INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS CUAUHTÉMOC

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS CUAUHTÉMOC ACADEMIA DE MATEMÁTICAS GUÍA DE ESTUDIO GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA LOGARÍTMOS Y EXPONENCIALES.- Expresa las siguientes formas exponenciales en forma logarítmica: a) b x N b) 4 6 c) 3 d) log b N x log 6 4 log 3 log Expresa las siguientes formas logarítmicas en forma exponencial: a) log 6 36 b) log 64 6 c) log d) logb 0, b b Calcula el valor de los siguientes logaritmos: a) x log 4 64 b) x log 3 8 c) x log / 8 d) x 3 x 4 x 3 x log 3 0 x 3 log5 0. y log , calcular con cuatro 4.- Sabiendo que log , log , 6990 cifras decimales los logaritmos siguientes: a) log 05 b) log 08 c) log 3 7 d) log Expresa las siguientes operaciones con un solo logaritmo: 4 5 a) log4 log6 log5 log 6 / / b) log5 log64 log7 log 3 3 / c) log3 4log 3log5 log Expresa las siguientes operaciones como una suma algebraica de logaritmos: A B x y xy a) log b) log c) log3 C z z / / log x log y log z log A logb logc log x log y log z 3

2 7.- Encuentra el conjunto solución de cada una de las ecuaciones exponenciales dadas: x 3x x x x x y x x, 4 / x 8, 0. x3 x x x x 4 x, 8.- Encuentra el conjunto solución de cada una de las ecuaciones logarítmicas dadas:. x 3 3. log 9 3 log 5 5. x x log 4 7. log 5 x. log x 5 4 x log x log x 6 3 log log 3.3 log x 8. x x x 6 log x 7 0. x 00x, log log3 30. logx log x 0. x 3. logx logx 0 4 x log x 3 3,3 log PROBLEMAS DE APLICACIÓN. INGENIERÍA. Un ingeniero electricista utiliza la fórmula: S G 0log 0 para calcular la ganancia en un amplificador. S0 a) Cuál es el valor de G cuando S es de 00 y So es 0? b) Cuál es el valor de G cuando S es de 600 y So es 6?. ADMINISTRACIÓN. Un asesor financiero utiliza la fórmula: I n, para calcular el interés compuesto semestralmente. a) Cuál es el valor de I cuando n? b) Cuál es el valor de I cuando n. 5? 3. ECOLOGÍA. El costo anual para remover un porcentaje x,determinado, de los contaminantes de una planta de energía, aumenta conforme el porcentaje se aproxima a 00%. La función racional 000x C( x) aproxima el costo de esta operación para una planta particular en México. Encuentra el 00 x costo para remover 9.5 % de los contaminantes. Dibuja la gráfica de C (x), para 0 x 00.

3 4. BIOLOGÍA. El número de bacterias N en un cultivo está dado en términos del tiempo t, en horas, por la fórmula t N 000. a) Cuántas bacterias están presentes al comenzar el experimento (cuando t 0 )? b) Cuántas bacterias estarán presentes dentro de 5 horas? c) Cuántas bacterias estarán presentes dentro de 4 horas? 5. FÍSICA. La presión atmosférica P sobre un objeto, en libras por pulgada cuadrada, puede 0.x aproximarse utilizando la fórmula: P 4.7.7, donde x es la altura del objeto sobre el nivel del mar en millas. Cuál es la presión del objeto a: a) milla, b) 5 millas y c) 8.5 millas de altura? 6. QUÍMICA. Un isótopo radioactivo tiene una vida media de 4 años. Esto significa que en 4 años de edad, la cantidad determinada de isótopo se transformará en otra sustancia debido a la desintegración radiactiva espontánea. Si se permite que 50 gramos de este isótopo se desintegren en un t / 4 reactor, la cantidad A que queda al final de t años está dada por A 50. Cuántos gramos quedarán al final de a) años. b) 0 años y c) 3.5 años? Aplicando las propiedades de los logaritmos, encuentra el valor de cada una de la expresiones siguientes: 3. P 7 0. Q / 5 / 6 3. S R U 6. V z T RECTAS PARALELAS En las siguientes gráficas hallar los valores de los ángulos X y Y: y 8. AB // CD AB // CD X 0, Y 30 X 48, Y 3

4 AB // CD AB // CD Con los datos que se dan, hallar los ángulos: m, j, i, k, h, q, x. x Con los datos que se dan, hallar los ángulos: n, t, p, s, r, q s AB // CD AB // DF y AC// DE AB // CD Calcular los valores de X y Y. Sol X 0, Y 40 AC BC Hallar los ángulos X y Y. X 50, Y 50 ÁNGULOS Calcular los valores para X y Y. X 4, Y 78 BC // AC Calcular los valores de X y Y. Sol X 90, Y 50 Cuánto vale X y Y? X es ángulo exterior del triágulo I X 40, Y 5 m 5, p 05, q 75 4

