Capítulo VIII : Adelgazamientos. Adelgazamiento y espesamientos homotópicos

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Cristián García Vera
hace 6 años
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1 Capítulo VIII : Adelgazamientos Todo-nada adelgazamiento espesamiento Homotopía Homotopia y conectividad Adelgazamiento y espesamientos homotópicos J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.

2 Definición (J.Serra) Transformación todo-nada La aplicación todo-nada η Τ (sect.ii-2) generaliza tanto la dilatación como la erosión. Involucra un par de elementos estructurantes T' y T": T=(T',T") η Τ (X) = {z: T"(z) X c ; T'(z) X} = ε Τ ' (X) ε Τ '' (X c ) T: Centro T': T": ε T' (x) X: ε T" (x c ) hmt(x) J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.2

3 Adelgazamiento y espesamiento Definición (A. Rosenfeld, J.Serra) El adelgazamiento θ Τ es el residuo entre el conjunto inicial y su transformación todo-nada : θ Τ (X) = X \ η Τ (X) = X \ [ε Τ ' (X) ε Τ '' (X c )] Centro T: T': T": X: hmt Residuo Adelg(.) Por dualidad para el complemento, el espesamiento ξ Τ se define como: ξ Τ (X) = X η Τ (X) = X [ε Τ ' (X) ε Τ '' (X c )] J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.3

4 Propiedades de espesamientos y adelgazamientos Extensividad El adelgazamiento es anti-extensivo, el espesamiento es extensivo. Para que un adelgazamiento (resp. un espesamiento ) no sea la identitad, el centro debe pertenecer a T' ( resp. a T" ). Dualidad Adelgazamiento y espesamiento son duales en el siguiente sentido: Uso θ Τ ', T " (X) = [ ξ Τ ",T' (X c ) ] c En morfología, los adelgazamientos y espesamientos se usan para definir transformaciones que preserven la homotopía, y en particular para calcular esqueletos homotópicos. J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.4

5 Homotopía de conjuntos Definición Dos conjuntos son homotópicos si existe una aplicación bicontinua de uno al otro de forma que: -cada grano y su transformado contienen el mismo número de agujeros. -y cada agujero y su transformado el mismo número de granos. Conjuntos homotópicos Conjuntos no-homotópicos J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.5

6 Definición (J.Serra) Homotopía para funciones La noción de homotopía para funciones se define mediante las secciones. Dos funciones son homotópicas si se puede encontrar auna anamorfósis de niveles de gris que haga homotópicas las secciones de los mismos niveles. Intuitivamente, la homotopía caracteriza las estructuras de los mínimos, máximos y puntos silla Funciones homotópicas Funciones no homotópicas J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.6

7 Transformaciones homotópicas Definición Una transformación es homotópica si su entrada y su salida tienen la misma homotopía. Hasta ahora, la única transformación homotópica que hemos visto es el esqueleto en el caso Euclídeo. En el caso digital esta propiedad desaparece. Para preservar la homotopía digital, se reemplazan los esqueletos por adelgazamientos. Esqueleto Digital Esqueleto contínuo J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.7

8 Homotopía y conectividad digital En el caso digital, la definición de conectividad y como consecuencia de homotoía no es única. Por ejemplo el número de conjuntos de la siguiente figura no es obvio a priori: =? Para definir la conectividad, esnecesario definir reglas de conectividad entre puntos del primer plano y del fondo. Nota: Las reglas de conectividad no deben permitir la conectividad cruzada entre puntos del primer plano y del fondo:? J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.8

9 Conectividades para rejilla cuadrada (I) En la práctica, se usan tres conectividades por arco. er caso(a. Rosenfeld) conectividad a 8 para el primer plano. conectividad a 4 para el fondo Propiedades Invarianza a translaciones Invarianza a rotaciones de 90 No autodual. Conectividad a 8 para el er plano Conectividad a 4 para el fondo J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.9

