Escuela Técnica Superior. Ingenieros de Telecomunicación. Memoria
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- David Suárez Cano
- hace 6 años
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Transcripción
1 Escu Técc uror Igros d Tcouccó or crcó d s tgrs d étodo d coo od sobr cotoro rctgur r crctrzcó fct d osts crcurs déctrcos dtro d u guí d ods rctgur utor: E Br or Drctor: éctor Estb ozáz r Bchr rtí Vc Octubr 6
2 Ídc Itroduccó coo od guí-sco brto 4 todoogí 5 Obtvo 7 3 ácuos dscusó d rsutdos 3 áss dsrroo d rob guí-sco brto 3 trz d dsrsó grzd 8 3 coo od guí-sco brto 3 Rsoucó d tgrs 3 Itroduccó 9 3 Itgr 33 Itgr B Itgr 4 35 Itgr 5 33 áss d rsutdos corcó co soucó uérc 33 Itroduccó trz trz B trz trz trz 7 4 ocusos 73 5 Rfrcs 74
3 Itroduccó Itroduccó os stéts d couccos dsd sus cos décd d os 6 h costtudo soort d u dvrss ccos d tcouccó rcs sus rodds d cobrtur gob co so d os ños h ddo soort uchs ccos coo or o dfusó d sñs d rdo tvsó obsrvcó rot d Trr rdovgcó couccos óvs E futuro ás dto stos stéts soortrá tot o rct s rds d trsort d os uvos srvcos utd os ors rqurtos d os sucsvos srvcos rstdos or os stéts d tcouccó básct cdd d srvco cotdos h suusto su vz u uto costt d s frcucs d orcó sí us s os rros stéts d couccó f orb bs frcucs 64 z 87 z os ás odros s cutr rstdo srvcos d bd ch frcucs ás ts 4 z s d srr os róos ños u sto bd d frcucs d 35 z os ftros d croods os u gr ortc dbdo qu tbé s dvrss ccos d s tcouccos ts coo ssts d ccso ábrco W Wrss oc oo D oc utot Dstrbuto st VD utot Vdo Dstrbuto st ssts d couccos óvs ob st for ob ouctos UT Uvrs ob Tcoucto st ssts d couccos ví stét s rrs ccos utzb ftros tcoogí gud covcos co tod su structur tác ro éstos h zdo sr rzdos or ftros tcoogí gud co rsodors déctrcos Esto s dbdo qu uso d rsodors déctrcos rt rducr s vou d os ftros rddor d u 5% dás roorco or stbdd térc ccos d t otc brgo odr st to d ftros s ucho ás cocdo qu odr os ftros covcos qu su gotrí rc structurs crcurs rctgurs Obtr u hrrt d dsño utotzd D ct fct r st to d ftros rsut ás cocdo ctut s obto d studo st oto vrs hrrts corcs forátcs bsds étodos uércos rt vr cbo áss d st to d structurs ro rqur d u to d coutcó u vdo os étodos stts r áss d os dsostvos d croods ud csfcrs trs grds gruos: étodos ítcos étodos uércos étodos híbrdos os étodos ítcos tbé dodos ods roorco rsutdos u ctos d u for fct dsd uto d vst coutco No obstt rst dsvt d qu so sóo cbs uos ocos robs cócos co gotrís rgurs os étodos uércos o d dscrtzcó sc so ccs d zr robs co gotrís rbtrrs ro su
4 Itroduccó 3 dsvt s vdo cosuo d or d to d PU oo trtv tto os étodos ítcos coo os uércos cro os étodos híbrdos qu ttb scr rtdo d s vts d os dos gruos trors uqu su fcc s or qu d os étodos uércos dchos étodos híbrdos todví rsut dsdo tos r zr u structur t co coo u ftro co rsodors déctrcos Prc cro qu guo d os trs tos d étodos stts s cz or sí soo d zr ftros co rsodors déctrcos d for sufctt fct h ttdo dtr strtg d dsño r ftros covcos [] obtédos gortos robustos rádos ro sr coo tr odos ucho or os ftros co rsodors o s covrg rsutdo co cttud dsd h studdo otro étodo d dsño robusto fct ro to d cácuo qu s rqur s vdo [] D tr todos os tos d ftros s h otdo or studr os d o co osts crcurs déctrcos qu so fács d fbrcr soort ors otcs vés Fg Fg oo soucó rob qu s t s h sdo sgur sgut strtg d sgtcó r zr st to d structurs cosstt dvdr ftro co déctrcos vros boqus costtutvos fg: dscotudds tr guís d dstts churs osts déctrcos qu ctú coo rsodors Utzdo u étodo od u fct s ud obtr s trcs d dtcs grzds d s dscotudds custó us s trt d structurs cócs Y or otro do s stud u odo r obtr s trcs d dsrsó grzds d os osts déctrcos Ezdo s trcs grzds d os dsttos boqus costtutvos s ud cosgur d for u fct rsust éctrc d ftro su couto o st rocto s tt cotrr u étodo fct rádo d cácuo d s trcs d dsrsó grzd sccó dod s cutr os osts déctrcos
5 Itroduccó 4 Fg coo od uí-esco brto Dd gotrí d sccó d ftro qu s stá zdo os frtos u rob ductvo s dcr gotrí d guí s vrt tur udo u guí rctgur co gotrí ductv s tcd or odos TE t soo s ct odos d so to ud sr rsovr rob dt coo d odos sí obtr trz d dsrsó grzd D corrsodt D rco tuds d ods rogrsvs rgrsvs tdo cut odo fudt d guí ttos odos d ord suror coo s csro r crctrzr sgto Pr rsovr rob dt coo d odos tro d guí rrgur qu s cutr rsodor déctrco s u forucó d sco brto s rs o cos éctrcos cdt dsrsdo coo sus d odos cídrcos Estos sutoros db trucrs d r qu úro d téros qu s t cut odos cídrcos s o sufctt vdo r rcostrur corrctt os cos D st for s ccu trz d dsrsó D qu rco sctro d co cídrco cdt sctro d co cídrco dsrsdo sí tro d guí rrgur qud tott crctrzdo Pr crctrzr sgto dsd uto d vst d odos gudos s rz u coo d odos d u guí rctgur stádr odos cídrcos Esto s hc forzdo cotudd d cos éctrco gétco u cotoro qu crr sgto rrgur tss rzd or Dr éctor Estb ozáz [3] z tr otrs coss guís rctgurs co osts déctrcos d sccó rbtrr dt uso d trcs d dsrsó grzds Pr rsovr st coo od rco sctro d co cdt co s tuds d os odos gudos rogrsvos rgrsvos forzdo cotudd d co éctrco crcufrc qu crr
6 Itroduccó 5 sgto rrgur Forzdo cotudd d co gétco dch crcufrc s ud dsr s tuds d os odos gudos rgrsvos fucó d os rogrsvos obtr sí D Est for d rsovr coo od fuco b orí d os csos ro o s sí s os os d rfrc stá u róos obto ustro cso rsodor déctrco Pusto qu ustro rocto os os d rfrc stá róos rsodor dbos cotrr otr for d rsovr coo od todoogí Pr rzr uvo coo od suodo qu sóo h u obto dsrsor ctro d guí co u trz d dsrsó D dgo sóo dos ccsos gudos gus s ud sr rzr coo u cotoro crcur o u cotoro rctgur E cuto rsovr coo od u cotoro crcur Fg 3 Dtro d cotoro s forucó d sco brto s rs o cos éctrcos cdt dsrsdo coo sus d odos cídrcos Fur d cotoro s trt rob dsd uto d vst d odos gudos cotucó s furz cotudd d co éctrco gétco todo cotoro crcur Fg 3 roct sobr os odos d dtro d cotoro sobr os d fur Pr obtr u soucó s csro ccur vrs tgrs E rob qu rst st étodo s qu robbt o covr or codcoto d s trcs qu s obt Por tto st rocto s ctr cotoro rctgur fg4 Dtro d cotoro s forucó d sco brto s rs o cos éctrcos cdt dsrsdo coo sus d odos cídrcos Fur d cotoro s trt rob dsd uto d vst d odos gudos cotucó s furz cotudd d co éctrco gétco todo cotoro rctgur
7 Itroduccó 6 Fg4 s dsrro s rsos s v qu r obtr trz d dsrsó s t qu ccur vrs tgrs Pr rsovrs ítct s hc uso d u só srs ods s d s fucos d Bss Todo st rocso s dscrb co dt cotucó
