Sistemas coloidales: Sedimentación y estabilidad cinética

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1 Capítulo 2 Sistemas coloidales: Sedimentación y estabilidad cinética SISTEMAS COLOIDALES en FARMACIA c Dr. Licesio J. Roíguez ljr@usal.es - Departamento de Química ísica - Facultad de Farmacia - Campus Miguel de Unamuno - Universidad de Salamanca 30 de septiembre de Sedimentación Los Sistemas Coloidales se destruyen por la ormación de partículas más gruesas, resultado de la agregación -loculación coagulación, coalescencia, etc.-, y subsiguiente separación de ases mediante sedimentación (o lotación. El proceso dinámico de sedimentación/lotación puede describirse si se conoce la uerza que actúa en el proceso. En un campo gravitatorio ésta es, en principio, el peso, P, cuyo eecto, cuando la partícula se encuentra inmersa en un medio material, se ve reducido por la uerza del empuje, E, y la uerza de ricción, F ricc, que actúa, siempre que la partícula se mueve, en contra del movimiento: F sed = (P E F ricc (2.1 El peso es la uerza gravitatoria que actúa sobre una partícula de masa, m 2, P = m 2 g, mientras que la uerza del empuje es, según el principio de Arquímedes 1, el peso del luido desalojado: E = V 2 ρ 1 g, donde V 2 representa el volumen de la partícula y ρ 1 es la densidad del luido (el medio de dispersión. La uerza de ricción es el resultado del eecto de cizalla que la partícula debe ejercer sobre el luido para ir rasgando su estructura a medida que avanza a su través; debe, por tanto, ser una unción de la velocidad de la partícula, v sed. En general, cuando la 1 Arquímedes de Siracusa ( a.c., matemático griego. 5

2 Licesio J. Roíguez Sistemas Coloidales en Farmacia velocidad no es demasiado grande, como ocurre en los enómenos de sedimentación de partículas de tamaño coloidal, resulta de suiciente validez una simple relación de proporcionalidad, tal como: F ricc = v sed, donde es un coeiciente de ricción, dependiente de la naturaleza y propiedades del medio y de la geometría de la partícula. Nótese que, cuando la velocidad es cero, el eecto de ricción desaparece. De acuerdo con la 2 a ley de Newton, la ecuación del movimiento de sedimentación puede venir expresada de la orma siguiente: dv sed F sed = m 2 = m 2 g V 2 ρ 1 g v sed = F g v sed (2.2 dt donde, para simpliicar la notación, se ha introducido la uerza resultante entre peso y empuje, F g = P E. La ecuación 2.2 es una ecuación dierencial cuyas variables son la velocidad de sedimentación v sed y el tiempo, t, que puede ser escrita de orma más compacta como sigue: m 2 dv sed dt y cuya solución viene dada por la siguiente expresión: v sed (t = F g = F g v sed (2.3 ( 1 e t τ donde τ = m 2 es un parámetro con dimensiones de tiempo 2. Como poemos comprobar más adelante, el término exponencial en la ecuación 2.4 se hace despreciable en un tiempo extremadamente pequeño, por lo que puede suponerse que la velocidad de sedimentación alcanza casi de modo instantáneo un valor constante: v sed (t = F g por hacerse nula la uerza neta de sedimentación, F sed 0, según se desprende de la comparación de las ecuaciones 2.2 y 2.5. En estas circunstancias, la velocidad de sedimentación toma el valor uniorme dado por: v sed = F g = (m 2 V 2 ρ 1 g 2.2. Sedimentación de partículas eséricas = V 2(ρ 2 ρ 1 g El coeiciente de ricción,, se encuentra relacionado con la capacidad del medio a luir sobre el contorno de la partícula a medida que ésta se desplaza, es decir, con la viscosidad, η, del luido 3. En particular, si se consideran partículas perectamente eséricas, de radio R, un (2.4 (2.5 (2.6 2 La comprobación de que la expresión 2.4 es una solución de la ecuación dierencial 2.3, se considera ejercicio saludable. 3 La viscosidad de un luido representa la resistencia al lujo. Si se aplica una uerza de cizalla, F, a una de las capas del luido, por unidad de área, A, el rozamiento entre las distintas capas en el sentido de la coordenada normal a la uerza aplicada, z, establece un gradiente de velocidad, u, con que se mueve cada capa, du, de orma que en muchos luidos se dz cumple: F A = η du dz donde el coeiciente de proporcionalidad, η, se denomina coeiciente de viscosidad del luido. La relación anterior se conoce como ecuación de viscosidad de Newton. Los luidos que siguen este comportamiento se denominan luidos newtonianos. Los luidos en los que no se observa una relación de proporcionalidad entre la uerza de deormación y el gradiente de velocidad se conocen como luidos no newtonianos, para los que no puede hablarse de un verdadero coeiciente de viscosidad. En la mayor parte de este tipo de sustancias la viscosidad disminuye al aumentar la uerza de deormación. Esta propiedad recibe el nombre de tixotropía. En algunos casos se observa un comportamiento contrario, es decir, la viscosidad se incrementa al aumentar la uerza de deormación. En estos casos se habla de reopexia. 6

