METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS. CI71D Modelación Numérica en Ingeniería Hidráulica y Ambiental Profs. C. Espinoza y Y. Niño Semestre Primavera 2001
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- Carmen Valenzuela Belmonte
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1 MEODOS DE DFERENCAS FNAS C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl Profs. C. Espoz Y. Nño Sstr Prvr. NRODUCCON E st cpítlo s dsrroll l cocpto ásco ls téccs csrs pr l forlcó d rprstcó d dfrcs fts. E st foq l prol doo coto s "dscrtz" d tl r q ls vrls dpdts st sólo ptos dscrtos. Ls drvds s pro dt dfrcs lo q d org rprstcó lgrc d ls ccos dfrcls prcls (EDPs). D st r prol d cálclo s trsfor o d álgr trcl. L trlz dl sst lgrco rsltt dpd dl cráctr dl prol orgl. Prols qlro rslt grlt sst d ccos lgrcs q d sr rsltos sltát trvés dl doo d solcó coto co ls codcos d ord spcfcds. Prols tporls d org ccos lgrcs q d sr rslts scclt.. DFERENCAS FNAS Uo d los prros psos o tps pr stlcr sq d dfrcs fts pr l rsolcó d EDP s l rplzo dl doo coto dl prol orgl por ll o grll d dfrcs fts. A odo d plo spogos q dsos rsolvr EDP pr l cl ( ) s l vrl dpdt l doo rctglr. E st cso podos stlcr grll tl q ( ) s rplz por ( ) o. D st r s osrvos l Fgr os fos q l poscó corrspod ( ) podos scrr: ( ) ( ) ( ) ( ) L d d rprstcó d dfrcs fts pr drvd pd sr trodcd l poscó : rcorddo l dfcó d l drvd d l fcó l ( ) ( ) () L procó d dfrcs pd sr scrt d r ás forl trvés dl so d psó sr d lor. Al dsrrollr psó sr d lor pr ( ) toro ( ) s ot: C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl
2 C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl Fgr ípc rll d Dfrcs Fts!!! ξ L () co: ξ dod l últo téro s do l rsto d l psó. D st r podos forr l dfrc hc dlt rorddo l ccó (): L! () Cdo otcó dcl tos: rccó d Error (4) El rror d trccó (E..) s l dfrc tr l drvd prcl s rprstcó coo dfrc ft. El coportto lít dl rror d trccó pd sr crctrzdo tlzdo l otcó d ord (O) co lo q podos scrr: O (5) dod O t sgfcdo prcso d tl r q l scrr lo tror s stá dcdo q:
3 C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl.. pr K E U úro fto d rprstcos d dfrcs fts pd sr cotrdo pr l drvd d. Por plo s pdos hc trás :!!! ξ L (6) podos otr l rprstcó d dfrcs hc trás : O (7) S rstos ls ccos () (6) rordos podos otr l dfrc ctrl: O (8) S sos ls ccos () (6) rordos podos otr procó ctrl pr l sgd drvd: O (9) E chs plccos práctcs s covt tlzr oprdors d dfrcs pr rprstr los sqs d dfrcs fts cdo fors prtclrs so sds for rpttv. D st for s pd dfr l oprdor hc dlt coo: () D st r s posl scrr l procó pr l prr drvd d l drccó coo: O O () E for slr s posl dfr l oprdor hc trás coo: () Co lo q l prr drvd d s pd scrr coo:
4 O O () U rs co dsttos oprdors d dfrcs fts s prst l l trs q l l s prst procos d dfrcs fts dsó. l Dfcó d Oprdors d Dfrcs Fts Oprdor Síolo Rprstcó Dfrc hc dlt Dfrc hc trás Dfrc Ctrl δ δ / / Dsplzto E E Prodo µ Dfrccó D µ D / d d / l Aprocos d Dfrcs Fts D Drvd Aprocó d Dfrcs Fts Ord dl Error O O O 4 O 8 8 O O O 4 O O C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 4
