Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple.

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1 Capítulo Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple... Problemas de regresión lineal múltiple con ordenador. Problema 5.. El chero problema-5- contiene datos relativos a variables de coches. Se pide:. Ajustar un modelo de regresión múltiple con variable respuesta millas por galón (inversa del consumo) y regresoras: precio, peso y desplazamiento. 2. Son todas las variables signi cativas (contraste invidual de la t)? 3. Cuál es el coe ciente de determinación?, cuál es el coe ciente de correlación múltiple? 4. Tabla ANOVA. Qué conclusiones se obtienen de esta tabla (contraste conjunto de la F )? qué indican los contrastes individuales de la F? estos contrastes tienen alguna relación con los contrastes inviduales de la t? 5. Analizar los residuos del modelo ajustado: estudio descriptivo y grá co de los residuos. Se veri can las hipótesis del modelo (homocedasticidad, normalidad)? mejora el modelo si se introduce la variable aceleración? 6. Qué indican los grá cos de efectos de las componentes? 7. Analizar la hipótesis de multicolinealidad. 8. Analizar la hipótesis de independencia. 9. Repetir este mismo problema pero utilizando solamente los datos relativos a coches de origen USA, Cambian las conclusiones de los apartados anteriores?

2 2 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Desarrollo del Problema 5.. Utilizando el Statgraphics se utiliza el siguiente módulo que proporciona un análisis muy completo con mucha información: dependencia > regresion multiple Los resultados del apartado resumen del procedimiento permite responder a las preguntas de los cuatro primeros apartados de este problema:? Proporciona el modelo estimado y la tabla ANOVA, se deduce que todas las variables son signi cativas y el contraste conjunto de la F indica que el modelo es signi cativo.? Calcula los coe cientes de determinación y correlación.? Obtiene el contraste de Durbin-Watson que indica que la primera autocorrelación de los residuos es cero. En el apartado informes se obtienen los valores de las predicciones y de los residuos. Si se quieren calcular predicciones para un valor de ~x determinado se debe introducir este vector como un dato muestral (sin Y ). En el apartado residuos atipicos se observa que las observaciones 45 y 47 presentan residuos altos. En el apartado puntos influyentes se pueden estudiar las observaciones que pueden ser in uyentes en el cálculo del modelo. Este módulo proporciona muchos grá cos de interés:? Los grá cos de efectos de las componentes indican la importancia de las tres regresoras.? Los diferentes grá cos de residuos permiten obtener conclusiones acerca de las hipótesis del modelo. La hipótesis de multicolinealidad puede estudiarse en: El apartado matriz de correlaciones valores grandes de esta matriz (valores fuera de la diagonal próximos a ) indican la posible existencia de multicolinealidad. La matriz de correlaciones de las variables regresoras R; puede calcularse en el apartado (también se obtiene la matriz de correlaciones parciales y un grá co matricial) descripcion > datos numericos > analisis multidimensional. En todo caso es conveniente calcular la diagonal de R y el índice de condicionamiento de R: Se guardan las predicciones y los residuos estandarizados y/o estudentizados pueden estudiar las hipótesis de normalidad, homocedasticidad e independencia. y se? Utilizando los residuos estandarizados la normalidad se estudia en el módulo: descripcion > distribuciones > ajuste de distribuciones (datos no censurados)

3 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple. 3? También es de interés el grá co de normalidad graficos > graficos exploratorios > grafico probabilistico La hipótesis de homocedasticidad se puede observar:? En el grá co de residuos frente a predicciones.? Un estudio más completo sobre esta hipótesis se puede hacer como sigue: se ordena el chero según las predicciones de menor a mayor; se hacen clases (cada una de tamaño aproximado a diez) y se utiliza el modelo de diseño de experimentos de una vía siendo la variable dependiente los residuos y el factor las clases creadas; entonces utilizar los contrastes de homocedasticidad de este modelo.? El ajuste de las desviaciones típicas de los residuos estandarizados en cada clase frente a la media de las predicciones es útil para estudiar la homocedasticidad, además indica la forma de transformar el modelo si se supone que hay heterocedasticidad.? Si se sospecha que la heterocedasticidad puede ser causada por una regresora se puede repetir el análisis anterior pero haciendo residuos frente a regresora en lugar de frente a las predicciones. La hipótesis de independecia se estudia en el módulo avanzado > analisis series temporales > metodos descriptivos Problema 5.2. Con los datos del chero problema-5- estudiar la regresión de la variable respuesta millas por galón (inversa del consumo) respecto a las variables regresoras: precio, peso, desplazamiento, potencia (caballos de vapor) aceleración y número de cilindros.. Utilizando el algoritmo de regresión paso a paso obtener las regresoras que deben entrar en el modelo. 2. Utilizando diferentes medidas de bondad de ajuste indicar el mejor modelo de regresión. 3. Trabajando con el modelo de regresión lineal seleccionado en el apartado anterior los estimadores contraídos proporcionan mejores resultados que los estimadores por mínimos cuadrados? 4. Introduciendo algún término cuadrático se puede mejorar el modelo de regresión lineal? 5. Estudiar el modelo de regresión lineal simple de la variable respuesta millas por galón respecto al peso pero teniendo en cuenta el origen (variables atributo o dumping).

