UNIDAD 4: TRIGONOMETRÍA

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1 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia UNIDAD 4: TRIGONOMETRÍA La Trigonometría es una parte de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Estas son de mucha utilidad para resolver problemas en diversas ramas de esta ciencia o de otras, como la física, la química, la astronomía, etc. La trigonometría (etimológicamente medición de ángulos ) fue inventada por los astrónomos griegos para calcular los elementos de un triángulo (sus ángulos y lados). 1. Sistemas de Medición de Ángulos Para la medición de ángulos se tienen en cuenta diversos sistemas. Primeramente, es necesario realizar una revisión del concepto de ángulo. O Definición 1 Ángulo es una parte del plano limitada por dos semirrectas (lados del ángulo), que tienen un origen en común, denominado vértice (O). L O L 1 Definición Dadas dos semirrectas L 1 y L, con origen común, ángulo es la porción del plano generada por el barrido (giro) de L 1 hasta coincidir con L. Así pueden darse dos posibilidades: cuando se gira en tido contrario al de las agujas del reloj (antihorario) se considera ángulo positivo y cuando se gira a favor de las agujas del reloj (horario) se considera ángulo negativo. En particular, Si el origen de las semirrectas coincide con O el centro de un círculo (de radio r), las semirrectas determinan un ángulo central del círculo. La medida, o medición de un ángulo consiste en asociar a todo ángulo del plano un número que caracteriza su abertura (la parte del plano comprendida en el interior del Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

2 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia ángulo). Para medir un ángulo se pueden utilizar unidades de distintos sistemas de medición. 1.1 El Sistema Seagesimal Este sistema tiene como unidad de medida al Grado Seagesimal Símbolo: ( ). Definición Un grado seagesimal es la medida del ángulo con vértice en el centro de un círculo (ángulo central), de amplitud igual a la 360 ava parte del mismo. Cuántos grados seagesimales mide: a) un ángulo llano? b) un ángulo recto? c) un ángulo de giro? Si se divide un grado en 60 partes se obtiene un minuto ( ) y si se divide un minuto en 60 partes se obtiene un segundo ( ). Más allá, se utilizan divisiones decimales del segundo (0,1; 0,01; etc.). 1. El Sistema Circular En este sistema la unidad de medida es el radián (rad). Si se considera una circunferencia de radio r y centro O, y se genera un ángulo central α por la rotación de la semirrecta OX, se obtiene sobre la circunferencia un arco AB de longitud L. Al efectuar la razón entre la longitud (L) del arco determinado y el radio de longitud r, se obtiene un valor adimensional L/r que es la medida del ángulo en radianes. Definición Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de un círculo de radio r, cuyos lados determinan sobre la circunferencia un arco AB de longitud igual al radio. longitud del arco longitud del radio α rad 1.3 Equivalencia entre el Sistema Seagesimal y el Circular Se puede establecer una equivalencia entre estos sistemas, considerando el cociente (en radianes) entre la longitud de una semicircunferencia de perímetro ( radio) y el radio. Este sector circular corresponde a un ángulo llano que mide 180 º (seagesimales), por lo que se obtiene la relación: Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

3 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia radianes = 180 º En general, si α es un ángulo en el sistema seagesimal y α r es un ángulo en radianes, se tienen las siguientes epresiones: 180. r. r 180 Una milla marítima se define como la longitud del arco subtendido en la superficie de la Tierra por un ángulo que mide 1 minuto. El diámetro de la Tierra es aproimadamente 7.97 millas (terrestres). Determinar la cantidad de millas (terrestres) que hay en una milla marítima. Intentar lo siguiente 1. Calcular en radianes los siguientes ángulos particulares: 0, 45, 90, 70 y Cuántos grados mide un ángulo de 1 radián? 3. Cuántos radianes mide un ángulo de 1 grado? 4. Si se toma a π como 3,14 qué valor en radianes se obtiene?. Sistema Cartesiano Ortogonal Anteriormente, se ha repretado al conjunto de los números reales en una recta. Si se consideran dos rectas (de números reales) que se intersecan perpendicularmente en un punto O, estas constituyen los ejes del sistema cartesiano ortogonal, el cual sirve como referencia para establecer las coordenadas de puntos del plano. Los ejes coordenados (generalmente denominados eje o eje de abscisas y eje y o eje de ordenadas) dividen al plano en cuatro sectores llamados cuadrantes. Cada punto del plano queda asociado a un par ordenado (; y) de números reales, determinando: el primer cuadrante: a + b +. el segundo cuadrante: a b + el tercer cuadrante: a b y cuadrante 1 cuadrante O 3 cuadrante 4 cuadrante Entonces, como un ángulo es invariante respecto de su posición en el plano y con el único motivo de facilitar definiciones, propiedades y cálculos, es conveniente referirlo a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