5 L Fgr str sq co l trprtcó goétrc d ls procos d dfrcs fts hc dlt hc trás ctrl. Fgr trprtcó oétrc d Drvds. MEODOS PARA OBENER ECUACONES DE DFERENCAS FNAS. Srs d lor Spogos q dsos cotrr rprstcó d dfrcs fts pr l drvd d l vrl co rspcto co rror d trccó d O( ) sdo lo ás los vlors pr psos sr d lor pr. Co sts rstrccos otvo s lógco tlzr pddo toro :! ξ! L (4)! ξ! L (5) U foq forl pr otr l forlcó dsd rqr q ls ccos (4) (5) s ltplcds por los prátros rspctvt. S postrort grgos s ccos otos: C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 5
6 C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 6 [ ] L!!!! (6) S dsrrollos st ccó otos: [ ] L 6 4 (7) Pr otr procó coo l rqrd dos por dos codcos: co lo cl s ot q. S rplzos l ccó (7) dspos s t: L 4 (8) lo q flt s pd scrr coo: L 4 O (9) l q cpl co l otvo rstrccos psts pr s dsrrollo.. Ast Polol Mchs plccos d st polol so tlzds coút prols d fldos trsport d cotts. E lgos csos st técc s tlz pr dsrrollr l rprstcó coplt d EDP; s rgo s ás coút tlzd pr l o d codcos d ord. Cosdros l prol d pror dt dfrcs fts l ccó d Lplc dos dsos:
7 C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 7 () Spogos q l rlcó d l tprtr co ls coordds pd sr prsdos por poloo d grdo dos..: c () Por covc spogos q l pto d coordds () s c l poscó q s costt. Co sto podos scrr: c Los cofcts c pd sr vldos téros d l tprtr ptos spcífcos sor grll rglr co sprcó. Pr hcr so dos tor lgs dcsos crc d ptos sor l grll. Por plo spogos q stos trdo co los ptos (-) () () los q s ctr cdos ls poscos - rspctvt. D st r otos: c c Lo q prt scrr: (). c co lo q s pd scrr pr l sgd drvd d co rspcto :. ()
8 4. REPRESENACÓN DE ECUACONES DFERENCALES PARCALES POR DFERENCAS FNAS 4. Error d rccó Coo pto d prtd st stdo dl rror d trccó (E..) cosdros l ccó d dfsó: t α (4) S tlzos sq d dfrcs hc dlt pr l drvd tporl sq d dfrcs ctrls pr l sgd drvd podos scrr l ccó tror coo: t α (5) S rgo d l sccó tror dos rcordr q ls procos hc dlt ctrl tí socdos rrors d trccó d órds O(h) O(h) rspctvt dod h s l dscrtzcó corrspodt l procó tlzd. S clos l fcto dl rror d trccó dos scrr: α t α t O ( t) O E st cso l rror d trccó s gl : O( t) O o té O t. El rror d trccó socdo co tods ls drvds EDP drí sr otdo por psó lrddor dl so pto (: tpo : spco l plo tror). El sq d dfrcs fts prstdo l ccó (4) s cooc coút coo sq plícto spl pr l Eccó d Dfsó. U sq plícto s ql l cl l téro dscoocdo d l ccó pd sr vldo téro d otrs ctdds coocds. L ccó (4) pd dás sr scrt coo sq plícto: t α Al gl q l sq plícto l procó (7) t rror d trccó O t 4. Cosstc (6) (7). L cosstc d EDP s rlco co l grdo l cl l rprstcó d dfrcs fts pro l EDP orgl. D crdo l ccó ) l dfrc tr l drvd orgl s procó d dfrcs fts s df coo l rror d trccó. C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 8
9 L rprstcó por dfrcs fts d EDP s dc cosstt s s pd ostrr q l dfrc tr s dsprc l cso q l tño d l grll d procó l trvlo d tpo t s rdc..: l grll ( EDP EDF) ( E.. ) l grll (8) U plo d sq q o s cosstt corrspod l procó d DFort- Frl pr l ccó d Dfsó l q s pd scrr coo: t α (9) q pos rror d trccó dl tpo O ( t) for corrct s s cpl q: l t t t. Est étodo fco S rgo s os vlors d dscrtzcó q: t s pro cro ts tl l t t γ l sq d DFort-Frl s cosstt o co l ccó d dfsó so co l ccó d tpo hprólco: α γ t t α () 4. Estldd Estldd érc s cocpto q s plc stdo strcto sólo prols trsts. U sq érco s stl s los rrors d clqr org (rdodo trccó rprstcó) o crc dsd príodo trst l sgt. E pto sgt d st pt s dscr or dtll álss d stldd pr sqs ércos q pro EDP lls. 4.4 Covrgc pr Prols rsts E for grl s t q s sq d procó s cosstt stl s té covrgt. E st stdo s t q l cso q l grll d procó s rf l solcó d l ccó d dfrcs fts (EDF) s pro l solcó d l EDP orgl. C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 9
