Análisis Matemático I CIBEX

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1 Análisis Matemático I CIBEX Facultad de Ciencias Eactas Universidad Nacional de La Plata Unidad 4: Derivada Segunda y Análisis de Gráficas Primer Cuatrimestre Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana Alonso Equipo Coordinador

2 UNIDAD 4 Derivada Segunda y Análisis de Grácas Contenidos de la Unidad 4: Derivada segunda. Concavidad. Puntos de ineión. Criterio de la derivada segunda para etremos locales. Derivadas superiores. Comportamiento asintótico. Análisis cualitativo de grácas. Clase 4.1. Concavidad y derivada segunda Contenidos de la clase: Concavidad. Derivada segunda. Puntos de ineión. En la Unidad 3 hemos aprendido que la derivada representa la razón de cambio local de una función f() en cada punto de su dominio de derivabilidad. Grácamente, sabemos que el valor de la derivada f () representa la pendiente de la recta tangente a la gráca de f en el punto (, f()). Por simplicidad, vamos a decir que f () mide directamente la pendiente de la gráca en el punto (, f()). Notación: dada una función f() derivable en un punto 0, llamaremos pendiente de la gráca de f en el punto ( 0, f( 0 )) a la pendiente de la recta tangente en dicho punto. El valor de la pendiente de la gráca de f en el punto ( 0, f( 0 )) está dado por el valor de la derivada f ( 0 ). En general la pendiente de la gráca de una función f() no es constante sino que depende de. Es decir, en distintos puntos(, f()) la pendiente de la gráca es distinta. La función derivada f () describe dicha dependencia de la pendiente en función de Concavidad En esta sección estudiaremos cómo cambia la pendiente de una gráca. Es decir, vamos a estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función derivada f () y qué consecuencias tiene este cambio en el aspecto de la gráca de la función f(). Actividad Consideren las funciones representadas en los siguientes grácos ¾Es cierto que ambas son crecientes en el intervalo mostrado? ¾Qué comportamiento observan en la pendiente, en cada caso? ¾Cuál es la consecuencia gráca de ese comportamiento? 183

3 CLASE 4.1. CONCAVIDAD Y DERIVADA SEGUNDA 184 Intenten una comparación similar con funciones decrecientes. Estudiemos estas cuestiones en un ejemplo conocido, similar al Ejemplo Ejemplo Consideremos un camino de montaña, con un perl descripto por la altura h (en cm) en función de la distancia horizontal recorrida l (en m). Digamos que la altura está dada por h(l) = l 3 3l 2 + 2l para 0 l 2 m. Ya hemos visto que la derivada h (l) describe la pendiente (en cm/m). Llamemos p(l) a la pendiente del camino en función de la distancia recorrida, es decir p(l) = h (l) p(l) = 3l 2 6l + 2 para 0 < l < 2 m. Nos interesa describir el ritmo de cambio de la pendiente: va a estar dado por la derivada de la pendiente respecto de l, p (l) = 6l 6 Podemos ver que esta razón de cambio p (l) = 6(l 1) es negativa para 0 < l < 1 m, es decir que la pendiente p(l) es decreciente en (0, 1 m), mientras que p (l) es positiva para si 1 m < l < 2 m, es decir p(l) es creciente en (1 m, 2 m). Escribiendo las unidades, p (1.5 m) = 3 cm indica que la pendiente crece a un ritmo de m 2 3 cm/m por cada metro recorrido. Dibujen en un mismo gráco, con computadora, las grácas de las tres funciones 1 h(l), p(l) y p (l). Observen que: en el intervalo donde p (l) < 0 la pendiente es efectivamente decreciente. En ese intervalo, la gráca de la función h(l) se curva hacia abajo. en el intervalo donde p (l) > 0 la pendiente es efectivamente creciente. En ese intervalo, la gráca de la función h(l) se curva hacia arriba. = 3 cm/m m Siguiendo este ejemplo, para una función f() vemos que podemos aprovechar el estudio del crecimiento de su derivada f () para conocer cuándo la gráca de f se curva hacia arriba o se curva hacia abajo. Esto es lo que llamamos el estudio de la concavidad de una función.

4 CLASE 4.1. CONCAVIDAD Y DERIVADA SEGUNDA 185 Definición Sea una función f() derivable en (a, b). Si f () es creciente en el intervalo (a, b) se dice que la función es cóncava hacia arriba en dicho intervalo (lo anotaremos ). Si f () es decreciente en el intervalo (a, b) se dice que la función es cóncava hacia abajo en dicho intervalo (lo anotaremos ). Supongamos una función f derivable en un intervalo abierto e interpretemos grácamente la concavidad. Observen que si la función es cóncava hacia arriba en un intervalo (a, b), para todo punto c del intervalo la recta tangente a la gráca en el punto (c, f(c)) se ubica por debajo de la gráca de y = f() al menos en (a, b). Similarmente, si la función es cóncava hacia abajo en un intervalo (a, b), para todo c del intervalo la recta tangente a la gráca en el punto (c, f(c)) se ubica por arriba de la gráca al menos en (a, b). Actividad En el ejemplo anterior la función h(l) que describe el camino de montaña es cóncava hacia abajo en (0, 1 m) y cóncava hacia arriba en (1 m, 2 m). Graquen varias rectas tangentes para comprobar lo que acabamos de enunciar. En general usaremos la frase sentido de la concavidad para indicar si la concavidad en un dado intervalo es o. Para identicar intervalos con distintos sentidos de concavidad de una función f() necesitaremos conocer los intervalos en los que la derivada f () es creciente o decreciente Derivada segunda Dada una función f(), la función derivada f () es también una función de. Para saber si es creciente o decreciente tenemos la herramienta adecuada: hay que ver si f () es derivable, y en ese caso estudiar su crecimiento y/o decrecimiento a partir del signo de su derivada (f ) (como lo hemos hecho con distintas funciones en la Unidad 3). A la derivada de la función derivada de f(), si es que eiste, la llamaremos derivada segunda de f y la anotaremos como f. Definición Dada la función derivada f () de una función f(), y un punto 0 interior a su dominio, diremos que f() es derivable dos veces en 0 si eiste el límite f ( 0 + ) f ( 0 ) lím 0 En ese caso, llamaremos derivada segunda de f respecto de dos veces en el punto 0 a f ( 0 ) = lím 0 f ( 0 + ) f ( 0 )