4 4 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Desarrollo del Problema 5.2. Utilizando el opciones del analisis se calcula la regresión paso a paso en el módulo dependencia > regresion multiple Para seleccionar un modelo de regresión utilizar el análisis avanzado > regresion avanzada > seleccion del modelo de regresion El estudio de la regresión contraída (ridge regression) se hace en el módulo avanzado > regresion avanzada > regresion en cadena El apartado 5 es un problema de regresión lineal con una variable regresora atributo y se estudia en el apartado avanzado > regresion avanzada > comparacion de rectas de regresion Introduciendo en el campo codes level=origin y en la ventana de resultados del opciones del analisis se puede elegir si las rectas ajustadas tienen igual pendiente y/o constante según submuestra. Problema 5.3. (Regresion No Lineal) En el chero Problema-5-3 contiene 44 datos de dos variables relativas a la cantidad de cloro presente en unas muestras de agua sometidas a un proceso químico en relación con el tiempo transcurrido medido en semanas.. Dibujar el grá co de la nube de observaciones y calcular el ajuste lineal o linealizable que explique la variable Y = Cloro como función de la variable X = Semanas (tiempo). 2. Utilizando el algoritmo iterativo de Kalman ajustar por mínimos cuadrados la función de regresión Y = exp ( 2 (X 8)) ; siendo los valores iniciales de los parámetros: = y 2 = 0 0 3, estos valores son necesarios para comenzar el algoritmo. Representar la nube muestral y la función de regresión no lineal estimada. Es bueno el ajuste obtenido? Desarrollo del Problema 5.3. Los problemas de regresión no lineal se estudian en el módulo avanzado > regresion avanzada > regresion no lineal Los resultados que calcula este módulo son similares a los que se obtienen en el ajuste de un modelo de regresión lineal.

5 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple Problema resuelto de regresión lineal múltiple. Problema 5.4. Se quiere ajustar un modelo que permita estimar los gastos en alimentación de una familia (Y ) en base a la información que proporcionan las variables regresoras X =ingresos mensuales y X 2 =número de miembros de la familia. Para ello se recoge una muestra aleatoria simple de 5 familias cuyos resultados son los de la tabla adjunta. (El gasto e ingreso está dado en cientos de miles de pesetas) Gasto Ingreso Tamaño Gasto Ingreso Tamaño Solución Problema 5.4. Los datos en forma matricial: 0 Y = Con estos datos se obtiene 0 = X~ + ~" = C B C A 0 2 C A + ~" n = 5; P xi = 42; P x2i = 55; P yi = ; P x 2 i = ; P xi x 2i = ; P yi x i = ; P x 2 2i = ; P yi x 2i = :

6 6 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Por tanto De donde S = X t X = ~ = S T = 0 ~ = S T = El modelo de regresión lineal que se obtiene es: C A T = C A 0 C B C A = C A = 0 C A : C A Gasto = Ingreso T ama~no + error: A partir de esta ecuación se obtienen las predicciones y los residuos asociados a las observaciones muestrales. Para la primera observación (x = 2 0 ; x 2 = 3; y = ) se obtiene ^y = = ; e = y ^y = = : Razonando así en todos los puntos muestrales se obtienen las siguientes predicciones y residuos: Predicciones Residuos Se calcula la scr scr = X e 2 i = ^s 2 R = ) ^s R = Una forma más fácil de calcular la scr es la siguiente ~e t ~e = ~Y t Y ^ t X t Y = X y 2 i 0 X yi X yi x i 2 X yi x 2i = = :

7 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple. 7 Intervalos de con anza de los parámetros del modelo al 90 %, Para la varianza 2 ; (n (k + )) ^s 2 R 2 2 n (k+) ) ; = = ; = = : Varianza de los estimadores del modelo, 0 V ar (^) = 2 X t X 0 0 B C A ; de donde V ar (^ 0 ) = ^s 2 R q 00 = = ) (^ 0 ) = ; V ar (^ ) = ^s 2 R q = = ) (^ ) = V ar (^ 2 ) = ^s 2 R q 22 = = ) (^ 2 ) = : Intervalo de con anza para 0 ; ^ 0 0 p t ^s n (k+) ) R q t 2 ; t t = = 0 0 6; = = : Intervalo de con anza para (ingreso), ^ p t ^s n (k+) ) R q t 2 ; t t = = ; = = :

