Una heurística de Búsqueda Tabú para el Problema del Cartero Rural con Beneficios y Costos

Transcripción

1 CLEI 2011 Una heurística de Búsqueda Tabú para el Problema del Cartero Rural con Beneficios y Costos Guillermo Palma 1 Departamento de Computación y Tecnología de la Información Universidad Simón Bolívar Caracas, Venezuela Resumen Presento una heurística basada en la Búsqueda Tabú, con fin de generar soluciones factibles para resolver el Problema del Cartero Rural con Beneficios y Costos. Este problema fue recientemente definido y es una generalización de otros problemas de enrutamientos por arcos. Los resultados numéricos de una serie de experimentos computacionales con varios tipos de instancias muestran el buen comportamiento del algoritmo propuesto en comparación con trabajos anteriores Palabras Claves: Enrutamiento por arcos, metaheurística, búsqueda tabú, optimización combinatoria. 1. Introducción Los Problemas de Enrutamiento por Arcos con Beneficios y Costos (PARPs por sus siglas en inglés, Prize-Collecting Arc Routing Problems), fueron introducidos por Aráoz, Fernández y Zoltán [6] y ellos son una generalización de los Problemas de Enrutamiento por Arcos (ARPs por sus siglas en inglés, Arc Routing Problems). Los Problemas de Enrutamientos por Arcos consisten en encontrar el menor costo o mayor beneficio de atravesar algunos lados o arcos de un grafo, estando sujeto a una serie de restricciones. Los principales Problemas de Enrutamientos por Arcos son el Problema del Cartero Chino y el Problema del Cartero Rural. El libro editado por Dror [14] es la principal referencia sobre los ARPs. El PARP es definido sobre un grafo en donde hay un vértice d llamado depósito. Cada lado posee una función de beneficio y otra de costo. La función de beneficio sólo es tomada en cuenta la primera vez que se atraviesa el lado. El objetivo del PARP es encontrar un ciclo de máximo beneficio que pase por d. Aráoz et al. [6] muestran que los PARPs son NP-hard y que constituyen una generalización de la mayoría de los Problemas de Enrutamientos por Arcos y del Problema del Agente Viajero. El PARP básico es el Problema del Cartero Rural con Beneficios y Costos (PRPP, por sus siglas en inglés Prize-Collecting Rural Postman Problem). Los otros PARPs son definidos imponiendo condiciones adicionales. 1 gpalma@ldc.usb.ve This paper is electronically published in Electronic Notes in Theoretical Computer Science URL:

2 EL PRPP consiste en encontrar el ciclo de máximo beneficio que pase por el depósito en un grafo no dirigido. En el PRPP la demanda de servicio se encuentra en los lados del grafo. Cuando en el PRPP se da un servicio a un lado no sólo se incurre en un costo sino que se recibe un beneficio. El costo está asociado con el hecho de atravesar el lado y la ganancia se debe al servicio que se presta al lado. Cuando se construye una ruta se toma en cuenta el costo de atravesar cada uno de los lados que la componen. Es posible que un lado sea atravesado más de una vez. Solamente cuando se atraviesa un lado por primera vez en una ruta, se obtiene una recompensa. El objetivo del PRPP es encontrar una ruta, que parta y termine en el depósito, que maximice el beneficio total obtenido por servir a los lados menos el costo de atravesarlos. En la figura 1 se observa un ejemplo de un grafo que es una instancia del PRPP, en donde el vértice que corresponde al depósito está denominado como d. En la figura 2 se muestra el ciclo que es la solución óptima del problema de la figura 1. Figura 1. Ejemplo de una instancia del PRPP, c e/b e indica los valores costo/beneficio de un lado e Figura 2. Solución óptima de la instancia de la figura 1. El ciclo es d d con un beneficio igual a 14 Aráoz, Fernández y Meza [5] son quienes propusieron la primera solución algorítmica para el PRPP con un algoritmo de dos fases que usa diferentes mecanismos de resolución (solvers) en cada una de ellas. En la primera fase se obtiene una solución aproximada del problema por medio de la aplicación una relajación del sistema entero de desigualdades lineales que modelan el problema junto con una heurística, la cual es una adaptación de la heurística 3T [16]. En la segunda fase se aprovecha la solución resultante de la primera fase para obtener una solución óptima del problema. Además del PRPP, tenemos otros cuatro problemas que pertenecen a la familia de los PARPs. El primero es el Weighted PARP (WPARP) [9], en donde hay un peso asociado con el servicio de cada lado y también existe un límite en el peso total que puede tener una ruta cuando es servida. Una solución puede poseer más de una ruta. El segundo es el Clustered Prize-collecting Arc Routing Problem (CPARP) [3]. El CPARP tiene como objetivo encontrar un ciclo de máximo beneficio que pase por d, tal que satisfaga la demanda de un subconjunto de los grupos de lados con demanda. Franquesa [17] presenta un estudio completo del CPARP junto con algoritmos que lo resuelven. Más recientemente Aráoz, 2

