Contenido 11 UNIDAD I. GEOMETRÍA CAPITULO I: LEY DE SENOS Y COSENOS... 1 A. Razones Trigonométricas de Ángulos Obtusos... 1 B. Ley de Senos... 3 C.

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1 Contenido UNIDAD I. GEOMETRÍA CAPITULO I: LEY DE SENOS Y COSENOS... A. Razones Trigonométricas de Ángulos Obtusos... B. Ley de Senos... C. Ley de Cosenos... 7 D. Problemas de Aplicación... 0 E. Fórmula de Área del Seno... 5 AUTOEVALUACIÓN Ley de Senos y Cosenos... 9 CAPITULO II: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA... A. Ángulos en el Plano Cartesiano... A. Lado Inicial y Lado Terminal... A. Ángulos en Posición Estándar... 4 A. Ángulos Positivos y Negativos... 4 A.4 Ángulos Cuadrantales y Cuadrante del Lado Terminal... 5 A.5 Ángulos Coterminales... 8 A.6 Ángulos de Referencia... 0 B. La Circunferencia Trigonométrica... 4 B. Seno y Coseno de Ángulos en Posición Estándar... 5 B. Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante... 8 B. Valores Trigonométricos de Ángulos Especiales... 4 AUTOEVALUACIÓN Circunferencia Trigonométrica... 4 CAPITULO III: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS... 5 A. Identidades por Definición... 5 B. Identidades por Propiedades de Ángulos C. Identidades Pitagóricas D. Identidades de Ángulos Opuestos y Ángulos Suplementarios... 6 E. Identidades con Suma de Ángulos (y consecuencias) AUTOEVALUACIÓN Identidades Trigonométricas CAPITULO IV. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS... 7 A. El Período y Amplitud B. Función Seno C. Función Coseno D. Función Tangente E. Transformaciones de las Funciones Trigonométricas Básicas... 8 E. Transformaciones Verticales... 8 E. Transformaciones Horizontales... 8 E. Resumen y Forma General... 8 F. Otras Gráficas Trigonométricas G. Funciones Trigonométricas Inversas H. Aplicaciones AUTOEVALUACIÓN Funciones Trigonométricas... 9 CAPITULO V: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS... 0 A. Ecuaciones Simples... 0 B. Ecuaciones de Segundo Grado C. Ecuaciones Utilizando Identidades AUTOEVALUACIÓN Ecuaciones Trigonométricas...

2 UNIDAD II. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD CAPITULO I: REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA... 5 A. Conceptos Básicos... 6 A. Muestreo... 6 A. Clasificación de Variable Estadística... 6 A. Tipos de Estudios Estadísticos... 6 B. Frecuencias y Gráficos... 7 B. Frecuencia Absoluta... 7 B. Gráficos de Barras... 7 B. Frecuencia Porcentual... 7 B.4 Gráfico Circular... 8 C. Medidas de Tendencia Central... 8 D. Diagramas de Puntos... 9 E. Gráficos Lineales... 9 AUTOEVALUACIÓN Repaso de Conceptos Básicos... CAPITULO II: PROBABILIDAD... A. Aleatoriedad... B. Espacio Muestral y Eventos... 5 C. Definición de Probabilidad... 8 D. Reglas Básicas de Probabilidades... AUTOEVALUACIÓN Probabilidad... 5 CAPITULO III: ESTADÍSTICA DE VARIABLES CONTINUAS... 9 A. Muestras Aleatorias... 9 A. Muestreo... 9 A. Aleatoriedad... 9 A. Tipos de Estudios Estadísticos... 9 B. Análisis Mediante División por Clases... 4 B. Clasificación de Variable Estadística... 4 B. Frecuencia Absoluta... 4 B. Gráficos de Barras... 4 B.4 Frecuencia Porcentual... 4 B.5 Frecuencia Porcentual y Relativa... 4 B.6 Otros Tipos de Gráficos B.7 Medidas de Tendencia Central AUTOEVALUACIÓN Estadística de Variables Continuas CAPITULO IV: PROBABILIDAD FRECUENCIAL... 5 A. Espacio Muestral... 5 B. Definición Laplaciana de Probabilidad... 5 C. Probabilidad Frecuencial... 5 CAPITULO V: MEDIDAS DE POSICIÓN A. Medidas de Tendencia Central B. Media Aritmética Ponderada AUTOEVALUACIÓN Medidas de Posición CAPITULO VI: MEDIDAS DE VARIABILIDAD A. Diagramas de Cajas B. Variancia y Desviación Estándar... 7 C. Coeficiente de Variación y Estandarización AUTOEVALUACIÓN Medidas de Variabilidad CAPITULO VII: PROBABILIDAD... 8 A. Repaso de Probabilidad... 8 B. Eventos Compuestos AUTOEVALUACIÓN Probabilidad... 9

3 CAPITULO I: Ley de Senos y Cosenos Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos En este capítulo generalizamos los resultados obtenidos para un triángulo rectángulo, a cualquier triángulo. A. Razones trigonométricas de ángulos obtusos El estudio de la trigonometría no se limita a triángulos rectángulos. Sin embargo, para trabajar con ángulos obtusos, se debe tomar en cuenta que la relación opuesto sen α = pierde validez porque ya no hipotenusa podemos tener una hipotenusa en un triángulo que no es rectángulo. Entonces, para ángulos obtusos se debe redefinir el concepto de razón trigonométrica. Para ángulos obtusos se define sen α = sen ( 80 α ) y cos α = cos ( 80 α ) Es decir, el seno de un ángulo obtuso será siempre igual que el seno de su ángulo suplementario. EJEMPLO. sen 50 EJEMPLO. Encuentre el valor eacto de Encuentre los valores aproimados de sen 75, sen 05, cos 49 y cos Debemos observar cómo ahora al decir que sen α = 0,4 hay dos posibles valores de α : α 0 y α 60. En general para el seno, siempre tendremos dos soluciones: un ángulo agudo y otro obtuso. La calculadora nos da el resultado del ángulo agudo únicamente y para calcular el obtuso sólo debemos calcular el suplemento del ángulo que da la calculadora. Por otro lado, para el coseno, la respuesta que nos da la calculadora es siempre la única que funciona, esto se debe al signo del valor dado. EJEMPLO. En cada uno de los siguientes casos, encuentre el ángulo pedido: a) θ si es obtuso y sen θ = 0,5. b) α si sen α = c) α si cos α = 4 La Paz Community School

4 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Soluciones A. EJEMPLO : Encuentre el valor eacto de sen 50 Según la fórmula estudiada sen50 = sen ( ) = sen 0 y cómo hemos visto en secciones anteriores sen 0 = y por lo tanto, sen50 =. EJEMPLO : Encuentre los valores aproimados de sen05, sen 75, cos 49 y cos Con ayuda de una calculadora sen 75 0,966; sen05 0,966; cos 49 0,66 y cos 0,66. EJEMPLO : En cada uno de los siguientes casos, encuentre el ángulo pedido: a) θ si es obtuso y sen θ = 0,5 +. b) α, sisen α =. c) α si cos α = 4 Con ayuda de la calculadora ( ) θ = sen 0,5 θ 8, 6. Esta opción no sirve porque el enunciado θ = 80 θ dice que θ es obtuso. Así, θ 80 8,6 θ 7,7 Sea sen + α = α, 5 y α = 80 α α 80, α 46,88 opciones son válidas.. En este caso, las dos Tenemos 5 cos + α = 4 α = 44 Ejercicio A. Resuelva los siguientes problemas. Redondee a dos decimales.. Aproime sen8, sen 44, cos5.. Encuentre φ, si es un ángulo obtuso y sen φ = 0,85. Aproime + cos00 sen5 4. Encuentre δ, si es un ángulo obtuso y sen δ = 0,7 5. Encuentre β si es un ángulo obtuso y 6. Encuentre α, si es obtuso y sen α = 0, =,5 sen β 7. Para cuáles ángulos α se cumple sen α = 0,? Para cuáles ángulos α se cumple sen α =? Para cuáles ángulo α se cumple sen α =? 4 0. Encuentre los valores eactos de sen0 y sen5.. Encuentre los valores eactos de cos0 y cos5. sen α. Utilice la relación tan α = para encontrar cos α tan. Verifique el resultado directamente con la calculadora. 9. Encuentre α si es obtuso y cos α = 5 4. Encuentre γ si es obtuso y cos α = 5. Encuentre α si cos α = 0, Encuentre α si cos α = 0, La Paz Community School

5 B. Ley de senos Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Ejercicio Introductorio B: Con respecto al triángulo adjunto complete las siguientes proposiciones: Sea h la longitud de la altura dibujada desde A, entonces: sen B = y senc =, despejando h de esas ecuaciones obtenemos h = y h =. Al igualar estas epresiones se obtiene: = que es equivalente a c = sen B. La ley de senos es una regla que permite utilizar trigonometría en triángulos que no son rectángulos. Como ya sabemos que cada ángulo tiene un seno definido independientemente del triángulo en que esté, entonces, ya no dependemos del cateto opuesto ni de la hipotenusa para trabajar con el seno de un ángulo. Veremos algunas aplicaciones de la ley de senos, en particular cómo encontrar la medida de un lado o un ángulo faltante. La ley de senos funciona en los siguientes casos: Dados dos ángulos y un lado Sea b TEOREMA (Ley de Senos) ABC un triángulo de lados de lados a = BC, = AC y c = AB. a Entonces, = b = c sen A sen B sen C EJEMPLO 4. en el siguiente triángulo: Encuentre el valor de las variables La Paz Community School

6 Dados dos lados y un ángulo: En esta situación hay tres posibles casos y por eso se le conoce como el caso etraño de la ley de senos. Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos (CASO. Solución única) EJEMPLO 6. Encuentre el valor de la variable en el siguiente triángulo: (CASO. Dos posibles soluciones) EJEMPLO 5. Encuentre el valor de la variable en el siguiente triángulo: (CASO. Sin soluciones) EJEMPLO 7. Encuentre el valor de las variables en el siguiente triángulo: Soluciones B. EJEMPLO 4: Encuentre el valor de las variables en el siguiente triángulo: Por la ley de senos sen 40 = = 8,ul sen 40 sen 68 sen 68 Para encontrar el lado y necesitamos la medida del ángulo opuesto, que por suma de ángulos internos es = 7. Luego, y sen 7 = y = y,ul sen 7 sen 68 sen La Paz Community School

7 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos (CASO. Dos posibles soluciones) EJEMPLO 5: Encuentre el valor de la variable en el siguiente triángulo: En la figura, tenemos: 5 0 5sen 5 = sen = sen 0,86 sen sen 5 0 ( ) sen 0,86 59, 0, 68 Observemos que las dos opciones son válidas por que en ambas al calcular el tercer ángulo del triángulo da positivo. (En el primer triángulo es 85,68 y en el segundo es 4, ) (CASO. Solución única) EJEMPLO 6: Encuentre el valor de la variable en el siguiente triángulo: Sea y la medida del tercer ángulo del triángulo. Entonces: 5 sen 60 = sen y = sen y 0, 69 sen y sen 60 5 ( ) y y y sen 0, 69 4, 6 6, 7 Observe que y no es una solución válida, porque al sumar los ángulos internos, daría más de 80. Así, que y 4, ,85 = 76,7. (CASO. Sin soluciones) EJEMPLO 7: Encuentre el valor de las variables en el siguiente triángulo: Sea y la medida del tercer ángulo del triángulo. Entonces: 5 8 5sen 70 = sen y = sen y, 76 sen y sen 70 8 relación es imposible porque el seno nunca pueda dar más de., pero observemos que esa Entonces, no eiste un triángulo que tenga esas condiciones. El coseno tampoco puede tomar valores mayores que, pero la tangente puede tomar cualquier real. Si intentamos calcular sen, 76 la calculadora devuelve MATH ERROR. Esto nos previene de que estamos en un caso en el que no hay solución. La Paz Community School 5

8 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Ejercicio B. En las siguientes figuras encuentre los valores posibles de las variables. Especifique en caso de que no hay soluciones posibles La Paz Community School

9 C. Ley de Cosenos Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos La Ley de Cosenos aparece más bien como una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo. Sea TEOREMA: (Ley de Cosenos) ABC un triángulo de lados de lados a = BC,b = AC y c = AB. Entonces, a = b + c bc cos A. Además: b = a + c ac cos B, = + c a b ab cosc DEMOSTRACION: Demostraremos el teorema sobre el lado b = AC, en el caso de B y C son ambos agudos. Si esto no sucede la demostración es muy similar con las consideraciones adecuadas. Sea h la longitud de la altura dibujada desde A, n y m las medidas de los segmentos en que divide al lado a, entonces, m = a n. Por el teorema de Pitágoras: b = h + m y c = h + n h = c n. Sustituyendo esto en la primera relación: ( ) = + = + = + + = +. b c n m b c n a n b c n a an n b a c an n Sin embargo, cos B = n = c cos B. Y al sustituir obtenemos b = a + c ac cos B c Esta ley se puede utilizar en cualquier triángulo, aún cuando no sea rectángulo. Se utiliza en general para resolver triángulos de las siguientes maneras: EJEMPLO 8. Encuentre el valor de la variable en el siguiente triángulo: Dados dos lados y el ángulo comprendido a) Dados dos lados y un ángulo no comprendido: b) Dados los tres lados del triángulo c) La Paz Community School 7

10 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Soluciones C. EJEMPLO 8. Encuentre el valor de la variable en el siguiente triángulo: a) Según la ley de cosenos: = cos 75 Aproimando con la calculadora, obtenemos: 57, 65 y, por lo tanto,,9 Observe que es indispensable considerar que el ángulo que utilizamos en la ley de cosenos es opuesto al lado del triángulo que queda en el lado izquierdo de la igualdad. b) En este caso por la ley de cosenos: Simplificando y aproimando: = cos , 75 En forma estándar:, Ahora, resolviendo esta ecuación cuadrática por cualquier método obtenemos: 6, 98 y 6, 77 En este caso, la cantidad de soluciones dependen del de la ecuación cuadrática que se obtiene. Recuerde que si > 0 entonces hay dos soluciones, si = 0 hay una única solución y si < 0 entonces no hay soluciones. Observe que este caso, es igual que el caso etraño de la ley de senos, con la diferencia de que al usar la ley de cosenos lo que buscamos es un lado y no un ángulo. c) Para encontrar utilizamos la ley de cosenos, para primero encontrar cos : cos cos cos = + = + =. Despejando cos obtenemos: = 9 cos 7 = 9 cos cos = cos 0, 09 9 Para encontrar utilizamos Para encontrar y es ahora más sencillo utilizar la ley de senos: 8sen 95,08 sen y sen y 0,5 5 cos y obtenemos ( ) y despejando y : ( ) cos 0, 09 95, sen 95, 08 sen y y sen 0,5 y, 09 / y 47,9. Observe que la epresión 08 9cos no se puede simplificar porque los términos no son semejantes. 8 La Paz Community School

11 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Ejercicio C. En las siguientes figuras encuentre los valores posibles de las variables La Paz Community School 9

12 D. Problemas de aplicación Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Resolver un triángulo significa encontrar las medidas de todos los lados y ángulos. A continuación, se presenta un resumen de los casos, donde a, b, c son lados dados y α, β ángulos dados. El lado o ángulo que se debe encontrar primero se denota con. LEY DE SENOS LEY DE COSENOS. Dos ángulos y un lado. Dos lados y el ángulo comprendido A veces es necesario encontrar el tercer ángulo del triángulo antes de aplicar la ley. Después de encontrar, se puede usar la ley de senos para encontrar las demás partes del triángulo.. Dos lados y el ángulo no comprendido 4. Tres lados del triángulo Este el caso etraño, en el cual pueden haber dos soluciones, una o bien ninguna. EJEMPLO 9. De acuerdo con los datos de la figura, calcule la medida eacta de BC : Es conveniente empezar, con el ángulo opuesto al lado de mayor medida, luego se pueden encontrar los otros ángulos usando la ley de senos. Estos son de seguro agudos. EJEMPLO. Encuentre la medida de los ángulos del triángulo. EJEMPLO. En un paralelogramo la diagonal EJEMPLO 0. Calcule la medida de la diagonal mayor de un paralelogramo cuyos lados miden 5 cm y 8cm y tiene un ángulo que mide 06 menor mide 0cm y forma con uno de los lados un ángulo de 5. Si uno de los ángulos internos del paralelogramo es 0. El paralelogramo es un rombo o un romboide? Encuentre aproimadamente el perímetro. 0 La Paz Community School

13 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Soluciones D. EJEMPLO 9. De acuerdo con los datos de la figura, calcule la medida eacta de BC : Por la ley se senos BC sen 45 = BC = sen 60 sen 45 sen 60 y recordando por triángulos especiales: sen 60 =, sen 45 = Al sustituir tenemos: sen 45 BC = = = = sen 60 = EJEMPLO 0. Calcule la medida de la diagonal mayor de un paralelogramo cuyos lados miden 5 cm y 8cm y tiene un ángulo que mide 06 En un paralelogramo la diagonal mayor es la opuesta al ángulo obtuso. Entonces, por la ley de cosenos: D = cos06 y obtenemos: D 697,85 D 6, 4 EJEMPLO. Encuentre la medida de los ángulos del triángulo. La Paz Community School

14 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Primero encontrarnos la medida del Sea M = θ con ley de cosenos: 5 = cos θ 65 = cos θ 64 cos θ = 0, 4 θ cos ( 0, 4) 5,57 80 α = m O y β = m N. Aplicando la ley de senos: Como el ángulo sen5, 57 = = sen α = sen O sen θ sen α sen5,57 5. ( ) α α = α α sen 0, 6 sen 0, 6,5 58, 90 O debe ser agudo, tenemos que m O,0. Por último, β 80,5 5,57º β 4, 8º y en este caso todas las propiedades básicas de los triángulos se satisfacen y entonces m M 5,57º y m N 4, 8º Las propiedades de los triángulos que debemos tener presentes antes de dar la solución de un problema en el caso etraño son: La suma de los ángulos internos debe ser 80, a mayor ángulo debe estar opuesto mayor lado y la desigualdad triangular (la suma de dos lados debe dar más que el otro lado) EJEMPLO. En un paralelogramo la diagonal menor mide 0cm y forma con uno de los lados un ángulo de 5. Si uno de los ángulos internos del paralelogramo es 0. El paralelogramo es un rombo o un romboide? Encuentre aproimadamente el perímetro. La diagonal menor de un paralelogramo es la que une los ángulos obtusos. Luego, podemos encontrar la medida de los ángulos internos de los triángulos formados y darnos cuenta que esos triángulos son escalenos porque sus tres ángulos son de diferentes medidas: 5,75 y 70. Entonces, el paralelogramo debe ser un romboide pues no es equilátero. Aplicando la ley de senos en el triángulo De la misma manera: ADC tenemos: 0 AD 0sen 5 = AD = AD,. sen 70 sen 5 sen 70 0 DC 0sen 75 = DC = AD 0,56. sen 70 sen 75 sen 70 Y el perímetro es P = AD + DC P, + 0,56 P 65,54cm La Paz Community School

15 Ejercicio D. I PARTE: En las siguientes figuras determine el valor de las variables Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos II PARTE: Resuelva los siguientes triángulos. Especifique en caso de que no hay soluciones posibles La Paz Community School

16 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos III PARTE: Resuelva los siguientes problemas. En la figura, calcule aproimadamente m ACD : 7. En un paralelogramo la diagonal menor mide 0cm y forma con uno de los lados un ángulo de 5. Si uno de los ángulos internos del paralelogramo es 0. El paralelogramo es un rombo o un romboide? Encuentre el perímetro aproimadamente.. En el siguiente paralelogramo calcule eactamente la medida de la diagonal 8. En un trapecio isósceles los ángulos menores miden 40º. Si los lados congruentes miden 5cm y la base mayor mide 5cm. Cuánto mide aproimadamente la diagonal?. Con base en los datos de la figura la medida eacta de AC es: 9. En un paralelogramo con un ángulo interno de 46, la diagonal mayor mide 5cm y forma con uno de los lados del paralelogramo un ángulo de 4. Encuentre el perímetro del paralelogramo. 0. Encuentre aproimadamente. 4. En la siguiente figura, utilice ley de cosenos para calcular m ACB. Después, calcule aproimadamente m ACD y utilice ley de cosenos para aproimar CD. 5. En la siguiente figura encuentre el valor eacto de BC. De acuerdo con la figura, el observador A ve al avión con un ángulo de elevación de 5 y el avión ve al observador B con un ángulo de depresión de En un romboide los lados miden 0cm y 8cm. Si la diagonal menor mide 5cm. Cuánto miden aproimadamente los ángulos del romboide? Si se sabe que la distancia entre el observador A y el avión es de 000m, Cuál es la distancia entre los observadores? 4 La Paz Community School

17 E. Fórmula de área del seno Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Como consecuencias de las propiedades trigonométricas en un triángulo, se pueden encontrar fórmulas adicionales a la básica: ( ABC ) base altura = La siguiente fórmula se utiliza cuando en un triángulo tenemos la medida de un ángulo, y las medidas de los lados que lo forman. FORMULA DEL SENO PARA EL AREA: Sea un triángulo de lados a = BC,b = AC y c = AB. ABC EJEMPLO. Calcule el área aproimada del siguiente triángulo EJEMPLO 4. Calcule el área eacta del siguiente triángulo Entonces: ( ABC ) bc sena = EJEMPLO 5. Calcule el área de un rombo cuyo lado mide 0cm y tiene un ángulo interno de medida 78 Recordamos además la fórmula de Herón cuya demostración se puede hacer con la ley de cosenos, como veremos en el ejercicio. DEMOSTRACION: Sea α = m A y h la medida de la altura dibujada desde B, entonces, ( ABC ) Pero sen b h =. h α =, de donde h = c sen α y sustituyendo c en la fórmula anterior: ( ABC ) b h b c sen α bc sen α = = = FÓRMULA DE HERÓN: Sea lados a, b y c. Se define semiperímetro. ABC un triángulo de a + b + c s = como el Entonces, se cumple ( ABC ) = s ( s a)( s b)( s c) EJEMPLO 6. figura: Calcule el área de la siguiente La Paz Community School 5

18 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Soluciones E. EJEMPLO. Calcule el área aproimada del siguiente triángulo Aplicando la fórmula del área del seno obtenemos: A = sen 45 5 y recordando que sen 45 = obtenemos: A = = = 0 Observe que como = entonces se puede cancelar como lo hicimos en el ejemplo. EJEMPLO 4. Calcule el área eacta del siguiente triángulo Aplicando la fórmula del área del seno obtenemos:, sen0 A = 5,5ul EJEMPLO 5. Calcule el área de un rombo cuyo lado mide 0cm y tiene un ángulo interno de medida 78 Podemos ver el rombo como dos triángulos isósceles congruentes, a los que al aplicar la fórmula 0 0sen 78º del área del seno obtenemos: A = = 400 sen 78º 9, 6cm EJEMPLO 6. Calcule el área de la siguiente figura: Dividimos el cuadrilátero por una de sus diagonales, de manera que se forman dos triángulos. Con la ley de cosenos encontramos la medida de esa diagonal para luego aplicar la fórmula de Herón: = cos94º,9. En el primer triángulo aplicamos la fórmula de Herón: s,9 8, 46 A 8, 46 ( 8, 46 8 )( 8, 46 5 )( 8, 46,9 ) 55, 9 0sen 94º En el segundo, aplicamos la fórmula del área del seno: A = 44,89 Así, el área sombreada es aproimadamente A = A + A 55, + 44,89 = 00,0 6 La Paz Community School

19 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos Ejercicio E. I PARTE: Encuentre el área aproimada de los siguientes triángulos II PARTE: Encuentre el área eacta de los siguientes triángulos La Paz Community School 7

20 III PARTE: Encuentre el área pedida en cada caso.. Encuentre el área sombreada: Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos 8. De acuerdo con los datos de la figura, en la que m ABD = 45, m ABC = 5 cuál es el área sombreada. Encuentre aproimadamente el área de un romboide ABCD con AB = cm, AD = cm y DB = 5cm. Encuentre eactamente el área de un romboide ABCD con lados AB = 0cm y AD = 5cm y tal que la m A = 0 4. Calcule el área de un rombo cuyo lado mide 5cm y tiene un ángulo interno de medida En la figura, utilice ley de cosenos para calcular BC. Luego, calcule ( ABC ) y ( BDC ) para encontrar el área sombreada. 9. Demuestre utilizando la fórmula del área del seno que el área de un triángulo equilátero es l A = 4 0. Demuestre utilizando la fórmula de Herón que el área de un triángulo equilátero es l A = 4. Para demostrar la fórmula de Herón, realice los siguientes pasos. Sea ( ABC ) el área de un triángulo con lados a, b, c y semiperímetro s. Demuestre que: a. ( s a) = b+ c a ( ) ( ) s b = c + a b, s c = a + b c b. Calcule cos A en términos de a, b, c 6. Calcule el área sombreada c. cos A = ( b c) a a ( b + c) 4b c d. ( ABC ) b c sen = 4 A 7. En la figura, E es el punto medio de DC y BD = DE, ( ADC ) Encuentre la razón ( ABC ) e. Utilizando que sen algebraicamente hasta obtener: A = cos A, manipule ( ) = ( )( + )( )( + + ) 6 ABC b c a b c a a b c a b c f. Concluya la fórmula de Herón 8 La Paz Community School

21 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos AUTOEVALUACIÓN: Ley de Senos y Cosenos Selección única ) Si en ABC, m ABC = 7, m BCA = 40 y AB =, entonces cuánto es AC? A) 8, 4,84 7, 7,75 4) De acuerdo con los datos de la figura la medida de AB es ) De acuerdo con los datos de la figura, cuánto es aproimadamente PR? A) A),5,7 0,,9 5) De acuerdo con los datos de la figura, la medida aproimada de AC es ) De acuerdo con los datos de la figura la longitud aproimada de AB es A) 4,55 5,50 7,04 7,75 6) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es aproimadamente el perímetro del ABC? A), 8,49 6,97 50,9 A) 0,,6 4,0 7,6 La Paz Community School 9

22 7) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es la medida aproimada de PB? A) 6,8,60 6,54,0 8) De acuerdo con los datos de la figura, si AB CD, entonces cuál es la medida aproimada de AD? A) 6,8 9,48 0,5 4,9 9) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es la medida aproimada de BC? A) 6,89 9,9, 4,9 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos ) En el ABC se cumple que m A = m B y A) m C = 0 m A entonces el valor eacto de sen C es: ) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es al valor aproimada de? A) 0,06 5,7 7,7 5,80 ) Si ABCD es un paralelogramo, tal que m DCB = 00, m DBA = 8, BA = entonces cuál es aproimadamente el perímetro de ese paralelogramo? A) 5,4 5, 49,49,49 4) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es el valor eacto de? A) 6 6 0) De acuerdo con los datos de la figura, en la que R es agudo, cuál es el valor aproimado de α? A) ) Si en ABC, m ABC = 7, m BCA = 40 y AB =, entonces cuánto es AC? A) 8, 4,84 7, 7,75 0 La Paz Community School

23 6) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es la medida aproimada de AC? A) 6,9 Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos 0) De acuerdo con los datos de la figura, se puede asegurar que,94 7,55 7,5 7) Si en ABC, m C = m B y m A = ( m B + m entonces el valor eacto de sen A es: A) α 50, 47 α,9 No eiste un triángulo con esas medidas α tiene dos posibles valores A) ) De acuerdo con los datos de la figura, se puede asegurar que 8) De acuerdo con los datos de la figura, para la medida del ángulo A : A) α 0,6 α 88, No eiste un triángulo con esas medidas α tiene dos posibles valores A) Eiste un único valor y es menor que 60 Eiste un único valor y es mayor que 60 Eisten dos valores posibles No eiste ningún valor posible. ) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es al valor aproimado de? 9) Si α es la medida de un ángulo agudo y sen α = 0, entonces cos( 80 α ) es aproimadamente A) 0, 0, 0,97 0, 97 A),97 7,58,6,85 La Paz Community School

24 ) De acuerdo con los datos de la figura, se puede asegurar que Capítulo I: Ley de Senos y Cosenos 6) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es la medida aproimada de AC? A), 78ul 7, 8ul,70 o 7,8ul No eiste un triángulo con esas medidas A) 9,79,94 95, No eiste un triángulo con esas condiciones 7) Si ABCD es un paralelogramo, tal que m ADC = 54, AD =, DC = 8 entonces cuál es 4) De acuerdo con los datos de la figura, se puede asegurar que aproimadamente la medida de AC? A),00 6,49 4,09 44,0 A) 0,77 4,6 7,6 No eiste un triángulo con esas medidas 8) De acuerdo con los datos de la figura, en la que m ABD = 45, m ABC = 5 cuál es el área sombreada? 5) De acuerdo con los datos de la figura, se puede asegurar que A),8,8 A) 95 < α < 0 α < 90 α tiene dos posibles valores Ninguna de las anteriores es correcta La Paz Community School

25 CAPITULO II: Circunferencia Trigonométrica Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica A. Ángulos en el plano cartesiano La trigonometría analítica es el estudio de la generalización de las razones trigonométricas estudiadas previamente. Para hacerlo con un enfoque formal es necesario retomar algunas definiciones, particularmente la de ángulo, y ubicar estos es un plano cartesiano. A. Lado inicial y lado terminal A través de esta unidad trabajaremos los ángulos como rotaciones de un rayo. Así, cualquier ángulo tiene un lado inicial y un lado terminal, y una orientación que corresponde a la dirección en la que rota el ángulo. Orientación positiva Orientación negativa Si tomamos el ABC el lado inicial es BA, y el terminal es BC. Mientras que si consideramos CBA, la orientación cambia: el lado inicial es BC, y el terminal es BA. El enfoque que escogemos para trabajar en esta unidad se basa en la utilización de ángulos de medida arbitraria. Preferiblemente medimos los ángulos en radianes. Otro enfoque consiste en vez de asociar las razones trigonométricas a ángulos, hacerlos con longitudes de arco de medida arbitraria. Luego, se definen los valores trigonométricos con base en el punto asociado a la circunferencia trigonométrica de centro ( 0, 0 ) y radio. El punto de la circunferencia trigonométrica asociado al número real, es el punto P que satisface map =, donde A (,0). Cuando > 0, medimos el arco contra las manecillas del reloj, y cuando < 0, medimos el arco a favor de las manecillas del reloj. Notemos que la longitud del arco AB se puede calcular con la fórmula L =α r, y como el radio es, entonces, esta longitud (medida en unidades lineales) es igual que el ángulo (medido en radianes), por lo que se obtendrán los mismos resultados en cualquiera de los dos enfoques. La Paz Community School

26 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica A. Ángulos en posición estándar A partir de ahora, referiremos los ángulos a un sistema de coordenadas, colocando el vértice sobre el punto ( 0, 0 ) como en las figuras de la derecha. Nos concentraremos en los ángulos que satisfacen la siguiente condición: Un ángulo en posición estándar (normal) es tal que su lado inicial coincide con el semieje positivo. Por ejemplo, en la figura anterior los ángulos dos y cuatro están en posición estándar, los demás no. A. Ángulos positivos y negativos De acuerdo con la orientación que tiene un ángulo, los podemos clasificar de la siguiente manera: Ángulos positivos: Ángulos negativos: Un ángulo en posición estándar es positivo si su orientación es en contra de las manecillas del reloj. En la figura, β es positivo. Un ángulo en posición estándar es negativo si su orientación es a favor de las manecillas del reloj. En la figura, αes negativo. Ejercicio A. Determine cuáles de los siguientes ángulos están en posición estándar. Si lo están, determine si son positivos o negativos La Paz Community School

27 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica A.4 Ángulos cuadrantales y cuadrante del lado terminal Un ángulo en posición estándar es cuadrantal, si su lado terminal coincide con algún semieje. La medida de un ángulo cuadrantal es siempre un múltiplo de 90º o de si está en radianes. En la figura, adjunta hemos representado algunos ángulos α cuadrantales, cuyo lado terminal es OP Si α= 0 radianes ó 0 Si α=, OP α= radianes ó α= 90, OP Si α= radianes ó 80 α=, OP α=, OP Si α= radianes ó 70 Si α= radianes ó α= 60, de nuevo OP positivo. coincide en el semieje positivo. coincide con el semieje y positivo. coincide con en el semieje negativo. coincide con en el semieje y negativo. coincide con en el semieje Este procedimiento se repite para ángulos cuyas medidas superan los radianes o bien 60. Cada radianes, los lados terminales coincidirán con un ángulo cuya medida está entre 0 y. Cada ó 90 el ángulo da un cuarto de vuelta, cada ó 80 da media vuelta, y cada ó 60 una vuelta completa. Para determinar si un ángulo, cuya medida está en radianes, es cuadrantal se divide entre. Si el resultado es un número entero entonces el ángulo es cuadrantal. Para multiplicar por. dividir entre resulta más fácil Si el ángulo está en grados, hay que dividir entre 90 y ver si el resultado es entero. EJEMPLO. Para los ángulos en posición estándar con las siguientes medidas, determine si es cuadrantal o no. En caso de serlo, determine el semieje al que pertenece el lado terminal. a) b) c) 5 d) e) 000 f) 440 g) 70 Los ángulos cuyo lado terminal está en medio de dos semiejes no son cuadrantales. Si tenemos presente que cada múltiplo par de, un ángulo en radianes, da una vuelta completa, entonces para saber en cuál cuadrante está el lado terminal de un ángulo, basta considerar la parte que queda entre 0 y. Los siguientes ejemplos aclararán la manera de hacer lo anterior. EJEMPLO. Para los ángulos con las siguientes medidas, encuentre el cuadrante al que pertenece el lado terminal. a) 0 b) 6 5 c) 79 8 d) 00 e) 970 f) La Paz Community School 5

28 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Soluciones A.4 EJEMPLO : Para los ángulos en posición estándar con las siguientes medidas, determine si es cuadrantal o no. En caso de serlo, determine el semieje al que pertenece el lado terminal. a) : Dividiendo, = 4 = no es entero, y el ángulo no es cuadrantal. b) : Como = 4 = es entero, entonces la medida este ángulo es un múltiplo de lo que quiere decir que es un ángulo es cuadrantal. Da 4 cuartos de vuelta o, lo que es lo mismo, 6 vueltas completas. El lado terminal coincide con el semieje positivo. c) d) : Tenemos, = = y el ángulo no es cuadrantal. 5 : Aquí tenemos otro ejemplo de un ángulo cuadrantal porque = =. Este ángulo da cuartos de vuelta, o bien, da vueltas completas y, además, un cuarto de vuelta más. El lado terminal coincide con el semieje y positivo. e) 000 : Como el ángulo está en grados, debemos dividir entre 90 y obtenemos ángulo no es cuadrantal =, así que el 90 9 f) 440 : En este caso, al hacer la división tenemos ángulo da 6 cuartos de vuelta en dirección de las agujas del reloj. 440 = 6 90 significa que el Esto equivale a 4 vueltas completas. El ángulo es cuadrantal, y el lado terminal coincide con el semieje positivo. g) 70 : Al hacer la división tenemos 70 = y este ángulo da cuartos de vuelta, en 90 contra de las agujas reloj. El ángulo es cuadrantal, y el lado terminal coincide con el semieje y negativo. 6 La Paz Community School

29 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica EJEMPLO : Para los ángulos con las siguientes medidas, encuentre el cuadrante al que pertenece el lado terminal. a) 0 0 : Convertimos a notación decimal así: = 6,6 = 6 + 0,6. El 6 representa que el ángulo da tres vueltas completas en dirección contra reloj, y el 0,6 nos dice que el ángulo está en el segundo cuadrante (pues 0,5< 0, 6< ). b) 6 : En este caso, como el ángulo es negativo debemos cambiar la dirección 5 del ángulo. Como 6 =, este ángulo llega hasta el segundo cuadrante, porque 5 <, <, 5. c) : Haciendo la división tenemos que = 9,875. Observe que se puede 8 8 escribir de la forma 9,975= 8+,875, y esto significa que el ángulo da cuatro vueltas completas y le quedan,875. Como ese número es mayor que,5 y menor que, entonces el ángulo debe estar en el cuarto cuadrante. d) 00 : El signo negativo indica que debemos ir en dirección de las agujas del reloj. Como el ángulo está en grados, y su medida está entre 70 y 60, entonces da más de tres cuartos de vuelta y menos de una completa. El ángulo pertenece al primer cuadrante. e) 970 : Al dar dos vueltas completas llevamos 70. Para completar los 970, nos hacen faltan 50 y como esta medida está entre 80 y 70, entonces el ángulo se ubica en el tercer cuadrante. f) : En este caso tenemos un ángulo en radianes cuya medida no es un múltiplo de. Para ubicarlo en el eje cartesiano podemos aproimar su medida de la siguiente manera: = =, 8. Trabajamos con,8 usando el mismo procedimiento:,8= +,8. El ángulo da una vuelta completa, y pertenece al cuarto cuadrante, ya que la medida de la diferencia es más de,5 y menos de. La Paz Community School 7

30 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Ejercicio A.4 Para un ángulo con las siguientes medidas determine si es cuadrantal o no. Si el ángulo es cuadrantal determine el semieje al que pertenece el lado terminal. Si el ángulo no es cuadrantal determine el cuadrante al que pertenece el lado terminal , A.5 Ángulos coterminales Hemos visto en la sección anterior que lo más importante de los ángulos en posición estándar es su lado terminal, y es para nosotros necesario y útil, clasificar los ángulos por la posición de su lado terminal. Ese comentario justifica el siguiente concepto: Ángulos coterminales: Dos ángulos son coterminales si están en posición estándar y sus lados terminales coinciden. Por ejemplo, en la figura se señala dos ángulos coterminales: Dos ángulos coterminales difieren en que uno dio más vueltas enteras que el otro, independientemente de la dirección. Esas vueltas se pueden interpretar como sumar o restar múltiplos de 60 o. La siguiente fórmula nos permite establecer cuando dos ángulos son coterminales. Si α,β son coterminales, entonces α β es un múltiplo de 60 ó de radianes. EJEMPLO. Determine si los ángulos con las siguientes medidas son coterminales. a) 4 y b) 5 5 y y 400 c) d) 795 y 65 EJEMPLO 4. Encuentre un ángulo positivo y un ángulo negativo coterminales con: a) b) La Paz Community School

31 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Soluciones A.5 EJEMPLO : Determine si los ángulos con las siguientes medidas son coterminales. a) 4 y La resta es 4 8 = = 6 que es un múltiplo de. Así que, los ángulos de medidas 4 y son coterminales b) y : Restando = = 5 que no es un múltiplo de. Los ángulos de medidas y no son coterminales y 400 c) : La resta es 4000 ( 400 ) = 5400 que es un múltiplo de 60. Entonces, los ángulos de medidas 4000 y 400 son coterminales. d) 795 y 65 La resta 795 ( 65 ) = 70 no es un múltiplo de. Los ángulos de medidas 795 y 65 no son coterminales. Si α y β son coterminales entonces α β= k, donde k es cualquier número entero. Si despejamos tenemos que α=β+ k, lo que nos da una fórmula para encontrar ángulos coterminales a un ángulo β dado. Si le damos valores apropiados a k podemos hacer que el ángulo coterminal sea positivo o negativo. EJEMPLO 4: Encuentre un ángulo positivo y un ángulo negativo coterminales con: a) : Los ángulos coterminales con cumplen 4 4 α= + k, k Z. Si k= tenemos que 4 7 α= 4= es un ángulo positivo coterminal 4 4 con.si k= entonces α= 6= es un ángulo negativo coterminal con. 4 b) 900 : Como el ángulo está en grados, en vez de utilizar k en la fórmula, debemos utilizar 60 k, entonces los ángulos coterminales con 900 cumplen α= k, k Z. k = tenemos que α= = 00 Si 5 es un ángulo negativo coterminal con 900. k= entonces α= =60 es un Si 6 ángulo positivo coterminal con 900. Los valores de k se escogen adecuadamente para obtener los valores (positivos y negativos) más pequeños. Para darse cuenta de cuál es el valor de k adecuado para esto basta tomar los opuestos de los enteros más cercanos β a la división, si está en radianes o β 60 si está en grados. En los ejemplos, =,875 y por eso tomamos 4 k = y k =, y 900 = 5, 7 60, de ahí que escogimos k = 5 y k = 6. Es importante, observar que si α es coterminal con β y β es coterminal con γ entonces α es coterminal con γ, lo que es una consecuencia de la definición de ángulos coterminales. La Paz Community School 9

32 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Ejercicio A.5 I PARTE: Determine si los ángulos con las siguientes medidas son o no coterminales... 5 y 58 9 y y 4 4. y y 9 y y y y 0. 7 y y 400. α y α 4 II PARTE: Encuentre un ángulo positivo y un ángulo negativo coterminales con: α, si <α< 8. β, si 4<β< 9. α, si 6<α< β, si <β< A.6 Ángulos de referencia A cada ángulo le asignaremos un ángulo, llamado ángulos de referencia que permitirá establecer relaciones más adelante. Ángulo de referencia: Para un ángulo α no cuadrantal en posición estándar, se define el ángulo de referencia θ como el ángulo agudo que se forma entre el lado terminal de α y el eje. En la siguientes figuras, representamos en cada cuadrante para un ángulo α, donde 0<α<, el ángulo de referencia θ. EJEMPLO 5. Para los ángulos con las siguientes medidas encuentre la medida del ángulo de referencia. a) b) 8 7 c) 400 d) 7 6 e) 6 Veamos otro tipo de ejemplo donde damos el ángulo referencia y alguna otra característica, para encontrar el ángulo en posición estándar EJEMPLO 6. Encuentre la medida de un ángulo α en posición estándar tal que: a) Su lado terminal se encuentra en el tercer cuadrante y su ángulo de referencia mide. 8 b) Es negativo, el lado terminal está en el primer cuadrante y su ángulo de referencia mide 8. c) <α< 4, el lado terminal pertenece al II cuadrante y su ángulo de referencia es β. d) En la siguiente figura, encuentre la medida del ángulo de referencia de α. Si 5 <α<, eprese en términos de α la medida de su ángulo de referencia. 0 La Paz Community School

33 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Soluciones A.6 EJEMPLO 5: Para los ángulos con las siguientes medidas encuentre la medida del ángulo de referencia. La idea es primero encontrar el cuadrante al que pertenece el ángulo y luego, determinar la medida del ángulo de a) referencia. Resaltamos con color gris el ángulo de referencia. 8 8 : Epresando en forma decimal,4, el ángulo pertenece al tercer 7 7 cuadrante, lo que quiere decir que el ángulo da media vuelta, y le sobra un ángulo cuya medida es 8 θ= θ=. Observe que es un ángulo agudo que se forma entre el 7 7 lado terminal del ángulo y el eje, así que esa es la medida del ángulo de referencia. b) : En notación decimal =,96. Así que el ángulo da, en dirección de las agujas del reloj, casi una vuelta completa. Lo que falta es el ángulo de referencia: cuadrante. θ= θ=. El lado terminal del ángulo pertenece al primer Recuerde que el negativo es sólo un sentido de dirección, el ángulo de referencia siempre tiene medida positiva. c) 400 : En grados el procedimiento es similar, tomando en cuenta que la dirección es a favor de las agujas del reloj, el ángulo da una vuelta completa y se pasa =40. Observe que esa diferencia coincide con el ángulo de referencia, θ=40. d) 7 7 : El lado terminal del ángulo =,8 pertenece al segundo cuadrante, 6 6 porque da una vuelta completa, un cuarto más pero no llega a completar la media vuelta, lo que sería. El ángulo que le hace falta es el ángulo de referencia, 7 θ= θ=. 6 6 e) 6 : Al igual que hicimos en la sección anterior, debemos epresar de la forma: 6 6= 5, 09 y el lado terminal del ángulo pertenece al tercer cuadrante. El ángulo da dos vueltas y media ( 5 ) y se pasa una cierta medida. Esa medida es la del ángulo de referencia. Entonces, θ= 6 5= 6 5. La Paz Community School

34 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica EJEMPLO 6: Encuentre la medida de un ángulo en posición estándar tal que: a) Su lado terminal se encuentra en el tercer cuadrante y su ángulo de referencia mide. 8 Supongamos que la medida del ángulo está entre 0 y, entonces el ángulo da media vuelta y un poco más para que su lado terminal esté sobre el tercer cuadrante, esa medida de más es la del ángulo referencia. Entonces, α=+ =. 8 8 Observe que cualquier ángulo coterminal con este también cumple las condiciones del enunciado. b) Es negativo, el lado terminal está en el primer cuadrante y su ángulo de referencia mide 8. A este ángulo le falta 8 para completar una vuelta completa a favor de las agujas de reloj. Así que su medida debe ser α= ( 60 8 ) = Cualquier ángulo coterminal con este es solución del problema, siempre y cuando sea negativo. c) <α< 4, el lado terminal pertenece al II cuadrante y su ángulo de referencia es β. Como el ángulo está entre y 4, entonces da una vuelta completa, y como pertenece al segundo cuadrante le falta β para completar media vuelta. Traduciendo en términos de ángulos, α= β. En este caso, no hay otros ángulos coterminales que nos sirvan. d) En la siguiente figura, encuentre la medida del ángulo de referencia de α., tenemos que el ángulo de referencia Como el lado terminal de α pasa por el punto ( ) θ coincide con el ángulo de un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto mide y el cateto adyacente también mide. Recordemos que cuando un cateto es igual que el otro entonces debe ser un triángulo rectángulo isósceles cuyos ángulos miden 45, que en radianes es. Por lo tanto, θ= Si asumimos que 0<α< podríamos calcular también la medida de α, esta sería α= =. 4 4 El uso de triángulos especiales puede ser muy común cuando trabajamos con ángulos de referencia, por lo cual también es importante tener presente que cuando un cateto mide igual que el otro multiplicado por triángulo debe ser 0 60 con el 0 opuesto al lado menor. el Si 5 <α<, eprese en términos de α la medida de su ángulo de referencia. La desigualdad 5 <α< significa que el ángulo α da una vuelta completa y su lado terminal está sobre el segundo cuadrante. Representamos la situación en la figura de la derecha. Para llegar al eje le hace falta su ángulo de referencia, que denotaremos con θ. Entonces, α+θ= θ= α y, por lo tanto, el ángulo de referencia mide α. La Paz Community School