8 8 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Contraste individual de la t; H 0 = 0; la variable ingreso no in uye. ^t = ^ ^s R p q t n (k+) ) ^t = = t 2 ; Intervalo de con anza para 2 (tamaño) p = ) Se Rechaza H 0 : ^ 2 2 p 2 t ^s n (k+) ) R q ; 020 t t = = ; = = : Contraste individual de la t; H 0 2 = 0; la variable tamaño no in uye. Cálculo de la tabla ANOVA ^t 2 = ^ 2 ^s R p q22 t n (k+) ) ^t 2 = = 30 83; p 2 = ) Se Rechaza H 0 : scg = X (y i y) 2 = 0 436; de donde sce = scg scr == X (y i ^y i ) 2 = : Tabla ANOVA Fuentes de Suma de Grados Varianzas variación cuadrados libertad sce (por el modelo) ^s 2 e = scr (Residual) ^s 2 R = scg ( Global) ^s 2 y = Contraste conjunto de la F, con estos datos se obtiene ^F M = ^s2 e ^s 2 R = = F 2;2 ) p c = : El contraste conjunto de la F indica claramente la in uencia del modelo en la respuesta. Por tanto, de los contrastes individuales y del conjunto se deduce la in uencia de cada una de las dos regresoras y la in uencia conjunta del modelo.

9 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple. 9 Contraste individual de la F: Se calcula el contraste individual de la F respecto a la variable x 2 = tamaño, este contraste es equivalente al contraste individual de la t. Se obtiene la regresión de la variable gasto respecto a la variable ingreso, gasto = ingreso. La tabla ANOVA de este modelo es Tabla ANOVA Fuentes de Suma de Grados de Varianzas variación cuadrados libertad sce (ingreso) ^s 2 e = scr (Residual) ^s 2 R () = scg (Global) ^s 2 y = La variabilidad incremental debida a la variable diámetro es 4V E (tama~no) = V E (2) V E (ingreso) = = ; este valor indica lo que aumenta la variabilidad explicada por el modelo al introducir la variable tamaño. Para contrastar la in uencia de esta variable se utiliza el estadístico ^F 2 = 4V E (x 2 ) ^s 2 R (k) = = F ;2 ) p = : Este contraste proporciona el mismo p problemas de redondeo. valor que el contraste individual de la t salvo Coe cientes de correlación: Coe ciente de determinación, R 2 = sce scg = = ) % de scg: Coe ciente de correlación múltiple, R = p = : Coe ciente de determinación corregido por los grados de libertad, R 2 = ^s 2 R ^s 2 Y = = ) % de scg: R = p = :

10 0 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Coe ciente de correlación simple entre las variables gasto e ingreso, (gasto; ingreso) = Cov (gasto; ingreso) (gasto) (ingreso) = : Este coe ciente es una medida de la relación lineal existente entre las variables gasto e ingreso. Este coe ciente también se puede calcular a partir del coe ciente de determinación de la siguiente regresión gasto = ingreso. La tabla ANOVA del modelo es Tabla ANOVA Fuentes de Suma de Grados de Varianzas variación cuadrados libertad sce (ingreso) ^s 2 e = scr (Residual) ^s 2 R () = scg ( Global) ^s 2 y = R 2 = sce scg = = ) R = (gasto; ingreso) = : Análogamente el coe ciente de correlación simple entre gasto y tamaño es, (gasto; tama~no) = Cov (gasto; tama~no) (gasto) (tama~no) = : Coe ciente de correlación parcial entre las variables gasto e ingreso ^t ingreso = ^t. r 2 (gasto; ingreso; tama~no) = = ^t 2 ingreso ^t 2 ingreso + n (k + ) = ) r (gasto; ingreso; tama~no) = : Otra forma más compleja de calcular este coe ciente es la siguiente: se calculan las siguientes regresiones simple y se guardan los residuos e gasto:tama~no y e ingreso:tama~no : Gasto = tamaño + e gasto:tama~no : Ingreso = tamaño + e ingreso:tama~no :