3 Fernández y Franquesa [3] proponen un algoritmo exacto basado en programación lineal y una heurística para resolver el CPARP. El tercer problema de la familia de los PARPs es el Windy Clustered Prize-collecting Arc Routing Problem (WCPARP). Para este problema se cumple todo lo indicado para el CARP, la diferencia entre los dos problemas radica en que el costo de atravesar un arco va a depender de la dirección en que se atraviesa. Franquesa [17] estudia las propiedades del WCPARP y propone un algoritmo exacto para resolverlo. Aráoz et al. [4] presentan un algoritmo exacto basado en branch-and-cut que resuelve el problema óptimamente, junto con una heurística simple que permite obtener soluciones factibles. El cuarto y último problema que pertenece familia de los PARPs fue introducido en 2009 por Stefan Irnich y tiene como nombre el Profitable Capacitated Rural Postman (PCRPP) [24]. Para el PCRPP se aplica la misma definición del PRPP y adicionalmente se tiene que cuando se atraviesa un lado por primera vez se consume un tiempo q e y las demás veces un tiempo R e. El objetivo del PCRPP es encontrar el ciclo de máximo beneficio, tal que ese ciclo no sobrepase un tiempo máximo Q. Aparte de los estudios hechos sobre el PRPP y de los problemas que le están directamente relacionados, se tiene conocimiento de seis trabajos de Problemas de Enrutamiento por Arcos con Beneficios. Deitch y Ladany [13] estaban interesados en determinar una ruta de transporte atractiva en una región turística. Feillet, Dejax y Gendreau [15] introducen un nuevo problema de enrutamiento por arcos llamado The Profitable Arc Tour Problem (PATP). El objetivo del PATP es encontrar un conjunto de ciclos en el grafo que maximice el beneficio menos el costo del viaje, con restricciones en el número de veces que el beneficio se encuentra en los arcos y en la máxima longitud de los ciclos. Malandraki y Daskin [25] introducen el Maximum benefit Chinese postman problem (MBCPP) y el Maximum benefit traveling salesman problem (MBTSP). El MBCPP es análogo al PRPP, sólo se diferencia en que está definido para grafos dirigidos y que cada arco posee una función de beneficio b en, con la cual se obtiene un beneficio cuando se atraviesa por n-ésima vez el arco e. La definición del MBTSP es análoga sólo que el beneficio se obtiene al atravesar un nodo. Para finalizar tenemos que Hertz et al. introducen el Undirected capacitated arc routing problems with profits (UCARPP) [8] [7]. El UCARPP es definido sobre un grafo no dirigido en el cual se tiene que cada lado les asociado una recompensa, una demanda y un tiempo de viaje. Una flota de vehículos es dada para servir a los lados. El objetivo es encontrar un conjunto de rutas de máximo beneficio, que satisfaga todas las restricciones. Hay potenciales aplicaciones prácticas para el PRPP. Las aplicaciones de los Problemas de Enrutamientos por Lados tratan de minimizar costos. Se ha decidido a priori, que la demanda de servicio se encuentra exactamente en ciertos sitios. Debido a esto la meta no es decidir cuáles lados van a ser atendidos, sino determinar el menor costo de atravesarlos. Con el PRPP se puede modelar problemas prácticos más complejos. Una empresa que desea maximizar sus ganancias, puede decidir que la demanda de un lado no será atendida, a menos que de ella se derive un beneficio para la compañía. Un ejemplo en donde se aplica este principio, es en la recolección de papeleras de reciclaje por parte de empresas privadas. Otro ejemplo es el servicio de correo manejado por empresas privadas, las cuales pueden decidir los distritos a los que les prestarán servicios. Debido al éxito que se ha obtenido aplicando la Búsqueda Tabú a varios ARPs [23,12,11,2,19,1,10,8,7] se ha escogido esta metaheurística como la base de la solución algorítmica para el PRPP. Este trabajo está organizado de la siguiente manera. En la sección 2 se describe formal- 3

4 mente al PRPP y algunas de sus propiedades. En la sección 3 se presenta los algoritmos que se desarrollaron para resolver el PRPP. Los resultados experimentales obtenidos y la discusión de los mismos se hace en la sección 4. La sección 5 se presentan las conclusiones del trabajo. 2. Problema del Cartero Rural con Beneficios y Costos En esta sección definimos formalmente el PRPP y presentamos algunas notaciones y definiciones que se van a usar en este trabajo. Definición 1 Sea G(V, E) un grafo no dirigido con conjunto de vértices V y un conjunto de lados E, el cual posee un vértice distinguible d al cual llamamos depósito y sean dos funciones de E en R +, la función de ganancia b y la función de costo c. El PRPP consiste en encontrar un ciclo C que maximice el valor de e E(C) (b e t e c e ) (1) donde C es un ciclo que pasa por d, el cual no es necesariamente simple puede tener lados repetidos. Tenemos que t e es el número de veces que el lado e es atravesado en el ciclo C y E(C) es el conjunto de lados del ciclo C. A continuación las notaciones a usar y otras definiciones V (H): Conjunto de vértices de un subgrafo H. Si H = G entonces V (G) = V. E(H): Conjunto de lados de un subgrafo H. Si H = G entonces E(G) = E. γ(s): Dado el conjunto S tal que S V se tiene que γ(s) = {e E e = {u, v}, u, v S} son el conjunto de lados con ambos vértices en S δ(s): Dado el conjunto S tal que S V se tiene que δ(s) = {e E e = {u, v}, u S, v V \ S} = δ(v \ S) son el conjunto de lados en el corte entre S y V \ S Para el conjunto singleton no se usan llaves. Por ejemplo la siguientes expresión son válidas δ(v) δ({v}) y γ(v) γ({v}) Las siguientes funciones se definen sobre los lados e de un grafo G. ϕ e = b e c e. Se tiene que ϕ e es el beneficio que se obtiene cuando se cruza un lado por primera vez ψ e = b e 2c e. Se tiene que ψ e es el beneficio que se obtiene cuando se cruza un lado dos veces Se divide el conjunto de lados E en tres conjuntos: P = {e E ϕ e < 0} R = {e E ψ e 0} Q = {e E\R ϕ e 0} Definición 2 (Grafo Par) Un Grafo Par es un grafo en el cual todos los vértices tienen grado par. Denotaremos una instancia del PRPP que se aplica a un grafo G, con un depósito d, un función de beneficio b y una función de costo c, como (G, d, b, c). G R : Es el subgrafo G R (V (R) d, R) que se obtiene con el conjunto de lados R y el depósito d. Donde V (R) es el conjunto de vértices incidentes en lados de R. 4

