Volatilidad estocástica y la ecuación de Fokker-Planck: parámetros dependientes del tiempo y filtro de Kalman

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1 Revista de Administración, Finanzas Economía (Journal of Management, Finance and Economics), vol. 4, núm. 1 (010), pp Volatilidad estocástica la ecuación de Fokker-Planck: parámetros dependientes del tiempo filtro de Kalman Claudia Estrella Castillo Ramrez Recibido 19 de enero 010, aceptado 3 de febrero 010 Resumen El presente trabajo examina la relación existente entre volatilidad estocástica la densidad de probabilidad estacionaria a través de la ecuación de Fokker- Planck. El proceso estocástico que se propone para conducir a la volatilidad extiende las investigaciones de Grajales-Correa, Pérez-Ramírez Venegas- Martínez (008), Oztukel Wilmott (1998), de tal forma que los parámetros del proceso de volatilidad son dependientes del tiempo, en cuo caso el filtro de Kalman (1960) debe utilizarse para propósitos de estimación. Abstract This paper is aimed to examine the relationship between stochastic volatilit and the stationar probabilit densit through the Fokker-Planck equation. The proposed stochastic process to lead volatilit extends the research from Grajales-Correa, Prez-Ramrez and Venegas-Martnez (008), and Oztukel and Wilmott (1998), so that the parameters of the volatilit process are dependent of time, in which case the Kalman s (1960) filter should be used for estimation purposes. Clasificación JEL: G11, G13, D1 Kewords: Stochastic volatilit, diffusion process. Universidad Autónoma Meropolitana-Iztapalapa; ce1castillo@hotmail.com

2 Volatilidad estocstica la ecuacin de Fokker-Planck Introducción A finales de 008 principios de 009, los mercados de capitales derivados experimentaron grandes fluctuaciones en los niveles de volatilidad (la desviación estándar de los rendimientos de los activos). El reconocer que la volatilidad no se mantiene constante conduce a cambios transformaciones profundas en la forma de llevar a cabo el análisis financiero. Estos cambios han propiciado el surgimiento de nuevos paradigmas que resaltan el comportamiento aleatorio de la volatilidad. Entre estos paradigmas, uno de los más exitosos es el de los modelos de volatilidad estocástica en tiempo continuo, el cual ha abierto un sinfín de nuevos horizontes en la práctica la teoría financiera. En el modelo clásico de Black Scholes (1973) Merton (1973) se supone que el activo subacente sigue un proceso estocástico lognormal que la volatilidad de los rendimientos del activo subacente se mantiene constante a través del tiempo. Este último supuesto resulta ser inadecuado a que un gran número de series financieras de rendimientos reflejan la presencia de exceso de curtosis colas anchas (o pesadas); tal como lo muestra los estudios empíricos de Mandelbrot (1963) Fama (1965), entre muchos otros. La volatilidad del precio de un activo subacente no es constante ni es observable. Por lo tanto, requiere de un tratamiento adecuado en la valuacin de productos derivados, a que justamente en los mercados de opciones ésta es la variable que se negocia. La alternativa idónea es modelarla como un proceso estocástico. En este escenario se considera que tanto el precio como la volatilidad del activo subacente siguen procesos estocásticos, cada uno de los cuales está representado por una ecuación diferencial estocástica con movimientos brownianos, posiblemente correlacionados; véanse, por ejemplo, los trabajos seminales de Hull White (1987), Scott (1987), Stein Stein (1991), Heston (1993), Oztukel Wilmott (1998), Venegas-Martínez (005) (010), Grajales-Correa, Pérez-Ramírez Venegas-Martínez (008), entre muchos otros. En todo lo que sigue, la volatilidad será vista como una variable aleatoria. Un modelo de difusión de volatilidad estocástica en tiempo continuo puede ser establecido, en términos generales, de la siguiente manera. Suponga que el precio de un activo subacente sigue una distribución lognormal (o que sus rendimientos son normales) su volatilidad instantánea, σ t, es una función del tiempo, de tal manera que: ds t = µs t dt + σ t S t du t, donde el parámetro de tendencia, µ, representa el rendimiento medio esperado. El proceso (U t ) t [0,T] es un movimiento browniano definido sobre un espacio fijo de probabilidad con su filtración aumentada, (Ω U, F U, (F U t ) t [0,T], IP U ). Suponga, adicionalmente que dσ t = A(σ t, t)dt + B(σ t, t) dw t, donde A(, ) B(, ) son funciones bien comportadas (que satisfacen las condiciones de Lipschitz) el proceso (W t ) t [0,T] es un movimiento browniano definido sobre un espacio fijo de probabilidad con su filtracin aumentada, (Ω W, F W, IF W, IP W ), IF W = (F W t ) t [0,T] con

