementales con vectores: vector suma, vector resultante del producto de un número real por un vector. Propiedades. Condición de paralelismo de vectores. Normalización de un vector. Combinación lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal. Base de vectores en el espacio. Componentes de un vector en una base. Producto escalar. Expresiones analíticas. Propiedades. Interpretación geométrica Aplicaciones del producto escalar. Ángulo entre dos vectores. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos. Proyección ortogonal de un vector sobre otro. Vectores unitarios, ortogonales y ortonormales. Bases ortonormales. Producto vectorial. Definición, propiedades e interpretación geométrica. Producto mixto de tres vectores. Definición, propiedades e interpretación geométrica. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 18

19 CRITERIOS DE EVALUACIÓN: 1. Caracterizar un vector por su módulo, dirección y sentido o por sus componentes. 2. Representar gráficamente la suma o resta de vectores y el producto por un escalar. 3. Estudiar la dependencia e independencia lineal de conjuntos de vectores. 4. Definir y construir bases en el espacio. 5. Definir y calcular el producto escalar por los dos métodos, geométrico y en componentes. 6. Utilizar el producto escalar para calcular la proyección ortogonal de un vector sobre otro, el ángulo entre dos vectores y la distancia entre dos puntos. 7. Hallar un vector unitario en la dirección de un vector dado. 8. Utilizar los productos vectorial y mixto para el cálculo de áreas y volúmenes. 9. Hallar la dirección perpendicular simultáneamente a otras dos direcciones. 10. Utilizar las operaciones con vectores y sus propiedades para resolver los problemas y dar una interpretación geométrica a las soluciones. U.D.11 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO OBJETIVOS: 1. Identificar los elementos que determinan una recta y un plano en el espacio y conocer sus distintas ecuaciones. 2. Analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. 3. Identificar, calcular e interpretar las distintas ecuaciones de la recta y el plano en el espacio para resolver problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. CONTENIDOS: Distintas formas de la ecuación de una recta en el espacio. Distintas formas de la ecuación del plano en el espacio. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 19

20 Posición relativa de dos planos. Ecuaciones implícitas de una recta como intersección de planos. Vector normal de un plano. Haz de planos. Posición relativa de dos rectas. Posición relativa de recta y plano. Posición relativa de tres planos. CRITERIOS DE EVALUACIÓN: 1. Conocer y manejar las expresiones analíticas de rectas y planos en el espacio. 2. Determinar posiciones relativas de planos, de rectas y de planos y rectas resolviendo el sistema dado por las ecuaciones de las figuras consideradas. 3. Determinar posiciones relativas de planos, de rectas y de planos y rectas mediante consideraciones acerca de la dependencia lineal de los vectores implicados. 4. Encontrar las ecuaciones de planos, rectas y puntos que cumplan ciertas condiciones de posiciones relativas, perpendicularidad, paralelismo e intersecciones. 5. Identificar situaciones con problemas geométricos y utilizar las estrategias adecuadas para resolverlos. 6. Elegir la determinación lineal más adecuada a cada problema en función de los datos que se disponen. 7. Manejar haces de planos como método alternativo y elegante en la resolución de múltiples problemas. U.D. 12 DISTANCIAS, ÁREAS Y VOLÚMENES OBJETIVOS: 1. Analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 20

21 2. Utilizar las distintas ecuaciones de rectas y planos, junto con los distintos productos entre vectores, para calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes en la resolución de problemas derivados de la geometría, la física y demás ciencias del ámbito científico tecnológico. CONTENIDOS: Aplicaciones del producto de vectores: cálculo de ángulos entre dos rectas, entre dos planos y entre una recta y un plano. Distancia entre dos puntos, de un punto a una recta y de un punto a un plano. Distancia de una recta a un plano, y entre planos paralelos. Distancia entre dos rectas paralelas o dos rectas que se cruzan. Ecuación del plano mediador de un segmento. Ecuaciones de los planos bisectores de un ángulo diedro. Área de un paralelogramo. Áreas de triángulos y otras figuras planas. Volumen de un paralelepípedo. Volumen de un tetraedro y otros cuerpos geométricos. CRITERIOS DE EVALUACIÓN: 1. Utilizar el producto escalar para la obtención de ángulos entre dos rectas, entre dos planos o entre una recta y un plano. 2. Utilizar el producto escalar para la determinación de condiciones de perpendicularidad. 3. Utilizar los productos escalar, vectorial y mixto para la determinación de distancias en el espacio. 4. Obtener las ecuaciones de la recta perpendicular común a otras dos. 5. Obtener las coordenadas del punto simétrico de un punto dado respecto de una recta o respecto de un plano. 6. Obtener las ecuaciones del plano mediador de un segmento así como las de los planos bisectores de un ángulo diedro. 7. Calcular áreas de paralelogramos y triángulos. 8. Calcular volúmenes de paralelepípedos y tetraedros. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 21