5 C k : Son las componentes conexas del grafo G R, donde k {0,..., n}. Se asume que d C 0 V (C k ) = V k : Conjunto de vértices de la componente conexa C k γ R (V k ) Se tiene que con γ(v k ) se obtienen un conjunto de lados que corresponden al grafo original. Mientras que con γ R (V k ) se obtienen un conjunto de lados que corresponden al grafo G R. Es decir, γ R (V k ) = γ(v k ) R. A continuación se presentan algunas propiedades que poseen las soluciones óptimas del PRPP. Estas fueron deducidas y probadas por por Aráoz, Fernández y Zoltán [6]. Se tiene que C representa a un ciclo que es solución óptima del PRPP. Dominancia 1 Ninguno de los lados e E se encuentra presente más de dos veces en C. Dominancia 2 Sea e C, si para alguna de las componentes conexas C k de G R se tiene que V (e) V k, entonces todos los lados de γ R (V k ) están en C. Observación 1 La Dominancia 2 implica que para cada componente conexa C k se tiene que los lados en γ R (V k ), o se encuentran todos en la solución óptima C o ninguno de ellos está en C. La Dominancia 2 trae como consecuencia que si hay lado que no pertenezca al conjunto R y se encuentre en el ciclo C, que sea incidente con cualquier vértice de V k, entonces todos los lados γ R (V k ) están en C. Preprocesamiento 1 Sea C k una componente conexa de G R y sea e γ(v k ) \ R para cualquier k. Se tiene que el lado e es atravesado a lo sumo una vez en solución óptima C Observación 2 Se tiene que la Dominancia 2 y el Preprocesamiento 1 implican que si un lado e γ(v k ) \ R se encuentra en C, entonces también todos los lados γ R (V k ) están en C. 3. Algoritmo para resolver el PRPP Se desarrolló un algoritmo basado en la Búsqueda Tabú para resolver el PRPP. Este algoritmo tiene dos fases. En la primera fase se generan dos soluciones factibles para el PRPP por medio de dos algoritmos constructivos. Estos algoritmos son los llamamos Unión de Componentes Conexas y Eliminaciones Sucesivas de Componentes Conexas. La segunda fase consiste en la aplicación de un algoritmo de Búsqueda Tabú que trata de mejorar las soluciones iniciales. El algoritmo 1 Unión de Componentes Conexas esta basado en dos algoritmos. Estos son el algoritmo presentado por Pearn y Wang para el Maximum Benefit Chinese Postman Problem [26] y el algoritmo aproximado para el RPP que fue propuesto por Frederickson [18]. El algoritmo construye una solución factible para el PRPP, que contiene todos los lados del grafo excepto los lados de la lista de entrada. La idea en la Búsqueda Tabú es crear una primera solución factible que contenga los lados que dan beneficio al atravesarlos por primera vez, estos son los que pertenecen al conjunto R Q. En el trabajo de Aráoz et al. [6] se muestra que los lados e R Q no necesariamente forman parte de la solución óptima del PRPP. Sin embargo se considera que es mejor estrategia que se pierda beneficio incluyendo estos lados, en lugar de tener pérdida por no tenerlos en la solución. Una de las razones para usar esta técnica es porque con el algoritmo de Búsqueda Tabú es 5