10 or d Eqvlc d L. S s t prol d vlor cl q s ctr " psto" dás s t procó d dfrcs fts q s cosstt s dcho sq s stl s solcó covrg hc l solcó dl prol rl. 4.5 Errors d Rdodo Dscrtzcó Clqr solcó érc cldo lgs vcs solcó lítc ct EDP pd sr fctd ddo l úro fto d dígtos ls oprcos rtétcs. Estos rrors s do d rdodo prc ddo ls procos q s hc cd cálclo scsvo dtro d clqr sq érco d solcó. Los rrors d dscrtzcó so csdos por l rplzo d prol coto por o dscrto s df coo l dfrc tr l solcó ct d l EDP l solcó ct d l procó d dfrcs fts. 5. ANALSS DE ESABLDAD 5. Aspctos grls U procó d dfrcs fts EDP pd sr cosstt pro s solcó o csrt pd covrgr l solcó rl d l EDP. El tor d Eqvlc d L stlc q étodo érco q s cosstt d dás stl co lo q dftv s grtz covrgc. L stldd d procó érc o t rlcó co l EDP s so ás co los prols d procó osclcos q pd ocrrr l llvr co oprcos rtétcs q s rqr pr rsolvr ls ccos d dfrcs fts. Coo pto d prtd pr l dsrrollo d álss d stldd cosdros procó plíct pr l ccó d dfsó: t α () l q pd sr scrt coo: t α () rslt pr l cógt coo: t ( ) α () l cl s pd splfcr dt l dfcó d prátro dsol q por splcdd dotros r : C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl
11 t r α co lo q s pd scrr: ( ) r (4) Spogos q l solcó ct d st ccó l q s ot dt l so d coptdor co prcsó ft s do D. D gl for doos N l solcó érc d dch ccó l q s ot co coptdor rl. S l solcó lítc d l EDP s do A podos scrr lo sgt: Error d Dscrtzcó A D Error d R dodo N D L stldd d étodo érco s lz do l crcto dl rror dd q los cálclos s v fctdo d tl r q lo q s lz s coo c l Error d Rdodo. O'Br t l. (95) ro st prol gr dtll lgo d pltrs lgs stcos tpo coclro lo sgt: Cál s l fcto dl rror d rdodo glol? S crc sto codc stldd d tpo frt. S dcrc o o crc sto codc stldd frt. Cál s l fcto dl rror d rdodo dvdl (trcó trcó)? S crc sto codc codcó d stldd d tpo dél. S dcrc o o crc sto codc codcó d stldd dél. Ls dos stcos trors llvro pltr l úsqd d codcos d stldd trvés d étodos q s coctr lzr stldd locl o dél co sto sgrr stldd frt o coplt. Uo d los étodos ás tlzdos s l sdo álss d srs d Forr té coocdo coo Aálss d vo N. E for dcol s t l étodo trcl q s tsó dl tror. 5. Aálss d Forr o vo N 5.. Eccó d Dfsó Cosdros l ccó d dfrcs fts pltd pr l ccó d Dfsó prstd l ccó (4). S ξ rprstcó dl rror d rdodo l cl prt scrr: N D ξ (5) C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl
12 l solcó érc clcld dr stsfcr l ccó d dfrcs prstd (4) d tl r q l ssttr l solcó (5) l ccó d dfrcs s ot: ( D ξ D ξ D ) D ξ D ξ r ξ Ddo q l solcó ct D d stsfcr l ccó d dfrcs s posl scrr lo sgt pr l rror d rdodo: ξ ( ξ ξ ) ξ r ξ E st cso l solcó ct D l rror d rdodo ξ d stsfcr l s ccó d dfrcs. Esto sgfc q tto l rror d rdodo coo l solcó érc pos ls ss propdds d crcto trvés dl tpo. Clqr prtrcó d los vlors d trd l trcó srá prvd d crcr s cot l cso d sq érco stl o crcrá ú ás l cso d sq érco stl. Cosdros dstrcó dl rror tpo clqr sor l grll d dscrtzcó. E l Fgr s str plo d l dstrcó dl rror pr t. Fgr Dstrcó cl dl Error (6) (7) Spogos q l rror pd sr scrto coo sr d Forr d l for: ξ ( t) ( t) (8) dod l príodo d l frcc fdtl () s spo gl L. Pr l cso d q l trvlo L stá dds d logtd s pd scrr l úro d od coo: π K M L C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl
