Serie detaylor y Maclaurin:

Transcripción

1 Serie de Talor Serie detalor Maclaurin: Theorem Si f tiene una representación en serie de potencias(epansion) en a, ésta es: f c n a n n entonces los coeficientes están dados por la fórmula a R c n fn a Sustituendo la fórmula para c n en la serie, obtenemos la siguiente forma para f, llamada la serie de Talor de la función f en a ( o alrededor de o centrada en a): f fa fa a fa a fa a 3...!! 3! f n f n a a n fa fa! a fa! a fa 3! a 3... En el caso especial donde a, obtenemos la siguiente serie, llamada la serie de Maclaurin: f n f n n f f! f! f 3! 3... Las funciones que pueden ser representadas como series de potencias en "a" son llamadas analíticas en a. Las funciones analíticas son infinitamente diferenciables en a ;esto es, ellas tienen derivadas de todo orden en a. Sin embargo, no todas las funciones infinitamente diferenciables son analíticas. La suma parcial de una serie de Talor está dada por: n T n i f i a i! a i fa fa! a fa! a... fn a a n T n es un polinomio de grado n llamado el polinomio de Talor de n-ésimo grado de f en "a" Theorem Si f T n R n, donde T n es el polinomio de Talor de f en a lim R n n para a R, entonces f es iguala la suma de su serie de Talor en el intervalo a R; esto es, f es analítica en a. Theorem (Talor s Formula) Si f tiene n derivadas en un intervalo I que contiene al número a, entonces para en I eiste un número z estrictamente entre a tal que el término residual en la serie de Talor puede ser epresado como: R n fn z an n! Remark () Para el caso especial n, si sustituimos b z c en la Fórmula de Talor, obtenemos: fb fa fcb a

2 Serie de Talor Este resultado es el Teorema del valor medio. Remark La epresión for R n es conocida como la forma de Lagrange del término residual En la aplicación de la fórmula de Talor, la siguiente ecuación es a menudo mu útil: lim n n Para cada número real Series de Maclaurin importantes son e Maclaurin Series n 3... n n sin n n cos n n Interval of Convergence, n!! 3 3!..., n n tan n n n n 3 3! 5 5! 7 7!...,! 4 4! 6 6!..., , Notabene: Obsérvese que si hacemos en e n 3..., Ud.!! 3! n obtendrá una epresión para el número e como una suma de infinitos términos: Serie de Talor e n!! 3!... La serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Talor más general. La Talor de f epandida sobre a está dada por: n f n a a n serie de aquí se halla epandida en potencias de: a. Usando el SWP: For Talor series, enter the number of terms and the point of epansion in the Series dialog bo. To find the Talor series of ln epanded about, choose Powers Series. In the dialog bo, select the desired number of terms and epand about the point. Power Series ln O 5 A comparison between ln and the polnomial is illustrated graphicall in the following figure. Plot D Rectangular

3 Serie de Talor 3 ln You can produce the following power series epansions. Power Series O 5 sin 6 3 O O 5 csc O 5 sin 3 4 O 6 cos 3 4 O 5 Maclaurin Series The Maclaurin series of a function f is the series n f n where f n indicates the nth derivative of f evaluated at. To epand a function f in a Maclaurin series (power series about ), choose Power Series, specif desired Number of Terms, and then specif Epand in Powers of. With f sin and terms, the result is as follows. Power Series sin O 9 n

4 Serie de Talor 4 The O 9 term indicates that all the remaining terms in the series contain at least 9 as a factor. (In fact, the truncation error is of order in this case.) The odd powers of have coefficients. Plot D provides an ecellent visual comparison between a function and an approimating polnomial. Plot D Rectangular sin, 6 4 Plot D Rectangular sin, To determine which graph corresponds to which equation, evaluate one of the epressions sin 4 where the graphs show some separation. For eample, , and hence the 4 graph of sin is the one that is negative at 4. The following are additional eamples of Maclaurin series epansions. Power Series ln O 6 tan O sin O e O 7 sin O e sin O 7 Remember that output can be copied and pasted (with ordinar word-processing tools) to create input for further calculations. In particular, select and delete the O n epression to convert the series into a polnomial. It is reassuring to note that, if the first few terms of the

