DISCRETE-TIME MARTINGALES. APPLICATIONS. Abstract

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1 DISCRETE-TIME MARTINGALES. APPLICATIONS Miguel A. Marmolejo 1 Edgar A. Valencia 2 Abstract Due to its wide range of applications, the theory of martingales is a fundamental part of probability. In this paper, the basic notions of the discrete-time martingales are presented and some of its applications in probability and analysis are summarized, giving insights into the dierent contexts where they are used. keywords: Conditional expectation, Discrete-time martingales, Kolmogorov's zero-one law, Strong law of large number, Convergence of series, Bernoulli uctuations, Radon-Nikodym theorem, Lipschitz function, Haar system of functions AMSC(2: 6G42 MARTINGALAS DISCRETAS. APLICACIONES Resumen Debido a su amplio rango de aplicaciones, la teoría de las martingalas es parte fundamental de la probabilidad. En este artículo se presentan las nociones básicas de las martingalas discretas y se recopilan algunas de sus aplicaciones en probabilidad y análisis, dando idea de los diferentes contextos donde se usan. Palabras y frases claves: Esperanza condicional, Martingalas discretas, Ley cero-uno de Kolmogorov, Ley de los grandes números, Convergencia de series, luctuación de Bernoulli, Teorema de Radon-Nikodym, unción lipschitziana, Sistema de funciones de Haar Introducción La teoría de las martingalas es una rama de la probabilidad ampliamante desarrollada; si bien fué el francés P. Levy ( su creador, fué el norteamericano J. L. Doob ( quien estableció entre 194 y 196 las bases matemáticas de su desarrollo y aplicación no sólo en probabilidad, si no también en áreas de la matemática como teoría de potencial ( ver la parte 2 y la nota histórica del capítulo 2.III de Doob [1]. Actualmente, una búsqueda en la internet sobre martingalas conduce a miles de entradas correspondientes a nuevos desarrollos ( por ejemplo, en Evans et al [2] se investiga sobre una posible denición de martingalas con valores en cuerpos locales y a diversas aplicaciones ( por ejemplo, en Brislawn [3] se usan martingalas discretas para estudiar operadores tipo traza. De otra parte, el cálculo estocástico moderno involucra integración estocástica con respecto a martingalas, las cuales incluyen el movimiento browniano y el proceso de Poisson compensado ( ver por ejemplo, Yeh [4], Karatzas et al [5] o Revuz et al [6]. Una de las áreas donde hoy se aplica la teoría 1 Profesor Departamento de Matemáticas, U. del Valle, A.A Cali, Colombia, mimarmol@univalle.edu.co 2 Profesor Departamento de Matemáticas, U. Tecnológica de Pereira, A.A. 97 Pereira, Colombia, evalencia@utp.edu.co 1

2 general de la integración estocástica es la economía ( ver por ejemplo Shreve [7], Oksendal [8] o en castellano a Venegas [9]. En este artículo se presentan con rigor propiedades básicas de las martingalas discretas para luego abordar algunas de sus aplicaciones en probabilidad y análisis; para ello se siguen cuatro referencias modernas muy elegantes; Williams [1], Yeh [4], Shiryaev [11] y Ash et al [12]. Cualquiera de estas referencias es recomendable para el lector interesado en conocer más sobre el amplio campo de las martingalas. El aporte del trabajo consiste en presentar de manera rigurosa, global y coherente lo esencial de un parte fundamental en la teoría moderna de las probabilidades, y en recopilar algunas de sus aplicaciones, ilustrando sus técnicas. El trabajo está dividido en dos partes. En la primera ( secciones 1 a 3 se presentan las nociones básicas de las martingalas discretas que son necesarios para el resto del trabajo. De manera explícita, en la Sección 1 se dan los conceptos de esperanza condicionada, martingala y tiempo de paro. La Sección 2 se dedica a teoremas de convergencia de martingalas y en la Sección 3 se establecen resultados sobre martingalas uniformemente integrables. En la segunda parte ( secciones 4 y 5 se usa la teoría de las martingalas discretas para demostrar algunos resultados de probabilidad y análisis. En la Sección 4 se recopilan aplicaciones clásicas en probabilidad ( la Ley Cero-uno de Kolmogorov, la Ley de los Grandes Números, convergencia de series y uctuación de Bernoulli en un segmento y en la Sección 5 se dan aplicaciones en análisis ( El Teorema de Radon-Nikodym, funciones lipschitzianas y el sistema de funciones de Haar. Parte I. Martingalas discretas 1 Esperanza condicional, martingalas y tiempo de paro En esta sección se introducen la terminología y resultados necesarios para abordar el resto del trabajo. Se comienza con el concepto de esperanza condicional, que es la herramienta fundamental en la denición y estudio de las martingalas. Después se consideran los tiempos de paro y las martingalas frenadas. 1.1 Esperanza condicional Dados un espacio de probabilidad (Ω,, P, una sub-σ-álgebra G de y una variable aleatoria integrable X, existe una variable aleatoria Y E(X G, llamada esperanza condicional de X dada G, que da cuenta de la información G en el sentido que cumple las propiedades dadas en el siguiente Teorema. Teorema 1 Sean (Ω,, P un espacio de probabilidad, G una sub-σ-álgebra de, y X una variable aleatoria tal que E ( X <. Entonces existe una variable aleatoria Y que es G-medible e integrable y tal que para cada G G se verica G Y dp = G XdP. Más aún, si Y es otra variable aleatoria con estas propiedades, entonces Y = Y c.t.p.. Una variable aleatoria con las propiedades anteriores es llamada una versión de la esperanza condicional de X dado G y se escribe Y = E(X G. 2