13 C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl dod M s l úro d trvlos d logtd cotdos l trvlo L. E l ccó (8) l téro () t s cooc coo l pltd dl rror s l áglo d fs. Ddo q l ccó d dfrcs prstd (7) s ll s posl coctrrs l coportto d úco téro d l sr d Forr q dscr l rror lo q prt ltr l álss. E st cso cosdros l téro: t ξ (9) l cl pd sr scrto pr los otros téros l ccó (7): t ξ (9) () t ξ (9c) () t ξ (9d) Al ssttr los téros (9) l ccó (7) s t lgo d splfcr por l téro l sgt prsó: () () r (4) l q pd sr splfcd ú ás coo: r (4) S rcordos l dtdd trgooétrc: () cos θ θ θ l ccó (9) s pd scrr coo: r cos (4) dod s cooc coo l Fctor d Aplfccó s dcr q l pltd d copot rtrr d l sr d Forr pr l rror s ltplc por st fctor cd trcó tporl. Pr l sq d dfrcs fts plícto pltdo l ccó (4) l fctor d plfccó s: () r cos (4) Al ssttr l ccó (4) l prsó (9) s pd ostrr q:
14 ξ ξ (44) lo q prt dtfcr codcó csr pr q l étodo érco s stl. E fcto l ccó (44) str q tr trcos scsvs l rror s odfc d crdo fctor. S st fctor s fror s sgr q l rror o crzc tr trcos scsvs. D st r srg l crtro d stldd sgt: l q s cooc coo codcó d Vo N. E l cso prtclr d l ccó (4) s posl tlzr otr dtdd trgooétrc pr rdcr ú ás dch prsó: θ cosθ s Al rplzr dch dtdd l ccó (4) s ot: ( ) () 4 r s 4 r s β (45) dod l prodcto β s cooc coo l prátro d frcc. S toos l prsó pr l Fctor d Aplfccó coo fcó dl áglo d fs s cosdr dfrts vlors dl prátro r s posl tr d gráfc d l covrgc dl sq plícto. L Fgr 4 str sq q lstr l rsltdo tror lo q prt stdr l stldd dl étodo plícto pr l ccó d dfsó. Al lzr l Fgr 4 s posl osrvr q l étodo srí stl sólo pr lgos vlors d r (..4) trs q pr los otros vlors s volrí dch codcó. Est gráfco os dc q l étodo s codcolt stl.. sólo pr lgos vlors d r srí stl. Alcos co or dtcó l codcó d stldd: β 4 r s (46) lo q s pd scrr coo: β 4 r s (47) Al vlr l dsgldd l ccó (47) tos dos posldds. L prr posldd d org : β 4 r s (48) C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 4
15 Fgr 4 Fctor d Aplfccó Esq d Dfrcs Fts Eplícto Eccó d Dfsó FACOR DE AMPLFCACON r. r.4 r.6 r.8 r Frcc Rltv Bt/P lo q prt otr: β 4 r s (49) lo q s spr vrddro. L sgd posldd d org : β 4 r s (5) lo q prt otr: β 4 r s (5) q s pd dsrrollr flt : C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 5
16 r s β (5) Pro ddo q plícto: α t r β s vrí tr s t l codcó d stldd pr l étodo (5) lo q dc q h rlcó tr l trvlo d slcó l prátro α q prt q l étodo s stl. 5.. Eccó d Od o d Advccó t l tño d l grll Cosdros l ccó d od o d trsport por dvccó dsó: c t (54) dod c s l vlocdd d trslcó d od. L (954) propo l sgt étodo d prr ord pr rsolvr st ccó: c t (55) S l gl q cso tror s cosdr psó sr d Forr pr l rror d trccó dscrto por l ccó (8) s posl sgr l so procdto tror pr otr l sgt prsó pr l fctor d plfccó: ( ) () cos( ) ν s( ) (56) c t dod ν s cooc coo l úro d Cort. L codcó d stldd pr st étodo stlc: ( ) ν s( ) cos ( β ) ν s cos β (57) S toos l prsó pr l Fctor d Aplfccó coo fcó dl áglo d fs s cosdr dfrts vlors dl prátro ν s posl tr d gráfc d l covrgc dl sq L. L Fgr 5 str sq q lstr l rsltdo tror lo q prt stdr l stldd dl étodo L pr l ccó d od co trsport prt dvctvo. C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 6
