PROYECTO DE TEORIA DE MECANISMOS. Análisis cinemático y dinámico de un mecanismo plano articulado con un grado de libertad.

Transcripción

1 Nombre: Mecanismo: PROYECTO DE TEORIA DE MECANISMOS. Análisis cinemático y dinámico de un mecanismo plano articulado con un grado de libertad. 8. Cálculo de la posición, velocidad y aceleración con el método Raven. 8.1 Plantear las ecuaciones vectoriales necesarias para calcular las posiciones, velocidades y aceleraciones de los eslabones del mecanismo con el método de Raven. Dibujar, junto al mecanismo, un polígono de vectores por cada ecuación vectorial indicando todos parámetros utilizados en las ecuaciones. Indicar de forma clara los valores fijos, los valores variables y las incógnitas. (Entregar en un A4 aparte Ecuaciones vectoriales para la posición. D D B r1 + r4 = r + r º C A r B º r1 + r = r + r A r C 4 O 1 O 4 4 O O 4 6 r 1 O 6 O 6 Expresando la primera ecuación de cierre en forma exponencial: i i i1 i r 4 e + r e = r1 e + r4e En esta ecuación las dos incógnitas serían las posiciones angulares de los eslabones y 4, siendo la posición angular del eslabón motor y r, r, r 4, r 1 y 1 datos geométricos del mecanismo. Expresando la segunda ecuación de cierre en forma exponencial: 1

2 i i i1 i r e + r e = r1 e + r e En esta ecuación las dos incógnitas serían la posición angular del eslabón y 6, que son la misma: = 6, puesto que rotan solidarios y el desplazamiento de la deslizadera a lo largo del eslabón 6: r, siendo una función de la posición angular del eslabón : y r, r 1, 1 datos geométricos del mecanismo. Ecuaciones vectoriales para la velocidad. A partir de las dos ecuaciones de cierre para resolver el problema de posición, podemos resolver el de velocidad derivando dichas ecuaciones respecto al tiempo. Teniendo en cuenta que en la primera ecuación las longitudes de los vectores r, r, r 4 y r 1 son constantes en el tiempo y que la posición angular 1 también lo es, la derivada queda como sigue: iω r e iω r e iω r e i i i4 + = 4 4 Siendo las incógnitas del problema de velocidad para la primera ecuación de cierre, las velocidades angulares de los eslabones y 4: ω y ω 4. Teniendo en cuenta que en la segunda ecuación las longitudes de los vectores r 1, r r, son constantes en el tiempo y que la posición angular 1 también lo es, la derivada queda como sigue: i i dr i i r e i r e e i r e i ω + ω = + ω dt i i i i iω r e + iω r e = V e + iω r e CC6 Siendo las incógnitas del problema de velocidad para la segunda ecuación de cierre la velocidad de deslizamiento de sobre 6 y las velocidades angulares de los eslabones y 6 que son iguales: V CC6 y ω =ω 6. Ecuaciones vectoriales para la aceleración. Del mismo modo, derivando con respecto al tiempo las ecuaciones usadas para resolver el problema de velocidad, encontramos las ecuaciones para resolver el problema de aceleración. Teniendo en cuenta que en la primera ecuación las velocidades angulares ω, ω, ω 4 y las posiciones angulares,, 4 son variables con el tiempo, la derivada queda como sigue: i i i i i4 i4 + = iα r e r ω e iα r e r ω e iα r e r ω e Siendo las incógnitas del problema de aceleración para la primera ecuación de cierre, las aceleraciones angulares de los eslabones y 4: α y α 4. Teniendo en cuenta que en la segunda ecuación las velocidades angulares ω, ω, ω y las posiciones angulares,, y la velocidad relativa V CC6 y la longitud del vector r son variables con el tiempo la derivada queda como sigue:

3 i i i i iα r e ω r e + iα r e ω r e = d = V e + i V e + i r e r e + i V e dt i i6 i i i CC ω 6 CC α 6 ω ω CC6 i i i i iα r e ω r e + iα r e ω r e = t i i i i = A e + iω C VC C6 C e + iα 6 r e ω r e Siendo las incógnitas del problema de aceleración para la segunda ecuación de cierre las aceleraciones angulares de los eslabones y 6, que son la misma, y la aceleración del eslabón en su desplazamiento sobre 6: α =α 6 y A t CC6.