5 CLASE 4.1. CONCAVIDAD Y DERIVADA SEGUNDA 186 Llamaremos función derivada segunda de f a la función que asigna a cada punto 0 del dominio de f el valor de la derivada en ese punto, si eiste. Se anota f () y se puede escribir que f () = ( f () ) En la notación de Leibnitz se anota d 2 f d 2 y se lee igual, derivada segunda de f respecto de dos veces. Ahora que tenemos una derivada segunda, será conveniente en adelante llamar a f () derivada primera. Observación Debido a que la derivada segunda se dene como un límite, puede ocurrir que no eista, o que sólo eista por izquierda o sólo por derecha. En este último caso hablaremos de derivadas segundas laterales y las anotaremos como f +( 0 ) ó f ( 0 ), según corresponda. En la práctica es sencillo calcular la función derivada segunda, derivando dos veces consecutivas, siempre que las reglas de derivación lo permitan (si no se pueden aplicar reglas, habrá que recurrir a la denición de derivada). Ejemplo Por ejemplo, f() = cos es derivable en todo el eje real, y por reglas f () = ( cos ) = 6 5 sen Esta función derivada primera también es derivable en todo el eje real, y de nuevo por reglas obtenemos f () = (6 5 sen ) = 6 cos Derivada segunda y concavidad Volviendo ahora al análisis de la concavidad de una función f, en el caso en que la función admita derivada segunda f, el análisis del crecimiento o decrecimiento de f en cierto intervalo se puede realizar a través del signo de f : si el signo de f () es positivo en un intervalo abierto, entonces f () es creciente en ese intervalo, y f es cóncava hacia arriba. Y si el signo de f () es negativo en un intervalo abierto, entonces f () es decreciente en ese intervalo, y f es cóncava hacia abajo. Lo enunciamos como: Teorema Regla de la derivada segunda para la concavidad. Sea f una función que posee derivada segunda f () para todo (a, b). Se tiene que: si f () > 0 en (a, b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a, b) si f () < 0 en (a, b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a, b) La demostración es muy simple, ya que si para todo (a, b) conocemos que (f ) () = f () > 0, sabemos que f () es creciente en ese intervalo. Pero entonces, por la denición f es cóncava hacia arriba en (a, b). si para todo (a, b) conocemos que (f ) () = f () < 0, sabemos que f () es decreciente en ese intervalo. Por lo tanto, por la denición f es cóncava hacia abajo en (a, b). Ejemplo Comprobemos el sentido de la concavidad de algunas funciones conocidas.

6 CLASE 4.1. CONCAVIDAD Y DERIVADA SEGUNDA Las funciones constantes: f() = c. La gráca es una recta horizontal. Claramente no se curva ni hacia arriba ni hacia abajo. Si calculamos su derivada segunda, vemos que f () = f () = 0. En este caso diremos que la gráca de f() no tiene concavidad. 2. Las funciones lineales: f() = m + b, con m 0. También en este caso la gráca es una recta (no horizontal). No tiene concavidad, correspondiendo a que f () = Las funciones cuadráticas: f() = a 2 + b + c, con a 0. Sus grácas son parábolas. Vamos a comprobar que mantienen el sentido de concavidad en todo el eje real, hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de a. Calculemos su derivada segunda. f () = 2a + b f () = 2a. Siendo a 0, el signo de la derivada segunda es constante: Si consideramos a > 0, f () > 0 para todo, es decir f es cóncava hacia arriba en todo el eje real ( ). Si consideramos a < 0, f () < 0 para todo, es decir f es cóncava hacia abajo en todo el eje real ( ). Esta información coincide con que las ramas se etienden hacia arriba o hacia abajo, según el signo de a. Comprueben el resultado general en los casos f() = y f() = Para aplicar el Teorema 4.1.8, necesitamos localizar los intervalos donde f () mantiene un signo denido. El planteo es el mismo que usamos en el Capítulo 1 para analizar intervalos donde una función f() es positiva o negativa (y saber si su gráca se dibuja por encimo o por debajo del eje ) y en el Capítulo 3 para analizar intervalos donde una derivada f () es positiva o negativa (y saber si la gráca de f() es creciente o decreciente). Ahora analizaremos el signo de f () para saber si la gráca de f() es cóncava hacia arriba o hacia abajo. El análisis del signo de la derivada segunda se puede hacer planteando y resolviendo directamente las desigualdades f () > 0 y f () < 0 Cuando estas desigualdades no quedan sencillas, el análisis del signo de la derivada segunda se ve facilitado si f () es continua: según el Teorema del Valor Intermedio, el signo sólo puede cambiar en puntos donde f sea nula o donde f sea discontinua (típicamente, que no eista f ()). A estos puntos se los llama puntos críticos de concavidad. Recordemos que si encontramos todos los puntos críticos de concavidad y separamos en intervalos, podemos denir el signo dentro de cada intervalo evaluando en un punto de prueba interior a él. Ejemplo Analicemos el sentido de concavidad de f() = 1/. Recordemos en primer lugar que f está denida para 0. Calculemos sus derivadas: f () = 1/ 2 f () = 2/ 3. En este caso planteamos 2/ 3 > 0 y resolvemos > 0; de la misma forma, 2/ 3 < 0 se resuelve como < 0. Podemos completar una tabla con cada intervalo, y el signo de f y la concavidad de f: Intervalo signo de f Concavidad de f (, 0) (0, + ) +

7 CLASE 4.1. CONCAVIDAD Y DERIVADA SEGUNDA 188 Graquen con GeoGebra para visualizar los resultados. Actividad Consideremos f() = ( 2 +3) 1. Observemos en primer lugar que f es continua. Comprueben que las epresiones de la primera y segunda derivadas son: f () = 2 ( 2 + 3) 2 f () = 6(2 1) ( 2 + 3) 3. Podríamos resolver el signo de f () (depende sólo del numerador, ya siempre es positivo, inténtenlo). Para ilustrar otra forma de trabajar, lo hacemos con puntos críticos de concavidad: f () es continua en todo el eje, y f () = 0 en = ±1. Podemos separar el eje real en los intervalos (, 1), ( 1, 1) y (1, + ), donde f () es continua y no se anula. Una forma de determinar el signo en cada intervalo, justicada con el Teorema del Valor Intermedio, es elegir un punto interior en cada uno para evaluar el signo de f en ese punto. Completen la tabla para determinar el sentido de concavidad en cada intervalo: intervalo punto de prueba signo de f Concavidad (, 1) ( 1, 1) (1, + ) Graquen con GeoGebra para visualizar los resultados Puntos de ineión Consideremos una función f continua en (a, b) y un punto intermedio c tal que es cóncava hacia abajo en (a, c) y cóncava hacia arriba en (c, b). El punto sobre la gráca (c, f(c)) es un punto especial: a la izquierda del mismo la función presenta una concavidad y a la derecha otra. Lo mismo ocurre si cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. Un punto de estas características recibe un nombre propio: punto de ineión. Definición Un punto P = ( 0, f( 0 )) en la gráca de una función y = f() se llama punto de ineión si f es continua en 0 y la curva cambia de concavidad al pasar por P.