11 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple. El coe ciente de correlación parcial entre las variables gasto e ingreso se obtiene como el coe ciente de correlación simple entre las variables e gasto:tama~no y e ingreso:tama~no r (gasto; ingreso; tama~no) = (e gasto:tama~no ; e ingreso:tama~no ) = Cov (e gasto:tama~no; e ingreso:tama~no ) (e gasto:tama~no ) (e ingreso:tama~no ) = : Este coe ciente mide la relación entre gasto e ingreso libres de la in uencia de la variable tamaño. Análogamente se obtiene r (gasto; tama~no; ingreso) = (e gasto:ingreso ; e :tama~no:ingreso ) = : Estimación de la media condicionada. Estimar el gasto medio en alimentación de una familia con unos ingresos de x t = y un tamaño de x t2 = 4: Esto es (~x t = (xt ; x t2 ) = (3 0 0; 4)). Del modelo de regresión estimado se obtiene ^m(3 0 0; 4) = ^m t = ^ 0 + ^ x t + ^ 2 x t2 = = = : El valor de in uencia asociado al dato ~x t = (x t ; x t2 ) = (3 0 0; 4) es h tt = ~x t t X t X ~xt 0 = 3 0 B 0 ) n t = = : La varianza del estimador ^m t es C B C A = V ar ( ^m t ) = ^s 2 R h tt = = ) ( ^m t ) = : Y un intervalo de con anza para m t al 90 % es m t t = = ; :

12 2 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Predicción de una observación. La familia Pérez que tiene unos ingresos de x t = y un tamaño de x t2 = 4: Esto es (~x t = (x t ; x t2 ) = (3 0 0; 4)) qué gasto en alimentación tendrá?. Utilizando el modelo de regresión estimado la predicción es La varianza de la predicción es ^y(3 0 0; 4) = ^ 0 + ^ x + ^ 2 x 2 = : V ar (^y t ) = ^s 2 R ( + h tt ) = = ) (^y t ) = : Un intervalo de predicción al 90 % para y t es y t t = = ; : Algunos grá cos de interés que ayudan a resolver el problema son los grá cos parciales de las componentes que sirven para observar la in uencia de las regresoras (Figuras 5.. y 5.2.) y los grá cos de residuos que se utilizan para chequar que se veri can las hipótesis estructurales del modelo, dos de ellos (frente a ingreso y frente a índice) se representan en las Figuras 5.3. y 5.4. Figura 5.. Grá co parcial de ingreso.

13 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple. 3 Figura 5.2. Grá co parcial de tamaño. Figura 5.3. Grá co de residuos frente a ingreso. Figura 5.4. Grá co de residuos frente a índice.

14 4 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar.3. Resumen de los modelos de regresión lineal. Las principales fórmulas de los modelos de regresión lineal simple y múltiple se presentan en la tabla adjunta. Modelo Estimación Propiedades Predicción R. L. Simple R. L. Múltiple y i = 0 + x i + " i y i = 0 + x i + 2 x i2 + + : : : + k x ik + " i ~Y = 0 ~ + ~X + ~" ^ = s XY s 2 X ^ 0 = y ^ x ^ N ; 2 ^ 0 N ns 2 x 0 ; 2 n ^y i = ^ 0 + ^ x i ^Y = ^ 0 ~ + ^ ~X + x2 s 2 x ~Y = X ~ + ~" ^ = X t X X t Y ~ N ~; 2 X t X (normal multivariante) ^ i N i ; 2 q ii ^y i = ^ 0 + ^ x i + ^ 2 x i2 + + : : : + ^ k x ik ^Y = X ^ Residuos e i = y i ^y i ~e = ~Y ^Y e i = y i ^y i ~e = ~Y ^Y Varianza Estimada ^s 2 R = P n i= n 2 e2 i ^s 2 R = n (k + ) P n i= e2 i Propiedades Interv. de Con anza! 0 = n^ 2 MV 2 2 n 2 (n (k + )) ^s 2 R 2 2 n (k+) ^ 0 s 0 ^s R t n 2 + x2 n s 2 x! = ^ ^s R s x p n tn 2! i = ^ i i ^s R p qii t n (k+) Contraste F ^FR = ^s2 e ^s 2 R F k;n 2 ^FM = ^s2 e ^s 2 R F k;n (k+)