35 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Ejercicio A.6 I PARTE: Encuentre la medida del ángulo de referencia del ángulo con cada una de las siguientes medidas: , II PARTE: Resuelva los siguientes problemas:. Encuentre la medida de un ángulo positivo en posición estándar cuyo lado terminal está en el cuarto cuadrante y su ángulo de referencia mide. 8. Encuentre la medida de un ángulo negativo en posición estándar cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante y su ángulo de referencia mide 7.. Encuentre la medida de un ángulo negativo en posición estándar, tal que su medida está entre y ángulo de referencia mide θ., y su 4. Encuentre la medida de un ángulo negativo en posición estándar, tal que su medida está entre 4 y 6, el lado terminal pertenece al segundo cuadrante y su ángulo de referencia es θ. III PARTE: Determine la medida del ángulo de referencia de α en cada una de las siguientes figuras. Además encuentre α asumiendo que 0<α< La Paz Community School

36 B. La circunferencia trigonométrica Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Las definiciones de las razones trigonométricas que se trabajaron hasta ahora, pierden validez cuando trabajamos con ángulos que no son agudos. Es por eso que las definiciones se deben modificar para poder etender el concepto a los ángulos que vimos en la sección A. Esas definiciones dependen del siguiente concepto: En el plano cartesiano, la circunferencia trigonométrica es la circunferencia con centro en el origen y radio uno. Considere un ángulo agudo α, en posición estándar, y sea (, y ) la intersección del lado terminal de α con la circunferencia trigonométrica. Cuánto miden las coordenadas, y en términos de α? Sabemos que cateto opuesto a α y senα= = = y, ya que la hipotenusa es el hipotenusa radio de la circunferencia, y, por la definición de la circunferencia trigonométrica, ese radio es. Entonces, Además, y= senα. cateto adyacente a α cosα= = = ya que la hipotenusa es el radio hipotenusa de la circunferencia, y, por la definición de la circunferencia trigonométrica, ese radio es. Así que = cosα. Deducimos que las coordenadas del punto de intersección del lado terminal de α con la circunferencia trigonométrica coinciden con el coseno y el seno de α. A partir de la siguiente sección utilizaremos la circunferencia trigonométrica, para etender ese principio a los ángulos que no son agudos. 4 La Paz Community School

37 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica B. Seno y coseno de ángulos en posición estándar De acuerdo con la sección anterior, se etiende el concepto de seno y coseno a cualquier ángulo en posición estándar. El seno de un ángulo en posición estándar es la coordenada en y de la intersección del lado terminal del ángulo con la circunferencia trigonométrica. En la figura, senα= y. El coseno de un ángulo en posición estándar es la coordenada en de la intersección del lado terminal del ángulo con la circunferencia trigonométrica. En la figura, cos α=. EJEMPLO 7. seno y el coseno del ángulo α En la siguiente figura determine el EJEMPLO 0. Si el lado terminal de un ángulo de medida α pasa por el punto ( 5, ), determine los valores de cosα y senα. EJEMPLO 8. Si el lado terminal de un ángulo α en el segundo cuadrante interseca la circunferencia trigonométrica en el punto determine el coseno y el seno de α,, Si dos ángulos son coterminales, necesariamente la intersección con la circunferencia trigonométrica será la misma y, por lo tanto, el seno (y el coseno) de dos ángulos coterminales es igual. El ángulo de referencia permite encontrar las medidas de las coordenadas de los puntos de intersección con la circunferencia trigonométrica. Además, debe tomarse en cuenta el signo, ya que las medidas son siempre positivas, y las coordenadas tienen signos, dependiendo de su posición respecto a los ejes de coordenadas. Si α y β son ángulos coterminales entonces Cuando buscamos el seno o el coseno de un ángulo que conocemos el valor numérico, como 00º ó, entonces, con ayuda de una calculadora se puede encontrar el resultado. Pero ese no debe ser el único método por el cual se encuentra la respuesta. El método epuesto es muy importante para poder entender otras consecuencias. sen α= sen β y cos α= cos β. Si θ es el ángulo de referencia de un ángulo en posición estándar α, entonces, sen α = sen θ y cos α = cos θ. EJEMPLO. Si θ es el ángulo de referencia de α, un ángulo en posición estándar cuyo lado EJEMPLO 9. sen 960 y cos960. Encuentre el valor numérico de terminal está en el tercer cuadrante y determine sen( α+ ) α+. 7 cos θ=, 5 La Paz Community School 5

38 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica 6 Soluciones B. EJEMPLO 7: En la siguiente figura determine el seno y el coseno del ángulo α PASO ) PASO ) PASO ) PASO 4) Como el lado terminal del ángulo interseca el círculo trigonométrico en un punto cuya coordenada en es 5, se tiene cosα=. 5 Para determinar el seno, aún no conocemos la coordenada en y del punto de intersección del lado terminal con la circunferencia. Recordando que la circunferencia tiene radio y que se forma un triángulo rectángulo se puede utilizar el teorema de Pitágoras: + y = + y = y = y = y =± Como la coordenada en y debe ser negativa, entonces senα= 5 EJEMPLO 8: Si el lado terminal de un ángulo α en el segundo cuadrante interseca la circunferencia trigonométrica en el punto,, determine el coseno y el seno de α PASO ) PASO ) PASO ) Podemos representar la situación planteada mediante la siguiente figura: Como el lado terminal del ángulo interseca el círculo trigonométrico en un punto cuya coordenada en y es, se tiene senα=. Para determinar el coseno, aún no conocemos la coordenada en de la intersección. De nuevo por el teorema de Pitágoras: = + = = = =± PASO 4) En el segundo cuadrante coseno es negativo, entonces EJEMPLO 9: Encuentre el valor numérico de sen 960 y cos960. La Paz Community School 5 cosα=. Representamos en el plano cartesiano el ángulo 960 y como 960 =70 +40, entonces el lado terminal pertenece al tercer cuadrante. Debemos encontrar el valor de la coordenada en y de la intersección del ángulo con la circunferencia trigonométrica. Para esto, encontraremos la medida del segmento, y luego determinamos el signo para obtener la coordenada buscada. Para hacerlo, observe que el ángulo de referencia mide 60 y, por lo tanto, se forma un triángulo especial. En ese triángulo, la hipotenusa es porque es el radio de la circunferencia trigonométrica. Entonces, la medida de es es y = porque es el cateto opuesto a 60. Entonces =, porque es la mitad de la hipotenusa, y la de y cos 960 =, y sen 960 =.

39 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica EJEMPLO 0: Si el lado terminal de un ángulo de medida α pasa por el punto ( 5, ), determine los valores de cosα y senα. Representamos la situación en una figura, observando que el punto( 5, ) no pertenece a la circunferencia trigonométrica. Sea (, y ) el punto de intersección del lado terminal de α con la circunferencia trigonométrica. Entonces, > 0, y< 0. Se calcula mediante el teorema de Pitágoras, la distancia del punto ( 0, 0 ) al punto ( 5, ) d = 5 + = d =± 69 d = ( ) 5 Podemos ver que se debe cumplir las relaciones: = = y 5 y = y = y=. Se deduce que 5 cosα= y senα= EJEMPLO : Si θ es el ángulo de referencia de α, un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante y cos θ= Primero note que 7 5 θ=, determine sen( α+ ) α+. α + y α son coterminales porque su resta α+ α= es un múltiplo de. Esto quiere decir que sen( α+ ) = senα, y este último lo podemos encontrar con la relación senα=± senθ, donde sabemos que senα< 0 por estar en el tercer cuadrante. Luego, θ es agudo por ser un ángulo de referencia y si 7 cosθ=, podemos dibujar un triángulo en el que el cateto adyacente a θ mide 7 y la 5 hipotenusa mide 5. Si y es el cateto puesto a θ, por el teorema de Pitágoras: ( ) y y y y y + 7 = 5 + 7= 5 = 8 =± 8 =. Así, que sen 5 θ= y según las observaciones hechas, sen( ) α+ =. 5 Ejercicio B. En cada una de las siguientes figuras encuentre senα y cosα La Paz Community School 7

40 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica B. Tangente, cotangente, secante y cosecante Sea (, y ) la intersección de α, un ángulo en posición estándar, con la circunferencia trigonométrica. Entonces se definen: tangente de α cotangente de α secante de α tan α= cot α= y y sec α= cosecante de α csc α= y Evidentemente estas definiciones están sujetas a restricciones debido a las divisiones, como lo veremos en los ejemplos. Para determinar el signo de los valores trigonométricos podemos utilizar la siguiente ley de signos: Los signos de las razones trigonométricas dependiendo del cuadrante al que pertenece el lado terminal de un ángulo se puede recordar de la siguiente forma: En el primer cuadrante son positivos todos. En el segundo es positivo sólo el seno (cosecante). En el tercer cuadrante es positiva sólo la tangente (cotangente). En el cuarto cuadrante es positivo sólo el coseno (secante). Además, las observaciones hechas en la sección anterior con respecto al seno y el coseno de ángulos coterminales y ángulos de referencia, también son válidas para tan α, cot α, secα y cscα. Por ejemplo, si α y β son coterminales entonces tanα= tanβ y si θ es el ángulo de referencia de γ, entonces cscγ=± cscθ. EJEMPLO. 8 Si α es un ángulo en posición estándar, tal que sen α= a y cos α= b, encuentre los demás valores trigonométricos para α. EJEMPLO. La Paz Community School Si el lado terminal de un ángulo β en posición estándar interseca la circunferencia trigonométrica en el punto determine el valor de secβ y cotβ. EJEMPLO , 5 5, Si el lado terminal de un ángulo α en posición estándar está sobre el cuarto cuadrante e interseca la circunferencia trigonométrica en cscα y tanα.,, determine el valor de 4

41 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Soluciones B. EJEMPLO : Si α es un ángulo en posición estándar, tal que sen α= a y cos α= b α=, encuentre los demás valores trigonométricos para α. Por las definiciones de la sección anterior, el lado terminal de α debe intersecar la circunferencia trigonométrica en el punto, b a y de donde según las definiciones vistas: y a a b tanα= tanα= =, cotα= cotα= secα= secα= =, cscα= cscα= b b y a b b y a EJEMPLO : Si el lado terminal de un ángulo β en posición estándar interseca la circunferencia trigonométrica en el punto 0 5, 5 5, determine el valor de secβ y cotβ. Tomando el punto de intersección racionalizando 0 5, 5 5 y secβ= = = y aplicando las definiciones vistas 5 secβ= = = Además, cot 5 0 β= = = y y racionalizando: cotβ= = = = y EJEMPLO 4: Si el lado terminal de un ángulo α en posición estándar está sobre el cuarto cuadrante e interseca la circunferencia trigonométrica en Por definición,, determine el valor de 4 cscα y tanα y cscα= = = cscα= = =. Como tanα= necesitamos el valor y de. Por Pitágoras. + = + = = = =± = Observe que es positivo porque estamos trabajando en el cuarto cuadrante. Luego, y tanα= tanα= = = tanα= = = = 7 La Paz Community School 9

42 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Ejercicio B.. Si el lado terminal de un ángulo α en el cuarto cuadrante interseca la circunferencia trigonométrica en el punto 5, 5 y, determine el coseno y el seno de α. 6. En la figura,θ es un ángulo en posición normal, encuentre los seis valores trigonométricos con respecto al ángulo θ.. Si el lado terminal de un ángulo α en el cuarto cuadrante interseca la circunferencia trigonométrica en el punto,, determine el coseno y el seno de α. 4. Si el lado terminal de un ángulo de medida α pasa por el punto ( 9, 40), determine los valores de cosα y senα. 4. Si θ es el ángulo de referencia de α, un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante y sen θ=, determine cos( 4 ) 5. Encuentre el valor numérico eacto de cos. 4 α. sen y 4 7. El lado terminal de un ángulo α está sobre el segundo cuadrante e interseca la circunferencia trigonométrica en,, Cuánto es secα? 4 8. Si el lado terminal de un ángulo de medida α interseca la circunferencia trigonométrica en es csc( α 4 )? 7,, Cuánto En la figura, si α es congruente con el ángulo de referencia de un ángulo de medida β cuyo lado terminal se ubica en el tercer cuadrante. Encuentre los seis valores trigonométricos respecto a β. 40 La Paz Community School

43 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica B. Valores trigonométricos de ángulos especiales Algunos ángulos tienen valores trigonométricos especiales, ya que sus ángulos de referencia son ángulos con razones trigonométricas conocidas. En años anteriores y con ayuda de triángulos especiales. se encontraron los siguientes valores: Grados Radianes sen cos tan No eiste En esta tabla los valores están racionalizados, pero recuerde que = y = Esta tabla será de mucha importancia ahora y en la sección de ecuaciones trigonométricas. Es importante aclarar la diferencia entre un valor eacto como = y una aproimación como, 4. La primera representa un número irracional Para encontrar los valores trigonométricos de un ángulo no cuadrantal ) Se encuentra el cuadrante al que pertenece el lado terminal del ángulo. ) Se determina el ángulo de referencia. ) Se busca en la tabla el valor correspondiente al ángulo de referencia. 4) Se antepone el signo de acuerdo a lo estudiado en la sección anterior. Observe que estamos utilizando el hecho de que un ángulo tiene los mismos valores trigonométricos que su ángulo de referencia, ecepto por el signo, pero eso lo encontramos sabiendo el cuadrante al que pertenece el lado terminal. EJEMPLO 5. Encuentre 5 cos 6 EJEMPLO 6. Encuentre el valor numérico csc 4 Cuando un ángulo es cuadrantal, no tiene ángulo de referencia. Pero podemos encontrar los valores trigonométricos correspondientes utilizando la definición correspondiente. con la propiedad de que =, mientras que la segunda nos sirve únicamente para darnos una idea EJEMPLO 7. Encuentre sen del valor de. Las aproimaciones las utilizamos para comparar, pero en general trabajamos con valores eactos. EJEMPLO 8. Encuentre 7 tan La Paz Community School 4

44 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Soluciones B. EJEMPLO 5: Encuentre 5 cos 6 Ubicamos el ángulo en el plano cartesiano. El lado terminal está sobre el segundo cuadrante, lo que quiere decir que el coseno es negativo. El ángulo de referencia es 5 5 cos = cos Según la tabla, cos =, entonces cos = EJEMPLO 6: Encuentre el valor numérico csc 4 Ubicamos el ángulo en el plano cartesiano. El lado terminal está sobre el cuarto cuadrante, lo que quiere decir que el seno es negativo. El ángulo de referencia es 4. Entonces, csc = csc = 4 4 sen, y como sen = tenemos que: 4 4 csc = = = = 4 EJEMPLO 7: Encuentre sen Tenemos un ángulo cuadrantal, cuyo lado terminal coincide con el semieje y negativo. La intersección con la circunferencia trigonométrica es el punto ( 0, ), y recordemos que el seno es su coordenada en y. Entonces, sen =. EJEMPLO 8: Encuentre 7 tan Ubicamos el ángulo en el plano cartesiano.es un ángulo cuadrantal, cuyo lado terminal coincide con el semieje y positivo. La intersección con la circunferencia trigonométrica es el punto ( 0, ), y recordemos que la tangente se encuentra pero esta última epresión es indefinida. Y por lo tanto, 7 tan 7 sen 7 tan = =, cos7 0 no está definida. Cuando trabajamos con ángulos cuadrantales es posible que sus valores trigonométricos no estén definidos. Con respecto al ejemplo anterior podemos ver que sec 7 tampoco está definida. Ejercicio B. Calcule los siguientes valores trigonométricos sen 5 cos 4. sec tan 5. 7 cot 6. cot 8 7. csc 6 8. sen( 600 ) La Paz Community School 9. 5 csc 0. sen 4. tan 4. cot 0

45 Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica AUTOEVALUACIÓN Circunferencia Trigonométrica Ángulos en posición estándar ) De acuerdo con la información en la figura, un posible valor de α es: 5) La medida en radianes de un ángulo es 0 En qué cuadrante se ubica su lado terminal? A) I II III IV A) ) De las siguientes medidas, la que corresponde a un ángulo en radianes, que en posición estándar su lado terminal está sobre el III cuadrante es: A) 4 ) El lado terminal del ángulo cuadrante número: A) I II III IV 9 está sobre el 6) La medida en radianes de un ángulo cuyo lado terminal se ubica en el segundo cuadrante corresponde a: A) 4 7) Si la medida en radianes de un ángulo en posición estándar es, entonces en cuál cuadrante se ubica el lado terminal de dicho ángulo? A) I II III IV 8) La medida de un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal se ubica en el tercer cuadrante es: A) ) El lado terminal de un ángulo de medida radianes, está sobre el cuadrante número: A) I II III IV Ángulos cuadrantales 9) La medida de un ángulo cuadrantal corresponde a: A) 45º 450º º 90 º La Paz Community School 4

46 0) Cuál de las siguientes opciones no representa con certeza la medida de un ángulo cuadrantal? A) 0º 70º 90 kº, k Z 60º, k Z k ) Cuál de las siguientes opciones no representa con certeza la medida en radianes de un ángulo cuadrantal? A) 0 70 k, k Z k, k Z ) La medida de un ángulo cuadrantal corresponde a: A) ,5 ) La medida de un ángulo cuadrantal corresponde a: A) ) Si el lado terminal de un ángulo en posición normal, coincide con la parte negativa del eje y, entonces son posibles medidas de ese ángulo: A) y 4 4 y y y Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica 5) Si el lado terminal de un ángulo en posición normal, coincide con el semieje positivo, entonces una posible medida de ese ángulo A) Ángulos coterminales 6) La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 5 radianes es A) ) La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de medida 7 4 es: A) ) Un ángulo coterminal con un ángulo de 5 mide: A) La Paz Community School

47 9) Si a y b son dos ángulos colocados en posición normal de manera que el lado terminal de a coincide con el lado terminal de b y m a= 0 entonces una posible medida del ángulo b es: A) ) Si Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica α= entonces la medida aproimada en grados de un ángulo coterminal con α y distinto es: A) 6,70 7, 0 4,70 07, 0 Ángulo de referencia 0) La medida en radianes de un ángulo es Cuál es la medida en radianes de un ángulo coterminal con él? A) 4) Para un ángulo de 0, la medida del ángulo de referencia es A) ) Si la medida de un ángulo en posición normal es 0, entonces la medida en radianes de un ángulo coterminal con él es A) ) Sea α la medida de un ángulo en posición estándar, si α ] 0, [, coterminal con α corresponde a: A) α α+ α+ 4 α+ entonces la medida de un ángulo 5) La medida del ángulo de referencia de 5 es: A) 6 4 6) Un ángulo negativo de medida α en posición estándar y con el lado terminal en el tercer cuadrante determina un ángulo de referencia de 70, cuál es el valor en radianes de α? A) La Paz Community School 45

48 7) Si el ángulo de referencia de un ángulo θ en posición estándar, cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante, mide, entonces la medida en radianes de un ángulo 5 coterminal con θ es: Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica Cálculo de imágenes utilizando la circunferencia trigonométrica 0) De acuerdo con los datos de la figura, si el ángulo α determina un ángulo de referencia de valor cosα es: entonces el 6 A) ) Si α es un ángulo en radianes en el cuarto cuadrante, y su ángulo de referencia es θ, entonces, α+θ es con certeza: A) 0 k, k Z + k, k Z A) ) De acuerdo con los datos de la figura, el valor en radianes de α es 9) Si α es un ángulo en radianes en el tercer cuadrante, y su ángulo de referencia es θ, entonces, α θ es con certeza: A) k, k Z ( k ) +, k Z A) La Paz Community School

49 ) Con base en los datos de la figura, la medida en Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica 4) Si γ es un ángulo en posición estándar cuyo lado radianes del ángulo β es: terminal está sobre el tercer cuadrante, entonces el valor de cosγ corresponde a: senγ= A) 7 7 A) ) De acuerdo con los datos de la figura, si las coordenadas de P son valor cos( θ+ ) es:, 6 6, entonces el ) Si α es un ángulo en posición estándar tal que cosα< 0 y senα> 0, entonces, en cuál cuadrante está el lado terminal de α? A) I II III IV 6) Si α es un ángulo en posición estándar tal que cosα< 0 y senα= 0, entonces, Con cuál semieje coincide el lado terminal de α? A) Semieje positivo Semieje y positivo Semieje negativo Semieje y negativo 7) El valor numérico de la epresión: 0 cos 4 es: A) A) 6 La Paz Community School 47

50 8) El valor de cos( 0 ) con certeza es: Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica 4) Si " a " es un ángulo tal que m a=α y A) 90 <α<80, entonces senα es equivalente a A) sen( 80 +α ) Positivo y distinto de sen( 80 α ) sen( 90 +α ) sen( 90 α ) Negativo y distinto de 9) De acuerdo con los datos de la figura, el valor senα es: 4) Si cosα =, entonces, cos( α ) es igual a: A) 4) Si senα =, entonces, sen( α+ ) es igual a: A) A) Secante y cosecante 44) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es el valor de secα? 40) Si " a " es un ángulo tal que m a=α y 90 <α<80 entonces cosα es equivalente a: A) cos( 80 +α ) cos( 90 +α ) A) cos( 90 +α ) cos( 80 α ) 48 La Paz Community School

51 45) En la figura, α determina un ángulo de referencia de Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica 47) En la figura, α determina un ángulo de referencia de, entonces el valor de secα es:, entonces el valor de secα es: 6 A) A) 46) De acuerdo con los datos de la figura, el valor cscα es: 48) De acuerdo con los datos de la figura, se cumple, con certeza que: A) 5 5 A) cscα= b cosα= b senα= a secα= a La Paz Community School 49

52 49) De acuerdo con los datos de la figura, si las coordenadas de P son,, entonces el valor 5 5 sec( θ ) es 5) El valor de A) Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica 5 sec 6 es A) ) El valor de A) 9 sec 4 corresponde a 50) Si lado terminal de un ángulo α en posición estándar pasa por el punto A) cosα= senα= cscα= cotα= 5) El valor de A), 5 sec 4 corresponde a se puede asegurar que: 54) Si α es un ángulo en posición estándar tal que secα> 0 y cscα< 0, entonces, En cuál cuadrante está el lado terminal de α? A) I II III IV 55) Si α es un ángulo en posición estándar tal que secα=, entonces, Con cuál semieje coincide el lado terminal de α? A) Semieje positivo Semieje y positivo Semieje negativo Semieje y negativo 50 La Paz Community School

53 Cálculo de imágenes utilizando la circunferencia trigonométrica 56) Si el lado terminal de un ángulo con medida α interseca a la circunferencia trigonométrica en 7, 5 tercer cuadrante. entonces el valor de tanα es: A) y en el 57) Si el lado terminal de un ángulo α en posición normal, pasa por el punto (, ) entonces con certeza: A) cscα= secα= tanα= senα= 58) Si α es la medida de un ángulo cuadrantal cuál de las siguientes epresiones es con certeza igual a 0? A) tanα cotα senα senα cosα 59) Si α= β donde β es un ángulo agudo, se puede Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica 60) Si tanα no tiene valor definido, entonces una posible medida de α es: A) ) Si tanα= 0, entonces una posible medida de α es: A) Cotangente 6) Si α es la medida de un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal se ubica en el segundo cuadrante y la medida de su ángulo de referencia es, entonces el valor cotα es A) 6) Si el lado terminal de un ángulo con medida α interseca a la circunferencia trigonométrica en, 5 5 que pertenece al tercer cuadrante. entonces el valor de cotα es: asegurar que: A) cscα= senβ senα= senβ tanα= tanβ cosα= cosβ A) 6 6 La Paz Community School 5

54 64) Con base en los datos de la figura, el valor de cotα es: Capítulo II: Circunferencia Trigonométrica 66) Considere las siguientes proposiciones respecto a un ángulo en posición estándar de medida β, cuyo lado A) 0 9 terminal se ubica en el segundo cuadrante y la medida de su ángulo de referencia es α. i) cotβ= cotα ii) cscβ= cscα De ellas, cuáles son verdaderas? A) Ambas. Ninguna. Solo la I. Solo la II ) Sea β la medida de un ángulo cuyo lado terminal se ubica en el segundo cuadrante y su ángulo de referencia mide α. Si es: A) sen α=, entonces el valor cotβ 7 67) Si cotα no tiene valor definido, entonces una posible medida de α es: A) ) Si cotα= 0, entonces una posible medida de α es: A) La Paz Community School

55 CAPITULO III: Identidades Trigonométricas Capítulo III: Identidades Trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad entre epresiones trigonométricas que se cumple para cualquier valor en que esté definida. Las identidades trigonométricas permiten simplificar epresiones complicadas como veremos en los ejemplos. A. Identidades por definición De las definiciones de los valores trigonométricos que se dieron en el capítulo de la circunferencia trigonométrica, se deducen las siguientes relaciones: Si tan o cot están definidas, entonces sen cos tan = y cot =. cos sen Estas son llamadas identidades básicas. Para cualquier ángulo de medida en el que estén definidas las epresiones, se cumple: csc = sen, sec = cos cot = tan, tan = cot, cos = sec, sen = csc Estas son llamadas identidades recíprocas. EJEMPLO. Simplifique tan cos NOTACIÓN: Cuando una epresión trigonométrica está elevada a alguna potencia positiva se escribe el eponente encima de la función. epresar ( sen ) se utiliza EJEMPLO. EJEMPLO. Simplifique Simplifique sen. Por ejemplo, para sen cot cos sen tan cos + Otras definiciones que utilizamos son las de las epresiones trigonométricas recíprocas. Estas relaciones recíprocas son una consecuencia de las definiciones dadas el capítulo de la circunferencia trigonométrica. Por ejemplo definimos cosecante como y, donde y es la coordenada de las ordenadas del punto de intersección del ángulo α con la circunferencia trigonométrica. Recordando que esa coordenada corresponde al seno, tenemos que cscα= senα. Para las demás relaciones la justificación es similar. EJEMPLO 4. Simplifique sen csc EJEMPLO 5. Simplifique tan cot sec cos cos EJEMPLO 6. Simplifique cos La Paz Community School 5

56 Capítulo III: Identidades Trigonométricas EJEMPLO : Simplifique tan cos sen Si sustituimos la identidad tan cos Soluciones A sen = obtenemos tan cos = cos cos = sen. Observe que la identidad tan cos = sen no es verdadera para = porque tan no está definida. Sin embargo, por el momento no nos ocuparemos de analizar el dominio en el cual están definidas las identidades sino únicamente en simplificarlas. EJEMPLO : Simplifique sen cot cos cos Como cot =, la epresión es equivalente a sen sen cos sen cos sen cos = cos = sen sen EJEMPLO : Simplifique tan cos + sen sen sen Sustituyendo tan =, la epresión es y sumando las fracciones: cos cos cos + sen ( cos + ) sen cos sen cos + sen sen cos sen = =. cos cos + cos cos + cos cos + ( ) ( ) ( ) Utilizando de nuevo sen tan cos =, tenemos que sen tan tan = cos + cos +. EJEMPLO 4: Simplifique sen Sustituyendo csc csc = sen tenemos sen csc = sen =. sen EJEMPLO 5: Simplifique tan cot Sustituyendo cotα= tanα tenemos tan tan tan = = tan = tan. cot tan sec cos cos EJEMPLO 6: Simplifique cos Sustituyendo sec = cos tenemos Factorizando el denominador: ( cos ) sec cos cos = cos cos cos = + cos ( + ) cos cos cos cos =. cos cos. 54 La Paz Community School

57 Ejercicio A. I PARTE: Selección única ) La epresión A) sen sen sen tan sec csc ) La epresión A) sen cos sec csc csc cos sec tan ) La epresión cot A) cos tan cot csc 4) La epresión cot sec A) sen cos sec csc es equivalente a: es equivalente a: es equivalente a: es equivalente a: ( ) sen 5) La epresión Capítulo III: Identidades Trigonométricas csc es equivalente a: A) sen cos sec csc 6) La epresión tanθ secθ es equivalente a: A) senθ cosθ cosθ sen θ senθ cos θ 7) La epresión tan csc cos es equivalente a: A) tan cot cot 8) La epresión A) cot cot tan sec cos tan es equivalente a: II PARTE: Simplifique las siguientes epresiones:. sen cot sen cot cos cos tan cos cot sen cos cot 6. log( cot ) + log( tan ) tan sec sec csc 9. senθ secθ 0.. cos tan csc cot cos. ( ) sec cos + cos cos +. cos csc sen csc sen + sen 4. sen cos sec cos sec ( ) ( ) log csc log sen La Paz Community School 55

58 Capítulo III: Identidades Trigonométricas Las relaciones de ángulos complementarios y coterminales se generalizan para obtener identidades trigonométricas. B. Identidades por propiedades de ángulos Al igual que en la sección anterior, las relaciones complementarias para ángulos agudos se pueden generalizar para cualquier ángulo. Para cualquier ángulo de medida en radianes, en el que estén definidas las epresiones, se cumple: sen = cos, cos = sen, tan = cot, cot = tan, sec = csc, csc = sec. Estas son llamadas identidades de complemento. Si el ángulo que trabajamos está en grados, la identidad sigue siendo válida si cambiamos 90. EJEMPLO 7. Simplifique sen α cos α por Constantemente utilizamos el hecho de que los valores trigonométricos se repiten en cada vuelta sobre la circunferencia trigonométrica. En otras palabras, los ángulos coterminales tienen los mismos valores trigonométricos: Para cualquier ángulo de medida en radianes, en el que estén definidas las epresiones, se cumple: ( + k ) =, ( ) sen sen cos + k = cos, ( + k ) =, ( ) tan tan cot + k = cot, ( + k ) =, ( ) sec sec csc + k = csc, para cualquier valor k Z. Estas son llamadas identidades de ángulos coterminales. Si el ángulo que trabajamos está en grados, la identidad sigue siendo válida si cambiamos k por 60k. Demostrar una identidad significa mostrar que Estas identidades también son llamadas, y luego mediante identidades probadas previamente y veremos por qué, identidades de periodicidad. manipulaciones algebraicas correctas, las epresiones son equivalentes. EJEMPLO 9. Demuestre la identidad: Una manera usual de simplificar epresiones o csc( ) = sec demostrar identidades trigonométricas es convertir + todo lo que sea posible en términos de senos y cosenos para poderlos simplificar. EJEMPLO 0. Demuestre la identidad: ( + ) ( ) EJEMPLO 8. Demuestre que: csc 6 csc α cos α = sec α + cos α 56 La Paz Community School sec + 4 = tan

59 Capítulo III: Identidades Trigonométricas Soluciones B EJEMPLO 7: Simplifique sen α cos α Como establecimos cos tenemos: sen α sen α sen α cos = α sen = α. EJEMPLO 8: Demuestre que α = senα y sustituyendo esta epresión, csc α cos α = sec α + cos α Por la identidad de complemento: csc α = secα y por la identidad recíproca secα=, entonces el lado izquierdo de la identidad se cosα convierte en: csc cos cos α α α cosα secα cosα cos cos cos α = = α = α = + cosα + cosα + cosα + cosα cosα + cosα Factorizando, simplificando y utilizando de nuevo: tenemos: α ( α )( + α) = α ( + α ) cosα ( + cosα) cos cos cos cos cos ( ) = secα cosα cosα cosα = = = secα cosα cosα cosα EJEMPLO 9: Demuestre la identidad: csc( ) = sec + Hemos sido insistentes en que cuando dos ángulos son coterminales, los valores trigonométricos son iguales, entonces ( ) ( ) csc = csc y por relaciones complementarias: csc( ) = sec ( ) = sec + EJEMPLO 0: Demuestre la identidad: ( + ) ( ) sec + 4 = tan csc 6 Por las identidades de ángulos coterminales y recíprocas: sec( + 4 ) = sec = y cos csc( 6 ) = csc =. sen Sustituyendo sec( + 4 ) cos sen = = = tan. csc( 6) cos sen Ejercicio B. I PARTE: Selección única ) Si α representa la medida de un ángulo en grados, la epresión cos( 90 ) A) cosα senα sen α cosα cos α senα α cotα es equivalente a ) Considere las siguientes proposiciones con respecto a α, un ángulo en posición estándar: i) senα= sen( α ) ii) cos( α ) = cos( α ) De ellas son verdaderas, A) Solo la i) Solo la ii) Ambas Ninguna La Paz Community School 57

60 ) Considere las siguientes proposiciones con respecto a α, un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal está sobre el segundo cuadrante: i) cotα > 0 ii) sen α = cosα De ellas son verdaderas, A) Solo la i) Solo la ii) Ambas Ninguna 4) Considere las siguientes proposiciones i) sen( 0 ) ii) ( ) + = sen cos 6k+ = cos, k Z Capítulo III: Identidades Trigonométricas 5) Si y y representan dos ángulos complementarios, entonces, cot y equivale a: tan A) cot y tan y tan 6) La epresión cos csc A) cos tan cot equivale a: De ellas, Cuáles son verdaderas? A) Solo la I Solo la II Ambas Ninguna II PARTE: Simplifique las siguientes epresiones. cot. sen sec sen. sen +. cos tan cos 4. sen 5. csc( ) 6. sec cos cos 7. sen( y+ ) csc( y ) 8. sen( ) cot( + 8 ) 9. ( ) ( + k) sen cot k cos + 0. sec( ) + cos ( ), k Z, III PARTE: Demuestre las siguientes identidades.. ( ) sec cos 6+ = sec + = csc. ( ). 4. sen sen ( ) ( ) + = 7 sec cos = 58 La Paz Community School

61 C. Identidades pitagóricas Capítulo III: Identidades Trigonométricas Sea un ángulo de cualquier medida en posición estándar. Recordemos que la intersección del lado terminal de con el círculo trigonométrico tiene coordenadas ( cos,sen ). Luego, por el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma tenemos que: ( ) ( ) sen + cos =, y si utilizamos la notación sen = ( sen ) y cos ( cos ) = que es más cómoda obtenemos: sen + cos =. Esta igualdad se cumple sin importar el valor de, es por eso que es una identidad. La llamamos identidad pitagórica fundamental porque es una consecuencia del teorema de Pitágoras. Esta identidad permite epresar el cuadrado del seno de un ángulo en términos del cuadrado del coseno y viceversa. Esto es muy útil para demostrar identidades o simplificar epresiones. Por ejemplo, de sen cos + = podemos despejar para obtener: sen = cos o bien cos = sen. EJEMPLO. Demuestre ( ) sen cos cot = csc cos Además, las siguientes dos identidades son consecuencias importantes: Si tomamos la Identidad pitagórica fundamental y dividimos ambos lados entre sen + cos = sen sen sen cos + = sen sen sen cos + = sen sen + cot = csc sen obtenemos: Si tomamos la Identidad pitagórica fundamental y dividimos ambos lados entre sen + cos = cos cos sen cos + = cos cos cos sen + = cos cos cos obtenemos: tan + = sec. En resumen, + = Identidades pitagóricas Para cualquier valor de en el que estén definidas: + =, sen cos tan + = sec EJEMPLO. ( ) + =, + cot = csc Demuestre que cot + tan = csc sec EJEMPLO. Demuestre la identidad sen cos cos = sen cos La Paz Community School 59

62 Capítulo III: Identidades Trigonométricas Soluciones C. EJEMPLO : Demuestre sen cos cot = csc ( cos ) cos cos Simplificamos el lado izquierdo así: sen cos cot = sen cos sen sen = sen y en epresado cos sen sen cos sen cos con su denominador común: sen ( sen cos ) = = =. sen sen sen sen De la identidad sen + cos = deducimos que sen = cos. Además sen Sustituyendo: ( sen cos ) csc ( cos cos ) = csc ( cos ) EJEMPLO : Demuestre que ( ) =. cot + tan = csc sec Sustituyendo + cot = csc y otras relaciones ya conocidas, tenemos: ( cot + ) tan = csc tan = sen sen = = csc sec. cos sen cos csc sen =. EJEMPLO : Demuestre la identidad sen cos cos = sen cos Debemos simplificar el lado izquierdo. De nuevo, utilizamos que sen = cos : ( cos ) cos sen + = = = sen cos cos cos cos cos cos cos cos El denominador se puede factorizar como una diferencia de cuadrados y el numerador como un trinomio con variable cos. ( )( ) cos cos cos cos + ( cos )( cos + ) = = ( cos )( + cos ) ( cos )( + cos ) ( cos )( + cos ) cos =. cos 60 La Paz Community School

63 Ejercicio C. I PARTE: Selección única ) La epresión senθ+ cosθ cotθ es equivalente a A) cosθ senθ cscθ secθ ) La epresión ( ) A) tan cot cos csc es equivalente a Capítulo III: Identidades Trigonométricas 4) La epresión( csc )( csc ) A) tan cot cot + es equivalente a cot 5) La epresión csc es equivalente a tan A) csc sec csc ) La epresión A) cosα tanα senα secα sen α tan α cos α es equivalente a 6) La epresión sen csc es equivalente a A) ( sen ) cot cos tan cos ( tan sec ) II PARTE: Simplifique las siguientes epresiones.. cot cos + sen. ( cos )( + cos ). + sen cos + cos + sen 4. ( sen + cos ) ( sen cos ) II PARTE: Demuestre las siguientes identidades.. sen = sec 6. tan cot = tan + cot sen cos. = sen cos = cos cot sec + sen sen = cos. ( )( ) cos + cos + + cos = sen cos 4 4 sen cos = cos sen + cos 8. ( tan + sec ) = ( cot csc )( csc + cot ) 9. cos cos + cos 0. ( ) = sen + cos cot + cot = sec csc La Paz Community School 6

64 D. Identidades de ángulos opuestos y ángulos suplementarios Capítulo III: Identidades Trigonométricas Si el lado terminal de un ángulo interseca la circunferencia trigonométrica en el punto ( a, b ), entonces el lado terminal del ángulo en el punto ( a, b) cos ( ), sen( ) = a = b la intersecará, o sea cos = a,sen = b y Si es un ángulo agudo, el suplemento de es un ángulo obtuso, cuyo ángulo de referencia mide. Si el lado terminal de interseca la circunferencia trigonométrica en el punto ( a, b ), entonces el lado terminal de su suplemento punto ( a, b). la intersecará en el En la figura, hemos representado un ejemplo, donde es importante notar que el cambio se produce en el eje y, mientras que en el eje, la coordenada del punto de intersección no cambia. Sintetizamos de la siguiente manera: Identidades de ángulos opuestos: cos = cos( ) y sen( ) = sen Este último comentario es válido para cualquier ángulo y en consecuencia: Identidades de ángulos suplementarios: cos ( ) = cos y sen( ) = sen Si el ángulo que trabajamos está en grados, la identidad sigue siendo válida si cambiamos por 80. EJEMPLO 6. Demuestre que: EJEMPLO 4. Simplifique ( ) ( ) sen sen cos + cos EJEMPLO 5. Demuestre que tan( ) = tan tan ( ) = tan EJEMPLO 7. Demuestre la siguiente identidad sec( 4 ) = csc EJEMPLO 8. Demuestre la siguientes identidad ( y) = ( + y) tan tan 6 EJEMPLO 9. Si sen = a, encuentre ( + ) sen + 6 La Paz Community School

65 Capítulo III: Identidades Trigonométricas EJEMPLO 4: Simplifique ( ) ( ) sen sen cos + cos Sustituyendo las identidades enunciadas: ( ) ( ) EJEMPLO 5: Demuestre que tan( ) Por la identidad básica: tan( ) ( ) ( ) Soluciones D. ( sen ) sen sen sen sen + sen sen = = = tan cos + cos cos + cos cos cos =. = tan sen = cos sen sen sen = = = tan cos cos cos EJEMPLO 6: Demuestre que tan( ) Por la identidad básica: tan( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = tan sen = cos sen sen sen = = = tan cos cos cos ( ) ( ) Esta es una identidad que podemos utilizar en otros problemas.. y por las identidades de ángulos opuestos: y por las identidades de ángulos suplementarios: EJEMPLO7: Demuestre la siguiente identidad ( ) sec 4 = csc sec 4 = sec PASO ) Por ser ángulos coterminales: ( ) ( ) PASO ) PASO ) Por identidades recíprocas: Por identidad de ángulos opuestos: = cos = cos PASO 4) Por identidad recíproca: = sec ( ) PASO 5) Por identidad complementaria: csc = La Paz Community School 6

66 EJEMPLO 8: Demuestre la siguiente identidad tan( y) = tan( 6 + y) PASO ) Por ser ángulos coterminales: tan( y) = tan( y) PASO ) Por identidad de ángulos suplementarios: = tan y Ahora, simplificamos el lado derecho: PASO ) Por ser ángulos coterminales ( y) tan 6+ = tan y Capítulo III: Identidades Trigonométricas Con esto queda probada la identidad porque al simplificar ambos lados de la igualdad se obtiene el mismo resultado. EJEMPLO 9: Si sen = a, encuentre sen( + ) PASO ) sen( ) sen( ) + = porque los ángulos son suplementarios ( ) ( ) + + =. sen + = sen = sen = a. PASO ) Entonces, ( ) ( ) En este ejemplo utilizamos las identidades trigonométricas para calcular un valor, pero también es válido hacer el siguiente análisis en la circunferencia trigonométrica: Independientemente de donde esté el lado terminal de, el lado terminal de + está media vuelta después, entonces el ángulo de referencia es igual (opuestos por el vértice) y el seno cambiará de signo. Ejercicio D. I PARTE: Simplifique las siguientes epresiones.. sec( ). csc( ). cot( ) 4. sec( ) 5. csc( ) 6. cot( ) 7. cos( ) + sen tan( 4 ) 8. sen cos 9. sec ( ) ( ) sen( ) ( ) cos( ) II PARTE: Demuestre las siguientes identidades.. cos( ). tan( ) + = cos sen = cos ( ). cos( + 5 ) = cos( 4 ) ( ) ( ) + = sen + cos sen cos cos sen = cos 6. ( ) tan + k = tan, k Z 64 La Paz Community School

67 E. Identidades con suma de ángulos (y consecuencias) Capítulo III: Identidades Trigonométricas Las siguientes fórmulas se utilizarán constantemente tanto para probar otras identidades como en problemas. ( ) Identidades de la suma de ángulos cos + y = cos cos y sen sen y y ( ) sen + y = sen cos y + sen y cos Es suficiente demostrar la fórmula para el caso en que, y y + y son agudos, dado que por las propiedades de los ángulos de referencia los casos generales se reducen a este. Construyamos dos triángulos rectángulos OBC y ODE, tales que m COB=, m DOE= y, m B= 90º y m D= 90º, como en la figura. Sin pérdida de generalidad supongamos que OC= OE=, es decir, como si E y C pertenecieran a la circunferencia trigonométrica con origen O. Tenemos que m EOF= + y y trazamos EF OB, con F sobre OB. Como OE=, vemos que cos OF EF + y = OF y EF OE = + = OE =. ( ), sen( ) Es decir, buscamos en la medida de los segmentos OF y EF. De la figura, tenemos que OGF EGD, porque son opuesto por el vértice, y como los triángulos y GED GOF son rectángulos, obtenemos que m GED= m GOF =. Luego, en el GED : GD GD tan = GD tan sen y ED = sen y = y como OD= cos y y OG= OD GD OG= cos y tan sen y. Luego, en OGF : OF cos = OF = cos cos y tan sen y OG = cos cos y cos tan sen y Por lo tanto, ( ) ( ) sen cos + y = cos cos y sen sen y. Para demostrar la fórmula para el seno se puede probar que sen sen y GF = sen cos y y cos con un argumento similar. sen y EG=, cos Luego, se simplifica hasta obtener el valor EF = GF+ EG= sen cos y+ sen y cos Sin embargo, utilizaremos identidades de ángulos complementarios y opuestos para simplificar la prueba: sen( y) cos ( y) cos + = ( y) + = + sen + y Al aplicar la fórmula recién probada: ( ) = cos cos( y) sen sen( y) sen ( ) cos y cos sen + y = sen cos y + sen y cos sen y La Paz Community School 65

