Prof. Tarsicio Bermeo

Transcripción

1

2 Versión: 003 Prof. Tarsicio Bermeo

3 Contenido Introducción Representación tabular y gráfica de datos Representación tabular Representación gráfica Medidas de tendencia central y de posición La media aritmética Otras medidas de tendencia central y medidas de posición Medidas de dispersión y de forma Medidas de dispersión Medidas de forma... 19

4 Introducción Este cuadernillo de ejercicios de estadística está dirigido a los alumnos y las alumnas que cursan la asignatura de Fundamentos de Estadística, en la orientación en ciencias físico matemáticas, durante el quinto semestre de bachillerato, en la Unidad Académica Preparatoria de la Universidad Autónoma de Zacatecas. El contenido es básico e introductorio, su objetivo es presentar a los a lumnos a la estadística como la ciencia que se encarga de la recolección, análisis e interpretación de datos, y habilitarlos para describir conjuntos de observaciones sencillos por medio de herramientas tabulares, gráficas y numéricas. La propuesta de trabajo con el uso del cuadernillo radica en que que los ejercicios los realicen los alumnos durante la clase, una vez que el profesor haya explicado los conceptos y demostrado los procedimientos involucrados en cada problema planteado. La idea anterior, se basa en el hecho innegable de que la mejor forma de aprender estadística es resolviendo ejercicios de estadística. Este cuadernillo cuenta con cien versiones, con ejercicios iguales, pero conjuntos de datos diferentes (o mejor dicho similares), con la inteción de desmotivar la simple copia de los resultados, y al mismo tiempo, promover el trabajo en equipo y colaborarivo. Adicionalmente, después de cada ejercicio, y como apoyo a la explicación del profesor, se describe, de manera resumida y simplificada, el procedimiento para resolverlo. Además de un instrumento de aprendizaje, el cuadernillo es también un instrumento de evaluación, completarlo es uno de los requisitos para aprobar la asignatura. Finalmente, este cuadernillo y sus cien versiones, fue realizado únicamente con software libre: los conjuntos de datos fueron hechos con el programa para estadística R, el diseño fue hecho en Inkscape y la maquetación en Scribus; también se usaron las herramientas Writer para la edición de textos y Math para la edición de fórmulas, ambas de Libre Office; todo funcionando en el sistema operativo Ubuntu LTS (Trusty Tahr). 4

5 1. Representación tabular y gráfica de datos 1.1 Representación tabular Hijos. El conjunto de datos siguiente se refiere al número de hijos de una muestra de 129 familias de una ciudad: 1, 1, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 0, 3, 3, 3, 3, 2, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 3, 3, 3, 1, 4, 1, 0, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 0, 2, 5, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 0, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 1, 3, 1, 4, 4, 0, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 1, 0, 3, 4, 2, 0, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 3 Elabore una tabla de distribución de frecuencias para resumir los datos, anote los resultados en los espacios reservados para ello. x i n i f i N i F i Dado un conjutno de datos, obtenido por medio de una muestra de tamaño n extraída de una población N, de la que interesa una variable X que puede tomar las modalidades x 1, x 2,..., x r. Se conoce como frecuencia absoluta de la modalidad x i al número de veces n i que aparece la modalidad en las observaciones realizadas. Al cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra se le llama frecuencia relativa, e indica la proporción de cada modalidad en el total. 5