8 Obtvo 7 Obtvo E st rocto ddo o usto trort s dsrrorá u uvo coo od fct r obtr trz d dsrsó grzd d u tro d guí co dos ccsos co u rsodor déctrco cídrco ctro Pr o s s osb s rsos voucrds rsoucó d rob s ccurá d for ítc ostrort s corrá co os rsutdos uércos E obtvo qu s busc rsovdo rob ítct s odr dsur cost coutco tor qu s obt co s rsoucos uércs us s dsdo vdo Pro dás s db rstr sc tcó os osbs rrors qu s cot qu r odr rsovr gus rsos ítct s h d rzr crts rocos qu troduc dchos rrors Ft s busc rsovr trz d dsrsó grzd utzdo s rsos ccuds d for fct d st odo obtr vors corrctos co bo rror cosudo or to osb sus cácuos
9 ácuos dscusó d rsutdos 8 3 ácuos dscusó d rsutdos 3 áss dsrroo d rob guí-sco brto E st sccó s dscrb coo s trz d dsrsó grzd ustro rob cotucó s dscrb áss hcho d guí co obto dsrsor utzdo coo od guí-sco brto u cotoro rctgur 3 trz d dsrsó grzd trz d dsrsó grzd d u rd d N ccsos d guíods roorco u rcó tr s tuds orzds d s ods ods rogrsvs rgrsvs cd urto d ccso d rd dfd or: b N [ ] [ ] N sdo úro d odos qu s cosdr csros r rsr corrctt co ccso tdo cut qu rrst s tuds orzds r s -éss ods rogrsvs rgrsvs dfds d sgut for: b b V V Z Z 3 dod V V so s tuds d s -éss ods ods d tsó rogrsv rgrsv rsctvt ccso Z s dc crctrístc d -éso odo ccso E rsó s d tud orzd d -éso odo rfdo ccso coo cobcó d s tuds orzds d todos os odos cdts d cd uo d os ccsos os sos d s su so os cofcts ud scrbr sst d cucos d for trc: b N N b O N N N N N 4
10 ácuos dscusó d rsutdos 9 dod cd to s u sub-boqu: b [ ] T [ b b ] T 5 6 O 7 d sub-boqu b o rrst tods s tuds orzds d ods cdts o rfds d ccso os sub-boqus cot s cotrbucos d s ods cdts d os odos d ccso sobr s ods rfds d os odos d ccso s úro tot d ods rogrsvs rgrsvs qu st dfédos coo: N 8 Rsut qu sst d cucos dscrto 4 stá fordo or cucos co cógts Por tto s rtcurzos tods sts rsos r ustro rob rtcur s dcr u guíod co dos ccsos gus vr fgur 5 tos: b b 9 dod b s df coo rsctvt or tto sgú 8 s tdrá qu rsovr u sst d cucos co cógts Fg 5
11 ácuos dscusó d rsutdos 3 coo od guí-sco brto uoos u sóo obto dsrsor ctro d guí co u trz d dsrsó D dgo sóo dos ccsos gudos gus vr fgur 6 Nos rfrros coo ˆ ŷ ẑ co [] os vctors utros d sst d coordds oc ccso Fos tbé u sst d coordds gob dfdo or ˆ ˆ zˆ Pusto qu vos utzr forucó d sco brto usros co frcuc coordds cídrcs sdo: rct Por cd ccso cd sgto úct odos TE coo s h dcdo trort os odos qu s ct é so sóo TE us sgto s vrt dsó ẑ Por tto todos os cos éctrcos stá orzdos t sgú ẑ Fg 6 oo s ud obsrvr fgur 6 rtr d hor b strá dfdos stdos oustos o usto trort co o qu 9 qudrá: b b U vz usto todo sto odos sr zr rob Dtro d cotoro rctgur s db crctrzr sgto dt forucó d sco brto Pr o rsros os cos éctrcos cdt dsrsdo coo sus d odos cídrcos
12 ácuos dscusó d rsutdos r E r E sc c zˆ zˆ o cdt o dsrsdo 3 dod s odo sctr cídrco cdt -éso fto org d coordds s odo sctr cídrco rgt -éso sgur org d coordds os cofcts rrst sctro cídrco d co cdt os cofcts c sctro cídrco d co dsrsdo Estos sctros v rcodos or trz d dsrsó coocd D d sgut odo: N [ cq ] D [ ] cq N D q Y usto qu trz D s dgo s os d dgo tos: 4 to -éso d su c d 5 Por rzos coutcos s sus fts d odos cdts dsrsdos s db trucr quddo: r E r E sc N N N N c zˆ N zˆ d N zˆ 6 7 dod db curs qu N > R sdo R rdo d crcufrc qu cot zo dtd or cotoro rctgur E sccos ostrors s studrá qu vor d N s to r qu su d odos cídrcos cdts dsrsdos rcostru corrctt co cdt dsrsdo dtro d cotoro Tdo cut todo sto co tot dtro d rctáguo srá: r r E E r E sc N d N zˆ 8
13 ácuos dscusó d rsutdos rtr d co éctrco coo sbos s ud obtr co gétco utzdo u d s cucos d w E r r µ 9 Por tto odos rsr co gétco d sgut for: µ µ E z E z E ˆ ˆ r r! N N d d ˆ ˆ Por otro do fur d cotoro os cos trsvrss tots ud rsrs coo u su d odos gudos Tdo cut qu os cotoros 3 4 vr fgur 4 co trsvrs s uo usto z E qu co gétco or os sos s tbé uo odos rsr os cos coo: z z t b E " " r r r z z t h Y b h Y " " r r r Rorddo téros s t: z z t b E r r " " 3 z z t h Y b r r " " 4 dod r guí d od rctgur r odos TE : # s b Z r 5 ˆ ˆ z s b Z h r r # 6
14 ácuos dscusó d rsutdos 3 " 7 Y " " 8 Z µ! do b chur tur rsctvt d ccso s úro d od µ% " s costt d rogcó d -éso odo d rogcó ccso os vctors utros so os dfdos fgur 6 or tto ˆ zˆ ˆ Tdo cut todo sto vos dfr u sr d vctors r qu rsut ás sco scrbr u rsó ás coct d co fur d cotoro Vr fgur 6 b b b dod dod b b b b b b 9 3 D odo qu b so vctors d tos corrsoddo os tos surors guí os sguts guí D gu for s os fos fgur 7 tos: [ ] rcorr curv 3 4 do & s dstc d ctro r cd Fg7
15 ácuos dscusó d rsutdos 4 Dfos tbé g * # o dod [ ] 3 g * # o dod [ ] 3 o g o g g o o g 33 Ft co fur d cotoro s ud scrbr d sgut for tdo cut qu tos qu z qu z rsctvt z or tto " z " co o qu ft s t: r E r t t b g b Y o zˆ g o ˆ dfdo Y coo: Y Y Y dod Y Y Y Y Y 36 Y E sgo gtvo qu rc dfr vctor d dcs crctrístcs s csro r qu sr t Vsts tods sts rsos s ud forzr cotudd d co éctrco gétco cotoro cudrdo Prro forzos cotudd d co éctrco: r E r E sc r E t 37
16 ácuos dscusó d rsutdos 5 usttudo obtos sgut rsó: N N g b d o 38 cotucó forzos cotudd d co gétco todo cotoro rctgur: t sc r r r 39 ocrtt forzros cotudd d co gétco trsvrs Pr o roctos drccó ŷ ostrort susttuos rsó obtd 35 39:! N N d d ˆ ˆ ˆ ˆ t g Y b o r 4 dod: ˆ ˆ s cos ˆ ˆ 4 usttudo 4 4! N N d s d cos t g Y b o r 4 rtr d s rsos 38 4 obtdros s cucos csrs r ccur trz d dsrsó buscd Pr o rr ugr roctos sts cucos sobr os odos d dtro d cotoro Pr o utcos bos dos or fctor dcudo cos tgr sobr cotoro
17 ácuos dscusó d rsutdos 6 oo rsutdo d roctr s cucos 38 4 sobr os odos d dtro obtos us cucos qu qud: dod: N N N N B D b N N 43 b N N 44 - [ d ] - o B g dc dc d - s! d ] cos dc 47 dc Y B o D g Y - 48 Por otro do roctos tbé s cucos obtds forzr cotudd d co 38 4 sobr os odos d fur d cotoro or gu qu cso tror utcos bos dos d gudd or fctor dcudo qu st cso srá: g o * # # s s 3 o 4 3 o 4 49
18 ácuos dscusó d rsutdos 7 cotucó s c tgr sobr todo cotoro s dos rts d gudd D st odo obtos uvs cucos: dod: N E N N N F b 5 b 5 - o E [ d ] g dc - o o F g g dc 5 53 d - s! d ] o cos g dc 54 o o g Y g dc Y - F 55 Escrbdo trct sst d cucos qu rov d s rsos obtds gos sgut sst d cucos trc: B b 56 D b 57 E F b 58 b 59 dod b so s dfds 9 3 rsctvt so trcs cudrds d tño N N B D so trcs d tño N E so d tño N F so trcs dgos cudrds d tño
19 ácuos dscusó d rsutdos 8 Pr rsovr ustrs cógts b d st odo ccur trz d dsrsó cstos dos d s rsos Dbos tor u qu rocd d rsos d co éctrco otr qu rocd d rsos d co gétco Por tto st dos osbdds tor o gos tos: B b B b b b B B B b B B B 6 dod s trz d dsrsó qu buscos dfd otos or utzr tos: E E D b D b F b D F F E b F E F E D D E E D b D F D F 6 E bos csos s cst vrtr u trz cudrd o d tño N N otr trz B o F E D d tño Por tto ccó vdrá dd or cost coutco tor d cd u d s ocos sí coo d or o or codcoto d s trcs qu h d vrtrs r obtr Pr ccur s trcs s h d rsovr u sr d tgrs co o qu ccó d gu d s osbdds s or dcdr qu tgrs so ás scs d ccur ítct r cosgur rducr áo cost coutco tor d cácuo d trz d dsrsó s tgrs ccur so B cso qu s ot or rsovr 6 D E F s s rsuv 6 ordo vos qu B D v tr so cost F tbé so ráctct gus Obsrvdo s tgrs rstts tr scogr o or cotrro E rc or rr ocó usto qu sr qu s go ás cocd qu E tgr rsut ucho ás co qu Esto s dbdo qu dás d coccó qu suo s drvds d s fucos d Bss