3 66 Revista de Administración, Finanzas Economía Cov(dU t, dw t ) = ρdt. En el modelo de Hull White (1987) se tiene que A(σ t, t) = ασ t B(σ t, t) = βσ t donde α β on constantes conocidas, β es la volatilidad de la volatilidad. De esta forma, la ecuación diferencial estocástica que conduce a la varianza σt es un movimiento geométrico browniano. Por otro lado, en el modelo de Heston (1993) se tiene que A(σt, t) = a ( b σt ) B(σ t, t) = θ(t)σ t, lo cual produce reversión a la media en el proceso de la varianza. En este caso a es la velocidad de ajuste de la volatilidad hacia un nivel de de largo plazo b. Por otro lado, si el precio, S T, de un activo subacente sigue un movimiento geométrico browniano, entonces la función de densidad de S T condicional a S t está dada por la siguiente expresión: f ST S t (s S t ) = 1 exp π(t t)σs 1 ( ) ln s S t (r 1 σ )(T t) σ T t. Una forma alternativa de escribir la expresión anterior es como sigue: si se definen x = S t, = s q(t, T; x, ) f ST S t (s S t ), entonces ( ) 1 q(t, T; x, ) = exp π(t t)σ 1 ln x (r 1 σ )(T t) σ T t. Las cantidades t x son llamadas variables hacia atrás. En este caso se puede mostrar que q(t, T; x, ) satisface la ecuación diferencial parcial hacia atrás de Kolmogorov: q t + 1 σ x q q + rx x x = 0. La ecuación diferencial parcial de Fokker-Planck es la ecuación diferencial parcial de Kolmogorov hacia adelante con solución p(t, T;, x), en cuo caso se escribe 1 p(t, T;, x) = exp π(t t)σ 1 ( ) ln x + (r 1 σ )(T t) σ T t,

4 se cumple que Volatilidad estocstica la ecuacin de Fokker-Planck 67 p T = 1 σ ( p) r (p). Si se escribe s = T, entonces p(s, x; t, ) es una densidad de transición corresponde a la probabilidad de que la variable x se mueva del estado (s, x) en el tiempo s al estado (t, ) en el tiempo t. De esta manera, la densidad p(s, x; t, ) considera todas las posibles traectorias en que un sistema puede evolucionar hacia un estado, a partir de un estado anterior x, en un intervalo de tiempo de longitud finita t s. Esta investigación estudia la relación entre volatilidad estocástica la densidad de probabilidad estacionaria a través de la ecuación de Fokker-Planck. El proceso estocástico que se propone para conducir a la volatilidad generaliza los modelos de Grajales-Correa, Pérez-Ramírez Venegas-Martínez (008), Oztukel Wilmott (1998), de tal forma que los parámetros del proceso de volatilidad son dependientes del tiempo, en cuo caso el filtro de Kalman (1960) debe utilizarse para propósitos de estimación (véase, al respecto, Venegas-Martínez, de Alba Ordorica (1995)). El presente trabajo está organizado de la siguiente manera. En la próxima sección se lleva a cabo una dicusión general sobre los procesos de difusión de volatilidad estocástica. En el transcurso de la sección 3 se estudia la relación entre volatilidad estocástica la ecuación de Fokker-Planck se propone un modelo de volatilidad estocástica con parámetros dependientes del tiempo. A través de la sección 4 se establece el método de estimación de parámetros. Por último, en la sección 5 se presentan las conclusiones.. Procesos de difusin de volatilidad estocstica Uno de los supuestos más débiles del modelo de Black-Scholes es que la volatilidad σ es considerada como un parámetro. Una posible alternativa (tal vez la más idónea) es modelarla como un proceso estocástico. Este nuevo ingrediente en la valuación de opciones generaliza el modelo tradicional de Black Scholes (1973). Un proceso estocástico, en tiempo continuo, con volatilidad estocástica supone que el precio, S t, de un activo financiero satisface un sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas dado por ds t (S t, σ t, t) = µ S t dt + σ t S t dw t (1) dσ t (S t, σ t, t) = p(s t, σ t, t)dt + q(s t, σ t, t)du t, () donde σ t es la volatilidad del precio S t, µ es la tendencia media esperada en los rendimientos del activo, las funciones p q son la tendencia de la volatilidad la volatilidad de la volatilidad, respectivamente, las cuales deben ser determinadas. Por el momento puede considerarse que la función p presenta reversión a la media; véanse, al respecto, Heston (1993) Wilmott (1998). Observe que el modelo incorpora dos fuentes de aleatoriedad (factores de riesgo): W t U t, los cuales se supone que son movimientos brownianos con correlación ρ.