17 Fgr 5 Fctor d Aplfccó Esq d Dfrcs Fts L rsport Advctvo FACOR DE AMPLFCACON N. N.4 N.6 N.8 N Frcc Rltv Bt/P 6. ANALSS DE FOURER PARA ESUDAR PRECSON DE UN ESQUEMA NUMERCO Los sqs ércos q hos stddo prov sólo solcó prod d ls ccos dfrcls. Errors d vrdo tpo pd fctr l solcó érc d sq clqr los q s clsfc dos grds grpos: rrors d dspcó d dsprsó. Los rrors csdos por los rrors d trccó sor ls drvds d ord pr s soc grlt or dspcó d l solcó érc lo q s rlco drctt co l gtd dl Fctor d Aplfccó. Por s prt los rrors d trccó d ls drvds prs d org osclcos l zo d ors cos dl vlor d l vrl d stdo. Est fóo dsprsvo s rlco co l fs dl Fctor d Aplfccó. L Fgr 6 str plo d los fctos dsptvos dsprsvos sor solcó érc d EDP. C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 7
18 Fgr 6 Efctos Dsptvos Dsprsvos ) Solcó ct ) Efctos Dsptvos c) Efctos Dsprsvos E los ptos trors s prstó l técc d Vo N q prt cotrr prsó lítc pr l Fctor d Aplfccó l q pd sr tlzdo pr stdr los coporttos dsptvos dsprsvos dl sq érco slccodo. El Fctor d Aplfccó pd sr scrto for d úro coplo d tpo pocl coo: φ (58) dod φ s l áglo d fs ddo por: φ t R ( ) ( ) (59) 6. Solcó Ect pr l Eccó d Dfsó Pr cotrr l Fctor d Aplfccó d l solcó ct podos cosdrr solcó ltl d l ccó dfrcl ssttrl l EDP. Spogos q copot d st solcó ltl t l for sgt: t t (6) S cosdros l ccó d dfsó pltd trort: t α (6) podos cotrr for spl q l Fctor d Aplfccó d l solcó ct lo q s ot dt l ssttcó d l solcó ltl l EDP s postror álss. Al dsrrollr st álss s pd scrr: E ( t t) () t α t (6) C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 8
19 lo q s pd prstr d r ás copct l cosdrr ls dfcos dl prátro d frcc β ccó (45) dl prátro dsol r ccó (). Lgo d l ssttcó s ot: E rβ (6) Es portt corporr st pto l dfcó d l logtd d od d l solcó érc Λ l q s rlco drctt co l prcsó d los rsltdos d cd sq d dfrcs fts q s pd pltr. L logtd d od s df coo: Λ π (64) S rcordos l dfcó dl prátro d frcc β podos scrr: Λ π β (65) Flt podos rplzr l prsó (65) l Fctor d Aplfccó d l solcó ct pr scrr: 4π r Λ E (66) dod Λ s l úro d ptos d l ll d dscrtzcó por logtd d od. 6. Solcos Nércs pr l Eccó d Dfsó Sgdo los procdtos pltdos ptos trors s h dtrdo los Fctors d Aplfccó corrspodts trs étodos o sqs d dfrcs fts pr l ccó d dfsó. Los trs étodos lzdos s prst cotcó: Aprocó Eplíct O t : t α (67) N r ( cos( β ) r cos π Λ (68) C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 9
20 C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl Aprocó plíct t O t α (69) Λ N r r π β cos cos (7) Aprocó d Cr-Ncolso t O t α (7) Λ Λ N r r r r π π β β cos cos cos cos (7) Los Fctors d Aplfccó pr l solcó ct E ércs N fro tlzdos pr lzr ls propdds d covrgc d cd o d los étodos prstdos st sccó. Dos tpos d álss srá prstdos st sccó: prátro d frcc β logtd d od dsol Λ. E l prr tpo d álss prátro d frcc s h grfcdo cd o d los Fctors d Aplfccó pr los trs étodos l solcó ct. Est álss s h coctrdo dos vlors dfrts dl prátro dsol r. L Fgr 7 str l gráfco pr vlor d r.5 trs q l Fgr 7 pr vlor d r.75. E l cso d l Fgr 7 s osrv q dtro dl rgo d prátros d frcc ostrdos ls solcos ércs s coport stt prcds l solcó ct téros d ss Fctors d Aplfccó. Al pltr clqr d ls solcos ércs sñlds l gráfco s dr osrvr coportto prcdo l solcó lítc vdcdo s rgo crt dspcó trvés dl tpo. L solcó ás prcd l lítc s l d tpo plícto. L Fgr 7 str stcó dfrt l tror dod s osrv q l étodo plícto s stl sto s s solcó dr ostrr fcto d tcó o dspcó dfrt l osrvdo pr l solcó ct. E st cso l odlo ás dcdo pr rprstr l solcó lítc s l d Cr-Ncolso.