20 ácuos dscusó d rsutdos 9 k s ñd otr dfcutd dd or fctor or qu s utc r roctr sobr os odos d dtro d cotoro qu st fctor suo grgr u sutoro ás rsó cot Por otro do fctor qu s ñd ddo or 49 s ucho ás sco usto qu s utc or fucos trgooétrcs Ddo o usto trort ft s rsovrá 6 co o qu s tgrs ccur srá B dds or s rsos Rsoucó d tgrs E st sccó s dsrrorá s tgrs r odr vr cbo su rsoucó ítc qu s corrá sucsvs sccos co os rsutdos uércos 3 Itroduccó Pr odr rsovr gus tgrs ítct s hc uso d u só srs d ods s d r o s utz u rsó co qu s ro bo crts codcos os roductos d Bss fucos trgooétrcs or u sr d fucos ocs Est rsó s: 3 dod cos s 3 E vor d dbrá sr o sufctt vdo r gr covrgc d sr cuto or s srá csro tr cut ás téros d sr dás s utzrá otr rsó r odr rsr s fucos d k d sgud sc trvés d fucos d Bss d st odo odr scrbrs tbé coo u sr d fucos ocs bos qu fucó d k d sgud sc s ft org s rsos d co coo odos cídrcos rrst odos rgts bos tbé qu s ud scrbr os odos rgts coo cdts cbdo o d rfrc d st odo s ud rsr dstrbucó d co rrstd or odos rgts coo u dstrbucó d co dd or odos cdts co u org d coordds dszdo Ddo qu fucó d Bss s rsos d co coo odos
21 ácuos dscusó d rsutdos cídrcos rrst odos cdts odos scrbr fucó d k d sgud sc coo su d fucos d Bss d sgut for: d 33 dod d sdo d os dfdos fgur 8 Fg 8 Por rzos coutcos s sus fts d 33 h d trucrs quddo: P P d 34 co P R sdo R rdo d crcufrc dod quros rcostrur corrctt dstrbucó d co Dbos tr cut qu s utzos st rsó dstrbucó d co s rcostrurá dcudt tod crcufrc d rdo R os org d coordds qu torá u vor fto Esto qud ustrdo fgur 9 Pr cd tro d cotoro d rctáguo s dbrá scogr os vors dcudos d d dddo d dod s stú uvo sst d rfrc dás tbé s dbrá gr vor ás covt r rdo d crcufrc dod st rsó s vád
22 ácuos dscusó d rsutdos U vz usto todo sto odos sr dscrbr coo obtr soucó ítc d cd u d s cutro tgrs csrs r ccur trz d dsrsó Fg9 3 Itgr tgr ccur s: - [ d ] dc 35 dod N N N N Est tgr dvdros dos rts r sfcr os cácuos or u do u tgr qu cotg s fucos d Bss or otro u tgr qu cotg s fucos d k - dc - dc d 36 Nos ctrros rr ugr cácuo d Pr ccur st tgr s dvd cotoro rctgur cutro tros 3 4 oo s ud vr fgur 6 cotoro sóo s dd d coordd sdo coordd f D so odo ocurr rsto d tros qu sóo dd d u coordd sóo dd d trs qu 3 4 sóo dd d Pr scrbr s tgrs d cd uo d os cotoros rcorrros rctáguo stdo cotrro s gus d ro zdo or vr fgur 6 Por tto os qudrá:
23 ácuos dscusó d rsutdos - d - d - d d 37 dod rtr d hor tdo cut qu s chur d guí coo s dc fgur 6 vos cosdrr qu do d rctáguo ro s: 7 38 Psos rsovr rr d s tgrs qu rcorr tro : - d 39 usttudo rsó 3 39 dos vcs tdo cut qu sgudo cso rsó db d str cougd qu r tro coordd s f obtos: - d 3 dod tdo cut cotoro qu os cotros s rsos dfds 3: 7 cos s 3 Rorddo téros 3 hcdo cácuos obtos: - d 3
24 ácuos dscusó d rsutdos 3 Por tto hor s trt d ccur u tgr ucho ás sc qu s trt d u tgr drct: s d - s s c 33 usttudo 33 3 obtos tgr cot: s c 34 dod s ogtud d od guos rcorrdo cotoro stdo cotrro s gus d ro sgut tgr rsovr srá qu rcorr tro 4 qu tdo cut 38 qud: d 35 D gu for qu co tgr tror susttuos 3 35 cougdo os téros dcudos tdo cut qu st cso coordd f s obtos: d 36 dod tdo cut cotoro qu os cotros: 37
25 ácuos dscusó d rsutdos 4 Rorddo téros 35 hcdo cácuos obtos: d 38 tgr rsovr s u rcd tror trtádos tbé d u tgr drct qu s rsuv fáct: d 7 s s 7 7s c 39 usttudo obtos rsó qu s buscb: 7 7 s c 3 o sto sóo os qud ccur dos tgrs ás r obtr Ests dos tgrs rsutrá u scs d ccur us s rsuv ráctct gu qu s trors otuos ccudo 3 qu s rcorr tro cu rsó s: - 3 d 3
26 ácuos dscusó d rsutdos 5 usttudo rsó 3 3 coo s h hcho co s tgrs trors tdo cut qu sgudo cso rsó db d str cougd qu coordd f s obtos: - 3 d 3 Pro st cso vor d s dfrt qu tgr us os ovos u tro d cotoro dfrt vr fgur 6 E st cso s tdrá: 7 33 D tods fors rsoucó d tgr 3 s gu qu 3 qu sóo s dfrc u sgo vor d s d dcdo Por tto s tdrá: 3 s c 34 Por úto qud ccur 4 tgr qu rcorr tro 3 rtr d qud: cu rsó 7-4 d 7 35 oo s h hcho s tgrs trors susttuos 3 35 cougdo os téros dcudos tdo cut qu coordd f st cso s Obtos u uv rsó: d 36 gu qu ts st cso vor d s dfrt qu tgr us os ovos u tro d cotoro dfrt vr fgur 6 E st cso s tdrá: 37
27 ácuos dscusó d rsutdos 6 rsoucó d tgr 36 s gu 36 svo or u sgo vor d or tto tgr qudrá: s c 38 o sto tos rsut rr rt d tgr qu tdo cut qu 3 4 tods s rsos dds or obtos rsó f sobr qu s tdrá qu hcr s rubs dcuds r vr s s rocos hchs so váds so to s tdrá qu rogrr d for ás fct osb Por tto s os fos tods s rsos sñds susttuos sfcos obtos: s c 7 7 s c 39 dod st cso s df sutát r odr scrbr rsó d for ás coct: 7 U vz ccud cotuos ccudo qu coo s h vsto trort 36 s df coo: - d dod rcordos qu d s to -éso d trz d dsrsó D dc rocd ctt gu qu co cutro tros 3 4 s dvd cotoro rctgur
28 ácuos dscusó d rsutdos 7 Pr scrbr s tgrs d cd uo d os cotoros rcorrros rctáguo stdo cotrro s gus d ro zdo or vr fgur 6 Por tto os qudrá: 7 - d 7 - d - d d 7 - d 7 d d d h h h3 h4 33 cotucó sos rsovr rr d sts tgrs h sobr tro vr fgur 6 r o hros uso d rsó dfd troduccó d st sccó 34 dod st cso cocrto s dbrá ccur vor d os rátros d vr fgur sí tgr ccur srá: P h - d d P d 33 Fg D fg odos trr os vors qu torá d rcó tr s coordds d uvo sst d rfrc sst d rfrc org h d tor uos d r qu tro sobr qu s ccu tgr st cotdo tott crcufrc d rdo R coo org d coordds d sst d rfrc org dod rsó 34 o s vd cocd co ctro d ost déctrco dod o stos hcdo studo o tdros
29 ácuos dscusó d rsutdos 8 robs s stdo Tos us d R r ccur vor d rdo d crcufrc os fos fgur obtos: R R s 33 dod s corrsod coordd f rscto sst d rfrc org tro : 7 Dsos R d rsó 33: s R 333 E ostrors sccos s dbrá hcr u studo r vrgur qu vor d s s ás dcudo r cosgur qu rror s o ás quño ufor osb todo tro Y sóo qud dtrr vor d rátro rcó tr os dos ssts d rfrc Obsrvdo fgur rsut sco dtrr qu trs qu s coordds crtss d uvo sst d rfrc rscto s d org s dduc fáct obsrvdo u vz ás fgur : R 334 U vz dducdos todos stos rátros s ud ccur tgr h oo rr so susttuos 3 33 tdo cut qu h qu cougr rsó cudo rocd qu str tro coordd s f gu qu coordd Obtos sgut tgr: h - d d P P d dod fádoos 334: 7 R 335
30 ácuos dscusó d rsutdos 9 Rorddo téros tdo cut 334 obtos: P P R h R d - d dod tgr rsovr rsut sr drct gu s rsuts trort todo rsutdo d tgr d 33 tdo rst 3 3 ft s t: P P R h R d s c 336 cotucó sos rsovr sgut tgr h dfd tro 4 Pr o dbos d vovr dducr tto os rátros d coo rcó tr s coordds d sst d rfrc org uvo sst d rfrc ustrdo fgur Fg