8 CLASE 4.1. CONCAVIDAD Y DERIVADA SEGUNDA 189 Ejemplo En el ejemplo del camino de montaña, como h es continua, es cóncava hacia abajo en (0, 1 m) y cóncava hacia arriba en (1 m, 2 m), el punto del camino (1, 0) es un punto de ineión. En la actividad , recordemos primero que f() = ( 2 + 3) 1 es continua en todos los reales. Deben haber llegado a la siguiente información: intervalo signo de f Concavidad (, 1) + ( 1, 1) - (1, + ) + Entonces ( 1, 1/4)es un punto de ineión y también (1, 1/4) es un punto de ineión. Los puntos críticos de concavidad pueden ser o no ser puntos de ineión. Según la denición , debemos revisar si la función derivada cambia de creciente a decreciente, o viceversa. Observación Si una función f() tiene derivada continua en un punto de ineión, la función derivada presenta un etremo local en ese punto. En efecto, f () es continua (por ser derivable) y, si pasa de creciente a decreciente presenta un máimo local; en cambio, si pasa de decreciente a creciente presenta un mínimo local. El caso más sencillo de puntos de ineión ocurre cuando la función es derivable dos veces (es decir, admite derivada segunda). Pensemos en una función f que admite derivada segunda en (a, b), y que en cierto punto c entre a y b cambia de concavidad: digamos que es cóncava hacia arriba en (a, c) y cóncava hacia abajo en (c, b) (o bien, cóncava hacia abajo en (a, c) y cóncava hacia arriba en (c, b)). Como c es un punto de continuidad de f (porque toda función derivable es continua 2 ) entonces (c, f(c)) es un punto de ineión. Pero además eiste f (c), entonces c resulta un máimo de f (o bien, un mínimo de f ) y, por lo tanto debe ser (f ) (c) = 0. Podemos concluir que: Afirmación Sea f una función continua en un punto c. Si (c, f(c)) es un punto de ineión y eiste f () en un entorno de c, entonces f (c) = 0. Cuando buscamos puntos de ineión, que posiblemente son etremos de f, podemos razonar de la misma manera que cuando buscamos etremos de una función. Se descartan los puntos en que eiste f () 0 porque es seguro que no son de ineión, y se estudian con cuidado los puntos donde no eiste f (), o donde f () = 0. Afirmación Los puntos críticos de concavidad (c, f(c)) de una función f continua en c verican que f (c) = 0 o bien f no eiste en c. Por otro lado, recuerden que un punto crítico de concavidad no asegura que realmente haya un punto de ineión. Son sólo puntos críticos de crecimiento de la función derivada primera. Es necesario estudiar la concavidad a izquierda y derecha del punto crítico para ver si efectivamente cambia de sentido. Para no confundir los puntos críticos de concavidad de los puntos críticos asociados a etremos locales, que discutimos en la Unidad 3, conviene llamar a aquéllos puntos críticos de crecimiento. Han visto muchos ejemplos de funciones con puntos críticos de crecimiento que no resultaron ser etremos; de la misma manera encontrarán puntos críticos de concavidad que resulten no ser puntos de ineión. 2 Recordar Teorema

9 CLASE 4.1. CONCAVIDAD Y DERIVADA SEGUNDA 190 Actividad Analicen la función f() = 4 para discutir si hay un punto de ineión en = 0. Veamos ahora con un ejemplo que puede eistir un punto de ineión en puntos donde la derivada segunda no eiste: Ejemplo Analicemos la función f() =. De acuerdo a la denición de valor absoluto, tendremos { 2, si 0 f() = 2, si > 0. Derivando por reglas en los intervalos abiertos y calculando por denición en = 0, comprueben que 2, si < 0 2, si < 0 f () = 0 si = 0 f () =, si = 0. 2, si > 0 2, si > 0 Separando en los dos intervalos que tienen signo constante de la derivada segunda, vemos que intervalo signo de f concavidad (, 0) - (0, + ) + Es decir, (0, 0) es un punto de ineión. La derivada segunda no es nula en = 0, sucede que no eiste en este punto. Comprueben grácamente lo que hemos encontrado Ejercitación Ejercicio Encuentren los intervalos donde f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. f() = a n, distinguiendo el signo de a y la paridad o imparidad de n. Consideren n 3. f() = ln f() = e. Comprueben grácamente los resultados obtenidos. Ejercicio La gura siguiente muestra las grácas de f, f y f. Indiquen cuál es cada curva y eplicar por qué es así.

10 CLASE 4.1. CONCAVIDAD Y DERIVADA SEGUNDA 191 Ejercicio Encuentren las regiones de concavidad y puntos de ineión de las siguientes funciones. 1. f() = f() = sen + cos primero en [0, 2π] y luego en toda la recta 3. f() = f() = 2 ln 5. f() = ep( 2 ) Ejercicio Graquen con GeoGebra 1. f() = 3 2. g() = ( 1) 2 3. h() = 3 4. q() = Comprueben que todas estas funciones tienen eactamente un punto de ineión. Agreguen los grácos de las derivadas primera y segunda de cada función y establezcan relaciones entre ellos. 5. Consideren ahora p() = a 3 +b 2 +c+d, un polinomio cúbico general. Demuestren que siempre tiene un único punto de ineión. Ejercicio La siguiente es la gráca de la derivada de una función continua f. 1. Encuentren los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. 2. ¾En qué valores de la función f tiene un máimo o un mínimo local? 3. Estudien los intervalos de concavidad haca arriba o hacia abajo. 4. Encuentren los puntos de ineión de f. 5. Supongan que f(0) = 0 y graquen cualitativamente f según los resultados obtenidos. Ejercicio A partir de la gráca de las funciones f que se muestran más abajo, indiquen la siguiente información: 1. los intervalos donde la función es creciente o decreciente 2. los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo 3. los puntos de ineión

11 CLASE 4.1. CONCAVIDAD Y DERIVADA SEGUNDA 192 Ejercicio La siguiente es la gráca de la derivada segunda de cierta función continua f. 1. Encuentren los puntos críticos de concavidad. 2. Indiquen los intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo. 3. ¾Cuáles de los puntos críticos de concavidad son realmente puntos de ineión? Justiquen sus razonamientos. Ejercicio Analizar si las funciones de los ejemplos y tienen algún punto de ineión y en caso armativo dar las coordenadas de los mismos. Ejercicio Sea K(t) una medida del conocimiento que obtienen después de haber estudiado para un eamen durante t horas. Teniendo en cuenta el cansancio acumulado, ¾qué cantidad suponen que es más grande: K(3) K(2) ó K(8) K(7)? ¾La gráca de K(t) será cóncava hacia arriba o hacia abajo? Justiquen su razonamiento.