21 Fgr 7 Fctor d Aplfccó Eccó d Dfsó (r.5) FACOR DE AMPLFCACON AN EX M CN Bt/P Fgr 7 Fctor d Aplfccó Eccó d Dfsó (r.75) FACOR DE AMPLFCACON AN EX M CN Bt/P C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl
22 Λ El álss dt l logtd d od rltv prt vlr ls crctrístcs spcífcs d cd d ls solcos ércs q s plt pr rsolvr l ccó d dfsó. E st cso ddo q l Fctor d Aplfccó s rl s posl socrlo coporttos spcífcos cto s for d stldd o stldd. D st r l Fgr 8 str sq q lstr l tpo d coportto d l solcó érc dpddo dl vlor q lcc pr dfrts logtds d od. A odo d plo solcó érc co Fctor d Aplfccó s ctr coprddo tr prstrá coportto stl co dcto progrsvo d los rrors. A dfrc d st solcó l cso q sté coprdd tr - s osrvrá coportto stl pro covrgt for oscltor. Fgr 8 Coportto d ls Solcos Nércs Ect Λ E l sgdo tpo d álss s h grfcdo cd o d los Fctors d Aplfccó pr los trs étodos l solcó ct. Est álss s h coctrdo dos vlors dfrts dl prátro dsol r. L Fgr 9 str l gráfco pr vlor d r.5 trs q l Fgr 9 pr vlor d r.75. C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl
23 Fgr 9 Fctor d Aplfccó Eccó d Dfsó (r.5) FACOR DE AMPLFCACON AN EX M CN Logtd d Od Adsol Fgr 9 Fctor d Aplfccó Eccó d Dfsó (r.75) FACOR DE AMPLFCACON AN EX M CN Logtd d Od Adsol C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl
24 REFERENCAS Adrso hl d Pltchr (984). "Copttol Fld Mchcs d Ht rsfr". Hsphr Plshg Corporto. Hor P. Ad. Pdr (98). Copttol Mthods Ssrfc Flow. Acdc Prss. Lpds. d. Pdr (98). Nrcl Solto of Prtl Dffrtl Eqtos Scc d Egrg. Wl trscc. Rso.. Horrgr d F. Molz (97). Nrcl Mthods Ssrfc Hdrolog. Wl trscc. Vlocch A. (994). Modlg of rodwtr Flow d Solt rsport". Lctr Nots. Uvrst of llos t Ur-Chpg. C7D Modlcó Nérc grí Hdrálc Atl 4
Tema 4: Regresiones lineales y no lineales TEMA 4. REGRESIONES LINEALES LINEALES Y NO. 1. 2. 3. Introducción 4. Nomenclatura
T 4: grsos lls o lls TEMA 4. EGEIONE LINEALE LINEALE Y NO.. 3. Itroduccó 4. Nocltur 5. Llzcó Ajust grsó ll ll d últpl cucos 6. 7. 8. grsos EUMEN Progrcó o lls Mtlb Cálculo uérco Igrí T 4: grsos lls o lls.