68 EJEMPLO 0. Encuentre el valor eacto de sen75º Capítulo III: Identidades Trigonométricas Al aplicar las identidades pitagóricas se puede simplificar conveniente la fórmula anterior: EJEMPLO. Con base en la figura, encuentre el valor eacto de cos( α+β ) Si se necesita la epresión en términos de cos se obtiene cos = cos ( cos ) cos = cos. Si se necesita en términos del seno: ( ) cos = cos sen = sen sen cos = sen Identidades para los ángulos medios EJEMPLO. Encuentre en términos de tan y tan y, una fórmula para tan( + y) + cos cos =, cos sen =. Identidades para los ángulos dobles cos sen = sen cos = cos sen = sen cos, tan tan =, tan siempre que estén definidas las epresiones. Probaremos la identidad para el caso del coseno, y las demás quedan como ejercicio, pues el argumento es similar: De la misma manera, probaremos la identidad solo para el caso del seno. Al sustituir α= en cos α= sen α (formula equivalente a la vista anteriormente), obtenemos: cos = sen cos = sen cos sen cos sen = = cos sen = Al tomar dos ángulos iguales en la fórmula ( ) cos + y = cos cos y sen sen y, obtenemos: ( ) cos = cos + = cos cos sen sen cos = cos sen 66 La Paz Community School

69 Capítulo III: Identidades Trigonométricas Soluciones E. EJEMPLO 0: Encuentre el valor eacto de sen75º Las fórmulas que vimos siguen siendo válidas si medimos los ángulos en grados, en este caso tenemos: ( ) sen 75º = sen 45º + 0º = sen 45º cos0º + sen 0º cos 45º 6+ + = 4 EJEMPLO : Con base en la figura, encuentre el valor eacto de cos( α+β ) Para aplicar la fórmula debemos encontrar las medidas de los lados que hacen falta. Por Pitágoras: EJEMPLO : Encuentre en términos de tan y tan y, una fórmula para tan( + y) Por definición de tangente y al aplicar las fórmulas para sen ( + y ) y cos ( + ) tan ( y) ( ) ( ) y obtenemos: sen + y sen cos y+ sen y cos + = = cos + y cos cos y sen sen y Para formar las epresiones tan y tan y, dividiremos tanto el numerador como el denominador de la epresión anterior por cos cos y. Observe que esa epresión no se anula, porque estamos suponiendo que tan y tan y están definidas. tan sen cos y+ sen y cos cos cos y + = cos cos y sen sen y cos cos y ( y) sen cos y sen y cos cos cos = y + cos y cos cos cos y sen sen y cos cos y cos cos y = tan + tan y tan tan y Identidad de la suma de ángulos para la tangente AC = + = = = 5 BC 5 8 ( ) BE= = Luego, tenemos que 6 cos α=, cos β= =, sen α=, senβ= = 8 4 Al aplicar la fórmula de cos( α+β ) : ( ) cos α+β = cosα cosβ senα senβ = = tan tan + tan y + =, siempre que estén tan tan y ( y) definidas las epresiones. En este recorrido por las identidades trigonométricas se han demostrado la principales, que son básicamente las que se necesitan para demostrar cualquier otra. Además, se han remarcado otras que son de uso frecuente. En los ejercicios se presentan muchas otras identidades y se pretende que al demostrarlas el estudiante utilice identidades previamente probadas, es decir, las que han sido remarcadas en el teto. La Paz Community School 67

70 No siempre es conveniente tratar de memorizar todas las identidades, sino únicamente las que por su independencia, o uso frecuente se requiere. Las demás Capítulo III: Identidades Trigonométricas son solo consecuencias de una manipulación algebraica. Esta es una de las destrezas más importantes que se busca estimular en todo este capítulo Ejercicio E. I PARTE: Pruebe las siguientes identidades de la resta de ángulos, siempre que estén bien definidas. sen y = sen cos y sen y cos. ( ) cos y = cos cos y+ sen sen y. ( ). tan( y) tan tan y = + tan tan y II PARTE: Pruebe las siguientes identidades de ángulos dobles y medios, siempre que estén bien definidas.. sen = sen cos tan. tan = tan cot tan cot = sec sec = sec csc sec csc = + cos cos = cos tan = + cos III PARTE: Pruebe las siguientes identidades sumaproducto, siempre que estén bien definidas. Epanda el lado izquierdo. + y y. sen + sen y = sen cos derecho para obtener el + y y. cos + cos y = cos cos. sen( + y) tan + tan y= cos cos y 4. sen sen y = sen( + y) + sen( y ) 5. cos cos y= cos( + y) + cos( y ) IV PARTE: Demuestre las siguientes identidades. Puede utilizar cualquiera de las identidades del capítulo. sen + cos = + sen. ( ). ( cot y ) = csc y( sen y). 4. cos( + y) = csc cos y sec sen y sen cos = 4 cos cos V PARTE: Utilice identidades trigonométricas para encontrar los siguientes valores eactos:. sen5º. 5 tan. cos 8 4. sen cos + sen cos VI PARTE: Con base en identidades trigonométricas:. Pruebe que sen = sen 4sen. Para α= 8º pruebe que sen α= senα 4sen α.. Sustituya y= senα para obtener 4y y y+ = 0 4. Resuelva la ecuación para encontrar sen8º. 5. Encuentre cos 8º 6. Encuentre sen6º 68 La Paz Community School

71 AUTOEVALUACIÓN Identidades Trigonométricas Capítulo III: Identidades Trigonométricas ) Si α representa la medida de un ángulo en grados, la epresión cos( 90 ) A) cosα senα sen α cosα cos α senα ) La epresión A) csc sec sen sen cos sen α ) La epresión + cos α cosα A) sen α+ sen α+ cscα secα α cotα es equivalente a cos + cos tan es equivalente a es equivalente a + tan θ 4) Una epresión equivalente a cot θ A) sec θ csc θ tan θ sec θ tan θ csc θ sen csc 5) Una epresión equivalente a es: csc A).. 0 cos cos es 6) La epresión equivalente a A) sec cos cos + sen cos sen 7) Una epresión equivalente a A) 0 sen cos 8) Una epresión equivalente a A) sec cot csc cos tan + sen tan sen cos csc sec + tan tan + es: La Paz Community School 69 es: sec 9) Una epresión equivalente a tan sen es: A) csc cot tan sec 0) Una epresión equivalente a A) cos sen sen cos sen cos ) Una epresión equivalente a A) csc sec cos + cos sen + cos cos sen es: 4 4 es: sen cot + es: + cos

72 sec ) Una epresión equivalente a sen cot A) csc cot tan sec ) La epresión equivalente a A) senθ cosθ secθ cscθ es cscθ tanθ+ cotθ es: 4) Una epresión equivalente a cot sec + csc es A) sen cos sen sec cos sen sen cos sen sen sen cos 5) Una epresión equivalente a es: + sen sen A) cot sec tan sec Capítulo III: Identidades Trigonométricas 7) Si representa un ángulo en grados, una epresión equivalente a A) sec sec sen sec + cos 90 + sen ( ) 8) Considere las siguientes proposiciones con respecto a α, un ángulo en posición estándar: i) senα= sen( α ) ii) cos( α ) = cos( α ) De ellas son verdaderas, A) Solo la i) Solo la ii) Ambas Ninguna 9) Considere las siguientes proposiciones con respecto a α, un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal está sobre el segundo cuadrante: i) cotα> 0 ii) sen α = cosα De ellas son verdaderas, A) Solo la i) Solo la ii) Ambas Ninguna es: 6) Si representa un ángulo en grados, una epresión equivalente a A) sen sen cot cot 90 cos sen sen ( ) ( ) sec 90 sen 0) Considere las siguientes proposiciones i) tan( + ) = tan( ) ii) cos( ) + = cos De ellas, Cuáles son identidades? A) Solo la I Solo la II Ambas Ninguna 70 La Paz Community School

73 ) Considere las siguientes proposiciones i) sen( ) = sen ii) cos = cos( ) De ellas, Cuáles son identidades? A) Solo la I Solo la II Ambas Ninguna Capítulo III: Identidades Trigonométricas 5) Considere las siguientes proposiciones i) sen( 6 ) = sen ii) cos( 6+ ) = cos( 4 ) De ellas, Cuáles son verdaderas? A) Solo la I Solo la II Ambas Ninguna ) Considere las siguientes proposiciones. i) sen( ) + = sen ii) cos = cos Cuáles de ellas son identidades? A) Ambas. Ninguna. Solo la I. Solo la II. 6) Considere las siguientes proposiciones. i) sec = tan sen + cos = ii) ( ) Cuáles de ellas son identidades? A) Ambas. Ninguna. Solo la I. Solo la II. ) Considere las siguientes proposiciones i) sen( 0 ) ii) ( ) + = sen cos 6k+ = cos, k Z De ellas, Cuáles son verdaderas? A) Solo la I Solo la II Ambas Ninguna 4) Considere las siguientes proposiciones. i) csc ( ) + = csc ii) csc = sec + Cuáles de ellas son identidades? A) Ambas. Ninguna. Solo la I. Solo la II. 7) Analice las siguientes proposiciones I. cos( ) = ( cos6+ sen6)( cos6 sen6) II. sen( 9) cos( 9) = sen( 58) La Paz Community School 7 Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas? A) Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 8) La epresión ( ) A) tan( ) cot( ) sen sen csc es equivalente a ( ) cos( )

74 9) La epresión tan + es equivalente a A) tan( ) + ( ) tan + ( ) tan + tan tan + + tan 0) Al simplificar la epresión obtiene A) 0 tan ( ) ( ) ( ) tan sec tan ( ) csc( ) ) La epresión sen ( csc ) A) sen cos cos + sen sen es equivalente a se Capítulo III: Identidades Trigonométricas ) La epresión sen( 4) sec( 8) A) tan tan cot cot + es equivalente a 4) La epresión sen( ) cos( ) a A) sen( ) cos( ) sen( ) cos( ) sen ( ) cos ( ) sen( ) cos( ) es equivalente 5) La epresión cos( ) + sen( ) A) cos + sen cos + sen cos sen cos sen es equivalente a cos cos sen ) Considere las siguientes proposiciones. I. csc cot = II. ( ) + tan cos = De ellas es (son) VERDADERA(S) A) ambas ninguna solo la I solo la II 7 La Paz Community School

75 CAPITULO IV. Funciones Trigonométricas Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Ejercicio Introductorio: En el siguiente gráfico se muestra la cantidad de horas de luz solar en Costa Rica durante el año 0 con respecto al número de día del año después del ro de enero, y podemos suponer que el patrón se repite todos los años. día 0-ene 0 0-feb 0-mar 59 0-abr 90 0-may 0 0-jun 5 0-jul 8 0-ago 0-sep 4 0-oct 7 0-nov 04 0-dic 4. Estime el número de horas de luz solar que habrá el de marzo.. Estime el día del año que más horas de luz solar hubo y cuántas.. Estime el día del año que menos horas de luz solar hubo y cuántas. 4. Cuánto mide el intervalo, en minutos, el intervalo donde varía la cantidad de horas de luz? La gráfica anterior se puede ver como la gráfica de la función ( ) f = 5sen + C + D 65, donde es el número de día del año y f ( ) es en minutos el 5. Utilizando el valor máimo, o el mínimo de la función seno, encuentre el valor de D. 6. Utilizando el valor correspondiente al ro de enero, encuentre el valor de C. 7. Escriba la fórmula de f ( ) con los valores encontrados 8. Verifique el valor de encontrado en la pregunta ) utilizando ahora la fórmula encontrada. 9. Qué días del año habrá 745,5 minutos de luz solar en el día? 0. Estime, qué días del año habrá 697 minutos de luz solar en el día? tiempo de luz solar que hubo ese día. La Paz Community School 7

76 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Las funciones trigonométricas, o bien llamadas funciones circulares, son muy útiles para modelar fenómenos cíclicos o más formalmente periódicos. A través de este capítulo veremos los conceptos fundamentales de estas funciones que no permitirán modelar situaciones similares a las del ejercicio introductorio. A. El período y amplitud Formalizamos el concepto de periodo: Una función se dice periódica si eiste un número real p para el cual f ( + p) = f ( ) para cualquier valor de en el dominio de la función. El período de una función es el menor valor positivo de p para el cual se cumple la relación anterior. Como hemos visto, para cualquier entero k se cumplen las relación: ( ) sen + k = sen, así que f ( ) = sen es una función periódica. Probaremos que el período es justamente al ver que la ecuación sen( ) identidad para todo si 0< p<. + p = sen no es una En el caso, al considerar = 0 obtenemos que ( ) sen 0+ p = sen 0 sen p= 0 p= 0 ó p=. La primera no tendría sentido como período, y la segunda no cumple la identidad requerida para otros valores, por ejemplo: = sen = sen + sen = Por lo tanto, el periodo de la función seno es p=. Para una función periódica f ( ) la amplitud, es M m A= donde M es el valor máimo que toma la función y m es el valor mínimo. Ya sabemos que para cualquier ángulo se cumple sen seno es, por lo que la amplitud de la función ( ) =. En los ejercicios se analizarán otros casos de funciones periódicas, donde por el momento nos interesa encontrar el período y la amplitud.. Ejercicio A. Las siguientes funciones son periódicas. Encuentre su período y la amplitud.. f ( ) = cos. f ( ) = tan. f ( ) = sec 4. f ( ) = csc f ( ) = cot 6. g( ) = { } (parte fraccionaria) *Recuerde que esto es { } = donde indica la parte entera de. Por ejemplo, { } { } { }, = 0, ; 4 = 0;, = 0,7 74 La Paz Community School

77 B. Función seno Capítulo IV: Funciones Trigonométricas A cada ángulo, cuya medida está en radianes, le corresponde un único valor sen, entonces podemos definir una función: R R ( ) f :, f = sen. Observe que esta función es periódica de período porque cada se obtiene ángulos coterminales que, como ya hemos visto, tienen el mismo seno. Gráfica de R R ( ) f :, f = sen Características Dominio Ámbito Intersecciones Monotonía R [,] Eje Eje y Creciente Decreciente Período Simetría impar ( k, 0) ( 0, 0 ) ( 4k ) ( 4k ) +, ( 4k ) ( 4k ) En las intersecciones con el eje y en los intervalos de monotonía, k representa cualquier número entero. Por ejemplo, si k= 0 es creciente en, y decreciente en, Mientras que si escogemos k = es creciente en, y decreciente en, punto (,0). + +, e interseca el eje en el punto ( 0,0 ). e interseca el eje en el EJEMPLO. Sea R [ ] ( ) si ( ) ( ), f :,, f = sen f + p = f R entonces p= =? EJEMPLO. Cuántas veces interseca el eje la g :,5 R, g = sen? función ] [ ( ) :,,, EJEMPLO. Si f [ ] f ( ) = sen a) Clasifique según codominio a f. b) f es creciente? c) f = f? d) Encuentre las preimágenes de. La Paz Community School 75

78 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Soluciones B. EJEMPLO : Sea f : R [, ], f ( ) = sen, si ( ) ( ), f + p = f R entonces p= =? Esta es la función cuya gráfica está presentada arriba. Observe que la relación f ( + p) = f ( ) es parte de la definición de período, p= es el menor valor positivo que satisface esa relación, pero no es el único. Por ejemplo, p= 4 ó p= 6 también cumplen. Lo único que se puede asegurar es que p= k, k Z. EJEMPLO : Cuántas veces interseca el eje la función g :],5 [ R, g( ) = sen? La función interseca el eje cuando es un múltiplo de, es decir (,0 ),(,0 ),( 0,0 ),( 5,0), pero como los etremos del dominio están abiertos no se deben tomar en cuenta como puntos de intersección ni el primero ni el último. En total hay 6 puntos de intersección. f :,,, f = sen EJEMPLO : Si [ ] ( ) a) Clasifique según codominio a f. Graficamos la función y observamos que hay imágenes con más de una preimagen y, por lo tanto, la función no es inyectiva. Además, el ámbito de esta función es [,], igual que el codominio y, por lo tanto, la función es sobreyectiva. b) f es creciente? No, en la gráfica observamos que la función es creciente en, y decreciente en, c) f = f? La pregunta es equivalente a determinar si sen = sen y sabemos que es cierto por las identidades de ángulos negativos. d) Encuentre las preimágenes de. f = sen = y para encontrar el valor de Si ( ) podemos utilizar la gráfica, donde vemos que hay dos preimágenes. Como sen =, ambas soluciones tienen que tener ese 6 ángulo de referencia en la circunferencia trigonométrica. Esto 7 quiere decir que = = y = La Paz Community School

79 C. Función coseno Capítulo IV: Funciones Trigonométricas A cada ángulo, cuya medida está en radianes, le corresponde un único valor cos, entonces podemos definir una f : R R, f = cos. función: ( ) Gráfica de R R ( ) f :, f = cos Características Dominio Ámbito Intersecciones Monotonía R [,] Eje Eje y Creciente Decreciente Período Simetría ( ) par k+,0 ( ) 0, ( k ), k k,( k ) + Al igual que en la función seno, en las intersecciones con el eje y en los intervalos de monotonía, k representa cualquier número entero. Por ejemplo, si k = es creciente en [, ] y decreciente en [,0] e interseca el eje en,0 y si k = es creciente en [, ], decreciente en [, ] e interseca el eje en,0. f : 0, R, f = cos determine: EJEMPLO 4. Para la función [ ] ( ) a) La imagen de 5 6 b) La clasificación de f según codominio c) La función es decreciente en 0,? EJEMPLO 5. Muestre que si f : R R, f ( ) = cos, entonces, f = sen( ) La Paz Community School 77

80 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas EJEMPLO 4: Para la función [ ] ( ) Soluciones C. f : 0, R, f = cos determine: a) La imagen de 5 : Graficamos la función cos como es usual, primero en su 6 dominio máimo y luego restringimos el dominio a [ 0, [ para obtener la gráfica de f. La imagen de corresponde a f = cos = b) La clasificación de f según el codominio La función es inyectiva porque cada imagen tiene una única preimagen en [ 0, ]. Además, el ámbito de la función es [,] y entonces, en el codominio sobran imágenes. La función no es sobreyectiva. c) Si la función es decreciente en 0, : En efecto, o la función es decreciente en ese intervalo. EJEMPLO 5: Muestre que si f : R R, f ( ) = cos, entonces, f = sen( ) Podemos enfocar la solución de dos maneras. La primera es aplicando identidades trigonométricas: f cos cos cos = = = = sen opuestos y luego, la de ángulos complementarios.. Se utilizó primero la identidad de ángulos La otra manera, es ver que al trasladar la gráfica de f ( ) = cos, hacia la izquierda, obtendremos eactamente la gráfica de ( ) sen g =. Ejercicio C. 5 : 0,,, I PARTE: Sea f [ ] f ( ) = sen. Encuentre las intersecciones de f con el eje.. Clasifique según codominio a f.. Encuentre las preimágenes de 5 f :,,, f = cos 6 II PARTE: Sea [ ] ( ). Encuentre el ámbito de f. Clasifique según codominio a f.. Encuentre los intervalos de monotonía de f. III PARTE: Utilice identidades trigonométricas para justificar las siguientes propiedaes.. Verifique la simetría respecto a los ejes (par o impar) de las seis funciones trigonométricas.. Escriba la función g( ) cos transformación de la función = como una f ( ) = sen.. Suponga que f ( ) = sen es estrictamente creciente en, y estrictamente decreciente en, (que en realidad, es evidente de la definición). Muestre que f tiene los intervalos de monotonía dados en el resumen. 4. Aplicar lo mismo para f ( ) = cos con los cambios respectivos. 78 La Paz Community School

81 D. Función tangente Capítulo IV: Funciones Trigonométricas A diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está definida para cualquier ángulo. Ya hemos ( ) analizado que los ángulos con medida en radianes de la forma Por eso llamamos a esos puntos los puntos de discontinuidad de la función tangente. k+, tal que k Z, tienen tangente indefinida. Gráfica de ( k ) + f : R : k Z R, f ( ) = tan Características Dominio R ( k ) + : k Z Ámbito Período Simetría Intersecciones Eje R impar Eje y ( k,0) ( 0, 0 ) Monotonía ր ( k ) ( k ) +, ց No hay En las intersecciones con el eje y en los intervalos de monotonía k representa cualquier número entero. Por ejemplo, si k= es creciente 5 7, e interseca el eje en (,0) y si k= es creciente en, e interseca el eje en (,0 ). No podemos decir que es una función creciente porque tiene saltos. Las rectas cuyas ecuaciones son ( k ) + =, tal que k Z, son asíntotas verticales de f ( ) = tan. Si la función tangente es considerada en su dominio máimo, entonces el ámbito es R. Esto quiere decir que la ecuación tan = y siempre tiene solución para y R, a diferencia del seno y el coseno que tienen ámbito [,] y, por lo tanto, las ecuaciones sen = y y cos = y, tienen solución solamente si y. Otra diferencia significativa entre las funciones seno y coseno, y la función tangente, es que esta última tiene período mientras que las primeras dos tienen período. EJEMPLO 6. Para f :,, f ( ) = tan 4 R determine: a) El ámbito b) La clasificación de f según el codominio c) La monotonía de f La Paz Community School 79

82 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Soluciones D. f :,, f = tan 4 R determine: EJEMPLO 6. Para ( ) a) El ámbito Graficamos la función tan en su dominio máimo y luego restringimos el dominio a, 4 para obtener la gráfica de f. Para encontrar el ámbito necesitamos la imagen de. La imagen de corresponde a f = tan =, según estudiamos en II., y por lo tanto, el ámbito de la función es [, + [. b) La clasificación de f según el codominio Vemos que la función es inyectiva porque cada imagen tiene una única preimagen en,. Además, el ámbito de la función es diferente de su codominio y entonces, 4 la función no es sobreyectiva. c) La monotonía de f Como el dominio ha sido restringido a,, la función es estrictamente creciente en todo su dominio. 4 Ejercicio D. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. En los enunciados los criterios sin dominio se suponen definidos en su dominio máimo.. Para la función f ( ) = sen,. Para la función ] ] ( ) preimágenes.. El número 4. La función f ( ) sen 7 f = es. 6 f : 4, f = cos, tiene tres 5 pertenece al dominio de ( ) tan h = es creciente en,0. =. 5. La función g( ) = cos es decreciente en ] 5, 4 ] 6. Para g( ) cos = se cumple que. g( + p) = g( ), Dg. Entonces, p es múltiplo de 7. Para f ( ) = tan se cumple que f ( + p) = f ( ), D f. Entonces, p es múltiplo de. 8. Para g( ) sen =, 9. [ ] ( ) g = g f :,,, f = sen es biyectiva. f :,,, f = cos es biyectiva. 0. [ ] ( ) f :,, f = tan R es biyectiva.. ( ) g :,, g = cos tiene ámbito,.. ( ) 80 La Paz Community School

83 E. Transformaciones de las funciones trigonométricas básicas Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Como cualquier función, las funciones trigonométricas están sujetas a transformaciones. A diferencia de los casos anteriores que se han estudiado, las dilataciones juegan un papel fundamental a la hora de graficar funciones trigonométricas, ya que cambian elementos importantes como la amplitud en las dilataciones verticales y el periodo en las transformaciones horizontales. E. Transformaciones verticales En los siguientes ejemplos graficamos tenuemente la función básica, ya sea seno o coseno, y fuertemente la función transformada con el criterio dado. Dilataciones verticales ( ) sen, ( ) g = A h = Acos A > la gráfica se epande A < la gráfica se contrae El valor A es conocido como la amplitud de la función. En general, el ámbito de estas funciones es A, A Refleiones verticales ( ) ( ) g h = sen, = cos El principal cambio es en los intervalos de monotonía de la función. ( ) = sen g A = g [, ] g( ) = sen A = [, ] g ( ) = sen g A = g [,] ( ) h A h = cos =, h( ) = cos 4 A h =, ( ) = cos h A = h [,] Traslaciones verticales ( ) ( ) g = Asen + h, h = Acos + h g( ) = sen + A g =, h( ) = cos + A g =, Se puede ver como el eje de simetría vertical ya no es el eje sino la recta y h = Si además tenemos una dilatación, primero, el ámbito de la función es h A, h+ A g( ) A g = sen 5 =, La Paz Community School 8

84 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas E. Transformaciones horizontales Después de visto lo anterior, el análisis de las transformaciones horizontales es más sencillo. Dilataciones horizontales Como cualquier dilatación, a la hora de graficar ( ) sen( g = lo más importante es saber si B > (tendremos una contracción) o bien, si B < una epansión. horizontalmente. Recordemos que esto afecta sólo g( ) = sen Note que esta transformación cambia el período de la función. Para el caso del seno y el caso, el nuevo período será. B Refleiones horizontales Debido a las identidades de ángulos opuestos, o bien, a la paridad de las funciones seno y coseno, tenemos que: f ( ) cos f ( ) f ( ) = = por lo que una refleión horizontal no afecta al coseno. La gráfica queda igual. ( ) sen ( ) ( ) f = f = f por lo que una refleión horizontal es lo mismo que una refleión vertical en el caso del seno. Traslación horizontal En el caso particular de las funciones trigonométricas, la traslación horizontal recibe el nombre de corrimiento de fase, debido a la relación que tienen con problemas de ondas. En el siguiente ejemplo, la gráfica se corre izquierda: ( ) sen g hacia la = + E. Resumen y forma general f = A B + C + h Para la función ( ) sen( ) En los siguientes ejemplos, detallamos por completo cómo se realizan estas gráficas. (lo mismo sucede para el coseno) tenemos: La amplitud es A El período es B El corrimiento de fase es El ámbito es, 8 C B h A h + A Para graficar una función de alguna de estas formas, es más sencillo concentrarse en un período, y luego, copiar la gráfica, en los demás intervalos. La Paz Community School EJEMPLO 7. Para las siguientes funciones encuentre las características elementales y esboce la gráfica en un período. = + 4 a) f ( ) = cos + b) g( ) = sen 6

85 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Soluciones E. // EJEMPLO 7. = + 4 a) f ( ) = cos + Primero, calculamos las características elementales pues las necesitaremos para realizar la gráfica. La amplitud es =. El período es = 6. El corrimiento de fase es ( ) 4 4,+ =,. El ámbito es [ ] [ ] =. Entonces, nos enfocamos en el intervalo que empieza en 7 de longitud 6. Es decir,, dado que 7 + 6=. Este intervalo y el ámbito forman un 4 4 rectángulo en el cual dibujamos una gráfica con la forma de coseno (en [ 0, ] ), pero reflejada b) g( ) = sen 6 La amplitud es =. El período es = El corrimiento de fase es El ámbito es trabajamos en 6 =. 5, + =, 6 6 Entonces,, +=. pues Graficamos como seno en [ 0, ] pero como la función tiene una refleión horizontal, y es un seno, entonces, aplicamos una refleión vertical. Trazar la recta y= como eje de simetría vertical es útil.. verticalmente, debido al que antecede el criterio: Ejercicio E. En cada una de las siguientes funciones, encuentre las características básicas y esboce una gráfica en un período.. f ( ) = cos. f ( ) = sen. g( ) = cos + f = ( ) sen f = 6 5. ( ) cos 6. f ( ) = sen + 7. g( ) = cos + f = 8. ( ) sen f = cos f ( ) ( ). g( ) = cos + 4. f ( ) = sen ( ) = 4sen + +. f ( ) = sen + f 4. ( ) = 4cos + + La Paz Community School 8 5. ( ) = 5cos + g 6. ( ) f = sen + 4

86 F. Otras gráficas trigonométricas Capítulo IV: Funciones Trigonométricas A manera de referencia mostramos las gráficas de las otras tres funciones trigonométricas. Las propiedades de estas, referidas como ejercicios, se verifican utilizando las identidades trigonométricas ya estudiadas. Ejercicio F. En cada una de las siguientes gráficas trigonométricas, encuentre las características solicitadas: Asíntotas Dominio Ámbito Simetría Período Intersección con y: Intersecciones con : Intervalos crecientes: Intervalos decrecientes: f ( ) = sec Asíntotas Dominio Ámbito Simetría Período Intersección con y: Intersecciones con : Intervalos crecientes: Intervalos decrecientes: f ( ) = csc Asíntotas Dominio Ámbito Simetría Período Intersección con y: Intersecciones con : Intervalos crecientes: Intervalos decrecientes: f ( ) = cot 84 La Paz Community School

87 G. Funciones trigonométricas inversas Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Como hemos visto de diferentes maneras las funciones trigonométricas básicas, si se consideran definidas en todo su dominio máimo, no son inyectivas. Entonces, no podrían tener inversa. Debido a esto, es necesario redefinir los dominios para que la función inversa esté bien definida. Esto podría hacerse en diferentes intervalos, sin embargo, por convención se escogen adecuadamente los dominios para que estas funciones inversas eistan y cumplan determinadas propiedades, como por ejemplo que sean monótonas. Arcoseno EJEMPLO 8. a) b) c) Calcule arcsen sen arcsen 5 arcsen sen 4 Veamos ahora la gráfica de Graficamos primero, f ( ) = arcsen. g :, [, ], g( ) = sen y reflejamos sobre la recta identidad, tal y como es el procedimiento usual para encontrar las gráficas de las funciones inversas. En el caso del seno, consideramos la restricción f :, [, ], f ( ) = sen Esta sí es biyectiva, por lo que tiene una función inversa que llamaremos arcoseno y se define [ ] ( ) f :,,, f = arcsen.. Una notación alternativa para el arcoseno es, enfatizando que es la inversa del seno: arcsen = sen, y debe quedar claro que el menos es de función inversa y no de recíproco. Es decir, arcsen csc. La gráfica de oscura. estrictamente creciente. f ( ) = arcsen es la mostrada más Note que entre otras propiedades es Como cualquier función inversa, la idea es que cumpla arcsen = y sen y=, pero esto es solamente válido dentro de los dominios respectivos, es decir y,,, [ ]. EJEMPLO 9. Grafique f ( ) = arcsen + Pasa por el origen? La Paz Community School 85.

88 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Arcocoseno Arcotangente En el caso del coseno, el intervalo donde se define coseno para que sea biyectiva es [ 0, ] y así tenemos que: [ ] [ ] arccos :, 0,, arccos = y cos y= (siempre que y [ 0, ], [,] ) La gráfica se muestra a continuación: Por último, como la función tangente tiene como ámbito todos los números reales, entonces, el intervalo donde podemos tomarla para que sea biyectiva es,. Para la función arcotangente tenemos que: arctan : R,, arctan = y tan y= (siempre que y,, R ) La función f ( ) = arccos es la mostrada más oscura, y note que es estrictamente decreciente, y siempre positiva. EJEMPLO 0. a) b) arccos Calcule cos arcsen arccos sen para 0, c) ( ) d) sen( arccos ) para [,0 ] Note que las asíntotas verticales de tangente, se convierten en asíntotas horizontales de arcotangente: y= y La función y=. f ( ) = arctan es la mostrada más oscura, y note que es estrictamente creciente y está definida para todos los números reales. EJEMPLO. a) Calcule sen arctan b) sec ( arctan ) 86 La Paz Community School

89 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Soluciones G. EJEMPLO 8: Calcule a) arcsen Buscamos un número real, sen =. Sabemos que valor está en el intervalo adecuado. Así, b) arcsen = 4 sen arcsen 5 Note que [,]. sen 4 tal que = y este, entonces, al aplicar que seno y 5 arcoseno son funciones inversas, tenemos que sen arcsen = 5 5 c) arcsen sen 4. En este caso tenemos que tener el cuidado de que, 4, por lo que no es posible aplicar la propiedad directamente. Es necesario buscar un ángulo coterminal que sí esté en ese intervalo: Como =, 4 4, entonces, arcsen sen arcsen sen = = EJEMPLO 9: Grafique f ( ) = arcsen + A partir de la gráfica de ( ). f0 arcsen transformaciones. Primero trasladamos = hacemos hacia la izquierda, luego dilatamos verticalmente, y por último, trasladamos una unidad hacia abajo. El resultado es la función pintada más oscura: Pasa por el origen? A pesar de que pareciera ser así, debemos calcular la imagen para determinarlo con eactitud. f 0 = arcsen 0+ = arcsen = = 0 6 ( ) Note que Así, que f no pasa por el origen. 0, 05, lo cual es difícil de percibir visualmente. La Paz Community School 87

90 EJEMPLO 0: Calcule a) arccos Note que como entonces, b) cos arccos = cos arcsen, = y [ 0, ] En este caso es conveniente calcular primero arcsen entonces, buscamos. Debido a que cos = sen =, Una de las ventajas de haber escogido arcoseno en el intervalo se hizo es que para un número real positivo 0, siempre se cumplirá arcsen ( ) que facilitará mentalmente algunos cálculos. arccos sen para 0, c) ( ) Sea ( ) = arcsen, lo θ= arccos sen cosθ= sen. Note que si 0, sen 0 cosθ 0 θ 0,. Luego, podríamos reescribir sen = cos, para ver que cosθ= cos θ=, que en efecto pertenece a 0,. Por lo tanto, arccos( sen ) = Capítulo IV: Funciones Trigonométricas d) sen( arccos ) para [,0 ] Supongamos que arccos cos [, 0] de donde, θ, De la identidad Pitagórica básica θ= θ=, y se sigue que sen θ 0. sen θ+ cos θ= sen θ= cos θ=, al sacar raíz tenemos dos posibilidades, senθ=±. Como senθ 0, entonces, la única posibilidad es ( ) senθ= sen arccos = En este par de ejemplos deber quedar claro la importancia de considerar los dominios donde se trabaja, las funciones trigonométricas inversas se han definido en intervalos donde se facilita este análisis. EJEMPLO : Calcule a) Sea sen arctan θ= arctan tanθ= θ=, así, estamos buscamos Otra manera válida sería utilizar sen = sen = sen θ= senθcosθ= =. cos arctan Sea θ= arctan tanθ=, b) ( ) como sec θ= + tan θ sec θ= +, y como cos θ= cos ( arctan ) = sec θ + Respecto al dominio de esta epresión notamos que por un lado para cualquier R se tiene que arctan, de donde secθ está siempre definida y no es cero, así que no hay ninguna restricción.,. 88 La Paz Community School

91 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Ejercicio G. I PARTE: Para cada una de las funciones dadas, complete la siguiente tabla: f ( ) = arcsen f ( ) = arccos f ( ) = arctan Dominio Ámbito Intersecciones Monotonía Simetría f ( ) 0 f ( ) 0 Eje Eje y ր ց II PARTE: Calcule los siguientes valores numéricos, o bien, algebraicos.. arcsen 0. arccos cos 4 7. arccos cos arcsen cos 5. arccos. arctan 4. arcsen 5. arctan( ) 6. arccos 7. arcsen 0 8. arccos( ) 9. arcsen sen 5. arcsen tan 4. arctan tan 7. cos arccos 4. sen( arcsen( ) ) 5. tan( arccos ) 6. sen( arctan( ) ) 8. arcsen sen 9. arccos( arctan 0 ) arctan tan arcsen cos 4. arctan cot. arccos sen 5. sen( arctan ) 6. cos( arcsen ), [ 0,] 7. sen( arccos ), [, 0] 8. tan( arccos ), [, 0] 9. arctan( cot ), ], [ 0. arcsen( cos ), [ 0, ]. sec( arccos ), [, 0] arccos sen,,0. ( ) III PARTE: Demuestre las siguientes identidades sen arctan = +. ( ) + y 5. arctan + arctan y= arctan y cos arcsen =. ( ) cos arcsin + arccos y = y y. ( ) si > 0 4. arctan + arctan = si < arctan = arctan 5 4 arccos + arcsen = arctan 5 5 y y arctan arctan = arcsen + + y + + y La Paz Community School 89

92 H. Aplicaciones Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Ejercicio H. I PARTE: Considere el siguiente péndulo en el cual la posición de equilibrio es B, y denotamos con A la posición izquierda máima, y con C la posición derecha máima. Supongamos que tarda 4 segundos en moverse desde B hasta A. La gráfica de la siguiente función trigonométrica representa el movimiento del péndulo, con el tiempo en el eje, y la posición en el eje y.. De dónde parte el péndulo?. Cada cuántos segundos vuelve a repetirse el movimiento del péndulo?. Represente la situación con una función trigonométrica. 5. Encuentre el tiempo, entre 0 y 4 para el cual la posición del péndulo es eactamente en medio de A y B. 6. Encuentre el tiempo, entre 0 y 6 para el cual la posición del péndulo es eactamente en medio de B y C. 4. Encuentre la posición del péndulo a los s y 44s segundos. II PARTE: Debido a que es una pérdida de dinero en intereses colocar demasiado dinero en un cajero automático que los clientes no vayan a sacar, y no es bueno para la imagen del banco que un cliente vaya al cajero y no tenga dinero, un banco tiene el siguiente modelo para saber cuánto dinero debe colocar en un cajero automático según el día del mes (de 0 días). Los días 8 y deben colocar la máima cantidad de dinero, pues esos son fechas de pago para muchas personas. Sea t la cantidad de días después del día 8, (por ejemplo, para el día 4, tenemos que t= 6 y para el día tenemos que t = 5 ) y f ( t ) la cantidad de millones de colones que deben colocar en el cajero para cada valor de t. Supongamos que la máima cantidad necesaria es y la mínima Cada cuántos días se repite el ciclo de la cantidad de dinero en el cajero? 5. Qué días del mes deben colocar la menor cantidad de dinero?. Cuál sería el nivel medio de cantidad de dinero en el 6. Encuentre, aproimadamente, la cantidad de dinero que cajero? deben colocar los días 6 y 4.. Cuál sería la amplitud de esta función? 7. Encuentre los días que deben colocar aproimadamente 4. A cuál función trigonométrica representa la gráfica de la función mostrada? 90 La Paz Community School

93 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas AUTOEVALUACIÓN Funciones Trigonométricas I PARTE: Selección única Funciones básicas ) Para la función cuyo criterio es f ( ) = cos, analice las siguientes proposiciones: i) f es creciente en,0 ii) f es decreciente en ], [ De ellas, Cuáles son verdaderas? A) Solo la i) Solo la ii) Ambas Ninguna ) Para la función dada por f ( ) = sen, un punto de la gráfica de f es: A) (, ) ( 0, ) (, ), ) Para la función f cuyo criterio es f ( ) = sen, analice las siguientes proposiciones i) Si 0,, entonces f es creciente. ii) Si ],0[, entonces f es decreciente. De ellas, cuáles son verdaderas? A) Solo la i) Solo la ii) Ambas. Ninguna. 4) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función dada por i) Una preimagen de f ( ) = sen es 7. 4 ii) La gráfica de f interseca el eje en (,0). Cuáles de ellas son verdaderas? A) Ambas. Ninguna. Solo la i). Solo la ii). 5) Un valor para el que la función f ( ) = tan NO está definida es A) 4 6) Para la función cuyo criterio es f ( ) = cos se cumple que A) f = 0 f ( ) = 0 f ( ) = f = 7) Considere las siguientes proposiciones respecto de la función f dada por f ( ) = cos. i) f es estrictamente decreciente en, 0. ii) La gráfica de f interseca el eje en (,0) De ellas, cuáles son verdaderas? A) Ambas. Ninguna. Solo la i). Solo la ii). La Paz Community School 9

94 8) Uno de los puntos en donde la gráfica de la función f definida por A),0 0, (,0) ( 0, ) f ( ) = sen, interseca el eje es: 9) Para la función f ( ) = sen con dominio ] 0, [, la gráfica de f interseca al eje en el punto: A) (, 0),0, 0, 0 4 0) Las siguientes proposiciones son referidas a f ( ) = tan. i) f es creciente en el intervalo, ii) f ( ) = 0 si = iii) El ámbito de f es [, ] De ellas, cuáles son verdaderas? A) Solo ii Solo iii Solo i y ii Solo ii y iii ) Para la función f dada por f ( ) = cos, la imagen de A) 5 corresponde a Capítulo IV: Funciones Trigonométricas ) Un número que no pertenece al dominio de la función ( ) tan g A) = es: ) Para la función f dada por f ( ) = tan, considere las siguientes proposiciones. i) f ( + ) = f ( ), D f ii) f no está definida para = 90. De ellas, cuáles son verdaderas? A) Ambas. Ninguna. Solo la i). Solo la ii). f :, 0,, f = sen 4) Para la función [ [ [ ] ( ) Analice las siguientes proposiciones: i) f es creciente ii) f interseca el eje en dos puntos De ellas son verdaderas: A) Solo la i) Solo la ii) Ambas Ninguna 5) Si h( ) cos es: A) [ 5, 6 ] =, un intervalo donde h es decreciente 7 9, [ 8,9 ] 5, 9 La Paz Community School

95 6) Sea f ( ) = tan. Si cumple que: A) f ( ) R f ( ) ],0[ f ( ) ] 0, + [ f ( ) ],0[,, entonces se Capítulo IV: Funciones Trigonométricas 0) Las siguientes proposiciones se refieren a la función f dada por f ( ) = cos i) 0 es la imagen de ii) es preimagen de De ellas, cuáles son verdaderas? A) Ambas. Ninguna. Solo la i). Solo la ii). ) Uno de los puntos en donde la gráfica de la función f 7) Las siguientes proposiciones se refieren a la función f dada por i) f ( ) = sen f = f ii) f es decreciente en ] 0, [ De ellas, cuáles son verdaderas? A) Ambas. Ninguna. Solo la i). Solo la ii). 8) Considere las funciones dadas por f ( ) = sen, ( ) = cos, h( ) tan g =. De ellas son estrictamente crecientes en A) Solo la f y la g Solo la f y la h Solo la g y la h Todas 9) Sea f :, R con ámbito de f? A) [ 0, ], 0,,, f ( ) = sen Cuál es el definida por A) (,0) ( 0, ),0 0, f ( ) = tan, interseca el eje es: ) Considere las funciones dadas por f ( ) = sen, ( ) = cos, h( ) tan g A) solo la f y la g solo la f y la h solo la g y la h todas =. De ellas tienen período ) Sea f la función dada por f ( ) = tan Un intervalo para el cuales f ( ) < 0 es: A) ] 0, [ ] 0, [,0, 4 4 4) Sea f ( ) = cos. Si cumple que: A) f ( ) ] 0,[ f ( ) [,0[ f ( ) ],[ f ( ) ],0[ < <, entonces se La Paz Community School 9

96 5) Las siguientes proposiciones se refieren a la función trigonométrica f, dada por f :, [,] f ( ) = sen I. El ámbito de f es [,] con Capítulo IV: Funciones Trigonométricas 8) Considere la figura adjunta que representa la gráfica de una función dada por f :, R y las siguientes proposiciones. II. Interseca el eje en dos puntos. De ellas, cuáles son verdaderas? A) Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 6) Considere las siguientes proposiciones. I. Es una función impar II. Es positiva 0, III. Es creciente en el intervalo ], [ De las proposiciones anteriores la función cumple con A) a) todas b) solo I y II c) solo I y III d) solo II y III f ( ) = cos I. f es negativa en el intervalo,0 II. La función representada es f ( ) = tan De las proposiciones anteriores es (son) VERDADERA(S) 7) Considere las siguientes proposiciones relativas a la f :, ; f = tan función dada por R ( ) I. f es creciente. A) ambas ninguna solo la I solo la II II. El ámbito de f es R. III. f contiene el punto (,0). De las proposiciones anteriores con certeza es(son) VERDADERA(S) A) todas solo I y II solo I y III solo II y III 94 La Paz Community School

97 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas Funciones transformadas + Considere la función g( ) = 5sen +, las preguntas 9- se refieren a ella. 9) La amplitud corresponde A) 5 0) El corrimiento de fase corresponde a A) ) El ámbito corresponde a: A) [,5 ] [,7] [ 5,5] [,] ) El período corresponde a: A) 4 ) La intersección con el eje y corresponde a: A) 5 0, + 9 0, ( 0, ) +,0 Considere la función f ( ) = cos preguntas 4-8 se refieren a ella. 4) La amplitud corresponde A) 8 5) El corrimiento de fase corresponde a A) ) El ámbito corresponde a: A), +, [ 4, ] [,] 7) El período corresponde a: A) 8 La Paz Community School 95 4, las 8) La intersección con el eje, más cercana al origen corresponde a: A),0 4 7,0 4,0 4 5,0 4

98 9) Considere la función f definida en su dominio máimo y con codominio R, cuyo criterio es f ( ) = csc( ) entonces una asíntota de la gráfica de f corresponde a A) = = 4 = 5 = 40) Un intervalo donde es decreciente la función f : R R definida por A) [ 0, ],,, f ( ) = cos es 4) El periodo de la función h( ) corresponde a A) = sen ) Un par ordenado que pertenece a la gráfica de la función f : R R definida por f ( ) = cos es A) ( 0, ) 0, (,0), Capítulo IV: Funciones Trigonométricas 4) El ámbito de la función f : R R definida por f ( ) A) [ 0, ] [,] ( +) sen = es,, 44) Considere las siguientes proposiciones relativas a la función dada por f : R R, definida por f = + ( ) sen I. El periodo de la función es 4. II. La amplitud de la función es. De las proposiciones anteriores con certeza es(son) VERDADERA(S) A) ambas ninguna solo I solo II 45) Considere la función f : R R definida por f ( ) = + sen. Un punto donde la gráfica de f interseca al eje de las abscisas es A) (,0),0 4,0, La Paz Community School

