MÓDULO 4: HERRAMIENTAS

Transcripción

1 MÓDULO 4: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA FÍSICA (PARTE II). Física Ecuaciones. Operaciones. Fracciones. Despeje. UTN Facultad Regional Trenque Lauquen 27/01/2015

2 MÓDULO 4: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA FÍSICA (PARTE II). Física UNA ECUACIÓN es una igualdad entre dos expresiones que se denominan miembros de la misma. Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores de las letras (o incógnitas) recibe el nombre de ecuación condicional o, simplemente, ecuación. Una ecuación que se verifique para todos los valores permitidos de sus letras (o incógnitas) recibe el nombre de identidad. Valores permitidos son aquellos para los que están definidos los miembros de la ecuación. Por ejemplo: 1) se verifica solo para ; es una ecuación condicional. 2) se verifica para todos los valores de x e y; es una identidad. 3) se verifica para todos los valores excepto para los no permitidos, ; para estos valores, la operación se reduce a una división por cero, lo cual carece de sentido. Como la ecuación se verifica para todos los valores permitidos de x, es una identidad. Para representar una identidad se emplea el símbolo =. en lugar del símbolo LAS SOLUCIONES de una ecuación son los valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad, es decir, se igualan ambos miembros. Las soluciones satisfacen a la ecuación. Si la ecuación solo contiene una incógnita, las soluciones se denominan raíces de la ecuación. Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones. Por ejemplo, es una raíz, o solución, de la ecuación, ya que sustituyendo en ésta, se obtiene, es decir, los dos miembros se hacen iguales y la ecuación se convierte en una identidad. Análogamente, tres soluciones de la ecuación son:, ;, ;,. 1

3 OPERACIONES APLICADAS EN LA TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES a) Si se suman miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, en la igualdad, podemos sumar a ambos miembros, con lo que resulta. b) Si se restan miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, en la igualdad con lo que se obtiene x = 3., podemos restar 2 a ambos miembros, Nota. Como consecuencia de a) y b) se deduce que para trasponer un término de una ecuación de un miembro a otro no hay más que cambiarlo de signo. Por ejemplo, si, tendremos o. c) Si se multiplican miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, si se multiplican por se obtiene. los dos miembros de la igualdad Análogamente, si los dos miembros de se obtiene. se multiplican por d) Si se dividen miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad, siempre que no se divida por cero. Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de la igualdad, se obtiene. Análogamente, en la igualdad por, obteniéndose. por se pueden dividir los dos miembros e) Si se elevan al mismo exponente los dos miembros de una igualdad se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, si, tendremos f) Si se extrae la raíz enésima de los dos miembros de una igualdad se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, si, resulta 2

4 g) Los recíprocos de los miembros de una igualdad dan lugar a otra igualdad, siempre que no tenga lugar la división por cero. Por ejemplo, si, tendremos. Análogamente, si se verifica Las operaciones a) a f) se llaman axiomas de la igualdad. ECUACIONES EQUIVALENTES. Son las que tienen las mismas soluciones. Por ejemplo, y tienen la solución común y por tanto, son equivalentes. Sin embargo, y no son equivalentes, ya que tiene, además, la solución. Las operaciones anteriores aplicadas a la transformación de ecuaciones no dan lugar, en todos los casos, a ecuaciones equivalentes a las primitivas. La aplicación de estas operaciones puede conducir a ecuaciones derivadas que tengan distintas soluciones que la ecuación original. Si se llega a una ecuación con más soluciones que la original, las soluciones nuevas se denominan extrañas y la ecuación derivada se llama redundante con respecto a la original. Si se llega a una ecuación con menos soluciones que la original, la ecuación derivada recibe el nombre de defectiva con respecto a la original. Las operaciones a) y b) siempre conducen a ecuaciones equivalentes. Sin embargo, c) y e) pueden dar lugar a ecuaciones redundantes y soluciones extrañas y d) yf) a ecuaciones defectivas. UNA FORMULA es una ecuación que expresa un hecho general, una regla o un principio. Por ejemplo, la fórmula de geometría en función de su radio r. expresa el área A de un círculo La fórmula física, en la que g es la aceleración de la gravedad y que vale, aproximadamente, 9,81 metros por segundo en cada segundo, expresa la relación que existe entre el espacio s, en metros, que recorre un cuerpo que cae libremente partiendo del reposo, y el tiempo t, en segundos, que emplea en el movimiento. Resolver una fórmula con respecto a una de las letras que figuran en ella es efectuar las mismas operaciones en ambos miembros de la misma hasta que aparezca la letra deseada aislada en uno de ellos. 3