4 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia y Un ángulo se encuentra en posición normal si su vértice se ubica en el origen de coordenadas O y su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas. - O De esta forma al primer cuadrante le corresponden ángulos desde 0º hasta 90º (tomados en tido antihorario), el segundo cuadrante desde 90º hasta 180º, el tercer cuadrante desde 180º hasta 70º y el cuarto cuadrante desde 70º hasta 360º. -y Al seguir girando en ese tido se obtienen ángulos mayores a 360º; por ejemplo un ángulo de 115º serán 3 giros y 1/4 y estará en el primer cuadrante, un ángulo de 10º tendrá tido horario y estará en el tercer cuadrante. Son Verdaderas o Falsas estas proposiciones? 1. un ángulo de 300º está en el cuarto cuadrante. un ángulo de 10º está en el primer cuadrante 3. un ángulo de 1500º está en el cuarto cuadrante 3. Relaciones Trigonométricas de un Ángulo C Sea un triángulo rectángulo ABC (con el ángulo recto en A). Las medidas de sus lados son a, b y c. Sus ángulos interiores son α, β y el ángulo recto γ. a El lado b se denomina cateto opuesto al ángulo α. El lado c se denomina cateto adyacente al ángulo α. b El lado a se denomina hipotenusa del triángulo. γ α A c B Se pueden encontrar las razones entre los catetos y la hipotenusa respecto a un determinado ángulo, (por ejemplo α). Los valores que se obtienen son números reales que dependerán del valor del ángulo α. Estas razones se conocen como relaciones trigonométricas y son seis: α b a Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

5 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia el o del ángulo α: es el cociente entre el cateto opuesto a α y la hipotenusa. el coo del ángulo α: es el cociente entre el cateto adyacente a α y la hipotenusa. la tangente del ángulo α: es el cociente entre el cateto opuesto a α y el cateto adyacente a α. tg c a b c la cotangente del ángulo α: es el cociente entre el cateto adyacente a α y el cateto opuesto a α. ctg c b la secante del ángulo α: es el cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente a α. sec a c la ecante del ángulo α: es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto a α. ec a b Las tres primeras se denominan relaciones trigonométricas directas. Las tres últimas son las relaciones trigonométricas recíprocas de las anteriores. O sea, en símbolos se puede escribir: ec ; sec ; ctg tg Si se tienen tres triángulos rectángulos semejantes (como en la figura), rectángulos en A y B = 30º, con BA 1 = 3 cm, BA = 5 cm y BA 3 = 8 cm respectivamente. Qué se puede decir de los cocientes CA/BC en los tres casos? C 1 C B A 1 A A 3 C 3 Los cocientes CA/BC corresponden a cateto opuesto al ángulo B dividido la hipotenusa de dicho ángulo, con lo que se estaría calculando el o del ángulo B. Como se ve, los cocientes son iguales, o sea: C1 A1 C A C3 A3 Sen B Sen 30 0,5 BC1 BC BC3 Este valor 0,5 repreta la constante de proporcionalidad que se da cuando se efectúa las razones CA/BC. Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