6 posible determinar si con la supresión de lados de un ciclo que es una solución factible, se obtiene un ciclo de mayor beneficio. Algoritmo 1: Unión de Componentes Conexas Entrada: Un grafo G = (V, E) y un conjunto de lados L e Salida: Un ciclo C, solución factible de PRPP Paso 1: Crear un grafo G s = (V s, E s ), donde E s = E\L e. Si el depósito d / V s entonces se agrega al grafo G s y será considerado como la componente conexa C 0. Hacer G G s. Si G es euleriano (conectado y par) ir a paso 6. Si G es solo conectado, hacer E st e ir a paso 4 Paso 2: Sean C 0, C 1,..., C t las componentes conexas de G. Se construye un grafo completo G t = (V t, E t ), donde el V t tiene como miembros cada una de las componentes conexas C i. Cada lado e t E t tiene un costo dado la función c et : E t R que se define como c et (e t ) = mín{dcc(v i, v j ) v i C i v j C j i j} donde dcc es una función que retorna el valor del camino de costo mínimo entre los vértices v i y v j en el grafo G al cual llamamos CM vi v j. Sea CCM un conjunto con los CM vi v j. Para obtener los caminos de costo mínimo CCM, se ejecuta la siguiente función. CCM encontrar-caminos-costo-minimo(g, G ) Paso 3: Se calcula el árbol mínimo cobertor del grafo G t, obteniéndose el conjunto de lados E st que corresponden al conjunto de lados del árbol. Sea E st el conjunto de lados e E que se obtienen al determinar los caminos del grafo G que corresponde a cada uno de los lados de E st. Se agrega E st al grafo G para obtener G = (V s, E S E st) Paso 4: Se obtiene el conjunto de vértices de grado impar del grafo G y se le denomina V o. Se construye un grafo completo G m = (V o, E o ), en el cual cada lado e o = (i, j) e o E o va a tener como costo c eo el valor del camino de costo mínimo, llamado CM ij, entre los vértices i, j V o en el grafo G. Sea CCM un conjunto con los CM ij, se tiene que los caminos de costo mínimo se obtienen llamando a la siguiente función. CCM encontrar-caminos-costo-minimo(g, G ) Paso 5: Se calcula un apareamiento perfecto de costo mínimo en el grafo G m. Sea E m el conjunto de lados de G m correspondientes al apareamiento óptimo. Sea E m el conjunto de lados e E que se obtienen al determinar los caminos del grafo G que corresponde a cada uno de los lados de E m. Se agrega E m al grafo G para obtener G = (V s, E s E st E m ). Se tiene que G es un grafo euleriano (par y conexo) por lo tanto posee una solución para el PRPP Paso 6: Se determina el ciclo euleriano C en G por medio del algoritmo Eulerian-Cycle presentado en libro de Dror [14]. Se tiene que C es un ciclo que es una solución al PRPP en G. Paso 7: retorna C En la Búsqueda Tabú el algoritmo 1 Unión de Componentes Conexas proporciona una solución factible del PRPP que contiene todos lados que dan beneficio al cruzarlos, los cuales son los lados del tipo R y Q. El algoritmo 3 Eliminaciones Sucesivas de Componentes Conexas aplica una estrategia para descartar lados del tipo R y Q que no 6

7 Función 2: encontrar-caminos-costo-minimo Entrada: Los grafos G = (V, E), y G s = (V s, E s ) Salida: Conjunto de caminos de costo mínimo CCM 1 inicio 2 CCM // conj. de caminos de costo mínimo 3 ConjLados // conj. de lados 4 Sea CM vi v j el camino de costo mínimo entre los vértices v i, v j V s en el grafo G. Ahora cada lado e E, tiene un costo dado por la función c st : E R que va a depender de los caminos CM vi v j encontrados anteriormente. 5 para Cada v i, v j V s hacer { 6 Determinar CM vi v j con c st (e) = c e, si e E s ConjLados ϕ e, de lo contrario 7 CCM CCM {CM vi v j } 8 ConjLados ConjLados los lados del CM vi v j 9 retorna CCM aportarían beneficio a una solución del PRPP. Sea el grafo G t = (V t, E t ) del paso 2 del algoritmo 1 Unión de Componentes Conexas. Luego en el paso 3 del algoritmo 1 se calcula el árbol mínimo cobertor del grafo G t teniendo como resultado un conjunto de lados E st. Con este conjunto de lados se puede crear el grafo G mst = (V t, E st ) que corresponde al árbol. Cada uno de los vértices v i V t corresponde a una componente conexa C i. Cada uno de los lados E st corresponden a caminos de costo mínimo entre las componentes conexas. Recordemos que la componente conexa que contiene al depósito se le denomina C 0. Supongamos que recorremos el grafo G mst con un algoritmo de búsqueda partiendo del vértice v 0 V t que corresponde a la componente C 0. Al visitar cada vértice v i V t se puede obtener el costo c vi del lado con que se alcanza el vértice v i y la componente conexa C i que corresponde al vértice v i. También se puede calcular el máximo beneficio que se puede obtener de una componente conexa C i, esto es ϕ(γ(c i )). Si el máximo beneficio de la componente conexa es menor al costo del camino con que se alcanza a esa componente, es decir, c vi > ϕ(γ(c i )) entonces consideramos que esta componente no debería ser parte de la solución. Esto es porque la inclusión de este conjunto de lados podría aportar pérdidas a una solución del PRPP. Esta es la idea básica del algoritmo 3 Eliminaciones Sucesivas de Componentes Conexas. Las componentes conexas C i se ordenan de manera ascendente según el valor del beneficio total menos el costo de alcanzar la componente. Luego en ese orden se va a construir sucesivas soluciones factibles con el algoritmo 1 Unión de Componentes Conexas, tal que no sea obligatorio para la solución tener en los lados de la componente conexa C i. De todas las soluciones que se obtienen, se escoge la de mayor beneficio. La Búsqueda Tabú fue introducida por Fred Glover [20] y es una de las metaheurísticas más exitosas en la resolución de problemas de optimización combinatoria. Buenas descripciones sobre los conceptos y aplicaciones de la Búsqueda Tabú son presentadas por Glover y Laguna [21] y por Melián y Glover [22]. La Búsqueda Tabú es un algoritmo metaheurístico que se basa en el uso de memoria adaptativa y en la adopción de principios generales inteligentes para la resolución de problemas. La Búsqueda Tabú es usada para guiar una búsqueda local en el intento de encontrar un óptimo global, usando estructuras 7