6 La frecuencia absoluta acumulada sólo tiene sentido para datos de variable cualitativa ordinal o cuantitativa, y se refiere a la frecuencia de observaciones hasta la modalidad i. De manera análoga, la frecuencia relativa acumulada, se define como la proporción de observaciones una vez alcanzada la modalidad i, y por tanto, sólo es relevante si el orden de las modalidades es importante Flujo de regadera. Los siguientes datos se refieren al flujo de las regaderas (l/min) de una muestra de casas de una ciudad; los datos han sido ordenados de menor a mayor: 1.77, 2.47, 2.83, 2.83, 3.30, 3.30, 3.30, 3.42, 3.48, 3.82, 3.85, 3.99, 4.02, 4.05, 4.13, 4.36, 4.44, 4.46, 4.59, 4.63, 4.64, 4.65, 4.77, 4.80, 4.85, 4.86, 4.96, 4.99, 4.99, 5.20, 5.30, 5.32, 5.34, 5.37, 5.38, 5.45, 5.45, 5.78, 5.87, 5.89, 5.92, 6.10, 6.11, 6.28, 6.31, 6.42, 6.43, 6.43, 6.44, 6.45, 6.46, 6.46, 6.47, 6.53, 6.56, 6.69, 6.77, 6.91, 6.94, 7.05, 7.07, 7.11, 7.12, 7.14, 7.29, 7.38, 7.42, 7.47, 7.53, 7.66, 7.69, 7.74, 7.76, 7.84, 7.91, 8.07, 8.12, 8.14, 8.15, 8.25, 8.26, 8.26, 8.40, 8.62, 8.69, 8.82, 8.83, 8.85, 8.94, 8.95, 9.01, 9.02, 9.21, 9.53, 9.84, 9.94, 10.21, 10.26, Elabore una tabla de distribución de frecuencias; anote sus resultados en los espacios correspondientes. n i [l i 1, l i ) N i F i f i 6

7 Si se trabaja con datos de variable cuantitativa discreta con muchas modalidades, o con observaciones de variable cuantitativa continua, los datos se agrupan en intervalos de clase. Hay muchas formas para determinar el número de intervalos k para construir una tabla; una manera sencilla es utilizar el primer número k que como potencia de 2 sea igual o mayor que el total de datos n. La amplitud (o ancho) de los intervalos de clase se obtiene como el cociente de la diferencia entre el dato mayor y el dato menor y el número establecido de intervalos. Y que se redondea según la precisión de los datos. Cada intervalo se compone de dos números, un límite inferior y un límite superior; el límite inferior del primer intervalo suele ser el dato menor. El límite superior del primer intervalo es igual a su límite inferior más la amplitud. Los límites inferiores del segundo intervalo y siguientes son iguales al límite superior del intervalo anterior. De manera similar, los límites superiores del segundo intervalo y siguientes, son iguales al límite inferior de cada intervalo más la amplitud. El proceso descrito debe continuar hasta obtener el intervalo k, cuyo límite superior debe ser un número ligeramente superior al dato mayor. Para calcular las frecuencias absolutas de cada intervalo, usualmente estos se consideran cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha. 7

8 1.2 Representación gráfica Peso. La siguiente tabla de de distribución de frecuencias se refiere al peso en kilogramos de una muestra de 120 recién nacidos de una ciudad. [l i 1, l i ) n i [1.66, 1.99) 2 [1.99, 2.32) 10 [2.32, 2.65) 23 [2.65, 2.98) 35 [2.98, 3.31) 26 [3.31, 3.64) 16 [3.64, 3.97) Dibuje un histograma absoluto y un histograma relativo, y comente la forma de la distribución, la variabilidad y el centro (aproximado) del conjunto de datos. 8

9 Un histograma es una representación gráfica para datos de variable cuantitativa en escala continua, se construye con base en una tabla de distribución de frecuencias con intervalos. Para hacer un histograma, en el eje de las abscisas se acomodan los límites de los intervalos de clase, y en el eje de las ordenadas, las frecuencias absolutas o relativas; finalmente, se levantan columnas del ancho de cada intervalo y altura igual con la frecuencia. El histograma muestra tres aspectos de un conjunto de observaciones: la forma de la distribución (simétrica o asimétrica), la variabilidad (poco o muy variable), y el centro (valor aproximado hacia el cual los datos tienden). 9