22 9. Resolver problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes. U.D.13 CURVAS Y SUPERFICIES OBJETIVOS: 1. Reconer las ecuaciones de algunas curvas y superficies en el espacio. 2. Interpretar curvas dadas en forma paramétrica como trayectorias de puntos móviles. CONTENIDOS: (Curvas planas parametrizadas.) (Curvas planas en coordenada polares) (Curvas parametrizadas en el espacio.) (Superficies en el espacio.) Superficie esférica. Ecuación canónica de la superficie esférica. Posiciones relativas de plano y esfera. (Otras superficies. Cuádricas: elipsoides, hiperboloides, conos, paraboloides.) CRITERIOS DE EVALUACIÓN: 1. (Conocer el número de parámetros que requiere la descripción de una curva en el plano, y la de una curva o una superficie en el espacio.) 2. (Escribir las ecuaciones paramétricas de rectas, circunferencias y elipses.) 3. Asociar a los cilindros cuyos ejes coinciden con alguno de los ejes coordenados su ecuación cartesiana. 4. Identificar la forma de las ecuaciones de las esferas y deducir de ellas el centro y el radio. 5. Calcular la ecuación del plano tangente a una esfera en un punto dado. 6. (Asociar las superficies cuádricas pertinentes a las formas de ciertos objetos de uso cotidiano.) I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 22

23 5. METODOLOGÍA En el proceso enseñanza aprendizaje tenemos en cuenta los siguientes aspectos: 1. Nuestro punto de partida será los conocimientos del alumno. 2. Potenciar el uso de las distintas formas de expresión (verbal, gráfica y simbólica), así como el paso de unas formas de expresión a otras. 3. Prevalecerá el razonamiento inductivo sobre el deductivo a este nivel. 4. Mentalizar al alumno del trabajo diario y de la corrección sistemática de las tareas para seguir con aprovechamiento las explicaciones en el aprendizaje de las matemáticas. 5. Se alternará el trabajo individual con el de grupo, con el fin de contrastar los diferentes razonamientos que puedan surgir. Como principios metodológicos consideramos los siguientes: Utilizar un enfoque desde los problemas. Los problemas y las situaciones problemáticas son el centro del proceso de enseñanza aprendizaje. Para introducir los conceptos y procedimientos, se parte de situaciones problemáticas en las que estén subyacentes aquéllos que se quieren enseñar. Para consolidar los conocimientos adquiridos, se insiste en situaciones parecidas variando el contexto. Para conseguir que el aprendizaje sea funcional, los alumnos aplican los conocimientos adquiridos a la resolución de una variedad amplia de problemas. Los problemas se usan también en las investigaciones y en el aprendizaje de estrategias. Estudiar el lenguaje matemático de los medios de comunicación y otras disciplinas. Se trata de conseguir que los alumnos entiendan e interpreten correctamente los mensajes que, en lenguaje matemático, aparecen en los medios de comunicación y en otras materias. Para ello se puede utilizar las gráficas y tablas de datos que aparecen en los periódicos o en otras asignaturas que trabajen los alumnos con el fin de propiciar actividades en contextos más motivadores. Desarrollar estrategias generales de resolución de problemas. Tradicionalmente se ha enseñado a resolver problemas mediante la adquisición de conocimientos matemáticos y mediante el entrenamiento. En los últimos años ha cobrado fuerza también la importancia de las I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 23

24 estrategias en la resolución de problemas. Por ello, proponemos problemas en los que se puedan utilizar estrategias generales, que se puedan aplicar a muchos casos particulares. Uso de las TIC. Se potenciará el aprendizaje trabajando ejercicios de carácter práctico con los programas Cabri, Geogebra y Derive. Pequeños trabajos de búsqueda de información (biografías, datos históricos ) mediante el uso de Internet. 6. MATERIALES Libro de texto: MATEMÁTICAS 2. Autores;R.RODRÍGUEZ, J. SOLER, A.NEVOT. Editorial McGRAW HILL (ISBN X) Libro de texto digital: Matemáticas II 2º Bachillerato. Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Menéndez. Revisores: Eduardo Cuchillo y Javier Rodrogo. Cuadernillos de ejercicios de diversas editoriales. Calculadoras científicas y gráficas. Programas informáticos: DERIVE, CABRI, GEOGEBRA, hojas de cálculo. 7. PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Todos los alumnos realizarán un examen trimestral de carácter global en el sentido de que versará sobre todos los contenidos de la asignatura en los que se haya trabajado desde el inicio del curso hasta el momento del examen y que medirá el dominio que de dichos contenidos ha adquirido cada alumno. Se realizarán las pruebas objetivas parciales que se consideren convenientes para evaluar la adquisición y dominio de determinados bloques de contenidos. Se realizará una evaluación continua de la actitud y del trabajo diario de los alumnos a partir de la observación diaria en la clase y la revisión de las actividades propuestas (ejercicio, resolución de problemas, uso de las TIC, etc) I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 24