3 Demostración. Para demostrar la unicidad se procede por contradicción. Suponga que el evento A = {Y Y > } tiene probabilidad positiva. Como A es la unión de la sucesión creciente de eventos A n = {Y Y > 1 }, entonces n P (A = lim n P (A n > y por tanto existe n N tal que P (A n >. Puesto que Y y Y son G-medibles, entonces A n G y = (Y Y dp 1 P (A n >. A n n Esta contradicción muestra que Y = Y c.t.p.. Para demostrar la existencia, primero suponga que X L 2 (Ω,, P L 2 (. Dado que L 2 ( es un espacio de Hilbert y que L 2 (Ω, G, P L 2 (G es un subespacio cerrado de L 2 (, el teorema de la proyección ortogonal garantiza la existencia de un único Y L 2 (G tal que para todo Z L 2 (G E ((X Y Z = Ω (X Y ZdP =. En particular, para cada A G se tiene I A L 2 (G y E ((X Y I A = A esto es, A XdP = A Y dp. (X Y dp =, Esto muestra que Y es una versión de E(X G, y que Y si X. Para demostrar la existencia de la variable aleatoria E(X G cuando E( X <, escribiendo X = X + X ; X + = max{x, }, X = min{x, }, se observa que es suciente considerar el caso X. Ahora bien, para cada X existe una sucesión creciente de variables aleatorias no negativas y acotadas (X n n N que converge c.t.p. hacia X: X n X. En vista de que cada X n L 2 (, por lo dicho antes, para cada n N existe Y n L 2 (G tal que Y n = E(X n G. Resulta entonces que (Y n n N es una sucesión creciente de variables aleatorias no negativas de L 2 (G: Y n. Si se dene Y (ω = lim n Y n(ω, ω Ω, entonces Y es G-medibles y Y n Y c.t.p.. Por el Teorema de la convergencia monótona, para cada A G se verica es decir, Y es una versión de E(X G. A XdP = lim X n dp = lim Y n dp = Y dp, n A n A A Note que la demostración anterior no utiliza el Teorema de Radon-Nikodym, como es lo usual en muchos textos de probabilidad ( Ash et al [12], Bauer [13], Billingsley [14] y otros. A su vez, el Teorema de Radon-Nikodym se demostrará utilizando martingalas ( subsección 5.1. El siguiente teorema contiene las propiedades más relevantes de la esperanza condicionada, algunas de las cuales se dejan entrever en la demostración del teorema de existencia y unicidad que se acaba de considerar. Para las demostraciones de todas ellas se puede consultar por ejemplo el Capítulo 9 de Williams [1] y la Sección 7 del capítulo II de Shiryaev [11]. Teorema 2 ( Propiedades de la esperanza condicionada Sean (Ω,, P un espacio de probabilidad, G y H sub-σ-álgebras de y X, X 1, X 2, variables aleatorias integrables. Las relaciones siguientes valen en c.t.p.. 3