10 2. Medidas de tendencia central y de posición 2.1 La media aritmética Palomas. Para realizar un determinado experimento un zoólogo midió la anchura interorbital, en milímetros, de una muestra de palomas, y obtuvo los datos que aparecen en seguida. Calcule la media aritmética, y anótela en el recuadro correspondiente. 11.5, 10.1, 10.6, 9.5, 10.9, 12.4, 9.7, 8.9, 10.9, 10.2, 11.6, 10.3, 12.0, 10.7, 9.3, 11.1, 10.4, 9.3, 11.2, 11.6, 10.9, 11.3 Para calcular la media aritmética se suman los datos y el total se divide entre el número de éstos; en muchas ocasiones, la media es usada para resumir a todas las observaciones con un solo valor Ciclista. En una pista de 50 kilómetros de largo, un ciclista circula a una velocidad media de 40 km/hr durante los 10 primeros kilómetros, a 25 km/hr durante los siguientes 25, y a 20 km/hr durante los 15 últimos. Calcule la velocidad media a lo largo del recorrido. Cuando las diferentes observaciones no tienen la misma importancia dentro del conjunto, se usa la media aritmética ponderada, en donde a cada dato de le asigna un peso w i Control de calidad. Calcule la media aritmética de piezas defectuosas que un técnico en control de calidad encontró en una muestra de lotes de 20 unidades, y que registró en la siguiente tabla. 10

11 Piezas defectuosas Lotes Si los datos ya han sido ordenados en una tabla de frecuencias, la media se calcula dividiendo la suma del producto de cada modalidad y su frecuencia absoluta entre el total de observaciones Espera. El tiempo de espera, en minutos, de una muestra de pacientes de cierto ambulatorio médico, es como se muestra en la siguiente tabla. Tiempo de espera [l i 1, l i ) [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) Pacientes n i Calcule la media aritmética y anótela en el espacio correspondiente. Para calcular la media aritmética de un conjunto de datos ordenado en una tabla de distribución de frecuencias con intervalos de clase, es necesario buscar un representante de cada intervalo. A estos representantes se les conoce como marcas de clase, y son el punto medio entre el límite inferior y superior de cada intervalo. Una vez obtenidas las marcas de clase se usa la fórmula mencionada en el acápite anterior para calcular la media aritmética. 11

12 2.2 Otras medidas de tendencia central y medidas de posición Ignición. Un fabricante de aislantes a base de silicón quiere determinar el punto de ignición de sus productos; idealmente, el valor máximo sería 175 C. Toma una muestra de 16 aislantes, los datos, ordenados de menor a mayor, son los siguientes: 135, 135, 148, 151, 153, 155, 159, 161, 162, 162, 166, 168, 169, 170, 170, 174 a) Calcule el tiempo de ignición mediano. b) Determine los cuartiles 1 y 3. c) Cuál es el orden percentil del aislante que se encendió a los 161 C. La mediana se define como aquel valor dentro del conjunto de observaciones por debajo del cuál se encuentra la mitad de éstas, una vez que los datos han sido ordenados de menor a mayor. Es claro que la restante mitad de las observaciones se encuentra por encima del valor de la mediana. Para calcular la mediana primero es necesario determinar si el tamaño de la muestra n es un número impar o un número par, y después usar la fórmula siguiente: Donde el subíndice entre paréntesis indica la posición que ocupa el dato una vez que el conjunto de observaciones ha sido ordenado de menor a mayor. 12

13 Los cuartiles, por su parte, son medidas de posición, y se definen como los tres valores necesarios para dividir al conjunto de datos en cuatro partes iguales, cada una de las cuales que agrupa el 25% del total de observaciones. Otras medidas de posición comúnmente utilizadas son los deciles, que dividen a los datos en diez partes iguales, y los percentiles, que los dividen en cien, y que se calculan de forma análoga. El cuartil de orden k (1, 2 ó 3) es aquel dato que, una vez que el conjunto ha sido ordenado de menor a mayor, ocupa la posición: Es decir: Donde es fácil saber que el segundo cuartil es igual a la mediana. Si el subíndice de la x no es un número entero, entonces puede usarse la siguiente relación para calcular el cuartil que interese. Donde entero y fracción son la parte entera y la parte fraccionaria, respectivamente, del subíndice. En ocasiones es necesario saber qué posición ocupa una determinada observación dentro del conjunto de datos, es decir, qué porcentaje de los datos está por debajo de dicho valor, o en otras palabras, cuál es el orden percentil que le corresponde. Para encontrar el orden percentil k de un dato determinado, se usa la siguiente fórmula: Ignición (2). Los tiempos de ignición en minutos de una muestra de material de tapicería fabricados por una empresa, han sido registrados por el departamento de control de calidad y organizados en la siguiente tabla de distribución de frecuencias. 13