3 Sistemas Coloidales en Farmacia Licesio J. Roíguez tratamiento hiodinámico permite el cálculo de dicho coeiciente. La expresión que se obtiene, conocida como ecuación de Stokes 4, es: = 6πηR (2.7 Introduciendo esta expresión en la ecuación 2.6 y considerando el volumen de la partícula esérica, V 2 = 4 3 πr3, la velocidad de sedimentación es en estos casos: v sed = 2R2 (ρ 2 ρ 1 g (2.8 9 η Conociendo la velocidad de sedimentación puede deducirse su radio esérico, R: R = ( 9ηvsed 1 2 2(ρ 2 ρ 1 g (2.9 Con la aproximación introducida por la ecuación de Stokes, el radio de partícula determinado por este procedimiento representa en realidad el radio del volumen esérico que cualquier partícula, no necesariamente esérica, ocupa en su desplazamiento acompañado de su libre rotación; este es el denominado radio hiodinámico y corresponde aproximadamente a la mitad de la dimensión más larga de la partícula. Por ejemplo, para un sistema con: (ρ 2 ρ kg m 3 y η kg m 1 s 1 (i.e., sustancia inorgánica dispersada en medio acuoso a 20 o C, se obtiene: v sed R 2 m s 1, con lo que puede comprobarse que, para tamaños ineriores a 1 µm, la velocidad de sedimentación resulta tan pequeña que es ácilmente neutralizada por la agitación térmica del sistema (movimiento browniano. Esta dimensión marca la rontera de los sistemas dispersos cinéticamente estables e inestables Sedimentación en un campo centríugo Para la sedimentación de pequeñas partículas, como proteínas, ácidos nucléicos, etc., la uerza gravitatoria es insuiciente. Con objeto de promover la sedimentación de partículas de tamaño < 1 µm, aproximadamente, es necesario conseguir uerzas mucho más intensas. Esto se lleva a cabo sometiendo a las partículas a un campo centríugo en centríugas o ultracentríugas, en las que la muestra se somete a una rotación alrededor de un eje a velocidad angular suicientemente elevada como para producir la sedimentación requerida. Durante el movimiento de rotación, con período T y velocidad angular constante, ω = 2π T, una partícula que se mueve a una distancia r del centro de giro posee una velocidad lineal, v = ωr, y una aceleración centrípeta, a = ωv = ω 2 r. De acuerdo con la segunda ley de Newton, un cuerpo de masa, m, dotado de una velocidad, a, se verá sometido a una uerza, F = ma, con la misma dirección y sentido que la aceleración. En este caso, el cuerpo sentirá una uerza dirigida hacia el centro. Sin embargo, la tercera ley de Newton, conocida también como principio de acción y reacción, establece que, en orden a mantener el equilibrio dinámico, cuando sobre un cuerpo actúa una uerza se establecerá de modo simultáneo otra uerza igual y de sentido opuesto que tiende a contrarrestarla. En consecuencia, en reacción a la uerza centrípeta, el movimiento circular de cualquier cuerpo se ve siempre sometido a la correspondiente uerza centríuga que actúa como una uerza de escape hacia el exterior de la trayectoria y cuyo módulo es igual al de la uerza centrípeta, es decir, F cent = mω 2 r. 4 George G. Stokes ( , insigne matemático y ísico británico. 7