99 46) Considere la figura adjunta que representa la gráfica de una función trigonométrica La función representada corresponde a f = A) ( ) cos f = + ( ) cos f = ( ) sen f = + ( ) sen Trigonométricas inversas 47) El valor numérico de arcsen corresponde a A) ) Para que la función f :[,0] ( ) arccos( ) A definida por f = sea biyectiva, el conjunto A debe ser igual a A) [,] [ 0, ] 0,, 49) El valor numérico de cos A) Capítulo IV: Funciones Trigonométricas cos 4 corresponde a 5 50) El valor numérico de cos ( arctan( ) ) A) es 5) La epresión cos arcsen es igual a 5 A) ) La epresión arcsen( cos ), [ 0, ] es equivalente a: A) La Paz Community School 97

100 5) La epresión cos( arctan ), < 0 es equivalente a: Capítulo IV: Funciones Trigonométricas 56) Cuál es la altura que recorre al ser lanzado con un A) + ángulo de? 6 A) 4,m,0m,40m 6,5m + Aplicaciones Con respecto al siguiente enunciado, conteste las preguntas,, y 4. La altura máima que recorre una piedra al ser lanzada con una velocidad inicial de 8 m con un ángulo medido en s radianes, donde 0 se puede calcular con la fórmula ( ) = 6, 5sen f 57) Si la altura a la que llega la piedra es 8,65m, el ángulo con que fue lanzada corresponde a: A) ) Considere las siguientes proposiciones I. La altura máima de la piedra se da cuando = 4 II. Entre más grande sea el ángulo, más alto llega la piedra. De ellas son con certeza verdaderas: A) Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 55) Una epresión equivalente a f ( ) es: A) 6,5cos 6, 5 6, 5cos 6,5 sec 6,5( tan ) Con respecto al siguiente enunciado, conteste las preguntas 5,6, 7 y8. En un faro, a una altura de 0m y con un ángulo de depresión igual a, con 0< <, un observador ve los barcos cuando se acercan a la costa. Sea f ( ) = 0 tan la distancia entre un barco y la costa. 58) Considere las siguientes proposiciones I. Para = la distancia es 0 II. Entre más grande sea el ángulo, más lejos está el barco. De ellas son con certeza verdaderas: A) Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 98 La Paz Community School

101 59) Una epresión equivalente a f ( ) es: A) 0cot 0sec 0csc 0 tan 60) Cuál es la distancia a la que está un barco si Capítulo IV: Funciones Trigonométricas 6) Considere las siguientes proposiciones I. El alcance máimo del balón es cuando = 4 II. Entre más grande sea el ángulo, más grande es el alcance del balón. De ellas son con certeza verdaderas: A) Ambas Ninguna Solo la I Solo la II observado con un ángulo de 6? A) 5m 5,77m 0m 7,m 6) Un barco está a una distancia de 0m. El ángulo con que se observa el barco es: A) 6 4 Con respecto al siguiente enunciado, conteste las preguntas 9,0, y. 6) Una epresión equivalente a f ( ) es: A) 40,8 csc 40,8sec 40,8cos 40,8cos 64) Cuál es la distancia máima que recorre al ser lanzado con un ángulo de? A) 5,4m 0,4m 0,56m 40,8 La distancia horizontal (alcance) que recorre un balón antes de tocar el piso al ser pateado con una velocidad inicial de 0 m con un ángulo medido en radianes, donde s 0 se puede calcular con la fórmula f ( ) = 40,8sen 65) El balón recorre una distancia de 5,4m. De las siguientes proposiciones la verdadera es: A) El balón fue lanzado con un ángulo de 6 El balón fue lanzado con un ángulo de Tanto A) como podrían ser ciertas. Ninguna de las anteriores. La Paz Community School 99

102 66) Un estudiante de dibujo técnico al utilizar el compás descubre que el radio r del círculo dibujado, está en función del ángulo con que abre los brazos dicho compás 0<, por medio de la función ( ) tan r =, como ilustra la siguiente figura: Capítulo IV: Funciones Trigonométricas 67) La siguiente gráfica representa una función trigonométrica e ilustra el movimiento armónico simple de un cuerpo en particular, donde t representa el tiempo en segundos, d es la distancia en metros, representa el punto más bajo alcanzado por el cuerpo y el más alto. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. Si el ángulo aumenta, entonces el radio r aumenta, es decir, la función r( ) tan = es creciente. II. Si se desea dibujar un círculo con un radio de longitud de un decímetro, entonces, el ángulo =. 4 De ellas, cuáles son verdaderas? Con base en la información anterior y suponiendo que a los segundos de haber puesto en movimiento el cuerpo, este se encuentra en el punto más bajo, considere las siguientes proposiciones: I. La gráfica representa la función f ( ) = sen. II. A los segundos de haberse puesto en movimiento el cuerpo, se localiza en el punto más alto que puede alcanzar. A) Ambas Ninguna Solo la I Solo la II. De ellas, cuáles son verdaderas? A) Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 00 La Paz Community School

103 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas 68) La siguiente gráfica representa una función trigonométrica e ilustra las variaciones en metros de las mareas en el Caribe costarricense, en condiciones normales, durante una semana. Donde y representa la altura de la marea, representa el nivel de marea más bajo y el más alto. Para interpretar la información de la gráfica anterior suponga que el eje representa la secuencia de las horas del día según la siguiente tabla: Radianes Horas 0 0 horas del domingo 6 a. m. del domingo m. d. del domingo 5 6 p. m. del domingo 0 horas del lunes 6 a. m. del lunes m. d. del lunes Así sucesivamente Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. A las 6 : 00 p. m. del día martes de esa semana, la marea se localiza en su nivel más bajo posible. II. Entre las 8 : 00 a. m. y las : 00 m. d. del día lunes de esa semana, la marea se encuentra en pleno descenso. De ellas, cuáles son verdaderas? A) Ambas Ninguna Solo la I Solo la II La Paz Community School 0

104 Capítulo IV: Funciones Trigonométricas II PARTE: Calcule.. arctan sen cos arc sen 5. cos arctan 4. arcsen cos 4 5. sen arccos 5 f :,, f = cos III PARTE: Considere la función R ( ). Determine el ámbito, corrimiento de fase, la amplitud y el periodo de f.. Determine las intersecciones de la gráfica de f con los ejes.. Esboce la gráfica de f. IV PARTE: Considere una rueda Chicago de radio 8m medida desde el centro hasta el final del carrito que casi toca el suelo. Cada vez que se montan en el juego, se tarda min y 5 segundos en dar 6 vueltas. Denotamos con f ( t ) la altura de a la que está el carrito A, en el tiempo t. Cuál es el período de la función f ( t ) en segundos? Denótelo con p. Calcule la amplitud de f ( t ). Calcule f ( ) p 0, f 4. Estime el valor de t para el que pasa por la posición C la primera y la segunda vez. 5. Estime el valor de t para el que pasa por la posición B la primera y la segunda vez. 6. Escriba una fórmula para f ( t ) 7. Realice un esbozo de la gráfica de f 0 La Paz Community School

105 CAPITULO V: Ecuaciones Trigonométricas Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre epresiones trigonométricas, donde la incógnita es un ángulo. Resolverla significa encontrar todos los ángulos que hacen de esa igualdad una identidad. Las ecuaciones trigonométricas se resuelven generalmente en radianes, ya que deseamos epresar el conjunto solución como un conjunto de números reales, y como se ha analizado, los conceptos coinciden al hacerlo de esta forma. A. Ecuaciones simples Como las funciones trigonométricas son periódicas, cuando una ecuación trigonométrica tiene una solución, entonces, por lo general, tendrá infinitas, ya que los ángulos coterminales serán también solución de esa ecuación. Es por esto que en esta sección resolveremos las ecuaciones únicamente en el intervalo [ 0, [, que corresponde a la primer vuelta de la circunferencia trigonométrica. Para efectos de clasificación llamaremos ecuaciones simples a las que tienen solo una función trigonométrica y sin elevar a ninguna potencia. ) Se despeja la parte trigonométrica. Para resolver ecuaciones trigonométricas simples: ) Se encuentra el ángulo de referencia comparando con la tabla de valores eactos (II.). ) Se identifica los cuadrantes con base en los signos de la función trigonométrica. 4) Se determina los ángulos de la solución. EJEMPLO. Resuelva cos + + = 0 + = en el intervalo [ 0, [ EJEMPLO. Resuelva tan = 0 = en el intervalo [ 0, [ EJEMPLO. Resuelva sen + + = 0 + = en el intervalo [ 0, [ EJEMPLO 4. Resuelva cos cos = en el intervalo [ 0, [ EJEMPLO 5. Resuelva cos = 0 + = en el intervalo [ 0, [ La Paz Community School 0

106 Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas EJEMPLO : Resuelva cos + + = 0 Soluciones A. + = en el intervalo [ 0, [ PASO ) PASO ) PASO ) PASO 4) Despejando la parte trigonométrica: Comparando con la tabla de B.: El coseno es negativo en los cuadrantes II y III, y cos = θ= calculamos el valor de sumando y restando el ángulo de referencia: =, =+ Escribimos el conjunto solución: 4 =, 4 S =, EJEMPLO : Resuelva tan = 0 = en el intervalo [ 0, [ PASO ) PASO ) PASO ) Despejando la parte trigonométrica: Comparando con la tabla de B.: tan = = θ= 6 La tangente es positiva en los cuadrantes I y III, así que el primer ángulo es 6 y para encontrar la medida del ángulo en PASO 4) tercer cuadrante sumamos el ángulo de 7 referencia: =, =+ = Escribimos el conjunto solución: S =, 6 6 EJEMPLO : Resuelva sen + + = 0 + = en el intervalo [ 0, [ PASO ) Despejando la parte trigonométrica: sen + = 0 sen = = PASO ) Siempre que el seno o el coseno sean igual a ± ó a 0, el ángulo de PASO ) la solución es un ángulo cuadrantal que determinamos con el círculo trigonométrico: =, porque su coordenada en y es igual a. Escribimos el conjunto solución: S = 04 La Paz Community School

107 EJEMPLO 4: Resuelva cos = cos en el intervalo [ 0, [ Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas PASO ) Despejando la parte trigonométrica: cos = cos cos = 0 PASO ) PASO ) PASO 4) Al igual que en la pregunta anterior, obtenemos un ángulo cuadrantal. En este caso, hay dos puntos de la circunferencia trigonométrica cuya coordenada en el eje de las abscisas es nula. Escribimos el conjunto solución: S =,. EJEMPLO 5: Resuelva cos = 0 PASO ) + = en el intervalo [ 0, [ Despejando la parte trigonométrica: 6 cos = 6 cos = = PASO ) Sin embargo, el coseno (ni el seno) de un ángulo nunca puede ser menor que (ni mayor que ) PASO ) Entonces: S =φ. Ejercicio A. Resuelva las siguientes ecuaciones en el intervalo [ 0, [.. sen =. 4cos + = 0. 6 sen = 8. 5 tan 5= cos + 6 = 0 0. sen + = sen 4. cos + 8= 0 5. cos + = 0 6. sen = 7. sen = sen.. cos = cos sen = sen La Paz Community School 05

108 B. Ecuaciones de segundo grado Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas Llamamos ecuaciones de segundo grado a las que tienen una función trigonométrica elevada al cuadrado (suponemos que no hay potencias de mayor grado) o dos funciones trigonométricas distintas multiplicadas entre sí. Para resolverlas se debe encontrar los valores trigonométricos mediante métodos similares a los de las ecuaciones cuadráticas, ya sea factorizando o despejando. Recuerde el principio del producto nulo que establece que si a b= 0 entonces a= 0 ó b= 0. EJEMPLO 6. Resuelva ( cos )( sen + ) = 0 en el intervalo [ 0, [ EJEMPLO 7. Resuelva cos = EJEMPLO 8. Resuelva + + = tan 0 EJEMPLO 9. Resuelva cos sen = cos Es importante hacer la observación de que en una ecuación no se puede cancelar epresiones con variables. En el ejemplo, si hubiéramos cancelado el cos, entonces algunas soluciones habrían quedado por fuera. En el siguiente ejemplo debemos factorizar una epresión que tiene aprendido en el capítulo I, sólo que con la variable sen en vez de. sen y sen, para lo cual aplicamos el método EJEMPLO 0. Resuelva = sen sen 0 C. Ecuaciones utilizando identidades Cuando aparecen las funciones trigonométricas cot,sec ó csc, es necesario convertirlas a sus definiciones básicas para facilitar el proceso. Además, es posible que para poder resolver las ecuaciones sea necesario utilizar otras identidades trigonométricas. EJEMPLO. Resuelva sen + cos = 0 + = en el intervalo [ 0, [ cot + sen = 0 EJEMPLO. Resuelva ( )( ) EJEMPLO. Resuelva tan sec + = en el intervalo [ 0, [ = en el intervalo [ 0, [ EJEMPLO 4. Resuelva sen( ) = sen( ) EJEMPLO 5. Resuelva sen + cos = 0 + = en el intervalo [ 0, [ cos cos = sec tan EJEMPLO 6. Resuelva ( ) 06 La Paz Community School

109 Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas Soluciones B y C. EJEMPLO 6: Resuelva ( cos )( sen + ) = 0 en el intervalo [ [ PASO ) La ecuación ya está factorizada. PASO ) Aplicando el principio del producto nulo: cos = 0 ó PASO ) sen + = 0 Resolviendo cada una de las ecuaciones simples: 0,. PASO 4) cos = ó sen = =, ó = 6 6 Escribimos el conjunto solución: S =,, 6 6 EJEMPLO 7: Resuelva cos = PASO ) Despejando el coseno: cos = cos =± cos =± PASO ) PASO ) PASO 4) Racionalizando: cos =± =± Resolvemos cada una de las ecuaciones simples: cos = ó cos = 5 =, ó 4 4 Se escribe el conjunto solución: 7 =, S =,,, EJEMPLO 8: Resuelva PASO ) PASO ) + + = tan 0 Despejando la tangente: tan = Como un número real al cuadrado nunca puede ser negativo, esta ecuación no tiene soluciones. PASO ) El conjunto solución es: S =φ La Paz Community School 07

110 Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas EJEMPLO 9: Resuelva cos sen = cos PASO ) Igualando a 0 tenemos: cos sen cos = 0 PASO ) Sacando el factor común: cos ( sen ) = 0 PASO ) Por el principio del producto nulo: cos = 0 ó PASO 4) PASO 5) Resolviendo cada ecuación: Escribimos el conjunto solución: sen = 0 sen = =, ó 5 =, S =,,, 6 6 EJEMPLO 0: Resuelva PASO ) = sen sen 0 Amplificando tenemos: sen sen = 4 ( sen )( sen+ ) PASO ) Necesitamos números que multiplicados den 4 y restados den. Estos son 4 y. PASO ) La epresión queda: ( )( + ) sen 4 sen = sen sen = 0 PASO 4) Volviendo a la ecuación original ( )( ) PASO 5) Por el principio del producto nulo: sen = ó sen = PASO 6) PASO 7) Observemos que la primera ecuación no tiene soluciones y la única de la segunda es = El conjunto solución es: EJEMPLO : Resuelva sen + cos = 0 S = + = en el intervalo [ 0, [ PASO ) Pasando a restar: sen = cos PASO ) PASO ) PASO 4) Pasando a dividir: Resolvemos la ecuación: El conjunto solución es: sen = tan = cos 7 =, S =, 4 4 ( sen )( sen + ) 08 La Paz Community School

111 cot + sen = 0 EJEMPLO : Resuelva ( )( ) + = en el intervalo [ 0, [ Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas PASO ) Aplicando el principio del producto nulo: cot + = 0 ó sen = 0 PASO ) Despejando de cada ecuación: cot = ó sen = =, 4 4 PASO ) Como cot = tan en la primera ecuación: = = tan tan = tan PASO 4) Racionalizando: tan = = tan = PASO 5) Y resolviendo esta ecuación: 5 =, PASO 6) El conjunto solución es: 5 S =,,, 4 4 EJEMPLO : Resuelva tan PASO ) PASO ) = sec en el intervalo [ 0, [ Por identidades trigonométricas: Pasando a restar: sen = cos cos sen sen = 0 = 0 cos cos cos PASO ) Aplicando el principio del cociente nulo: sen = 0 y cos 0 PASO 4) PASO 5) Resolviendo cada ecuación: Escribimos el conjunto solución: 5 sen = =, y S =, 6 6, Es importante sintetizar el principio del cociente nulo. Cuando una fracción es igual a 0, su numerador debe ser igual a 0 y su denominador debe ser distinto de 0 y en este caso en particular nos recuerda que las epresiones tan y sec no están definidas para = ni para =. EJEMPLO 4: Resuelva sen( ) = sen( ) PASO ) Según vimos en la sección de identidades trigonométricas: sen( ) sen ( ) = sen, para cualquier valor de. PASO ) Sustituyendo en la ecuación: ( ) ( ) identidad, cualquier ángulo la satisface. = sen y sen = sen sen = sen y como esta es una PASO ) Como estamos restringiendo la ecuación al intervalo [ 0, [, el conjunto solución es [ 0, [ S =. La Paz Community School 09

112 EJEMPLO 5: Resuelva sen + cos = 0 PASO ) + = en el intervalo [ 0, [ Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas Esta ecuación es difícil de trabajar porque tiene senos y cosenos, y no hay manera de factorizar así como está, pero al recordar que sen + cos = sen = cos podemos epresar toda la ecuación en términos de cosenos. Sustituyendo y simplificando: sen + cos = 0 + cos cos ( ) + = = = 0 cos cos 0 cos cos 0 PASO ) Por el principio del producto nulo: cos = 0 ó cos = 0 PASO ) Resolviendo cada ecuación: cos = 0 =, ó cos = = 0 PASO 4) El conjunto solución es: S = 0,, cos cos = sec tan EJEMPLO 6: Resuelva ( ) PASO ) Recordando la identidad tan + = sec = sec tan cos cos = sec tan cos cos = PASO ) Sustituyendo y simplificando: ( ) ( cos )( cos + ) cos cos = 0 = 0 ( cos )( cos + ) = 0 ( cos )( cos + ) PASO ) Por el principio del producto nulo: cos = 0 cos = ó cos + = 0 cos = PASO 4) 4 Resolviendo cada ecuación: cos = = 0 ó cos = =, PASO 5) El conjunto solución es: 4 S = 0,, = 0 Ejercicio B. Resuelva las siguientes ecuaciones en el 7. intervalo [ 0, [. cos =. tan = sen = sen sen = 0 cos + = sen = cos + 4cos + = 0 tan = 0 9. sen = cos sen 0. cos cos = 0. tan ( tan ) = 0. ( )( ) sen tan + = 0. cos tan = cos Ejercicio C. Resuelva las siguientes ecuaciones en el intervalo [ 0, [. 4 csc = csc. ( )( ) tan + cot = 0. ( )( ) 4. sen + csc = 0 tan 4sen = 0 5. csc sec = 0 6. sec = 0 = 7. cos( ) 8. cot = csc cot 9. csc = 0. tan = sen. cos = cot.. cos + sen = 0 sen + cos = 4. tan( ) 5. = tan cos = csc 0 La Paz Community School

113 AUTOEVALUACIÓN Ecuaciones Trigonométricas Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas ) El conjunto solución de sen es: A) 7, , 5, 6 6, 6 = si [ 0, [ ) Las soluciones de sen + = + para 0, son: [ [ A) y y 0 ) El conjunto solución de cos = cos con 0, corresponde a: A) [ [ 5,, 6 6 4, 5 7, 6 6 4) Las soluciones en [ 0, [ de la ecuación + tanθ= son A) 4 y 7 y y 5 y 6 6 5) El conjunto solución de sen = 6, con A) [ 0, [ es:, 4 4 5, 4 4 7, , 4 4 6) El conjunto solución de tan = tan, con A) [ 0, [ es 5, 4, 4, 5, La Paz Community School

114 7) El conjunto solución de sen cos = sen en [ 0, [ es: A) 5, 0,, 5 0,,, 4 5,,, 8) El conjunto solución de [ 0, [ es A) 4 5, 7, ,,, 7 0,,, 6 6 9) Dos soluciones de la ecuación en el intervalo [ 0, [ son: A) y y y 6 y 6 sen cos = sen en = cos, Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas + cos cos = cos en 0) Dos soluciones de ( )( ) [ 0, [ son A) 0 y y 0 y y ) El conjunto solución de ( ) [ 0, [ es: A) { 0, } 0,,, cos + sen = 0 con ) El conjunto solución de la ecuación cot + = 0, en el intervalo [ 0, [ es: A) 5, 6 6 5, 6 La Paz Community School

115 ) El conjunto solución de [ 0, [ es A) 5, 6 6, 4 5, 7, 6 6 cos + sen = sen + en 6) Dos soluciones de son A) 5 y 6 y 5 7 y 6 6 y 6 Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas tan = 4sen en [ 0, [ 4) Dos soluciones de 4sen csc 0, son A) [ [ y 7 y y y 6 = en 7) El conjunto solución de 0 < es A) 5,, 5 4 0,,,, sec = sec + si 5) El conjunto solución de A) [ 0, [ es: 4, 4 5, 5 7, 6 6 7, 6 6 sen = cos si 8) La solución de sec cos A) 0 = en [ [ 0, es La Paz Community School

116 9) Dos soluciones de [ 0, [ son A) 5 y 6 5 y 7 y 6 6 y 6 4 tan = sec en Capítulo V: Ecuaciones Trigonométricas ) Dos soluciones de ( )( ) [ 0, [ son A) 4 y 5 y 6 5 y 7 y 6 csc + sen = 0 en 0) La solución de csc sen A) 0 + = en [ [ 0, es: ) Cuántas soluciones tiene ( )( ) el intervalo [ 0, [ es: A) 4 cos + tan = 0, en 4 La Paz Community School

117 Capítulo I: Repaso de Conceptos Básicos de Estadística CAPITULO I: Repaso de Conceptos Básicos de Estadística Ejercicio Introductorio: El director del colegio cree que los varones de la institución invierten más horas en promedio en videojuegos que las mujeres. Con el fin de determinarlo, consultó en las clases de 8vo año, se le preguntó a los estudiantes, cuántas horas por semana dedicaban a jugar videos juegos? Las respuestas están agrupadas por género, en la siguiente tabla, que está representado en el gráfico aneo. Cantidad de horas por semana Frecuencia Hombres Mujeres Horas por semana en video juegos Hombres Mujeres Con base en los datos, conteste las siguientes preguntas:. Esta variable es cualitativa o cuantitativa?. Cuál es la población y cuál es la muestra de este estudio?. Cuántos hombres y cuántas mujeres hay en las clases de octavo? 4. Cuántas horas en total invierten los hombres en video juegos? 5. Cuántas horas en total invierten las mujeres en video juegos? 6. En promedio, quiénes invierten más horas por semana; los hombres o las mujeres? 7. Suponiendo que en el colegio hay un total de 80 varones, y 50 mujeres, de una estimación de cuántas horas por semana dedican en total los hombres del colegio y las mujeres del colegio a jugar video juegos. Comente acerca de la validez de esta estimación. Discuta otras maneras de hacer la comparación con base en los datos que se tienen. En este capítulo repasamos brevemente los conceptos básicos de estadística estudiados en años anteriores. La Paz Community School 5

118 A. Conceptos básicos A. Muestreo La estadística es la disciplina que proporciona la teoría para recopilar, organizar, sintetizar y analizar datos o hacer inferencias a partir de ellos. Los elementos, determinados con anterioridad, que van a ser objeto de una investigación estadística, forman un conjunto llamado población. Para simplificar las investigaciones, muchas veces se etrae un subconjunto de la población, que recibe el nombre de muestra. En un estudio estadístico formal, la escogencia de una muestra es un proceso complejo llamado muestreo. Un dato estadístico es un conjunto de atributos o cantidades, los cuales hacen referencia a una misma característica, la cual llamamos variable estadística, siendo posible establecer algunas relaciones significativas que pueden ser comparadas, analizadas o interpretadas. A. Clasificación de variable estadística Dependiendo del dato estadístico que puede tener una variable, tenemos la siguiente clasificación: Variables cualitativas: Son características no medibles que epresan cualidades o preferencias. No se pueden representar numéricamente. Por ejemplo, el color de piel o el color favorito. Variables cuantitativas: Son características medibles que se pueden epresar en cantidades numéricas. Por ejemplo, la temperatura o la edad. Capítulo I: Repaso de Conceptos Básicos de Estadística Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: Cuantitativa discreta: Es la que toma un número finito de valores en un intervalo finito. Por ejemplo, el número de personas que viven en una casa. Cuantitativa continua: Es la que puede tomar infinitos valores distintos en un intervalo finito. Por ejemplo, el peso en Kg. de una persona. A. Tipos de estudios estadísticos Eisten dos maneras directas en que la estadística nos presenta información. La primera es describiendo lo que sucedió y está sucediendo respecto a alguna variable. La otra es utilizar esa información para predecir, con cierto grado de incertidumbre, lo que va a ocurrir con alguna variable. Estadística descriptiva: Presenta la información de lo que sucedió o lo que está sucediendo con alguna variable estadística. Estadística inferencial: Utiliza la información para generalizar o predecir lo que sucederá con alguna variable estadística. La estadística inferencial utiliza tendencias, y supone que algunas cosas sucederán o continúan sucediendo para que se llegue a los resultados que produce, siempre con un margen de error Por lo general, utiliza métodos matemáticos superiores que no analizaremos en este teto. 6 La Paz Community School

119 B. Frecuencias y gráficos B. Frecuencia absoluta Después de obtener datos de una variable estadística estos se deben ordenar para facilitar su análisis. Por lo general, esto se hace en una tabla de frecuencias que es una ordenación de los datos durante su estudio y muestra el número de veces que se repite una categoría indicada en el estudio, es decir, muestra las frecuencias. Frecuencia absoluta: Es el número de veces que se repite cada valor o modalidad de la variable. B. Gráficos de barras Visualmente, es más fácil analizar los datos cuando están representados en un gráfico estadístico. Los gráficos presentan los datos organizados o resumidos, distanciando visualmente la relación que guardan entre sí. Una manera usual de representar una tabla de frecuencias es mediante un gráfico de barras. En un gráfico de barras colocamos en un eje las categorías y en el otro la frecuencias correspondientes a cada categoría. Por ejemplo, de la siguiente manera: tenemos el siguiente gráfico. Frecuencia Notas en el quiz de matemática A manera de ejemplo NOTA Capítulo I: Repaso de Conceptos Básicos de Estadística Observe que en el ejemplo utilizamos frecuencias absolutas, ya que representamos la cantidad de datos sin importar el total de respuestas obtenidas. Cuando se quiere representar variables cualitativas, en ocasiones, se utilizan las barras verticales, donde para simplificar su análisis de colocan las barras en orden decreciente, y en este caso, el eje donde calculamos las categorías no tiene una escala numérica. Rosado Verde Negro Rojo Azul B. Frecuencia porcentual Muchas veces es más interesante saber que parte del total representa un dato. Por ejemplo, es más claro decir que el % tiene hermanos que decir 8 estudiantes está en esa situación, porque podrían ser 8 de 0 u 8 de 000. Para representar datos de esa manera utilizamos las frecuencias relativas: Frecuencia porcentual: Indica porcentualmente la frecuencia con que se repite un dato con respecto al número total de datos. Recordemos que para calcular porcentajes utilizamos la fórmula: Color favorito de los niños de cuarto grado Cantidad 00 Porcentaje=. Total La Paz Community School 7

120 B.4 Gráfico circular Un gráfico circular, o gráfico de pastel, es una representación de las frecuencias porcentuales en sectores circulares. Para hacer un gráfico circular debemos tomar cada frecuencia porcentual y encontrar cuánto mide el ángulo correspondiente a ese porcentaje. Esto lo hacemos multiplicando la frecuencia porcentual por 60 (total del ángulos central de un círculo) y dividiendo entre 00. Capítulo I: Repaso de Conceptos Básicos de Estadística C. Medidas de tendencia central Para establecer similitudes entre los datos estadísticos de un estudio se utiliza lo que llamamos medidas de tendencia central y estas son: La moda de un grupo de datos estadístico es el valor que presenta mayor frecuencia. Cualquier variable estadística tiene moda. Cuando en un grupo de datos hay dos o más que tienen la misma frecuencia, decimos que la variable es multimodal y cada uno de esos datos es la moda. Sin embargo, si todos los datos tienen la misma frecuencia decimos que la moda es indefinida. La media aritmética de un grupo de datos estadísticos es el promedio aritmético del grupo de datos. Es decir, se suma todos los datos y se divide entre el número de datos. La media aritmética de los datos de una variable estadística X, se denota X. La mediana es el valor que ocuparía el lugar central, si los datos se colocaran ordenados ascendente o descendentemente. A manera de ejemplo, para el partido A la frecuencia porcentual es de 0%, entonces, el ángulo que define el sector circular correspondiente mide 60º 0 = 7º, pero se 00 debe encontrar en el círculo cada uno de los ángulos. La mediana de un conjunto de datos debe ser siempre menor o igual que una mitad de los datos y mayor o igual que la otra mitad. Cuando el número de datos es par hay dos valores que están en el centro, entonces la mediana es el promedio de estos. Si el número de datos es impar, entonces hay un valor que está en el centro, este es la mediana. Solamente las variables cuantitativas tienen media aritmética y mediana. El rango que tiene una variable estadística es el conjunto de valores que toma, desde el menor hasta el mayor. La amplitud o recorrido es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor, de los datos que presenta la variable. 8 La Paz Community School

121 D. Diagramas de puntos Otro tipo de gráfico que es útil son los llamados diagramas de puntos, que sirven para presentar gráficamente tablas en las cuales se consideran únicamente una variable y una cantidad asociada a cada valor de la misma. Esa variable puede ser cualitativa o cuantitativa. En el primer caso se construye colocando en el eje horizontal los valores de la variable (los cuales, por ser cualitativos, no llevan ninguna relación entre ellos) y en el eje vertical las frecuencias absolutas asociadas a éstos. Finalmente, para cada valor de la variable y cada cantidad asociada se dibujan puntos cuya altura corresponde a la magnitud de dicha cantidad. Recodemos siempre manejas las escalas adecuadas en el eje y, con el fin de realmente proveer gráficos que sean útiles visualmente. EJEMPLO. En una encuesta, se le preguntó a los estudiantes de undécimo año del colegio, cuál carrera querían estudiar? Los resultados se presenten en la siguiente tabla con su frecuencia. Elabore un diagrama de puntos con esa información. Carrera Frecuencia Ingeniería 00 Medicina 50 Psicología 0 Matemática 0 Informática 40 Derecho 50 Capítulo I: Repaso de Conceptos Básicos de Estadística EJEMPLO. A continuación se presenta, el costo del recibo de celular de algunas personas, junto con la cantidad de minutos de voz que consumieron. Elabore un gráfico de puntos con la información Nombre Minutos Costo del Recibo Gabriela Adriana Edwin Julio María E. Gráficos lineales Los gráficos lineales se utilizan principalmente cuando la variable estadística tiene datos estadísticos en algún orden progresivo. Cuando es relevante ver la evolución de esta variable, por ejemplo, en el tiempo o al ir aumentando el dato estadístico. Para construirlo se parte de un diagrama de puntos, pero luego, se unen los segmentos que forman esos puntos. EJEMPLO. A continuación se presenta, los gastos de la familia Calvo en los meses del año 04. Represente los datos en un gráfico lineal. Mes Gasto Mes Gasto Enero Julio Febrero Agosto Marzo Setiembre Abril Octubre 0000 En el caso de que la variable sea cuantitativa, es útil representar los datos estadísticas en orden, para ver Mayo 0000 Noviembre 0000 cómo estos se relaciona con la frecuencia. En Junio 5000 Diciembre ocasiones, es útil marcar en el gráfico la etiqueta a la que corresponde el punto. Soluciones D. y E. La Paz Community School 9

122 Capítulo I: Repaso de Conceptos Básicos de Estadística EJEMPLO : EJEMPLO : Preferencia de carrera para estudiar Ingeniería; 00 Medicina; 50 Derecho; 50 Informática; 40 Psicología; 0 Matemática; 0 En este gráfico la serie de datos en el eje, no representa algún orden específico. Sin embargo, es posible determinar algunas relaciones entre los datos, como la cantidad de estudiantes que quieren estudiar derecho, es igual a la cantidad de estudiantes que quieren estudiar medicina. Monto del recibo Costo del recibo Julio; 70; Gabriela; 50; Adriana; 70; 500 Edwin; 0; María; 45; Minutos de voz En este ejemplo, los valores en el eje, sí llevan un orden. En el podemos ver cómo no es necesariamente cierto que el costo del recibo dependa únicamente de los minutos de voz. EJEMPLO : Gasto mensual Una de las ventajas de los gráficos lineales, es que permite de una manera clara ver dónde hay cambios: aumentos o disminuciones en una variable estadística. 0 La Paz Community School

123 Capítulo I: Repaso de Conceptos Básicos de Estadística AUTOEVALUACIÓN Repaso de Conceptos Básicos de Estadística I PARTE: Selección única. Con respecto al ejemplo, conteste las preguntas -4 ) Considere las siguientes proposiciones: i) La variable en estudio es cualitativa ii) La población es el grupo de estudiantes de undécimo año del colegio De ellas, cuáles son verdaderas A) Solo la i) Solo la ii) Ambas Ninguna ) Cuántos estudiantes fueron encuestado en total? A) ) Cuáles dos carreras juntas tienen la misma preferencia que Ingeniería? A) Matemática y Psicología Medicina y Derecho Medicina y Matemática Matemática y Psicología 4) En promedio, cuántos estudiantes prefieren una carrera de las presentes en el estudio? A) Menos de 50 Más de 60 Con respecto al ejemplo, conteste las preguntas 5-8 5) Considere las siguientes proposiciones: i) Si A habla por teléfono más que B, necesariamente A paga más por el recibo telefónico que B. ii) Gabriela paga por su recibo telefónico más que Adriana De ellas, cuáles son verdaderas A) Solo la i) Solo la ii) Ambas Ninguna 6) Con base en los datos, la persona que menos minutos de voz utilizó es: A) María Edwin Gabriela Julio 7) La moda del conjunto de datos de la cantidad de minutos de voz corresponde a: A) ) La moda del conjunto de datos del monto a pagar por el recibo telefónico corresponde a: A) Con respecto al ejemplo, conteste las preguntas 9-9) Considere las siguientes proposiciones: i) La familia Calvo tuvo un aumento en sus gastos mensuales en el mes de Agosto ii) La variable en estudio es cualitativa De ellas, cuáles son verdaderas A) Solo la i) Solo la ii) Ambas Ninguna 0) De acuerdo con los datos, la mediana de los datos del gasto mensual corresponde a: A) ) El mes en el que hubo más gastos fue: A) Agosto Diciembre Marzo Noviembre ) El recorrido de la variables es: A) La Paz Community School

124 Capítulo I: Repaso de Conceptos Básicos de Estadística II PARTE: En la siguiente tabla se muestra el gasto mensual por concepto de gasolina que tiene Laura. Mes Gasto Mes Gasto Enero Julio Febrero Agosto 6000 Marzo Setiembre 7000 Abril Octubre Mayo Noviembre Junio Diciembre Elabore un gráfico lineal con esta información.. Cuál es el gasto anual de gasolina de Laura?. Cuál es el promedio mensual de gasto en gasolina de Laura? 4. Durante el próimo año Laura, intentará hacer un recorte en el gasto de gasolina en la mitad de meses del año. Decide hacerlo en los meses donde más gasta. Cuál concepto estadístico le ayudaría a medir dónde debe ocuparse? Cuáles serían esos meses? 5. Cuál es el recorrido de esta variable estadística? 6. Qué porcentaje del gasto anual representa el gasto de gasolina en los meses de vacaciones: enero, julio y diciembre? III PARTE: En la siguiente tabla se muestra la comida favorita de los estudiantes octavo nivel de la institución, agrupados por sección. Comida Frecuencia 8-8- Pizza 4 5 Gallo pinto 7 Casado 6 Hamburguesa 5 Pollo frito 6 Tortilla de queso 4. Calcule la cantidad de estudiantes en el nivel de octavo. Elabore un diagrama de puntos, separando por sección. Qué porcentaje de los estudiantes de octavo nivel prefieren pizza? 4. Qué porcentaje de los estudiantes del 8- prefieren hamburguesas? 5. El octavo nivel hará una venta de comidas cierto día para recolectar fondos. Con base en la información, cuál comida recomendaría vender? La Paz Community School

125 CAPITULO II: Probabilidad Capítulo II: Probabilidad Ejercicio Introductorio: Doña Lorena está siempre pendiente de las promociones que aparecen. En un supermercado ofrecen por la compra de más de , tener derecho al premio que diga una bola que se saca al azar de una bolsa. La bolsa es diferente cada día de la semana. En la figura, están dibujados las bolsas por día, y el premio que representa cada bola. Doña Lorena va a comprar Qué día de la semana podría doña Lorena sacar un mejor premio con esta promoción? A. Aleatoriedad El concepto de probabilidad es sumamente utilizado en contetos de nuestra vida cotidiana, en primera instancia nos indica qué tan posible es que suceda un evento, y hasta cierto punto nos puede ayudar a prepararnos para diferentes fenómenos. Sin embargo, tenemos que tener claro que el hecho de que un evento tenga una probabilidad baja no significa que no vaya a suceder. En realidad, para comprender mejor lo que significa una probabilidad es necesario, empezar a trabajar en los conceptos teóricos que lo sustentan, tarea a la que nos dedicaremos en este capítulo. La aleatoriedad es el primero de ellos. Decimos que una situación es aleatoria si diferentes respuestas son posibles, y determinista si el resultado se puede determinar con eactitud. EJEMPLO. Determine en cuáles de las siguientes eperiencias son aleatorias, y cuáles deterministas. a) Al lanzar un dado obtener una puntuación par. b) Al lanzar un dado obtener una puntuación múltiplo de 7 c) El número de pupitres que hay en el aula d) En una caja hay bolas de diferentes colores. Sacamos una bola y apuntamos el color. La Paz Community School

126 Capítulo II: Probabilidad Soluciones A. EJEMPLO. Determine en cuáles de las siguientes eperiencias son aleatorias, y cuáles deterministas. c) El número de pupitres que hay en el aula a) Al lanzar un dado obtener una puntuación par. Determinista. Los podemos contar. Aleatoria. No sabemos si sucederá o no. b) Al lanzar un dado obtener una puntuación múltiplo de 7 Determinista. Podemos saber que eso no va a ocurrir. d) En una caja hay bolas de diferentes colores. Sacamos una bola y apuntamos el color. Aleatoria. Como hay diferentes colores, no podemos saber cuál será el que saldrá. Ejercicio A. Clasifique las siguientes situaciones en aleatorias y determinista. En caso de ser aleatorio describa factores que hacen variar la respuesta.. A qué hora del día es la entrada a clases del colegio el próimo lunes?. Cuántos estudiantes hay en la clase en este momento?. Cuántos estudiantes habrá en la clase mañana? 4. La primera letra del nombre del(a) docente. 5. La primera letra del nombre de la próima persona que entre al aula 6. El máimo común divisor de y8. 7. Un común múltiplo de 5 y 8 8. El lugar donde cae un dardo al ser lanzado en una diana. 9. El número que queda encima al lanzar un dado. 0. La suma de las caras opuestas de un dado común.. El resultado del próimo partido de fútbol de Costa Rica.. La cantidad de dinero que hay en determinado banco. 4. La cantidad de dinero que hay algún banco. 5. El monto del recibo de luz que se paga en una casa. 6. El tipo de cambio del dólar. 7. El número de compañeros que utilizan Facebook. 8. El número de sílabas en la palabra divisibilidad 9. El lugar donde cae una bola de billar al ser golpeada por la bola blanca. 0. La cara que queda encima al lanzar una moneda.. Un número entero mayor que 4 y menor que 6.. Un número racional mayor que 6 y menor que 7.. En un triángulo se dibuja un segmento paralelo a la base. La razón entre el área del triángulo que se forma con esa paralela y el triángulo original.. Se tiene una caja con 0 fichas negras numeradas del al 0. Se escoge una ficha sin ver 4. La hora en que se transmitirá la próima edición del noticiero favorito. a. El color de la ficha b. El número en la ficha 4 La Paz Community School

127 B. Espacio muestral y eventos Supongamos, que tenemos una situación (o eperimento) en la que eisten diferentes posibles resultados, es decir una situación donde hay aleatoriedad. Como por ejemplo, lanzar una moneda, escoger un número al azar, o bien lanzar un dado. Cada uno de los posibles resultados de este eperimento recibe el nombre de punto muestral y el conjunto de todos los puntos muestrales posibles, es conocido como espacio muestral. Cuando consideramos algunos puntos muestrales tendremos un evento. Es decir, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Capítulo II: Probabilidad Un espacio muestral U es el conjunto de posibles resultados de un eperimento, y cada uno de estos resultados es un punto muestral. Un evento es un subconjunto de U. La clave para poder calcular y así entender mejor el concepto de probabilidad está en encontrar la relación entre los puntos muestrales y los eventos, así como saber cuál es la razón con que ocurre cada punto muestral. Lo primero lo trabajaremos en esta sección, lo segundo después. EJEMPLO. Para las siguientes situaciones, determine el espacio muestral. a) La cara que queda encima al lanzar una moneda b) La cara que queda encima al lanzar un dado c) Los posibles resultados al lanzar dos monedas y un dado al mismo tiempo. d) Con respecto a c), determine el evento E : sale un número impar y un escudo, y una corona. EJEMPLO. Yorleny tiene tres bolsos uno rojo R, uno gris G, y uno negro N. Además, tiene cuatro pares de zapatos dos de ellos negros: el A y el B, unos cafés el C y otro gris el D. Ella escogerá un bolso y un par de zapatos. a) Describa el espacio muestral. b) En cuántos puntos muestrales utiliza zapatos negros? c) Determine el evento E : Los zapatos y el bolso son del mismo color La Paz Community School 5

128 Capítulo II: Probabilidad Soluciones B. EJEMPLO. Para las siguientes situaciones, determine el espacio muestral. a) La cara que queda encima al lanzar una moneda Si lanzamos una moneda, los posibles resultados son escudo o corona, así que el espacio muestral lo podemos denotar U { E, C} =. b) La cara que queda encima al lanzar un dado En este caso, tenemos U = {,,, 4,5,6} c) Los posibles resultados al lanzar dos monedas y un dado al mismo tiempo. Debemos enumerar todos los posibles resultados. Tenemos { U = EE, EE, EE, EE4, EE5, EE6, EC, EC, EC, EC4, EC5, EC6, CE, CE, CE, CE4, CE5, CE6, CC, CC, CC, CC4, CC5, CC6 } Aneo presentamos un diagrama que representa una mejor manera de entender todos los casos. A este tipo de diagramas los llamamos diagramas de árbol. d) Con respecto a c), determine el evento E : sale un número impar y un escudo, y una corona. Ese evento está formado por los puntos muestrales: E = { EC, EC, EC5, CE, CE, CE5 } EJEMPLO. Yorleny tiene tres bolsos uno rojo R, uno gris G, y uno negro N. Además, tiene cuatro pares de zapatos dos de ellos negros: el A y el B, unos cafés el C y otro gris el D. Ella escogerá un bolso y un par de zapatos. a) Describa el espacio muestral. Tenemos, U = { AR, AG, AM, AN, BR, BG, BM, BN, CR, CG, CM, CN, DR, DG, DM, DN} b) En cuántos puntos muestrales utiliza zapatos negros? Son los que tiene A ó B : hay 8 en total. c) Determine el evento E : Los zapatos y el bolso son del mismo color Es decir, buscamos que tenga A ó B, junto con N, o bien, D, junto con G. Así: E = { AN, BN, DG} 6 La Paz Community School

129 Capítulo II: Probabilidad Ejercicio B. I PARTE: En cada una de las siguientes situaciones describa el espacio muestral y determine el evento descrito. Situación Muestral Evento Un curso del colegio se califica con una nota entera entre y 0. El curso se pasa con una nota mayor o igual a 7, si la nota es 6 se hace eamen de ampliación, y en otro caso se pierde el curso. Los días de la semana. La palabra MATEMATICA se escribe en un papel. Se recortan las letras y se escogerá una de ellas. Considere el premio mayor de la lotería nacional del próimo sorteo. (está formada por el número : un número del 00 al 99, y la serie : del 000 al 999) Rosaura tiene tres frutas diferentes,, y tres verduras A, B, C. Escogerá dos vegetales para comer hoy. Se escogerá un número entero entre 0 y 0. Hay cuatro llaves:,, abren los candados A, B, C respectivamente. La llave 4 no abre ninguno. Se escogerá una llave, y un candado. Hay cinco puertas,,, 4,5. Detrás de la puerta está el premio. El participante escoge alguna puerta. A : El curso se pasa B : El curso se pierde C : Se hará eamen de ampliación. A : El día empieza con la letra M. B : El día empieza con una vocal. A : La letra es M. B : La letra es vocal. A : La serie es 64. B : El número es. C : El número es y la serie 64 A : Escogió dos frutas. B : Escogió la verdura C. A : El número es primo. B : El número es un divisor de 4. A : La llave abre el candado escogido. B : La llave abre el candado. A : El participante se lleva el premio. B : La puerta escogida tiene un número impar. II PARTE: Represente en una tabla de seis por seis, el espacio muestral correspondiente a los posibles resultados al lanzar dos dados. Señale con un color los puntos muestrales que corresponden al evento A : En los dos dados, el número es igual. Y con otro color el evento B : La suma de los números en los dados es 7. III PARTE: Represente en un diagrama de árbol la siguiente situación. Determine el evento pedido.. En una bolsa hay dos bolas blancas y una bola negra. En la otra bolsa hay tres bolas blancas y una negra. Se sacará una bola de cada bolsa, y E es el evento: las bolas son del mismo color.. Se lanza una moneda tres veces. A es el evento: salió escudo al menos una vez.. Daniel tiene tres juegos de video A, B, C y le gusta jugarlos escuchando dos discos X, Y. Lanza una moneda para saber qué disco escuchar, si sale escudo escuchará X, si sale corona escuchará Y. Luego, lanza la moneda una vez más. Si salen sólo escudos jugará A, si salen solo coronas jugará B, y en caso contrario jugará C. E es el evento: jugará B escuchando X. La Paz Community School 7