14 Tiempo de ignición [l i 1, l i ) [0.2, 1.9) [1.9, 3.6) [3.6, 5.3) [5.3, 7.0) [7.0, 8.7) [8.7, 10.4) [10.4, 12.1) Tapices n i a) Calcule el tiempo de ignición mediano. b) Determine el tiempo de ignición modal. c) Encuentre los cuartiles 1 y 3, y los percentiles 10 y 90. Para calcular la mediana de datos que han sido organizados en una tabla de distribución de frecuencias es necesario, en primer término, calcular la columna de frecuencias absolutas acumuladas N i. Enseguida se calcula n/2, y ese valor se busca en la columna de frecuencias absolutas acumuladas hasta encontrar la primer N i que sea mayor o igual, la que se corresponde con el intervalo que contiene la mediana. Hecho lo anterior, se aplica la siguiente fórmula para encontrar el valor de la mediana: En donde la amplitud o ancho de cada intervalo es igual con: 14

15 La moda, por su parte, es otra medida de tendecia central, y se define como el dato que más se repite dentro del conjunto de observaciones. En datos ordenados en una tabla de distribución de frecuencias, el intervalo que contiene la moda es el que tiene mayor frecuencia absoluta. Una vez identificado el intervalo modal, se usa la siguiete fórmula para encontrar el valor de la moda: En donde: Para encontrar los cuartiles y los percentiles se usa un procedimiento similar al utilizado para calcular la mediana. Para ambas medidas de posición, como para la mediana, es necesario determinar primero la columna de frecuencias absolutas acumuladas. Para encontrar el valor del cuartil de orden k se calcula kn/4 y se utiliza la fórmula: Y para el percentil de orden k se calcula kn/10 y se usa la fórmula siguiente: 15

16 3. Medidas de dispersión y de forma 3.1 Medidas de dispersión Resistencia. Las siguientes medidas (en newtons), que han sido ordenadas de menor a mayor, se obtuvieron de un ensayo realizado en muestras de hule para determinar su resistencia a la tensión: 1378, 1380, 1387, 1390, 1406, 1412, 1417, 1418, 1422, 1429 a) Calcule el rango y el rango intercuartílico. b) Calcule la desviación media. c) Calcule la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación, y diga qué tanta variabilidad hay en este conjunto de datos. El rango de un conjunto de observaciones es, simplemente, la diferencia entre el dato mayor y el dato menor. Es claro que si todos los datos son iguales el rango será cero. El rango intercuartílico sigue la misma lógica que el rango, pero elimina al 25% de los datos de menor magnitud y al 25% de los datos de mayor magnitud, es decir, es la distancia entre el 50% de las observaciones que están en el centro. La desviación media es la media aritmética del valor absoluto de las desviaciones de cada dato respecto a la media. Es fácil observar que entre más grande sea la desviación media, más variabilidad existirá al interior de las observaciones. 16

17 La varianza, por su parte, es la media del cuadrado de las desviaciones de los datos respecto a la media. Una fórmula alternativa de calcular la varianza es la siguiente: La varianza, sin embargo, está expresada en las unidades de medida al cuadrado de las observaciones, por lo que se define la desviación estándar como: La desviación estándar se interpreta de manera similar a la desviación media, y ambas dependen de las unidades de medida de los datos. Una medida de dispersión adimensional, es decir, sin unidadesde medida, es el coeficiente de variación. El coeficiente de variación expresa la variación relativa de los datos con respecto a la media, y usualmente se expresa en términos porcentuales. Un conjunto de datos con un Cv de entre 0 y 15% puede considerarse como poco variable; si el coeficiente se encuentra entre 15 y 25% el conjunto es moderadamente variable; mientras que puede decirse que un conjunto de observaciones con un coeficiente mayor de 25% es muy variable. 17