8 Algoritmo 3: Eliminaciones Sucesivas de Componentes Conexas Entrada: Un grafo G = (V, E) Salida: Un ciclo C solución factible de PRPP 1 inicio 2 Lados-tabu Todos los lados del grafo G de tipo P 3 Aplicar los pasos 1 y 2 del algoritmo 1 Unión de Componentes Conexas con entrada, el grafo G y Lados-tabu. Se obtiene un grafo G t = (V t, E t ). 4 ncc V t // Número de componentes Conexas 5 mejor-solución Unión de Componentes Conexas con entrada G y Lados-tabu. 6 si ncc = 1 entonces retorna mejor-solución. 7 Se calcula el árbol mínimo cobertor del grafo G t teniendo como resultado un conjunto de lados E st. Crear el grafo G mst = (V t, E st ). 8 Recorrer el grafo G mst con el algoritmo de Búsqueda en Profundidad partiendo del vértice que corresponde a la componente C 0 (contiene al depósito d) y calcular el costo c Ci, de alcanzar cada componente conexa C i V t. 9 para Cada componente conexa C i V t hacer 10 Calcular el máximo beneficio que puede se puede obtener ϕ(γ(c i )). 11 beneficio Ci ϕ(γ(c i )) c Ci 12 beneficio-comp-conex beneficio-comp-conex {(C i, beneficio Ci )} 13 Se ordena ascendentemente el conjunto de los beneficios de las componentes conexas beneficio-comp-conex. 14 para Cada tupla (C i, beneficio Ci ) beneficio-comp-conex hacer 15 lados-comp-conex Obtener los lados en el grafo G que conforman la componente conexa C i. 16 Lados-tabu Lados-tabu lados-comp-conex. 17 solución Unión de Componentes Conexas con entrada G y Lados-tabu. 18 si beneficio(solución) > beneficio(mejor-solución) entonces mejor-solución solución. 19 retorna mejor-solución de memoria que ayuden a evitar caer en óptimos locales y a visitar estados alcanzados anteriormente. La idea básica del algoritmo 5 Búsqueda Tabú para el PRPP es partir de una solución factible del PRPP para hacer una búsqueda local que posee memoria adaptativa y que tiene la habilidad de hacer reinicializaciones en diferentes puntos del espacio de búsqueda, en caso de ser necesario. Antes de explicar como trabaja el algoritmo se hará una descripción de algunas de sus estructuras y procedimientos básicos. En primer término se explicará cómo se genera un conjunto de soluciones vecinas a partir de una solución factible del PRPP. Se utilizará un esquema de intercambio de lados por caminos inspirado en el presentado por Coberán et al. para el Mixed RPP [12]. En la función 4 obtenervecinos se presenta el algoritmo para generar el conjunto de soluciones vecinas. Sea un C un ciclo solución factible del PRPP representado por una secuencia de lados que corresponden al orden en que los lados del grafo son atravesados. Se tiene que C posee la siguiente forma C = ((d, a)(a, b),..., (i, j),..., (l, m),..., (p, q),..., (s, t), (t, d)), donde d, es el depósito. Dado un lado e = (l, m) cualquiera que pertenece a la solución C, 8

9 Algoritmo 4: Funciones usadas por la Búsqueda Tabú para el PRPP func obtenervecinos(g : Un grafo, SolucionActual: Sol. PRPP, MejorSolucion: Sol. PRPP, ListaTabu: Conj de Lados) Vecinos: Conj de Sol. PRPP inicio para Cada lado e SolucionActual hacer Dado el lado e = (l, m) y sea el ciclo SolucionActual representado como una secuencia de lados que son atravesados con la siguiente forma: SolucionActual = ((d, a)(a, b),..., (i, j),..., (l, m),..., (p, q),..., (s, t), (t, d)); A partir del lado e = (l, m) se recorre SolucionActual por la izquierda hasta encontrar un lado (i, j) R Q. Si no existe ese lado entonces se toma el lado más extremo de la solución, este es un lado (d, a) el que posee el depósito; A partir del lado e = (l, m) se recorre SolucionActual por la derecha hasta encontrar un lado (p, q) R Q. Si no existe ese lado entonces se toma el lado más extremo de la solución, este es un lado (t, d) el que posee el depósito; Encontrar un camino de costo mínimo CCM jp entre los vértices j y p; Obtener una nueva solución factible del PRPP sustituyendo el camino el camino [j, l](l, m)[m, p] de SolucionActual por el camino de costo mínimo CCM jp en SolucionActual. Se tiene una solución con la siguiente forma: NuevaSolucion ((d, a)(a, b),..., (i, j), CCM jp, (p, q),..., (s, t), (t, d)); si e ListaTabu entonces // Criterio de Aspiración si benef icio(nuevasolucion) > beneficio(mejorsolucion) entonces Vecinos = Vecinos {(NuevaSolucion, e)}; de lo contrario Vecinos = Vecinos {(NuevaSolucion, e)}; retorna Vecinos; func obtenersolucion(vecinos: Conj de soluc., ListaTabu: Conj de Lados, MejorSolucion: Sol. PRPP) C : Sol. PRPP inicio (SolEscogida, e) Encontrar en Vecinos la tupla que posea la solución factible con mayor beneficio; SolEscogida Sacar de la tupla (SolEscogida, e) la solución del PRPP; si beneficio(solescogida) beneficio(mejorsolucion) entonces (SolEscogida, e) Escoger una tupla de manera probabilística, usando la técnica de la rueda de la ruleta en la que se tomará en cuenta el beneficio de las soluciones del PRPP; SolEscogida Sacar de la tupla (SolEscogida, e) la solución del PRPP; e Sacar de la tupla (SolEscogida, e) el lado e asociado a la solución del PRPP, e es el lado con el que se generó la SolEscogida en obtenervecinos; ListaTabu ListaTabu {e}; retorna SolEscogida; 9