5 En los siguientes problemas calcular los valores para X y Y : AB CD AB // CD AB // DE X 5, Y 65 X 50, Y X, Y 95 AB AC y I X BD bisectriz B CD bisectriz C AB AC y X ACB X 55, Y 75 X 50, Y 30 X 5 3X 45,4X 60,5X 75 Calcular x, y,, x 34, y 39 05, 46 X 8 5

6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Razón de semejanza: AB A' B' AC A' C' BC B' C' En los siguientes problemas aplica la semejanza de triángulos para determinar el valor de x. AD // CB QR // ST RU // TW x 5 PO // RS DE // HG 9 x x 6 DE // CB x x 5 x 6

7 OS // PR PO // RS FG // EH y EG // DH x 3 x 0 x 30 CAB ADC AB // CE y AC// BE x 8 x 4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Una regla de un metro de largo se coloca verticalmente en el piso y se observa que proyecta una sombra de 85 cm de largo. En ese momento el poste de la luz proyecta una sombra de 4.80 m. Calcular la altura del poste m. Una escalera de 5 m de longitud está recargada en un edificio a la altura de un anuncio; una plomada de m de largo pende de la escalera y toca el piso a una distancia de 50 cm del pie de la escalera. Calcular la altura a que se encuentra el anuncio m 7

8 3. Para medir el ancho AC de un río, un hombre tomó las medidas indicadas en la figura siguiente. AC es perpendicular AD y BD perpendicular a DE, si AB mide 8 m, BD mide 6m y DE mide m, calcular la anchura del río. 6 m 4. Dos buitres acechan a un conejo en su madriguera, parados en dos árboles que se encuentran a una distancia de 5m uno del otro. El árbol del primer buitre mide 5m de altura, y el del segundo 9m. Al salir el conejo a tomar el sol, ambos buitres se lanzan sobre él, cogiéndolo al mismo tiempo entre sus garras. A qué distancia estaba el conejo de ambos buitres? 7.8 m 5. Supón que estás en el margen de un río en el que no puedes pasar y, provisto de una cinta métrica, usas una construcción semejante a la del problema 3 para hallar el ancho AE del río. De acuerdo a los segmentos proporcionados, cuál es el ancho del río? AE BE DC BD TEOREMA DE PITÁGORAS Hallar la longitud del segmento x en las figuras siguientes: AC BC x 7 x 4 x 8 8

9 x 7 x x 4 x 6 x 5 x x 7. 3 x 9, y 4. 7 x 3 9

10 POLÍGONOS Sea n el número de lados de un polígono regular, entonces: Ángulo Central 360 n Ángulo interior 80 n i n Ángulo Exterior 360 e n Suma de los ángulos interiores S i 80 n Número de diagonales desde un sólo vértice. Cuánto vale el ángulo central de un pentágono regular? 7. Cuánto suman los ángulos interiores de un dodecágono regular? 800 S i 3. Cuánto suman los ángulos exteriores de un decágono regular? 360 S e 4. Cuánto vale cada ángulo exterior de un pentadecágono regular? e 4 5. Cuál es el polígono cuya suma de los ángulos interiores vale 080? n 8 ; es el octágono. 6. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de 60, cuál es ese polígono? n 9 ; es el eneágono. 7. Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior es de 35? n 8 ; es el octágono. 8. Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un icoságono regular? d 7 diagonales 9. Determinar el número total de diagonales que pueden trazarse en un endecágono regular. D 44 diagonales 0. Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 9 diagonales desde uno de sus vértices? n ; es el dodecágono. Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 0 diagonales en total? n 8 ; es el octágono d n 3 0

11 Número total de diagonales. Cuál es el polígono que tiene diagonales más que lados? n 8 ; es el octágono n n 3 D Suma de los ángulos exteriores 3. Cuántas diagonales tiene un polígono de 5 lados? Y uno de 7 lados? D 90 y D 4 diagonales 4. Qué polígono tiene doble número de diagonales que de lados? n 7 ; es el heptágono 5. Qué polígono tiene 5 diagonales más que lados? n 0 ; es el decágono a b c d e f De acuerdo con la figura que está a la izquierda, hallar la longitud del lado s de un pentágono regular si su perímetro es de 5 cm. s.6cm 7. Hallar el apotema a de un pentágono regular, si el radio de la circunferencia en la que está inscrito es de unidades. a 6.98cm