130 C. Definición de probabilidad Capítulo II: Probabilidad Supongamos que tenemos que escoger una carta al azar de un mazo común, y nos preguntamos, qué tan probable es que obtengamos un as? En ese caso, intuitivamente es claro que como hay cuatro ases, y cincuenta y dos cartas posibles, entonces, la probabilidad de obtener un as es: 4 P( As ) = = 5 Aunque el cálculo parece simple, hay varios detalles que necesitan ser aclarados. Empecemos, por el concepto de eventos equiprobables, o más precisamente puntos muestrales equiprobables. Esto es, por ejemplo, que en un dado la probabilidad de que cada cara quede encima es la misma, o bien, que al escoger una carta al azar de un mazo, todas las cartas tienen la misma probabilidad de ser escogidas. Retomemos el ejemplo.c) para entender mejor este concepto. Un evento que podemos considerar es A: se obtiene un número par y eactamente una corona. Las observaciones en que esto sucedió son EC, EC4, EC6, CE, CE4, CE 6, y los 8 puntos muestrales que forman el espacio muestral son equiprobables. Así, el evento ocurre en seis puntos muestrales de 8 posibles equiprobables. será Entonces, su probabilidad 6 8, ó bien simplificando. Formalmente: P( A ) =. De esta manera, definiremos la probabilidad de un evento como la razón entre el número de observaciones favorables, y el número de observaciones totales: La probabilidad de un evento A es el resultado de dividir el número de observaciones favorables n( A ) por el número de total de observaciones en el espacio muestral n( U ) : P( A) EJEMPLO 4. siguientes eventos: ( ) ( ) n A = n U Calcule la probabilidad de los a) El resultado de obtener un número múltiplo de al lanzar un dado. b) Obtener una letra (As, J, Q o K) al escoger una carta al azar de un mazo común c) Obtener al menos dos escudos al lanzar una moneda tres veces. EJEMPLO 5. Marcelo tiene tres camisas de fútbol: una de la selección de Costa Rica, una de un club local, y otra de un club internacional. Para decidir que camisa ponerse, primero lanza una moneda. Si sale escudo se pondrá la del club local. Si sale corona, entonces, lanza un dado, si el número que sale es compuesto, entonces, se pondrá la camisa de la selección, en caso contrario la del club internacional. Encuentre la probabilidad de que se ponga cada camisa. 8 La Paz Community School

131 Capítulo II: Probabilidad Soluciones C. EJEMPLO 4. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos a) El resultado de obtener un número múltiplo de al lanzar un dado El espacio muestral a lanzar el dado, es U = {,,, 4,5,6} y es sobreentendido que todos los números tienen la misma probabilidad de quedar encima, por lo que solamente hay posibilidades de 6 para que el número sea múltiplo de 6. Así, obtenemos ( ) P = = 6 b) Obtener una letra (As, J, Q o K) al lanzar una carta al azar de un mazo común. Tenemos 6 cartas que nos sirven, de un total de 5, así que la probabilidad es ( letra) c) Obtener al menos dos escudos al lanzar una moneda tres veces. 6 4 P = = 5 Sea A : el número de escudos es dos. Un diagrama de árbol nos facilita la visualización. De los ocho casos posibles, hay cuatro en los que A sucede. Así, ( ) 4 P A = = 8 EJEMPLO 5. Marcelo tiene tres camisas de fútbol: una de la selección de Costa Rica, una de un club local, y otra de un club internacional. Para decidir que camisa ponerse, primero lanza una moneda. Si sale escudo se pondrá la del club local. Si sale corona, entonces, lanza un dado, si el número que sale es compuesto, entonces, se pondrá la camisa de la selección, en caso contrario la del club internacional. Encuentre la probabilidad de que se ponga cada camisa. Describimos el espacio muestral U { E, C, C, C, C4, C5, C6} =. En este ejemplo, no todos los puntos muestrales son equiprobables. Esto porque el evento E tiene la misma probabilidad que todos los eventos C, C, C, C4, C 5 y C 6 juntos, es decir,. Cada uno de estos últimos eventos tiene 6= de probabilidad. club local = =, Costa Rica = 4, 6 = = y 6 Luego, tenemos: P( ) P( E) P( ) P( { C C }) P( club internacional) = P( { C, C, C, C5} ) = 4 =. En el siguiente diagrama, podemos verlo también. La Paz Community School 9

132 Ejercicio C. Resuelva los siguientes problemas.. Para la I PARTE del ejercicio B, encuentre la probabilidad de cada uno de los eventos descritos.. Para la II PARTE, del ejercicio B. a) Encuentre la probabilidad de los eventos descritos. b) Encuentre la probabilidad de que la suma de los números sea 6. c) Considere los eventos: C : La suma de los números es par y D : La suma de los números es impar. Cuántos puntos muestrales corresponden a cada evento? Cuál es la probabilidad de cada evento?. Para la III PARTE del ejercicio B, pregunta a) Encuentre la probabilidad de E b) Calcule la probabilidad de que las bolas sean de diferente color. 4. Para la III PARTE del ejercicio B, pregunta a) Encuentre la probabilidad de A b) Encuentre la probabilidad de que no salga ninguna corona. c) Encuentre la probabilidad de que hayan salido más escudos que coronas. 5. Para la III PARTE del ejercicio B, pregunta a) Calcule la probabilidad de que Daniel escuche el disco X b) Calcule la probabilidad del evento E c) Calcule la probabilidad de que Daniel juegue cada uno de sus juegos. 6. Se escogen al azar dos números enteros entre 4 y (ambos inclusive). Se puede repetir. Los números se suman. Encuentre la probabilidad de que el resultado sea: a) 0 Capítulo II: Probabilidad 7. Calcule la probabilidad de que al escoger una carta al azar en un mazo común, tengamos un número rojo. 8. Se tiene una caja con 4 bolas. Dos de ellas rojas, una es blanca y la otra azul. Se sacan dos bolas. a) Haga un diagrama de árbol con la situación. b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas que se saquen sean rojas. 9. El color de ojos de 97 estudiantes se resume en la siguiente tabla Café Azul Verdes Hombres 6 9 Mujeres 9 9 Un estudiante es escogido al azar. a) Encuente la probabilidad de que el estudiante sea hombre. b) Encuente la probabilidad de que el estudiante tenga ojos verdes. c) Encuente la probabilidad de que el estudiante tenga ojos verdes o sea hombre. 0. Se lanza un dado común, y un dado de ocho caras, enumeradas del al 8. Calcule la probabildad de los siguientes eventos: a) E : En ambos dados sale el mismo número. b) F : La suma de los números es 0:. En una bolsa hay 0 bolas, de las cuales 5 son rojas, 8 son amarillas y el resto verdes. Cuál es la probabilidad de cada color al sacar una bola al azar?. En un avión viajan 5 pasajeros ticos, 5 meicanos, brasileños y 50 de otras nacionalidades. Cuál es la probabilidad de que el primer pasajero que salga del avión no sea tico? 0 b) Negativo La Paz Community School

133 D. Reglas Básicas de Probabilidades Capítulo II: Probabilidad La probabilidad es una medida que nos contesta, qué tan posible es que suceda un evento. Con respecto a eso debe quedar claro lo siguiente: Entonces, a cada evento se le asigna un número entre 0 y que mide cuán probable es que suceda. Si P( A ) = 0 decimos que el evento A es imposible y nunca sucederá Si P( A ) = decimos que el evento A es seguro y en cualquier caso sucederá Si P( A) 0< < decimos que el evento A es posible y no se puede determinar si sucederá o no. La probabilidad de que A no ocurra es P( A) EJEMPLO 6. Se lanza un dado común. Clasifique los siguientes eventos. a) Obtener un 7. b) Obtener un número primo c) Obtener un número entero d) Qué es más probable, obtener un múltiplo de o un divisor de 0? El hecho de que un evento tenga una probabilidad baja no quiere decir que no pueda ocurrir. Es el caso de la lotería, donde la probabilidad de ganarse el premio mayor es baja, pero siempre puede suceder. Lo mismo sucede con probabilidades altas. Eisten casos donde se estiman probabilidades muy altas, y los factores que las influyen, incluyendo el azar, hacen que los eventos no sucedan. Entonces, debemos tener claro que la probabilidad no predice lo que sucederá, sino que es una medida que se utiliza para tomar decisiones. Las decisiones implican riesgos, y por eso la probabilidad es tomada en cuenta para muchos cálculos financieros, científicos, y sociales. EJEMPLO 7. Carlos tiene dos alcancías. En la alcancía A hay veinte monedas de 500 y quince monedas de 00, y en la B hay dieciocho monedas de 500 y doce monedas de 00. Carlos le propone a su hijo Javier que escoja una alcancía, tome al azar una moneda y se la deje. Cuál alcancía debería escoger Javier? EJEMPLO 8. En una bolsa hay 40 bolas de las cuales algunas tienen premio. María sabe que si hubiera diez bolas premiadas más, entonces, la probabilidad de ganar sería. Encuentre la cantidad 5 de bolas que hay con premio en la bolsa. EJEMPLO 9. En una caja hay cierta cantidad de bolas, unas son rojas y las otras son verdes. Se sacará una bola al azar y se sabe que la probabilidad de sacar una bola roja es 7. a) Cuál es la probabilidad de escoger una bola verde? b) Si hay cuatro bolas más verdes que rojas, entonces, cuántas bolas rojas hay? La Paz Community School

134 Capítulo II: Probabilidad Soluciones D. EJEMPLO 6. Se lanza un dado común. Clasifique los siguientes eventos. a) Obtener un 7. Como los números del dado van del al 6, es imposible que obtengamos un 7. La probabilidad es 0. b) Obtener un número primo Tenemos posibilidades de 6 para obtener un número primo. Este evento es posible, ni seguro ni imposible. c) Obtener un número entero Con toda certeza, tendremos un número entero. El evento es seguro. d) Qué es más probable, obtener un múltiplo de o un divisor de 0? Hay dos múltiplos de : El, y el 6. La probabilidad es =. Hay tres divisores de 0: el, el, y el 5. La 6 probabilidad es =. Como >, entonces, es más probable obtener un divisor de 0 6 EJEMPLO 7. Carlos tiene dos alcancías. En la alcancía A hay veinte monedas de 500 y quince monedas de 00, y en la B hay dieciocho monedas de 500 y doce monedas de 00. Carlos le propone a su hijo Javier que escoja una alcancía, tome al azar una moneda y se la deje. Cuál alcancía debería escoger Javier? Javier debería escoger la alcancía donde tenga una mayor probabilidad de escoger una moneda de 500. En la alcancía A es: ( ) P A 500 = = = 0, y en la alcancía B es ( ) En la alcancía B, tiene mayor probabilidad, por eso debería escoger esa. 8 8 P B 500 = = = = 0, EJEMPLO 8. En una bolsa hay 40 bolas de las cuales algunas tienen premio. María sabe que si hubiera diez bolas premiadas más, entonces, la probabilidad de ganar sería. Encuentre la cantidad de bolas que hay 5 con premio en la bolsa. Sea la cantidad de bolas que tiene premio, entonces al agregar las diez bolas premiadas más, tenemos que la probabilidad de ganar es Así, el número de bolas con premio es 0. y esto debe ser igual a 5. Entonces, + 0 = + 0= 0 = La Paz Community School

135 Capítulo II: Probabilidad EJEMPLO 9. En una caja hay cierta cantidad de bolas, unas son rojas y las otras son verdes. Se sacará una bola al azar y se sabe que la probabilidad de sacar una bola roja es 7. a) Cuál es la probabilidad de escoger una bola verde? Como solamente hay bolas rojas o verdes, entonces, la probabilidad de sacar una bola verde, es justamente, la probabilidad de no sacar una roja que debe ser 4 = 7 7 b) Si hay cuatro bolas más verdes que rojas, entonces, cuántas bolas rojas hay? Sea la cantidad de bolas rojas. Entonces, debe haber + 4 bolas verdes y + + 4= + 4 bolas en rojas verdes total. La probabilidad de sacar una bola roja es entonces: +, y este resultado lo igualamos a 4 7, y = 7= + 4 7= 6+ = resolvemos la ecuación. ( ) Por lo tanto, hay bolas rojas. Ejercicio D. Resuelva los siguientes problemas.. Clasifique los siguientes eventos en posibles, imposibles o seguros: a) El cumpleaños de María es el 9 de febrero. b) El cumpleaños de Juan es el 0 de febrero. c) Costa Rica le ganará a Méico 5-0 en el Estadio Azteca. d) Costa Rica clasificó al mundial Brasil 04 e) Un libro tiene 5 páginas (contando todas.) f) Se escoge al azar un divisor de 5. Ese número es divisor de 40.. En una caja hay únicamente cierta cantidad de bolas. Unas son rojas y otras negras. Se escoge al azar un objeto. Clasifique los siguientes eventos como posibles, imposibles o seguros, con respecto al objeto sacado: d) El objeto es rojo o azul. e) El objeto es rojo o negro. f) El objeto es rojo y negro.. Interprete la siguiente información: En la fecha 5 de la eliminatoria para el mundial de Sudáfrica 00, Costa Rica tenía una probabilidad del 98% de clasificar al mundial. Aún así, no clasificamos. 4. Un día, el pronóstico del tiempo dijo que la probabilidad de lluvia era del 65%. Usted sacaría su paraguas? Si dijeran 4%? Si dijeran 90%? a) El objeto es una bola b) El objeto es negro c) El objeto es azul. La Paz Community School

136 5. En un grupo de 5 estudiantes, tres nombres empiezan con la letra B y cuatro empiezan con la letra G. Los demás 8 nombres empiezan con las letras A, C D, E, F, H, I y J respectivamente. Los 5 nombres se colocan en una caja, y se escoge un nombre a) Qué es más probable que la letra que salga sea G, o una vocal? Capítulo II: Probabilidad b) Si en la biblioteca hay 8 libros de economía en español, cuántos libros de matemática en otros idiomas hay? 9. En la siguiente diana el radio pequeño mide 0cm y el radio grande 0cm. Se lanza un dardo y caerá adentro en un lugar al azar, b) Clasifique el evento: La letra que sale es K c) Clasifique el evento: La letra que sale es una letra que está antes de la letra L en el abecedario. d) Calcule la probabilidad de que la letra que salga sea G. 6. Marco tiene tres perros. Dos de ellos son café y uno es gris. Para alimentarlos utiliza tres tazones y se los da al azar, uno primero, el segundo después y por último el tercero. Hay dos tazones rojos y uno amarrillo. a) Haga un diagrama de árbol con el espacio muestral. b) Qué es más probable, que un perro café coma en un tazón rojo, o que un perro gris coma en un tazón amarillo? 7. Luis tiene una gran colección de discos. Sabe que la probabilidad de que sea de rock es 80% en cualquier idioma. La probabilidad de que sea en español es 40% y que la tercer parte de los discos es de rock en inglés. El idioma y el género musical no se afectan entre sí. Escogerá un disco al azar para escucharlo esta noche. a) Es más probable que sea de rock en inglés, o de rock en español? b) Si la cantidad de discos es 600, cuántos discos son de rock en otros idiomas que no sea español ni inglés? a) Estime sin calcular el valor eacto, en cuál zona tiene más probabilidad de caer, la gris o la blanca? b) En este caso, la probabilidad se puede calcular como el área de la región pedida entre el área total. Calcule la probabilidad de cada región y confirme el resultado encontrado en a). 0. Considere un triángulo ABC. Se escogen los puntos D y E, tales que A D B, A E C y AD= DB, AE = EC. Se escoge al azar un punto en el interior del triángulo. a) Estime sin calcular el valor eacto, en cuál figura tiene mayor probabilidad de caer: ( ADE ) o ( BDEC )? b) En este caso, la probabilidad se puede calcular como el área de la región pedida entre el área total. Calcule la probabilidad de cada región y confirme el resultado encontrado en a). 8. En una biblioteca hay libros de tres tipos: de matemática, de economía y novelas. Se sabe que hay tantos libros de matemática como novelas y de economía juntos, y que la probabilidad de escoger uno de economía es 7. El 6 idioma y el tipo de libro no se afectan entre sí, y la proporción de idiomas se mantiene cada categoría. Se escoge un libro al azar: a) Cuál es la probabilidad de escoger una novela?. En una clase de 4 personas, la probabilidad de escoger un varón al azar es. Cuántas mujeres hay?. En una caja hay 0 bolas negras, algunas rojas y otras azules. Se sacará una bola al azar. La probabilidad de que sea azul es y de que sea roja es. Cuántas hay de 4 cada color? Dos terceras partes de los libros son en español. 4 La Paz Community School

137 Capítulo II: Probabilidad AUTOEVALUACIÓN Probabilidad I PARTE: Selección única. ) En cuál de las siguientes situaciones hay aleatoriedad: A) El tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia de 00km si viaja a una velocidad constante de 40 km h La distancia que recorre un automóvil en un tiempo de 4 horas si viaja a una velocidad constante de 40 km h El número de divisores de un número primo. El número de divisores de un número compuesto. ) En cuál de las siguientes situaciones hay determinismo: A) El número de divisores de un entero. El número de estudiantes que hay en un colegio. El número de días que hacen falta para Navidad. El número de protones que tiene un átomo. ) Un espacio muestral está formado por las letras { A, B, C, I, E, Z} U =. Cuántos puntos muestrales tiene el evento: La letra es vocal A) 4 4) Se lanza una moneda al aire tres veces, y se anota el resultado cada vez. El número de puntos muestrales que se asocian a este eperimento es: A) Con base en la siguiente información conteste las preguntas 0-8 Juan tiene cuatro camisas verdes, dos negras y tres azules. Además, tiene tres gorras negras, cuatro rojas y dos verdes. Escogerá al azar un camisa y una gorra. 5) El número de puntos muestrales que tiene el espacio A) muestral es: 6) Considere el evento: Tanto la gorra como la camisa son A) verdes La probabilidad de este evento es: ) Considere el evento: Tanto la gorra como la camisa son A) del mismo color La probabilidad de este evento es: ) Un evento imposible corresponde a: : A) La camisa es azul y la gorra verde La camisa es roja y la gorra negra La gorra tiene un color diferente a la camisa El número de prendas que escogió es par La Paz Community School 5

138 9) Se lanza un dado y se anota el resultado. Cuál de los siguientes eventos es seguro? A) El número es mayor que. El número es un divisor de 4. El número es mayor que 7 El número es divisor de 60. 0) Juan utiliza dos colores de medias nada más: Azules y A) blancas. Tiene 0 pares de medias azul, y 4 pares de medias blancas todas en un solo cajón. Saca una media al azar y esta es blanca. Cuál es la probabilidad de que la siguiente media que saque también sea blanca? ) La probabilidad de un evento es A) probabilidad de que no ocurra el evento? Cuál es la 7 ) Juan compra lotería todos los domingos y siempre el mismo número con la misma serie. Clasifique el siguiente evento: Juan se ganó la lotería todos los domingos del año A) Imposible Seguro Posible Equiprobable Capítulo II: Probabilidad Con base en la siguiente información conteste las preguntas -5 En una clase del colegio hay 0 varones y la probabilidad de escoger una mujer al azar es Se sabe que hay 8 varones y 9 mujeres que gustan de jugar videojuegos ) Si se escoge un estudiante al azar, cuál es la A) probabilidad de que sea mujer? ) Cuántos estudiantes hay en la clase? A) ) Se escoge un estudiante al azar. Cuál es la A) probabilidad de que sea una mujer y no guste de jugar videojuegos? La Paz Community School

139 Capítulo II: Probabilidad II PARTE: Escribir F (Falso) ó V (Verdadero) según corresponda a la proposición dada... Un evento es siempre un subconjunto del espacio muestral. Un evento es siempre un punto muestral.. Si la probabilidad de un evento A es p. La probabilidad que no ocurra A es p. 4. Si el número de observaciones favorables es el doble de las no favorables, el evento tiene una probabilidad del 50%. 5. La probabilidad de un evento es un número mayor que cero y menor que uno. 6. Si P( A ) =, entonces, A es un evento seguro. 7. Si P( A) 0<, entonces, A es un evento posible. 8. Si un evento A es imposible, entonces, P( A) 0 9. Un estudiante responde al azar un cuestionario de 4 preguntas de falso o verdadero. La probabilidad de que las tengas todas correctas es mayor a 7%. III PARTE: Resuelva los siguientes problemas:. Mario tiene un dado que llamaremos tramposo, donde la probabilidad de que caiga encima cada cara no es la misma, sino que es proporcional al número que tiene. a. Sea la probabilidad de que caiga el. Cuánto es la probabilidad, en términos de, de que salgan los números,, 4,5,6? b. Cuánto deben sumar las probabilidades de los seis eventos posibles? Encuentre el valor de. c. Cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado tramposo el número que sale es 6? d. Para qué número la probabilidad de que salga en el dado tramposo es más cercana a la probabilidad de que salga en un dado común justo?. En una bolsa hay bolas de tres colores y se sabe que: hay bolas negras, y hay una bola roja más que el número doble de bolas azules. La probabilidad de escoger una bola roja al azar es 9 5. a. Sea el número de bolas azules. Eprese en términos de la probabilidad de sacar una bola roja al azar. Encuentre el valor de. b. Cuál es la probabilidad de escoger una bola negra al azar? c. Cuántas bolas rojas y negras se deberán echar en la bolsa para que todos los colores tengan la misma probabilidad de ser escogidas al azar? La Paz Community School 7

140 Capítulo II: Probabilidad. Para organizar una fiesta para 60 personas se les preguntó a los invitados, cuál bebida prefiere entre té, café y chocolate? Se sabe que La probabilidad de escoger una mujer entre los invitados es 5 Doce varones prefieren café. Ocho mujeres prefieren chocolate. Dieciocho varones prefieren chocolate. Entre las personas que prefieren té, la probabilidad de ser mujer es 4 a. Cuántas mujeres y cuántos varones están invitados? b. Cuántos varones prefieren té? c. Cuántas mujeres prefieren té? d. Cuál es la probabilidad de que si se escoge una mujer al azar esta prefiera café? 4. En una caja se tienen cuatro bolas blancas y cinco bolas negras. Se escogerán al azar dos bolas. a. Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas? b. Cuál es la probabilidad de que las bolas sean de diferente color? 5. Se lanzan dos monedas y un dado. Encuentre la probabilidad de que el número que sale en el dado es el número de veces que salió escudo. 6. En un programa de concursos ofrecen a un participante escoger entre la bolsa mágica y la puerta ganadora. En la bolsa mágica hay tres bolas blancas y siete bolas negras. Si saca una bola blanca le dan el premio. En la puerta ganadora debe escoger al azar una puerta entre seis, sabiendo que dos tienen premio. Si los premios son iguales, cuál juego le recomendaría usted al participante? 7. María y Juliana planean ir un día de paseo, y lo escogerán al azar entre algunos fines de semana. Juliana se dio cuenta que durante cuatro de los sábados que habían pensado, tiene compromisos por lo que no podría ser esos días. María nota que entonces, la probabilidad de que el paseo sea domingo aumentó en. Cuántos fines de semana escogieron 6 las muchachas en un inicio? 8 La Paz Community School

141 CAPITULO III: Estadística de Variables Continuas Capítulo III: Estadística de Variables Continuas A través de este este capítulo repasamos los conceptos básicos de estadística estudiados previamente mientras que los combinamos con nuevos conceptos, con el fin de aplicarlos al estudio de variables continuas posteriormente. evento, y hasta cierto punto nos puede ayudar a prepararnos para diferentes fenómenos. Sin embargo, tenemos que tener claro que el hecho de que un evento tenga una probabilidad baja no significa que no vaya a suceder. A. Muestras aleatorias A. Muestreo La estadística es la disciplina que proporciona la teoría para recopilar, organizar, sintetizar y analizar datos o hacer inferencias a partir de ellos. Los elementos, determinados con anterioridad, que van a ser objeto de una investigación estadística, forman un conjunto llamado población. En realidad, para comprender mejor lo que significa una probabilidad es necesario, empezar a trabajar en los conceptos teóricos que lo sustentan, tarea a la que nos dedicaremos en este capítulo. La aleatoriedad es el primero de ellos. Decimos que una situación en aleatoria si diferentes respuestas son posibles y determinista, si el resultado se puede determinar con eactitud. A. Tipos de estudios estadísticos Para simplificar las investigaciones, muchas veces se etrae un subconjunto de la población, que recibe el nombre de muestra. En un estudio estadístico formal, la escogencia de una muestra es un proceso complejo llamado muestreo. Un dato estadístico es un conjunto de atributos o cantidades, los cuales hacen referencia a una misma característica, la cual llamamos variable estadística, siendo posible establecer algunas relaciones significativas que pueden ser comparadas, analizadas o interpretadas. A. Aleatoriedad Eisten dos maneras directas en que la estadística nos presenta información. La primera es describiendo lo que sucedió y está sucediendo respecto a alguna variable. La otra es utilizar esa información para predecir, con cierto grado de incertidumbre, lo que va a ocurrir con alguna variable. Estadística descriptiva: Presenta la información de lo que sucedió o lo que está sucediendo con alguna variable estadística. Estadística inferencial: Utiliza la información para generalizar o predecir lo que sucederá con alguna variable estadística. El concepto de probabilidad es sumamente utilizado en contetos de nuestra vida cotidiana, en primera instancia nos indica qué tan posible es que suceda un La Paz Community School 9

142 La estadística descriptiva utiliza tendencias, y supone que algunas cosas sucederán o continúan sucediendo para que se llegue a los resultados que produce, siempre con un margen de error Eisten diferentes fenómenos en que es necesario etender la estadística descriptiva a estadística inferencial. La primera nos dice cómo sucedieron las cosas, y la segunda intenta predecir qué tan probable es que suceda cierto fenómeno. Tomemos como ejemplo las elecciones presidenciales. Cuando estamos en campaña política cada cuatro años es común ver la publicación de encuestas, y éstas nos ofrecen muchas informaciones que debemos saber interpretar. En primera instancia se escogen a ciertas personas al azar para consultarles si las elecciones fueran hoy por quién votaría. La pregunta clave es cómo sabemos que esas personas encuestadas reflejan la realidad de todo el país? Aclaremos que los resultados de una encuesta no intentan predecir cuál será el resultado de la elección, sino que lo que pretenden es decir cómo está el apoyo a cada candidato en el momento de hacer la encuesta. Hay factores que determinan directamente qué tan cercano es el resultado de la encuesta a la realidad. Por ejemplo el tamaño de la muestra, cómo fue realizada la encuesta?, cuál es el nivel de confianza? Cuándo fue realizada la encuesta?, cuál es el margen de error?. El margen de error está determinado por el tamaño de la muestra. El nivel de confianza por lo general está ligado a qué tan bien escogida está la muestra, pues es necesario que las muestras respeten ciertas características del electorado, tal es el caso del distrito donde vive, el seo, la edad, y algunos otras. Capítulo III: Estadística de Variables Continuas Aclaramos, cuando una encuesta dice que el margen de error es por ejemplo,5% y el nivel de confianza es de un 95% y el candidato A tiene un apoyo de un % significa que: La probabilidad de que el apoyo real del candidato A en el momento en que se realizó la encuesta esté entre 9,5% y 4,5% es un 95% Los límites se obtienen de restar y sumar el margen de error a la frecuencia porcentual obtenida por el candidato. Pero aun así, es evidente que los resultados de la encuestas dependen directamente de a quién se le pregunta, entonces, es necesario que la muestra sea realmente una muestra aleatoria. Una muestra es aleatoria si cualquier individuo en la población tiene alguna probabilidad de ser escogido en la muestra. Esto quiere decir que todos los posibles votantes tienen alguna probabilidad de ser escogidos para ser encuestados, y no es el caso de que se les preguntará a ciertas personas en específico. Así es importante saber cuándo una muestra se escoge realmente de una manera aleatoria, pues es una de las características de unas encuestas cuyos resultados sean confiables. 40 La Paz Community School

143 Capítulo III: Estadística de Variables Continuas Ejercicio A. I PARTE: Considere una encuesta nacional para determinar cuál es el canal de televisión nacional favorito entre los estudiantes del colegio. Determine cuáles de las siguientes muestras son aleatorias.. Se le pregunta a todos los estudiantes de 9no.. Se escoge al azar un 0% de las personas que ven el noticiero Y.. Se le pregunta a una persona escogida al azar de cada sección. 4. Se le pregunta a todas los estudiantes que utilizan Facebook. 5. Se escogen 0 estudiantes al azar entre todos los que tienen apellido que empieza con A. 6. Se le pregunta a los miembros del gobierno estudiantil. 7. De cada sección se escoge un estudiante al azar. De todos esos se escogen los 0 que cumplen años primero. 8. Se escogen al azar 40% de las mujeres del colegio. 9. Se enumeran todos los estudiantes. Se hace una rifa entre los que están en una posición par. 0. Se escoge escogen dos hombres y cinco mujeres al azar. II PARTE: La división de Control de Calidad de una empresa que se dedica a la producción de calculadoras realiza un muestreo para determinar la probabilidad de que una calculadora falle. Se considera una producción de 000 calculadoras que se empacan en cajas que contienen 00 calculadoras. Determine en cuáles de los siguientes procesos se realiza una muestra aleatoria.. Se toma una calculadora al azar de cada caja.. Se verifica la calidad de las calculadoras que los clientes reclamaron con algún problema.. Se verifica cada calculadora del pedido que hace cierta librería. 4. De cada 00 calculadoras se revisa una al azar. 5. Se enumeran las calculadoras del 000 al 999. Se prueba la calculadora cuyo número coincide con el de la serie de la lotería nacional. 6. En cada caja se enumeran las calculadoras del 00 al 99. En cada caja se escoge la calculadora cuyo número coincide con el de la lotería nacional. De todas las calculadoras que tenemos se escoge una al azar. 7. Se revisan las primeras diez calculadoras de la producción. 8. De cada cinco calculadoras se escoge una al azar. 9. De cada cinco calculadoras se revisa la segunda. 0. Se verifica la calidad de todas las calculadoras. III PARTE: La metodología, la toma de muestras y la interpretación correcta de las encuestas ha sido objeto de muchas críticas en los últimos tres procesos electorales. Diferentes encuestas han brindado diferentes resultados que a la vez muestran resultados muy distintos a los que se dan efectivamente en las elecciones. Busque en internet los resultados de al menos una encuesta y compárelo con los resultados oficiales de las elecciones en cada uno de los procesos de 006, 00 y 04. Comente acerca de cómo eligieron la muestra, cómo fue consultada la gente, el margen del error, el nivel de confianza y cualquier otro aspecto que le haya llamado la atención al respecto. La Paz Community School 4

144 Capítulo III: Estadística de Variables Continuas B. Análisis mediante la división por clases B. Clasificación de variable estadística Dependiendo del dato estadístico que puede tener una variable, tenemos la siguiente clasificación: Cuando tenemos una variable continua los conceptos de frecuencia deben modificarse un poco. Dado que por ejemplo si tenemos la variable estadística peso, es poco probable que dos o más personas tengan Variables cualitativas: Son características no eactamente el mismo peso. Sin embargo, lo que medibles que epresan cualidades o preferencias. No se pueden representar numéricamente. Por ejemplo, el color de piel o el color favorito. Variables cuantitativas: Son características medibles que se pueden epresar en cantidades numéricas. Por ejemplo, la temperatura o la edad. interesa acá, es agruparlos de manera adecuada. Para realizar esto, se hace una división por clases. En esta división agrupamos todos los datos estadísticos que estén en un intervalo determinado. Luego, sí podemos realizar un análisis de frecuencias similar al que hemos hecho previamente. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: Cuantitativa discreta: Es la que toma un número finito de valores en un intervalo finito. Por ejemplo, el número de personas que viven en una casa. Cuando una variable continua toma valores en un intervalo [ a, b ], las clases son intervalos de la misma longitud tales que la unión de todos los intervalos es [ a, b ] y no tienen elementos en común. Cuantitativa continua: Es la que puede tomar infinitos valores distintos en un intervalo finito. Por ejemplo, el peso en Kg. de una persona. B. Frecuencia absoluta Después de obtener datos de una variable estadística estos se deben ordenar para facilitar su análisis. Por lo general, esto se hace en una tabla de frecuencias que es una ordenación de los datos durante su estudio y muestra el número de veces que se repite una categoría indicada en el estudio, es decir, muestra las frecuencias. Frecuencia absoluta: Es el número de veces que se La cantidad de clases y la longitud de cada clase debe escogerse dependiendo del número de datos, y de los valores que toma la variable. EJEMPLO. Los pesos en kg de los estudiantes de un grupo de estudiantes están resumidos en la tabla. Realice una división por clases. 54,0 5,0 56,90 57,90 50,40 55,40 6,0 58,90 60,40 58,0 4,50 6,0 48,50 56,70 55,60 48,60 47,0 60,0 5,40 59,40 55,50 59,70 5,60 55,0 54,80 5,40 60,00 59,70 repite cada valor o modalidad de la variable. 4 La Paz Community School

145 Capítulo III: Estadística de Variables Continuas Soluciones B. (Primera Parte) EJEMPLO : Como en este ejemplo, el valor mínimo es 4,50 y el máimo es 6,0, entonces es conveniente hacer la división de clases para el intervalo ] 4,6 ] y como hay unidades, podemos definir 7 clases en intervalos de longitud. Entonces, las clases son ] 4, 45 ], ] 45, 48 ], ] 48,5 ], ] 5,54 ], ] 54,57 ], ] 57,60 ] y ] 60,6 ]. B. Gráficos de barras Visualmente, es más fácil analizar los datos cuando están representados en un gráfico estadístico. Los gráficos presentan los datos organizados o resumidos, distanciando visualmente la relación que guardan entre sí. Una manera usual de representar una tabla de frecuencias es mediante un gráfico de barras. En un gráfico de barras colocamos en un eje las categorías y en el otro la frecuencias correspondientes a cada categoría. Por ejemplo, de la siguiente manera: Por ejemplo, es más claro decir que el % tiene hermanos que decir 8 estudiantes está en esa situación, porque podrían ser 8 de 0 u 8 de 000. Para representar datos de esa manera utilizamos las frecuencias relativas: Frecuencia porcentual: Indica porcentualmente la frecuencia con que se repite un dato con respecto al número total de datos. Recordemos que para calcular porcentajes utilizamos Cantidad 00 la fórmula: Porcentaje=. Total B.5 Frecuencia porcentual y relativa Muchas veces es más interesante saber que parte del total representa un dato. Por ejemplo, es más claro decir que el % de los estudiantes tienen padres con estudios universitarios, Observe que en el ejemplo utilizamos frecuencias que decir, 8 estudiantes está en esa situación, porque absolutas, ya que representamos la cantidad de datos podrían ser 8 de 0, 8 de 000 u 8 de 5 (que es el sin importar el total de respuestas obtenidas. Cuando caso al que nos referimos con el %). se quiere representar variables cualitativas, en Para representar datos de esa manera utilizamos las ocasiones, se utilizan las barras verticales, donde para frecuencias porcentuales o relativas. simplificar su análisis de colocan las barras en orden decreciente, y en este caso, el eje donde calculamos Frecuencia porcentual: Indica porcentualmente la las categorías no tiene una escala numérica. frecuencia con que se repite un dato con respecto al B.4 Frecuencia porcentual número total de datos. Frecuencia relativa: Indica el número entre 0 y al Muchas veces es más interesante saber que parte del que corresponde la frecuencia porcentual total representa un dato. En el mismo ejemplo, la frecuencia relativa sería 0,. La Paz Community School 4

146 Capítulo III: Estadística de Variables Continuas Recordemos que para calcular porcentajes utilizamos la fórmula: Cantidad 00 Frecuencia porcentual = % Total relativa sería entonces:, y la Cantidad Frecuencia relativa = Total Volviendo a las variables continuas que han sido divididas por clase, es interesante la frecuencia acumulada. Esta nos da información de qué porcentaje de la muestra llega desde el mínimo hasta el valor de la clase correspondiente. Se encuentra sumando las frecuencias porcentuales anteriores. La frecuencia acumulada es la frecuencia porcentual de valores de un fenómeno menores o iguales que el valor de referencia. EJEMPLO. Para cada una de las clases del ejemplo, calcule la frecuencia absoluta, porcentual, y acumulada de cada clase. B.6 Otros tipos de gráficos La representación de la información estadística, se puede hacer en diferentes gráficos. Se escoge el que presente de manera más clara según lo que se quiera comunicar. Algunos tipos son: gráfico circulas, diagramas de puntos, gráficos de líneas Enero Febrero Gasto en gasolina de Laura Marzo Abril Mayo Junio Julio Para las variables cuantitativas continuas el análisis se hace mediante una división por clases y por lo general la representación gráfica se hace un histograma, o un polígono de frecuencias. Un histograma es un gráfico de barras de manera que en el eje se colocan las clases de una variable y en el eje y su respectiva frecuencia. Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre En el caso de los gráficos que utilizan división por clases se denominan histogramas, y por lo general, además de incluir la frecuencia porcentual, incluyen información adicional: EJEMPLO. Realice un histograma para los datos del ejemplo. Incluya la frecuencia acumulada. 44 La Paz Community School

147 Capítulo III: Estadística de Variables Continuas Soluciones B. (Segunda Parte) EJEMPLO y : Ya teníamos, la división de clases. Ahora, contamos para cada clase cuántos datos hay en ese rango, calculamos la frecuencia relativa y por lo general también lo que se llama frecuencia acumulada, que es la suma de las frecuencias relativas de cada clase más las clases menores. Para esto debemos tomar en cuenta que, por lo general, cuando un dato está en el límite de un intervalo, se incluye en la clase menor. Por eso 60 se incluye en la clase 57 a 60 y no en la clase 60 a 6. Se resume la información en la siguiente tabla. Clases Frecuencia absoluta Frecuencia porcentual Frecuencia acumulada Realizamos un gráfico de barras con las clases y su frecuencia obtenida. 4 a 45,57,57% 45 a 48,57 7,4% 48 a 5 0,7 7,86% 5 a ,9,4% 54 a ,57 60,7% Frecuencia Histograma 0,00% 00,00% 80,00% 60,00% 40,00% 0,00% 0,00% 57 a ,00 85,7% 60 a 6 4 4,9 00,00% Clases La línea negra que dibujamos corresponde a la frecuencia acumulada. Observe que en un histograma de este tipo es posible leer tanto la frecuencia absoluta al lado izquierdo, como la frecuencia acumulada con el eje que está a la derecha. B.7 Medidas de tendencia central Para establecer similitudes entre los datos estadísticos de un estudio y saber cuáles son los valores esperados, se utiliza lo que llamamos medidas de tendencia central y estas son: La moda de un grupo de datos estadístico es el valor que presenta mayor frecuencia. Cualquier variable estadística tiene moda. Cuando en un grupo de datos hay dos o más que tienen la misma frecuencia, decimos que la variable es multimodal y cada uno de esos datos es la moda. Sin embargo, si todos los datos tienen la misma frecuencia decimos que la moda es indefinida. En el caso de una variable que ha sido dividida por clases, lo que tendremos es un intervalo modal. La media aritmética de un grupo de datos estadísticos es el promedio aritmético del grupo de datos. Es decir, se suma todos los datos y se divide entre el número de datos. La media aritmética de los datos de una variable estadística X, se denota X. La Paz Community School 45

148 Para el caso de las variables continuas lo que se hace es utilizar como valor para calcular el promedio, el punto medio de cada clase, como dato representativo de todos los valores en la case. Entonces: La media aritmética de un grupo de datos estadísticos, que ha sido dividido en n clases, y cada clase es ], ] a b es i i donde, M i X = n f i i= n i= M f i i, f i es la frecuencia absoluta de la clase i y ai + bi = es su punto medio. El símbolo n i= denota que la operación es sumar los productos en cada clase en el numerador, y sumar las frecuencias el denominador. Esto es la cantidad total de datos. La mediana es el valor que ocuparía el lugar central, si los datos se colocaran ordenados ascendente o descendentemente. Para el caso de las variables continuas, la mediana es el intervalo donde la frecuencia acumulada llega al 50%. Clases Capítulo III: Estadística de Variables Continuas Punto medio f i Producto punto medio por frecuencia 4 a 45 4,5 4,5 45 a 48 46,5 46,5 48 a 5 49,5 48,5 5 a 54 5, a 57 55, a 60 58, ,5 60 a 6 6, TOTAL El intervalo modal es ] 54,57 ] La mediana se alcanza en ese mismo intervalo. Ahora, para la media aritmética 548 X = = 55,9 8 Eiste otra manera de representar gráficamente las variables continuas. Esta es mediante un polígono de frecuencias. Un polígono de frecuencias es un gráfico de líneas que se elabora a partir de un histograma, o bien, uniendo los puntos que forman cada punto medio de la clase con su frecuencia absoluta. Para el grupo de datos que analizamos, tenemos: A manera de ejemplo, consideremos de nuevo los datos dele ejemplo. Agregamos una columna para calcular los puntos medios, y otra para los productos: punto medio por frecuencia absoluta. Frecuencia Polígono de Frecuencias Clases 46 La Paz Community School

149 Capítulo III: Estadística de Variables Continuas Ejercicio B. I PARTE: En la siguiente tabla se resumen los tiempos, en minutos, que tardaron los estudiantes en terminar un eamen de matemática: 4,50 6 0,00 78, ,50 80, ,50 96,50 48, ,50 84,50 7 4,00 90, ,00 96,00 66, ,60 76, ,00 06, ,50 57, , , , , ,00 9 7, , , , , ,00 5, , ,50. La variable es discreta o continua?. Para el intervalo [ 4, ] realice una división en siete clases.. Haga un histograma con los datos obtenidos, calculando la frecuencia acumulada. 4. Qué porcentaje de estudiantes tardaron 9 minutos o menos? 5. Qué porcentaje de estudiantes tardaron más de 8 minutos? 6. Cuántos estudiantes tardaron más de 6 minutos y menos de 0 minutos? II PARTE: En una carrera entre todos los estudiantes de noveno año, se obtuvieron los siguientes tiempos:,00 0,50,40,50 8,50 40,40 4,00,00 7,50 6,50,50,00,50 6,40 48,50,50 4,00 6,00,50 8,00 0,00 4,00 6,50,50 46,50 6,50 6,00 7,00 4,50,00 8,50 4,00 40,00,50 6,00 5,50,50,00 44,50,00. Complete la siguiente tabla, en la cual el punto medio de una clase es el promedio de sus etremos. Clase Frecuencia Porcentaje acumulado Punto medio de la Clase 5 a 0 0 a 5 5 a 0 0 a 5 5 a a a 50. Cuál es el punto medio de la clase con mayor frecuencia?. Cuál es el punto medio de la clase a la que pertenecen los datos centrales? 4. Para estimar la media aritmética en la quinta columna multiplique el punto medio de cada clase por la frecuencia correspondiente. Sume estos resultados y divídalos entre el número total de datos. 5. Elabore un histograma con la información. La Paz Community School 47

150 Capítulo III: Estadística de Variables Continuas AUTOEVALUACIÓN: Estadística de variables continuas I PARTE: Con base en la siguiente información conteste las preguntas de selección única -8 En la siguiente tabla se presentan los datos correspondientes a la estatura, en centímetros, de algunos estudiantes: 56,6 7,5 70,0 5,5 7,0 48,5 6,5 56,0 58,4 55,6 67,7 6,8 48,5 56,4 6,4 56,0 56,0 60,6 64, 5,4 68,5 7,0 55,5 55,7 60,0 6,5 6,5 60,5 5,5 59,6 46,5 66,6 49,9 49,5 64,4 7,0 Para realizar el análisis de los datos se divide el intervalo [ 45,75 [ en 6 clases. ) La longitud de cada clase es de: A) 5 unidades 6 unidades 0 unidades 0 unidades ) La frecuencia absoluta de la clase [ 50,55 [ es A) 4 8, ) La frecuencia porcentual de la clase [ 55,60 [ es A) 0 7,78% 5% 0,56% 4) La frecuencia acumulada hasta la clase [ 60,65 [ es 5) El porcentaje de estudiantes que mide más de 65cm es: A) 9, 44%, % 5% 7,78% 6) El punto medio de la clase [ 55,60 [ corresponde a: A) 55 57, ) El intervalo modal corresponde a: A) [ 50,55 [ [ 55,60 [ [ 60,65 [ [ 65,75 [ 8) La media aritmética corresponde a: A) 59, 7 6,8 45,8 5,9 9) Considere las siguientes situaciones: I. Para verificar la calidad de los productos que vende una empresa se escoger algunos al azar de los que se venden en el supermercado A. II. Para escoger quién irá a hablar con el director sobre un permiso, los estudiantes de la sección 0A, escogen un número al azar del al n, donde n es el número de estudiante. El número que salga, se compara con la lista de clase, y ese será el estudiante que irá a hablar. A) 8% 77, 78% 75% 80,56% 48 De ellas, se escogió una muestra aleatoria, A) Solo en I Solo en II En ambas En ninguna La Paz Community School