10 partiendo de ese lado se recorre la solución C tanto por la izquierda como por la derecha de la posición del lado e. Cuando se recorre C por la izquierda de e, se desea encontrar un lado h del tipo que proporciona beneficio cuando se atraviesa por primera vez, esto es h R Q. Si no encontramos un lado h R Q tomamos el lado que está conectado al depósito, en este caso en la solución C se tiene que h = (d, a). Supongamos que si encontramos un lado h R Q en C a ese lado lo denotamos como h = (i, j) C. Hacemos el mismo procedimiento partiendo del lado e = (l, m), recorremos C por la derecha hasta encontrar un lado k = (p, q) R Q o en su defecto, el lado más a la derecha que posea al depósito, esto es k = (t, d) C. Una vez que se tienen identificados estos tres lados h = (i, j), e = (l, m) y k = (p, q) en la solución C, se encuentra el camino de costo mínimo entre los vértices j y p en el grafo G el cual llamamos CCM jp. Luego sustituimos el camino [j, l](l, m)[m, p] del ciclo C por el camino de costo mínimo entre j y p, CCM jp. Esto nos da como resultado una nueva solución V, factible para el PRPP la cual tiene la forma V = ((d, a)(a, b),..., (i, j), CCM jp, (p, q),..., (s, t), (t, d)). Este procedimiento se aplica a todos los lados de la solución C, con lo cual se genera un conjunto de soluciones factibles del PRPP. Nuestro conjunto de soluciones vecinas estará compuesto por tuplas (V, e) cuyo primer componente es la solución factible V creada y el segundo componente es el lado que e = (l, m) C que fue seleccionado al principio del algoritmo y que permitió la generación de la solución V. La función 4 obtenervecinos muestra el algoritmo para obtener el conjunto de soluciones vecinas como un conjunto de tuplas. Sea C la solución factible del PRPP con la que se obtiene el conjunto de soluciones vecinas y sea G = (V, E) el grafo que representa la instancia PRPP a resolver, en la obtención de los caminos de costo mínimo CCM jp, cada lado e E tiene un costo dado por la función c (2)., si e ladosp reprocesamiento1 ListaT abu c e, si e C c(e) = 0, si e R Q ladosdominancia2 ϕ e, de lo contrario (El lado es de tipo P ). Una vez generado el conjunto de soluciones vecinas se quiere obtener de él una solución, la cual va a ser la mejor solución actual o en otras palabras la mejor solución de la iteración que se está ejecutando. La función 4 obtenersolucion escoge una solución, de manera probabilística, del conjunto de soluciones vecinas. La Búsqueda Tabú para el PRPP se muestra en el algoritmo 5. Al principio el algoritmo genera dos soluciones factibles con los algoritmos 1 y 3. La solución generada por el algoritmo 3 Eliminaciones Sucesivas de Componentes Conexas es la solución inicial con la que se va iterar en la Búsqueda Tabú. La solución del algoritmo 1 Unión de Componentes Conexas puede ser usada más adelante en el Búsqueda Tabú en caso de que se necesite diversificar la búsqueda. En la línea 6 comienza la iteración del algoritmo. El máximo número de iteraciones, expresado en M axiter, que se permitieron fue 120. Una vez obtenidas el conjunto de soluciones vecinas estas pasan por los algoritmos de mejoramiento de soluciones. Estos son tres algoritmos. El primero elimina los ciclos de beneficio negativo de una solución. El segundo elimina los lados duplicados de las soluciones. El tercero toma cada uno de los pares de lados de una solución y examina si hay un camino entre los vértices extremos de ambos lados, que sea de menor costo. Se considera que dos soluciones son iguales si tienen el mismo beneficio. Se tiene un multiconjunto de soluciones llamado Benef iciom ulticonjunto, con el que se cuenta la frecuencia con 10 (2)

11 Algoritmo 5: Búsqueda Tabú para el PRPP Entrada: Un grafo G Salida: Un ciclo C solución factible de PRPP 1 inicio 2 itersinmejora 10, beneficiomulticonjutnto 3 SolESCC Aplicar el algoritmo 3 con entrada G 4 SolActual SolESCC, MejorSol SolActual 5 SolUCC Aplicar el algoritmo 1 con entrada G y los lados de G de tipo P 6 mientras iter < MaxIter hacer 7 Vecinos obtenervecinos(g, SolActual, MejorSol, ListaTabu) 8 Aplicar los algoritmos de mejoramiento a todas las soluciones de Vecinos 9 SolActual obtenersolucion(vecinos, ListaTabu, MejorSol) 10 BSA beneficio(solactual) 11 beneficiomulticonjutnto beneficiomulticonjutnto {BSA} 12 si # de ocurrencias de BSA en beneficiomulticonjutnto = 3 entonces 13 si usarmejorsolucion entonces 14 usarmejorsolucion falso 15 SolActual MejorSol 16 de lo contrario 17 usarmejorsolucion verdadero 18 SolActual SolUCC 19 Eliminar todas las ocurrencias de BSA en beneficiomulticonjutnto 20 ladosdominancia2 Obtener todos los lados de tipo Q y P que son adyacentes a los lados tipo R de SolActual y que no pertenezcan a ella 21 ladospreprocesamiento1 Obtener todos los lados γ(v k ) δ(v k ) que forman parte de SolActual (ver Preprocesamiento 1) 22 si beneficio(solactual) > beneficio(mejorsol) entonces 23 MejorSol SolActual 24 iter iter 10, itersinmejora itersinmejora 9 25 Eliminar en una unidad el número de iteraciones que deben estar los lados e ListaTabu en la ListaTabu 26 iter iter + 1, itersinmejora itersinmejora si iter = itersinmejora entonces 28 si usarsolaleatoria = verdadero entonces 29 SolActual Obtener una solución factible generada aleatoriamente 30 de lo contrario 31 SolActual SolESCC 32 beneficiomulticonjutnto, ListaTabu 33 itersinmejora itersinmejora retorna MejorSol 11