4 8. A partir de las ecuaciones vectoriales anteriores obtener las ecuaciones algebraicas que se obtienen igualando las partes real e imaginaria de los vectores. Sustituir en dichas ecuaciones los valores conocidos y despejar las incógnitas. Calcular en la posición de máxima aceleración del eslabón 6 y para una velocidad ω = 1 rad/s horaria y una aceleración α = 0 rad/s (entregar en hojas aparte Ecuaciones algebraicas para la posición Primera ecuación de cierre Expresando la primera ecuación de cierre en forma trigonométrica y proyectando sobre el eje real e imaginario quedaría: R e : r cos + r cos r1 cos 1 = r4 cos 4 I m : r sen + r sen r1 sen 1 = r4 sen 4 Elevando al cuadrado cada ecuación y sumando miembro a miembro: r + r + r1 + rr cos cos rr1 cos cos1 r1 r cos1 cos r r1 sen 1sen r r1 sen 1sen + rr sen sen = r4 Dividiendo por el coeficiente de cos cos +sen sen : r r r + r + r1 r4 r1 r + cos 1 cos + sen sen cos cos1 cos1 cos rr r r r1 r sen 1 1sen sen 1sen = 0 r r Llamando r + r + r1 r k 4 1 = k 1 = k 1 = rr r r la ecuación queda: k1 + cos cos + sen sen k cos cos 1 k cos cos 1 ksen 1sen ksen 1sen = 0 Y expresando el sen y el cos en función de la tangente del ángulo mitad, la ecuación quedaría como sigue: r r 4

5 1 tg tg 1 tg k1 + cos + sen k cos cos1 k cos1 1 tg 1 tg 1 tg tg ksen 1sen ksen 1 = 0 1 tg + Quitando denominadores: ( k1 k cos cos1 ksen 1sen 1+ tg + ( cos k cos1 1 tg + + ( sen ksen 1 tg = 0 Y agrupando términos en tg, en tg y término independiente, queda: k1 k 1 ksen 1sen + k 1 tg + ( cos cos cos cos + ( sen ksen 1 tg + ( k1 k cos cos1 ksen 1sen + cos k cos1 = 0 Llamando: ( 1 cos cos1 1 cos cos1 ( 1 ( cos cos cos cos A = k k k sen sen + k B = sen k sen C = k1 k 1 ksen 1sen + k 1 La ecuación queda como sigue: Atg + Btg + C = 0 Con lo que la expresión analítica para la posición angular del eslabón como una función de la posición del eslabón motor y los datos geométricos del mecanismo toma la forma: ( 1, B ± B 4AC = arctg A De las dos posibles soluciones que corresponden con las configuraciones del cuatro barras (abierto o cruzado habrá que elegir la que se corresponda con nuestro mecanismo.

6 Realizando el mismo procedimiento, pero dejando aislado en el segundo miembro la incógnita 4 podemos encontrar las expresiones para la otra incógnita angular, 4. Las expresiones quedarían como sigue: ( 4 1, E ± E 4DF = arctg D Donde D, E, F tienen las siguientes expresiones: ( 4 ( cos cos1 1 cos cos1 ( 1 ( cos cos cos cos D = k k + sen sen + k E = sen + k sen ( F = k4 k 1 + sen 1sen + k 1 Y k 4, k son parámetros dependientes de los datos geométricos del mecanismo: r + r4 + r1 r k 4 = k 1 = rr4 r4 r Segunda ecuación de cierre. Expresando la segunda ecuación de cierre en forma trigonométrica y proyectando sobre el eje real e imaginario quedaría: R e : r cos + r cos = r cos + r cos I m : r sen + r sen = r sen + r sen Despejando r de la segunda ecuación e introduciéndola en la primera tenemos: r sen + r 1 1 sen + r sen cos + cos = cos cos sen r r r Expresando el cos y sen en función de la tangente del ángulo mitad, quitando denominadores y agrupando términos en tg, en tg, y términos independientes, llegamos a: ( 1 1 ( 1 cos1 cos cos ( r sen r 1 1 sen r sen 0 r sen + r sen + r sen tg + r + r + r tg + + = Llamando: 6