6 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia Esto se repite si se calculan las demás razones trigonométricas mencionadas anteriormente. Si se tienen dos triángulos rectángulos (como en la figura), rectángulos en A, con B 1 = 30º y B = 45, Qué se puede decir de los cocientes CA/CB en los dos casos? C C 1 En el primer caso, se ha calculado 30 = 1/, y en el segundo caso B A 45 =. Conclusiones Los valores de las razones trigonométricas dependen del valor del ángulo considerado. Para un mismo ángulo, las razones trigonométricas se mantienen, independientemente de la longitud de los lados del triángulo. Valores de o y coo para algunos ángulos más utilizados, del primer cuadrante. 0º 30º 45º 60º 90º o 0 1/ / 3 / 1 coo 1 3 / / 1/ 0 Sea α un ángulo de posición normal y P(; y) un punto sobre el lado terminal del ángulo. Se forma un triángulo rectángulo que tiene: como cateto opuesto a y, como cateto adyacente a, y como hipotenusa a r. y r P Por el teorema de Pitágoras: r y Por lo tanto: y, r r Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

7 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia y Si se efectúa el cociente de estas dos epresiones, queda: r r Esto último corresponde a la definición de tangente del ángulo, por lo que se tiene: α tg α α y Intentar lo siguiente 1) Completar la tabla anterior con la tangente de los ángulos dados, utilizando para ello la última relación obtenida. ) Utilizar la calculadora científica para calcular o, coo y tangente de los siguientes ángulos: 0º ; 3º ; 45º ; 16º 35 ; 60º ; 60º 54 ; 300º. 3) Utilizar la calculadora científica para calcular o, coo y tangente de los siguientes ángulos: rad; 5,5 rad; 1, rad; rad; 3/ rad; 5/6 rad. 4) Obtener (con calculadora) las relaciones trigonométricas recíprocas, para los ángulos del ítem. 3.1 Signo de las Relaciones Trigonométricas En los cálculos realizados en el ítem del ejercicio anterior, algunos de los valores obtenidos tienen signo positivo y otros son negativos. Esto se debe a la posición del punto P en el plano: según en qué cuadrante se ubique el punto P sus coordenadas irán tomando el signo positivo o negativo que corresponda, por lo tanto, se debe tener en cuenta los signos de y de r (con r + ), para determinar los signos de o, coo, tangente y sus valores inversos. Intentar lo siguiente Completar la tabla con los signos que correspondan: 3. Relación Α α α tg α cotg α sec α ec α 1 er cuadrante do cuadrante 3 er cuadrante 4 to cuadrante Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

8 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia Fundamental de la Trigonometría Sea α un ángulo cualquiera en posición normal y sea P(; y) un punto sobre el lado terminal del ángulo. Por definición: y, [1] Relación fundamental r r α + α = 1 Por el Teorema de Pitágoras: + y = r Dividiendo por r : r y r r r Reemplazando en [1]: ( α) + ( α) = Relaciones Trigonométricas Inversas Si se conoce el valor de la relación trigonométrica es posible conocer el valor del ángulo correspondiente? O sea, si se sabe que α = 0,5 entonces cuánto vale α? La respuesta es afirmativa: se utilizan las relaciones inversas. Cada relación trigonométrica tiene su inversa. En el ejemplo: α = arc 0,5. Si se hace la pregunta cuál es el ángulo cuyo o es 0,5?. La respuesta es 30. Entonces: arc 0,5 = 30. En general: Si α = b α = arc b Si α = b α = arc b Si tg α = b α = arc tg b En la calculadora o en algunos tetos se utiliza el símbolo: α = 1 b. Ejemplo: Si α = / α = arc / = /4. Intentar lo siguiente Hallar: 1) arc (-0,8) ) arctg 3) arc sec 4 4. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Si se considera un círculo de radio R = 1, con centro en el origen del sistema de coordenadas cartesianas y un ángulo central α comprendido por las semirrectas OX y OX, queda determinado un triángulo rectángulo sobre el que se pueden aplicar las relaciones trigonométricas. Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

