GUIAS DE TRIGONOMETRIA

Transcripción

1 INSTITUCION EDUCATIVA PEDRO ANTONIO MOLINA Sede JORGE ELIECER GAITAN GUIA 2 DE MATEMATICAS Tema: Razones Trigonométricas Año Lectivo: 2017 Grado: 10 9; y Profesor: Ariel Aristizábal U GUIAS DE TRIGONOMETRIA POR : ARIEL ARISTIZABAL U UNIDAD : 2. INDICADORES DE LOGRO : FUNCIONES Identifica cuando una función es inyectiva, sobreyectiva ó biyectiva. Formula y determina los elementos de una función. Define las relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Soluciona triángulos rectángulos empleando las razones trigonométricas. Cumple responsable y puntualmente con sus deberes y tareas. Hace buen uso del pupitre y las guías de estudio. Definición : Una función de un conjunto A hacia un conjunto B es una correspondencia que asocia cualquier elemento de A exactamente con un elemento de B. El conjunto A se llama dominio de la función y el conjunto B será la imagen o rango. Las funciones son importantes en trigonometría y muchos otros campos. Un ejemplo de esto serían las carreras de automóviles, donde los conductores de los vehículos tienen que desarrollar una estrategia para la carrera y verificar continuamente el comportamiento del vehículo, mediante el tiempo de conducción como una función de la velocidad. La ecuación t = 200/s, describe la correspondencia que existe entre la velocidad promedio s y el tiempo empleado al recorrer una distancia de 200 km. Si se ha planeado desarrollar una velocidad promedio de 80 km/h, el tiempo empleado será 200/80 ó 2.5 horas. Esto se puede simbolizar de la siguiente manera : que quiere decir 80 corresponde a 2.5 EJERCICIO : Realiza la gráfica s v.s t, para el ejemplo dado del vehículo de carreras cuyo comportamiento esta dado por la ecuación t = 200/s, para velocidades s promedio de 20, 30, 40, 50, 60,...130, 140, 150 km/h Como el valor de t depende del valor de s, t es la variable dependiente y s la variable independiente. La variable independiente representa los elementos en el dominio y generalmente se grafica sobre el eje horizontal, mientras que la variable dependiente representará el rango y generalmente se grafica sobre el eje

2 vertical ; cuando se grafican funciones en el sistema de coordenadas xy, se acostumbra usar el eje x para la variable independiente y el eje y para la variable dependiente. Ejercicio. Consulta : a. Que es una función uno a uno b. Que es una función Sobreyectiva c. que es una función Biyectiva d. dar ejemplos de cada una. e. Que diferencia hay entre relación y función. 2. El número de chirridos, c, que emiten por minuto los grillos de cierta especie, se relaciona con la temperatura t en la escala Fahrenheit por medio de la función lineal c = 4t a. Encuéntrese el número de chirridos por minuto a 72 0 F. b. Grafíquese la función con t en el eje horizontal y c en el vertical ; dígase si se trata de una función del tipo uno a una. c. Si los grillos emiten sonidos 29 veces en 15 segundos, dígase cuál es la temperatura existente en ese lugar. Funciones trigonométricas INTRODUCCIÓN Una de las ramas de las matemáticas más interesantes por su practicidad es la trigonometría, que aparece con Hiparco, 150 años antes de nuestra era, al aplicarla a la astronomía. Después de Hiparco, continuaron desarrollando la trigonometría hombres como Claudio Ptolomeo, Arybhata, Johan Miiller, Jorge Joaquín Rético, Francisco Vieto, Leonardo Euler, John Napier o Néper, Henry Briggs y otros. Qué es la trigonometría? el nombre proviene de las raíces griegas trigónom (triángulo) y metron (medida), de tal suerte que la palabra trigonometría significa medición de los triángulos. También se le ha definido como la ciencia de la medida indirecta, pues a través de ella se pueden calcular distancias imposibles de medir directamente. Como es en estos casos donde reside la importancia excepcional del estudio, tanto teórico como práctico, de la trigonometría, en este capítulo estudiaremos los conceptos básicos para resolver algunos problemas que hasta el momento, con los conocimientos estudiados en geometría, no sería posible resolver. Ejemplos a) Un montañista desea escalar una montaña que tiene una longitud de m desde su base a la parte más alta, y una pendiente de 48. Cuál es la altura de la montaña? b) Un obrero tiene una escalera de 8 m de longitud. Qué ángulo debe formar con el piso, si quiere alcanzar la parte más alta de una pared de 5 m de altura? c) Un mecánico desea que le construyan una rampa para subir automóviles a una altura de 8 m. Si la rampa tiene una pendiente de 25, qué longitud tendrá la rampa? Para resolver estos problemas, será necesario estudiar trigonometría.