4 1. (Medibilidad Si X es G-medible, entonces E(X G = X. 2. (Doble esperanza E(E(X G = E(X. 3. (Linealidad E(aX 1 + bx 2 G=aE(X 1 G+bE(X 2 G, a, b R. 4. (Positividad Si X, entonces Y =E(X G. En particular, E(X G E( X G. 5. (Convergencia monótona Si X n X, entonces E (X n G E (X G. 6. (atou Si X n, entonces E(lim inf X n G lim inf E(X n G. 7. (Convergencia dominada Si X n (ω V (ω para todo n N, E(V < y X n X, entonces E(X n G E(X G y E( X n X G. 8. (Desigualdad de Jensen Si f: R R es una función convexa tal que E( f(x <, entonces E (f (X G f (E (X G. En particular, si E( X p <, p 1, entonces E ( X p G E (X G p 9. (Propiedad de la torre Si H es una sub-σ-álgebra de G, entonces E(E(X G H = E(X H. 1. (Extrayendo lo medible Si X es G-medible y E( XX 1 <, entonces E(XX 1 G = XE(X 1 G. 11. (Independencia Si H es independiente de σ(σ(x, G, entonces E(X σ(g, H = E(X G. En particular; si X es independiente de H, entonces E(X H = E(X. En (11 del teorema anterior, y en lo que sigue, σ(d se reere a la σ-álgebra generada por la clase D de subconjuntos de Ω, es decir, la menor σ-álgebra en Ω que contiene a D. 1.2 Martingalas En este apartado introducimos el concepto de martingala en tiempo discreto, que es justo lo necesario para abordar la segunda parte del trabajo. Para un estudio de las martingalas en tiempo continuo puede consultarse Yeh [4], Karatzas et al [5] o Revuz et al [6 ]. En lo que sigue (Ω,, P es un espacio de probabilidad, { n } n N es una ltración; esto es, una sucesión creciente de sub-σ-álgebras de : , := σ( n N n y X = (X n n N una sucesión de variables aleatorias. Note que si se dene X n := σ(x 1,..., X n, n N, entonces { X n } n N es una ltración; ésta se denomina la ltración natural de X. Denición 3 Se dice que X = {X n, n } n N es una martingala, si para cada n N se verican: (M 1 E( X n <. (M 2 X n es n -medible. (M 3 X n = E(X n+1 n. 4

5 Cuando (M 3 se cambia por X n E(X n+1 n, se dice que X es una supermartingala, y cuando se cambia por X n E(X n+1 n, entonces se dice que X es una submartingala. Observación 4 Si X = {X n, n } n N es una submartingala y f : R R es una función convexa creciente tal que f(x n es integrable para cada n N, entonces f(x = {f(x n, n } n N es una submartingala. En efecto, por la desigualdad de Jensen ( (8 del Teorema 2, X n E (X n+1 n implica f(x n f (E (X n+1 n E (f (X n+1 n. En particular, {X + n, n } n N es una submartingala. Ejemplo 1 El ejemplo más sencillo y fundamental de martingala se obtiene deniendo X n = E(Y n, donde Y una variable aleatoria integrable y { n } n N una ltración. En efecto, por las propiedades 4 y 2 de la esperanza condicionada se tiene E( X n = E( E(Y n E(E( Y n = E( Y <, y por la denición de esperanza condicionada X n es n -medible. Por último, por la propiedad 9 de la esperanza condicionada se llega a E(X n+1 n = E(E(Y n+1 n = E(Y n = X n. En este ejemplo la variable aleatoria Y no es necesariamente -medible; pero si denimos X = E(Y, entonces X es -medible e integrable y, por la propiedad 9 de la esperanza condicionada, para todo n N se tiene X n = E(Y n = E(E(Y n = E(X n. Más aún, si Z es otra variable aleatoria -medible tal que X n = E(Z n, n N, entonces Z = X c.t.p., como se demostrará en el Teorema 24. Este ejemplo motiva la siguiente denición. Denición 5 Sea X = {X n, n } n N una martingala ( submartingala, supermartingala. Si existe una variable aleatoria integrable y -medible X tal que para todo n N se tenga X n = E(X n ( respectivamante X n E(X n, X n E(X n, entonces se dice que X es último elemento de X o elemento nal de X. De acuerdo con lo dicho arriba, si X y Z son elementos nales de una martingala X = {X n, n } n N, entonces X = Z c.t.p.. No es este el caso cuando X es una submartingala ( supermartingala. En efecto si X n E(X n, n N (X n E(X n, n N y c es una constante positiva, entonces X n E(X + c n, n N (X n E(X c n, n N. El concepto clave para decidir sobre la existencia de último elemento para una martingala es el de integrabilidad uniforme que veremos en la Sección 3. Terminamos este apartado presentando la denición de martingala inversa y un ejemplo que se usará en la Subsección 4.2. En la siguiente denición se llama ltración inversa sobre (Ω,, P a una sucesión {G n } n N no decreciente de sub-σ-álgebras de, es decir, G = n N G n G (n+1 G n G 2 G 1. Denición 6 Sean (Ω,, P un espacio de probabilidad, {G n } n N una ltración inversa y (X n n N una sucesión de variables aleatorias. Se dice que X = {X n, G n } n N es una martingala inversa, si para cada n N se verican: 5