31 ácuos dscusó d rsutdos 3 rtr d obtos u rr rocó d tgr qu dbros ccur: 7 P h - d d d 7 P 337 Fádoos fgur dducos qu d R dod rdo d crcufrc st cso s: R R s 338 dod s corrsod coordd f rscto sst d rfrc org tro 4 : Dsos R d rsó 338: s R 339 gu qu cso tror sccos ostrors s dbrá hcr u studo r vrgur qu vor d s s ás dcudo r cosgur qu rror s o ás quño ufor osb 3 Por úto st cso coo s rc fgur s t trs qu s coordds d uvo sst d rfrc srá: R 34 Y stos rrdos r ccur h usttuos tdo cut qu h qu cougr rsó cudo rocd qu str tro 4 coordd s f gu qu coordd Obtos sgut tgr h 7 - d d 7 P P d
32 ácuos dscusó d rsutdos 3 Rcordos qu tos cut 34 s v qu: v dfds 3 3 dás s Rorddo susttudo téros: 34 R h d P P R d R dod tgr rsovr rsut sr drct coo cso d ts dás s gu u d s tgrs rsuts trort todo rsutdo d tgr d 39 ft s t: h 7 d P P 3 R 7 s c R 34 cur h 3 h 4 d h h rátros d rsutrá ás sco qu s odrá rutzr s rsos rsctvt D todos odos s csro dtrr tto os coo rcó tr s coordds d sst d rfrc org os uvos sst d rfrc cd cso Vos qu ocurr co h3 vst d fgur dducos qu d bs R vor d rdo d crcufrc srá: R R bs s 343 dod s corrsod coordd f rscto sst d rfrc org tro : 7
33 ácuos dscusó d rsutdos 3 Fg Dsos R d rsó 344: s R 345 bs E vor d s gu qu ts s studrá ás dt Por otro do obsrvdo fgur rsut sco dtrr qu trs qu s coordds crtss d uvo sst d rfrc rscto s d org s dduc fáct: R 346 Pr ccur tgr s or gu qu co h D st odo h 3 qud: h3 d P P R R s c 347 coros vos qu s dfrc or sgo or os rátros dducdos d fgur or vor d rsó 347 ú ud sfcrs d for:
34 ácuos dscusó d rsutdos 33 h3 d P P R R s c 348 Por úto qud ccur tgr h 4 sobr tro 3 E rr ugr gu qu s otrs ocsos dducros os rátros d fádoos fgur 3 t qu d bs R dod rdo d crcufrc st cso s: R R bs s 349 dod s corrsod coordd f rscto sst d rfrc org tro 3 : Dsos R d rsó 349: s R 35 E vor d s s studrá ás dt Fg3
35 ácuos dscusó d rsutdos 34 E vor d coo s v fgur 3 trs qu s coordds d uvo sst d rfrc srá: R 35 Y coocdos os rátros csros ccur tgr s gu qu co h D st odo 4 h qud: P P R h R d s c 35 coros vos qu s dfrc or sgo or os rátros dducdos or vor d Y coocos s rsos csrs r obtr u soucó d 4 3 h h h h os fos susttuos sfcos s obt: P P R R d s R c R P P R R d 7 7 s 3 R c R 353
36 ácuos dscusó d rsutdos 35 dod st cso s df sutát r odr scrbr rsó d for ás coct: 7 Por o tto qud dfd rtr d Itgr B tgr d qu os ocuros s: - o B g dc dod N N Pr ccur st tgr gu qu co s trors s dvd cotoro rctgur cutro tros 3 4 vr fgur 6 Rcordos qu os tros coordd s f or o tto tgr sóo v ddr d Ocurrrí d for rcd co 3 4 sr o coordd f ro s os fos rsó qu df g 3 3 vos qu r stos tros s u Por tto r st tgr sóo tdros qu rcorrr os dos tros os qu s vrb sdo dás su vor uo o o dddo d vor qu to tgr qudrá: B o - g d d B o - g B 355 dod B s tgr sobr tro rcorrdo stdo cotrro s gus d ro qu to vors o uos cudo [ ] B s tgr sobr tro qu to vors o uos cudo [ ] sdo úro d odos gudos cosdrdos guí
37 ácuos dscusó d rsutdos 36 E rr ugr rsovros B r o utzos cougd susttuos tdo cut qu coordd s f co vor 7 os qud: - d s b Z B dod rcordos qu os dos ccsos so gus or tto cd odo t s dc crctrístc os dos ccsos dás obsrvdo fgur 6 s ud dducr qu Rscrbdo rsó tror tos: - d s b Z B Rorddo téros obtos: - d s b Z B 356 Vos qu tgr qu os qud s u roducto tr u so u oc qu fctvt t soucó ítc Est to d tgrs s rsuv or rts hcdo uso d st rsoucó or rts dos vcs dsdo ugo tgr qu vuv rcr ro soucó rorddo téros s obt soucó vos: - d s s - cos d
38 ácuos dscusó d rsutdos 37 cdo cotucó sgud tgrcó or rt qud: s cos - d s Dsdo rsó d tgr tos: - d s s cos Por tto ft obtos sgut rsutdo: - d s s cos 3 357
39 ácuos dscusó d rsutdos 38 dod cbos d ccur tgr ft obtos: s - d 3 cos 359 Y susttudo s t qu: Z B 3 cos b 36 dod [ ] Est rsó rst u rob usto qu cudo vor d 3 s u dtrcó r soucor st covt ccuos ít d 3 cudo td or tto sgú udo rogros 359 dbros d tr cut st dt
40 ácuos dscusó d rsutdos 39 Psos rsovr B sobr tro r o utzos cougd susttuos tdo cut qu coordd s f ro st vz co 7 vor dás os dos ccsos so gus sgú fgur 6 co todo sto rorddo téros os qud: B Z - s d b tgr qu qud s u rcd tror sóo s dfrc or u sgo orqu ugr d rc st Por tto soucó srá: Z B 3 cos b 36 dod 3 t s rsó qu 358 ro co ugr d [ ] udo vor d 3 s u dtrcó qu s souco coo cso tror Obtos ógct so rsutdo qu 36 ro co ugr d oocds tos soucó r B B B B * Z b 3 Z b 3 cos cos [ ] [ ] Dod s cosdr
41 ácuos dscusó d rsutdos 4 34 Itgr Est tgr s rr vst ás cocd qu rc fucos d Bss k drvds rscto d : d - s! d ] o cos g dc Pr vtr tr qu ccur drvds rscto d utzros rg d cd r obtr u uv rsó quvt tror ro ás sc bos qu st rsó rov d or cotudd d co gétco cotoro rctgur or tto s drvds rc coo coscuc d utzr u d s cucos d w r obtr co gétco 9 Utzdo rg d cd odos scrbr d sgut for: r r E µ ˆ µ Ez ˆ Ez 364 Y usto qu o qu buscos s coot ŷ d co gétco coo s vo sccos trors s roct r sobr drccó ŷ sí tdo cut qu: odos scrbr r ˆ cos s ˆ cosˆ sˆ ˆ sˆ cosˆ d sgut for: r ˆ s µ Ez s cos E z cos Ez s µ cos Ez µ Ez 365
42 ácuos dscusó d rsutdos 4 dod usto qu s fucos d Bss k rov d os odos cídrcos rsó r E s: z E z N d N or tto sgú dsrroo hcho sccos trors tgr rsovr s rduc : - o d g dc µ 366 * o dod g st dfdo 49 N N Pr qu rsut ás sco rocso d rsoucó vos srr st tgr su d otrs dos: o o - g dc - d g dc µ µ E rr ugr rsovros Pr o coo s h hcho s tgrs trors rcorros curv 3 4 vr fgur 6 stdo cotrro s gus d ro zdo or os qud: o - g d µ µ 7 o - g 7 µ o - g µ 7 o - g 7 d d d Dbdo ro dfcó d r crtos vors d o * g s tgrs 3 tdrá vors uos
43 ácuos dscusó d rsutdos 4 Psos rsovr usttuos 3 drvos rsó rscto susttuos tbé 49 utzos su vz 5 cotucó usto qu os cotros tro fos coordd co o qu tgr sóo ddrá d Tdo cut qu os dos ccsos so gus qu vr fgur 6 rorddo téros qud: Z! b - s d dod 7 [ ] qu sí s df o * g r 49 tgr qu s h d rsovr s cs gu rsut r B 359 sóo cb qu st cso oc s cougd ud rovchr dsrroo hcho trort qu s costts dfds tdrí so vor strí cbd d sgo st cso Por tto rsó susttudo tgr or su soucó qudrí:! Z b 3 cos 368 dod o ovdos qu sóo t vors o uos r [ ] cudo rc u dtrcó qu s souco coo 36 Y dás Pr ccur tgr sobr tro 4 s db tr cut qu su rsó vrrá grt dddo d vor qu to dbdo for qu stá dfd o * vors usttuos 3 tbé o * g rco ros ás dt tzros sus drvos rsó rscto susttuos g or rsó dcud d 49 rcorddo qu 7
44 ácuos dscusó d rsutdos 43 cotucó usto qu os cotros tro 4 fos coordd co o qu tgr sóo ddrá d fcdo rorddo téros qud: s d! 7 7 dod tgr s rcd s trors rsuts or rts uqu h qu tr cut qu dtro d so s rst u téro cotr d o qu ocurrí s tgrs trors sto cbrá s coss cudo s susttu os íts d tgrcó D todos odos s sco gr rsó f d sfcd: 7 3 cos! dod dddo d vor qu to rsó vrrá u oco [ ] rsó o cb ro s [ ] rsó vrrá sdo Pr rsovr 3 4 sobr os cotoros 3 rsctvt rocso s gu qu sgudo hst hor susttu 3 s rsos s drv rscto susttuos tbé rsó d g corrsodt cd cso E cso d 3 usto qu os cotros tro fos coordd co o qu tgr sóo ddrá d dás os dos ccsos so gus vr fgur 6 Rordos téros qud: o * Z 3! b - s d