9 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia Sea P un punto del plano de coordenadas (;y) que es la intersección de OX con la circunferencia, entonces: y α = y ec α = 1/y P α = sec α = 1/ tg α = y/ cotg α = /y O α Intentar lo siguiente En el círculo trigonométrico de la figura se ha marcado un ángulo, demuestra que: a) PM b) OM c) tg PM M M` y r = 1 P` P 5. FUNCIONES CIRCULARES (TRIGONOMÉTRICAS) Se puede observar que para cada ángulo se obtiene un valor correspondiente del o, del coo o de la tangente. Es decir, que se puede establecer una función entre los valores de un ángulo y su correspondiente valor de la relación trigonométrica. Es por eso que se obtiene una función (denominada función trigonométrica) entre un valor de variable independiente (ángulo en grados o en radianes) y un valor dependiente y (un número real) que es la imagen de a través de una relación trigonométrica. Por ejemplo, y = ó y = son funciones trigonométricas. También lo son las demás relaciones estudiadas. Si se llevan los valores de y de y sobre los ejes cartesianos es posible obtener un gráfico de la función trigonométrica. Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

10 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia 5.1 Relación entre los valores de las Funciones Trigonométricas de un Mismo Ángulo Entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo eiste una serie de relaciones, algunas de las cuales veremos a continuación. a) + = 1 b) tg c) ctg d) 1 tg ctg 1 sec e) 1 g) tg 1 sec 1 ec f) Intentar lo siguiente Aplicando las relaciones anteriores, calcular todas las funciones de, sabiendo que: a) = 0.70; º cuadrante b) tg = ; 4º cuadrante 6. Identidades Trigonométricas Son igualdades entre relaciones trigonométricas que se cumplen para cualquier valor de los ángulos que intervienen en la identidad. Es decir, son ecuaciones, pero que se verifican para todo ángulo para el cual la igualdad tenga tido. Por lo tanto en estos casos, no se tratará de encontrar ángulos, sino de probar que la identidad dada es tal. Para ello, en la mayoría de los casos conviene trabajar con las funciones o y/o coo, es decir, aquellas identidades que contengan las otras funciones, se podrán epresar en función del o o coo, según convenga. Para poder verificar la igualdad, esto es, lograr poner en evidencia que el primer miembro es idéntico al segundo, se deben utilizar convenientemente las relaciones entre las funciones trigonométricas, a veces transformando solamente el primer miembro y otras, ambos miembros a la vez. Ejemplo 1: Demostrar la siguiente identidad: tg =. tg Primero epresamos la tangente en función del o y del coo, en ambos miembros: 101 Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int. 148

11 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia = Luego hallamos el común denominador en el primer miembro: = Etrayendo factor común en el numerador del primer miembro: (1 ) = Valiéndonos de la relación fundamental podemos reemplazar la epresión entre paréntesis: = Finalmente queda: 4 = 4 con lo que la igualdad queda demostrada. Ejemplo : Demostrar la siguiente identidad: 1 1 En este caso, conviene trabajar con los dos miembros a la vez, utilizando la propiedad uniforme de la multiplicación queda: ( 1 Sen ) (1 Sen) Cos Cos Aplicando la propiedad distributiva en el primer miembro y multiplicando en el segundo: 1 Sen Sen Sen Cos Por la ley cancelativa: 1 Sen Cos Sumando Sen a ambos miembros: 1 Sen Sen Cos Sen Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

12 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia Cancelando en el primer miembro y teniendo en cuenta la relación fundamental en el segundo: Intentar lo siguiente Demostrar la siguiente identidad: ctg = ctg. 7. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 7.1 Resolución de Triángulos Rectángulos Los triángulos rectángulos tienen muchas aplicaciones, en parte porque son muchas las situaciones en el mundo real que los comprenden. Antes de resolver algunos problemas, debemos recordar que: a) Los ángulos interiores y los lados de un triángulo reciben el nombre de elementos fundamentales del mismo, y b) Un triángulo queda determinado en sus dimensiones si y sólo si se conocen tres de sus elementos fundamentales, siendo por lo menos, uno de ellos un lado. Si el triángulo es rectángulo, como ya conocemos uno de sus elementos fundamentales (el ángulo recto), bastarán dos elementos fundamentales más, que pueden ser: 1. la hipotenusa y un ángulo agudo,. un cateto y un ángulo agudo, 3. los dos catetos, y 4. la hipotenusa y un cateto. Son éstos, los cuatro casos que se estudian en la resolución de triángulos rectángulos. Recordemos también: a) que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios ( + = 90º), b) el Teorema de Pitágoras (b + c = a ), y c) que el área de un triángulo rectángulo es S = (b c) / Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