4 Licesio J. Roíguez Sistemas Coloidales en Farmacia 2.4. Coeiciente de sedimentación En un campo centríugo con aceleración ω 2 r, la velocidad de sedimentación tomaría la orma: v sed = V 2(ρ 2 ρ 1 ω 2 r = m 2(ρ 2 ρ 1 ω 2 r (2.10 ρ 2 o bien, si consideramos que v sed = dt, donde r es la distancia que separa a la partícula del centro de giro en cada momento: donde: dt = V 2(ρ 2 ρ 1 ω 2 r = m 2(ρ 2 ρ 1 ω 2 r = sω 2 r (2.11 ρ 2 s = V 2(ρ 2 ρ 1 = m 2(ρ 2 ρ 1 (2.12 ρ 2 se denomina coeiciente de sedimentación, siendo así una magnitud que caracteriza el comportamiento hiodinámico de la partícula en unción de su tamaño, su orma y las características del medio. Su determinación experimental es relativamente simple a partir de observaciones de los valores de r(t a dierentes tiempos. En eecto, reorganizando e integrando la ecuación 2.11: se obtiene: r(t r(0 r = sω2 t 0 dt (2.13 ln r(t = sω 2 t + ln r(0 (2.14 La ecuación 2.14 permite la determinación del coeiciente de sedimentación, s, si se dispone de datos de la evolución del proceso de sedimentación a lo largo de un período determinado, r(t, y se conoce la velocidad angular, ω, a la que se realiza el proceso. Las medidas del proceso de sedimentación se llevan a cabo en la ultracentríuga, instrumento en el que la muestra se somete a una rotación alrededor de un eje con un valor de velocidad angular suicientemente elevado como para producir la sedimentación requerida. Un parámetro de interés resulta ser la Fuerza Centríuga Relativa (RCF que se consigue a una determinada distancia del centro de giro. Representa la aceleración centríuga en relación a la aceleración de la gravedad, es decir, si N es el número de revoluciones por minuto, rpm, que ejecuta el rotor, la RCF a una distancia, r, del centro de giro viene dada por: RCF = (2π N 60 2 (r/cm 981 = 1, (N/rpm 2 (r/cm (2.15 8

5 Sistemas Coloidales en Farmacia Licesio J. Roíguez Ejemplo 1. Determinación del coeiciente de sedimentación de seroalbúmina bovina (BSA por centriugación a rpm, a 25 o C, según los datos experimentales siguientes: Sedimentación de Seroalbúmina a 25 o C Tiempo Distancia al eje de giro t / s r / cm 10 2 ln(r/r 0 0 5, ,55 0, ,60 1, ,70 3, ,80 5, ,91 7, ,87 Planteamiento. Si los resultados se acomodan al modelo establecido en la ecuación (2.14 ( r ln = s ω 2 t (2.16 r 0 ( donde r 0 se toma como dato de reerencia, al representar ln r en el eje de ordenadas rente a t en el eje de abcisas se deberá obtener un comportamiento lineal. Cuando se realizan los cáculos apropiados se obtiene una línea recta, del tipo y = ax, en concordancia con el modelo, tal como se evidencia en la igura 1. r 0 Figura 1. Por tanto, de la pendiente, a = s ω 2, se poá obtener el valor del coeiciente de sedimentación, s, buscado. a = s ω 2 = 1, s 1 9

6 Licesio J. Roíguez Sistemas Coloidales en Farmacia y De acuerdo con la recuencia de rotación de la centríuga, se obtiene: con lo que: ω = min 1 min 60 s 2π 1 ω 2 = 3, s 2 = 5953 s 1 s = 1, s 1 3, s 2 = 5, s = 5,02 S donde se ha introducido la unidad Svedberg 5, 1S = s 2.5. Ultracentriugación analítica Figura 2. Esquema de una ultracentríuga Cuando la velocidad angular es superior a rpm, la uerza centríuga originada puede ser ya más de veces superior a la uerza gravitatoria terrestre. Con este campo centríugo prácticamente todas las partículas se ven orzadas a sedimentar hacia el ondo del tubo (o a lotar hacia la supericie del líquido. El seguimiento y la cuantiicación de este proceso puede llevarse a cabo mediante procedimientos ópticos de medida, para los que habitualmente se encuentran adaptadas las ultracentríugas analíticas, uno de cuyos esquemas se da en la igura 2. 5 En honor de The Svedberg ( , isicoquímico sueco, Premio Nóbel de Química en

7 Sistemas Coloidales en Farmacia Licesio J. Roíguez Normalmente se dispone de dos sistemas ópticos, uno para la muestra y otro para una reerencia con respecto a la que se llevan a cabo medidas de absorbancia. Los resultados se obtienen en orma de periles de concentración en unción de la distancia de separación respecto del centro de giro, a dierentes tiempos (siguiendo el modelo descrito en la ecuación Algunos ejemplos ilustrativos se muestran en la igura 3. Figura 3. Periles de sedimentación A partir de estos resultados, con campos centríugos suicientemente elevados, es posible determinar el coeiciente de sedimentación de las partículas en suspensión. Generalmente el tamaño de las partículas que sedimentan no es único, por lo que se obtiene una distribución de valores de coeicientes de sedimentación (como se ilustra en la igura 4 a partir de la cual puede extraerse inormación de la homogeneidad de la muestra, así como de la identidad de los distintos componentes. Figura 4. Distribución de coeicientes de sedimentación en una muestra 11