12 .. ARCOS Y ÁNGULOS 3. Si AOC 75 Hallar ABC ABC CD 50 AB 70 Hallar AWB AWB RS 78 TU 30 Determinar TVU TVU 4 6. GH 5 x 5 Hallar EF EF BD 5 ABE 55 Determinar BCD BCD MP 0 O 40 Determinar MN MN MN 55 ; O 30 Determinar MP MP 5 MP 00 ; NP 0 Determinar O O 75 PN 0 ; MN 70 Determinar O O 50

13 ÁREAS Calcular el área de la región sombreada Sol 00 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO Dada la función trigonométrica, calcula el ángulo y las demás funciones en los cuadrantes respectivos 8 5. Cot. Sen 3. Cos Csc 5. Tan 6. Tan

14 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Dada la función trigonométrica inversa, obtén un valor de dicho ángulo.. Ang Sen Ang Sec 3 3. Ang Cot Csc 3 7. Ang Sec 9. - Tan Sen 0 6. Arc Cos Ang Cos Sec - π RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.- Si A 6 40 y la hipotenusa 37.4 m, determinar los demás elementos y su superficie..- Si B 35 0 y la hipotenusa 745 m, resolver el triángulo y determinar su superficie. 3- Si los lados de un triángulo son a 5.7 m y b 65.3 m ; determinar los valores de los elementos restantes y la superficie. La solución de triángulos rectángulos también tiene mucha aplicación en la vida práctica. Problema 4 A 87.5 m de la base de una torre, el ángulo de elevación a su cúspide es de 37 0 ; calcular la altura h de la torre, si la altura del aparato con que se midió el ángulo es de.50 m m Problema 5 A 00 m de la base de una antena, el ángulo de elevación a su parte más alta es de 34 0 ; calcular la altura de esta torre si la altura del aparato con que se midió el ángulo es de.5 m 38.0 m 4

15 Problema 6 Calcular el ángulo de elevación del Sol, en el momento en que un árbol de 3.5 m de altura proyecta una sombra de 75 m. 3 5 Problema 7 Qué altura alcanza sobre un muro una escalera de 5 m de largo, si forma con el piso un ángulo de m Problema 8. Qué ángulo forma con el piso, el pie de una escalera de 7 m de largo si dista de la base de un muro.5 m m Problema 9 Desde lo alto de un faro de 50 m de altura se observa una embarcación a un ángulo de depresión de 3 30; calcular la distancia d del faro a la embarcación m Problema 0. Calcular el lado de un decágono regular circunscrito a una circunferencia de 5 cm de radio cm. Problema. Cuál es el radio de una circunferencia inscrita en un pentadecágono regular de cm de lado? 4.80 cm. Problema. Calcular la longitud del lado de un pentágono regular inscrito en un círculo de diámetro igual a 0 cm cm. Problema 3. Calcular el perímetro y la superficie de un octágono regular inscrito en un círculo cuyo diámetro es de 5 m. Perímetro = 5.30 m, Superficie = 0.65m 5

16 Problema 4. Calcular el radio del círculo inscrito en un hexágono regular cuyo lado es de 0.75 m m Problema 5. Calcular el perímetro y la superficie de un rectángulo cuya diagonal mide 40 cm, sabiendo que el ángulo que forma la diagonal con uno de sus lados es Perímetro =.96 cm, Superficie = cm Problema 6. Los lados de un rectángulo miden.9 y 9. m, respectivamente. Cuánto mide cada uno de los ángulos que forma la diagonal con los lados del rectángulo? 36 5, 53 7 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Verificar cada una de las siguientes identidades trigonométricas:. Cos x Tan x Sen x. Cos x Tan x 3. Sec Cot Csc 4. Csc Tan Sec Sen x Cos x Tan x Cot x 5. Sec x 6. Cos x Tan x Cot x Sen x Csc x Cot x 7. Sec x Tan x 8. Cos x Sen x Sec x Sen x Cos x 9. Tan x Cot x Sen x Cos x Sen x Cos x Cot x 0. Sen x Cos x. Cot x Tan x Sen x Cos x Cot x. - Sen x Tan x 4 Tan x -Sen x Sen x 3. Tan x 4. Secx Tan x Cot x Sen x Sen x ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo 0 x, a menos que se especifique otro intervalo. Las siguientes equivalencias pueden serte útiles: rad rad Cos x rad, rad 30, 330. Sen x 0.785,.356, 3.95, rad 3. x Sen x 0 0,.57, 3.4, 4.7 rad 4. Cos Csc x 0 Cosx 0.785, 3.96 Cos Sen x Sen x , 0.646,.495,.7 Tan x Tan x 0 0, 0.785, 3.4, 3.96 Sen x Sen x 0 0,.094, 3.4, Senx 0 6. x