151 0) En una encuesta, donde se interrogó a los estudiantes de la Institución acerca de las variables estadísticas que están en las opciones de la pregunta. En cuál de las siguientes variables es más apropiado utilizar un histograma que un gráfico circular como representación gráfica, al presentar los resultados de una encuesta aplicada a toda la Institución? A) La edad en años cumplidos El nivel (sétimo, octavo, etc. ) Su red social favorita El peso en kg El siguiente gráfico muestra la frecuencia absoluta acumulada para el tiempo t en días que tardaron 50 vecinos de Barrio Luján en darse cuenta de un nuevo abastecedor que abrieron el lugar. Capítulo III: Estadística de Variables Continuas ) Cuántas personas tardaron menos de 5 días en darse cuenta de la apertura del local? A) ) Cuántas personas tardaron entre 5 y 7 días en darse cuenta de la apertura del local? A) ) Cuánto tiempo fue necesario para que al menos la mitad de las personas de la muestra se dieran cuenta de la apertura del local? A) Entre y 4 días Entre 4 y 5 días Entre 5 y 6 días Entre 6 y 7 días 6) Considere la siguiente tabla de frecuencias tiempo 0 t< 4 4 t< 8 8 t< frecuencia 5 A B Respecto al gráfico conteste las preguntas -7 ) La variable estadística corresponde a: A) La cantidad de personas que se dieron cuenta de la apertura del local El tiempo que tardaron en darse cuenta de la noticia La cantidad de abastecedores en Bario Luján La cantidad de vecinos de Barrio Luján ) La población del estudio es: Los valores de A y B corresponden respectivamente a: A) 75 y 40 0 y 40 0 y 5 80 y 45 7) Con base en la tabla anterior, una estimación del tiempo promedio en que uno de los 50 vecinos se dio cuenta de la apertura del local es: A) 6, días,6 días A) Las 50 personas que se dieron cuenta de la apertura del local,5 días Los clientes del abastecedor 5,días Costa Rica Los vecinos de Barrio Luján. La Paz Community School 49

152 En la comunidad de Linda Vista se hizo un estudio sobre el gasto promedio mensual en las familias. Se entrevistó a los o las jefes de hogar que asistieron a la reunión del comité se seguridad comunitario. El siguiente histograma representa los resultados de esa encuesta. Capítulo III: Estadística de Variables Continuas ) Cuántas familias fueron encuestadas? A) ) Una familia gasta mensualmente en promedio El punto medio de la clase a donde está contada esa familia es: A) Respecto al gráfico conteste las preguntas -9 8) La muestra del estudio corresponde a: A) Las familias de Linda Vista Las familias que asistieron a la reunión del comité de seguridad comunitario Las familiar que pertenecen al comité de seguridad comunitario Las familias que gastan menos de al mes 9) Cuál es el punto medio de la clase modal? A) ) Cuál es la longitud de cada clase? A) ) Cuántas familiar tienen un ingreso entre y ? 4) Cuántas familias gastan entre y ? A) ) En el comité buscan un apoyo económico para el 50% de las familiar con menor gasto. Entonces, con certeza deben a apoyar a familias que gastan menos de A) ) Una estimación del promedio del gasto mensual en las familias mediante estas clases corresponde a: A) A) La Paz Community School

153 II PARTE: Considere una encuesta nacional para las elecciones con la siguiente pregunta Si las elecciones fueran hoy por quién votaría? A continuación se presentan los resultados de los cuatro únicos candidatos. A, B, C, D. Se sabe que la población es de personas, se tomó una muestra aleatoria de un 0,5% y el margen de error es de un 4% para obtener un nivel de confianza de un 95%. Capítulo III: Estadística de Variables Continuas III PARTE: Entre los clientes de una empresa que se dedica a brindar servicio de telefonía celular se realiza una encuesta para evaluar el servicio de la empresa. Si la percepción real de que el servicio es al menos bueno es menos de un 50% se implementará un plan de mejora. Se escoge una muestra aleatoria de 000 y se les pregunta Cómo calificaría la calidad de los servicios brindados por la empresa?. La encuesta tiene un margen de error del % y un Candidato Apoyo A 8% B % nivel de confianza del 90%. siguientes resultados: Calidad del Servicio Se obtuvieron los Respuestas C 8% D 5% Indecisos Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.. La probabilidad de que el candidato B tenga un apoyo entre 8% y 6% es de un 95%.. Con certeza el candidato C tiene más apoyo que el candidato D.. El porcentaje de indecisos es estima en un 7% 4. Si el apoyo real mostrado en la encuesta se mantiene el día de las elecciones, entonces, es imposible que algún candidato gane en primera ronda electoral (alcanza al menos un 40% de los votos) 5. Se dio una alianza entre los candidatos C y D, todos los que epresaron apoyo por el candidato D ahora votarán por el candidato C también. El apoyo real que tendría el candidato C es menor que el apoyo al candidato A. 6. La muestra es de 500 personas. 7. Cualquier personas de la población pudo haber sido entrevistada. 8. La probabilidad de que escogieran a una persona en particular en la muestra es de 0,0005. El servicio es ecelente 9% El servicio es bueno 0% El servicio es regular 5% El servicio es malo 5% No sabe / No responde Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.. La probabilidad de que la percepción real de que el servicio es malo esté entre 4% y 6% es de un 90%.. La muestra tomada es el % de la población.. Menos del 0% no respondió la pregunta. 4. Con certeza es necesario implementar el plan de mejora. 5. La percepción real de que el servicio es regular es con certeza más alta que la percepción real de que el servicio es malo personas contestaron que el servicio es malo. 7. La cantidad de clientes que realmente perciben el servicio como regular varía entre y 7000 con certeza. 8. Para determinar si es necesario aplicar el plan de mejora es conveniente aplicar una nueva encuesta con resultados más claros o bien con un menor margen de error. La Paz Community School 5

154 CAPITULO IV: Probabilidad Frecuencial Capítulo IV: Probabilidad Frecuencial Actividad Introductoria: Utilice una cartuchera que no sea transparente e introduzca en ella 8 lapiceros similares de diferentes colores: unos azules, otros rojos y otros negros. Anote cuántos lapiceros son de cada color. El eperimento consiste revolver los lapiceros sin ver, sacar un lapicero al azar, anotar el color y luego volverlo a introducir en la cartuchera. Se repetirá este proceso veinte veces. En cada paso y para cada color anote en cada paso la frecuencia relativa de cada color: Azul Negro Rojo Aclaramos, en la columna del, se anota el número de veces que salió el color correspondiente a la fila dividido por. Por ejemplo, si en los primeros intentos salió dos veces negro y una vez rojo, lo que se debe anotar 0 en el azul, 0, 67 en el negro y 0, en la fila del rojo. Qué comparación puede hacer entre los números correspondientes a cada color? Qué relación puede ver entre la columna asignada al 0 y la cantidad de lapiceros de cada color? A. Espacio Muestral Cada uno de los posibles resultados de este eperimento recibe el nombre de punto muestral y el conjunto de todos los puntos muestrales posibles, es conocido como espacio muestral. Cuando consideramos algunos puntos muestrales tendremos un evento. Es decir, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Un espacio muestral U es el conjunto de posibles resultados de un eperimento, y cada uno de estos resultados es un punto muestral. Un evento es un subconjunto de U. B. Definición Laplaciana de Probabilidad En primera instancia supondremos que todos los puntos muestrales son equiprobables, es decir, que ninguno tiene más oportunidades que otro. De esta manera, definiremos la probabilidad de un evento como la razón entre el número de observaciones favorables, y el número de observaciones totales: La probabilidad de un evento A es el resultado de dividir el número de puntos muestrales favorables n( A ) por el número de total de puntos muestrales en el espacio muestral n( U ) : P( A) ( ) ( ) n A = n U 5 La Paz Community School

155 Con base en esa definición, tenemos que: Entonces, a cada evento se le asigna un número entre 0 y que mide cuán probable es que suceda. Si P( A ) = 0 decimos que el evento A es imposible y no sucederá Si P( A ) = decimos que el evento A es seguro y en cualquier caso sucederá Si P( A) 0< < decimos que el evento A es posible y no se puede determinar si sucederá o no. La probabilidad de que A no ocurra es P( A) C. Probabilidad frecuencial Supongamos que realizamos el eperimento de lanzar una moneda muchas veces. Podríamos obtener una secuencia de resultados como la siguiente: E, C, C, E, E, E, C, C, E, C, E, C, C, E, C, E,. En este caso, las frecuencias (relativas) los eventos: salió escudo y salió corona van cambiando. Por ejemplo, en los primeros cinco lanzamientos es f escudo 5 5 = y f corona =, mientras que el resultado con las primeras doce es escudo f 5 corona =. Esto es, evidentemente, producto del azar. f = 7 y Si se realiza el eperimento en otro momento posiblemente se obtendría otro resultado. Capítulo IV: Probabilidad Frecuencial Sin embargo, entre más veces realicemos el eperimento más cerca estaremos de obtener el resultado esperado: Al lanzar una moneda (balanceada) escudo aparece tantas veces como el corona. Esto es en el fondo lo que dice que la probabilidad de escudo es 50% o, al igual que la de corona. Así, las frecuencias relativas de un evento son aproimaciones de la probabilidad y en medida de que repitamos el eperimento más veces estaremos más cerca del valor eacto de la probabilidad. Esto es un teorema, y lo podemos sintetizar de la siguiente manera: Ley de los grandes números La probabilidad de un evento es el número al que se aproima su frecuencia relativa cuando el eperimento se repite un gran número de veces. Los valores que se van obteniendo son llamados probabilidad frecuencial, mientras que el valor teórico al que se acercan es la probabilidad clásica o probabilidad Laplaciana, pues fue el matemático Pierre Simon Laplace quien formalizó por primera vez en 89 los conceptos conocidos previamente. Cuando las condiciones no permiten hacer cálculos con la definición clásica dado que no podemos conocer las características de todo el espacio muestral, utlizaremos las probabilidades frecuenciales para lograr una aproimación. La Paz Community School 5

156 Ejercicio II. I PARTE: Para cada una de las siguientes situaciones determine si es mejor calcular la probabilidad mediantes la definición clásica, o bien, si es mejor considerar la probabilidad frecuencial. Capítulo IV: Probabilidad Frecuencial II PARTE: Considere un dado tramposo en el cual no todas las caras tienen la misma probabilidad de salir. Para determinar la probabilidad de obtener cada número se lanzó 000 veces el dado y se obtuvieron los siguientes resultados:. Se busca determinar cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar de la clase este tenga cabello negro. Frecuencia Cara absoluta 5 Frecuencia relativa. En una empresa envasan refresco en cajas de 54ml. 66 En ocasiones el refresco envasado es un poco menos de los 54ml. Se busca determinar cuál es la probabilidad de que al escoger un refresco al azar este tenga menos de 5ml.. En una encuesta nacional se busca calcular la probabilidad de que un votante se abstenga de hacerlo , Se pretende determinar si la moneda que utiliza el profesor para jugar escudo o corona es justa. 5. En un banco de trata determinar cuál es la probabilidad que un cliente con un salario menor a pague al día sus deudas. 6. Se tienen 0 bolas iguales en una bolsa, de ellas cuatro son blancas y seis negras. Se pretende calcular la probabilidad de que al sacar una bola al azar entre las 0 esta sea de color blanco.. Encuentre la frecuencia absoluta correspondiente a la cara 4.. Calcule la frecuencia absoluta de la cara 6.. Estime la probililidad de que al lanzar el dado se obtenga el. 4. Estime la probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga un número menor que. 5. Estime la probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga un número mayor que Se busca la probabilidad de que al lanzar un dado la cara que salga encima sea un múltiplo de 7 8. Se busca la probabilidad de que al lanzar un dado la cara que salga encima sea un divisor de La Paz Community School

157 Capítulo IV: Probabilidad Frecuencial III PARTE: En un laboratorio de biología se midió el largo de veinte hojas de algunas plantas. Los resultados fueron los siguientes:,9,9,7,5,, 4,6,5 0,8,5,7,, 4,,6 4, 0,6 0,9 4,,8. Realice una división por clases en la siguiente tabla. Absoluta Relativa Acumulada Entre 0cm y cm Entre cm y cm Entre cm y cm Entre cm y 4cm Entre 4cm y 5cm. Encuentre las frecuencias relativas y acumuladas.. Estime la probabilidad de que una hoja tenga una medida entre 0cm y cm. Estime la probabilidad de que una hoja tenga una medida entre 0cm y cm 4. Estimela probabilidad de que una hoja tenga una medida entre cm y 4cm 5. Estime la probabilidad de que una hoja tenga una medida mayor a cm La Paz Community School 55

158 Capítulo IV: Probabilidad Frecuencial IV PARTE: La siguiente secuencia de números corresponde al número que sale en la cara de un dado con 8 caras al realizar 40 lanzamientos. Se deben leer de arriba hacia abajo y luego pasa a la siguiente columna. 6,,6,etc Encuentre la frecuencia relativa del número 6 cada 5 pasos.. Puede concluir usted que las probabilidades frecuenciales de ese dado estiman que el dado es justo? 56 La Paz Community School

159 CAPITULO V: Medidas de Posición Capítulo V: Medidas de Posición Los cuartiles, máimos y mínimos son otras medidas de posición que complementan las ya conocidas: media aritmética, moda y mediana. Son útiles para caracterizar los grupos de datos. A. Medidas de Tendencia Central A manera de repaso, presentamos los conceptos ya conocidos de medidas de tendencia central, escribiendo un poco más formalmente las definiciones. Considere un grupo de datos estadísticos cualquiera, el cual C y = =. denotaremos ( ),,, i i N Es decir, tenemos N datos llamados y, y,, yn. El procedimiento general para calcular las medidas de posición empieza ordenando los datos. Luego, contamos las repeticiones de cada dato, de manera que Cuando en un grupo de datos hay dos o más que tienen la misma frecuencia, decimos que la variable es multimodal y cada uno de esos datos es la moda. A partir de este momento, utilizamos la notación de sumatoria n si para denotar la suma de los datos s i i= En ella, el índice i varía desde hasta n y luego, se debe sumar los datos que dice la epresión s i. n Es decir, si = s+ s+ + s i= n S = =, obtenemos un conjunto de datos ( ),,, i i n EJEMPLO. Eprese desarrollando la sumatoria, donde los frecuencia del dato todos distintos, i=,,, n, y la i i es agrupación de los datos. f i. Este proceso se llama En este teto, utilizaremos esta notación: las y i desde hasta n, para los datos sin agrupar (se permiten repeticiones) y las pues cada una tiene frecuencia i (no se permiten repeticiones, f i ) para los datos ya agrupados, aunque en el fondo nos referimos al mismo grupo de datos. Entonces, tenemos que S = = i i n La moda del grupo de datos ( ),,, M o = si f f, j=,,, N p p i es y calcule el resultado de 4 5 i y i= i= i Notemos que, entonces, la suma de todos los datos sería N i i i i= i= n y = f. Así mismo, la cantidad de datos sería la suma de estas frecuencias: N n = fi i= Esto es importante, en especial cuando eisten una gran cantidad de datos, pues por ejemplo, si el dato 54 aparece veces, es más fácil multiplicar 54 que sumar veces 54. Así: La media aritmética de un grupo de datos estadísticos ( ),,, C y = = i i N es el promedio aritmético: El símbolo es el cuantificador universal y se lee para todo. Indica que la proposición es válida para cualquier elemento del conjunto. N y f X = = N f i i i i= i= n n i= i, donde cada i tiene una frecuencia f i. La Paz Community School 57

160 EJEMPLO. Considere un grupo de datos donde al agruparlos se obtiene la siguiente tabla: i f i Calcule la media aritmética de los datos. Otras medidas de posición para variables cuantitativas nos dicen entre cuáles valores se mueven los datos. Esto es simplemente el mínimo y el máimo del grupo de datos. Entonces, S y = =. Para el conjunto de datos ( ),,, i i N El mínimo m= min y i y el máimo M = ma y i, son los valores que cumplen m yi M, i donde m, M S. En años anteriores se ha estudiado la mediana del grupo de datos ya ordenados. Recordemos que este es una medida que nos indica un valor que parte a la mitad los datos. La mitad es menor que la mediana, y la otra mitad es mayor que la mediana. Si consideramos el primer grupo y le volvemos a calcular la mediana, obtenemos un valor que llamaremos el primer cuartil y este nos dice hasta donde llega la menor cuarta parte ( 5% ) de los datos. Ahora, si consideramos el segundo grupo y le calculamos la mediana, obtendremos el tercer cuartil, y este nos dice desde donde iniciar la mayor cuarta parte ( 5% ) de los datos. Es básicamente el dato estadístico a donde llega el 75% de los datos. Capítulo V: Medidas de Posición Formalmente tenemos las siguientes fórmulas : y N+, si N+ es múltiplo de 4 4 El primer cuartil es Q = y y N+ + N , en otro caso La mediana es y N+, si N+ es par Me= Q = y y N+ + N+ +, si N+ es impar y ( ), si N+ es múltiplode 4 N+ 4 El tercer cuartil es Q = y y ( N+ ) + ( N+ ) + 4 4, en otrocaso Dos observaciones respecto a estas fórmulas son pertinentes: El caso ideal de que N + sea múltiplo de 4 simplifica mucho las fórmulas, pues tanto la mediana como los cuartiles tendrán calzarán bien a un 5%, 50% y 75%. Si N + es par, solo la mediana es un dato específico, y los cuartiles serán el promedio de dos términos. Sin embargo, obviamente, esto no siempre ocurre, y suceden casos como el estudiado previamente respecto a la mediana, donde se debe calcular un promedio. Las fórmulas de los cuartiles, utilizan la función parte entera que corresponde al mayor entero menor o igual que el número. Por ejemplo: 5, 4 = 5, 6 = 6,, =. EJEMPLO. Para los siguientes grupos de datos, encuentre, el mínimo, el máimo, el primer cuartil, la moda, la mediana, y el tercer cuartil. a),5,,4,,,4,,,, 4 b),44, 0,5,4, 5,,5,44,,,44, c) 4,54,0,8,,4,8,4,54,54, 0,4,44,50 Estas fórmulas cambian para muestras grandes. Por eso probablemente, en software de análisis de datos se obtengan valores distintos a los dados acá. 58 La Paz Community School

161 Si los datos están agrupados, el cálculo es similar, pero se debe tener claro dónde se ubican los datos estadísticos que nos dan estas medidas. Capítulo V: Medidas de Posición derecha de la media que a la izquierda, y por lo tanto, una distribución con asimetría negativa (o izquierda), y esto sucede porque muchos valores a la izquierda de la distribución bajan la media aritmética. EJEMPLO 4. Para el siguiente grupo de datos, encuentre, el primer cuartil, la mediana, y el tercer cuartil i f i EJEMPLO 5. Clasifique la asimetría de la distribución en los datos del ejemplo. El último aspecto que debemos analizar en esta sección respecto a los grupos de datos es su asimetría. Cuando tenemos un grupo de datos donde la mediana y la media aritmética coinciden tendremos una distribución simétrica. Pero, si la mediana es menor que la media aritmética, quiere decir que tendremos más datos a la izquierda de la media que a la derecha, donde hay más peso y por lo tanto, una distribución con asimetría positiva (o derecha), Esto sucede cuando algunos de los y i tienen datos estadísticos grandes que aumentan el valor de la media aritmética y estos se ubican a la derecha de la media aritmética. EJEMPLO 6. A continuación se presenta la tabla de posiciones final de la etapa de clasificación del torneo de primera división Invierno 04 No. EQUIPO PJ PG PE PP GF GC G. dif PTS ALAJUELENSE HEREDIANO CARTAGINES SAPRISSA UCR PEREZ ZELEDON CARMELITA BELÉN SANTOS LIMON URUGUAY AS. PUMA Cuáles equipos pertenecen al 5% de los equipos menos goleados? Cuáles equipos pertenecen al 5% de los equipos más goleadores? Por el contrario, si la mediana es mayor que la media Clasifique la simetría de la variable PTS. Qué aritmética, quiere decir que tendremos más datos a la interpretación le puede dar a ese resultado? La Paz Community School 59

162 Capítulo V: Medidas de Posición Soluciones A. EJEMPLO : Eprese desarrollando la sumatoria, y calcule el resultado de Tenemos que 5 i= 4 i= 4 5 i y i= i= i= = 0 y ( ) ( ) i ( ) ( ) ( ) i = = = 5 EJEMPLO : Considere un grupo de datos donde al agruparlos se obtiene la siguiente tabla: i f i Calcule la media aritmética de los datos. Aplicando la fórmula, para el caso de los datos agrupados: n fi i i= X = = =,50 n f i= i EJEMPLO : Para los siguientes grupos de datos, encuentre, el mínimo, el máimo, el primer cuartil, la moda, la mediana, y el tercer cuartil. a),5,,4,,,4,,,, 4 Primero necesitamos ordenar los datos:,,,,,,, 4, 4, 4,5. Notemos que min y =, ma y = 5. i Tenemos una distribución unimodal: Las modas es Mo=. i Como tenemos datos, N + =, entonces, de las fórmulas para la mediana y los cuartiles tenemos que Q = y = y =, Me= Q = yn+ = y6 = + 4 Q = y = y = 4 ( + ) 9 4 Otra manera de verlo, es mediante el algoritmo usual, eplicado antes de dar las fórmulas: datos Q datos datos Q datos,,,,,,,4, 4, 4,5 5 datos M e 5 datos b),44, 0,5,4, 5,,5,44,,,44, Procedemos de manera similar. Los datos ordenados son:,,,0,,,5, 4, 44, 44, 44,5,5 y es claro que la moda es M o = 44 min y =, ma y = 5. i i Como la cantidad de datos es N =, resulta que N + = 4 y solamente la mediana simplifica fácilmente: Me= y = y = Para los cuartiles, calculamos primero los índices: N+ 4 = =,5 = 4 4, por lo que Q y + y = = = 5,5 ( N ) y0 y = = 0,5 = 0 Q = = = Notemos cómo en este caso, los cuartiles se introducen entre dos términos con su promedio: datos 5,5 datos datos Q 44 datos Q = =,, 0,,, 5, 4,44, 44 44,5,5 6datos Me 6datos y 60 La Paz Community School

163 c) 4,54,0,8,,4,8,4,54,54, 0,4,44,50 Los datos ordenados son: 8,8,0,, 0, 4, 4, 4, 4, 44,50,54,54,54 La distribución es bimodal: Las modas son 4 y 54. Además, min y = 8, ma y = 54. i i La cantidad de datos es N = 4 N+ = 5 que es impar, y obviamente no múltiplo de 4. Las tres fórmulas de los cuartiles, necesitarán promedios. Para los índices necesitamos: N+ 5 = = 7,5 = 7, ( N+ ) N+ 5 = =,75 = 4 4 y 45 = =, 5 = 4 4. Tenemos que Q y + y 0+ 4 = = =, Me Q y + y = = = y + y = Q = = = 4 De nuevo, con el algoritmo de las medianas: datos Q = datos datos Q = 5 datos 8,8,0, 0, 4, 4,, 4, 4, 44,50 54,54,54 6 datos Me= 4 6datos EJEMPLO 4: Para el siguiente grupo de datos, encuentre, el primer cuartil, la mediana, y el tercer cuartil i 5 Capítulo V: Medidas de Posición Necesitamos calcular las partes enteras respectivas para los cuartiles: N+ 8 = = 79,5 = y ( N+ ) 477 = = 8,5 = Por lo tanto, Q y Q + y y ( ) ( ) + y =, y8+ y9 = =. Me= Q = y = y, Se debe encontrar en los datos agrupados a qué corresponden esos datos estadísticos, si no estuvieran agrupados. Para eso se van sumando las frecuencias de los primeros datos hasta llegar a lo que buscamos: Sabemos que los primeros 5 datos tienen valor 0 y entre el y el 5+ 80= 05 todos tienen valor 5, de donde tenemos que Así Q = 5. y = y = Con el mismo procedimiento, 05+ = 8, 8+ 60= 98, por lo que tenemos que el valor de y 59 = 5 y Me= 5.. f i Por último, seguimos sumando frecuencias hasta En este caso, tenemos los datos agrupados. Es necesario ir directamente a las fórmulas. Tenemos que encontrar y 8 y y = 0, 0+ 7= 7, 7+ 60= 97 por lo y = y = 50 Q = 50 que 8 9 N = = 7, por lo que N + = 8 que es par, pero no múltiplo de 4. La Paz Community School 6

164 EJEMPLO 5: Clasifique la asimetría de la distribución en los datos del ejemplo. a) Debemos calcular la media aritmética y comparara con la mediana ya calculada: Me=, como: X = = = Me, tenemos que la distribución es simétrica. b) En este caso, Me= 5 y = 5, 46> X = Por lo que la distribución tiene asimetría positiva (derecha). c) Me= 4y X = = 4, < 4. Por lo que la 4 distribución tiene asimetría negativa (izquierda). EJEMPLO 6. A continuación se presenta la tabla de posiciones final de la etapa de clasificación del torneo de primera división invierno 04 Cuáles equipos pertenecen al 5% de los equipos menos goleados? No. EQUIPO GF GC PTS ALAJUELENSE HEREDIANO CARTAGINES SAPRISSA UCR PEREZ ZELEDON CARMELITA 6 7 Los datos de la variable goles en contra ordenados corresponden a 5,9,9,, 6, 8,,,8,4, 4, 46. Debemos calcular el primer cuartil, como tenemos datos, y + =, 5 = 4 este es: Capítulo V: Medidas de Posición Cuáles equipos pertenecen al 5% de los equipos más goleadores? Para la variable goles a favor, tenemos que los datos ordenados son: 7,9,,, 8, 9, 9,0,4,8,9, 45 Buscamos el tercer cuartil, para el cual calculamos: ( + ) = 9,75 = 9. 4 Así, Q y + y = = = 6 y buscamos los equipos que anotaron más de 6 goles. Estos son: Alajuelense, Herediano y Saprissa. Clasifique la simetría de la variable PTS. Qué interpretación le puede dar a ese resultado? Para poder calcular la asimetría, es necesario, calcular la mediana y la media aritmética. En este caso, y6+ y corresponden a Me= = = 8 y X = ,8 Notemos que al ser la mediana menor que la media aritmética, la distribución tiene asimetría positiva (derecha). Esto significa que los equipos de la parte arriba de la tabla ganaron más puntos que los que dejaron de ganar los de la parte de abajo. 8 BELÉN SANTOS Q y + y = = =. Esto sucede porque hubo más empates en esa parte de debajo de la tabla. 0 LIMON 9 6 URUGUAY AS. PUMA 46 6 Es decir, buscamos los equipos que hayan recibidos menos de 0 goles, y estos son: Alajuelense, Herediano y Cartaginés. La Paz Community School

165 Capítulo V: Medidas de Posición Ejercicio A. I PARTE: Para los siguientes grupos de datos encuentre la información solicitada. A partir de la tercera serie, se deja un espacio para ordenar los datos. Datos Min Mo X Q Me Q Ma Asimetría,,,, 4, 4,5,,,4,4,0, 4,5,5,54,65 9,,,,,8,,0, 0 80, 4,00, 46, 4,50,0, 40, 45,0,55, 48,55 50, 0,8,5,7,55,60, 0,5,60 70,7,7,74,76,77,78,8 4,5, 44,56,58,54,80, 48,8, 46, 4,50 6, 0,8,0,8,0,7,5 II PARTE: Resuelva los siguientes problemas.. En un grupo de datos Q = 0, Q = 0 y X = 0. Podría el grupo tener asimetría izquierda? Podría ser simétrica?. Suponga que en un grupo de datos simétricos X = 5, Cuánto es la mediana?. Cinco estudiantes promediaron la nota que sacaron en un eamen y obtuvieron 48. Será posible que alguno de ellos haya sacado un 00? 4. Al considerar una distribución con asimetría izquierda, qué es mayor X ó Q? qué es mayor X ó Q? 5. En un grupo con 6 estudiantes, se calculó las medidas de posición de sus notas y se obtuvo que Q = 54, Me= 70, Q = 90. Encuentre X. C y = = i i N 6. Considere el grupo ordenado de datos ( ),,, donde N + es múltiplo de 4 y Q = y. Si y0 < y < y Encuentre N. C y = = i i N 7. Considere el grupo ordenado de datos ( ),,, donde N+ es múltiplo de 4. Si entre Q y Q hay 7 datos, contando ambos. Encuentre N. 8. En un grupo con 9 estudiantes, uno de ellos sacó un 70 en un eamen. Se obtuvo que las moda son 8 y 54, Q = 55, Me= 75, Q = 86, X = 7. Encuentre min y i y ma y i. La Paz Community School 6

166 Capítulo V: Medidas de Posición El concepto de media aritmética se etiende al concepto de media aritmética ponderada cuando los datos tienen pesos distintos. B. Media Aritmética Ponderada Uno de los objetivos de la estadística es comparar información con significado. Esto se trata de interpretar lo que los datos y los cálculos dicen. Un caso donde esto es evidente es cuando necesitamos calcular un promedio donde los datos tienen diferentes pesos. El ejemplo que tenemos más cercano es el de las notas de un curso: No es lo mismo sacarse un 00 en una tarea y un 70 en un eamen, que viceversa, pues la tarea vale menos que el eamen. La formalización de este concepto es la asignación de pesos a la hora de calcular un promedio, como si fueran una frecuencia, aunque realmente no lo son, sino que es su valor respecto al total. Cuando se realiza este proceso tenemos el cálculo de una media aritmética ponderada. La media aritmética ponderada de un grupo de datos C y = = i i N estadísticos ( ),,, es el promedio aritmético: EJEMPLO 7. En el curso de matemática se tiene la siguiente ponderación de los rubros de evaluación: Rubro Valor Porcentual Quices 5% Eamen Parcial 0% Tareas 0% Eamen Final 5% a) Silvia, obtuvo las siguientes notas Quiz# 65 Quiz# 70 Quiz# 80 Tarea # 65 Tarea # 95 Eamen Parcial 75 Eamen Final 95 Calcule el promedio ponderado de Silvia en el curso de matemática. X = N i i= N p y i= p i i, donde cada i tiene un peso p i. b) José tiene las siguientes notas: Quiz# 60 Nótese que esta fórmula es muy similar a la de la media aritmética para datos agrupados (promedio simple). Un par de diferencias: La primera es que los pesos funcionan como frecuencias pero no lo son, es decir, lo que quiere decir esta fórmula es que el dato y i vale que los datos y i podrían repetirse. p i. La segunda, es Quiz# 50 Quiz# 65 Tarea # 65 Tarea # 80 Eamen Parcial 64 Eamen Final Si el curso se aprueba con 70, cuánto debe sacar José en el eamen final para aprobar? 64 La Paz Community School

167 Capítulo V: Medidas de Posición Soluciones B. EJEMPLO 7. En el curso de matemática se tiene la siguiente ponderación de los rubros de evaluación: Rubro Valor Porcentual Quices 5% Eamen Parcial 0% Tareas 0% Eamen Final 5% a) Silvia, obtuvo las siguientes notas: Calcule el promedio ponderado de Silvia en el curso de matemática. Antes de calcular la media aritmética ponderada tenemos que primero promediar los quices: ,66, y las tareas = 80 mediante promedio simple. Ahora, recordemos que en los rubros de evaluación tenemos porcentajes, por lo que el total de los pesos sería 00. La nota se calcula: 7, ,67 00 Quiz# 65 Quiz# 70 Quiz# 80 Tarea # 65 Tarea # 95 Eamen Parcial 75 Eamen Final 95 b) José tiene las siguientes notas: Si el curso se aprueba con 70, cuánto debe sacar José en el eamen final para aprobar? Quiz# 60 Quiz# 50 Quiz# 65 Lo que haremos es calcular la nota que lleva José sin tomar en cuenta el eamen final. Luego, a 70 le restamos ese resultado para obtener el porcentaje que le hace falta. Por último, dividimos eso entre el porcentaje correspondiente al eamen final para obtener la respuesta. Sin embargo, igualmente tenemos que promediar quices , y tareas = 7,5. Así, la nota que lleva José (sin contar el eamen final) se calcula: 58, ,5 0 4,0. Esto 00 quiere decir que le hacen falta 70 4, 0= 8, 97 de un rubro que vale 5%, por lo que debe sacar en ese 8,97 eamen = 8,77, al menos un 8. 0,5 Tarea # 65 Tarea # 80 Eamen Parcial 64 Eamen Final La Paz Community School 65

168 Ejercicio B. I PARTE: (Repaso de medidas de posición para datos agrupados). Las siguientes tablas corresponden a grupos de datos agrupados. Encuentre el primer cuartil, el tercer cuartil y el promedio simple de los datos i f i i f i i f i i f i II PARTE: Daniel es estudiante de matemática en la universidad. Ahí, los promedios se ponderan por una unidad llamada crédito que representa en términos generales el peso del curso, medido en horas de clase y horas etra clase. Le han dado notas de cuatro de sus cursos, y estas son: Curso Nota Créditos Cálculo en varias variables 0 4 Apreciación de cine 8,0 Álgebra Lineal 9,5 4 Introducción a la Economía 0 Teoría de Conjuntos - 5 Capítulo V: Medidas de Posición El promedio ponderado se utiliza, entre otras cosas, para asignar la prioridad de matrícula a los estudiantes.. Calcule el promedio ponderado de los cursos ya que tienen nota.. Cómo se compara el promedio simple de las notas con el promedio ponderado? Por qué?. Cuánto debe sacar Daniel en el curso de teoría de conjuntos para obtener un promedio ponderado mayor o igual que 9,5, que es su meta? 4. En el curso de teoría de conjuntos, la evaluación es de 0% el primer parcial (Daniel obtuvo un 95), 0% el segundo (Daniel obtuvo un 90) y el resto al eamen final. Cuánto debe sacar Daniel en el eamen final para lograr su cometido en el promedio ponderado del semestre? III PARTE: Una familia de 5 miembros, todos aportan a la casa diferentes porcentajes de su salario. Miembro Salario % de Aporte Nuevo Nuevo aporte aporte % Papá % Mamá % Julio % Marcela % Adriana % TOTAL. Calcule el aporte de cada miembro. Calcule el ingreso total que se obtiene por el aporte de los miembros de la familia. Debido a los aumentos, el gasto total de la casa el próimo mes será de Deciden que este aumento se distribuirá en el mismo monto a los 5.. Calcule el nuevo aporte (en dinero) de cada miembro. 4. Calcule el nuevo porcentaje respecto al salario de cada miembro. 66 La Paz Community School

169 AUTOEVALUACIÓN: Medidas de Posición Capítulo V: Medidas de Posición ) Con respecto al grupo de datos 69, 70,7,74,74,76, 76, 78,80 se puede afirmar, que la distribución: A) Es unimodal. Es bimodal. Tiene más de dos modas. No tiene moda. ) Un grupo de datos está compuesto por 0 datos y únicamente dos valores 5 y 5. La frecuencia de 5 es el triple de la frecuencia de 5. Entonces, el promedio simple de los datos corresponde a: A) 7,5, ) Para un grupo de datos distintos y ordenados ( i) i,,,0 S y = = A) y 4 y 5 el primer cuartil corresponde a: y4+ y5 y5+ y6 4) Para un grupo de datos distintos y ordenados ( i) i,,,9 S y = = A) y 9 y 0 el tercer cuartil corresponde a: y0 + y y9+ y0 5) En cuál de los siguientes casos una distribución ( ),,, S = y i NO siempre tiene mediana i = y N m? A) N m= y N es par. N+ m= y N es impar. N m=, N es par y ym = y m + N+ m=, N+ es múltiplo de 4 6) Considere la siguiente tabla con valores agrupados: A) i f 5 9 i Entonces, la media aritmética corresponde a: 6, 5 7, 7) Respecto a los datos de la tabla de la pregunta anterior, el primer cuartil corresponde a: A) ) En una distribución se tiene que Me = y X = 0. Esta se clasifica como: A) Simétrica Asimétrica positiva Asimétrica negativa No se puede determinar con la información brindada 9) En una distribución se tiene que Q = 5 y X = 0. Esta se clasifica como: A) Simétrica Asimétrica positiva Asimétrica negativa No se puede determinar con la información brindada 0) Considere la siguiente tabla con valores y sus pesos: 5 40 i p 8 4 i Entonces, la media aritmética ponderada corresponde a: A) 8,6 8, 78 6,8 676 La Paz Community School 67

170 II PARTE: Resuelva los siguientes problemas. S y =. En una distribución de datos ( ),,, Q y + y 0 = donde y0 y = i se tiene que i N <. Encuentre todos los posibles valores de N.. En la siguiente tabla, se muestra la cantidad de casos reportados positivos de VIH, y su prevalencia por cada 000 habitantes. Capítulo V: Medidas de Posición. En la siguiente tabla se muestran los precios de algunos teléfonos celulares del mercado. Marca Modelo Precio Apple Iphone 4s 5000 Apple Iphone Apple Iphone 5s 4400 Black Berry Bold Motorola Atri Nokia Lumia Nokia X Touch Samsung Galay Note 4000 Samsung Galay Pro 0000 Samsung Ace Style 000 Samsung S Sony Ericksson Xperia X Huawei G a) Calcule el promedio del costo de los teléfonos. b) Calcule la mediana del costo de los teléfonos. c) Una empresa financia únicamente el 5% de los teléfonos más caros. Cuáles modelos se pueden financiar? d) La mamá de Pedro, le comprará un teléfono y lo pone a escoger entre los teléfonos que están en el 5% más barato. Entre cuáles teléfonos puede escoger? 4. El impuesto sobre la renta de los empleados se calcula en rangos dependiendo del salario. En la siguiente tabla se muestra la cantidad de empleados que tienen cierto salario, y el porcentaje de impuesto que les corresponde pagar. Número de empleados Salario Porcentaje de impuesto % % a) Una organización brindará atención especial a los países con una prevalencia mayor al 5% de los datos. A cuáles países se le brindaría atención? b) Otra organización ayudará a los 5% de los países con menos casos. Cuáles serían? c) Clasifique la asimetría de la variable casos totales. d) Estime, utilizando los datos de la tabla, la población de Costa Rica % % a) Calcule el monto a pagar por el impuesto de la renta de cada rango de salario. b) La empresa hará una sola transferencia para pagar el impuesto de la renta de todos los empleados. Por qué monto sería esa transferencia? 68 La Paz Community School

171 CAPITULO VI: Medidas de Variabilidad Capítulo VI: Medidas de Variabilidad Los diagramas de cajas permiten visualizar de manera sencilla un resumen de las medidas de posición de un grupo de datos. A. Diagramas de Cajas El recorrido de un grupo de datos, nos dice cuál es la mayor diferencia posible entre dos datos, y de cierta manera nos da la información de cuántos están variando los datos. El recorrido es la diferencia R= má min Un recorrido grande significa que eisten datos muy lejanos entre sí, mientras que un recorrido pequeño nos dicen que los datos están todos muy cerca entre sí. En la práctica, suele suceder que algunos datos hacen este recorrido grande sin que necesariamente esto sea representativo de todos los datos. Una de las medidas para ver qué tanto es eso cierto las encontramos en los cuartiles. Anteriormente hemos aprendido a calcular e interpretar la información que brindan los cuartiles de un grupo de datos. Recordando el primer cuartil Q contesta la pregunta: El 5% de los datos es menor a qué número?, mientras que el tercer cuartil Q : el 5% de los datos es mayor a qué número? Los cuartiles nos dicen dónde está el 50% por ciento central de los datos, justamente entre Q y Q. Esa medida es importante porque ecluye los valores etremos de la distribución. Para medirlo tenemos la siguiente definición: El recorrido intercuartílico es la diferencia RI = Q Q Esta información se suele escribir gráficamente en lo que llamamos diagramas de cajas: En este diagrama es fácil ver el rango (entre cuáles valores varían todos los datos) y el rango intercuartílico. EJEMPLO. En los siguientes grupos de datos, se dan el mínimo y el máimo, los cuartiles y la mediana. Encuentre el recorrido, el recorrido intercuartílico y realice diagramas de cajas para cada grupo. a) M e min =,má = 5,Q =, =,Q = 5 b) M e min =,má = 5,Q = 5,5, = 5,Q = 44 c) M e min = 88,má = 54,Q =, = 4,Q = 5 Uno de los aspectos que merece más discusión en este momento es la variabilidad de los datos. En las siguientes secciones, aprenderemos métodos para medirla, pero por ahora, nos interesa saber cuáles grupos de datos varían más que otros? EJEMPLO. Considerando los grupos de datos del ejemplo, cuál grupo tiene mayor variabilidad y por qué? EJEMPLO. En un quiz de matemática se reportaron las siguientes notas en el grupo de 9A y en el de 9B respectivamente. 9A B a) Encuentre el promedio de ambos grupos. La directora le sugiere al profesor retomar en clase el tema con el grupo, si percibe que en general el grupo tiene fallas, pero que si son sólo algunos estudiantes es mejor ofrecerles un centro fuera de clases. b) En cuál grupo los datos varían más? c) Con base en la recomendación de la directora, cómo podría plantear un plan remedial? La Paz Community School 69

172 Capítulo VI: Medidas de Variabilidad Soluciones A. EJEMPLO : En los siguientes grupos de datos, se dan el mínimo y el máimo, los cuartiles y la mediana. Encuentre el recorrido, el recorrido intercuartílico y realice diagramas de cajas para cada grupo. a) M e min =,má = 5,Q =, =,Q = 5 R= 5 = 4, R I = 4 = EJEMPLO : En un quiz de matemática se reportaron las siguientes notas en el grupo de 9A y en el de 9B respectivamente. 9A B a) Encuentre el promedio de ambos grupos. b) M e min =,má = 5,Q = 5,5, = 5,Q = 44 R= 5 = 40, R I = 44 5, 5= 8, 5 X X 9A 9B = = = = 70 0 La directora le sugiere al profesor retomar en clase el tema con el grupo, si percibe que en general el grupo tiene fallas, pero que si son sólo algunos estudiantes es mejor ofrecerles un centro fuera de clases. b) En cuál grupo los datos varían más? c) M e min =,má = 5,Q = 5,5, = 5,Q = 44 R= 54 8= 44, R I = 5 = 4 Las notas del grupo 9B varían más. Hay notas más altas, pero también hay notas más bajas, que se promedian en lo mismo que las notas del grupo 9A, donde es visible que las notas están más cercanas todas a 70. c) Con base en la recomendación de la directora, cómo podría plantear un plan remedial? EJEMPLO Considerando los grupos de datos del ejemplo, cuál grupo tiene mayor variabilidad y por qué? Notemos el grupo c), tiene mayor recorrido y mayor recorrido intercuartílico. Esto nos dice que los datos tienen mayor variabilidad que los demás. Con base en los resultados, una recomendación pertinente sería repasar con todo el grupo de 9A, los temas que no estén claros. Para el 9B es visible que varios estudiantes tienen buenas notas, por lo que un plan adecuado podría ser dar un repaso fuera de la clase a los estudiantes con notas más bajas. Por ejemplo, podríamos tomar el primer cuartil como referencia. 70 La Paz Community School

173 Ejercicio A. Resuelva los siguientes problemas.. En la siguiente tabla se muestra el resumen de una encuesta realizada a 0 estudiantes, sobre, cuántos hermanos tiene? Capítulo VI: Medidas de Variabilidad 5. El siguiente diagrama de caja representa las notas obtenidas por estudiantes en una asignación de Español. Número de hermanos Frecuencia m a) Encuentre el valor de m. b) Encuentre la moda. c) Encuentre la mediana y los cuartiles. d) Encuentre el mínimo y el máimo. e) Encuentre el recorrido, y el recorrido intercuartílico. f) Realice un diagrama de caja.. En la siguiente tabla se muestra las notas entre 0 y 7 en una asignación de matemática, obtenidas por algunas estudiantes, ordenadas con su frecuencia. Nota Frecuencia K El promedio de las notas fue 4. a) Encuentre el valor de K. b) Encuentre la mediana y los cuartiles. c) Encuentre el mínimo y el máimo. d) Encuentre el recorrido, y el recorrido intercuartílico. e) Realice un diagrama de caja.. Para el conjunto de datos 8,8,9,9,0,,,, 7,8,8,,4,4,6, el diagrama de caja es: a) Encuentre la media aritmética de los datos. b) Encuentre los valores de A, B, C, D y E. c) Qué porcentaje de los datos está entre 8 y? d) Encuentre el recorrido y el recorrido intercuartílico. 4. Para el conjunto de datos 5,5,6,6,7,7,7, 7,8,8,8,,,5,6 el diagrama de caja es: a) Encuentre el recorrido y el recorrido intercuartílico. b) Estime el número de estudiante que obtuvieron nota mayor a En una encuesta se consultó, En términos generales cuántos litros de gaseosas consume usted por semana? El siguiente diagrama de caja representa las respuestas. a) Encuentre el recorrido y el recorrido intercuartílico. b) La oficina de salud, intervendrá el 5% de los encuestados con mayor consumo. A partir de cuántos litros deberá intervenir? c) Supongamos que 8 personas consumen entre y litros. A cuántas personas se le realizó la encuesta? 7. En una muestra de 00 personas, respecto a la variable edad, el recorrido intercuartílico es 8, y 50 personas tienen menos de 8 años. a) Qué porcentaje representa esas 50 personas? b) Encuentre el primer cuartil. c) Encuentre el tercer cuartil. d) Cuántas personas tienen más de 46 años? 8. En una población de 50 personas de una empresa, respecto a la variable salario, el recorrido es , y el salario mínimo es La mediana es y el promedio a) Cuál es el salario de la persona que gana más? b) Qué porcentaje de las personas gana menos de ? a) Encuentre la moda. c) Compare el número de personas que ganan más del b) Encuentre los valores de A, B, C, D y E. promedio con el número de personas que ganan menos c) Qué porcentaje de los datos está entre 0 y 6? del promedio. Cuál es mayor y por qué? d) Encuentre el recorrido y el recorrido intercuartílico. La Paz Community School 7