7 ( 1 1 ( 1 cos 1 cos cos ( 1 1 G = r sen + r sen + r sen H = r + r + r I = r sen + r sen + r sen Apartado 8. Método de Raven La expresión analítica de la posición angular del eslabón y 6 viene dada por: ( 1, H ± H 4GI = arctg G De las dos posibles soluciones para la posición del eslabón 6 habrá que elegir la que se corresponda con nuestro mecanismo. Una vez conocida la posición angular del eslabón y 6, la posición de la deslizadera en su desplazamiento sobre 6 queda definida por r : r = 1 1 r sen + r sen + r sen sen 8... Ecuaciones algebraicas para la velocidad Primera ecuación de cierre Para la primera ecuación de cierre quedaría: R e : ωr sen ωr sen + ω4r4 sen 4 = 0 I m : ωr cos + ωr cos ω4r4 cos4 = 0 Y despejando ω y ω 4 : ( 4 ( ( ( r sen r sen = 4 = r sen 4 r4 sen 4 ω ω ω ω 8... Segunda ecuación de cierre Para la segunda ecuación de cierre quedaría: R e : ωr sen ωr sen = VC C cos 6 ωr sen I m : ωr cos + ωr cos = VC C sen 6 + ωr cos Despejando V CC6 de la primera ecuación 7

8 ωr sen ωr sen + ωr sen V CC = 6 cos e introduciéndola en la segunda, despejamos la velocidad angular del eslabón y 6: ωr cos( + ωr cos( ω = r 8... Ecuaciones algebraicas para la aceleracion Primera ecuación de cierre Proyectando sobre el eje real e imaginario para la primera ecuación quedaría: R e : αr sen rω cos αr sen rω cos + α4r4 sen 4 + r4ω 4 cos4 = 0 I m : αr cos rω sen + αr cos rω sen α4r4 cos4 + r4ω 4 sen 4 = 0 α Y despejando α de la primera ecuación: α r sen rω cos rω cos + α4r4 sen 4 + r4ω 4 cos4 = r sen E introduciéndolo en la segunda obtendríamos los valores de aceleración angular α 4 : αr sen( + rω cos( + rω r4ω4 cos( 4 α 4 = r4 sen( Segunda ecuación de cierre Proyectando sobre el eje real e imaginario para la segunda ecuación quedaría: t : α ω cos α ω cos cos ω C 6 C C C 6 r sen r cos t : α cos ω α cos ω ω C cos CC6 C 6 r cos r sen R e r sen r r sen r = A V sen α ω I m r r sen + r r sen = A sen + V + + α ω Despejando A t CC6 de la primera ecuación tendríamos: 8

9 t αr sen ωr cos αr sen ω r cos + ωv CC sen 6 A = + CC6 cos αr sen + ω r cos + cos E introduciéndolo en la segunda y despejando α, quedaría α ( ( αr cos ωr sen ωv C C 6 = + r ( r sen( r cos α ω + r 9

10 8. Plantear y desarrollar las ecuaciones vectoriales necesarias para calcular la posición, velocidad y aceleración del punto C y D. Dibujar un esquema de la ecuación vectorial de posición donde se vean todos los parámetros. A partir de las ecuaciones anteriores, calcula la posición, velocidad y aceleración del punto C y D para la posición de máxima aceleración del eslabón 6 (entregar en un A4 aparte. r1 + r4 = r + r g r1 + r = r + r r 4 1r g D r 1 Los vectores posición, velocidad y aceleración del punto C serían: i i( + φ hc = r + g = r e + g e hc = hc i + h ( cos cos( 180º ( s ( 180º X C j = r + g i + r en + g sen Y j dhc i i( + φ V C = = irω e + igωe dt VC = VC i + V ( ( 180º ( ( 180º X C j = r ω sen g ω sen i + r ω cos + g ω cos Y j d hc i i i( + φ i( + φ A C = = ir αe rω e + igαe gω e dt AC = AC i + A ( ( ( cos 180 cos 180 X C j = r α sen r ω g α sen g ω i + Y + rα cos rω sen + gα cos( 180 gω sen( 180 j ( Los vectores posición, velocidad y aceleración del punto D serían: 10

11 i 1 1 i h D = r + g D = r1 e + gd e hd = hd i + h ( ( 1 cos 1 cos 1 s X D j = r + g Y D i + r en 1 + gd sen j d hd i V D = = igdωe dt VD = VD i + V cos X D j = g Y Dω sen i + gdω j d hd i i A D = = ig Dαe gdω e dt AD = AD i + A cos cos X D j = g Y Dα sen gdω i + gdα gdω sen j ( ( 8.4 Introducir el mecanismo en el programa Winmecc. Obtener la aceleración de los puntos y eslabones y rellenar la siguiente tabla con todos los resultados: Posición Velocidad Aceleración Eslabón Raven Winmecc Raven WInmecc Raven Winmecc 87º 87º -1rad/s -1rad/s 0 rad/s 0 rad/s º º -.67 rad/s -.67 rad/s rad/s rad/s 4.8º.8º rad/s rad/s rad/s rad/s 4.74mm 4.74mm mm/s mm/s mm/s mm/s º 11.68º.17 rad/s.17 rad/s rad/s rad/s COMPONENTES CARTESIANAS Punto C Raven Winmecc POSICIÓN h CX 7.199mm 7.199mm VELOCIDAD ACELERACION h CY mm mm V CX -17.6mm/s -17.6mm/s V CY mm/s mm/s A CX mm /s mm /s A CY.06 mm /s.06 mm /s COMPONENTES CARTESIANAS Punto D Raven Winmecc POSICIÓN h DX mm mm h DY 88.7mm 88.7mm VELOCIDAD V DX mm/s mm/s V DY mm/s mm/s ACELERACION A DX 6.04*10 mm/s 60.1mm/s A DY 0.766*10 mm/s 76.68mm/s 11