5 Por ejemplo, si, se puede dividir por m obteniéndose, con lo cual queda despejada a en función de F y de m. Como comprobación, si se sustituye en la ecuación original se obtiene, que es una identidad. UN TERMINO RACIONAL ENTERO con respecto a cierto número de incógnitas,, tiene la forma... en donde los exponentes, p, q, r,..., son números enteros y positivos, o cero, y el coeficiente a es independiente de las incógnitas. La suma de los exponentes,, se denomina grado del término con respecto a las incógnitas Ejemplos. son términos racionales enteros es de grad 2 en x, 3 en z y 5 en x y z es de cuarto grado. es de grado cero. no es entero en x; no es racional en y. Si al hablar del grado no se especifica a qué incógnitas se refiere, se sobrentiende que es con respecto a todas las que figuran en el término. UNA EXPRESIÓN RACIONAL ENTERA, o polinomio de varias incógnitas, consta de términos, cada uno de los cuales es racional y entero. El grado de la expresión viene dado por el correspondiente al término de mayor grado. Ejemplo. es una expresión racional entera de grado 3 en x, 4 en y, 5 en z, 7 en x e y, 7 en y y z, 6 en x y z y 8 en x, y y z. UNA ECUACIÓN RACIONAL ENTERA es una igualdad entre dos expresiones racionales enteras. El grado de una ecuación es el correspondiente al término de mayor grado. Ejemplo, es de grado 3 en x, 1 en y, 2 en z, 4 en x e y, 3 en y y z, 3 en x y z y 4 en x, y y z. En una ecuación se pueden reducir los términos semejantes. Por ejemplo,, se puede escribir en la forma. Una ecuación se llama lineal si es de primer grado, y cuadrática si es de segundo grado. Análogamente, las de grados 3, 4 y 5, reciben el nombre de ecuaciones de tercero, cuarto y quinto grado, respectivamente. Ejemplos. es una ecuación lineal en x, y y z. es una ecuación cuadrática en x e y. 4

6 es una ecuación de tercer grado en x. UNA ECUACIÓN RACIONAL ENTERA DE GRADO n con respecto a la incógnita x, se puede escribir en la forma siendo, constantes y n un entero positivo. Como casos particulares tendremos EJERCITACIÓN 1. Determinar cuáles de las expresiones siguientes son ecuaciones y cuáles son identidades: a) b) c) d) R ta : a) identidad; b) ecuación; c) identidad; d) ecuación. 2. Comprobar si la solución o soluciones indicadas satisfacen las ecuaciones siguientes: R ta : a) es solución; b) son ambas soluciones; c) es solución. es solución; es solución, no 3. Aplicar los axiomas de la igualdad para resolver las ecuaciones siguientes: 5

7 4. Despejar en las fórmulas siguientes las incógnitas que se indican., despejar R. b), despejar a. d), despejar g. 5. Hallar el valor de la incógnita que se indica despejando y luego introducir los valores de las restantes para obtener el valor numérico. Rta: a) C = 20; b) = 10; c) r = 6 6. Encontrar el error cometido en el siguiente razonamiento: a) Sea : b) Se multiplican los dos miembros por x: c) Se resta a ambos miembros: d) Se escribe el resultado en la forma siguiente: e) Se dividen los dos miembros por x-y: f) Se sustituye x por su igual, y: g) De aquí resulta: i) Dividiendo por y: 7. a) Es una raíz de la ecuación? b) Es 2 una raíz de la ecuación? 6