25 8. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN Para obtener la calificación correspondiente a cada una de las evaluaciones trimestrales se realizará un media ponderada de las calificaciones correspondientes al examen trimestral global (con un peso del 70%), a las pruebas objetivas parciales (con un peso del 25%) y la actitud y trabajo diario (con un peso del 5%) Para determinar la calificación correspondiente a la actitud y trabajo diario se tendrán en cuenta las observaciones recogidas sobre cada alumno durante las clases y la realización de las actividades propuestas Se valorará positivamente: La correcta realización de las actividades señalas por el profesor y siguiendo sus instrucciones, tanto en clase como en casa. La actitud adecuada y la participación positiva del alumno durante la clase. Se valorará negativamente: El comportamiento incorrecto y la falta de atención en clase. La falta del material necesario para el trabajo en clase (libro de texto, calculadora, etc) Las faltas no justificadas de asistencia y puntualidad a las clases. En la calificación de las pruebas objetivas se valorará la expresión correcta de los razonamientos matemáticos y la presentación. También se tendrán en cuenta los criterios de calificación para presentación de trabajos y de ortografía, aprobados por el claustro. Para la realización de las pruebas objetivas no se permitirá el uso de calculadoras programables ni de calculadoras que dispongan de capacidad gráfica o de cálculo simbólico. Al finalizar cada trimestre se informará a cada alumno de su calificación trimestral que será la media ponderada, según se indicó anteriormente, de la nota de clase y de la nota de examen. La calificación final de la asignatura en junio se obtendrá haciendo una media ponderada de las calificaciones del primer trimestre, E1, del segundo trimestre, E2 y del tercer trimestre, E3, de la siguiente forma: I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 25

26 calificación numérica final E1 2E2 3E3 6 La profesora que imparte la materia podrá proponer al Departamento que se otorgue una mención honorífica a aquellos de sus alumnos que obtengan una calificación de 10 como consecuencia de un excelente aprovechamiento académico unido a un esfuerzo e interés especialmente destacables. El Departamento analizará las posibles propuestas y decidirá la atribución de las Menciones Honoríficas que no podrán superar el 10 % de los alumnos matriculados en la materia. 9. PROCEDIMIENTO DE RECUPERACIÓN DE EVALUACIONES PENDIENTES Al realizar una evaluación continua no tiene sentido hablar de recuperación de evaluaciones pendientes. Con el distinto peso dado a cada una de las calificaciones trimestrales se pretende valorar de forma prioritaria el progreso de cada alumno y su dominio global de la materia. 10. PROCEDIMIENTOS Y ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN PARA LOS ALUMNOS CON MATERIAS PENDIENTES DE CURSOS ANTERIORES La profesora que imparte la materia Matemáticas II hará un seguimiento de los alumnos de 2º de bachillerato que tienen la materia de 1º pendiente. Se les entregarán periódicamente hojas de ejercicios para ayudar a estos alumnos a superar la asignatura. Los alumnos podrán entregar los ejercicios y problemas realizados a su profesora para que les sean debidamente corregidos. Los alumnos tendrán dos oportunidades de recuperar la materia pendiente durante el curso: se convocará una prueba extraordinaria en febrero y otra en mayo. Cada una de dichas pruebas versará sobre todos los contenidos mínimos de la materia y consistirá en la realización de ejercicios similares a los de las hojas entregadas. Los alumnos que no hayan aprobado la materia en ninguna de las convocatorias anteriores realizarán una prueba extraordinaria en septiembre del mismo tipo. 11. PRUEBAS EXTRAORDINARIAS DE SEPTIEMBRE Los alumnos que hayan obtenido una calificación final en junio inferior a 5, realizarán una prueba extraordinaria en septiembre. Los contenidos de la prueba serán los contenidos mínimos que figuran en esta programación. La prueba consistirá en un examen escrito y tendrá una I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 26