12 CLASE 4.2. APLICACIONES DE LA DERIVADA SEGUNDA. DERIVADAS SUPERIORES. 193 Clase 4.2. Aplicaciones de la derivada segunda. Derivadas superiores. Contenidos de la clase: Puntos de ineión. Criterio de la derivada segunda para la caracterización de etremos locales. Derivadas superiores Aplicaciones de la derivada segunda La derivada segunda de una función nos da información importante, tanto sobre la función original como sobre su derivada primera. Comenzamos esta Clase destacando algunas aplicaciones. Continuidad de la derivada primera. Recordemos el teorema , que establece que si una función es derivable entonces seguro que también es continua. Como la derivada segunda de f() es la derivada de la función derivada primera, tenemos que: si eiste f () en algún punto 0, entonces f () es continua allí. Observemos también que: si eiste f () en un intervalo abierto, entonces f () es continua en ese intervalo. Por último, al eistir f () en un punto 0 eiste también f ( 0 ). Entonces sabemos que la función f resulta continua en el punto 0. Criterio de la derivada segunda para etremos locales. La derivada primera nos brinda información sobre las regiones de crecimiento y/o decrecimiento. Hemos distinguido ciertos puntos, los puntos críticos de crecimiento, donde la función puede llegar a alcanzar sus etremos locales. Estos puntos críticos se obtienen de acuerdo a dos posibilidades (además de los etremos del intervalo de denición, si éste fuera cerrado): f (c) = 0 f no es continua en c. Para el primer caso, si eiste la derivada segunda y es continua, tenemos un modo alternativo de clasicar al punto crítico. Sea una función f() con un sentido de concavidad denido; supongamos por ejemplo que es cóncava hacia arriba en un intervalo (a, b) y que para un punto c (a, b) la derivada primera se anula, es decir f (c) = 0. Al ser cóncava hacia arriba en (a, b), la derivada primera es creciente. Entonces:

13 CLASE 4.2. APLICACIONES DE LA DERIVADA SEGUNDA. DERIVADAS SUPERIORES. 194 si a < < c debe ser f () < f (c) = 0 ; es decir f es decreciente a la izquierda de c si c < < b debe ser 0 = f (c) < f () ; es decir f es creciente a la derecha de c. Por lo tanto f() presenta un mínimo local en c. Estas consideraciones nos permiten enunciar el resultado siguiente, conocido como criterio de la derivada segunda para etremos locales: Teorema Criterio de la derivada segunda para etremos locales Sea f una función que verica f (c) = 0 y tal que f es continua en un entorno de c. Tenemos que: si f (c) > 0, entonces c es un mínimo local. si f (c) < 0, entonces c es un máimo local. Este criterio es un modo alternativo sencillo para clasicar puntos críticos que verican f (c) = 0. En lugar de estudiar crecimiento y decrecimiento a través del signo de la derivada primera, evaluamos el signo de la derivada segunda en el punto crítico. Noten que si f (c) = 0, el criterio no se puede aplicar (se suele decir que "el criterio no decide"). En ese caso debemos estudiar crecimiento y decrecimiento de la derivada primera. Vale la pena insistir en que no olviden el criterio de la derivada primera: lo pueden seguir usando, y además resulta imprescindible cuando f (c) = 0 o no eiste f (c), o eventualmente eiste pero no es continua. Ejemplo Conrmemos el criterio de la derivada segunda con algunos ejemplos de funciones que ya conocemos, antes de estudiar casos nuevos. la función cuadrática: f() = a 2 + b + c. El único punto crítico surge de f () = 2a + b = 0, es decir 0 = b/2a. f () = 2a. Como f es continua, podemos { utilizar la prueba de la derivada segunda: f si a > 0 f ( 0 ) > 0y entonces 0 es un mínimo local ( 0 ) = 2a. Por lo tanto, si a < 0 f ( 0 ) < 0y entonces 0 es un máimo local. la función cúbica: f() = a 3, con a 0. Los puntos críticos surgen de f () = 3a 2 = 0, es decir 0 = 0. f () = 6a. Como es continua, podemos intentar utilizar la prueba de la derivada segunda. Pero f (0) = 0! No podemos aplicar la prueba. En realidad, como f () 0 para todo, la función es creciente y por lo tanto no tiene etremos. Comprueben que 0 = 0 es realmente un punto de ineión. Actividad Estudiemos los etremos de algunas funciones. Sea f() = Los puntos críticos surgen de f () = = 3( + 2) = 0, es decir = 0 y = 2. f () = Como f es continua podemos utilizar el criterio de la derivada segunda: crítico signo de f () má/mín de f 2 f ( 2) = 6 < 0 má 0 f (0) = 6 > 0 mín Para comprobar el resultado (y de paso practicar un poco más), clasiquemos ahora los etremos de acuerdo a los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento. Tendremos tres

14 CLASE 4.2. APLICACIONES DE LA DERIVADA SEGUNDA. DERIVADAS SUPERIORES. 195 intervalos a analizar: (, 0), (0, 2) y (2, + )). Como f es continua, podemos elegir un punto interior de cada intervalo para estudiar el signo de la derivada. Ahora completen la siguiente información intervalo signo de f () crec/decrec de f (, 2) + ( 2, 0) (0, + ) + Como f es continua, = 2 es un máimo local = 0 es un mínimo local f() = cos. f () = sen. Los puntos críticos de crecimiento son = nπ, con n Z. Ya lo hemos hecho antes, pero vuelvan a vericarlo. f () = cos. Como f es continua, podemos utilizar la prueba de la derivada segunda. Proponemos que la utilicen para conrmar cuáles son mínimos y cuáles máimos. Actividad Dada la curva y = 4 4 3, analicemos la concavidad, puntos de ineión y máimos y mínimos locales. Luego, utilicemos esos datos para dibujar la curva. Para ello, calculen las derivadas primera y segunda, y eprésenla como producto de factores para analizarlas más fácilmente. Deberían arribar a las siguientes epresiones (veriquen): f () = 4 2 ( 3) f () = 12( 2) Comprueben que los puntos críticos son = 0 y = 3. Como f es continua (¾por qué?) utilicen la prueba de la derivada segunda para concluir que = 3 es un mínimo local. Sin embargo, como f (0) = 0, para clasicar este punto crítico debemos utilizar la prueba de la derivada primera: Como f () 0 para < 3, la función es siempre decreciente en esta región y, por lo tanto, = 0 no es máimo ni mínimo (comprueben lo que se arma). Los posibles puntos de ineión son = 0, = 2 (veriquen). Completen el cuadro con la información de la concavidad: intervalo signo de f concavidad (, 0) (0, 2) (2, + ) Con estos datos, proponemos que realicen una posible gráca de la curva. Observación Cuando f (c) = 0, siendo c un punto crítico, la prueba de la derivada segunda no concluye nada. Podría tratarse de un mínimo, de un máimo o ninguna de las dos cosas. En estos casos, como cuando f (c) no eiste, hay que recurrir a la información del crecimiento o decrecimiento de la función, como se trabajó en la Unidad 3.