5 68 Revista de Administración, Finanzas Economía Por otro lado, si se desea valuar una opción europea (de compra o venta) bajo el sistema dado en (1) (), entonces la prima V (S t, σ t, t) satisface, bajo condiciones de no arbitraje, la siguiente ecuación diferencial parcial (no estocástica) lineal de segundo orden: V t + 1 σ St V St rs t V S t + (p λq) V σ + ρσqs t V S t σ + 1 q V σ + rv = 0 (3) para una función λ = λ(s t, σ t, t), llamada precio del riesgo de la volatilidad en el mercado, la cual debe ser determinada. La calibración de λ depende, usualmente, de argumentos económicos, por ejemplo, Wiggins (1987) considera que λ debería ser proporcional a la varianza v t = σ t. Otros avances más recientes en la determinación del precio en el mercado del riesgo de la volatilidad λ se encuentran en Doran Ronn (004). 3. Volatilidad estocástica la ecuación de Fokker-Planck El siguiente modelo de volatilidad estocástica extiende los trabajos de Grajales- Correa, Pérez-Ramírez Venegas-Martínez (008), Oztukel Wilmott (1998). Para ello se supone que la ecuación () toma la forma dσ t (σ t, t) = α (σ t )dt + β (σ t )du t, (4) donde la tendencia α (σ t ) la volatilidad de la volatilidad β (σ t ) son funciones sólo de σ t no del precio S t del activo del tiempo t. Se supone también que los movimientos brownianos asociados con los procesos de volatilidad σ t de precios S t no tienen correlación, es decir, Cov(dW t, du t ) = 0. Antes de continuar con la descripción del modelo, es conveniente definir el concepto de densidad de probabilidad estacionaria de un proceso estocástico la ecuación de Fokker-Planck asociada a dicha densidad. 3.1 Ecuación de Fokker-Planck Suponga que se tiene un proceso estocástico X = {x t, t I = [0, )} descrito por la siguiente ecuacin diferencial estocástica: dx t = A(x t, t)dt + B(x t, t)dw t, (5) donde W t es un movimiento browniano, es decir, W t es normalmente distribuida con IE[W t ] = 0 Var[W t ] = t.

6 Volatilidad estocstica la ecuacin de Fokker-Planck 69 Si s, t I con s t B es un conjunto de Borel sobre IR, entonces la probabilidad de que el proceso estocástico X cambie de un estado x, en el tiempo s, a un estado B, en el tiempo t, es llamada probabilidad de transición. Esta probabilidad es denotada IP(s, x; t, ) se determina por la siguiente relación (véase, por ejemplo, Kloeden Platen (199)). IP(s, x; t, B) = IP(X t B X s = x) = IP ( w Ω : X t (w) B X s = x ). (6) En lo que sigue será conveniente utilizar la notación IP(s, x; t, B) = p(s, x; t, )d (7) donde p(s, x; t, ) es la densidad de transición corresponde a la probabilidad de que la variable x se mueva del estado (s, x) en el tiempo s al estado (t, ) en el tiempo t. Así, en la medida de probabilidad IP(s, x; t, B) se consideran todas las formas posibles cómo un fenómeno o sistema puede evolucionar hacia un estado B, a partir de un estado anterior x en un intervalo de tiempo de longitud finita t s. La densidad de transición satisface la ecuación de Fokker-Planck, la cual es una ecuación diferencial parcial parabólica con condición inicial en el tiempo s que se resuelve para un tiempo t > s: B p t = 1 (B (, t) p) (A(, t)p). (8) La solución de esta ecuación proporciona la densidad de los valores que el proceso X puede tomar en el tiempo t, dado que en el tiempo s, se conoce su estado inicial. Cuando t, se obtiene p () as Por lo tanto, p () satisface ( / t)p () = 0. 1 (B (, t) p ()) = (A(, t)p ()). Equivalentemente, 0 = [ A(, t)p () 1 ] B (, t) p (), lo cual implica A(, t)p () 1 B (, t) p () = k 1, donde k 1 es una constante de integración. Como se debe cumplir que p () 0 p ()d = 1,