45 ácuos dscusó d rsutdos 44 dod 7 [ ] qu sí s df o * g r 49 Ft tgr qudrá: 3! Z b 3 cos 37 Por otro do 4 s ráctct gu qu s rsos qu qud so s ss ro cbds d sgo co Por tto ft tdros: cos! 7 37 dod gu qu ts dddo d vor qu to rsó vrrá u oco [ ] rsó o cb ro s [ ] rsó vrrá sdo Rcordos qu todos os csos 3 cudo s u dtrcó qu s souco coo 36 Ft obtos: * [ ] [ ] dod s rsos stá dfds usttuos sts rsos obtos soucó ítc d tgr
46 ácuos dscusó d rsutdos 45 [ ] [ ] * b Z b Z cos cos cos cos !! 37 dod 7 otuos rsovdo Pr o coo s h hcho s tgrs trors rcorros curv 4 3 vr fgur 6 stdo cotrro s gus d ro zdo or : - d g d µ o d g d µ o - d g d µ o h h h h d g d µ o 373 Dbdo ro dfcó d * o g s tgrs h 3 h tdrá vors uos r crtos vors d
47 ácuos dscusó d rsutdos 46 Prro rsovos h usttuos 34 h : - P o h d d g µ P d os vors d os rátros d s ud dtrr gu qu s hzo obsrvdo fgur qu os cotros tro sí d R dod R v dfd or 333 E cuto s coordds d uvo sst d rfrc R usttuos 3 drvos rsó rscto : P h - d d µ P R o g d usttuos tbé 49 utzos su vz 5 cotucó usto qu os cotros tro fos coordd co o qu tgr sóo ddrá d Tdo cut qu os dos ccsos so gus qu vr fgur 6 rorddo téros qud: h Z P d d! b P R s d -
48 ácuos dscusó d rsutdos 47 Est tgr s rsovó trort : h! Z P d d b P R 3 cos 374 dod o ovdos qu t vors o uos r [ ] 7 cuos hor h tgr sobr tro 4 gu qu su rsó vrrá grt dddo d vor qu to dbdo for qu stá o * dfd g guos so rocso qu co h usto qu os cotros tro 4 tgr sóo ddrá d vdo fgur dducos qu 3 d R dod R stá dfdo 339 sgú uvo sst d rfrc R fcdo rorddo téros qud: h! P 3 d d P R 7 s d dod st tgr s rsovó 369 or tto qud: h! P 3 d d P R cos 375 dod dddo d vor qu to rsó vrrá u oco [ ] rsó o cb ro s [ ] rsó vrrá sdo
49 ácuos dscusó d rsutdos 48 tgr h3 s ráctct gu h b sgo d dfrc vor d os rátros cbo d sst d rfrc drvdos d utzr 34 rgo d qu tgr s o u D fgur us st tgr s sobr tos qu d bs R dod vor d R v ddo or 345 s coordds d uvo sst d rfrc rscto org so R soucó tgr qud: h3! P Z d d b P R 3 cos 376 dod o ovdos qu t vors o uos r [ ] 7 Por úto tgr h4 s dfrc d h sgo qu to dfrc vor d or os uvos rátros cbo d sst d rfrc drvdos d uso d rsó 34 Est tgr sóo ddrá d usto qu os cotros tro 3 D fgur 3 tros qu d bs R dod R v ddo or 35 s coordds d uvo sst d rfrc rscto sst d rfrc org so R : h4! P d d P R cos 377 dod dddo d vor qu to rsó vrrá u oco [ ] rsó o cb ro s [ ] rsó vrrá sdo Rcordos qu todos sts tgrs cudo or tto 3 s u dtrcó qu s souco todo ít coo s ustr 36
50 ácuos dscusó d rsutdos 49 Ft sóo qud obtr : * h h h h h h [ ] [ ] dod s rsos stá dfds [ ] [ ] * b Z d d b Z d d R R R P P R R R P P cos cos cos cos !! 378 dod st cso s df sutát r odr scrbr rsó d for ás coct: 7 Por o tto qud dfd rtr d
51 ácuos dscusó d rsutdos 5 35 Itgr Est tgr s d for: - o o g Y g dc * o o dod g g v dfds sgú Pr ccur st tgr gu qu co s trors s dvd cotoro rctgur cutro tros 3 4 vr fgur 6 Rcordos qu os tros coordd s f or o tto tgr sóo v ddr d oo ocurrí co B tgr sobr 3 4 s os fos rsó qu df g o 3 3 s u Por tto r st tgr sóo tdros qu rcorrr os dos tros os qu s vrb sdo dás su vor uo o o dddo d vor qu to tgr qudrá: Y o o - g g d o o g g d Y dod s tgr sobr tro rcorrdo stdo cotrro s gus d ro qu to vors o uos cudo [ ] [ ] trs qu s tgr sobr tro qu to vors o uos cudo [ ] [ ] sdo úro d odos gudos cosdrdos guí o Rsovos rr ugr Pr o susttuos g qu so to utz 5 tgr rsovr s: o * g or 3 49 Y Z Z - s b b s d dod tdo cut qu os dos ccsos so gus qu sfcdo rorddo téros obtos: vr fgur 6
52 ácuos dscusó d rsutdos 5 Z Z b Y - d s s tgr qu os qud r ccur s u sc s trt d u roducto d fucos trgooétrcs qu s rsuv d for drct: - d s s - cos cos d s s s s s s s s c c 38 Y or tto: s s c c Z Z b Y c Z Z b Y s dod s ud vr fáct qu st tgr sóo torá vors o uos cudo
53 ácuos dscusó d rsutdos 5 Ft soucó srá: [ ] * Z b Y 38 Por otr rt rsoucó d s ráctct gu d vos: - d g g Y o o gu qu ts susttudo o g * o g or 3 49 qu utz su vz 5 rcorddo qu coo st tgr s sobr tos qu [ ] [ ] : - d s s Z Z b Y Vos qu tgr s ráctct s quddo ft: c Z Z b Y s Y or tto: [ ] * Z b Y 38 bos qu Z Y b qu suoos qu guí co qu stos trbdo stá orzd susttudo 36 tdo cut 38 38: * 383
54 ácuos dscusó d rsutdos áss d rsutdos corcó co soucó uérc 33 Itroduccó Pr vrgur s s rsos trors v roorcor vors sufctt crcos soucó ct s v cur os rqustos tors qu s busc ccuros soucó uérc d s rsos obtds corros dchos rsutdos ccudo rror cotdo dbdo s rocos rzds cost tor qu t cd u d s fors d rsoucó d rob E rr ugr s corrá s tgrs sobr u soo tro utzdo tro or o r o srá csro fr vor d [ ] cotucó s corrá rsó cot d s tgrs o rgo d todo cotoro tdo ú u vor d [ ] fo Ft s ccurá trz cot s corrá sobrtodo cost tor rscto trz obtd utzdo étodos uércos U vz obtds tods s trcs csrs s srá ccur trz d dsrsó grzd Pr sgurros d qu s obt u rsutdo corrcto d s dbrá studr codcoto d s trcs cso d obtr rsutdos gtvos s ud studr osbdd d soucor rob dt ccuo d otro couto d tgrs E vor qu s drá chur d guí rtr d hor srá 9 5 E dátro d ost crcur srá 6 os tros sobr os qu tgros ros tdrá u dd d 7 dás toros u vor d 9 d dod odros obtr frcuc qu stos trbdo dás r hcr todos stos cácuos s dbrá dtrr vor d guos rátros qu sccos trors o s scfcro us torá vor qu hg qu rror tr s rsos ccuds ítct rsoucó co étodos uércos s í Estos rátros so or o d rsó 3 cd u d s tgrs s qu s utz P d 34 qu coo vros s qu ás coccos drá s d s fgurs 3 qu s cst r obtr R tc E gu qu s utzrá r rogrr s tgrs csrs odr rzr s corcos oortus srá tb oo s h dcdo s tdrá qu utzr u étodo uérco E rco s utzrá u fucó tr d tb qu vú uérct tgrs dfds utzdo étodo d Nwto-ots dttvo d ord 8 st fucó s qud8 E guos csos st étodo cz v ít d rcursó dddo d vor d [ ] co o qu r obtr u rsutdo ás fb s utzrá u étodo rogrdo qu vú tgrs dfds utzdo so dttvo
55 ácuos dscusó d rsutdos 54 U vz sñdo todo sto sos corr os rsutdos zdo or trz us s qu ás coccos drá usto qu s trcs B so scs co trz s tdrá ráctct os sos robs qu os ocsodos or trz 33 trz Pr odr dtrr co or fcdd vor d os rátros qu os ft or scfcr r hcr qu rror s ío vovos srr tgr dos rts coo s hzo 36 E rr ugr studros oo s hzo trort 37 s dvd su d cutro tgrs cd u dd sobr uo d os tros qu cofor cotoro rctgur Estudros o qu ocurr co tgr dfd sobr cotoro vr fgur 6 u vz dfdos os rátros csros grzros sobr tod tgr r vr s s obt os rsutdos dsdos Rcordos rsó d st tgr dfd 36 qu srá o qu s rsovrá uérct: - d soucó ítc d st tgr dfd 34 qudb: s c dod ft dtrr vor qu db tor r qu sr covr Rcordos tbé qu st sr rc ddo qu s utz u rsó co qu s ro os roductos d Bss fucos trgooétrcs or u sr d fucos ocs dfd 3 s: D st rsó obtdros vor d dcudo Pr o rzos us gráfcs dod s rs vor bsouto cotdo rscto úro d ods s qu s cosdr só oo vor d ddrá d vor d dbuos gráfcs r dfrts vors d Obsrvdo fgur 4 vos qu cuto or s vor d s cst u or r gr covrgc Vos tor u vor d 45