15 CLASE 4.2. APLICACIONES DE LA DERIVADA SEGUNDA. DERIVADAS SUPERIORES Derivadas de orden superior La función derivada segunda mide la concavidad de una gráca. No lo veremos en detalle, pero les contamos que cuanto mayor es el valor absoluto de la derivada segunda, la gráca es "más curva" (tiene un "radio de curvatura" más pequeño). Por este motivo tiene sentido preguntarse si la concavidad se mantiene, aumenta o disminuye. Es decir, estudiar el crecimiento o decrecimiento de la derivada segunda. Naturalmente, para estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función derivada segunda será adecuado calcular su derivada, si es que eiste. Al resultado de derivar la derivada segunda se lo llama derivada tercera. Se anota f () o f (3) (), o d3 f d 3. Y para estudiar si la derivada tercera crece, habrá que calcular otra vez su derivada, si es que eiste, que se llamará derivada cuarta. Y así siguiendo, se pueden construir derivadas de cualquier orden. Ya que hemos estudiado con cuidado la derivada primera, y la derivada segunda, estamos en condiciones de repetir los procedimientos y analizar en cada caso si eiste, y cuánto vale, la derivada de orden n cualquiera, llamada derivada n-ésima. Podemos denir por recurrencia Definición Dada una función f(), y un número entero n, si eiste la derivada n-ésima de f en un entorno de 0, que anotamos f (n) (), se dene la derivada de orden n + 1 en 0 como f (n+1) f (n) ( 0 + ) f (n) ( 0 ) ( 0 ) = lím 0 siempre que este límite eista Ejercitación Ejercicio Decidan si la función f() = tiene un etremo en = 2. Ejercicio Encontrar los valores máimos y mínimos locales de f utilizando las pruebas de la derivada primera y de la derivada segunda. ¾Cuál método preere? ¾Usaría siempre el mismo? 1. f() = f() = f() = f() = ep( 2 1) Ejercicio Para las funciones listadas más abajo: indicar los intervalos de crecimiento y decrecimiento hallar los máimos y/o mínimos locales encontrar los intervalos de concavidad y las coordenadas de los puntos de ineión (si los tiene) 1. f() = +cos en [ 2π, 2π]. Hallar, además, máimo y mínimo absolutos. ¾Por qué puede garantizarse que eisten? 2. f() = + 3. (no olviden hallar primero el dominio). 3. f(t) = ln ( t ) Ejercicio Calculen las funciones derivadas de f() = sen, hasta orden n = 8. Desafío (para pensar más) Demuestren que las curvas y = e e y = e cortan a la gráca de f() = e sen en los puntos de ineión de f.

16 CLASE 4.3. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO 197 Clase 4.3. Comportamiento asintótico Contenidos de la clase: Comportamiento asintótico Comportamientos asintóticos La continuidad y las derivadas de una función nos permiten conocer aspectos cualitativos de su gráca: signo, crecimiento, concavidad. Además, las discontinuidades nos advierten que hay puntos que deben ser mirados con mayor cuidado. Con esta información podremos esbozar su gráca. Para completar el análisis cualitativo de la gráca de una función f vamos a investigar en más detalle el comportamiento de f() cuando tiende a + y a (siempre que el dominio de f lo permita). A este estudio se lo conoce como análisis asintótico. Asíntotas horizontales. Como primer ejemplo, hemos visto en la Unidad 2 que, si lím f() = L + la gráca posee una asíntota horizontal a la derecha, de altura L. Esto es, recordemos, que la gráca de la función tiende a asemejarse a la recta horizontal y = L cuando se hace muy grande. De la misma manera, si lim f() = M la gráca posee una asíntota horizontal a la izquierda, de altura M. Esta información nos ayuda a imaginar la gráca de f() en las regiones de muy grande, positiva o negativamente. Órdenes de magnitud. Hay otros comportamientos asintóticos reconocibles a la derecha del eje real, según el resultado del lím + f(): cuando lím + f() = +, la gráca de f() sube indenidamente a medida que crece. cuando lím + f() =, la gráca de f() baja indenidamente a medida que crece. Sin embargo, no todas las funciones que tienden a + suben con la misma rapidez. Por ejemplo, observemos las funciones f() = y g() = 2 : ambas tienden a + cuando +, pero sus grácas son cualitativamente distintas. Para valores grandes de la variable se observa que 2 resulta mucho mayor que (tanto que su gráca no cabe en el gráco; intenten con GeoGebra cambiar la escala del eje y para observar mejor la diferencia entre las grácas). Podemos decir que, cuando +, la parábola g() = 2 crece más rápido que la recta f() =. Se dice que la función que crece más rápido tiene mayor orden de magnitud que la otra. La manera adecuada de comparar órdenes de magnitud entre funciones f() y g() que tienden a f() innito cuando + es analizar su cociente, lím +. Claro que es un límite indeterminado, g() del tipo "innito sobre innito"; si podemos resolverlo, sabremos cuál función crece más rápido: cuando f() y g() crecen de manera similar, el cociente se mantiene estable; cuando f() crece más rápido que g(), el cociente se hace arbitrariamente grande;

17 CLASE 4.3. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO 198 y cuando f() crece más lento que g(), el cociente se hace arbitrariamente pequeño. Veamos las deniciones precisas: Definición Sean f() y g() dos funciones tales que lím + f() = lím + f() = +. f() Si lím + = l 0 (es decir, un valor nito no nulo) se dice que f() y g() g() crecen con el mismo orden de magnitud. Se suele escribir que cuando +, f() g() para indicar que f() y g() se mantienen en el mismo orden. f() Si lím + = + se dice que f() crece con mayor orden de magnitud que g(). g() Se suele escribir que cuando +, f() g() para indicar que f() es mucho mayor que g(). f() Si lím + = 0 se dice que f() crece con menor orden de magnitud que g(). g() Se suele escribir que cuando +, para indicar que f() es mucho menor que g(). f() g() Observación En la denición anterior nos referimos sólo a funciones que tienden a + cuando +, pero el mismo análisis se puede hacer con funciones que tienden a. También se puede considerar el comportamiento asintótico cuando. Los límites indeterminados que aparecen en estas deniciones son los que ya hemos visto en la Unidad 2. Repasen lo que encuentren necesario al hacer los ejercicios de esta Unidad. Los ejemplos más importantes de comparación de órdenes de magnitud se dan entre polinomios de distinto grado, y entre funciones eponenciales, polinomios y logaritmos. Los discutimos en los siguientes ejemplos y actividades. Ejemplo Dados los polinomios p() = y q() = , ¾cuál tiene mayor orden de magnitud cuando +? Vamos a analizar el cociente = 3 ( 3 + 4/ 5/ 2 + 1/ 3) 2 (1 2/ + 3/ 2 ) = ( 3 + 4/ 5/ 2 + 1/ 3) (1 2/ + 3/ 2 ) Vemos que, cuando +, el paréntesis en el numerador tiende a 3 y el paréntesis en el denominador tiende a 1, mientras que tiende a +. Luego lím + 2 = Encontramos que el polinomio p() tiene mayor orden de magnitud que el polinomio q(). Actividad Regla práctica: consideren dos polinomios p() y q(), con coecientes principales positivos. A partir del grado de cada polinomio, ¾pueden decir cuál tendrá mayor orden de magnitud, o si tienen el mismo orden de magnitud?