3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS, DEFINIDAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO La trigonometría se basa en relaciones llamadas funciones trigonométricas, que son las razones existentes entre elementos rectilíneos ligados a un ángulo, cuya variación dependerá de la variación del ángulo. Por ejemplo, observemos la figura 8.1 FIGURA 8.1 Recordemos que un ángulo está en su posición normal si tiene su vértice en el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas. Asimismo, el lado terminal del ángulo puede quedar en cualquiera de los cuatro cuadrantes. Analicemos ahora la figura 8.2 FIGURA 8.2 En esta figura, son, respectivamente, la abscisa, la ordenada y el radio vector del punto B. De estos segmentos de recta, se forman las razones Por otra parte, si Q es otro punto cualquiera de OR y PQ es perpendicular a OX, los triángulos OAB y OPQ son semejantes, por lo que cada una de las razones anteriores será igual a las correspondientes formadas con la abscisa, la ordenada y el radio vector de Q. En consecuencia, el valor de cada razón dependerá de la magnitud del ángulo θ (theta) y no de la posición de los puntos B y Q. El valor de cada razón se determina al asignar un valor definido al ángulo θ, por lo que todas estas relaciones son funciones del ángulo θ. A estas relaciones se les llama funciones trigonométricas del ángulo θ y cada una de ellas recibe un nombre especifico, el cual se define de la manera siguiente: FIGURA 8.3

4 Dado un ángulo cualquiera θ en su posición normal, tomemos un punto cualquiera B situado en el lado terminal del ángulo y consideremos x, y y r como abscisa, ordenada y radio vector, respectivamente; las funciones trigonométricas del ángulo se definen como: Es importante notar que las abreviaturas en los nombres de las funciones trigonométricas no van seguidas del punto ortográfico y que su uso sin el correspondiente símbolo del ángulo carece de significado. Asimismo, dichas funciones tienen su recíproco: Sen θ tiene como recíproco a Csc θ Cos θ tiene como recíproco a Sec θ Tan θ tiene como recíproco a Cot θ Repasemos nuevamente estas razones para un triángulo rectángulo: RAZONES TRIGONOMETRICAS B c a α C b A En la ilustración el triángulo ABC es rectángulo ; hallemos todas las posibles razones entre las longitudes de sus lados, referidas a los ángulos agudos y. En el ABC, AC y CB son los catetos y AB es la hipotenusa, para el ángulo AC es el cateto adyacente y CB es el cateto opuesto ; para el ángulo BC es el cateto adyacente y AC es el cateto opuesto. Razones referidas al ángulo : a/c {es decir ; cateto opuesto. } ; b/c {es decir ; cateto adyacente } hipotenusa hipotenusa a/b { es decir ; cateto opuesto. } ; c/a {es decir ; hipotenusa } cateto adyacente cateto opuesto c/b { es decir ; hipotenusa. } ; b/a { es decir ; cateto adyacente } cateto adyacente cateto opuesto