174 Capítulo VI: Medidas de Variabilidad La desviación estándar es la medida de variabilidad más utilizada, y consiste en promediar, cuánto varían los datos del promedio. B. Variancia y Desviación Estándar Hemos trabajado previamente las medidas de tendencia central, como la mediana y el promedio de una serie de datos. Es importante ver por qué estas medidas no siempre son suficientes para entender la naturaleza de una cierta cantidad de datos y para esto retomamos el ejemplo. de la sección anterior. Teníamos dos grupos cuyas notas tenían el mismo promedio. De acuerdo con la observación de la variabilidad, es evidente que en uno de los grupos las notas están muy cercanas entre ellas, y cercanas al promedio, mientras que en el otro grupo las notas están más dispersas. Así, buscamos una medida para el grupo de datos que eprese: cuál es la variación promedio de los datos? Esto nos medirá la dispersión de los datos. Esta variación se debe tomar con respecto al promedio de los datos. Como variación entenderemos la diferencia respecto al promedio. Sin embargo, debido a que luego buscaremos un promedio de estos cálculos, nos interesa eliminar el efecto de cancelación que tendrían los signos, y para hacerlo elevamos al cuadrado esas variaciones. Para los grupos que datos que tenemos, ambos de promedio 70, calcularemos esta dispersión con la siguiente tabla, donde a cada dato se le resta el promedio 9A 9B Dato Variación del promedio Al cuadrado Dato Variación del promedio Al cuadrado SUMA PROMEDIO DEL CUADRADO DE LAS VARIACIONES 0,4* PROMEDIO DEL CUADRADO DE LAS VARIACIONES 5,4* Este resultado* es conocido como la variancia de la distribución de los datos. Como un dato más natural, tenemos la desviación estándar (o desviación típica) de los datos denotada con σ y es la raíz cuadrada de la variancia. Para 9A es σ 9A =, mientras que para 9B es σ 9B = 8, 04. Interpretamos el resultado de la siguiente manera: En 9A las notas varían en promedio, de 70, mientras que en 9B las notas varían en promedio 8,04 de 70 Evidentemente a mayor desviación estándar, se presenta que los datos están más dispersos. 7 La Paz Community School

175 Las medidas básicas de dispersión son la variancia y la desviación estándar, y se calculan con la siguientes fórmulas: VARIANCIA: DESVIACIÓN ESTÁNDAR: donde: n i= σ = n i= = ( ) i X n n ( ) i X i= σ, indica que debemos sumar los resultados, i es cada dato, X es el promedio de estos y n el número de datos. EJEMPLO 4. Calcule la desviación estándar para los siguientes datos, utilizando la tabla i SUMA VARIANCIA i n X ( X) i Capítulo VI: Medidas de Variabilidad La desviación estándar provee información importante en el análisis de datos, a continuación presentamos un resumen de algunos de los aspectos que podemos deducir a partir de esta: Cuando la desviación estándar es pequeña, indica que los datos están muy cercanos entre sí, mientras que si es grande indica que están muy dispersos. Esto obviamente depende además del promedio. En dos grupos de datos con la misma desviación estándar, el que tenga un menor promedio variará más relativamente. Muchas veces, al tener muchos datos algunos de ellos podrían no ser significantes, con esto nos referimos a datos que no representan para nada la situación de la mayoría de datos. Por ejemplo, al aplicar un eamen habrá estudiantes que no estudiaron nada, y sus notas son muy bajas, así como estudiantes que ya conocían la materia previamente, por lo que sus notas son muy altas. Estas, notas no representaría adecuadamente el rendimiento del grupo en la prueba. La desviación estándar permite hacer una discriminación al respecto, utilizando el siguiente principio: El intervalo de significancia de un grupo de datos a m desviaciones estándar de promedio es X m σ, X + m σ, donde σ es la desviación estándar, y X es el promedio de los datos. EJEMPLO 5. En un grupo de datos, la media es de 5, 5 y la desviación estándar es de 8,. Encuentre el intervalo de significancia a desviaciones estándar. DESVIACIÓN ESTÁNDAR La Paz Community School 7

176 Capítulo VI: Medidas de Variabilidad Soluciones B. EJEMPLO 4. Calcule la desviación estándar para los siguientes datos, utilizando la tabla Primero, calculamos el promedio de los datos: = 7 Ahora, a cada dato le calculamos la diferencia con el promedio, lo elevamos al cuadrado y sumamos los datos, completando la siguiente tabla: i i X ( ) i X n i 40 i= SUMA ( X) ( ) i X VARIANCIA DESVIACIÓN ESTÁNDAR σ = n i= = n n ( ) i X 70 i= σ 6,4 n EJEMPLO 5. En un grupo de datos, la media es de 5, 5 y la desviación estándar es de 8,. Encuentre el intervalo de significancia a desviaciones estándar. Al aplicar la fórmula, obtenemos: I = [ 5, 5 8,, 5, 5 8,] = [ 4,5,6] En este caso, podríamos interpretar que los datos fuera de este intervalo no son significantes La fórmula que hemos estudiado es conocida como la desviación estándar de la población y en general, es posible calcularla cuando conocemos todos los datos de la población, situación que no siempre sucede. Cuando tenemos, solamente una muestra de tamaño n es conveniente utilizar fórmula S n = n i= ( ) i X n conocida como la desviación estándar de la muestra. Entre más se acerque el tamaño de la muestra al tamaño de la población, es mejor la aproimación que da S n de σ. La mayoría de calculadoras científicas, tienen programada las fórmulas para calcular tanto como σ, y para simplificar cálculos, es conveniente eperimentar con ellas para la resolución de ejercicios. Recomendamos, resolver el ejercicio anterior para verificar la manera correcta de introducir los datos en la calculadora. De la misma manera, los paquetes de cómputo más utilizados para procesar datos tienen estas funciones programadas, en el caso de Microsoft Ecel 0, la función para la desviación estándar de la población es DESVEST.P, mientras que para la muestra es DESVEST.M. S n, 74 La Paz Community School

177 Ejercicio B. Resuelva los siguientes problemas:. En una distribución de datos, la variancia es 5 y el promedio 50. Encuentre el intervalo de significancia a desviaciones estándar.. Si el intervalo de significancia a tres dos desviaciones estándar de una distribución de 5 datos que suman 60 es [ 8, 40 ], encuentre la variancia.. En una distribución de datos, el recorrido es muy grande y la desviación estándar muy pequeña. Por qué podría suceder esto? 4. Qué significa que la desviación estándar de una serie de datos sea cero? 5. En la siguiente tabla, se muestran los datos correspondientes al peso en kilogramos (redondeando) de diez estudiantes. Nombre Peso Matías 4 Juan 4 Pedro 45 Eugenia 46 María José 48 Silvia 48 Jeimy 50 Ernesto 5 Adriana 55 Daniel 59 Marco 6 Luis 64 SUMA VARIANCIA DESVIACIÓN ESTÁNDAR i X ( X) a) Calcule con ayuda de la tabla, la desviación estándar. b) Se atenderá en la oficina de nutrición, los casos de estudiantes fuera de un intervalo de significancia de dos desviaciones estándar. Encuentre ese intervalo. c) Cuáles estudiantes serán atendidos por la oficina? i Capítulo VI: Medidas de Variabilidad 6. En la siguiente tabla, se muestra las notas finales de Matemática. Nombre Nota Enrique 64 Ronald 66 Amanda 68 Manuel 7 Gabriela 75 Karla 85 Humberto 90 Javier 94 Jorge 96 Juliana 98 Santiago 99 Kimberly 00 SUMA VARIANCIA i DESVIACIÓN ESTÁNDAR X ( X) a) Calcule con ayuda de la tabla, la desviación estándar. b) Humberto le dice a su mamá que su nota es muy alta, y que merece un premio por ello. Doña Laura, le pregunta que cómo es esta en relación al promedio. i Afirma además, que le dará el premio sólo si es mayor que una desviación estándar del promedio. Según este criterio se merece Humberto el premio? c) Cuántas notas están por debajo del promedio menos una desviación estándar? 7. En el grupo de datos A, el promedio es 5 y la desviación estándar es 5, mientras que el B tiene el mismo promedio y la desviación estándar es 4. Cuál de los dos grupos tiene más variación? 8. En el grupo de datos A, el promedio es 60 y la desviación estándar es 8, mientras que el B tiene la misma variación estándar pero el promedio es 55. Cuál de los dos grupos tiene más variación? La Paz Community School 75

178 Capítulo VI: Medidas de Variabilidad Calcular el coeficiente de variación y el proceso de estandarización son técnicas estadísticas que nos ayudan a comprarar datos de diferentes naturalezas. C. Coeficiente de Variación y Estandarización Una de las funciones primordiales de la Estadística es brindar herramientas que permitan comparar datos tomando en cuenta los factores que afectan los resultados. La idea de esta sección, es brindar conceptos cuya interpretación nos ayude en esa tarea. Por ejemplo, no es lo mismo una desviación estándar de 5,5 en series de datos con promedio 00, que la misma desviación en datos de promedio 000. En esta última, tendríamos una menor variación relativa que en la primera. El coeficiente de variación de un grupo de datos con promedio X y desviación estándar σ, dado como σ porcentajes es C V = 00%. X Entre más grande sea el coeficiente de variación, significa que los datos varían más entre ellos, independientemente de la magnitud de los datos. EJEMPLO 6. Utilice el coeficiente de variación para medir, cuál de los siguientes grupos de datos varía más entre sí? Grupo Grupo De la misma manera, cuando se consideran series de datos de diferente naturaleza (tomadas en diferentes momentos, o en diferentes lugares), los datos absolutos no necesariamente son el mejor parámetro para poder comparar. Podría ser útil una comparación relativa. Esa comparación se puede hacer con un proceso llamado estandarización y busca epresar en términos relativos la posición de un dato. El valor estandarizado z i de un dato i en un grupo de datos con promedio X y desviación estándar σ, es i X zi = σ Entre más cercano a 0 sea el valor estandarizado de un dato, significa que está más cercano al promedio. Esta medida es en particular útil para comparar series de datos distintas, pues al estandarizar podemos decir cuál dato está más cerca relativamente del promedio. En este punto es muy conveniente utilizar calculadoras o computadoras para hacer los cálculos, pues su interpretación es más importante. EJEMPLO 7. A continuación se presentan los datos de ligas diferentes de fútbol, respecto a goles anotados por partido Promedio de goles por Desviación estándar de partido en la liga goles por partido A,5, B,8 Utilice estandarización para comparar a un portero de la liga A, que tiene un promedio de, goles por partido, con otro de la liga B, que tiene un promedio de,5 goles por partido. EJEMPLO 8. Mariana juega básquet y Viviana baseball. En la tabla se muestran los porcentajes de aciertos que tuvieron en la semana (Mariana en tiros libres, mientras que Viviana en bateo) L M M J V S D Mariana 0,50 0,40 0,85 0,55 0,75 0,45 0,0 Viviana 0,5 0,4 0,8 0, 0,0 0, 0,5 Cuál de las dos es más constante en su deporte? Cuál de las dos tuvo un mejor día el viernes? 76 La Paz Community School

179 Capítulo VI: Medidas de Variabilidad Soluciones C. EJEMPLO 6. Utilice el coeficiente de variación para medir, cuál de los siguientes grupos de datos varía más entre sí? Debemos calcular el promedio, la desviación estándar y el coeficiente de variación: Promedio D.E. Grupo , 4,6 Grupo ,50 5,99 C V C V Coeficiente de Variación. σ 4,6 = 00% = 00% =,80% X 78, σ 5,99 = 00% = 00% =, 50% X 5,50 Con base en esto, el grupo de datos varía más entre sí. EJEMPLO 7. A continuación se presentan los datos de ligas diferentes de fútbol, respecto a goles anotados por partido Utilice estandarización para comparar a un portero de la liga A, que tiene un promedio de, goles por partido, con otro de la liga B, que tiene un promedio de,5 goles por partido. Se debe estandarizar los datos de cada portero: Promedio de goles por partido en la liga Desviación estándar de goles por partido Portero A,5,, z A Valor estandarizado A X,,5 = = = 0, 7 σ, B X B,8,5 zb = = 0, 77 σ En este caso, el coeficiente del portero de la liga A es mayor, lo que se puede interpretar como que el portero B ha tenido un mejor rendimiento relativo en su liga. Lo que sucede es que en esa liga, los promedios de goles anotados son más altos. EJEMPLO 8. Mariana juega básquet y Viviana baseball. En la tabla se muestran los porcentajes de aciertos que tuvieron en la semana (Mariana en tiros libres, mientras que Viviana en bateo) Calculamos los promedios, desviación estándar y coeficiente de variación. Luego, estandarizamos el dato del viernes. L M M J V S D Promedio D.E. C.V. Valor estandarizado del viernes Mariana 0,50 0,40 0,85 0,55 0,75 0,45 0,0 0,54 0,80 0,,50 Viviana 0,5 0,4 0,8 0, 0,0 0, 0,5 0,5 0,044 0,7,5 Cuál de las dos es más constante en su deporte? Como el coeficiente de variación de Viviana es menor, interpretamos que es más constante en su deporte. Cuál de las dos tuvo un mejor día el viernes? Mariana tuvo un mejor día el viernes, porque el valor estandarizado es mayor. La Paz Community School 77

180 Ejercicio C. Resuelva los siguientes problemas.. Para la serie de datos A, se tiene A= 5 / / σ A =, mientras que para la B: B= 54 / / σ B = 6. Calcule los coeficientes de variación y determine cuál serie varía más.. Para la serie de datos A, se tiene A= 40 / / σ A =,, mientras que para la B: B= 84 / / σ B = 0,75. Calcule los coeficientes de variación y determine cuál serie varía más.. Para la serie de datos A, se tiene A= 45 / / σ A = 4, y el dato A 4 = 0 mientras que para la B: B= 6 / / σ B =, 4, y el dato B 4 = 85. Calcule los valores estandarizados del cuarto dato en cada serie, y determine cuál es relativamente más alto. 4. Para la serie de datos A, se tiene A= 5 / / σ A = 6, y el dato A 8 = 05 mientras que para la B: B= 98 / / σ =. Y el dato B 8 = 05. Calcule los valores estandarizados del octavo dato en cada serie, y determine cuál es relativamente más alto. 5. Considere el grupo de datos 5, 0,, 4 y 9. a) Calcule el promedio, la desviación estándar y el coeficiente de variación de la serie. b) Para cada dato, encuentre el dato estandarizado en la siguiente tabla: i z i c) Calcule el promedio de los datos estandarizados. d) Calcule la desviación estándar de los datos estandarizados. 6. Considere el grupo de datos 7, 7, 0, 5, 0 y 5 a) Calcule el promedio, la desviación estándar y el coeficiente de variación de la serie. b) Para cada dato, encuentre el dato estandarizado en la siguiente tabla: i z i c) Calcule el promedio de los datos estandarizados. d) Calcule la desviación estándar de los datos estandarizados. B Capítulo VI: Medidas de Variabilidad 7. Con base en la pregunta c) de los ejercicios 5 y 6, qué puede conjeturar respecto al promedio de una serie de datos estandarizada? 8. Con base en la pregunta c) de los ejercicios 5 y 6, qué puede conjeturar respecto a la desviación estándar de una serie de datos estandarizada? 9. A continuación se muestran los datos de ventas de una empresa respecto a sus productos A y B, en los primeros meses del año: ENE FEB MAR ABR MAY JUN A B a) Cuál producto tiene mejores ventas en promedio? b) Cuál producto tiene más variación en el semestre? c) Cuál producto tiene mejores ventas relativamente en el mes de abril? 0. A continuación se muestran los datos de matrícula en dos colegios A y B, en los últimos años: A B a) Cuál colegio tiene mayor matrícula en promedio? b) Cuál colegio tiene mayor variación en su matrícula? c) Cuál colegio tuvo una mejor matrícula relativamente en el 05?. El valor estandarizado de un dato de valor 5 es 0,5, mientras que, en la misma serie el valor estandarizado de 8 es 0, 45. Encuentre la media aritmética, y la desviación estándar de la serie.. El valor estandarizado de un dato de valor 5 es,05, mientras que, en la misma serie el valor estandarizado de 00 es,. Encuentre la media aritmética, y la desviación estándar de la serie. 78 La Paz Community School

181 Capítulo VI: Medidas de Variabilidad AUTOEVALUACIÓN: Medidas de Variabilidad Diagramas de cajas ) Con respecto al grupo de datos 54,7,74,78,80,05, 0,5, se puede afirmar que el recorrido es: A) ,5 ) Respecto a la serie de datos de la pregunta, el recorrido intercuartílico: A) ,5 5) En un grupo de datos, se tiene que el máimo es 0, el recorrido es 7, el primer cuartil es 4, la mediana es 6 y el recorrido intercuartílico es 7. Entonces, su diagrama de caja corresponde a: A) ) Considere un grupo de datos con el siguiente diagrama de caja: Entonces, su recorrido es: A) ) Respecto a los datos de la pregunta anterior, el recorrido intercuartílico es: A) ) De acuerdo con los datos de la pregunta anterior, qué porcentaje de los datos varía entre 4 y 6? A) 5% 50% 75% 00% Variancia y Desviación estándar 7) En la serie de datos,5,0,4, 5 la desviación estándar corresponde a: A), 8,0 64,56 8,98 8) Si la variancia de un grupo de datos es 4 significa que: A) Los datos varían en promedio 4 de la media aritmética Los datos varían en promedio de la media aritmética Los datos varían en promedio 4 de la mediana Los datos varían en promedio de la mediana La Paz Community School 79

182 Capítulo VI: Medidas de Variabilidad 9) La variancia de un grupo de datos es 0, esto significa 80 con certeza que: A) El promedio de los datos es mayor que 6 La desviación estándar de lo los datos es mayor que 0 La desviación estándar de los datos es menor que 5 El promedio de los datos es menor que 0 Considere la siguiente tabla utilizada para calcular la variancia de tres datos 4,0 y C, y con base en ella conteste las preguntas 0-. Dato i i X ( ) i X 4-9 B 0 A 9 C 44 SUMA 4 VARIANCIA 78 0) La media aritmética de los datos es: A) 78 8,8 4 ) Los valores de A y B respectivamente son: A) A=, B=8 A=-, B=8 A=, B=-8 A=, B=-8 ) La desviación estándar de los datos es: A) 78 8,8 4 ) El valor de C corresponde a: A) - 5 La Paz Community School Coeficiente de variación y estandarización 4) En una serie con 5 datos que suman 480 y con variancia 5, el coeficiente de variación es: A) 0,05 0,6 0,78,67 5) El coeficiente de variación de una serie con media aritmética es,5. Esto significa con certeza que: A) La mediana de los datos es 8 La variancia de los datos es 4 El recorrido intercuartílico es 8 El recorrido es 6 6) En una serie datos de promedio 4 y variancia 9, el valor estandarizado del dato 8 corresponde a: A) 0, 67 0,67 Considere las siguientes series de datos, y con base en ella conteste las preguntas 7 y 8. A B ) Analice las siguientes afirmaciones: I. La serie de datos A presenta más variación que la B II. La serie de datos A tiene un recorrido mayor que la B De ellas, podemos afirmar que son verdaderas: A) Solo I Solo II Ambas Ninguna 8) Analice las siguientes afirmaciones: I. El tercer dato de la serie A es relativamente más alto que el tercer dato de la B II. El quinto dato de la serie A es relativamente más bajo que el quinto dato la B De ellas, podemos afirmar que son verdaderas: A) Solo I Solo II Ambas Ninguna

183 Capítulo VI: Medidas de Variabilidad II PARTE: Resuelva los siguientes problemas.. (PESCA) Victoria y Marco son dos pescadores en una zona de Guanacaste. Victoria pesca truchas y Marco pargo rojo. A continuación se muestra la información de la longitud en cm de once pescados que cada uno sacó del mar la semana pasada: Marco Victoria a) Encuentre el recorrido, y el recorrido intercuartílico de cada serie de datos. b) Elabore diagramas de caja para cada serie de datos. c) Encuentre la media aritmética, la desviación estándar y el coeficiente de variación de cada dato. d) Cuál de ellos presenta más variación? e) Relativamente, cuál pescado es más pequeño una trucha de 8 o un pargo rojo de 50?. (ELECCIONES) Dos partidos políticos tienen las siguientes cantidades absolutas (en miles de votos) para las elecciones de Presidente y Diputados. Partido San José Alajuela Cartago Heredia Guanacaste Puntarenas Limón A B a) Encuentre el recorrido, y el recorrido intercuartílico de cada serie de datos. b) Elabore diagramas de caja para cada serie de datos. c) Encuentre la media aritmética, la desviación estándar y el coeficiente de variación de cada serie. d) Cuál de ellos presenta más variación? e) Respecto a su propio resultado, quién tuvo un mejor número de votos en Guanacaste?. (CONCIERTOS) Una productora de eventos realiza dos conciertos por mes de enero a agosto, uno es de Rock, y otro de pop. A continuación se muestra los datos de ventas de entradas clasificados: Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Rock Pop a) Encuentre el recorrido, y el recorrido intercuartílico de cada serie de datos. b) Elabore diagramas de caja para cada serie de datos. c) Encuentre la media aritmética, la desviación estándar y el coeficiente de variación de cada dato. d) Cuál de los tipos de música presenta más variación? e) El gerente afirma que en Julio, el concierto de Rock tuvo relativamente mayor éito en su género que el concierto de pop. Es esta afirmación correcta? 4. Encuentre dos series de datos A y B con las siguientes características. Ambas tienen 7 datos, y el mismo promedio 0. La serie A tiene mayor variación que la serie B. La serie B tiene un mayor recorrido, y un menor recorrido intercuartílico que la serie A. El tercer dato es relativamente más grande en la serie A que en la serie B. La Paz Community School 8

184 Capítulo VI: Medidas de Variabilidad III PARTE: El gráfico de frecuencia absoluta acumulada adjunto muestra la altura de 0 estudiantes en una escuela. Utilizando el gráfico encuentre:. Cuánto mide el estudiante más alto?. Cuánto mide el estudiante más bajo?. Entre cuales valores, varían las alturas de los niños? 4. Cuál es la mayor diferencia posible de altura entre dos estudiantes? 5. La mediana 6. El 60% de los estudiantes miden más de cm. Encuentre. Se escogerá a una mitad de los estudiantes cuya altura sea lo más cercana a la mediana, pues la dirección necesita hacer el rango de las posibles alturas lo más pequeño posible. Para esto se necesita saber entre cuáles valores está la altura del 50% central de los datos. Es decir, ecluir el 5% más alto y el 5% más bajo. 7. Cuál sería ese rango? IV PARTE: Sofía y Laura trabajan en una empresa de bienes raíces. La siguiente tabla se muestra la cantidad de casas vendidas por mes de cada una. Sofía vende apartamentos en la playa, y de Laura en la ciudad, por lo que las comisiones son diferentes. Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Set Oct Nov Dic Sofía Laura Cuál es el promedio de apartamentos vendidos por cada una?. Cuál de ellas tiene más variación en las ventas? Por qué? Cómo lo mide?. Cuál de ellas tuvo un mejor mes en Febrero relativamente a sus ventas anuales? Por qué? Cómo lo mide? 8 La Paz Community School

185 CAPITULO VII: Probabilidad Capítulo VII: Probabilidad Este capítulo se divide en dos partes, en la primera repasamos los conceptos básicos de probabilidad que necesitaremos para la segunda. A. Repaso de probabilidad Aleatoriedad y espacio muestral Una situación (o eperimento) en la que eisten diferentes posibles resultados, es una situación donde hay aleatoriedad. Por otro lado, si podemos establecer con certeza lo que va a pasar hay determinismo. Por ejemplo, al lanzar una moneda, escoger un número al azar, o bien lanzar un dado, hay aleatoriedad. Al sumar 4+ 6, hay determinismo. Cada uno de los posibles resultados de un eperimento recibe el nombre de punto muestral y el conjunto de todos los puntos muestrales posibles, es conocido como espacio muestral. Cuando consideramos algunos puntos muestrales tendremos un evento. Es decir, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Un espacio muestral U es el conjunto de posibles resultados de un eperimento, y cada uno de estos resultados es un punto muestral. subconjunto de U. Definición Laplaciana de probabilidad Un evento es un En primera instancia supondremos que todos los puntos muestrales son equiprobables, es decir, que ninguno tiene más oportunidades que otro. De esta manera, definiremos la probabilidad de un evento como la razón entre el número de observaciones favorables, y el número de observaciones totales: La probabilidad de un evento A es el resultado de dividir el número de puntos muestrales favorables n( A ) por el número de total de puntos muestrales en el espacio muestral n( U ) : P( A) Con base en esa definición, tenemos que: ( ) ( ) n A = n U A cada evento se le asigna un número P( A ) tal que ( ) 0 P A y que mide cuán probable es que suceda. Si P( A ) = 0 decimos que el evento A es imposible y no sucederá. Si P( A ) = decimos que el evento A es seguro y en cualquier caso sucederá. La probabilidad de que A no ocurra es P( A). Muestras aleatorias A la hora de escoger una muestra de una población, esta se llama aleatoria si cumple la siguiente condición: Una muestra es aleatoria si cualquier individuo en la población tiene alguna probabilidad de ser escogido en la muestra. Por ejemplo, una encuesta aleatoria para las elecciones, quiere decir que todos los posibles votantes tienen alguna probabilidad de ser escogidos La Paz Community School 8

186 para ser encuestados, y no es el caso de que se les preguntará a ciertas personas escogidas en particular. Capítulo VII: Probabilidad escudo se parecerá mucho a la frecuencia en que salió corona. Esto es generalizable. Así, es importante saber cuándo una muestra se escoge realmente de una manera aleatoria, pues es una de las características necesarias para que una encuesta tenga resultados confiables. Probabilidad frecuencial Una de las características más importante de la probabilidad es que nos da una idea de qué pasaría que podría pasar si repetimos un eperimento MUCHAS veces. Las frecuencias relativas de un evento son aproimaciones de la probabilidad y en medida de que repitamos el eperimento más veces estaremos más cerca del valor eacto de la probabilidad. Esto es un teorema, y lo podemos sintetizar de la siguiente manera: Ley de los grandes números Cuando el eperimento se repite un gran número de veces, las frecuencias relativas de la aparición de un evento aproiman cada vez mejor su probabilidad. Por ejemplo, si lanzamos una moneda cinco veces, obtendremos, sin duda, una cantidad diferente de escudos que de coronas. Incluso, la relación podría ser 5-0 o 4- (bastante diferentes) Sin embargo, si realizamos el eperimento de lanzar la moneda unas 000 veces, la frecuencia en que salió Los valores que se ven obteniendo son llamados probabilidad frecuencial, mientras que el valor teórico al que se acercan es la probabilidad clásica o probabilidad Laplaciana, pues fue el matemático Pierre Simon Laplace quien formalizó por primera vez en 89 los conceptos conocidos previamente. Ejercicios de repaso probabilidad Ejercicio A. Selección única. ) En cuál de las siguientes situaciones hay aleatoriedad? A) El tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia de 00km, si viaja a una velocidad constante de 40 km h. La distancia que recorre un automóvil en un tiempo de 4 horas, si viaja a una velocidad constante de 40 km h. El número de divisores de un número primo. El número de divisores de un número compuesto. ) En cuál de las siguientes situaciones hay determinismo: A) El número de divisores de un entero. El número de estudiantes que hay en un colegio. El número de días que hacen falta hoy para Navidad. El número de protones que tiene un átomo. ) Un espacio muestral está formado por las letras { O, X, C, I, E, Z} U =. Cuántos puntos muestrales tiene el evento: La letra es vocal A) 4 84 La Paz Community School

187 4) Se lanza una moneda al aire tres veces, y se anota el resultado cada vez. El número de puntos muestrales que se asocian a este eperimento es: A) Con base en la siguiente información conteste las preguntas 5-8 Juan tiene cuatro camisas verdes, dos negras y tres azules. Además, tiene tres gorras negras, cuatro rojas y dos verdes. Escogerá al azar un camisa y una gorra. 5) El número de puntos muestrales que tiene el espacio muestral es: A) ) Considere el evento: Tanto la gorra como la camisa son verdes La probabilidad de este evento es: A) ) Considere el evento: La gorra y la camisa son del mismo color La probabilidad de este evento es: A) ) Un evento imposible corresponde a: A) La camisa es azul y la gorra verde La camisa es roja y la gorra negra Capítulo VII: Probabilidad La gorra tiene un color diferente a la camisa El número de prendas que escogió es par 9) Se lanza un dado y se anota el resultado. Cuál de los siguientes eventos es seguro? A) El número es mayor que. El número es un divisor de 4. El número es mayor que 7 El número es divisor de 60. 0) Juan utiliza dos colores de medias nada más: Azules y blancas. Tiene 0 pares de medias azul, y 4 pares de medias blancas todas en un solo cajón. Saca una y esta es blanca. Cuál es la probabilidad de que al sacar otra media al azar también sea blanca? A) ) La probabilidad de un evento es probabilidad de que no ocurra el evento? A) Cuál es la La Paz Community School 85

188 ) Juan compra lotería todos los domingos y siempre el mismo número con la misma serie. El evento: Juan se ganó la lotería todos los domingos del año, se clasifica como: A) Imposible Seguro Posible Equiprobable Con base en la siguiente información conteste las preguntas -5. En una clase del colegio hay 0 varones y la probabilidad de escoger un varón al azar entre los estudiante de la clase es ) Si se escoge un estudiante al azar, cuál es la probabilidad de que sea mujer? Capítulo VII: Probabilidad 6) Considere las siguientes situaciones: I. Para verificar la calidad de los productos que vende una empresa se escoger algunos al azar de los que se venden en el supermercado A. II. Para escoger quién irá a hablar con el director sobre un permiso, los estudiantes de la sección 0A, escogen un número al azar del al n, donde n es el número de estudiantes. El número que salga, se compara con la lista de clase, y ese será el estudiante que irá a hablar. De ellas, se hace uso de muestra aleatoria, A) Solo en I Solo en II En ambas En ninguna A) ) Una moneda se lanzó 84 veces, y de ellas 88 salieron escudo. La probabilidad frecuencial de obtener corona en esos eperimentos es: A) 4) Cuántos estudiantes hay en la clase? A) ) En el pronóstico del tiempo dieron el siguiente reporte: 5) Se sabe que hay 8 varones y 9 mujeres que gustan de jugar videojuegos Se escoge un estudiante al azar. Cuál es la probabilidad de que sea una mujer y no guste de jugar videojuegos? El evento A : hoy nevará, es imposible, el evento B : la mañana de hoy será soleada, es seguro y el evento el C : hoy lloverá, es posible. A) Con certeza se cumple que: A) P( P( P( A ) > 0 P( B ) < P( A) P( P( 86 La Paz Community School

189 Capítulo VII: Probabilidad Eiste una estrecha relación entre los conceptos básicos de conjuntos como complemento, intersección y unión, y eventos compuestos en un espacio muestral. B. Eventos compuestos Hemos trabajado con eventos simples, pero los eventos también pueden definirse en términos de otros eventos. Recordemos que un evento es un subconjunto del espacio muestral, y por lo tanto, podemos establecer relaciones como lo hacemos con los conjuntos. Estudiaremos la probabilidad de los tres casos más sencillos, heredados de la teoría de conjuntos: unión, intersección, y complemento, y por supuesto, los diagramas de Venn son de mucha utilidad para comprenderlos mejor. Probabilidad de eventos complementarios Recordemos que los conjuntos están siempre dentro un conjunto más grande llamado universo U. En el caso de los problemas de probabilidad es el espacio muestral. Así, tenemos bien definidos los conjuntos complementarios. Entonces, si que c A significa U y A. Esto nos lleva a que eisten eventos complementarios. En resumen: Sea A un evento. El complemento de A, denotado, c A es el evento: no sucede A y se cumple que c ( ) = P( A) P A Notemos que un evento y su complemento no pueden ocurrir al mismo tiempo, y en cada punto muestral es favorable alguno de ellos. La probabilidad de la intersección de eventos Aclaramos qué significa en términos de conjuntos la conjunción y : decimos que A y B, cuando A B, pues esta es la definición de intersección de conjuntos. En términos de eventos, el evento A B se define como sucede A y sucede B. La intersección de los eventos A y B es el evento definido por: sucede A y sucede B. Se denota A B y denotamos su probabilidad P( A. Si A representa el evento: el estudiante escogido tiene los ojos azules, el evento c A (llamado el complemento de A ) sería: el estudiante escogido no tiene los ojos azules. Es claro que si el espacio muestral tiene N puntos, y A es favorable en m, entonces, c A es favorable en N m, lo que nos lleva c N m m N N a que: P( A ) = = = P( A) Es posible el caso en que A B=φ. Si eso sucede decimos entonces, que A y B son disjuntos como conjuntos, y mutuamente ecluyentes como eventos, y esto significa que si sucede uno, no puede suceder el otro. La Paz Community School 87

190 La probabilidad de la unión de eventos EJEMPLO. Capítulo VII: Probabilidad Demuestre que si dos eventos C y Por último, tenemos la disyunción o. Acá, tenemos que A o B, cuando A B pues esta es la definición de unión de conjuntos. El evento A B se define como sucede A o sucede B. Si tenemos un punto muestral que cumple las dos condiciones, debe ser contado en el evento unión, básicamente se deduce, en términos de conjuntos de que ( A ( A. Dados dos eventos, la unión de los eventos sucede cuando sucede alguno de ellos, y denotamos su probabilidad P( A. D son mutuamente ecluyentes, entonces, ( ) = ( ) + ( ) P C D P C P D EJEMPLO. Demuestre que: ( C ) = ( ) ( ) P A B P A P A B C EJEMPLO. Suponga que P( A B ) = 0, P( B A C ) = 0, y P( A = 0, P( A ) y ( ) P B. =,. Calcule EJEMPLO 4. En una empresa que se dedica a la elaboración y envase de refrescos, se han identificado dos defectos básicos en la producción: Las botellas están defectuosas, y la cantidad de refrescos no es adecuada. Se analizará una muestra con 00 productos. Sea A el evento: La botella es defectuosa Sea B el evento: La cantidad de refresco es adecuada. Eiste una fórmula de suma importancia que relaciona los eventos de la unión y la intersección. En un diagrama de Venn es fácil notar que si sumamos P( A) P( ( +, entonces, obtenemos P A pero traslapamos dos veces la región correspondiente a P( A. Es decir, si a P( A) + P( le restamos P( A obtenemos la probabilidad de la unión: Dados dos eventos, se cumple la siguiente propiedad para eventos compuestos: Escriba en términos de los eventos A y B las siguientes situaciones: a) La botella está correctamente elaborada b) La cantidad de refresco no es adecuada c) La botella es defectuosa ó tiene la cantidad de refresco adecuada d) El producto tiene los dos defectos e) El producto tiene algún defecto f) El producto tiene eactamente un defecto g) El producto no tiene defectos Suponga que P( A ) = 0,, P( B ) = 0,8 ( = 0,05 P A = Encuentre la probabilidad de cada uno de los eventos anteriores. y P( A = P( A) + P( P( A. 88 La Paz Community School Con base en la información, cuántos productos esperaría que tuvieran algún defecto?

191 Capítulo VII: Probabilidad Soluciones B. EJEMPLO : Demuestre que si dos eventos C y D son mutuamente ecluyentes, entonces, ( ) = ( ) + ( ) P C D P C P D Si los eventos son mutuamente ecluyentes, entonces, ( 0 P C =. Al sustituir esto en la fórmula P( C = P( + P( P( C obtenemos el resultado. C EJEMPLO : Suponga que P( A B ) = 0, C P( B A ) = 0, y P( A = 0,. Calcule P( A ) y P( B ). =, Una manera sencilla de resolver este problema es descomponer conjuntos disjuntos un diagrama de Venn, señalando sus probabilidades en las regiones correspondientes: EJEMPLO : Demuestre que: ( C ) = ( ) ( ) P A B P A P A B Los eventos A C B y A ecluyentes debido a que si C ( ) ( ) A B A B B B son mutuamente C y B no puede suceder., lo cual C Además, ( ) ( ) A B A B = A, entonces, aplicando la fórmula del ejemplo, tenemos: C C ( ) ( ) = ( ) + ( ) P A B A B P A B P A B C ( ) ( ) ( ) P A = P A B + P A B C ( ) ( ) ( ) P A B = P A P A B El evento A disjuntos A C B y A P( A ) = 0, + 0,= 0,. se descompone en dos eventos B, por lo que Similarmente, P( B ) = 0,+ 0,= 0, 4. Note como el diagrama de Venn aclara la fórmula La Paz Community School 89

192 Capítulo VII: Probabilidad EJEMPLO 4: Situación Evento Probabilidad a) La botella está correctamente elaborada C b) La cantidad de refresco no es adecuada C C A P( A ) P( A) C B P( B ) P( = = 0,= 0,9 = = 0,8= 0, c) La botella es defectuosa o tiene la cantidad de refresco adecuada A B Usamos la fórmula vista: P( A = P( A) + P( P( A = 0,+ 0,8 0, 05= 0,85 A B d) El producto tiene los dos defectos C e) El producto tiene algún defecto A B C Aplicando el resultado del ejemplo : ( C ) = ( ) ( ) = 0, 0,05= 0,05 P A B P A P A B ( C ) = ( ) + ( C ) ( C ) P A B P A P B P A B P A B = + = C Entonces, ( ) 0, 0, 0, 05 0, 5 f) El producto tiene eactamente un defecto g) El producto no tiene defectos C ( A B ) C ( A B ) C A B o C ( A B ) C C C ( ) ( ) = 0, 5 0,05= 0, P A B P A B C C C ( ) ( ) P A B = P A B = 0,5= 0,75 Una vez más, un diagrama de Venn es útil. Si la probabilidad de que tenga algún defecto es 0, 5, entonces, en 00 productos es esperable que 75 tengan algún defecto. Sin embargo, esto no necesariamente sucede así, pues como se ha discutido el valor de 0, 5 es teórico. Lo que sí sucede es que entre más productos se prueben la frecuencia del suceso más se acercará hacia ese valor. Un último comentario: La igualdad ( ) C C C Esta y ( ) C C C 90 La Paz Community School A B = A B similar a la vista en el último ejemplo es siempre válida. A B = A B son conocidas como Leyes de De Morgan.