8 Licesio J. Roíguez Sistemas Coloidales en Farmacia 2.6. Diusión. Relación de Einstein El proceso de sedimentación produce un incremento en la concentración de partículas en el ondo del tubo en orma de gradiente de concentración. En estas circunstancias, la diusión de partículas aparece como tendencia del sistema a igualar este gradiente, oponiéndose a la sedimentación. Se entiende por diusión el transporte de materia impulsado por una dierencia de concentración a lo largo de una distancia (gradiente, dc. El lujo diusivo viene dado por la primera Ley de Fick 6 : J = D dc (2.17 donde D representa el coeiciente de diusión. Si el lujo se mide en mol m 2 s 1, el coeiciente D suele tomar valores entre y 10 9 m 2 s 1 para la mayor parte de las sustancias en disolución acuosa. Si la velocidad de las partículas que diunden es v di, el lujo puede escribirse: J = v di C = D dc de donde puede estimarse la velocidad de diusión: (2.18 v di = D 1 dc dlnc = D (2.19 C Por otra parte, se puede considerar a la uerza que impulsa el transporte diusivo, F di, como el gradiente de energía química de la sustancia considerada, representada por su potencial químico, µ, con lo cual: F di = dµ (2.20 En condiciones ideales el potencial químico por molécula toma la orma µ = µ o + kt ln C, donde k es la constante de Boltzmann, por lo que: F di = kt d ln C (2.21 Al movimiento diusivo de las partículas tenderá a oponerse, igual que en el caso de la sedimentación, la uerza de ricción, F ric = v di, alcanzando enseguida el mismo valor, por lo que: v di = kt dlnc (2.22 Comparando las ecuaciones 2.23 y 2.19 se llega a la importante relación siguiente: D = kt (2.23 conocida como relación de Einstein 7. La relación anterior permite obtener el coeiciente de ricción,, de partículas coloidales y compararlo con el que establece la ecuación de Stokes (ecuación 2.7, o = 6πηR o, para partículas con simetría esérica. La relación o se desvía del valor unidad para partículas con simetría de elipsoide de revolución en unción de la relación del semieje mayor al semieje menor, a b tomando valores como los de la siguiente Tabla: a/b / o 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 6 Adol E. Fick ( , isiólogo alemán 7 Albert Einstein ( , ísico alemán, Premio Nóbel en 1921, autor de numerosas y undamentales contribuciones a la Física durante el siglo XX 12

9 Sistemas Coloidales en Farmacia Licesio J. Roíguez La estimación de esta simple relación proporciona una primera aproximación a la determinación de la orma de la partícula. Ejemplo 1. Determinar la relación 0 para Seroalbúmina a 20 o C, a partir de los datos siguientes: s = 4, s, D = 6, m 2 s 1, ρ 2 ρ 1 = 0,337 g cm 3, η = 1, kg m 1 s 1. Por otra parte, s = V 2(ρ 2 ρ 1 0 (2.24 V 2 = 4 3 πr3 0 0 = 6πηR 0 (2.25 s 0 = 2R2 0 (ρ 2 ρ 1 (2.26 9η ( 1 9ηs0 2 R 0 = (2.27 2(ρ 2 ρ 1 ( 9 1, kg m 1 s 1 4, s 2 = = 2, kg m 3 m ( = 6πηR 0 = 6 3,14 1, kg m 1 s 1 2, m ( kg = 4,60 10 s m s2 N = 4, m s2 = k T D m/s (2.30 (2.31 = 1, N m K K 6, m 2 s 1 (2.32 = 6, N con lo cual resulta: (2.33 m/s ( a = 1,44 (lo que equivale a un elipsoide con 8 ( b 2.7. Equilibrio de sedimentación A velocidades moderadas de centriugación, es posible que el enómeno de la diusión compita con el de sedimentación de orma que ambas uerzas opuestas se igualen, alcanzándose un estado estacionario en el que la concentración de sustancia a lo largo del tubo permanece invariable con el tiempo, en tanto se mantenga la rotación en la centríuga. En este caso, el lujo neto de sustancia deberá expresarse en orma de balance entre el lujo de sedimentación y el de diusión: J neto = J sed J di = v sed C D d C d r expresión que se conoce como ecuación de Lamm 8. (2.35 Si la rotación de la centríuga no es elevada, el sistema puede alcanzar el estado estacionario en el que las uerzas de sedimentación y de diusión se igualen. En esta circunstancia el lujo neto se anula y se dice entonces que se ha logrado el equilibrio de sedimentación, situación en 8 O. Lamm,