15 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple Problemas propuestos de regresión lineal múltiple. Problema 5.5. Se realiza un experimento para determinar la duración de vida de ciertos circuitos electrónicos (Y ) en función de dos variables de fabricación (X ) y (X 2 ), con los siguientes resultados:. Ajustar un modelo de regresión lineal. Y X X Calcular el coe ciente de determinación y la varianza residual. Es el ajuste adecuado? 3. Construir un intervalo de con anza al 90 % para la predicción en el punto (0; 0). Problema 5.6. Los datos de la tabla adjunta indican la gravedad especí ca (X ), contenido de humedad (X 2 ) y fuerza (Y ) de diez vigas de madera. Encontrar el modelo de regresión que mejor se ajusta a estos datos. Y X X Problema 5.7. En la tabla adjunta se presenta un indicador provincial global de consumo (Y ) el número de automóviles por mil habitantes (X ) y el número de teléfonos por mil habitantes (X 2 ) en ocho provincias españolas. Estudiar un modelo explicativo que relacione el indicador global con los dos indicadores de consumo (datos de 974). Provincia Avila Palenc Segov Burgos Soria Vallad Logroño Santan Y X X Problema 5.8. La demanda de un tipo de impresoras ha cambiado debido a una rápida variación en el precio. Se ha observado la demanda (Y ) en una amplia región geográ ca y el precio unitario (X) (en unidades de diez mil pesetas). Los resultados son los de la tabla adjunta. Ajustar un polinomio de regresión a estos datos que explique el comportamiento de la demanda. Y X Y X

16 6 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Problema 5.9. El chero problema-5-9 contiene datos relativos a veinticuatro países. El chero consta de las siguientes variables referidas a cada país: - Coches: Número de coches por persona. - Pob: Población en millones de personas. - Den: Densidad de población. - Ingresos: Ingresos per capita en dólares U.S.A. - Gasol: Precio de la gasolina en centavos U.S.A. por litro. - Consumo: Toneladas de gasolina consumida por coche al año. - Pasaj: Miles de pasajeros-kilómetros por persona que usan bús o tren. - País: País al que se re eren los datos de la la. Se quiere ajustar un modelo de regresión múltiple que explique la variable coches en función de las variables explicativas: pob, den, ingresos, gasol, consumo y pasaj. Problema 5.0. El chero problemas-5-0 contiene datos relativos a partidos de la liga ACB de baloncesto. Los datos son de 62 jugadores al azar del total y han sido obtenidos de la Guía O cial de la Liga de la ACB (Asociación de Clubs de Baloncesto). En base a esta muestra se desea estudiar si existe una relación lineal entre la variable puntos por partido (puntpart) que es capaz de anotar un jugador de baloncesto respecto a las siguientes regresoras: - La altura del jugador (altura). - Los minutos que juega por partido (minpart). - Los balones que pierde por partido (bppart). - Las faltas personales cometidas por partido (fppart). - El porcentaje en tiros de campo por partido (porcentaje obtenido de los tiros de dos y tres puntos conseguidos e intentados) (por_tc). En base a estos datos:. Ajustar un modelo de regresión sin excluir ninguna variable e interpretar el resultado. Es el ajuste bueno? 2. Analizar la hipótesis de multicolinealidad para el modelo anterior. 3. En el modelo ajustado Cuáles son las observaciones atípicas y/o in uyentes? 4. Existe un modelo de regresión lineal más adecuado? 5. Es aconsejable utilizar un ajuste no lineal? Justi car la respuesta. 6. Analizar los residuos del modelo que se considere más adecuado. Problema 5.. El chero problema-5- contiene datos relativos a 60 observaciones de datos del Mercado Financiero Canadiense (de septiembre del 77 a diciembre del 80). Se han considerado las siguientes variables: - Bankcan: activos del Banco de Canadá. - Trsbill: intereses de las Letras del Tesoro a 90 días.

17 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple. 7 - CPI: índice de precios al consumo. - Usspot: razón de cambio Canadá/USA. - Usforw: razón de cambio a un mes Canadá/USA. Se quiere estudiar el modelo de regresión lineal múltiple de la variable de interés Trsbill frente a las otras cuatro variables regresoras. Se pide:. Calcular el modelo de regresión lineal múltiple. 2. Estudio de la multicolinealidad del modelo. 3. Estudio de las observaciones in uyentes y atípicas. 4. Análisis de residuos. Se veri can las hipótesis del modelo? 5. Encontrar un ajuste que mejore al modelo de regresión lineal obtenido. Problema 5.2. (Observaciones in uyentes y datos atípicos) Con los datos de la tabla adjunta se construyen tres conjuntos de datos. El primero consta de los casos a 9 repetidos tres veces cada uno y añadiendo el caso 28(A). El segundo está formado por los casos de a 9 repetidos tres veces y, adicionalmente, el caso 28(B). Finalmente, el tercero se construye de igual manera pero con la observación adicional 28(C). Por tanto, estos tres conjuntos tienen 27 datos iguales y uno diferente. Estudiar las regresiones de los tres conjuntos y examinar las observaciones in uyentes y atípicas. Caso A B C x x 2 6;5 7;3 8;3 6;0 8;8 8;0 5;9 6;9 9;5 7;2 9 7;3 y ;5 0;5 ;6 3;9 3;5 0;8 2;7 ;3 4; 5 ;5 4 Problema 5.3. Se ha realizado un experimento para investigar como la resistencia del corcho al rozamiento se ve afectada por la dureza del corcho y la fuerza tensorial. Para ello se han testado treinta muestras de corcho de las que se ha calculado la dureza (en grados Shore, a mayor número mayor dureza) y la fuerza tensorial (medidos en Kgr por cm 2 ). Las muestras de corcho eran sometidas a un rozamiento continuo por un período de tiempo jo y después se medía la pérdida de peso de corcho en gramos por hora. Los datos obtenidos en este experimento se encuentran en el chero problema-5-3, en base a ellos:. Analizar la relación lineal de la variable de interés, peso de corcho perdido, con las dos variables explicativas. 2. Analizar las hipótesis del modelo.