13 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia Por otra parte, debemos tener prete que para calcular una incógnita de un problema, mientras sea posible, debemos calcularla utilizando los datos del problema. Al proceder así, evitaremos lo que se denomina arrastre del error, ya que un error en el cálculo de una incógnita, utilizada para calcular otra, se trasmite a esta otra. Ejemplo: Calcular la longitud b del siguiente triángulo. Cuando resolvemos un triángulo, encontramos las medidas de sus lados y sus ángulos hasta entonces desconocidas. En ocasiones abreviamos esto diciendo que encontramos los ángulos o encontramos los lados. Intentar lo siguiente Resolver los siguientes triángulos rectángulos. Hallar el área. a) a = 34,63 m. y = 60º 45 0 b) c = 110,43 m. y = 3º 5 17 c) b = 30 m. y c = 40 m. d) a = 150 m. y c = 10 m. B c a A b C 7. Resolución de Triángulos Oblicuángulos Se estudian cuatro casos, conocidos como clási, cuyos datos son: a) dos lados y el ángulo comprendido, b) un lado y dos ángulos, c) tres lados y, d) dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Para la resolución de triángulos oblicuángulos, tenemos que tener prete: Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

14 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia 1. el teorema de los os,. el teorema del coo. Teorema del o En todo triángulo, las medidas de los lados son proporcionales a los os de los lados opuestos. a A b B c C a b c Teorema del coo En todo triángulo, el cuadrado de la medida de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos, menos el doble producto entre las mismas y el coo del ángulo opuesto al primero. a = b + c bc b = a + c ac c = b + a ba Ejemplo: Resolver el triángulo oblicuángulo y calcular su área conociendo las medidas de un lado (a = 30 m.) y de los dos ángulos adyacentes al mismo ( = 68º10 y = 15º 0 ) Solución. Cálculo de A: A = 180º (B + C) A = 180º (68º º 0 ) A = 180º 83º 30 A = 96º 30 a b Cálculo de b: A B b = A c b 68º 10 15º 0 B a = 30 C a B A Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

15 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia b = 30 68º10' 96º 30' = 30 0,987 0,99357 b = 8,03 m. Cálculo de c: a A c c = C a C A c = 30 15º 0' 96º 30' = 30 0,6443 0,99357 c = 7,98 m. Cálculo del área: S = 1 a b C S = ,03. 0,6443 Intentar lo siguiente S = 111,17 m Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, sabiendo que: a) A = 13 m.; C = 148 m. y = 51º 6 1 b) C = 156,35 m.; = 36º 5 1 y = 69º 3 13 c) A = 176 m.; B = 41 m. y C = 13 m. d) A = 300 m.; B = 00 m. y = 30º 8. Aplicaciones de la Resolución de Triángulos A menudo, para resolver un problema comenzamos por determinar un triángulo que después resolvemos para encontrar una solución. Directrices para resolver un problema de triángulos 1. Dibujar un croquis de la situación del problema.. Buscar triángulos y repretarlos en el dibujo. 3. Señalar lados y ángulos, tanto conocidos como desconocidos. 4. Epresar el lado o el ángulo buscado en términos de razones trigonométricas conocidas. Después, resolver. Ejemplo 1: Calcular la altura h de un pino tal que si nos colocamos a una distancia de 100 m. del pie del pino (A), la medida del ángulo formado entre la visual dirigida a la copa del pino y el suelo es de 38º. Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int. 148 B h 106