Tema31.INTEGRACIÓN NUMÉRICA.MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
tgrco uérc étodos d tgrcó NGRACÓN NUÉRCAÉODOS D NGRACÓN troduccó Clculo tgrl y drcl rs udtls cálculo tsl l cálculo tgrl c dl cálculo d árs l org dl cálculo tgrl pud rotrs l Grc clásc clculo d árs por l
Potencial periódico Término de corrección Término sin de segundo orden perturbación Término de corrección de primer orden
Bds d rgí otdo Tor d Boch. Torí d ctró cs r.org d ds. Modo d Krog-Py. jo. stdo Sódo Potc áss otc qu s usó áss tror fu u otc tt. s áss d uy u rsutdo s s ctr trs tá us ocurr u tto d ctros. S rgo, otros trs
Acerca de los homomorfismos
Acrc d los hooorsos Crlos S. Ch Acrc d los hooorsos. Hooorsos. Oprcos 3. lcos 4. os tors d soorí 5. Estc d hooorsos. Hooorsos.. d d hooorso: Dcó _ Ddos dos spcos vctorls sor l so curpos d sclrs s do hooorso
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
stsc l cucó drcl l trvlo I. ) Dcó: U cucó ) Dcó: S u cucó cot ls drvds o drcls d u o ás vrbls dpdts co rspcto u o ás vrbls dpdts, s dc qu s u cucó drcl. ) Dcó: S l cucó cot drvds ordrs d u o ás vrbls dpdts
Formulario de matemáticas
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Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.
(esta notación fue elegida por el matemático Leonhar Euler) De hecho la función f ( x)
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 9 OCTUBRE
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constates de orden dos y superior.
Prof Eriqu Mtus Nivs Dotordo Eduió Mtmáti ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Euios lils homogés o ofiits ostts d ord dos suprior Apliqu l método d rduió pr dtrmir u soluió d l uió o homogé dd los
Unidad 1 Fundamentos de Algebra Matricial Parte 1
Udd Fudetos de lger trcl Prte Dr. Ruth. gulr Poce Fcultd de Cecs Deprteto de Electróc Propedeutco 8 Fcultd de Cecs trces U trz de es u rreglo rectgulr dspuesto e regloes y colus Trgulr feror O Trgulr superor
210. Se considera el experimento aleatorio consistente en tirar tres dados al aire y anotar los puntos de las caras superiores.
Hojs de Prolems Estdístc I. Se cosder el expermeto letoro cosstete e trr tres ddos l re y otr los putos de ls crs superores. ) utos elemetos tee el espco de sucesos? ) lculr l proldd de scr l meos dos.
4. Medios dependientes de la frecuencia.
4. Mos s l frcuc. Uo los logros ás ors l MFT h so l or clculr os s l frcuc.,,4 S brgo sos éoos s bs srrollos ácos qu so xusos for uy suc y ás bsos éoos ácos o usuls l lgu l físc, ls coo l rsfor Z. Por
1.4 SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (46 Problemas ) sabiendo que n
. SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (6 Problems.- Estudir el crácter de ls series:! 0 b + si >0, segú vlores de. 0.- Clculr cos α sbiedo que x x e 0! 0! 3.- Estudir l serie de térmio geerl. π se.- Cosidermos
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3. LÍMITES COLEGIO RAIMUNDO LULIO Frnciscnos T.O.R. Cód. 8367 TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Dfinición: S dic qu l límit d l función f s igul L, cundo tind, si cundo s proim, f s proim L, sin
20/06/2012 ECUACIONES QUE RIGEN EL FLUJO DE AGUA A TRAVÉS DE LA MASA DE SUELO. GRADIENTE HIDRAULICO CRÍTICO: Para flujo vertical ascendente:
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INTRODUCCION AL ALGEBRA. 6- COMBINATORIA. Aputes de l Cátedr. Ves Bergoz, Alerto Serrtell. Colorró: Crst Mscett Edcó Prev CECANA CECEJS CET Juí. UNNOBA Uversdd Ncol de Noroeste de l Pc. de Bs. As. Pr esjes:
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Emn d l Asgntur Optmzcón d Procsos 5º curso d Ingnrí Químc uno mpo: h. Prolm En un fctorí hy qu procsr un fluo ddo F m /h d un producto qu s otn d un tnqu d lmcnmnto clntándolo n cutro undds térmcs qu
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ASIGNATURAS DESARROLLO DE INGENIERIA DE LA CALIDAD Y GERENCIA DE VALORACION DE EMPRESAS
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.-MORTZÓ DE PRÉSTMOS..- Un prson solc un présmo. pr morzrlo n ños mn nuls consns pospgbls y un po nrés fcvo nul l 8%. Trnscurros ños y hbno bono l nul l rcr ño, curn uor y cror pr morzr l u pnn ls sguns
Tensores. 1.1 Introducción. 1 Tensores
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