7 70 Revista de Administración, Finanzas Economía se tiene que k 1 = 0. Si se integra de nuevo se sigue que p () = { k } B(, t) exp A(u, t) 0 B(u, t) du, donde k es la constante de normalización. Por ejemplo, si x t sigue un proceso de Ornstein-Uhlenbeck, dx t = 1 x tdt + σdw t, entonces p () = 1 } exp {. πσ σ 3. Descripción del proceso de volatilidad estocástica (parámetros dependientes del tiempo filtro de Kalman) Se supone ahora que la forma funcional de β (σ t ), en la ecuación (4), es β (σ t ) = φ(t)σ θ(t) t, (9) donde las funciones φ(t) θ(t), dependientes del tiempo, son por determinar. La forma funcional para β (σ t ) debe ajustarse de la manera más precisa a los cambios reflejados a corto plazo por la volatilidad σ t. Ahora bien, a partir de (4), se tiene que dw t = ζ dt con ζ N(0, 1) que si ζ N(0, 1), entonces ζ χ 1. En consecuencia, se tiene que: Así, (dσ t ) = β (σ t )ζ dt. IE(dσ t ) = β (σ t )dtie [ ζ ] = β (σ t )dt. Después de tomar el logaritmo natural en ambos lados de la última igualdad, se tiene que ln IE(dσ t ) = lnβ(σ t ) + lndt. Por otro lado, si a partir de la serie de tiempo de precios del activo subacente, se hace una regresión lineal con coeficientes dependientes del tiempo entre las variables ln IE(dσ t ) ln(σ t ) (para lo cual se utiliza el filtro de Kalman (1960), véase, por ejemplo, Venegas-Martínez, de Alba Ordorica (1995)), entonces se puede escribir ln IE(dσ t ) = a(t) + b(t)ln(σ t ) + ε t,

8 Volatilidad estocstica la ecuacin de Fokker-Planck 71 donde ε t es un término de perturbación. La combinación de las expresiones anteriores conduce a: lnβ(σ t ) + ln = a(t) + b(t)ln(σ t ), donde dt. Si en la última ecuación se despeja el término β(σ t ), se sigue que [ ] 1 β(σ t ) = exp (a(t) ln ) σ b(t)/ t. Por último, al comparar la última igualdad con la ecuación (9) resulta que [ ] 1 φ(t) = exp (a(t) ln ) (10) θ(t) = b(t). (11) Considere ahora la función densidad de probabilidad para σ t, p(σ t, t). Si esta densidad existe en el estado estacionario se denota por p (σ t ), si además se supone que p (σ t ) es una densidad lognormal, entonces a partir de p (σ t ) β(σ t ) se puede calcular la forma funcional de α(σ t ) mediante la ecuación de Fokker-Planck. Si la densidad de probabilidad p(σ t, t) asociada a la volatilidad σ t satisface la ecuación de Fokker-Planck (que a veces se conoce como ecuación de Kolmogorov hacia adelante), se tiene que: Cuando t, se obtiene así Por lo tanto, Consecuentemente, p t = 1 ( β p ) σ σ (αp). p = p (σ t ) p/ t = 0. d (α(σ t )p ) dσ t = 1 α(σ t ) = 1 p = 1 p d d ( β(σ t ) p ) dσ t d ( β(σ t ) p ) dσ t ( β(σt ) p ) dσ t. dσ t + κ p. La constante de integración κ resulta ser cero de acuerdo a las condiciones de la distribución p(σ t ) en el estado estacionario. De esta manera, se obtiene que