16 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia h Solución. tg 38º = 100 h = C 100 A tg 38 78,19 m. h = 100 0,7819 h = Ejemplo : Calcular la altura h de una torre cuyo pie (H) es inaccesible, sabiendo que si dos observadores se ubican en las posiciones A y B, a una distancia entre sí de 100 m., ven la torre bajo un ángulo de 37º 45 y 5º 10, respectivamente. (A, B y H están alineados) Solución. En el triángulo ATH: h A = AT A [1] En el triángulo BTA, por el teorema del o, h = AT AT AB AB B AT= B T T T 5º 10 37º 45 B 100 m. A H [] De [1] y [] resulta h = AB A B T Además, por propiedad de los ángulos eteriores de un triángulo, es: 37º 45 = 5º 10 + T T = 1º 35 h = º 45' 5º10' 1º 35' 100 0,61 0,455 0,1786 h = 119,50 m. Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

17 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia TRABAJO PRÁCTICO UNIDAD 4 TRIGONOMETRÍA 1. Convertir las siguientes medidas a radianes: a) 60º b) 585º0 45 c) -70º d) 115º e) 789º f) 105º. Convertir las medidas a grados: a) radianes b) 8 c) -1 d) 3/4 e) 5/4 f) π 3. Calcular la longitud de los ar cuyas amplitudes y radios son: a) = 4 radianes r = 00cm b) = 0.348radianes r = m c) = 45º r = 1.8m d) = /3 r = cm e) = 8º r = 1cm 4. A cuántos grados seagesimales equivales 1 radián? 5. Si un reloj marca las 5hs, Cuál es la medida en radianes del ángulo que forman las agujas? 6. La suma de los ángulos agudos de un rombo es 7º. Calcular el valor de los ángulos obtusos en grados seagesimales y en radianes. 7. En qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de los siguientes ángulos?: a) 34º b) 30º c) 10º d) 185º e) 60º f) 135º g) 495º h) 555º i) 1348º 8. Determinar en cada una de las circunferencias trigonométricas los segmentos que repretan al, y tg. a) b) c) d) Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

18 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia 9. Completar los gráfi correspondientes a las funciones y=, y= e y=tg utilizando el círculo trigonométrico, y determina dominio y conjunto imagen de cada una de ellas. a) b) c) 10. Observar los gráfi anteriores y completar el siguiente cuadro: tg 0 / 3/ Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

19 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia 11. Encontrar todos los entre 0 y a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 1. Si θ es un ángulo agudo y θ = ¾, encuentre los valores de las demás funciones trigonométricas de θ. 13. Si θ es un ángulo agudo y tg θ = 5/1, encuentre los valores de las demás funciones trigonométricas de θ. 14. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: a) b). sec. cotg = 1 tg c) (sec θ + tg θ) (1 θ) = θ d) ec 4 4 e) 1. 1 g) 1 1 Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int. 148 f) 1 ec 1 sec sec 15. Determinar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos a) (3,) y (7, 3) b) (0,0) y (1,3/4) c) (1,5) y (0,0) d) (1,1) y (5/3, 1) 16. Dados un punto y el ángulo de inclinación, halle en cada caso la ecuación de la recta correspondiente: a) y 45 b) y 135 c) y Dadas las siguientes medidas de los tres lados de un triángulo, cuáles de ellos son rectángulos? a) 6; 7,5 ; 4,5 b) 4 ; 8 ; 5 c) 5 ; 13, En un triángulo ABC, rectángulo en A, calcular el valor eacto de las demás partes, si: a) b = 5 y c = 5 b) b = 5 3 y c =