18 CLASE 4.3. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO 199 Ejemplo Otro ejemplo importante, que sale con un poco de guía, es la comparación del crecimiento del logaritmo natural con el crecimiento de potencias. Calculemos ln lím + r donde r > 0 es cualquier número positivo. Podemos escribir ln r = ln e r ln y llamar u = r ln. Como r es positivo, + implica u + y (porque e u u). Conviene recordar la siguiente lím + Regla práctica: para cualquier r > 0, ln r = lím u + cuando +, 1 r u e u = 0 ln r (esto incluye potencias y raíces de, cuando r = 1/2, 1/3, etc.) Ejemplo Dado el polinomio p() = y la función eponencial g() = e, ¾cuál tiene mayor orden de magnitud cuando +? Sabemos que lím + p() = lím + g() = +, y corresponde analizar el cociente e = e 1 2 (3 + 2/ 1/ 2 ) Como el paréntesis en el denominador tiende al valor nito 3, el trabajo importante es calcular el límite e indeterminado lím + 2. Es un caso indeterminado interesante, conviene hacer un truco: estudiar primero ( ) ( e ln 2 = 2 ln = 1 2 ln ) ln Ahora usamos que lím + = 0 (que probamos recién, si hacemos r = 1) para saber que la epresión entre paréntesis tiende a 1, luego ( ) e lím ln = + + Finalmente, podemos llamar u = ln ( ) e y calcular 2 lím + e 2 = lím + eln 2 ( e 2 ) = lím u + eu = + La conclusión es que e crece con mayor orden de magnitud que 2. En consecuencia, e crece con mayor orden de magnitud que el polinomio (en palabras, la eponencial natural crece más rápido que las parábolas). Actividad Regla práctica: trabajando como en el ejemplo anterior, pueden mostrar que para cualquier r > 0 e lím + r = +

19 CLASE 4.3. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO 200 Conviene entonces recordar que, para cualquier r > 0 cuando +, (esto incluye raíces de, cuando r = 1/2, 1/3, etc.) e r Podemos reunir los resultados previos y escribir (como ayudamemoria): para cualquier r > 0, cuando +, ln r e Cuando intentemos esbozar grácas de funciones, conocer estos ejemplos nos permitirá ubicar sus crecimientos relativos. Equivalencia asintótica. Consideremos dos funciones que tienden a innito y que tienen el mismo orden de magnitud, es f() decir lím + = l 0. El caso particular en que l vale 1 recibe un nombre, se dice que las g() funciones son asintóticamente equivalentes, o que tienen el mismo comportamiento asintótico. Sus grácas serán cualitativamente similares en la región de grandes. Esta observación es muy útil cuando podemos comparar la función que nos interesa con otra función más sencilla. Ejemplo Consideremos el polinomio f() = ¾Podemos encontrar una función sencilla g() que tenga el mismo comportamiento asintótico cuando +? Para contestar esta pregunta conviene sacar como factor común el término de mayor grado, = 3 3 ( 1 + 4/ 5/ 2 + 1/ 3) Como 1 + 4/ 5/ 2 + 1/ 3 tiende a 1, el comportamiento asintótico para grandes está dado por el factor 3 3. En efecto, lím = lím 1 + 4/ + 5/2 + 1/ 3 = 1 Es decir, f() = y g() = 3 3 tienen el mismo comportamiento asintótico. ¾Para qué nos sirve esta información? Sirve para entender en forma aproimada y sencilla el polinomio p() = : para grandes, el término relativamente más importante es 3 3. Es decir, para grandes el término de mayor grado domina el comportamiento del polinomio. Aunque estudiemos Ciencias Eactas, en muchas aplicaciones van a encontrar que es preferible un tratamiento aproimado y sencillo, en lugar de un tratamiento eacto pero dicultoso. Observación Noten que dos funciones con el mismo comportamiento asintótico no se grafican como dos curvas que tienden a juntarse. La separación entre las curvas se mide como la diferencia entre las funciones, en tanto que el orden de magnitud se mide como el cociente entre las funciones. En el ejemplo anterior f() = y g() = 3 3 tienen el mismo comportamiento asintótico pero lím (f() g()) = lím = + Es decir, la separación entre las grácas de f() y g() se hace arbitrariamente grande cuando consideramos sucientemente grande.

20 CLASE 4.3. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO 201 Observación Reglas prácticas: dos polinomios de igual grado tienen el mismo orden de magnitud. cualquier polinomio tiene el mismo comportamiento asintótico que su término de mayor grado Ejercitación Ejercicio Calcular los siguientes límites: lim ± ; lim ± ; lim ± ; lim ± Ejercicio Determinen cuál de las funciones de cada ítem crece con mayor orden de magnitud en la región indicada, o si tienen el mismo orden de magnitud: 1. y = 2 o y = 5, cuando + 2. y = ln ( 2) o y = 2, cuando + 3. y = o y = e 2, cuando 4. y = cosh o y = 4, cuando + y cuando Ejercicio Calculen los siguientes límites e 1. lím + e 2 (sugerencia: tanto en el numerador como en el denominador, sacar como factor 5 ln común el término de mayor orden de magnitud) 2. lím lím ln (sugerencia: proponer el cambio de variable u = 1/ y trabajar con la variable u) Ejercicio Comprobar los siguientes límites: 1. lím + 1/ = 1 (escribir 1/ = e ln ) b 2. lím + r = +, si b > 1 y r > 0 (escribir b = e ln b y proponer el cambio u = ln b). Algunos límites indeterminados cuando 0 pueden analizarse haciendo el cambio u = 1/. Recuerden que tendrán que analizar por separado los casos 0 + y 0. Asimismo, límites cuando + podrían analizarse haciendo u = 1/, si resulta más conveniente. Ejercicio Calcular los siguientes límites. 1. lím ln lím 0 2 ln ; + 3. lím 0 e 1/ (proponer u = 1/) 4. lím 0 + sen(3 ) ln (multiplicar y dividir por 3 );