10 Conectividades para rejilla cuadrada (II) 2 o caso (A. Rosenfeld) conectividad a 4 para el primer plano. conectividad a 8 para el fondo Propiedades Invarianza a translaciones Invarianza a rotaciones de 90 No autodual. Conectividad a 4 para el er plano Conectividad a 8 para el fondo J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.0

11 Conectividad para rejilla hexagonal 3er caso (M.J.E. Golay) conectividad a 6 para el primer plano. conectividad a 6 para el fondo Propiedades Invariante a translaciones. Invariante a rotaciones de 60 Autodual. Conectividad a 6 para el er plano. Conectividad a 6 para el er fondo. N.B.Practicamente, la rejilla hexagonal esta simulata algoritmicamente àpartir de dadas experimentales en rejilla cuadrada. J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.

12 Adelgazamientos y espesamientos homotópicos Un adelgazamiento o engordamiento es homotópico si se basa en un doble elemento estructurante T = (T',T") que preserve la homotopía. Proposición ( J. Serra) En rejilla hexagonal, existen únicamente cinco transf. todo-nada cuyos T y T" pertenezcan al hexágono unidad. (el resto se puede obtener por rotaciones, reflexiones, y complementación): Homotópico Homotópico y el cambio del punto central preserva la homotopía si y sólo si la frontera del hexágono sólo contiene una transición de 0 a. Esta propiedad sólo la cumplen los elementos de las clases segunda y tercera T' T" T' o T" J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.2

13 Adelgazamiento y engordamiento secuencial En la práctica, el adelgazamiento y el engordamiento se usan secuencialmente. Por ejemplo, dado un elemento estructurante L=(L',L"), se efectúan varios "adelgazamientos con todas las posibles rotaciones de L y la transformación se repite hasta la idempotencia: L L2 L3 L4 L5 L6 θ L = lim n (θ (θ L... (θ L5 (θ L6 ))) n Para n suficientemente grande, el adelgazamiento secuencial límite es anti-extensivo, idempotente y preserva la homotopía (pero no es creciente) J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.3

14 Un ejemplo de adelgazamiento secuencial J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.4

15 Propiedades del adelgazamiento límite El resultado no siempre es delgado. Por ejemplo, el siguiente conjunto no se modifica al adelgazar con el elemento estructurante L: La elección del elemento inicial y el orden de la secuencia influye en el resultado final. Los adelgazamientos no son muy robustos. Su falta de robustez se debe a la aparición de ramas parásitas que dependen de pequeñas irregularidades del contorno, y del modo en que se rotan los elementos estructurantes. J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.5

16 Elementos estructurantes básicos (rejilla hexagonal) Elemento Estructurante Adelgaz. Secuencial Engord. Secuencial Todo-nada L Esquel. de la forma Esqueleto del fondo M D Esquel. de la forma con ramas Marcador homotópico Engorde de puntos aislados Envolvente cuasi-convexa Homotópico E Poda del esqueleto Poda del fondo Puntos extremos F I Puntos triples Puntos aislados No-homótopico J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.6

17 Referencias Sobre ''Hit or or Miss'' :: La Latransformación ''Hit or or Miss'' se sepuede considerar como el el punto de de partida de de la la morfología matemática. La La introdujo J.Serra en en 965{SER65}, e independientemente M.J.Golay en en 969 para rejillas hexagonales{gol69}. Sin embargo, el el teorema fundamental de debanon- Barrera es es mucho más reciente {BAN9}. Sobre adelgazamientos :: La La esqueletización digital por medio de de adelgazamientos se se remonta a A.Rosenfeld, quien trató el el caso de de la la rejilla cuadrada. {ROS70}. En En {SER82,cáp.} se se desarrolla un un estudio sistemático del del ''adelgazamiento'' en en el el caso hexagonal discreto, donde se se puede encontrar por primera vez la la definición de de homotopía para funciones numéricas (en cáp. 2), tal tal y como se se presenta en en el el curso (existen definiciones alternativas). J. Serra Ecole des Mines de Paris (2000 ) Morfología Matemática VIII.7

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