17 Tan 0.6,.308,.356, 3.403, 4.45, Csc x 0.57, 4.7 Sen x Cos x ,.67, x 0.. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS. En los siguientes ejercicios, resuelve los triángulos dados con la ley de senos: a) A 3, B 48, a 0 C 00, b 4.0, c 8.58 b) A 60, B 45, b 3 C 75, a 3.67, c 4.09 c) a 0, c 8, A C, B 9 36, b 3 d) B, b 30, a 5 e) B 48, A 43, c 6 A 44 57, C 3 3, c 8 C 89, a 4.0, b f) 40 A, b 0.0, C 30 0 B 37 0, a 3.6, c. 6. En los siguientes ejercicios, resuelve los triángulos dados con la ley de cosenos: a) A 4.5, b 7.8, c 9.3 a 6.4, B 56, C 8 30 b) a 9.0, b.0, c A, B 0 40, c c) a 5, b 5.0, c , 64 0 A B, C 5 0 d) a.3, c 8., B 0.4 b 7, A 35, C 4.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS. Un rombo es un paralelogramo de cuatro lados de igual tamaño. Encuentra la longitud de las diagonales de un rombo que tiene de lado a 7. 8 y un ángulo A y.73. Dos puntos A y B están en lados opuestos de un edificio. Un agrimensor escoge un tercer punto C a 45 m de A y a 65 m de B, en donde ACB Qué distancia hay entre A y B? 5 m. 3. Una torre vertical de 500 pies de altura está en la cima de una colina, cuyo lado forma un ángulo de con la horizontal. Un cable es amarrado a la punta de la torre y al piso a 600 pies colina abajo desde la base de la torre. Qué longitud necesita tener el cable? 857 pies. 4. La distancia del cojín del home al jardín central en un campo de beisbol es de 408 pies. Si el diamante de beisbol es un cuadrado, y la distancia del home a la primera base es de 90 pies, Qué distancia hay entre la primera base y el jardín central? 350 pies 5. Una estación de rastreo observa un satélite sobre la superficie terrestre. Si el plato de rastreo apunta a 4 sobre el horizonte, y el satélite se encuentra a 3 millas de la estación, Qué tan alto se encuentra el satélite de la superficie de la tierra? Supóngase que el radio de la tierra es de 4000 millas. 8.8 millas 7

18 LEYES DE LOS LOGARÍTMOS Para cualquier par de números reales positivos se tiene:. log b A B log b A log bb. A log b log b A log bb B 3. n log b A n log b A 4. n log b A log b A n FUNCIÓN EXPONENCIAL FUNCIÓN LOGARÍTMICA log N L es equivalente a b L N..) Es decir, b FORMA LOGARÍTMICA log 3 9 log log De ) se deduce que log b b ; log b 0-4 FORMA EXPONENCIAL EQUIVALENTE /3 4 PROPOSICIÓN. Si las bases son iguales, entonces los exponentes deben ser iguales. Esto es y 3 Si, entonces y 3 PROPOSICIÓN. Si los exponentes son iguales, entonces las bases deben ser iguales. Es decir 3 3 Si x, entonces x 8

19 FÓRMULAS DE TRIGONOMETRÍA IDENTIDADES FUNDAMENTALES RECÍPROCAS:. Sen A Csc A. Cos A Sec A 3. Tan A Cot A DE COCIENTE: 4. Tan A 5. Cot A Sen A Cos A Cos A Sen A PITAGÓRICAS: 6. Sen A Cos A 7. Sec A Tan 8. Csc A Cot SUMAS Y DIFERENCIAS DE ÁNGULOS: A A A B Sen ACos B CosA SenB A B Cos ACos B Sen A Sen B 9. Sen 0. Cos Tan A Tan B. TanA B Tan ATan B. Sen A B Sen ACos B CosA 3. Cos A B Cos ACos B Sen A Sen Tan A Tan B 4. TanA B Tan ATan B SenB B ÁNGULO DOBLE 5. Sen A Sen ACos A 6. Cos A Cos A Sen Tan A 7. Tan A Tan A ÁNGULO MEDIO: Cos 8. Sen Cos 9. Cos 0. Tan Cos Cos A Cos A PRODUCTOS, SUMAS Y DIFERENCIAS DE SENO Y COSENO:. Sen ACos B Sen. Cos ACos B Cos 3. Sen A Sen B Cos A B SenA B A B Cos A B A B Cos A B A B A B 4. Sen A Sen B Sen Cos A B A B 5. Sen A Sen B Sen Cos A B A B 6. Cos A Cos B Cos Cos A B A B 7. Cos A Cos B Sen Sen RAZONES EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO: a b Sen, Cos c c a b Tan, Cot b a c c Sec, Csc b a TEOREMA DE PITÁGORAS: c a b RAZONES EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: LEY DE SENOS: Sen A a Sen B b SenC c LEY DE LOS COSENOS: a b c b a a c c b b c Cos A a c Cos B a b Cos C 9