27 estructura similar al examen global final del curso. La calificación será el 100% de la nota del examen. 12. PROCEDIMIENTO PARA LA INFORMACIÓN A LAS FAMILIAS Esta programación se incluye en la Programación General Anual del Centro, que está a disposición de toda la Comunidad Educativa. Por otra parte, la profesora de la materia responderá a las preguntas que los alumnos y sus familias puedan plantearle al respecto. En los primeros días de curso los profesores han indicado a los alumnos los puntos más relevantes de la programación. Además, se entregará a cada alumno un documento escrito con los procedimientos de evaluación y los criterios de calificación. El documento lleva un acuse de recibo para que los padres se den por enterados de la información. También se entregará a cada alumno con materias pendientes de los cursos anteriores una carta para informar a los padres de los contenidos y fechas de las pruebas de recuperación. Los objetivos, contenidos, criterios de evaluación y los mínimos exigibles para obtener una valoración positiva, que como aparece en esta programación están especificados para cada unidad didáctica, se irán comunicando a los alumnos en las clases en las que se desarrollen dichas unidades. 13. MEDIDAS ORDINARIAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD No consideramos que en este curso y a este nivel tengamos que adoptar medidas de este tipo entre nuestros alumnos. 14. ADAPTACIONES CURRICULARES Durante el presente curso académico no contamos con ningún alumno necesidades específicas de apoyo educativo. con I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 27

28 15. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES Las actividades programadas por el departamento para el presente curso son las siguientes: Participación de los alumnos en el Concurso de Primavera de Matemáticas organizado por la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense. Serán los propios profesores de los alumnos que participen en dicho concurso los encargados de su preparación. Se utilizarán los ejercicios de los exámenes de concursos pasados, y se hará principal énfasis en las estrategias de resolución de dichos ejercicios. Taller de Papiroflexia organizado por la profesora Mª Paz Carbajo, destinado tanto a alumnos como a profesores interesados en ello. La papiroflexia ayuda a los alumnos en la comprensión de los distintos conceptos geométricos, así como a desarrollar el gusto y el sentido artístico. El departamento deja abierta la posibilidad de organizar otra actividad que surja a lo largo del curso, bien como tal departamento o en colaboración con otros sectores del centro. 16. ACTIVIDADES PARA EL FOMENTO DE LA LECTURA En este último curso de bachillerato es especialmente importante el objetivo general de expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticas. Este guarda una estrecha relación con los objetivos de utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas y el de elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos, y expresar críticamente opiniones, argumentando con precisión y rigor. Se prestará especial atención a la expresión correcta de los razonamientos y el uso adecuado de los símbolos matemáticos y se tendrá en cuenta en la calificación, tanto de las pruebas objetivas escritas como del trabajo diario de cada alumno y de sus intervenciones en clase (respuestas verbales a preguntas del profesor, corrección de ejercicios en la pizarra, etc.) En las pruebas objetivas se incluirán preguntas teóricas (definiciones, enunciados de teoremas, demostraciones sencillas, etc.) y se tendrá en cuenta en la calificación de las mismas la redacción adecuada. Además se aplicarán los criterios sobre penalización por faltas de ortografía establecidos por el claustro. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 28

29 No se proponen lecturas concretas para no aumentar la presión que supone para los alumnos este curso, pero se les animará a leer alguna de las biografías de los matemáticos que más han contribuido al desarrollo de los contenidos de la materia (Newton, Leibniz, etc) o capítulos específicos relacionados de libros de Historia de las Matemáticas. 17. MEDIDAS PARA EVALUAR LA APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA Y LA PRÁCTICA DOCENTE, CON INDICADORES DE LOGRO La principal evaluación de la práctica docente es la reflexión que cada profesor hace sobre su trabajo diario, analizando el desarrollo de cada clase y las causas de las posible desviaciones sobre lo programado. Esta evaluación es el punto de partida para diseñar cambios en la metodología o diferentes estrategias para enfrentarse con los problemas de aprendizaje reales y concretos que vayan surgiendo en el desarrollo del curso y tiene como objetivo final mejorar la calidad de la enseñanza. En las reuniones de departamento se revisará periódicamente, al menos una vez al mes, el desarrollo y cumplimiento de esta programación. Una vez al trimestre, se revisará este documento y, en su caso, se realizarán las modificaciones que se consideren convenientes. El procedimiento para evaluar en los alumnos el grado de competencia alcanzado está ya descrito en el apartado correspondiente. Los resultados de cada evaluación, reflejados en las estadísticas de calificaciones elaboradas por Jefatura de estudios, serán analizados en las reuniones del departamento en correlación con los resultados obtenidos en el resto de las materias y con los resultados obtenidos en cursos anteriores. Como instrumentos externos de evaluación tenemos los resultados de las Pruebas de Acceso a la Universidad y los Informes de los Resultados de la Evaluación Final por Centros y por Materias que anualmente envía la Subdirección General de Inspección Educativa de la Comunidad de Madrid. Ambos serán analizados en las reuniones de departamento. Al final del curso académico se realizará una evaluación global de la práctica docente y de los resultados obtenidos, siguiendo las directrices de la Programación General Anual del centro, que se reflejará en la Memoria Final del departamento. I.E.S. El Pinar / Departamento de Matemáticas / MATEMÁTICAS II 2º BACH./Curso página 29