56 ácuos dscusó d rsutdos 55 Error Error Error Error Fg 4 U vz dtrdo qu vor torá s ud sr corr os rsutdos obtdos co rsó vud uérct obtd ítct oros rr ugr qu s co tgr sobr tro s toos or o [ ] [ 55] rror bsouto cotdo s d ord d 4 trs qu rror rtvo coct tr rror bsouto vor uérco s 9 d ord d vdos st cso or cotr tgr fucos d Bss os rsutdos so ráctct bos csos or tto rror bsouto s u quño trs qu rtvo s or ro coo vor d tgr s ráctct sto o s t cut E rror obtdo s quño or tto vádo Pr [ ] sos vur tgr cot 39 sobr todo cotoro tdros qu vor d todos os tros srá so qu ccudo r tro usto qu s rsos rocos hchs todos os tros so 4 s ss Pr [ ] [ 45] rror bsouto obtdo s d ord d trs 9 qu rtvo s d do stos rrors vádos b otr qu r [ ] vds ocurr o so qu ts qu r uchos vors d [ ] vor d tgr s u
57 ácuos dscusó d rsutdos 56 Por otro do tbé trs vr cost coutco d cd uo d os étodos d rsoucó rsoucó uérc suo u to d rodt 5 sgudos trs qu ítc co 45 cst u to d 8 sgudos co 3 to s d rodt 9 sgudos Vos qu r [ ] quñs to orrí us s cst u vor d or ro coo vor d h d sr úco r ccur trz s h d tor 45 co o qu os tos or D todos odos hor d ccur trz ítct s ud rovchr uchos cácuos rdudts co o qu s osb qu cost coutco tor csro r ccur d for ítc or rscto soucó uérc qu o s osb rovchr gú ccuo to tot d cácuo d trz srá su d tos d cd uo d sus coots Psos studr s rsos obtds co gu qu ts rr ugr os ctrros tgr sobr tro cu rsó t st for: h - d d Est tgr s qu s vurá uérct trs qu tgr rsut ítct s sgú 336: h d P P d s c R dod rcordos qu ft scfcr vor d R P E vor d ddrá d vor qu to P us rátro v d utzr só d ods s d qu rc coo coscuc d susttur 34 rsó d tgr d h sgú studo qu s cb d hcr d covrgc d rsó 3 vor d srá tto ás grd cuto ors vors s cc d Por otro do P ddrá su vz d vor qu to R us coo s có P R Ddo todo sto dducros R P coutt Pr dtrr stos rátros vuros rror qu s cot rsó 34 utzd r ror os odos cídrcos dsrsdos rrstdos or fucos d k ocs or u su d odos
58 ácuos dscusó d rsutdos 57 cídrcos cdts rrstdos or fucos d Bss ocs dás sustturos 3 rsó qud d for: P d P 4 E vor d R tro qu stos hcdo u rr studo sgú 333 t st rsó: R s 7 dod h qu dtrr cuto v s vr fgur r cotr u rror o ás quño osb Por otro do P R s dcr P QR co rdodo hc rrb sdo Q u vor r or cuo vor tbé h d dtrrs dás s db tr cut qué vor áo s d P r qu o s cc u vor d dsdo vdo usto qu sto covrí u cost coutco tor ors Ddo todo o usto s db cotrr vors d s Q dcudos r qu sutoro d P covr d rrors quños ro so to s db d tr cut qu stos rátros o h d roorcor vors d P dsdo vdos r o dsrr cost coutco d soucó E rr ugr studros qué vor áo db d tor P Pr o os fos rsó 4 vuos rror qu s cot r u crto téro d sutoro d P susttur roducto d s fucos d Bss ocs or rsó 3 d st odo stos vudo rror d: d d 4 dod to u vor fo usto qu stos tro s t qu d R Pusto qu vor d R ú o s h dtrdo st cso o ccuros todo s 7 d tods fors ord d rror qu s cot o v ddr furtt d st rátro or tto toos d R
59 ácuos dscusó d rsutdos 58 rtr d st rsó cstos vr r qué vor qu to s dsdo vdo ostruos us gráfcs cd u r u vor fo d qu os ustr rror bsouto qu s cot rsó 4 r u vor d fucó d r dfrts E rsutdo s ustr fgur 5 oo s ud rcr rob r o s qu cc vors dsdo grds r gr covrgc s o qu ú czd covrgc rror qu s cot co rocó hch utzdo 3 sobr 34 s or cudo cz vors ors 5 rodt rror 6 rror rror 5 5 rror Fg 5 Por tto s s to vors d P vdos rsó 4 cd téro d sutoro d strá ñddo u rror qu ddo o usto os rros útos téros dod vor bsouto d s vdo st rror srá vdo zos rob s ud dducr orqué rsó 4 rror s tto ás vdo cuto P s or cotrro d o qu cbrí srr qu or P dbrí d czrs covrgc sgú 34 Esto s dbdo couto ddo or susttucó qu s hc d or su só sr d ods
60 ácuos dscusó d rsutdos 59 s fucó d k or qu s utc st rsó E rob stá qu cudo hcos st susttucó téros d sutoro co vds roducto d fucó d k or oc d to vors rt vdos or tto rror qu s cot susttur or sr d ods s uqu rdd s quño s utc or u úro d ord ucho or ddo ugr u téro qu troduc u rror or dtro d sutoro Por so s gráfcs co grd t rror vdo cuso co vors d r os qu s h czdo covrgc Por tto r vtr rrors vdos dbdos st rob tros vor P 5 fádoos gráfc d fgur 5 dod 5 us s sutoro czrá coo áo st vor toros coo ío 5 U vz s h dducdo vor áo d P sos vrgur qué vors db d tr os rátros ts ctdos s Q or tto R Pr drs uos vors ótos s costru us gráfcs dod s vú rror bsouto cotdo rsó 34 qu rcordos: P P d 34 s gráfcs qu s ustr fgur 6 rrst rror bsouto cotdo st rsó todo cotoro s dcr todo u qu s dod stos hcdo st rr studo d gráfc rrst u Q f cd coor u s dfrt dás tbé cb sñr qu r Q 5 vor d P s t or dbo d 5 r cuqur vor d s s Q 3 sóo to vors ors 5 r s s Q 4 s o so qu cso tror sóo to vors ors 5 r s os ros studr os rsutdos ostrdos gráfcs odos vr qu t stdo us r u Q fo ors vors d s or tto ors vors d R rror os bords s or usto qu ár dfd or crcufrc d rdo R dod s vád rocó hch 34 s ás os bords suror fror d tros stá ás dos d or tto d frotr ít stá ás Por otro do tbé s obsrv qu ctro d tro rror cotdo s or qu r vors d s ors dbdo qu ctro d crcufrc sr rdo or stá ás do d ctro d tro qu s stá studdo or tto stá ás do d zo d ár d crcuo dod dch rsó t rrors ors s stud o qu s cudo cosdros u s fo vos qu coo r d srr r u vor d Q or rror s or usto qu or dfcó
61 ácuos dscusó d rsutdos 6 P QR or tto tbé P s or toádos d st odo ás téros d sutoro utdo covrgc sr tdo cut qu o s db surr vor d P áo dfdo trort rror - rror - s6 s6 - s7 - s7-3 s -3 s coordd coordd Q5 Q3 rror s6 s7-4 s coordd Q4 Fg 6 Tdo cut todos stos dtos vos tor u vor d Q 3 qu s su vor fur 5 rror srí u oco dsdo to s fur d 4 uqu P o gu vr 5 r guos vors d s cz vors crcos cost coutco utrí dsdo cbo d or qu ofrc st soucó E cuto vor d s s os fos gráfc co Q 3 toros s 7 us s u soucó trd dod rror tr ctro os bords d tro stá ás cosdos qu co s otrs dos soucos co stos dos vors P 5 Rcodo dtos os qud: Q 3 s 7 P
62 ácuos dscusó d rsutdos 6 o stos vors odos gr qu rror r ud sr ctb ro o sbos qu ud sr r ors Pr studr qu s costruos otro couto d gráfcs qu s cutr fgur 7 dod s ustr rror rtvo qu s cot rsó 34 u ár dtrd tr R r dfrts vors d [ ] oo s rc s gráfcs rror ut d for u rád co us sóo hc ft vr os rrors qu s cz co cuso hbdo utzdo u vor d Q 5 s 9 qu os d u vor d P 38 o cu tbé fu hcho d qu rror s t vdo E rdd sto o rstrá u gr rob usto qu r vors vdos d os tos dgos d trz d dsrsó D s hc uos or tto sr d tgr tbé s u Vos rtr d qué vors d os d s u 3 5 Fg 7