12 que aparece una solución durante la búsqueda. En las líneas observamos que si una solución se presenta tres veces en la búsqueda se intenta cambiar el espacio de búsqueda, realizando una intensificación de la búsqueda a partir de la mejor solución encontrada hasta el momento o realizando una diversificación a partir de la solución del algoritmo 1 Unión de Componentes Conexas. Recordamos que la solución del algoritmo 1 tiene todos los lados que dan beneficio al cruzarlos por primera vez. En las líneas 20 y 21 se obtienen los lados asociados a las propiedades del PRPP, que se conocen como Dominancia 2 y Preprocesamiento 1. La idea con los lados ladosdominancia2 es de tratar de favorecer su inclusión en la solución factible, ya que si un lado R pertenece a la solución óptima es probable que algunos de lados adyacentes también pertenezcan a la solución óptima. Debido a esto vemos en la que el costo de estos lados en la función 2 es 0. El objetivo de tener los lados que se denominan ladospreprocesamiento1 es tratar de evitar volver a incluir estos lados, de nuevo, en la solución factible, como se muestra en la función 2. En las líneas se observa lo que hace el algoritmo en caso de que se tenga un cierto número iteraciones sin encontrar una mejor solución global. La primera vez se efectuará una diversificación de la búsqueda llevándola a espacio de estados completamente diferente, que se obtiene al continuar la búsqueda tabú en una solución factible generada de manera aleatoria. En caso de caer de nuevo es esta situación se realizará una intensificación de la búsqueda al escoger como solución actual, la solución del algoritmo 3 Eliminaciones Sucesivas de Componentes Conexas. 4. Resultados Experimentales y Discusión Los algoritmos fueron implementados en C y están disponible públicamente en http: // Todas las pruebas experimentales fueron realizadas en un computador SUN ULTRA 10 modelo 440, con un solo procesador UltraSPARC-IIi de 440 MHz con 1.0 GB de DRAM. Hasta el momento las únicas instancias del PRPP disponibles son las formuladas por Aráoz, Fernández y Meza [5]. Son un conjunto de 118 instancias que fueron generadas de un conjunto de instancias, ampliamente utilizadas, del Problema del Cartero Rural RPP. Usaremos estas mismas instancias para probar los algoritmos implementados. Las 118 instancias fueron agrupadas en 15 clases de problemas, dependiendo de su tipo y de su número de vértices. En el cuadro 1 se muestran las características de los problemas a resolver. Los resultados obtenidos con el Algoritmo de Búsqueda Tabú para el PRPP se compararon con los resultados de la Heurística del Algoritmo de planos de cortes para el PRPP de Aráoz, Fernández y Meza [5], descrita en la introducción. Todos los resultados de ambos algoritmos fueron obtenidos en la mismo computador SUN ULTRA 10 que se describió anteriormente. Debido a los elementos probabilísticos de la Búsqueda Tabú, es posible obtener soluciones diferentes al resolver una instancia. Para probar la robustez y fiabilidad del algoritmo de Búsqueda Tabú se realizaron 30 corridas de cada una de las 118 instancias y se reportan en el cuadro 4 los resultados de los valores promedios obtenidos y de las mejores soluciones encontradas. Al comparar los resultados obtenidos con los de la heurística de [5] podemos ver que el porcentaje de desviación total de heurística (10.98) es mayor que el porcentaje de desviación total del valor promedio (10.22) y mayor que el del mejor valor de la Búsqueda Tabú (2.85). Esto indica que la Búsqueda Tabú en general permite obtener mejores soluciones que la heurística de [5]. Si se observa las mejores soluciones 12

13 Cuadro 1 Sumario de las características de los problemas a resolver. Se tiene que R y P son el número de lados tipo R y tipo P de cada tipo de problema Problema #instancias V E R P AA AB P D D D D G G G G R R R R encontradas por la Búsqueda Tabú se tiene que encuentra la mejor solución en 13 de los 15 tipos de problemas. La heurística de [5] sólo encuentra una mejor solución que la Búsqueda Tabú en los problemas G64 y G100. La Búsqueda Tabú obtiene la solución óptima en 12 de los 15 tipos de problemas, lo cual es bastante satisfactorio. El tiempo de cómputo de la Búsqueda Tabú fue mayor en las instancias pequeñas y mucho menor en los problemas más grandes. Esto se debe a que en la Búsqueda Tabú se generan dos soluciones iniciales, lo que es costoso en tiempo. Sin embargo se puede considerar que el esfuerzo computacional de la Búsqueda Tabú es bueno si vemos el tiempo total empleado por ambas heurísticas. 5. Conclusiones El algoritmo de Búsqueda Tabú para el PRPP obtiene soluciones de alta calidad superando a la heurística del algoritmo de planos de corte en la mayoría de los problemas estudiados. Las estrategias utilizadas en el algoritmo de Búsqueda Tabú pueden ser aplicadas en otros algoritmos de enrutamiento por arcos con beneficios y costos. Una de las mayores contribuciones de este trabajo es el mecanismo de generación de soluciones vecinas en Búsqueda Tabú para el PRPP. Este es un procedimiento clave en el rendimiento de la Búsqueda Tabú y es tan general que puede ser aplicado a otros problema de en- 13