18 8 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Problema 5.4. El chero problema-5-4 contiene datos de contaminación atmosférica en 4 ciudades de EEUU en los años La variable de interés es Y = contenido de SO 2 en el aire en microgramos por metro cúbico. Se desea estudiar la relación de Y con seis variables regresoras, dos relativas a ecología humana y cuatro al clima. Son la siguientes: X = temperatura media anual en grados Farenheit. X 2 = número de fábricas con más de 20 empleados X 3 = número de habitantes, en miles X 4 = Velocidad media del viento al año en millas por hora X 5 = precipitación media anual en litros por pulgada X 6 = número medio de días con lluvia al año El objetivo del estudio es encontrar un modelo de regresión múltiple que explique adecuadamente el comportamiento de la variable Y. Problema 5.5. El chero problema-5-5 contiene datos de seis variables de 22 aviones de combate de EEUU. Las variables estudiadas son las siguientes: F F D= rst ight date, fecha del primer vuelo en meses después de Enero de 940 SP R= speci c power, potencia especí ca proporcional a la potencia por unidad de peso RGF = ight range factor, factor de rango de vuelo P LF = payload como una fracción del peso bruto del avión SLF = factor de carga sostenido CAR= una variable binaria que vale si el avión puede aterrizar en un portaviones y 0 en otro caso El objetivo del estudio es encontrar un modelo de regresión múltiple que explique el comportamiento de la variable de interés F F D o una transformada de la misma (por ejemplo, tomar logaritmos) como una función del resto de variables. Tener en cuenta la presencia de la variable atributo CAR; interpretar el modelo resultante al introducir esta variable. Problema 5.6. Algunas veces es necesario bajar la presión sanguínea de un paciente durante una intervención quirúrgica utilizando un fármaco hipotensivo. El chero problema-5-6 contiene datos relativos a la utilización de un determinado fármaco en 53 enfermos. En cada uno de ellos se ha medido el tiempo en minutos antes de que la presión sistólica sanguínea del paciente vuelva a los 00 mm (TR es el tiempo de recuperación), el logaritmo de la dosis de fármaco en miligramos (LD) y la presión media sistólica sanguínea del paciente mientras el fármaco hacía efecto (PM). Qué relación existe entre la variable TR y las otras dos variables?. Problema 5.7. El chero problema-5-7 contiene datos del fósforo encontrado en 8 muestras de aceite tomadas a 20 o. La variable X es el fósforo inorgánico, X 2 el fósforo orgánico e Y es el fósforo de maíz en el aceite. Encontrar un modelo que explique la variable Y como función de las otras dos regresoras.