9 7 Revista de Administración, Finanzas Economía α(σ t ) = 1 ( ) d β(σt ) p. (1) p dσ t Ahora bien, dado que la distribución p es lognormal, se sigue que p (σ t ) = { 1 exp 1 ( πϱσt ϱ ln σ t σ ) }, (13) donde ϱ σ son parámetros. Al sustituir (13) en (1), se obtiene que [ α(σ t ) = φ(t) σ θ(t) 1 t θ(t) 1 1 ( ϱ ln σt ) ]. (14) σ En resumen, este modelo de volatilidad estocástica establece que el comportamiento en la volatilidad σ t de un activo financiero con precio S t se puede describir mediante dσ t (σ t, t) = α (σ t ) + β (σ t )dw t, β (σ t ) = φ(t)σ θ(t) t, [ ] 1 φ(t) = exp (a(t) ln ), θ(t) = b(t) ( α(σ t ) = φ(t) σ θ(t) 1 t θ(t) 1 1 ( ϱ ln σt ) ), σ donde las funciones a(t) b(t) se pueden estimar mediante el filtro de Kalman (véase, por ejemplo, Venegas-Martínez, de Alba Ordorica (1995)). 4. Estimación de parámetros dependientes del tiempo con el filtro de Kalman De acuerdo con la sección anterior, la dinámica de σ t se establece mediante una ecuación de la forma ln IE(dσ t ) = a(t) + b(t)ln(σ t ) + ε t, (15) donde ε t es un término de perturbación. Si se denotan Y t = lnie(dσ t ), B t = [a(t), b(t)] X t = [1, ln(σ t )], entonces (15) se puede reescribir como Y t = X t B t + ε t. Se supone ahora que el comportamiento dinámico de la variable de estado B t es conducido por un proceso autoregresivo (lo cual parece adecuado para modelar la dinámica conjunta de B t σ t ), es decir, B t = µ t 1 + Z t B t 1 + η t 1,

10 Volatilidad estocstica la ecuacin de Fokker-Planck 73 donde la tendencia µ t 1 es un vector de variables exógenas o predeterminadas Z t es una matriz de parámetros conocidos η t N(0, Σ ηt ) con Σ ηt es conocida. Suponga ahora que al tiempo t = 0, se tiene una distribución a priori (que describe la información inicial) dada por N( B 0, Σ 0 ). Si se procede inductivamente, al tiempo t, B t 1 Σ t 1 constituen información conocida en t, de tal forma que θ t = B t I t N(Z t B t 1, M t ), (16) donde M t = Z t Σt 1 Z T t + Σ ηt 1. (17) El modelo muestral (o función de verosimilitud) se determina mediante La distribución a posteriori es obtenida mediante Y t θ t N(X t B t, Σ εt ). (18) p(θ t Y t ) exp { 1 [(X tb t Y t ) T Σ 1 ε t (X t B t Y t ) + (B t Z t B t 1 ) T M 1 t (B t Z t B t 1 )] }. Si se completan cuadrados, se sigue que donde θ t Y t N [ Z t B t 1 + K t (Y t X t Z t B t 1 ), M t K t X t M t ], K t = M t X T t (Σ εt + X t M t X T t ) 1, (19) lo cual conduce a los estimadores { B t = Z t B t 1 + K t (Y t X t Z t B t 1 ), Σ t = M t K t X t M t. (0) Las ecuaciones (17), (19), (0) son conocidas en la literatura como el filtro de Kalman. Es importante destacar que otra formulación matricial de K t común en la literatura es K t = (Xt T Σ 1 ε t X t + Mt 1 ) 1 Xt T Σ 1 ε t. (1) Para verificar (1), simplemente se multiplica el lado derecho (19) por una representación adecuada de la matriz identidad K t = (Xt T Σ 1 ε t X t + Mt 1 ) 1 (Xt T Σ 1 ε t X t + Mt 1 )M t Xt T (Σ ε t + X t M t Xt T ) 1 = (Xt T Σ 1 ε t X t + Mt 1 ) 1 Xt T Σ 1 ε t (Σ εt + X t M t Xt T )(Σ ε t + X t M t Xt T ) 1 = (Xt T Σ 1 ε t X t + Mt 1 ) 1 Xt T Σ 1 ε t. De esta manera, B t proporciona estimadores â(t) b(t), en consecuencia [ ] 1 φ(t) = exp (â(t) ln )

