Tema Nº 6 Sucesiones numéricas. Progresiones

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Juan Francisco Espinoza Rey
hace 6 años
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1 Tema Nº 6 Sucesiones numéricas. Progresiones Sucesiones Definición Es una sucesión de términos formados de acuerdo con alguna regla Término general de una sucesión Se denomina término general de una sucesión, S, simbolizado como S n, a la expresión que representa cualquier término de esta. Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula, en la cual, dándole a n un cierto valor, se obtiene el término correspondiente. Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se denominan sucesiones recursivas. Progresiones aritméticas Definición Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior sumando una cantidad fija (positiva, negativa o cero), llamada diferencia común, que se suele denotar por la letra d. Los términos de las progresiones aritméticas los podemos representar de la siguiente forma: Aquí, a es el término inicial y d es la diferencia común sucesiva. Obtención del término general El término general de una progresión aritmética cuyo primer término es y cuya diferencia es d se obtiene de la siguiente forma: Para pasar de tenemos que dar n-1 pasos de amplitud d. Por lo tanto: Suma de los términos de una progresión aritmética La suma

2 aritmética de diferencia d es: de los n primeros términos de una progresión Ejemplo Sea La sucesión sería: Progresiones geométricas Definición Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior multiplicando una cantidad fija (positiva, negativa o cero), llamada razón común, que se suele denotar por r Obtención del término general El término general a n de una progresión geométrica cuyo primer término es a 1 y cuya razón es r se obtiene razonando de esta manera: Para pasar de a 1 a a n tenemos que dar n- 1 pasos, consistiendo cada paso en multiplicar el término por r. Por lo tanto: Suma de los términos de una progresión geométrica La suma d de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es: Suma de los términos de una progresión geométrica con r<1 La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica 0<r<1 se expresa como y se obtiene así:

3 Ejemplo Sea a 1 =5 y r=0.8 Por otro lado, si prolongamos la suma hasta el infinito Tema Nº 7 Combinatoria L a Combinatoria es tud ia las ordenac iones o agrupaciones de un dete rminado número de elementos. E n todo proble ma combinatorio hay va rios c onceptos cla ves que debemos distin guir: 1. Poblac ión E s el con junto de ele men tos qu e e sta mos e studiando. Denominare mo s c on m al nú me ro de eleme ntos de es te conjunto. 2. Muestra E s un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la mu estra.

4 asp ectos: Los diferente s tipo s d e mues tra vienen determinados por d os Orden Es decir, si es importa nte que los eleme ntos de la mu estra aparezc an ordenados o no. Repetic ión L a posibilidad de rep etición o no de los elementos. Fac torial de un número n atural Es el produc to de los n facto res cons ecutiv os de sde n has ta 1. El f ac torial de un número s e denota por n!. Variac iones Variac iones ordinarias S e llama v ariac iones ordin arias de m elementos tomados de n e n n (m n) a lo s distin tos grupos forma dos por n e lementos de fo rma que: No en tra n todos los elemento s.

5 Sí impo rta el orden. No s e repiten los ele me ntos. También pode mos calcu lar la s varia c io nes med iante fac toria les : L as varia c io nes se deno tan por Varia c iones c on re petic ión S e llaman variac iones c on repe tic ió n de m e lementos tomad os de n en n a los distin tos grup os formad os po r n elemen tos de manera que: No entran todo s los e lemen tos si m > n. Sí pueden entrar tod os los e lementos si m n Sí impo rta el orden. Sí se re piten los e lementos.

6 Permutac iones S e llama pe rmutac io nes de m elementos (m = n) a las diferente s agrupaciones de esos m elementos de forma que: Sí entran to dos lo s e lemen tos. Sí impo rta el orden. No s e repiten los ele me ntos. Permutac iones c irc ula res Es un caso particular de las permu tac iones. S e utiliz an cuando los elementos se han d e ordenar " en círcu lo", (por e jemplo, los comensa les en una mesa ), de modo que el primer e lemen to qu e "s e sitúe" en la muestra determina e l principio y e l final de mues tra.

7 PC 7 = (7 1)! = 6! = = 72 0 Pe rmutac iones c on repetic ión Permutac iones c on re petic ión de m eleme ntos donde e l primer elemento se repite a vece s, e l segundo b veces, el terce ro c veces,...( m = a + b + c +... = n) son los d istin tos grupos que pued en forma rse con esos m elementos de forma que : Sí entran to dos lo s e lemen tos. Sí impo rta el orden. Sí se re piten los e lementos. Combinac iones S e llama c o mbinac iones d e m elementos tomados de n en n (m n) a to das las ag rupaciones posibles que pueden hacerse con lo s m elemento s de forma que: No en tra n todos los elemento s. No importa el orden.

8 No s e repiten los ele me ntos. También podemos calcu lar las c ombinac ione s med ian te fac toria les : L as c ombinac iones se denotan por Co mbinac iones c on repetic ió n L as c ombinac iones con repe tic ió n de m elementos to ma dos de n e n n (m n), son los dis tintos grupos formados po r n elementos de manera q ue: No en tra n todos los elemento s. No importa el orden. Sí se re piten los e lementos.

9 Números c ombinato rio s El número se llama tambié n número c ombinatorio. S e re pres enta po r y s e lee " m s obre n". Prop ieda des de lo s n úmeros c o mbinatorios L os números d e e ste tipo se llaman c o mp lementarios. 3.

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