19 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple. 9 Problema 5.8. Se está interesado en estudiar la temperatura mínima de una ciudad en relación con su longitud y latitud geográ ca. Se ha tomado una muestra de 56 ciudades de EEUU y se ha calculado la temperatura mínima (en grados Farenheit) en el mes de enero, el resultado obtenido es el promedio de 30 años (de 93 a 960). El chero problema-5-8 contiene los datos de esta variable y de las regresoras: longitud y latitud de la ciudad. En base a estos datos ajustar un modelo de regresión que explique el comportamiento de la variable de interés en función de las dos regresoras. En un estudio previo se proponía ajustar la temperatura con una relación lineal respecto a la variable latitud y un ajuste cúbico respecto a la variable longitud. Problema 5.9. Se desea estudiar la relación entre el consumo de helados, medido en pintas per capita, y las variables regresoras precio del helado, en doláres por pinta, el ingreso familiar por semana y la temperatura media medida en grados Farenheit. Para ello se obtuvieron datos de 30 meses, desde marzo de 95 a julio de 953. El chero problema-5-9 contiene estos datos. Analizarlos y estudiar un modelo de regresión que se ajuste a los mismos. Problema El chero problema-5-20 contiene datos relativos al número de muertes e intensidad de los terremotos ocurridos desde.900. También se proporciona el año en que ocurrió el terremoto, en total, 40 datos. Se desea estudiar si existe una relación entre el número de muertes y la intensidad del terremoto. Analizar las hipótesis básicas del modelo ajustado. Problema 5.2. El chero problema-5-2 contiene datos de 209 procesadores (CPU). De cada uno de ellos se han obtenido características y medidas de rendimiento relativo respecto a un procesador IBM 370/58-3. Las variables observadas las siguientes: -Cycle time(ns), número de ciclos por segundo. -Minimum memory (kb), memoria mínima en kb. -Maximum memory (kb), memoria máxima en kb. -Cache size (kb), tamaño del caché. -Minimum channels, número mínimo de canales. -Maximum channels, número máximo de canales. -Relative performance, rendimiento relativo. -Estimated relative performance, rendimiento relativo estimado. El objetivo del estudio es conocer que variables in uyen en el rendimiento relativo (en el relative performance y en el estimated relative performance). Ajustar el modelo de regresión en cada uno de los dos casos e indicar la bondad del ajuste. (Los datos proceden del trabajo de Ein-Dor,P. y Feldmesser,J. (987) Atributes of the performance of central processing units: a relative performance prediction model, Communitaions of the ACM, 30,308-37).

20 20 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Problema El chero problema-5-22 contiene los resultados de 35 carreras de montaña celebradas en Escocia en 984. Se proporcionan datos sobre la distancia en millas de la carrera, tiempo del vencedor en minutos y la altura total ganada en pies. Se quiere estudiar un modelo de regresión que relacione el tiempo con las otras dos variables. Al analizar los datos parece razonable transformar la variable respuesta pero también se observa la aparición de observaciones in uyentes. Problema El chero problema-5-23 contiene datos de tres variables relativas a las 48 ciudades más grandes del mundo en 99. Las variables consideradas son: Horas de trabajo= promedio ponderado de 2 ocupaciones Nivel de precios= coste de una cesta de la compra de 2 productos básicos, en base al nivel de Zurich=00 Nivel de salarios= nivel del salario de 2 ocupaciones diferentes ponderadas según la distribución ocupacional, excluídas tasas a la seguridad social e impuestos, en base al nivel de Zurich=00 El objetivo del estudio es encontrar una relación entre estas tres variables. Tiene particular interés el estudio de los siguientes modelos de regresión:. Estudiar la variable respuesta nivel de precios respecto a la regresora nivel de salarios. 2. Estudiar la respuesta nivel de precios respecto a las otras dos regresoras. 3. Estudiar la respuesta nivel de salarios respecto a la regresora horas de trabajo. Problema Se está interesado en investigar el índice de criminalidad en relación con otras variables. Para ello se dispone de datos de 47 estados de EEUU relativos al año 960 (problema-5-24). Las variables estudiadas son las siguientes: R= índice de criminalidad, número de delitos conocidos por la policía por cada millón de habitantes Age= distribución de la edad, número de varones de edad 4-24 por cada mil de toda la población del estado S= variable binaria que distingue entre estados del sur (S = ) del resto Ed= nivel educativo, número medio de años de escolarización Ex = gasto per cápita en protección policial relativa a 960 Ex 2 = gasto per cápita en protección policial relativa a 959 LF = proporción en participación en trabajos de fuerza por cada mil hombres con edad 4-24 M = Número de varones por mil mujeres N= Tamaño de la población del estado en cin mil NW = El número de personas de raza no blanca por 000 habitantes U = Razón de desempleo entre hombres de edad 4-24, por cada mil U 2 = Razón de desempleo entre hombres de edad 35-39, por cada mil W = Riqueza medida por el ingreso familiar