12 Fichero del editor de Texto de Matlab para la resolución de las ecuaciones planteadas. POSICION MECANISMO MEDIANTE RAVEN EN MATLAB Nombre del fichero: posicionlanzador.m %Posiciones angulares de la manivela radianes teta=0:1:9; teta=teta*pi/180; teta1=atan(-40/0; teta1=*pi+teta1; %Longitudes en milimetros; r1=0*sqrt(; r1p=0*sqrt(6; r=80; r=110; r4=80; %Posicion angular eslabon k1=((r^+r^+r1^-r4^/(*r*r; k=r1/r; k=r1/r; A = k1 - cos(teta + k*cos(teta1 - k*(cos(teta1*cos(teta + sin(teta1*sin(teta; B = *(-k*sin(teta1 + sin(teta; C = k1 + cos(teta - k*cos(teta1 - k*(cos(teta1*cos(teta + sin(teta1*sin(teta; numerador1=-b+sqrt((b.^-(4*a.*c; numerador=-b-sqrt((b.^-(4*a.*c; teta=*atan([numerador1./(*a; numerador./(*a]; %valor teta para teta=87 grados teta_87grados=[teta(1,88*180/pi teta(,88*180/pi] %[tetaabierto tetacruzado]=[ ] %Posicion angular eslabon 4 k4=((r^+r4^+r1^-r^/(*r*r4; k=r1/r4; D = k4 + cos(teta - k*cos(teta1 - k*(cos(teta1*cos(teta + sin(teta1*sin(teta; E = *(k*sin(teta1 - sin(teta; F = k4 - cos(teta + k*cos(teta1 - k*(cos(teta1*cos(teta + sin(teta1*sin(teta; numer1=-e+sqrt((e.^-(4*d.*f; numer=-e-sqrt((e.^-(4*d.*f; teta4=*atan([numer1./(*d; numer./(*d]; %valor teta4 para teta=87 grados teta4_87grados=[teta4(1,88*180/pi teta4(,88*180/pi] %[teta4cruzado teta4abierto]=[.8 17.]; 1

13 % datos geometria para Posicion angular eslabones y 6 teta1p=atan(-10/0; teta1p=*pi + teta1p; tetap = teta(,: - pi; rp= 40; %Posicion angular eslabon y 6 G = -r1p*(sin(teta1p + rp*(sin(tetap + r*sin(teta; H = *(-r1p*cos(teta1p + rp*(cos(tetap + r*cos(teta; I = r1p*sin(teta1p - rp*sin(tetap - r*sin(teta; numer1teta = -H + sqrt((h.^-(4*g.*i; numerteta = -H - sqrt((h.^-(4*g.*i; teta = *atan([numer1teta./(*g; numerteta./(*g]; %valor teta para teta = 87grados teta_87grados=[teta(1,88*180/pi teta(,88*180/pi] %[tetaabierto tetacruzado]=[ ]; %Posicion deslizadera respecto al eslabon 6; r = (-r1p * sin(teta1p + rp * sin(tetap + r*sin(teta./(sin(teta(1,:; r_87grados = r(88 %r= 4.74mm VELOCIDAD MECANISMO MEDIANTE RAVEN EN MATLAB Nombre del fichero: velocidadlanzador.m %carga el fichero de posición posicionlanzador %velocidad angular eslabon en rad/s omega= - 1; %velocidad angular eslabones cuatro barras omega=(omega*r*sin(teta-teta4(1,:./(r*sin(teta4(1,:-teta(,:; omega4=-(omega*r*sin(teta(,:-teta./(r4*sin(teta4(1,:-teta(,:; %velocidades angulares para teta 87 grados w=omega(88 w4= omega4(88 % [w w4]=[ ] %velocidad diada de deslizadera omega = (omega*r.*cos(teta-teta(1,: + omega*rp.*cos(tetapteta(1,:./(r; Vcc6 = (-omega*r.*sin(teta - omega*rp.*sin(tetap + omega.*r.*sin(teta(1,:./cos(teta(1,:; %velocidad angular del eslabon y 6 para teta 87 grados w=omega(88 %velocidad relativa de c respecto de c6 VCC6=Vcc6(88 % [w VCC6]=[ ] 1