21 CLASE 4.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: ANÁLISIS CUALITATIVO DE GRÁFICAS 202 Clase 4.4. Actividades de Integración: análisis cualitativo de grácas Contenidos de la clase: uso de las herramientas ya adquiridas en el análisis cualitativo de grácas. Repaso aplicado de límites y derivadas Análisis cualitativo de grácas Es hora de usar lo que hemos aprendido hasta ahora, todo junto, para construir cualitativamente la gráca de una función dada por su fórmula. Insistimos, el objetivo es que podamos reconocer las características de una función a partir de su fórmula. Ubicaremos las regiones de positividad, de crecimiento, y la concavidad. Además, registraremos información sobre el comportamiento de una función a partir de sus límites cuando ±, y de los límites laterales en cada punto de discontinuidad. No necesitaremos una gran tabla de valores, sino que elegiremos calcular los puntos más destacados que sirven como referencia para ubicar la gráca: intersecciones con los ejes, máimos y mínimos, y puntos de ineión. Y cuidaremos que los comportamientos cualitativos sean consistentes con los puntos calculados. Con esta información vamos a esbozar cualitativamente la gráca de la función: es decir, dibujar una gráca consistente con la información disponible. Cuando seamos capaces de hacerlo, podremos decir que entendimos la función. Les aconsejamos tener a mano esta lista de las diferentes cuestiones que hemos estudiado hasta ahora, para aprovechar la información que nos brinda cada uno de los conceptos que aprendimos a analizar: 1. Dominio, posibles simetrías (función par o impar), si se trata de la composición de otra función con alguna operación conocida (traslación, valor absoluto...), etc: a) hallar el dominio de f b) simetrías: son útiles para simplicar el análisis. Por ejemplo, si f es par, la gráca para < 0 se puede obtener reejando la obtenida para > 0 sobre el eje y si f es impar, la gráca para < 0 se puede obtener rotando 180º la obtenida para > 0 En ambos casos, basta realizar el análisis para 0 (o bien para < 0, si lo preeren). si f es periódica de período a, es decir que f( + a) = f(), alcanza con realizar el análisis para el intervalo [0, a] y luego copiar la gráca, a izquierda y a derecha. (las funciones trigonométricas son un ejemplo de esta situación) Algunas veces puede ser más sencillo realizar el análisis en todo el dominio. Si lo hacen así, las simetrías deberían tenerse en cuenta para vericar que los resultados son coherentes. 2. Puntos de intersección con los ejes: f(0) y f() = 0: indican puntos especiales, en general ayudan a ir ubicando la gráca. 3. Regiones de positividad. Permiten ubicar la gráca por encima o por debajo del eje. 4. Comportamiento asintótico en ±, asíntotas horizontales u orden de magnitud: en el caso en que el límite sea nito, digamos L, conviene dibujar, con líneas punteadas, la asíntota horizontal y = L por lo menos para grandes, positiva o negativamente, según corresponda. Así tendremos un control de la gráca, ya que sabemos que f se asemeja a dicha recta cuando crece.

22 CLASE 4.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: ANÁLISIS CUALITATIVO DE GRÁFICAS 203 La misma consideración es válida para el caso de conocer una función sencilla con el mismo comportamiento asintótico que la que estamos analizando. 5. Continuidad o puntos de discontinuidad, asíntotas verticales: en caso de eistir algún punto 0 donde la función no está denida o donde cambia la denición de la misma, calculamos el límite para saber si es continua o discontinua, y en ese caso, de qué tipo es. Seguramente tengan que calcular los límites laterales primero. En caso de que alguno de los límites sea ±, sabemos que = 0 es asíntota vertical. Conviene gracarla en líneas punteadas e indicar, según el valor del límite, la tendencia de la gráca (a derecha y/o a izquierda, según corresponda). Si el dominio es un intervalo y 0 es un etremo del mismo, se debe calcular sólo el límite lateral correspondiente. 6. Regiones de crecimiento y decrecimiento, máimos y/o mínimos locales: buscamos puntos críticos (donde f se anula o no es continua). A partir de ellos, y de los puntos donde no está denida la función, si es el caso, separamos en intervalos y analizamos el signo de f, a n de determinar dónde es creciente y dónde decreciente. Luego, ya podemos determinar la eistencia de mínimos y/o máimos locales. Recuerden que también pueden utilizar la regla de la derivada segunda, siempre que se cumplan las condiciones para aplicarla. Pueden indicar con echas ( o ) el crecimiento/decrecimiento en cada intervalo e ir gracando los puntos donde se alcanzan los etremos locales. 7. Regiones de concavidad, puntos de ineión: buscamos los puntos donde f se anula o no es continua. A partir de ellos, y de los puntos donde no está denida la función, si es el caso, separamos en intervalos y analizamos el signo de f, a n de determinar dónde es cóncava hacia abajo y dónde cóncava hacia arriba. Si hubo cambios de concavidad en un punto c de continuidad de la función, entonces (c, f(c)) es un punto de ineión. Recuerden que puede haber cambios de concavidad sin haber puntos de ineión (típicamente en puntos de discontinuidad). Pueden indicar con o los sentidos de concavidad de cada intervalo e ir gracando los puntos de ineión. Si bien aconsejamos recordar esta lista, el análisis no debe ser mecánico. El objetivo es volcar ordenadamente la información en un gráco. En general ciertas combinaciones de propiedades que se verican simultáneamente pueden condicionar lo que ocurrirá con otras propiedades de la función. Esperamos que realicen en cada caso un análisis crítico de la consistencia de las características calculadas, a veces para corroborar lo que el cálculo indica, y otras veces (¾por qué no?) para descubrir y corregir algún error cometido a lo largo de dichos cálculos Ejemplos La mejor manera de aprender a analizar grácas es desarrollar ejemplos variados. Les mostramos aquí algunos ejemplos desarrollados en detalle, y encontrarán muchos más en los libros recomendados. Noten que están propuestos como Actividades: para aprovecharlos, intenten resolverlos antes de mirarlos. El enunciado sería: analicen cualitativamente la gráca de las siguientes funciones siguiendo las pautas de la sección A medida que los resuelven, comparen con la versión desarrollada. Además, para repasar todo lo aprendido, fundamenten cada una de las armaciones con los conceptos teóricos correspondientes.