63 ácuos dscusó d rsutdos 6 or dc qu: r c d 44 > dod r c s rdo d cdro ustro cso ost táco or tto hcdo cácuos obtos: r c r r c c 45 bos qu 5 toos coo or cso tos: co o qu 3 r c Por tto vdo fgur 7 s obsrv qu rror qu s cot o s t vdo udo vuos tgr vros qu rsutdos s obt óo ft dcdr qu vor d d s corrcto oo s h sñdo trort d R co os vors dfdos troduccó s obt fctvt coo hbíos suusto qu d R hor stos codcos d ccur rror qu s cot vur tgr sobr tro d s dos fors usts t qu rror bsouto 4 r [ ] [ 43] s d ord d trs qu rror rtvo s d dbdo sobrtodo rt gr usto qu rt r rror rtvo s d ord 9 d cotucó vos sgur so rocso qu s h sgudo co h r vr qu ocurr co h tgr sobr cotoro 4 Pr o rcordos cu s rsó qu s vurá uérct dfd 33: 7 h - d d 7 trs qu rsó ítc obtd trort dfd 34 s:
64 ácuos dscusó d rsutdos 63 h 7 d P P d 3 R 7 s c 34 dod rcordos qu gu qu co tgr tror ft scfcr vor d R P E st cso usto qu s h hcho s ss rocos qu s vsts tgr tror os frtos so rob co dfrc d qu vor d R sgú 339 s dfrt tror: R s dod E studo r dtrr vor áo d P s so qu s h hcho trort or tto P 5 hor ft vrgur qu vors d s Q so os dcudos Y usto qu P QR dtrr cotucó vor d P Pr vrgur os vors d s Q gu qu ts costruos us gráfcs qu s rrst fgur 8 qu rrst rror bsouto cotdo todo cotoro 4 s dcr todo d gráfc rrst u Q f cd coor u s dfrt dás tbé cb sñr qu tto r Q 5 coo Q 3 vor d P s t or dbo d 5 r cuqur vor d s sdo stos vors grt surors r Q 3 os fos s gráfcs s ud obsrvr qu st cso os vors d s Q ud sr ors obtdo rrors ctbs todos os csos uqu u dfrts d os bords ctro Esto s dbdo qu os tros co coordd f so ás cortos qu os qu t coordds fs or tto usto qu 4 rtc os rros sto rt qu ár d crcufrc cst brcr os sco qu cso d or tto ctro d crcufrc sr strá ás crc d tro qu s stud dás co qu s obsrv r s 5 coordd s dbdo qu ctro d crcufrc d rdo R cocd ctt co st uto
65 ácuos dscusó d rsutdos 64 Por tto s odrí scogr vors qu hcr qu P fur or obtd r tro ro ddo qu r ccur tgr cot dbos tor u vor úco r stos rátros toros s 7 Q 3 rror - rror s7-6 s7-8 s6-8 s s5-4 s Q5 Q3 Fg 8 dás usto qu vor d R or tto d P tbé db d sr úcos s dbrá d scogr or cso d odo qu R torá vor qu tob r tgr d rr tro ccudo vz d vor qu dbrí tor sgú rsó dfd or 339 st tro Rcodo os qud: Q 3 s 7 P Todo o usto hst s h hcho cosdrdo r vors d ors ocurr o so qu tgr tror co o qu sóo s cosdrrá st tgr r 3 sgú 46 Ft dcdr qu vor d d s corrcto oo s h sñdo trort d R r vtr qu ctro d crcufrc cg dtro d guí co os vors dfdos troduccó s obt fctvt qu d R Psos ccur rror qu s cot vur tgr sobr tro 4 d s dos fors usts t qu rror bsouto r [ ] [ 43] s d ord 6 d 3 trs qu rror rtvo s d Efctvt s v qu os rrors so go ors qu cso tror Pr s tgrs h 3 h 4 tdríos ctt os sos rzotos os rátros qu s obtdrí srí os sos
66 ácuos dscusó d rsutdos 65 Y stos codcos d vur r tgr [ ] [ 45] cot 353 Pr 4 rror bsouto obtdo s d ord d trs qu rtvo s d b otr qu r vds tgr s u ddo o qu s h usto trort rscto os dfrts vors d d qu r vors vdos d tgr tbé s hc u quñ Y tos os rsutdos d Y or tto vos corr os rrors cotdos vur tgr d for uérc ítc E rror bsouto qu 5 s obt r [ ] [ 43] s d ord d 3 trs qu rtvo s d os vors obtdos so ctbs E cuto cost tor tos qu uérct to qu s r rzr os cácuos s d rodt 5 sgudos trs qu s s utz rsó ítc utzd r ccur st tgr s d 5 sgudos ro s h d tr cut qu ddo qu st tgr suo u so trdo r ccur trz cot o s h otzdo úro d orcos robbt cudo s ccu trz s odrá orr stos tos Dcho sto sos studr costruccó d u rogr qu ccu trz otzdo cuto cost tor Pr o s rovch tods s orcos cous qu t sobrtodo s ot uso d trcs vctors qu ofrc tb D s rsos d dfds rsctvt s obsrv qu h uchos téros coú sobrtodo s ocs s sc Pr rducr cost tor áo s ccu os coo vctors or tto s or co os for d vctor st hcho rt su vz odr ccur s sc s csdd d bucs usto qu sóo s csro covrtr os trcs dod sus fs o cous s rt sgú covg Esto s cosgu utcdo dcudt vctor o qu s rcs or vctors f o cou sgú covg os d uos dás utzdo roducto d trcs cobdo dcudt s trcs qu stá voucrds s ud r uo d os trs bucs qu suodrí os trs sutoros quddo rogr rducdo dos bucs qu cot orcos co trcs scs usto qu todo quo qu o dd d s vrbs qu df buc s ccu trort os ugo fur d os bucs s cbrí d utcr or s costts oortus rt s utz tbé u buc sco ur r ccur guos vors d ocs qu tbé s h d tr cut qu os vors d [ ] hor o so fos tbé to u sr d vors r forr trz or tto s dfrá coo vctors tbé Otr for d gzr cácuos s tr cut qu trz s u r vors d ors 3 co o qu d st for s rduc tño d uchs trcs qu trv cácuos
67 ácuos dscusó d rsutdos 66 Tdo cut todo sto os rsutdos tors qu obtos so frct buos sdo or o r 5 N cost tor rodt s d 5 sgudos No ovdos qu [ N N ] [ N N ] or tto stríos hbdo d u trz d [ 4 4] s dcr d 68 tos qu so tgrs sos 68 tos os ccuásos uérct to scdrí sgudos s dcr rodt 7 utos hor ft vur s rstcos d st trz vor dcudo d N r obtr trz d dsrsó grzd corrct os rrors cotdos cd to d trz srí rodt gus os ustos trort fo Ests rstcos s vurá sccos ostrors r u [ ] 333 trz B Est trz rsut ucho ás sc qu tror us o s csro dtrr ttos rátros dcos E st cso sóo cstos coocr qué vor d s dcudo Pr st tgr o hc ft vur rr ugr coo rub rror cotdo uo d os tros us s os fos su dfcó 355 sóo to vors dfrts d dos tros dddo d vor qu to vor d tgr tot srá o tgr sobr uo d os dos tros o sobr otro tro uádos tgr sobr todos os dás Rcordos s rsos Por u do stá rsó qu s rsovrá uérct qu s: B * Z b Z b - - s s d [ ] d [ ] trs qu rsó ítc qu h d rogrrs s dfd Rcordos qu r rogrr 363 s db d tr cut qu téro d sutoro co t u trto sc usto qu s s rogr coo rsto d téros dvrgrá Por tto s h d dr u vor tdo cut rsó 36 Pr o coo trbos co vctors s h d tr cuddo dr vor dcudo rr to d vctor Pr ccur tgr ítc ts h d frs u vor qu vdo s gráfcs d fgur 4 toros 5
68 ácuos dscusó d rsutdos 67 or o rror bsouto s d ord d 9 trs qu rror rtvo s d ord d os rrors qu obtos stá u b Por otro do os tos utzdos r hcr os cácuos tto uérct coo ítct so ráctct d ord d sgudos coros os rsutdos obtdos r [ ] [ 43] Psos hor vur os tos obtdos co trz B cot Pr zr cácuos s rovch todos os téros qu s rt rsó 363 dás coo s hzo co trz s ot tods s osbdds qu ofrc cácuo co vctors rcs sto vtos utzr gú buc ro h qu tr cuddo co todo o rcodo co téro r qu o cus gu dtrcó sto s souco dfdo dcudt todos os vctors dás rogr rzdo t cut osbdd d qu tto s s or coo s or cotrro o s E torí sr os dos ccsos gus tbé o srí Probos rogr co or o 5 N vos suor qu usto qu os dos ccsos so gus E cost tor rodt s d 6 sgudos No ovdos qu [ N N ] [ ] or tto stríos hbdo d u trz d [ 4 ] s dcr d 4 tos qu so tgrs sos 4 tos os ccuásos uérct to scdrí 4 4 sgudos or d cost tor tbé stá b Ft vur s rstcos d st trz vor d N d dcudos os rrors cotdos cd to d trz srí rodt gus os ustos trort r u [ ] fo Ests rstcos s vurá sccos ostrors 334 trz o st trz os vos cotrr os sos robs qu co rsó qu s vurá d st tgr d for uérc s d for: d - s! d ] o cos g dc 49 dod o g ddrá d cotoro qu cos tgr