20 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia 19. Construir un triángulo ABC, rectángulo en A y denomine a, b y c a los lados opuestos a los ángulos con vértices correspondientes a las mayúsculas. Si α, β y γ son los ángulos cuyos vértices son: A, B y C, respectivamente, obtener los demás elementos, en cada caso: a) β = b = 40 d) b =,1 c = 5,8 b) γ = a = 0,15 e) β =37 c = 4 c) a = 45 b = 5 f) a = 0,68 c = 0,4 0. Resolver los siguientes problemas utilizando triángulos rectángulos: a) Una antena de 0 m de altura, se encuentra sujeta por un cable de 35 m. Calcular la distancia eistente entre la base de la antena y el etremo del cable. b) Calcular la altura que debe tener una escalera para que apoyada en una pared alcance una altura de,85m, al formar con el plano del piso un ángulo de 1 radián. c) La cuerda de un cometa forma un ángulo de 31º40 con el nivel del piso y tiene una longitud de 455 metros. A qué altura se encuentra el cometa? d) Cuál es el ángulo de inclinación del sol cuando un objeto de 6m proyecta una sombra de 10,3m? e) Una persona se encuentra a 10m de un árbol, y observa que la línea visual de la punta del árbol forma un ángulo de 3º con la horizontal. Calcula la altura del árbol sobre el nivel de sus ojos. f) Un alambre de suspensión mide 13,6 m de largo, y está sujeto a un poste a 6,5 metros sobre el nivel del suelo. Qué ángulo forma el alambre con el suelo? g) Calcular la superficie de un triángulo isósceles de 151m de base, sabiendo que el ángulo opuesto a ella es de 105º1 40. h) Suponga que el punto B de la figura sea la cima de una colina y el punto D es inaccesible. En tal caso las únicas mediciones posibles sobre tierra son las especificadas en dicha figura. Calcule la medida aproimada de h. Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

21 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia 1. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos (en todos los casos, las letras minúsculas repretan el lado opuesto al ángulo del mismo nombre con letra mayúscula) A 133º a. B 55º a 1m a 7m b. b 9m C 60º A 45º c. B 30º c,5m a 3m d. b 4m c 5m A / 3 e. B / 6 a 1 a 7km f. b 5km B 133º a 3km g. b 4km c 8km b 8cm h. c 19cm C 60º. Y ahora algunos problemas a) Uno de los lados de un triángulo mide 1 y su ángulo opuesto mide 0º. Si otro de los lados mide 10m, hallar el resto de los elementos del triángulo. b) Los lados de un triángulo miden a, ½ a y /3 a. Hallar los ángulos c) Uno de los lados de un triángulo mide 0,5 radianes. Si los lados que forman dicho ángulo miden8 mm y 10 mm, hallar el resto de los elementos del triángulo. d) Si se abren completamente un par de tijeras, la distancia entre las puntos de las dos hojas es de 10 cm. Calcular el ángulo que subtienden dichas hojas si su longitud es de 8 cm. e) Desde un punto del suelo un observador ve que la visual a la punta de una torre forma con la horizontal un ángulo de 30º. Cuando avanza 0 m hacia la torre, dicho ángulo es de 45º. Hallar la altura de la torre. f) Dos puestos de observación A y B, separados por una distancia de 4km, forman un triángulo con el pico de la montaña. Desde el puesto A, el ángulo entre el pico de la montaña y el puesto B es de 0º, y desde el puesto B, el ángulo ente el pico y el puesto A es de 30º. Calcular las distancias ente el pico y dada uno de los puestos de observación. g) En el triángulo ABC, el lado AB mide 13m, lado BC mide 15m y el AC mide 14m. Calcula el área del triángulo. h) Juan va a cercar con alambre un terreno triangular, uno de cuyos lados mide 8,5 m y otro de ellos mide 10,45m. El ángulo comprendido entre ambos lados es de 110º. Cuántos metros de alambre necesitará Juan? 3. Un avión sobrevuela una ciudad tera a 100m de altura; cuando pasa por la playa, avista una isla que se encuentra a 078 m de la playa. Calcule el ángulo que Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int

22 Facultad de Ciencias Eactas, Químicas y Naturales "016 - Año de Bicentenario de la Declaración de la Independencia forma la línea que une la posición del piloto en ese instante y la isla, con la superficie del mar (horizontal). Epresar éste ángulo en grados seagesimales y en radianes. 4. En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide,5 m y el otro mide el triplo de éste. Construya un dibujo repretativo y obtenga: a) el valor de la hipotenusa. b) la medida del ángulo agudo interior mayor. 5. En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide Si el cateto adyacente a éste mide 5,7 cm, cuál es el valor de la hipotenusa?. Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. U.Na.M.: Tel / int