193 Ejercicio B. I PARTE: Demuestre las siguientes proposiciones: C. Use diagramas de Venn para verificar ( A ) C. Use diagramas de Venn para verificar ( ) C A B= B A B. P( A A C ) = 0 4. P( A A C ) = = A 5. P( A = P( A) + P( P( A Capítulo VII: Probabilidad 6. P( A C B C ) = P( A) P( P( A C B C ) C 7. P ( A = + P( A P( A) P( 8. El universo se divide en tres partes A, B, C. Las parejas de eventos Ay B, B yc y C y A son todas mutuamente ecluyentes. Pruebe que P( = P( A) P( II PARTE: Resuelva los siguientes problemas.. Suponga que P( A ) = 0,, P( B ) = 0,4 y ( 0, P A =. Encuentre: 4. En un reporte de la policía de tránsito se evaluaron 00 accidentes de tránsito. Se sabe que en 5 de ellos el conductor al que se le practicó la alcoholemia y la pasó fue culpable del accidente. C a) P( A ) b) P( A C e) P( A B ) C f) P( A Sea A el evento: El conductor no pasó la alcoholemia Sea B el evento: El conductor es culpable del accidente a) Escriba en palabras el evento A B C C c) P( B ) C d) P( A B ) C g) P( A h) ( C C P A B ). Considere los eventos A y B, tales que 5 4 C ( ), P( B ) P A a) P( B ) = = y P( A 7 =. Encuentre: 8 C c) P( A B ) b) Escriba en palabras el evento A B C c) Calcule P( A Suponga que P( A ) = 0,7 y P( B ) = 0,48 d) Calcule P( A 5. El color de ojos de 97 estudiantes se resume en la siguiente tabla b) P( A C d) P( A B ) Café Azul Verdes Hombres 6 9. En un restaurante se venden entradas de ceviche y ensalada. Sea C el evento: Un cliente escoge ceviche. Sea E el evento: Un cliente escoge ensalada. Sea N el evento: Un cliente no escoge ni ceviche ni ensalada En el restaurante, se cumple P( C ) = 0,, P( E ) = 0,6 y P( N ) = 0,7. Mujeres 9 9 Un estudiante será escogido al azar. a) Encuente la probabilidad de que el estudiante sea hombre. b) Encuente la probabilidad de que el estudiante tenga ojos verdes o sea hombre. Ahora, se escogerá una mujer al azar. P E a) Pruebe que ( ) = 0, 09 C b) Calcule P( E C c) Encuentre la probabilidad de que tenga ojos azules d) Encuentre la probabilidad de que no tenga ojos café La Paz Community School 9

194 6. Se lanzan dos dados justos de seis caras, uno es rojo y el otro negro. Sean E y F los eventos: E : El mismo número sale en cada dado. F : La suma de los números que salen es 0. Encuentre: a) P( E ) b) P( F ) c) P( E F) Capítulo VII: Probabilidad 0. Para organizar una fiesta para 60 personas se les preguntó a los invitados, cuál bebida prefiere entre té, café y chocolate? Se sabe que La probabilidad de escoger una mujer entre los invitados es 5 Doce varones prefieren café. Ocho mujeres prefieren chocolate. Dieciocho varones prefieren chocolate. Entre las personas que prefieren té, la probabilidad de ser 7. Dos eventos A y B mutuamente ecluyentes son tales que P( = P( A) y P( A = 0,68. Encuentre P( A ) y P( B ). 8. Dos eventos A y B mutuamente ecluyentes son tales P B P A P A B = y. Encuentre que ( ) = ( ) + 0, y ( ) 0,85 P( A ) y P( B ). 9. En una bolsa hay bolas de tres colores y se sabe que: hay bolas negras, y el número de bolas rojas es uno más que el doble del número de bolas azules. La probabilidad de mujer es 4 a) Cuántas mujeres y cuántos varones están invitados? b) Cuántos varones prefieren té? c) Cuántas mujeres prefieren té? d) Cuál es la probabilidad de que si se escoge una mujer al azar esta prefiera café? e) Cuál es la probabilidad de que al escoger uno de los invitados al azar, este no tome chocolate? f) Cuál es la probabilidad de que al escoger uno de los invitados al azar, este sea un varón o tome café? escoger una bola roja al azar es 9 5. a) Sea el número de bolas azules. Eprese en términos de la probabilidad de sacar una bola roja al azar. Encuentre el valor de. b) Cuál es la probabilidad de escoger una bola negra al azar? c) Cuántas bolas rojas y negras se deben echar en la bolsa para que todos los colores tengan la misma probabilidad de ser escogidos al sacar una bola al azar?. En una caja se tienen seis bolas blancas y cinco bolas negras. Se escogerán al azar dos bolas (tomadas al mismo tiempo). a) Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas? b) Cuál es la probabilidad de que las bolas sean de diferente color?. Se lanzan tres monedas y un dado. Encuentre la probabilidad de que el número que sale en el dado es el número de veces que salió escudo. 9 La Paz Community School

195 AUTOEVALUACIÓN Probabilidad Capítulo VII: Probabilidad I PARTE: Selección única. C P A = entonces, ( ) ) Si ( ) 0, 6 A) 0 0,4 0,6 P A = ) Se escoge al azar un número natural entre y 00 (ambos inclusive) y se considera el evento: A : el número es primo Entonces, el evento A) El número es compuesto El número es par El número no es primo A) y son válidas. C A corresponde a : ) Considere los números del 7 al (ambos inclusive). Se escogerá de ellos uno al azar. Sea A el evento: el número es primo y B el evento: el número es par. Entonces, el evento A B corresponde a: A) El número no es 9 El número es impar y primo El número es 7 El evento vacío 4) Dos eventos son mutuamente ecluyentes si A) Sus probabilidades son iguales Sus probabilidades suman uno Su unión es un evento seguro Su intersección es un evento imposible 5) En una clase hay 5 hombres y mujeres. Se sabe que hay 0 aficionados(as) al fútbol de las cuales 8 son mujeres. Se escoge un estudiante al azar. La probabilidad de que sea mujer o aficionado(a) al fútbol es: A) ) Si P( A = 0,, P( A ) = 0, 45 y ( ) 0, 6 Entonces, P( A A),05 0,85 0, 05,5 = P B =. 7) Los eventos A y B están en el universo U y cumplen las siguientes igualdades P( A = 0, 8, ( ) 0, P( B ) = 0,5. Entonces, se cumple con certeza que: A) A es el complemento de B B A A y B son mutuamente ecluyentes A B= U P A = y 8) Dados dos eventos A y B, con certeza se cumple que: A) P( A = P( A) + P( P( A = P( A C ) + P( P( A P( A C P( A = P( A) + P( 9) Considere un grupo de bolas de billar, cada una tiene un color y un número entero positivo escrito en ella. Sea A el evento la bola tiene un número par y B el evento: la bola no es roja. Entonces, el evento A) La bola es roja y tiene un número par La bola es roja o tiene un número par A C B corresponde a: La bola no es roja y tiene un número par La bola no es roja o tiene un número par 0 7 La Paz Community School 9

196 0) En la gaveta de la cocina hay cuchillos, tenedores y cucharas. Algunos tienen un mango negro, y los demás tienen un mango verde. Sea A el evento es un cuchillo con mango verde y B el evento: el mango no es negro y C el evento: es un cuchillo. Entonces, se cumple con certeza que: A) A= B C A= B C C A= B C C A= B C Capítulo VII: Probabilidad ) Marianela escoge bebidas entre refresco, té y café para tomar en las tardes de la siguiente manera: La probabilidad de que tome té es 0%, de que tome café es 55% y de que tome ambas es 8%. Entonces, A) La probabilidad de que tome refresco es 7% La probabilidad de que tome café y no té es 55% La probabilidad de que tome refresco es % La probabilidad de que tome café o té es 77% ) Suponga que siempre que siempre que sucede el evento A también sucede el evento B. Una proposición falsa es: A) A B P( A) P( A B= A A B= A II PARTE: Considere los números del uno al veinte (ambos inclusive), y se escogerá un número de ellos al azar: Considere, además, los eventos: A : El número es múltiplo de 4 B : El número es múltiplo de 5. C : El número es múltiplo de.. Utilice el siguiente diagrama de Venn, para representar el espacio muestral, los tres eventos, y sus respectivas intersecciones.. Encuentre P( A ), P( B ) y P( C ). c c c. Encuentre P( A ), P( B ) y ( ) P C. 4. Encuentre P( A, P( B y P( C A). 5. Encuentre P( A, P( B y P( C A). III PARTE: Entre los estudiantes que entraron a la carrera de Matemática este año en la universidad, tres quintas partes vienen de un colegio público (evento A ) y el resto de un colegio privado ( c A ). El 5% había llevado en el colegio un curso de Cálculo (evento B ). Al escoger un estudiante de nuevo ingreso al azar en la carrera de matemática. Suponga que los eventos satisfacen P( A = P( A) P(.. Encuentre P( A y P( A.. Los eventos A y B son mutuamente ecluyentes?. Calcule la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar este venga de un colegio privado y haya llevado un curso de cálculo en el colegio. 94 La Paz Community School

197 UNIDAD I. GEOMETRIA / CAPITULO I: Ley de Senos y Cosenos Respuestas Ejercicio A. sen8 0,79. sen44 0,59 cos5 0, 57. φ, 79.,05 4. δ 58, 8 5. β 54,8 6. α 66, α 6,89 / α 7, 8. α,86 / α 56,4 9. α = 5 / α = sen0 =, sen5 =. cos0 =, cos5 =. tan,48. No eiste tal ángulo , No eiste tal ángulo Ejercicio B.., 65., , , 67 / 6,, 8 y 7, , 6 / 5, , No hay solución 0. No hay solución Ejercicio C.. 8,. 0, 47., , 46 5., , , 8 8. = 9, 90 Ejercicio D. I PARTE. 7, 98. No hay solución. 4, No hay solución 5. 47, , 9 7. No hay solución 8. 9, 65 II PARTE m B 66, 70 / m B, 40.. m C 78,0 / m C, 60 AB 4, 68 / AB,84 m F = 70 FD= 0 FE,68. No hay solución 4. No hay solución m L, 47 m K 5, 5 LK 6,84 m B 5,07 m A 94,9 BC 0, 40 m C = 0 AB 7,98 BC 5,7 α 47,6 β 5,9 9,65 III PARTE. m ACD 05, AC = CD 0, BC = ,59 y, 4 7. romboide P 65, 5 8., 6 9. P, 0., 76. 5,9m Ejercicio E. I PARTE:. A 9, 74. A, 6. A 9, 8 4. A 80, 5 II PARTE:. A= 60. A= 75. A= A= 6 III PARTE:. A 84,. ( ABC 70,57. ( ABCD ) = A 4, A 6, A 44, ( AB ( ) ABC = ) D ) B ) B 4) B 5) D 6) A 7) B 8) C 9) A 0) D ) A ) D AUTOEVALUACIÓN Ley de Senos y Cosenos ) B 9) D 4) A 0) A 5) D ) A 6) B ) C 7) C ) C 8) D 4) A 5) A 6) B 7) B 8) D La Paz Community School 95

198 CAPITULO II: Circunferencia Trigonométrica Respuestas Ejercicio A.. Sí, negativo. No. Sí, negativo 4. Sí positivo 5. No 6. No 7. Sí, positivo 8. Sí, negativo Ejercicio A.4. positivo. y negativo. I 4. II 5. II 6. y negativo 7. y negativo 8. I 9. negativo 0. II. IV. positivo. negativo 4. y positivo 5. y positivo 6. II 7. II 8. III 9. III 0. IV. II. IV. II 4. III 5. I Ejercicio A.5 I PARTE. Sí. No. Sí 4. No 5. No 6. Sí 7. Sí 8. No 9. No 0. No. No. Sí II PARTE 7., 5 5., , , , 6. 00, α+, α 8. β+ 4 β+, 9. α 6, α 8 0. β 8 β, 0 Ejercicio A.6 I PARTE II PARTE θ 4. 5 θ III PARTE., α= 6 6., α= 5., α= , α= 6 6 Ejercicio B.. senα= cosα= senα= cosα= 7. senα= cosα= 7 4. senα= 5 cosα= 5 Ejercicio B. 5. cosα= 5 5 senα= 5 5. cosα= 4 senα= 4 9. cosα= 4 40 senα= 4 4. cos( α 4 ) = 5. sen = 4 6. senα=, 5 4 cosα=, 5 tanα=, 4 4 cotα=, 5 secα=, 4 5 cscα= 4 7. secα= 4 8. cscα= 9. senβ= b cosβ= a tanβ= b a cotβ= a b secα= a cscα= b Ejercicio B. I PARTE Indefinido Indefinido 0... cos = 4 AUTOEVALUACIÓN: Circunferencia Trigonométrica ) D 8) C 5) D ) C 9) D 6) D 4) A 50) D 57) C 64) A ) D 9) B 6) A ) C 0) D 7) C 44) B 5) D 58) D 65) D ) D 0) D 7) B 4) B ) C 8) C 45) B 5) A 59) B 66) A 4) D ) B 8) C 5) C ) D 9) D 46) B 5) B 60) D 67) A 5) B ) A 9) A 6) A ) B 40) D 47) C 54) D 6) A 6) B ) B 0) D 7) A 4) B 4) B 48) A 55) D 6) D 7) D 4) C ) D 8) B 5) B 4) A 49) C 56) A 6) A 96 La Paz Community School

199 CAPITULO III: Identidades trigonométricas Respuestas Ejercicio A. I PARTE: ) A ) C ) B 4) D 5) D 6) D 7) A 8) A II PARTE:. cos. tan. sen cos 4. cot sen 5. sen sen 8. tan 9. tanθ 0. csc. csc. cos. csc 4. sen cos 5. cos 6. Ejercicio B. I PARTE: ) A ) B ) B 4) C 5) D 6) C II PARTE:. sec. csc. cos sen cos tan 9. cos III PARTE. cos 6+ ( ) = sec = sec cos (ángulos coterminales) sec = sec (identidad recípro ca). sec( + ) = csc sec = csc (ángulos coterminales) csc = csc (ángulos complementarios). sen sen ( + ) = ( ) ( +) ( + ) sen sen sen( +) sen( +) = ; ángulos coterminales simplificando = ; = 4. 7 sec cos = 7 sec 4 cos = (ángulos coterminales) 7 7 sec a cos = 7 cos 7 = cos (identidades recíprocas) Ejercicio C. I PARTE: ) D ) B ) D 4) C 5) A 6) B II PARTE. csc. sec. sen 4. 4sen cos III PARTE. sen = sec ;comosen + cos = sen = cos cos = sec ;simplificando = sec sec ;(identidades recíprocas). cos = sen cos + ;sen = cos cos = cos cos + ; por diferencia de cuadrados ( cos ) cos ( + cos ) ; simplificando = + cos cos + = cos +. sec + sen sen = cos ( )( ) ; III Fórmula Notable ( ) sec sen = cos ; como sen cos + cos = sen sec cos = cos = ; Identidades recíprocas cos = cos cos ;simplificando cos = cos 4. cos + cos + + cos = ; sen cos Factorizando por trinomio cuadrático perfecto ( co ) s + + cos = sen cos ; Como sen = cos ( ) += cos + + cos cos cos ( cos ) ( + cos ) ( cos ) ; Simplificando + cos + cos = cos cos + cos = cos sen cos = cos ; Factorizado por diferencia de cuadrados ( sen cos )( sen cos ) + = cos ; Como sen + cos = sen cos = cos cos cos = cos cos = cos ;sen = cos ;Simplificando La Paz Community School 97

200 6. tan cot = sen ; tan + cot Por identidades básicas sen cos cos sen = sen ; sen cos + cos sen Con denominador común sen cos cos sen = sen ; sen + cos cos sen Simplificando sen sen cos = + cos Comosen + cos = ( ) sen = sen cos sen Comocos = sen sen sen = sen sen + sen = sen sen = sen 7. cot + = ; cos Por ángulos complementarios tan + = ; cos Por identidad pitagórica sec = ; cos Por identidad recíproca = cos cos ; ; 8. sen + cos sen tan + tan sec + sec cos cos = + ( tan + sec ) = ( cot sec )( csc + cot ) ( cot sec )( csc cot ) tan sen sen + + sec cos cos cos cos ( )( ) = cot sec csc + cot ; Identidad básica y recíproca tan sen sen + sec cos cos cos + ( cot sec )( csc cot ) + = ( )( + ) = + tan sec sec cot sec csc cot Identidad recíproca ( )( ) tan sec = cot sec csc + cot Simplificado ( )( + ) == ( c )( csc + cot ) ; -= cot sec csc cot ; ya que tan + = sec cot csc cot se ya que+ cot = csc ( cot csc )( cot + csc ) = ( cot sec )( csc + cot ) Por diferencia de cuadrados 9. cos cos + cos = sen + cos cos cos + cos = ; cos + cos ya que sen = cos ( cos )( cos + ) ( cos )( + cos ) Factorizando cos = ; + cos cos cos = ; Cambiando elsigno cos + cos 0. ( ) cot + cot = sec csc tan + cot = sec csc ; Identidad recíproca sen cos + = sec csc ; cos sen Identidades básicas sen + cos = sec csc ; cos sen Denominador común = sec csc ; cos sen Identidad Pitagórica = sec csc cos sen sec csc = s ec csc ; Identidades Recíprocas Ejercicio D. I PARTE.. sec. csc. cot 4. sec 5. csc 6. cot 7. sec 8. tan sec 9. II PARTE. cos + = ( ) ( ) Angulo suplementario ( ) ( ) cos cos = cos ; + + = Respuestas cos = cos ; Angulo opuesto. sen tan( ) = cos ( ) ( ) ( ) sen tan( ) = ; Angulos coterminales cos sen - tan = cos ( ) ( ) cos( ) ; Angulos suplementarios sen sen = ; Identidades básicas cos cos sen = cos sen ; Angulo opuesto. cos + 5 = cos 4 ( ) ( ) ( + ) = ( ) cos cos 4 ; Angulos coterminales ( ) = ( ) -cos cos 4 ; Angulos suplementarios ( ) -cos = cos 4 ; Angulo opuesto -cos ( 4 ) = cos( 4) ; Angulos coteminales 4. sen ( ) + cos( ) cos = sen + cos ( ) ( a) sen + cos cos = ; sen + cos Angulos opuestos sen + cos cos Pues sen = a = + cos ; 98 La Paz Community School

201 ( ) cos + cos cos = ; cos + cos Pues sen = cos cos + cos cos = cos + cos cos cos cos = ; + cos cos + cos ( )( ) ( )( ) Factorizando cos cos = + cos + cos Simplificando Respuestas Si k es par, se deduce de ángulos coterminales sen = cos Si k es impar, sea k = n+ con n Z tan( + k ) = tan sen = cos tan + ( n+ ) = tan sen = cos ; Angulos suplementariostan ( + n+ ) = tan tan( + ) = tan ; Angulos coterminales -sen = cos ; Angulos opuestos tan ( ) tan = -cos = cos ; Angulos complementarios tan( ) = tan ; Angulos suplementarios - tan = tan ; Angulos opuestos ( ) tan = tan Ejercicio E. I PARTE Evaluamos las fórmulas de la suma de ángulos en como sen( y) = sen y, cos( y) tan.. ( y) = tan y se obtiene = cos y y y y + ( ) = ( ) + ( ) ( y) y y + ( ) = ( ) ( ) ( y) y y tan + tan( y) + ( y) = tan tan( y) sen y sen cos y sen y cos sen = sen cos sen cos cos y cos cos y sen sen y cos = cos cos + sen sen tan. tan tan y tan( y) = + tan tan y II PARTE Evaluamos las fórmulas de la suma de ángulos en y= y simplificamos: sen( + ) = sen cos+ sen cos. sen = sen cos tan + tan tan( + ) = tan tan. * tan tan = tan. tan cot = = tan tan tan tan tan cot tan = = 4. csc = = sen sen cos sen cos csc sec = = 5. sec sec = = = = = cos cos sec sec sec sec Evaluando cos = cos en cos = cos cos = cos cos + cos + cos cos = = sen cos cos 6. tan = = = + cos + cos cos III PARTE. + y y y y sen cos = sen + cos y y y y = sen cos + sen cos cos cos + sen sen y y y y = sen cos cos cos + sen cos sen sen y y y y + sen cos cos cos + sen cos sen sen y y y y y y = sen cos cos + sen cos sen + sen cos cos + sen cos sen seorganiza para sacar factor común y y y y y y = sen cos cos + sen cos sen + sen cos sen + sen cos cos y y y y = sen cos cos + sen + cos sen sen + cos y y = sen cos + cos sen ; según la fórmula delángulo doble = sen + sen y La Paz Community School 99

202 Respuestas (Una solución alternativa es evaluar las fórmulas. + y y cos = cos( + ) = cos cos sen sen sen( α±β ) = senα senβ± cosα cosβ, en α= ; β= y = ( cos ) cos sen cos sen simplificar el resultado) = cos cos sen cos. Considere la identidad de la pregunta anterior y evalúe en = cos cos ( cos ) cos y y, se obtiene: sen + sen y = = cos cos cos + cos = 4cos cos 4. + y y ( ) sen + cos = sen + sen cos + cos = sen cos = sen + cos + sen cos = + sen V PARTE + y y cos + cos y= sen cos + y y cos + cos y= co s cos ; cos( b) = cosb (Métodos similares a los epuestos en la pregunta, son válidos). tan + tan y tan( + y) = tan + tan y= tan( + y)( tan tan y) tan tan y ( ) ( ) ( ) ( ) sen( ) ( ) ( ) ( ) sen + y sen sen y + y cos cos y sen sen y = = cos + y cos cos y cos + y cos cos y sen + y cos + y sen + y = = cos + y cos cos y cos cos y 4. Basta desarrollar las fórmulas para sen( + y) y sen( y) simplificar y 5. Basta desarrollar las fórmulas para cos( + y) y cos( y) simplificar IV PARTE. ( ) ( ) ( ) cot y = cot y cot y+ = cot y+ cot y cos y cos y sen y ( csc y cot y) = csc y = csc y sen y sen y sen y y sen y = csc y csc y sen y csc y csc y sen y = = sen y. cos( + y) ( cos cos y sen sen y) = sen sen cos cos cos y sen sen y cos y sen y = = sen cos sen cos y sen cos y = csc cos y sec sen y ( ) ( ) VI PARTE. sen = sen + = sen cos + sen cos ( ) ( ) ( ) = sen cos cos + sen sen = sen cos + sen sen = sen sen + sen sen = sen sen + sen sen = sen 4sen. α= 8º α= 54º = 90º 6º = 90º αº sen α= sen α ( ) ( ) sen α= sen 90º α = cos α sen α= senα 4sen α. 4. = + = y y 4y 4y y y 0 ( )( ) 4 + = = 0 y y y y y y 5 5 y=, y=, y= 4 4 Como 0< sen8º < y= sen8º = cos8º = sen 8º = 4 sen 6º = sen8º cos8º = AUTOEVALUACIÓN: Identidades Trigonométricas ) A 5) C 9) B ) B 7) B ) B 5) D 9) C ) B ) D 4) C 6) B 7) B 8) D 0) D ) A ) B 4) D 5) C 6) B 8) B 9) B 0) D ) A ) C 4) C 6) D 7) A 8) B 0) C ) B ) A 00 La Paz Community School

203 CAPITULO IV: Funciones trigonométricas Respuestas Ejercicio A.. p=, A=. p=, A=. p=, A= 4. p=, A= 5. p=, A= III PARTE: 6. p=, A= 7. p= 6, A= 8. p= 4, A= 9. p=, A= 0. p= 0, A= 5. Si f ( ) = sen, debido a las identidades de ángulos opuestos sen( ) = sen f ( ) = f ( ) f es impar Si f ( ) = cos, debido a las identidades de ángulos opuestos cos( ) = cos f ( ) = f ( ) f es par f ( ) = sec es par y f ( ) = csc, f ( ) = tan f ( ) = cot son impares. Esto se deduce utilizando las sen identidades tan =, sec =, csc =, cos cos sen cos cot = y utilizando la paridad de seno y coseno ya sen probadas.. f = sen = cos o bien, f = sen = sen = sen = cos cos = f. Supongamos que a > b. Entonces, podemos reescribir ( 4k ) ( 4k ) + a, b, con Ejercicio C. I PARTE:. ( 0,0 );(,0 );(,0). Inyectiva. 4 5, II PARTE:.,. Ninguna 5. ր :,0 ; 0, 6 ց ( 4k ) 4k = + = + = + con [ 0, ] a k, y análogamente b= k+ y con y [ 0, ]. a> b > y y sen a sen b= sen k+ sen k+ y = sen sen y. Como, y, y estamos suponiendo que seno es creciente en ese intervalo, entonces, sen sen y > 0 sen a> sen b lo que prueba que f es estrictamente creciente en este intervalo. En el caso ( 4k ) ( 4k ) + + a, b, la prueba sigue análoga, sólo que ahora evaluaremos en +, y+, y como suponemos que f es estrictamente decreciente en este intervalo se obtiene el resultado. 4. La prueba para el coseno es idéntica acomodando los intervalos: estrictamente creciente en [,0] y estrictamente decreciente en [ 0, ]. En ambos casos note la utilidad del período Ejercicio D.. F Ejercicio E.. F. F A=, p=, Am=,, cf = 0. [ ] A=, p=, Am=,, cf = 0 A=, p=, Am= 0,, cf = 0. [ ]. [ ] A=, p=, Am=,, cf = 4 A=, p=, Am=,, cf = 6 A=, p= 4, Am= 0,, cf = 0 4. [ ] 5. [ ] 6. [ ] 4. V 5. F 6. V 7. F 7. [ ] 8. V 9. V 0. F. V. V A=, p=, Am=,, cf = 0. A=, p=, Am= [ 0,4 ], cf = 0 8. A=, p=, Am= [, ], cf =. A=, p=, Am= [,4 ], cf = 4 9. A= 4, p=, Am= [,6 ], cf = 4. A= 4, p=, Am= [,6 ], cf = A=, p=, Am=,, cf = 5. A= 5, p=, Am= [ 4,6 ], cf = 7 6. A=, p=, Am=,, cf = A, p = =, Am=,, cf = La Paz Community School 0

204 Respuestas Ejercicio F.. f ( ) = sec Asíntotas = + k, k Z Dominio R + k, k Z Ámbito R ],[ Simetría: par Período: Intersección con y: ( 0, ) Intersecciones con : no hay + k,( k+ ) Intervalos decrecientes: ( k ), + ( k ), + ( k ), k. f ( ) = csc Asíntotas = k, k Z Dominio R { k, k Z } Ámbito R ],[ Intersecciones con : no hay Intervalos crecientes: ( 4k ) +,( k+ ) ( k+ ), ( 4k ) + Intervalos decrecientes: ( 4k ) k,, k ( 4k ) + Dominio R { k, k Z } Ámbito R Simetría: impar Período: Intersección con y: no hay Intersecciones con : + k,0 k Z no hay Intervalos crecientes: no hay Intervalos decrecientes: ( k ) k, + Intervalos crecientes: k, + k Simetría: impar Período: Intersección con y: no hay. f ( ) = cot Asíntotas = k, k Z Ejercicio G. I PARTE: Dominio Ámbito Eje Eje y ր ց Simetría f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) = arcsen [,], f ( ) = arccos [,] [ 0, ] (,0 ) f ( ) = arctan R, ( 0,0 ) ( 0,0 ) [,] No Impar [ 0, ] [,0] 0, No [,] Ninguna [,] {} ( 0,0 ) ( 0, 0 ) R no impar [ 0,+ [ ],0] II PARTE: La Paz Community School

205 Respuestas III PARTE:. Ya hemos probado que si θ= arctan sen θ=, cosθ= + + sen θ= senθ cosθ sen arctan = + +. Si θ= arcsen senθ=. Aplicando ( ) cos sen, luego, aplicando la identidad de donde se obtiene el resultado. cos arcsen = θ= θ, obtenemos que ( ). Sea α= arcsen sen α=, cosα= y α= arccos y cos β= y, senβ= y, aplicando cos( α+β ) = cosα cosβ senαsenβ se obtiene el resultado. 4. Sea θ= arctan tanθ= cot θ = tan θ = Si 0 arctan 0 θ 0 θ, entonces, en la igual anterior es válido decir que θ= arctan θ+ arctan = arctan + arctan = Pero, si < 0 arctan < 0 θ< 0 θ de donde no es posible deducir directamente, debemos restar para estar en el intervalo adecuado: Es decir, θ = arctan θ+ arctan = arctan + arctan = tanα+ tanβ α= arctan, β= arctan y tan α+β = es decir, tan( ) + y arctan + y α+β = α+β= tan α tan β y y 5. Sea ( ) + y arctan + arctan y= arctan y (note que hay un restricción en la fórmula, es necesario que < arctan + arctan y<, algo que no siempre ocurre. 6. Aplique la fórmula del ejercicio anterior (o repita un procedimiento similar) con = y= Si α= arccos tanα= tan α =, si β= arcsen tanβ= tan β =, de donde aplicando la fórmula de la pregunta 5, tenemos que arctan 4 α +β = Si α= arctan tan α=, sen α=,cosα= y y y + y Si β= arctan tan α=, sen β=,cosβ= + y + y y + y + = arctan( ) = arctan. y + + y Al aplicar sen( α β ) = senα senβ cosα cosβ tenemos sen( α β ) = sen ( ) ( )( ) ( )( ) y + + y y y α β = = α β= arcsen + y + + y + + y + + y + + y + La Paz Community School 0

206 Respuestas Ejercicio H. I PARTE:. Del punto B.. 6s. ( ) sen 8 f = (cualquier otra con período 6 funciona) 4. B y C 5.,s 6. 9,s II PARTE:. 5 días f ( t) = 4cos El día 5 y el día 6 de cada mes : y 4 : Día y día 8 AUTOEVALUACIÓN Funciones Trigonométricas I PARTE: ) D 8) B 5) B ) A 9) C 6) B 4) C 50) C 57) C 64) B ) C 9) C 6) C ) A 0) A 7) A 44) A 5) D 58) C 65) A ) D 0) A 7) A 4) C ) B 8) B 45) C 5) C 59) A 66) A 4) A ) C 8) C 5) C ) D 9) C 46) A 5) C 60) D 67) A 5) A ) A 9) C 6) D ) A 40) B 47) A 54) D 6) C 68) A 6) D ) D 0) A 7) A 4) C 4) C 48) D 55) B 6) C 7) A 4) C ) D 8) A 5) D 4) D 49) C 56) A 6) C II PARTE: III PARTE:. Ámbito: [, ], Periodo: =, Corrimiento de fase 8 5,0,,0,,0. : y: ( 0, ) IV PARTE:. 45 p= 6. A= 6. f ( ) p 0 = 6, f = 0 4.,7s y, 5. 6,04s y 5,0s 6. f ( t) = 8cos La Paz Community School

207 CAPITULO V: Ecuaciones Trigonométricas Respuestas Ejercicio A.... 4,, φ 5. { } { 0, } 8. 7, , ,.., 6 6 Ejercicio B.. { 0, }. { 0, }., 4. 0,, 5. φ ,,, ,,, { 0, } 7. { } 0. { }.. 4 0,,,. 5,, ,,, 4 4 Ejercicio C. 5., ,,, ,,,,, ,,,,, , φ 4 8., 7 9., , 4 0,,,,. 7, { } 5. [ 0, [ 6. AUTOEVALUACIÓN Ecuaciones Trigonométricas ) A ) A 5) A 7) C 9) C ) D ) A 5) B 7) A 9) B ) D ) B 4) B 6) A 8) D 0) C ) A 4) B 6) B 8) B 0) D ) C La Paz Community School 05

208 UNIDAD II. ESTADISTICA / CAPITULO I: Repaso de Conceptos Básicos Respuestas AUTOEVALUACIÓN II PARTE: Repaso de Conceptos Básicos de Estadística I PARTE:. C. C. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 0. B. B. B La mediana. Los meses de Enero, febrero, agosto, setiembre, noviembre y diciembre ,6% Gasto en gasolina de Laura Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviemb Diciembre III PARTE:. 48.., 9% 4. 8,% 5. Gallo pinto, porque ésta la preferida por el nivel. CAPITULO II: Probabilidad Ejercicio A.. determinista. determinista. aleatorio 4. determinista 5. aleatorio 6. determinista 7. aleatorio 8. aleatorio 9. aleatorio 0. determinista (en un dado estándar es 7). aleatorio. a) determinista b) aleatorio. determinista 4. aleatorio 5. determinista 6. determinista 7. determinista 8. determinista 9. aleatorio 0. aleatorio. determinista. aleatorio. determinista 4. determinista Ejercicio B. Espacio Muestral {,,, 4, 5, 6, 7,8, 9,0 } lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,sábado, domingo { M, A, T, E, M, A, T, I, C, A } Evento Ejercicio C. II PARTE: A= { 7,8,9,0} B = {,,, 4, 5} C = { 6} A= { martes, miércoles} B= { } {, } A = M M. {,,,, } B = A E A I A P( A ) = 5 P( B ) = P( C ) = 0 P( A ) = 7 P( B ) = 0 P( A ) = 5 P( B ) = Segundo Dado Primer dado y y y 4 y 5 y 6 y y y y 4 y 5 y 6 y y y y 4 y 5 y 6 y 4 y y y 4 y 5 y 6 y y y y 4 y 5 6 y y5 4 6 y y y 4 y 5 y 6 y En gris las casillas que corresponden al evento A y en negritas las casillas que corresponden a B : 06 La Paz Community School

209 Respuestas ( 00,000 ),( 0,000 ),..,( 99,000) ( 00,000 ),( 0,000 ),..,( 99,000) ( 00,999 ),( 0,000 ),..,( 99,999) A :( 00, 64 ),..,( 99, 64) B = {(, 000 ),..,(, 999) } C = {(, 64) } P( A ) = 00 P( B ) = 000 P( C ) = III PARTE:. A, B, C, A, B, C, A, B, C,,,, AB, AC, BC, { 0,,,, 4, 5, 6, 7,8, 9,0 } A, B, C, A, B,C A, B, C, 4 A,4 B,4C {,,, 4, 5 } Ejercicio C.. Está en la tabla. a) P( A) =, P( = 6 6 b) 5 c) 8 cada uno, 6 P( = P( = 7. a) P( E ) = b) 5 4. a) 7 8 b) 8 c) 5. a) b) 0 c) P( A ) = 4 P( =, P( = 4 6. a) 7 64 b) a) b) 6 9. a) b) 97 c) a) 8 b) 5 48 P R =. ( ) A= {,, } B = { C, C, C} A = {,, 5, 7} B = {,,, 4, 6,8} A= { A, B,C} B = { A, B, C} A= { } B = {,, 5} 4 P( A ) =, 5 7 P( V ) = Ejercicio D.. a) Posible b) Imposible c) Posible d) Seguro e) Imposible f) Posible. a) Seguro b) Posible c) Imposible d) Posible e) Seguro f) Imposible. La probabilidad indicaba que era sumamente posible que el P( A ) = 5 P( B ) = 5 P( A ) = 4 P( B ) = 6 P( A ) = 4 P( B ) = 4 P( A ) = 5 P( B ) = 5 evento pasara. Sin embargo, sucedieron hechos que hicieron que se cumpliera la poca probabilidad de que no se clasificara. Una probabilidad alta no indica que un evento sucederá. 4. En realidad, depende de cuánto una persona le moleste mojarse. La probabilidad indica que es más probable que llueva a que no llueva, por lo que se podría suponer que la mayoría de personas sacaría el paraguas. Si dijera cuatro por ciento, es muy poco probable que llueva (pero puede suceder) por lo que la mayoría de personas podrían decidir no molestarse en sacar el paraguas. Si dice 90%, entonces, es sumamente probable que llueva. Es aconsejable sacar el paraguas si no se quiere mojar. 5. a) G b) Imposible c) Seguro d) a).. b) Que un perro café coma en una tazón rojo 7. a) Rock en inglés. b) a) 6 b) 6 9. a) Gris b) ( blanca) P = 4 P ( gris) = 4 0. a) BDEC ( ) b) 5 P( BDEC ) = 8 P( ADE ) = 8. 8 mujeres. Hay 6 rojas y 8 azules. AUTOEVA- LUACIÓN: Probabilidad 7. C 8. B 9. D 0. C. C. C. B 4. D 5. A II PARTE:. F. V. F 4. V 5. F 6. F 7. V 8. V 9. V 0. F III PARTE:. a), 4,5, 6 b), = P 6 c) ( ) = 7 d) ó 4 pues I PARTE:. D P 0,9. C e). C. 4. C + a), 5. D + 6. D = 4 La Paz Community School 07 b) 5 c) rojas, 8 azules. a) 5 mujeres, 5 varones b) 5 c) 5 d) 4. 5 a) 6 b) En la puerta la probabilidad de ganar es 0, =, mientras que en la bolsa es 0, 0 =. Es mejor escoger la puerta fines de semana

210 CAPITULO III: Estadística de Variables Continuas Respuestas Ejercicio A. I PARTE:. Sí.. No.. Sí. 4. No. 5. No. 6. No. 7. Sí. 8. No. 9. No. 0. Sí. II PARTE:. Sí.. No.. No. 4. Sí. 5. Sí. 6. Sí. 7. No. 8. Sí. 9. No. 0. Sí. I PARTE:. A. B. B 4. B Ejercicio B. I PARTE:. Continua. Clases. Frecuencia , 4% 5. 45,7% 6. estudiantes 5. B 6. B 7. B 8. A 9. B 4 a 5 Frecuencia Frecuencia acumulada en % 4 a 5 5 4,9% 5 a 6,86% 6 a 7 4 4,9% 7 a ,9% 8 a 9 6 7,4% 9 a ,57% 0 a 4 00,00% Histograma: Tiempo en minutos 5 a 6 6 a 7 7 a 8 0. D. A. D. B 4. D 8 a 9 Clases 9 a 0 0 a 0,00% 00,00% 80,00% 60,00% 40,00% 0,00% 0,00% II PARTE: Porcentaje Punto medio.clase Frecuenciaacumulado de la Clase 5 a 0 7,50% 7,5 5,50 0 a 5 9 0,00%,5 0,50 5 a ,00% 7,5 75,00 0 a 5 8,50%,5 57,50 5 a 40 87,50% 7,5 75,00 40 a 45 95,00% 4,5 7,50 45 a 50 00,00% 47,5 95,00.,5. 7,5 4. Al sumar los resultados en la quinta columna se obtiene 85 y al dividir entre 40 se obtiene una media estimada de 9,650. aritmética eacta es de 9,0. 5. Frecuencia AUTOEVALUACIÓN: Estadística de Variables Continuas 5. D 0. C 5. D. V 6. A. C 6. A 4. F 7. A. B IV PARTE: 5. F 8. B. C. V 6. F 9. B 4. D. F 7. V Histrograma: Tiempo en la carrera Clases 8. F V PARTE:. V. V. V 4. F 5. V 6. V 7. F 8. V La media 0,00% 00,00% 80,00% 60,00% 40,00% 0,00% 0,00% CAPITULO IV: Probabilidad Frecuencial Ejercicio A. I PARTE:. Clásica. Frecuencial. Frecuencial 4. Frecuencial 5. Frecuencial 6. Clásica 7. Clásica (es 0 ) 8. Clásica (es ) II PARTE: , ,9 5. 0,58 08 III PARTE:.. Absoluta Relativa Acumulada Entre 0cm y cm 5 5 Entre cm y cm 5 0 Entre cm y cm Entre cm y 4cm Entre 4cm y 5cm ,5 4. 0, ,85 La Paz Community School IV PARTE:. 0, 4 5 =, 0, 0 =, 5 0, 5 =, 5 0, 5 0 =, 8 0, 5 =, 8 0, 6 0 =, 0 0, 9 5, 0, =. No. Si el dado fuera justo las probabilidades frecuenciales se acercarían al valor correspondientes a que todas las caras sean equiprobables, es decir, a 0,5 8 =, y empíricamente se obtienen valores muy distinto

211 CAPITULO V: Medidas de Posición Respuestas Ejercicio A. / I PARTE: Datos ordenados Min Mo X Q Me Q Ma Asimetría,,,, 4, 4,5 y4 4 5 Simétrica,,,4,4,0, 4,5,5,54,65 4, Positiva,8,9,0, 0,,,, 5, 8,5 0 Negativa 40, 4, 4, 45, 46, 48,50,55,55,80,00,0, y55 64,85 4, Positiva 7,8, 0, 0,50,5,5,55,60, y60 8, ,5 60 Negativa 70,7, 7, 74, 76,77,78, ,5 8 Simétrica 4, 4, 44, 46, 48,50,5,54,56,58,80, , 4, Positiva 5, 0,0,0,6,7,8,8 5 0 y8 0,5 5 7,5 5 Negativa II PARTE. No. Me Q = 0= X por lo que la distribución es asimétrica positiva, o bien, podría ser simétrica si Me= Sí, por ejemplo si uno saca 00 y los otros cuatro 5, el promedio da 48. Q Me= X Q. Es decir, 4. en general, sería mayor la media que el primer cuartil, y el tercer cuartil que la media, pero en ambos casos podría darse la igualdad. 5. X = 7,. Note que y+ y y+ y4 Q =, Me= y5+ y6 Q = 6. N = 4 7. N = 8. min y i = 54, ma y i = 94 Ejercicio B. I PARTE Q = 56, Q = 08. X 78,0 Q = 5, Q = 74. X 4, Q = 80, Q = 06. X 86,59 Q = 8, Q = X 4,9 II PARTE. 9,5. El promedio simple es 9,8 y es menor, porque Daniel, sacó sus notas más altas en cursos que valen más pues tienen más créditos. A diferencia del promedio simple, en el promedio ponderado los cursos no valen igual.. Al menos 9,4, pero en la universidad, esto no es posible. Necesita sacar un 9,5 o un ,75 III PARTE Miembro Salario % de aporte Aporte Nuevo aporte Nuevo % Papá % ,9% Mamá % ,9% Julio % ,8% Marcela % ,77% Adriana % , 8% TOTAL: I PARTE:. B. A. D 4. B 5. A 6. D 7. B 8. B 9. C 0. A II PARTE:. 80,8,8 N = AUTOEVALUACIÓN Medidas de Posición. a. República Dominicana, Panamá, El Salvador, Honduras. b. Nicaragua, Cuba, Costa Rica, Uruguay c. Asimétrica positiva X 9750,5, Me= a. 405,8 b Huawei o X Touch de Nokia , 70000, c. Galay Note, S5 a. de Samsung, o d Iphone 5 b d. Galay Pro de Samsung, G60 de La Paz Community School 09

212 CAPITULO VI: Medidas de Variabilidad Respuestas Ejercicio A.. a) m = 6 b) 0 Me=, Q = 0, Q = c) d) min = 0, ma = 5 e) R= 5, R I = f). a) K = 5 Me= 5, Q =, Q = 6 b) c) min=, ma = 7 d) R= 5, R I = e). a) X = 5, 6 A= 8, B= 9, C=, b) =, E= 6 c) 75% d) R= 8, R I = 4. a) 7 A= 5, B= 6, b) C= 7, D= 0 E= 6 c) 5% d) R=, R I = 4 5. a) R= 6, R I = 4 b) 8 estudiantes 6. a) R=, R I = 7 b) A partir de 8 c) 7 personas 7. a) 5% b) Q = 8 c) Q = 46 d) 5% 8. a) b) 50% c) Hay más personas que ganan menos del promedio. Porque la mediana es menor que el promedio. Ejercicio B.. [ 05,85 ]. 64. Porque hay algunos y pocos datos en los etremos (muy grandes o muy pequeños) y una gran parte de los datos se concentran cerca del promedio. valores son iguales. 5. a) El promedio es 5. Nombre Peso 0 i 4. Que todos los X ( X) Matías Juan Pedro Eugenia María José 48-9 Silvia 48-9 Jeimy 50 - Ernesto 5 Adriana Daniel Marco 6 Luis SUMA 6 VARIANCIA 5,67 DESVIACIÓN ESTÁNDAR 7,6 6,65 b) 5 5 c) Ninguno i 6. a) Nombre Nota i X ( X) Enrique 64-9,9 96,67 Ronald 66-7,9,0 Amanda 68-5,9 5,4 Manuel 7 -,9 4,0 Gabriela 75-8,9 79,5 Karla 85,08,7 Humberto 90 6,08 7,0 Javier 94 0,08 0,67 Jorge 96,08 46,0 Juliana 98 4,08 98,4 Santiago 99 5,08 7,5 Kimberly 00 6,08 58,67 SUMA 6,9 VARIANCIA 80,4 DESVIACIÓN,4 ESTÁNDAR b) No. El promedio es 8,9, y para obtener el premio necesitaría una nota de 97.4 c) Tres (el límite es 70.49) 7. El grupo de datos A 8. El grupo de datos B Ejercicio C.. CV = 0,48 / / CV = 0,0.A varía más. A B. CV = 0,05 / / CV = 0,009. La serie A A varía más. z =,75 / / z =,06. En la serie. 4, A 4, B B, el cuarto dato es relativamente más alto. La Paz Community School B i z = 5 / / z =,. En la serie A, 4. 8, A 8, B el octavo dato es relativamente más alto. 5. a) X = / / σ= 4,60 / / CV = 0,8 b) i z i -,5-0,4 0,00 0,4,5 c) Z = 0 d) σ = Z 6. a) X = 4 / / σ= 6,7 / / CV = 0,48 b) i zi -,04 -,04-0,59 0,5 0,89,6 c) Z = 0 d) σ = Z 7. Es siempre 0 (lo cual es cierto) 8. Es siempre (lo cual es cierto) 9. a) A= 8, 67 / / B= 7,7 b) CV = 0,8 / / CV = 0,0 z A c) ABRIL, A ABRIL, B B =,59 / / z = 0,8 0. a) A= 75 / / B= 447,4 b) CV = 0,86 / / CV =,0 z A =,5 / / z =,47 c) 05, A 05, B. X =,5 / / σ= 0. X = 54, 67 / / σ= 7, 78 B

213 Respuestas I PARTE. B. C. C 4. D 5. D 6. A AUTOEVALUACIÓN: Medidas de Variabilidad 7. B 8. B 9. C 0. C. B. B. D 4. B 5. B 6. A 7. C 8. A II PARTE. Resumen de la información pedida: Pargo Rojo Trucha MIN 40 5 Q Med MAX 66 5 Q RECORRIDO RECORRIDO INTERCUARTILICO Media Aritmética 5,7 0,9 Desviación Estándar 8,67, Coeficiente de Variación 0,7 0,0 Valor relativo pedido: -0,5-0,9 a), c) en la tabla. b) d) El pargo rojo e) La trucha. Resumen de la información pedida: MIN 5 7 Q 8 0 Med 45 5 Q MAX RECORRIDO 5 6 RECORRIDO INTERCUARTILICO 57 0 Media Aritmética 55,57 7,4 Desviación Estándar 4,9 9, Coeficiente de Variación 0,78 0,5 A B Valor Relativo pedido: -0,59-0, a), c) en la tabla. b) d) El partido A e) El partido B. Resumen de la información pedida: Rock Pop MIN Q Med Q MAX RECORRIDO RECORRIDO INTERCUARTILICO Media Aritmética 6875, ,00 Desviación Estándar 0685, 65,06 Coeficiente de Variación,55 0,8 Valor Relativo pedido: -0,8-0,8 a), c) en la tabla. b) d) Rock e) Sí, pues el dato estandarizado es mayor. 4. Eisten una infinidad de ejemplos que funcionan. Mostramos uno de ellos: Serie A Serie B Promedio 0 0 Desviación Estándar 5,5 4,8 Coeficiente de Variación 0,5 0,48 Recorrido,00 8,00 Recorrido intercuartílico 7,50 0,00 Estandarizado tercer dato: 0,9 0,00 III PARTE:. 80cm. 50cm. Entre 50cm y 80cm 4. 0cm 5. 65cm 6. 67cm 7. Entre 60cm y 70cm IV PARTE:. Sofía y Laura 6. Laura, pues su coeficiente de variación es 74,54%, mientras que el de Sofía es 7,8%. Sofía, pues al estandarizar los datos de febrero, obtiene un 0,9 mientras que Laura 0 (esto puede verse así también: Sofía vendió más que el promedio mientras que Laura vendió justo su promedio) La Paz Community School

214 CAPITULO VII: Probabilidad Respuestas Ejercicio A.. D. C. C 4. C 5. D 6. D Ejercicio B. I PARTE 7. C 8. B 9. D 0. C. C. C. B 4. D 5. A 6. B 7. C 8. D C. ( A ) C : Como conjuntos. Note que C ( ) C A U A = U U A = A C = ( ) C. A B= B ( A. A C A =φ pues no eiste tal que A y U A P A A C = ( ) 0 4. ( C C P A A ) = P( A) + P( A ) P( A A C ) P( A A C ) = ( ) P( A) P A + 0= 5. Despejando de P( A = P( A) + P( P( A P( A = P( A) + P( P( A C C C 6. P( A B ) = P( A ) + P( B C ) P( A C B C ) C C = P( A) + P( P( A B ) C C = P( A) P( P( A B ) C 7. P ( A = P( A ( ) ( ) ( ) = P A + P B P A B = P( A) P( + P( A 8. Como los eventos no tienen intersección entre ellos, y complementan todo el universo, se tiene que P( A) + P( + P( =, de donde ( ) = ( ) ( ) P C P A P B II PARTE P A = b) P( A = 0,6 C. a) ( ) 0,7 C c) P( B ) = 0,6 d) P( A B C ) = P( A) P( A = 0, C e) P( A B ) = 0,7 C f) P( A = P( P( A = 0, C g) P( A = 0,8 h) ( C C P A B ) = 0,9 4. a) P( B ) = b) P( A = C c) P( A B ) P( A) P( A C d) P( A B ) 40 = = =. a) Note que 40 La Paz Community School 8 C ( E = N P( E = P( N) P( E = P( E) + P( P( E 0,7= 0, + 0, 6 P( E P( E = 0,09 C b) P( E = P( P( E = 0, 0,09= 0, 4. a) El conductor no pasó la alcoholemia y no es el culpable del accidente. b) El conductor no pasó la alcoholemia o es el culpable del accidente C 5 c) P( A = = 00 d) P( A 5. a) = b) c) 9 5 P F = 6. a) P( E ) = b) ( ) c) P( E F) = = = P(, P( A) = = P(, P( A) 9. a) + + c) rojas, 8 azules, = 4 b) 5 d) 5 0. a) 5 mujeres 5 varones b) 5. a) b) 6 c) 5 d) 5 n AUTOEVALUACIÓN Probabilidad I PARTE:. B. C. A 4. D II PARTE: B 6. B 7. C 8. C 5. P( A ) =, P( B ) =, ( ) e) f) 9. A 0. B. D. D P C = c c c. P( A ) =, P( B ) =, ( ) 0 4. P( A =, P( B ( A) P C = P( A =, P( B ( A) P C = III PARTE: P C = 0 =, 0 9 =, 0. % y 74%. No, pues la probabilidad de la intersección no es cero.. 4%