5 Serie de Talor 5 Maclaurin series for e are multiplied b the first few terms of the Maclaurin series for sin, then the result is the same as the first few terms of the Maclaurin series for e sin. Epand, Polnomials Sort Talor Series The Maclaurin series is a special case of the more general Talor series. The Talor series of f epanded about a is given b and hence is epanded in powers of a. n f n a a n For Talor series, enter the number of terms and the point of epansion in the Series dialog bo. To find the Talor series of ln epanded about, choose Powers Series. In the dialog bo, select the desired number of terms and epand about the point. Power Series ln O 5 A comparison between ln and the polnomial is illustrated graphicall in the following figure. Plot D Rectangular ln You can produce the following power series epansions.

6 Serie de Talor 6 Power Series O 5 sin 6 3 O O 5 csc O 5 sin 3 4 O 6 cos 3 4 O 5.- Desarrollar la serie de Talor para la función: f e en potencias de "" f e O En la figura se muestran las gráficas asociadas a f e a la nueva función dada por g en donde f g Como se observa, en la figura,ha presente un intervalo, en donde ambas gráficas "casi" coinciden. e g se calcularán algunos valores para visualizar la diferencia entre ellas, con algunos valores en el intervalo 4, 4 g4 f4 g3 f3 g f g f g f g f g f g3 f3 g3. 5 f3. 5 g4 f

7 Serie de Talor 7 Aplicaciones posibles: Cálculo de algunos límites: lim sin sin O lim lim sin cos lim lim 6 3 cos O lim cos lim lim : Estos ejemplos son sólo una muestra de lo que se podría hacer. Resolución de ecuaciones trascendentes(no son posibles resolver mediante métodos elementales) por ejemplo: 3 e, Solution is: según la gráfica tiene a lo menos dos soluciones, el SWP entrega una de ellas, usando solvenumeric, por otro método que se estudiará más adelante, es posible determinar ambas(pero nó simultáneamente.) Con la epansión de e en uns serie de potencioas de, veremos qué ocurre: e O 3 3 4, Solution is: , el valor obtenido mediante esta burda aproimación es sin embargo bastante cercano al valor obtenido por el programa. 69 6, al aproimar a un decimal.

8 Serie de Talor 8 Comprobemos la situación: 3 e ; sea f 3 e f f Suponiendo que el valor calculado por el programa es "sufientemente bueno" calcularemos el porcentaje de error: % Puede ser que en un ejemplo como el presente no tenga mucho sentido realizar este trabajo,pero sí lo tiene en otras situaciones, en cualquier caso, la idea era mostrar una aplicación sencilla. Cálculo de integrales: Ha integrales(muchísimas en verdad...) que no se pueden resolver mediante métodos elementales(métodos de integración vistos anteriormente), la utilización de series de potencias puede ser de gran auda. Así por ejemplo: e d e O e d d e d Se puede observar los resultados numéricos asociados a cada integral definida,los cuales son bastante cercanos, el primero obtenido mediante el SWP el segundo mediante la aproimación empleada..6 e d d Ahora bien, esta aproimación será mejor o peor según el intervalo en donde estemos integrando. e,

9 Serie de Talor la gráfica anterior está definida en el intervalo,, observemos otro intervalo. e, En la gráfica,obtenida en el intervalo, 3, se observa cómo los valores obtenidos para cada función: e su aproimación,se van alejando uno de otro. Para una maor eactitud, e se deberían considerar una maor cantidad de términos para la epansión. Resolución de ecuaciones diferenciales: d d e e O 5 d d d d d d

10 Serie de Talor d d e d e d e aunque la apariencia de ambos resultados es diferente, veamos qué tan cercana es una función de la otra. e, Ejercicios: Obtenga los primeros seis términos del desarrollo en serie de Talor de las siguientes funciones en potencias de "": (la respuestas se dan después del signo igual).- f O 6.-r e O h e 4 O k ln ln O l O 7 Obtenga los primeros seis términos del desarrollo en serie de Talor de las siguientes funciones en potencias de "-": (la respuestas se dan después del signo igual).- g O 6.- r e e e 3 e e 4 3 e 5 O h e e e 3e 3 e e e 5 O l O Consejo: Trate de practicar con el SWP, para comprobar los resultados.