69 ácuos dscusó d rsutdos 68 Pr ccur st tgr co tb susttuos s fucos d Bss k drvds or s rsos quvts qu s dt cotucó: 4 rsó qu s h d vur uérct ft srá: d - s! d cos o g dc 4 Por otro do rcordos qu r obtr soucó ítc s hc uso d rg d cd or tto tgr qu qud r rsovr s ucho ás sc soucó ítc s su d s rsos Vos qu os rátros qu s h d dtrr sus tcos so os sos qu cso d us rov d s ss rsos susttucos D st odo s t: Q 3 s 7 P 5 5 dod todos os rátros s df d gu for qu hst hor dás rsó tbé rc rob d B téro d sutoro qu Pr rsovr rob s h d tr cut 36 cudo s rogr tr cuddo d dr vor dcudo rr to d os vctors os qu rtc o todo o sñdo o s csro rtr vucó r cd rt d tgr cd uo d os tros usto qu tgr s zc tr B rr rt d tgr s u rcd rr rt d svo or u costt grcs rg d cd qu rov d drvr rscto vr trs qu sgud rt d tgr s coo rr
70 ácuos dscusó d rsutdos 69 rt d B t todos os robs drvdos d co surt d tr u sutoro os or otro do tgr f rsovr cd uo d os tros s d so to qu B u tgr drct or rts udo rogros tgr h qu tr cut qu dddo d vor d guos tros tgr s u o o dás rogr rzdo t cut osbdd d qu tto s s or coo s or cotrro o s E torí sr os dos ccsos gus tbé o srí Psos us vur qué ocurr co rror cost coutco co os dos rocdtos r tgr cot sobr todo cotoro rctgur cor os rsutdos obtdos r [ ] [ 43] or o rror bsouto s 3 d ord d trs qu rror rtvo s d ord d os rrors qu obtos so ctbs Por otro do s zos os tos utzdos r hcr os cácuos d for uérc to s d 5 sgudos trs qu ítct to s d rodt Pr rogrr trz cot zdo cácuos s rovch todos os téros qu s rt s rsos ts coo s ocs cous s costts 3 s soucos s tgrs rducds qu s rt dchs rsos dás coo s hzo co s otrs trcs s ot tods s osbdds qu ofrc cácuo co vctors rcs sto sóo s cst utzr u buc qu rrst sutoro d us otro sutoro s souco utzdo ccdd d cácuo co vctors qu t tb Est buc or tto t qu vr co rt d tgr rrstd or fucó d k qu coo s h dcdo trort sóo to vors dfrts d r 3 or tto s trcs co s qu s trb buc o so d gr tño Rcordos qu dás h qu tr cuddo co todo o rcodo co téro r qu o cus gu dtrcó utccó tr 3 sto s souco dfdo dcudt todos os vctors Vos qu rsutdos obtos rogrr trz cot suo or o 5 N qu usto qu os dos ccsos so gus E cost tor rodt s d sgudos No ovdos qu [ ] [ N N ] or tto stríos hbdo d u trz d [ 4] s dcr d 4 tos qu so tgrs sos 4 tos os ccuásos uérct to scdrí sgudos s dcr 7 utos rodt or d cost tor stá u b Ft vur s rstcos d st trz vor d N d dcudos os rrors cotdos cd to d trz srí rodt gus os ustos trort r u [ ] fo Ests rstcos s vurá ostrort
71 ácuos dscusó d rsutdos trz Est s trz ás sc No s csro dtrr gú rátro dco t squr qu o cot gú sutoro Pr st tgr o hc ft vur rr ugr rror cotdo uo d os tros us s os fos su dfcó 379 sóo to vors dfrts d dos tros dddo d vor qu to tgr tot srá o tgr sobr uo d os dos tros o sobr otro tro uádos tgr sobr todos os dás Por u do stá rsó qu s rsovrá uérct qu s: * Y Y b Z b Z Z - s Z - s d s [ ] [ ] s d [ ] [ ] 4 trs qu rsó ítc qu h d rogrrs s u sc stá dfd 383 or o rror 4 bsouto s d ord d 6 trs qu rror rtvo s d ord d os rrors qu obtos stá u b Por otro do os tos utzdos r hcr os cácuos tto uérct coo ítct so ráctct coros os rsutdos obtdos r [ ] [ 33] Psos hor vur os tos obtdos co trz cot Est trz s u sc d rogrr us s trt d u trz dgo co os téros costts gus dás rogr rzdo t cut osbdd d qu tto s s or coo s or cotrro o s E torí sr os dos ccsos gus tbé o srí
72 ácuos dscusó d rsutdos 7 Probos rogr co or o vos suor qu usto qu os dos ccsos so gus E cost tor rodt uo No ovdos qu [ ] [ ] or tto stríos hbdo d u trz d [ ] s dcr d tos qu so tgrs s s ccu trz d for uérc D todos odos to qu s utz s hcos os cácuos uérct tbé s ráctct Ft vur s rstcos d st trz vor d dcudo os rrors cotdos cd to d trz srí rodt gus os ustos trort r u [ ] fo Ests rstcos s vurá cotucó 336 trz Pr ccur trz d dsrsó grz s utz rsó 6 qu rcordos qu s: B B Es csro vrtr trz or tto srá trst studr su codcoto s u trz cudrd d tño N N Pr vr su o bu codcoto s ccu su úro d codcó cuto or s su vor or codcod strá trz ostruos u gráfc qu ustr úro d codcó fucó d N Est gráfc stá rrstd fgur 9 cod N Fg9
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MODLO D MÓR (or y pro) * PLN IN MÓR * MODLO MÓR NO BORBN * MODLO MÓR ON BORIÓN LIV * BLN D RDIIÓN N L IRR (PROMDIO) * JRIIO * LGUNO PROBLM D XMN RULO * PLN IN MÓR Ddd d po (W - ) Irrd, W ujo d rg d (fu:
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Respuesta en régimen permanente a una entrada senoidal, resonancia y frecuencia natural de oscilación
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Enfrentando. cesantía INUND. ntía INUNDAC
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CÁLCULO DE LÍMITES. Por otro lado es importante distinguir en el cálculo de límites, los casos indeterminados de los determinados: = ; = ; =
CÁLCULO DE LÍMITES Propidds d los límits.- ( b ) b.- ( b ) b.- ( b ) b.- ( b ) b b.- ( ) ( ) 6.- k k b Por otro ldo s importt distiguir l cálculo d límits, los csos idtrmidos d los dtrmidos: Csos dtrmidos:
206 MÉTODOS NUMÉRICOS
6 MÉTODOS UMÉRICOS.. Alguos hhos mortts r ls rs vs wto: ls sguts so lgus ls ros más mortts ls rs vs wto: (. S s u rmutó K ) ( ) K tos [ K ] [ K ] CASO PARTICULAR: [ ] [ ] ( Est ro s osu l u l olomo trolt
Para medir la importancia de la clase modal como medida central usaremos el concepto de tasa de variación. Se denota por V
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suma sucesiva de los primeros m términos como se ve a continuación m 1
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LECCIÓN L uf Jú H gu vz u xpc có c, vz, p á y b D? D gu f c u b cv. N fu v? S xpc, cuc qu ucó cu Jú ó Jué. (Tx cv y fc: M 21:1-11; E D g, cp. 63, pp. 537-546.) Dg L L uf Jú. Hz. S p, c u y év u bcó. Cóc
ese tránsito desde la pequeña a la gran ciudad, que la situó demográficamente urbano se encauzó a partir de la
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POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel es: f = + + + + +, dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo de vrble
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Construyendo la función exponencial
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Solucioario 8 Límits d sucsios y d ucios ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Calcula l térmio gral, l térmio qu ocupa l octavo lugar y la suma d los ocho primros térmios para las sucsios siguits., 6,,,..., 6, 8,,...,,,,...
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