23 CLASE 4.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: ANÁLISIS CUALITATIVO DE GRÁFICAS 204 Actividad Analicemos la gráca de f() = Dom f :R { 1} f( ) = 1 3. Vemos que ni f( ) = f() ni f( ) = f(); es decir que f no es par ni impar. 2. f() = 0 implica = 0, que es el único punto de intersección con el eje y a la vez resulta intersección con el eje y. 3. lím = 0, es decir, y = 0 es asíntota horizontal por izquierda y por derecha. ± Como = 1 no está en el dominio, es un punto de discontinuidad. Veamos de qué tipo es, analizando el límite. lím = + y lím = Luego, el límite no eiste; es una discontinuidad esencial. Además = 1 es una asíntota vertical. 5. Calculemos f (). Luego de utilizar las reglas de derivación y operar algebraicamente, deberían obtener f () = 1 23 (1 + 3 ) 2, si 1.. El único punto crítico es: = 1/ 3 2, pero como = 1 no pertenece al dominio, hay tres intervalos para analizar el crecimiento/decrecimiento. Como el denominador es positivo, basta con analizar el signo del numerador. Veriquen la siguiente información: intervalo signo f crec/decrec (, 1) + ( 1, 1/ 3 2) + (1/ 3 2, + ) - Luego, como además f es continua en = 1/ 3 2, es un máimo local. El punto en la gráca es (1/ 3 2, 2/3 3 2). Como ya sabemos que f + cuando 1, el máimo no puede ser absoluto. Con lo que saben hasta ahora, ¾pueden anticipar la concavidad para muy grandes (positiva y negativamente) y a ambos lados de = 1? ( 6. Calculemos ahora f. La epresión es f () = ) ( 2 3) (1 + 3 ) 4, si 1, una vez. factorizada. Como el denominador es positivo, buscamos los ceros del numerador. Estos son = 0, = 1 y = 3 2. Pero atención, 1! porque no pertenece al dominio. Separando en intervalos, analizaremos el signo de f. Veriquen la siguiente información: intervalo signo f concavidad (, 1) + ( 1, 0) - (0, 3 2) - ( 3 2, + ) +

24 CLASE 4.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: ANÁLISIS CUALITATIVO DE GRÁFICAS 205 Luego, el único punto de ineión (por ser además continua la función en ese punto) está en ( 3 2, 3 2/3). Observen que en (, 1) es cóncava hacia arriba y en ( 1, 0) es cóncava hacia abajo, pero no hay punto de ineión ya que = 1 no pertenece al dominio. Ya tenemos toda la información necesaria para hacer nuestra gráca. Es útil confeccionar una tabla con toda la información, les mostramos un formato posible: intervalo crec/decrec concavidad (, 1) ( 1, 0) (0, 1/ 3 2) (1/ 3 2, 3 2) ( 3 2, + ) f() 1 asíntota vertical 0 0 intersección con los ejes 1/ 3 2 2/3 3 2 máimo local /3 punto de ineión Dibujen la gráca cualitativamente y luego comprueben con GeoGebra el resultado: Veamos otro ejemplo. La propuesta es, como el anterior, que ustedes desarrollen cada ítem siguiendo las pautas de la sección y vuelquen la información esquemáticamente en un gráco. Actividad Graquemos f() = No olviden justicar cada una de las armaciones. 1. Dom f :R f( ) = f(), es decir f es par. Vamos entonces analizar solamente el intervalo [0, + ) y luego reejar la gráca con respecto al eje y. 2. f(0) = 2. Intersección con el eje y: como , la curva no corta al eje.

25 CLASE 4.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: ANÁLISIS CUALITATIVO DE GRÁFICAS lím = +, valores arbitrariamente altos. No posee asíntota horizontal por derecha, sino que la gráca alcanza 4. Buscamos el orden de magnitud del crecimiento: operando = 2 ( 1 + 4/ 2) = ( 1 + 4/ 2) vemos que, cuando es grande, la función f() se comporta como. A la derecha ( + ) esperamos que se comporte como la recta y =. Para comprobarlo calculamos lím / = lím = 1 + es decir, cuando +, es asintóticamente equivalente a. 5. La función es continua en todo su dominio. 6. Calculemos f (). Deberán arribar a la epresión f () = El único punto crítico es: = 0. Como el numerador y el denominador son positivos (recuerden que nos enfocamos solamente en 0) tenemos que f () > 0 si > 0, es decir la función es creciente en (0, + ). 7. Calculemos ahora f () para analizar concavidad. Con un poco de trabajo deben obtener f 4 () = (4 + 2 ) 3 /2.. Pero esta epresión es siempre positiva. Por lo tanto, f es cóncava hacia arriba en (0, + ) y no posee puntos de ineión. Realicen ahora la gráca en [0, + ) y complétenla en los reales negativos teniendo en cuenta que la función es par. A partir de ella comprueben que el comportamiento completo de la función es el siguiente: intervalo crec/decrec concavidad (, 0) (0, + ) = 0 es mínimo local y absoluto; f(0) = 2 Además, teniendo en cuenta que la función es par, esperamos que a la izquierda ( ) se comporte como la recta y = (reeión de la recta y = que encontramos a la derecha). Quizás valga el esfuerzo comprobarlo: calculamos lím / = lím = 1 es decir, cuando, es asintóticamente equivalente a. A continuación presentamos la gráca.

26 CLASE 4.4. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: ANÁLISIS CUALITATIVO DE GRÁFICAS 207 Actividad Consideremos la siguiente función: f() = 3 1 /3. 1. Dom f :R f( ) = f(), es decir f es impar. Vamos entonces analizar solamente el intervalo [0, + ) y luego rotar la gráca 180º. 2. f(0) = 0. Intersección con el eje y: debe ocurrir = 3 1 /3. Reuelvan y comprueben que f() = 0 para = 0, = ± lím + 31 /3 = lím ( /3 ) = +, derecha. es decir, no posee asíntota horizontal por 4. Para conocer el orden de magnitud del crecimiento cuando +, al escribir 3 1 /3 = (1 3 2/3 ) notamos que la epresión entre paréntesis tiende a 1: el crecimiento está dado por el factor. Esto se verica técnicamente calculando 3 1 /3 lím = La función es continua en todo su dominio. 6. Calculemos f () = 1 2/3. f () = 0 en = ±1. Además para = 0 no se puede aplicar la regla de derivación, de modo que tendremos que analizar luego la eistencia o no de f (0). Recuerden que estamos trabajando solamente con > 0, entonces los intervalos de análisis son (0, 1) y (1, + ). Comprueben la siguiente información: intervalo signo f crec/decrec (0, 1) -. Luego, = 1 es un mínimo local. (1, + ) + f( ) f(0) 3( ) 1/3 lím = lím = lím 1 3 =. 0 + ( ) 2/3