21 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple. 2 X= Desigualdad en ingresos, el número de familias por mil que ganan por debajo de la mitad de la mediana de ingresos El objetivo del estudio es encontrar la mejor relación entre la variable de interés R con el resto de las variables regresoras. Analizar la in uencia de la variable atributo S. Problema Los datos de este problema son clásicos en análisis de regresión ( chero problema-5-25), corresponden a la observación de 2 días de trabajo en una planta química para la oxidación del amonio como una etapa en la producción del ácido nítrico. Las variables observadas son: X = ujo de aire X 2 = temperatura del ahua de refrigeración ( o C) X 3 = concentración de ácido ( %) Y = pérdida acumulada, porcentage del amonio que escapa sin ser absorbido El objetivo del estudio es ajustar un modelo de regresión a estos datos que explique el comportamiento de la respuesta Y respecto a las tres regresoras. Problema En la tabla adjunta se presentan cuatro indicadores del tamaño medio de las empresas en 5 paises desarrolados. Estos indicadores son: (V ) ventas, (A) activos, (N) número de empleados y (R) recursos propios. Estudiar un modelo de regresión que relacione la variable V con las restantes variables (se sugiere transformar los datos tomando logaritmos). Pais V A N R España ; EE.UU. 3;334 2;62 5;230 ;209 Alemania ;39 9 Inglaterra ; Francia ;306 9 Suecia ; Suiza ;63 25 Holanda ;57 70 Pais V A N R Italia Bélgica ; Noruega Dinamarca Finlandia 9 00 ;350 5 Portugal ;302 6 Irlanda ; Problema En la tabla adjunta se indica la altura (H), longitudde las naves (L), anchura de la nave principal (A) y número de naves (N) de algunas iglesias románicas españolas. Estudiar la relación entre la variable altura (H) y el resto de las variables.

22 22 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar H L A N H L A N H L A N Problema El chero problema-5-28 contiene datos de tres variables observadas en cincuenta tipos de madera utilizados en la construcción. Las variables estudiadas son las siguientes: X = densidad de la madera en aire seco Y = módulo de rigidez Z = módulo de elasticidad. El objetivo del estudio es ajustar un módelo de regresión que explique el comportamiento de la variable elasticidad en función de las otras dos variables. Los datos están ordenados de forma creciente según la variable X. Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X ; Problema Se presentan dos problemas análogos. En una primera parte en el chero problema-5-29a, se recogen las distancias en metros de los saltos obtenidos por los ganadores de la medalla de oro en las Olimpíadas en las siguientes pruebas: salto de altura, salto de pértiga, salto de longitud y triple salto, en las pruebas realizadas entre los años 896 y 988.

23 Prácticas y problemas de regresión lineal múltiple. 23 Los datos de la segunda parte están en el chero problema-5-29b que contiene los tiempos, en segundos, de los ganadores de las carreras de hombres de 00, 200, 400, 800 y 500 metros en los JJOO desde 900 a 988 (no hubo JJOO en 96, 940 y 944). En ambos casos el objetivo del estudio es el mismo:. Ajustar un modelo de regresión razonable a la nube de datos que permita predecir futuros resultados. 2. Para una determinada variable (en ambos cheros) ajustar un modelo de regresión simple donde la variable regresora es el tiempo (reescalado) o, dicho de otra forma, estimar la tendencia de la variable (serie de tiempo). 3. En ambos apartados estudiar la hipótesis de independencia. (Estas variables son series de tiempo y los modelos estadísticos ARIMA son, en muchos casos, adecuados para hacer predicciones). Problema El chero problema-5-30 contiene datos de tres variables relativas a 35 carreras de montaña que tuvieron lugar en Escocia durante el año 984. Las variables estudiadas son: - Distancia: recorrida en la carrera medida en millas. - Altura: alcanzada en la montaña en el ascenso efectuado, medida en pies. - Tiempo: que tardó el vencedor de la carrera. Se desea ajustar un modelo de regresión que explique el comportamiento de la variable respuesta, tiempo, respecto a las dos regresoras distancia y altura. En principio, puede ser razonable hacer una transformación de la variable respuesta pero debe de estudiarse la existencia de datos in uyentes. Problema 5.3. En este problema se presenta una colección de datos obtenidos en pruebas simuladas de accidentes de motos. Se observaban dos variables: - X = tiempo transcurrido (en milisegundos) después del impacto. - Y = aceleración de la cabeza. Los datos se recogen en el chero problema-5-3. En base a ellos se pide:. Representar los datos y ajustar un modelo de regresión que explique el comportamiento de la variable respuesta Y a partir de la variable regresora. Se mejoran los resultados si se transforma alguna de las dos variables o ambas? 2. Utilizando métodos de regresión no paramétrica se obtienen mejores resultados? Problema El chero problema-5-32 contiene datos de porcentajes de delitos de siete tipos (asesinato, violación, atraco, agresión, robo, latrocinio y robo de vehículos) en cincuenta estados de EEUU en el año 986. Los datos que se presentan son el número de delitos por cada residentes. Analizar analítica y grá camente estas variables y estudiar si se puede ajustar un modelo de regresión que explique el comportamiento de una de ellas en función de las otras.