14 ACELERACIÓN MECANISMO MEDIANTE RAVEN EN MATLAB Nombre del fichero: aceleracionlanzador.m %carga los ficheros de posición y velocidad posicionlanzador velocidadlanzador %aceleracion angular eslabon motor en rad/s alfa=0; %aceleracion angular cuatro barras alfa4 = (-alfa*r*sin(teta(,:-teta + r*(omega^*cos(teta(,:-teta + r*(omega.^ - r4*(omega4.^.*cos(teta4(1,:-teta(,:./(r4*sin(teta4(1,:- teta(,:; alfa = (-alfa*r*sin(teta - r*omega^*cos(teta - r*(omega.^.*cos(teta(,: + alfa4*r4.*sin(teta4(1,: + r4*(omega4.^.*cos(teta4(1,:./(r*sin(teta(,:; %Valor de la aceleracion angular para teta 87 grados [alfa(88 alfa4(88] %Aceleracion diada de deslizadera alfa=(alfa*r.*cos(teta-teta(1,: - r*(omega.^.*sin(teta-teta(1,: - *omega.*vcc6 + alfa*rp.*cos(tetap-teta(1,: - rp*(omega.^.*sin(tetap-teta(1,:./(r; Acc6=(-alfa*r.*sin(teta - r*(omega.^.*cos(teta - alfa*rp.*sin(tetap - rp*(omega.^.*cos(tetap + alfa.*r.*sin(teta(1,: + r.*(omega.^.*cos(teta(1,: + *omega.*vcc6.*sin(teta(1,:./(cos(teta(1,:; %aceleracion angular eslabon y 6 para teta 87 grados alfa(88 %aceleracion tangencial relativa de c respecto c6 Acc6(88 POSICION LINEAL DE LOS PUNTOS C y D MEDIANTE RAVEN EN MATLAB %carga fichero de posicion del mecanismo posicionlanzador g=40; gd=80; fi=pi; %vector de posicion del punto C hc=[r*cos(teta + g*cos(teta(,: - fi; r*sin(teta + g*sin(teta(,: - fi]; %vector de posicion del punto E hd=[r1p*cos(teta1p + gd*cos(teta(1,:; r1p*sin(teta1p + gd*sin(teta(1,:]; 14

15 hc87grados=[hc(1,88 hc(,88] hd88grados=[hd(1,88 hd(,88] VELOCIDAD LINEAL DE LOS PUNTOS C y D MEDIANTE RAVEN EN MATLAB %carga ficheros de posición y velocidad del mecanismo posicionlanzador VelocidadLanzador posicionpuntoscyd %velocidad del punto C VC = [-(r*omega*sin(teta + g*omega.*sin(teta(,:-fi; r*omega*cos(teta + g*omega.*cos(teta(,:-fi]; %velocidad del punto D VD=[-gD*omega.*sin(teta(1,:; gd*omega.*cos(teta(1,:]; VC87Grados=[VC(1,88 VC(,88] VD87Grados=[VD(1,88 VD(,88] ACELERACIÓN LINEAL DE LOS PUNTOS C y D MEDIANTE RAVEN EN MATLAB %carga ficheros de posición, velocidad y aceleración del mecanismo posicionlanzador velocidadlanzador aceleracionlanzador posicionpuntoscyd velocidadpuntoscyd %Aceleracion del punto C AC=[-r*alfa*sin(teta-r*(omega^*cos(teta-g*alfa.*sin(teta(,:-fi - g*(omega.^.*cos(teta(,:-fi; r*alfa*cos(teta- r*(omega^*sin(teta+g*alfa.*cos(teta(,:-fi - g*(omega.^.*sin(teta(,:-fi]; %Aceleracion del punto D AD=[-gD*alfa.*sin(teta(1,: - gd*(omega.^.*cos(teta(1,:; gd*alfa.*cos(teta(1,: - gd*(omega.^.*sin(teta(1,:]; AC87Grados=[AC(1,88 AC(,88] AD87Grados=[AD(1,88 AD(,88] 1