10 Licesio J. Roíguez Sistemas Coloidales en Farmacia la que la distribución de concentración rente a la distancia al centro de giro no se modiica en tanto en cuanto se mantenga la centriugación: Según se ha visto anteriormente: y v sed C D d C d r = 0 (2.36 v sed = V 2(ρ 2 ρ 1 ω 2 D = k T De otra parte, el volumen de la partícula que sedimenta: V 2 = m 2 ρ 2, y su masa: m 2 = M 2 puede expresarse como cociente entre la masa molar, o peso molecular, M 2, y el número de Avogao, N A. Asímismo, la constante de Boltzmann representa el cociente k = R N A, donde R es la constante de los gases. Cuando se introducen estas equivalencias y se procede a la separación de variables, la ecuación (2.36 se reduce a: ( dc M 2 ω2 1 ρ 1 C = ρ 2 r (2.37 2RT cuya integración da: ( C M 2 ω (1 2 ρ 1 ρ 2 ln = (r 2 r 2 C 0 2RT 0 (2.38 donde C 0, que representa la concentración de equilibrio a una distancia, r 0, determinada, se adopta como valor de reerencia. La ecuación (2.38 conduce a la determinación del peso molecular, M 2, sin necesidad de inormación adicional sobre el coeiciente de ricción de la partícula. r N A, Ejemplo 1. La β-lactoglobulina bovina, proteína dominante en la leche de vaca cuya unción es aún desconocida, posee una estructura compuesta por nueve láminas β y una hélice α (Figura 1 que se presenta en orma de dímero a ph neutro, disociándose en monómeros a ph < 3. Figura 5. Dímero de β-lactoglobulina 14

11 Sistemas Coloidales en Farmacia Licesio J. Roíguez Una disolución acuosa de β-lactoglobulina, en presencia de suiciente electrolito, con objeto de eliminar eectos electrostáticos, se centriugó a rpm hasta alcanzar el equilibrio de sedimentación, manteniendo la temperatura en 25 o C. Se obtuvieron los resultados que se presentan en la Tabla siguiente 9. Resultados para el Equilibrio de Sedimentación de β-lactoglobulina en las condiciones descritas Distancia al eje de giro r / cm Concentración de proteína g / L 4,90 1,30 4,95 1,46 5,00 1,54 5,05 1,84 5,10 2,06 5,15 2,31 El volumen parcial especíico de la proteína es 0, 75 cm 3 /g y la densidad de la disolución, que se supone uniorme, es 1, 00 g/cm 3. Determinar el peso molecular de la proteína, M 2. Planteamiento. El modelo más simple que permite interpretar los resultados de un experimento de equilibrio de sedimentación, establece la siguiente relación entre la concentración de proteína, C, y la distancia, r, al centro de giro: ( C ln = C 0 M 2 ω (1 2 ρ 1 ρ 2 2RT (r 2 r 2 0 (2.39 donde C 0 y r 0 se toman como datos de reerencia, que en nuestro caso serán los que se aparecen en el primer lugar de la Tabla. Cuando se realizan los cálculos apropiados se observa ( que los resultados del problema se acomodan a este modelo ya que, al representar ln C, en el eje de ordenadas, rente C0 a (r 2 r0 2, en el eje de abcisas, se obtiene una aceptable línea recta, del tipo y = ax, con ordenada en el origen prácticamente nula, tal como puede verse en la Figura 6. Figura 6. Representación de los datos experimentales de acuerdo con la ecuación D.J. Shaw, Colloid and Surace Chemistry, Butterworth-Heinemann, Oxord,

12 Licesio J. Roíguez Sistemas Coloidales en Farmacia ( Por tanto, de la pendiente, a = M 2ω 2 1 ρ 1 2RT, se poá obtener el valor de la masa molecular, M 2, buscada. M 2 ω (1 2 ρ 1 ρ 2 a = = 0,2304 cm cm 2 2RT 1 m 2 = 2304 m 2 (2.40 Por otra parte, de la recuencia de rotación de la centríuga obtenemos: ρ 2 con lo cual: ω = 2π min 1 min 60 s = 1, s 1 ω 2 = 1, s 2 Recordando, además, que R = 8,31 J mol 1 K 1 y que T = 298 K, se llega al resultado siguiente: M 2 = 2RT a = ω (1 2 ρ 1 ρ 2 es decir: ( 2 8,31 kg m2 s 2 mol K (298 K(2304 m 2 1, s 2 (0,25 M 2 = 34, g mol 1 = 34,40 kg mol 1 (