11 74 Revista de Administración, Finanzas Economía θ(t) = b(t). 5. Conclusiones Las innovaciones financieras de los bancos estadounidenses sus efectos en los mercados financieros del resto del mundo contribueron a la debacle financiera mundial de 008, generando con ello una burbuja especulativa con altos niveles de volatilidad. Por lo anterior, la investigación financiera debe enfocarse hacia un mejor entendimiento un modelado más adecuado de volatilidad estocástica. En este trabajo se ha analizado la relación entre los conceptos de volatilidad estocástica densidad de probabilidad estacionaria. Es importante destacar que la ecuación de Fokker-Planck desempeñó un papel fundamental en el desarrollo del modelo propuesto de volatilidad estocástica. El proceso estocástico que se propuso para conducir a la volatilidad extiende varias investigaciones disponibles en la literatura, de tal forma que los parámetros del proceso de volatilidad son dependientes del tiempo, en cuo caso el filtro de Kalman debe utilizarse para propósitos de estimación. Asimismo se proporcionó una explicación detallada de cómo se pueden estimar los parámetros dependientes del tiempo mediante el filtro de Kalman. Bibliografía Black, F. and M. Scholes (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Econom. Vol. 81, No. 3, pp Doran, J. S. and E. I. Ronn (004). On the Market Price of Volatilit Risk. Manuscript, Florida State Universit and Universit of Texas at Austin. Fama, E. (1965). The Behaviour of Stock Prices, Journal of Business, Vol. 38, pp Grajales Correa C. A., F. O. Pérez Ramírez F. Venegas-Martínez (008). Análisis comparativo de modelos para estimar la distribución de la volatilidad de series financieras de rendimientos. Revista de Estadística, Econometría Finanzas Aplicadas, Vol. 6, No. 9, pp Heston, S. I. (1993). A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatilit with Applications to Bond and Currenc Options. Review of Financial Studies, Vol. 6, No., pp Hull, J. and A. White, The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilit. Journal of Finance, Vol. 4, No., pp Kalman, R. E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of Basic Engineering, Vol. 8, No. 1, pp Kloeden, P. and E. Platen (199). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag. Second corrected printing. Deakin Universit, Australian National Universit; Australia. Mandelbrot, B. (1963). The Variation of Certain Speculative Prices, Journal of Business, 36, Merton, R. C. (1973). Theor of Rational Option Pricing. Bell Journal of Economics, Vol.4, No. 1, pp

12 Volatilidad estocstica la ecuacin de Fokker-Planck 75 Oztukel, A. and P. Wilmott (1998). Uncertain Parameters, an Empirical Stochastic Volatilit Model and Confidence Limits. International Journal of Theoretical and Applied Finance. Vol. 1, No. 1, pp Scott, L. O. (1987). Option Pricing when the Variance Changes Randoml: Theor, Estimation, and an Application. The Journal of Financial and Quantitative Analsis. Vol., No. 4, pp Stein, E. M. and J. C. Stein (1991). Stock Price Distributions with Stochastic Volatilit: An Analtic Approach. The Review of Financial Studies. Vol. 4, No. 4, pp Venegas-Martínez, F. (010). Pricing Options on Jump-Diffusions with A Jump Size Driven b An Extreme Value Frchet Distribution. International Journal of Theoretical and Applied Finance, Vol. 13, forthcoming. Venegas-Martínez, F. (008). Riesgos financieros económicos (productos derivados decisiones económicas bajo incertidumbre, da. edición, Cengage Learning(anteriormente International Thomson Editors). Venegas-Martínez, F. (005). Baesian Inference, Prior Information on Volatilit, and Option Pricing: A Maximum Entrop Approach. International Journal of Theoretical and Applied Finance, Vol.8, No. 1, pp Venegas-Martínez, F., E. de Alba, and M. Ordorica (1995). An Economist s Guide to The Kalman Filter. Estudios Econmicos, Vol. 10, No. 0, pp Wiggins, J. B. (1987). Option Values under Stochastic Volatilit: Theor and Empirical Estimates. Journal of Financial and Quantitative Analsis. Vol. 19, pp Wilmott, P. (1998). Derivatives (The Theor and Practice of Financial Engineering). John Wile & Sons, England.