5 Ejercicio : Para el triángulo de la figura anterior, hallar las razones referidas al ángulo. Dado un ángulo, en posición normal seleccionemos un punto cualquiera P en su lado final, con distancia al origen r, con abscisa x y ordenada y. y r x P y x Conclusión: Las razones trigonométricas del ángulo se definen por : seno = y/r ; coseno = x/r ; tangente = y/x cotangente = x/y ; secante = r/x ; cosecante = r/y Las razones trigonométricas las podemos abreviar por estos símbolos. seno = sen ; coseno = cos ; tangente = tan ; cotangente = cot ; secante = sec ; cosecante = csc EJERCICIO : Comprobar que estas razones no dependen de la posición del punto P en el lado final del ángulo. Luego de realizar el ejercicio anterior podemos concluir que : Las razones trigonométricas no dependen de la elección del punto P en el lado final ; de esta manera, por cada ángulo en posición normal, cada una de las razones trigonométricas tiene un único valor. De lo anterior, estas razones trigonométricas son funciones trigonométricas cuyo dominio son todos los ángulos en posición normal. TALLER 1. En cada uno de los triángulos rectángulos halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas para los ángulos y. a b 6 a 2 + b

6 2. Respecto al siguiente triángulo rectángulo, determine la validez de las siguientes proposiciones : a. sen = a/c b. csc = b/c c. tan = a/b d. cos = sen e. c 2 = a 2 + b 2 b a c Atención + Entusiasmo - Pereza + Constancia = Éxito Qué Ecuación, Dios mio!! EJEMPLO 1 : El lado final de un ángulo contiene el punto P(-5, -12) de la figura siguiente. Determínese los valores del seno, coseno y tangente de. Solución y -5 x -12 P(-5, -12) El valor de r se encuentra mediante el teorema de pitágoras. r = (-5) 2 + (-12) 2 = 169 = 13 Entonces : Sen = -12/13 = - 12 Cos = -5/13 = Tan = -12/-5 = 12/5 Ejemplo 2 : Supóngase que es un ángulo en posición normal, para el que Cos > 0. Dígase en qué cuadrante puede estar la recta del lado final. Solución Ya que cos = x/r y r > 0, se cumplirá que cos > 0, cuando x > 0. Se concluye que el lado final de puede estar en los cuadrantes o V. Conociendo el valor y el cuadrante en que se encuentra una de las funciones trigonométricas de, se puede encontrar los valores de las otras dos funciones. EJEMPLO 3 : Sea Cos = -6/10 Sen y Tan. y un ángulo en el cuadrante. Encuéntrese

7 Solución De la función Cos = -6/10 Se tiene que x = -6 y r = 10 (ver fig) Y Por lo tanto, se puede encontrar el valor P(x, y) de y mediante el teorema de Pitágoras y 2 = 10 2 y 2 = = y = 8 ó y = -8 Como se encuentra en el cuadrante, se tiene que y = 8, de donde : X sen = 8/10 = 4/5 y tan = 8/-6 = -4/3 TALLER DE APLICACIÓN 1. En los siguientes ejercicios, evalúense las funciones sen, cos y tan del ángulo en posición normal, cuya recta del lado final pasa por los puntos cuyas coordenadas se indican. Dense las respuestas en la forma más sencilla posible. a. p (3,4) b. p (3,-4) c. p (-5, 12) d. p (-5, -12) e. p ( 3, 3) f. p (-5, 5) g. p (8, -6) h. p (-9, 12) i. p (15,-8) j. p (10,0) k. p (-8,0) l. p (-8,-15) 2. supóngase que es la medida de un ángulo en posición normal, cuyo lado final se encuentran en el cuadrante indicado para cada caso. En los ejercicios siguientes, se da el valor de una función ; encuéntrese los valores de las dos funciones restantes. Exprésese la respuesta en la forma más sencilla posible. a. sen = 4/5 ; cuadrante b. sen = -4/-5 cuadrante c cos = -1/-2 ; cuadrante d. cos = -8/-10 cuadrante e. tan = -3/-4 : cuadrante V f. tan = 5/4 ; cuadrante f. sen = -5/-13 cuadrante V h. cos = 12/13 cuadrante i. tan = 3/3 ; cuadrante j. cos = 3/2 ; cuadrante V k. sen = - 2 /2 ; cuadrante l. tan = - 3 /2 ; cuadrante m. sen = cuadrante V n. tan = 1.2 ; cuadrante