14 Cuadro 2 Resultados de la Búsqueda Tabú y la Heurística de [5] en las instancias del PRPP. Donde V o: valor óptimo, %dheur: porcentaje de desviación de la heurística, %dprombt: porcentaje de desviación del valor promedio de la Búsqueda Tabú, %dmejorbt: porcentaje de desviación del mejor valor encontrado por la Búsqueda Tabú, theur: tiempo de la heurística y tbt: tiempo promedio de la búsqueda tabú Problema V o %dheur %dprombt %dmejorbt theur (seg) tbt (seg) AA AB P D D D D G G G G R R R R Totales rutamiento por arcos con costos y beneficios. El esfuerzo computacional del algoritmo metaheurístico es moderado. Entre los trabajos futuros se encuentra el de aplicar el esquema de la Búsqueda Tabú a otros problemas de enrutamiento por arcos con beneficios y costo, como por ejemplo el Clustered Prize-collecting Arc Routing Problem (CPARP) y el Undirected capacitated arc routing problems with profits (UCARPP). Referencias [1] Ahr, D. and G. Reinelt, A tabu search algorithm for the min max k-chinese postman problem, Computers & Operations Research 33 (2006), pp [2] Amberg, A., W. Domschke and S. Voß, Multiple center capacitated arc routing problems: A tabu search algorithm using capacitated trees, European Journal of Operational Research 124 (2000), pp [3] Aráoz, J., E. Fernández and C. Franquesa, The clustered prize-collecting arc routing problem, Transportation Science 47 (2009), pp [4] Aráoz, J., E. Fernández and C. Franquesa, The windy clustered prize-collecting arc routing problem., in: Conference on System Modelling and Optimization, IFIP TC7, [5] Aráoz, J., E. Fernández and O. Meza, Solving the prize-collecting rural postman problem, European Journal of Operational Research 196 (2009), pp

15 [6] Aráoz, J., E. Fernández and C. Zoltan, Privatized rural postman problems, Computers & Operations Research 33 (2006), pp [7] Archetti, C., D. Feillet, A. Hertz and M. Speranza, The Capacitated Arc Routing Problem with Profits C. Archetti, D. Feillet, Technical report, GERAD (2009). [8] Archetti, C., D. Feillet, A. Hertz and M. Speranza, The undirected capacitated arc routing problem with profits, Computers and Operations Research (2009). [9] Aráos, J., E. Fernández, C. Franquesa and O. Meza, Prize-collecting arc routing problems and extensions, in: Odysseus Conference, Valencia, España, [10] Brandão, J. and R. Eglese, A deterministic tabu search algorithm for the capacitated arc routing problem, Computers & Operations Research 35 (2008), pp [11] Corberán, A., R. Martí, E. Martínez and D. Soler, The Rural Postman Problem on mixed graphs with turn penalties, Computers & Operations Research 29 (2002), pp [12] Corberán, A., R. Martí and A. Romero, Heuristics for the mixed rural postman problem, Computers & Operations Research 27 (2000), pp [13] Deitch, R. and S. Ladany, The one-period bus touring problem: Solved by an effective heuristic for the orienteering tour problem and improvement algorithm, European Journal of Operational Research 127 (2000), pp [14] Dror, M., ARC Routing: Theory, Solutions and Applications, Kluwer Academic Publishers, [15] Feillet, D., P. Dejax and M. Gendreau, The Profitable Arc Tour Problem: Solution with a Branch-and-Price Algorithm, Transportation Science 39 (2005), p [16] Fernández, E., O. Meza, R. Garfinkel and M. Ortega, On the Undirected Rural Postman Problem: Tight Bounds Based on a New Formulation, Operations Research 51 (2003), pp [17] Franquesa, C., The Clustered Prize-collecting Arc Routing Problem, Ph.D. thesis, Universidad Politécnica de Cataluña (2008). [18] Frederickson, G., Approximation algorithms for some postman problems, Journal of the ACM (JACM) 26 (1979), pp [19] Ghiani, G., F. Guerriero, G. Laporte and R. Musmanno, Tabu Search Heuristics for the Arc Routing Problem with Intermediate Facilities under Capacity and Length Restrictions, Journal of Mathematical Modelling and Algorithms 3 (2004), pp [20] Glover, F., Future paths for integer programming and links to artificial intelligence, Computers & Operations Research 13 (1986), pp [21] Glover, F. and M. Laguna, Tabu Search, Springer, [22] Glover, F. and B. Melián-Batista, Búsqueda tabú, Inteligencia Artificial, Revista Iberoamericana de Inteligencia Artificial 19 (2003), pp [23] Hertz, A., G. Laporte and M. Mittaz, A Tabu Search Heuristic for the Capacitated Arc Routing Problem, Operations Research 48 (2000), pp [24] Irnich, S., New models and methods for arc routing, in: C. Barnhart, U. Clausen, U. Lauther and R. H. Möhring, editors, Models and Algorithms for Optimization in Logistics, number in Dagstuhl Seminar Proceedings (2009). URL [25] Malandraki, C. and M. Daskin, The maximum benefit Chinese postman problem and the maximum benefit traveling salesman problem, European Journal of Operational Research 65 (1993), pp [26] Pearn, W. and K. Wang, On the maximum benefit Chinese postman problem, Omega 31 (2003), pp