18 3.1.2 Resistencia (2). Los resultados de una prueba a la tensión (en mn/m 2 ) de una muestra de 40 probetas de aleaciones de aluminio seleccionadas al azar de una cierta fábrica, se presentan en la tabla de distribución de frecuencias siguiente. Resistencia [l i 1, l i ) [155, 165) [165, 175) [175, 185) [185, 195) [195, 205) [205, 215) [215, 225) Probetas n i a) Calcule la desviación media. b) Calcule el coeficiente de variación, y diga qué tanta variabilidad muestran los datos. La fórmula para calcular la desviación media para datos que se encuentran organizados en una tabla de distribución de frecuencias se modifica de la siguiente manera: De manera similar, la fórmula de la varianza, necesaria para calcular la desviación estándar y el coeficiente de variación, es: 18

19 O alternativamente: 3.2 Medidas de forma Recién nacidos. Los siguientes 20 datos se refieren al número de semanas a las que una muestra de recién nacidos comenzó a gatear; los datos han sido ordenados de menor a mayor. 19, 19, 23, 23, 23, 26, 26, 27, 27, 30, 31, 32, 32, 35, 36, 36, 36, 39, 40, 42 a) Calcule el coeficiente de asimetría de Pearson. b) Calcule el coeficiente de asimetría de Bowley. c) Calcule el coeficiente de asimetría de Fisher. El coeficiente de asimetría de Pearson se apoya en el hecho de que, en distribuciones simétricas, la media y la mediana tienden a tomar, más o menos, el mismo valor. No es difícil apreciar que si la media y la mediana son iguales, y la distribución es simétrica, entonces el coeficiente S es cero. Por otro lado, si el coeficiente es mayor que cero, se considera que la distribución tiene una asimetría positiva, y que tiene una asimetría negativa si el coeficiente es un número negativo. El coeficiente de Bowley, por su parte, se basa en el hecho de que, en distribuciones simétricas, la distancia entre la mediana y el primer cuartil, y la 19

20 distancia entre el tercer cuartil y la mediana, son iguales y, por tanto, la diferencia entre ambas distancias es, obviamente, cero. De forma análoga, si el coeficiente AB es mayor que cero el conjunto de datos presenta una asimetría positiva, y una negativa si es menor. En distribuciones perfectamente simetricas, a cada desviación positiva con respecto a la media le corresponde una desviación negativa y, por tanto, la suma de las desviaciones cúbicas es cero; ésta es la logica del coeficiente de asimetría de Fisher. El cálculo del coeficiente de Fisher se basa el el concepto de momentos con respecto a la media aritmética de un conjunto de datos, específicamente en el tercero de los momentos. Donde: Para fines prácticos, el coeficiente de asimetría de Fisher puede calcularse como: decir: Y se interpreta igual que los coeficientes de Pearson y de Bowley, es Si g 1 =0 la distribución es simétrica, Si g 1 >0 la distribución es asimétrica positiva, Si g 1 <0 la distribución es asimétrica negativa. 20

21 En la práctica es muy difícil encontrar coeficientes de asimetría iguales con cero, y además, no existe un critero que indique qué tan proximo a cero debe ser un coeficiente para considerar a la distribución del conjunto de datos como simétrica Nubes. La tabla de distribución de frecuencias siguiente muestra la cantidad de lluvia producida, en acres pie, por una muestra de 20 nubes inseminadas por una empresa con nitrato de plata. Acres pie [l i 1, l i ) [59, 89) [89, 119) [119, 149) [149, 179) [179, 209) Nubes n i a) Calcule el coeficiente de asimetría de Pearson. b) Calcule el coeficiente de asimetría de Bowley. c) Calcule el coeficiente de asimtería de Fisher y el coeficiente de curtosis. En distribuciones simétricas es posible calcular el coeficiente de curtosis, que se define como el cuarto momento respecto a la media aritmética entre la cuarta potencia de la desviación estándar. Y que señala qué tan apuntados, o cercanos a la media aritmética, están los datos con los que se está trabajando. 21

22 De acuerdo con este coeficiente, las distribuciones pueden clasificarse en leptocúrticas (o muy apuntadas), mesocúrticas (o normales), o platicúrticas (o muy aplanadas) siguiendo los criterios siguientes: Si g 2 =0 la distribución es mesocúrtica, Si g 2 >0 la distribución es leptocúrtica, Si g 2 <0 la distribución es platicúrtica. ooo 22