6 (M 1 X n <. (M 2 X n es G n -medible. (M 3 E (X n G n+1 = X n+1. Cuando (M 3 se cambia por X n+1 E(X n G n+1, se dice que X es una submartingala inversa, y cuando se cambia por X n+1 E(X n G n+1, entonces se dice que X es una supermartingala inversa. Ejemplo 2. Procediendo como en el Ejemplo 1, es fácil ver que si Y es una variable aleatoria integrable y {G n } n N es una ltración inversa, entonces X n := E(Y G n dene una martingala inversa. 1.3 Tiempo de paro Intuitivamente los tiempos de paro constituyen un método de truncamiento de las trayectorias de un proceso estocástico. Se presentan aquí la denición de tiempo de paro y algunas propiedades relacionadas con las martingalas. Denición 7 Una variable aleatoria T : Ω N { } se llama tiempo de paro con respecto a la ltración { n } n N si, {w : T (w n} n para todo n ( o equivalentemente {w : T (w = n} n para todo n. El ejemplo clásico de tiempo de paro es el tiempo de la primera visita de una sucesión aleatoria X = (X n n N a un conjunto medible B B (R, denido por { inf{n N : {Xn B}} si {n N : X T B = n B} = si {n N : X n B} =. En efecto, se tiene que T B es un tiempo de paro con respecto a la ltración natural de X: n X = σ(x 1,, X n, pues {w : T B (w n} = k n {w : X k (w B} n X. También, si T es un tiempo de paro y m N, entonces S = T m = min{t, m} es un tiempo de paro, pues {S n} = {T n} {m n} n para cada n N. Si T un tiempo de paro con respecto a la ltración { n } n N y (X n n N una sucesión de variables aleatorias, entonces la función X T dada por X T (ω = X n (ωi {T =n} (ω, n=1 donde X T = sobre el conjunto {ω : T = }, es una variable aleatoria ( -medible. En efecto, para cada B B (R se tiene {ω Ω : X T (ω B} = n 1 ({ω Ω : X n (ω B} {ω Ω : T (ω = n}. Por denición, si {X n, n } n N es una martingala ( submartingala, supermartingala, entonces E(X n+1 n = X n ( E(X n+1 n X n, E(X n+1 n X n ; respectivamente. Por lo tanto, por la propiedad (2 del Teorema 2, E(X n+1 = E(X n (E(X n+1 E(X n, E(X n+1 E(X n ; respectivamente. De aquí que E(X n = E(X 1 ( E(X n E(X 1, 6

7 E(X n E(X 1 para todo n N. Si T es un tiempo de paro, es importante saber bajo qué condiciones se mantiene la igualdad cuando reemplazamos n por el tiempo de paro T, esto es, E(X T = E(X 1 ( E(X T E(X 1, E(X T E(X 1 ; respectivamente, cuestión que se trata en lo que sigue. Teorema 8 ( Martingalas frenadas Sean X = {X n, n } n N una sucesión estocástica y T un tiempo de paro con respecto a la ltración { n } n N. 1. Si {X n, n } n N es una submartingala, entonces X T = {X T n, n } n N es una submartingala, y en particular E(X T n E(X 1 para todo n N. 2. Si {X n, n } n N es una martingala, entonces X T = {X T n, n } n N es una martingala, y en particular E(X T n = E(X 1 para todo n N. 3. Si {X n, n } n N es una supermartingala, entonces X T = {X T n, n } n N es una supermartingala, y en particular E(X T n E(X 1 para todo n N. Demostración. (1. Para todo n N se tiene que X T n = X T I {T n} + X n I {T >n} = n X j I {T =j} + X n I {T >n} j=1 por lo que X T n es n -medible e integrable. Puesto que X T (n+1 X T n = I {T >n} (X n+1 X n, tomando esperanza condicionada con respecto a n y usando (1 del Teorema 2, se llega a E (X T n+1 X T n n = I {T >n} E (X n+1 X n n, lo que muestra que {X T n, n } n N es una submartingala. Por lo dicho arriba, se tiene que E(X T n E(X T 1 = E(X 1 para todo n N. Las demostraciones de (2 y (3 se hacen de forma análoga. Teorema 9 (1 Sean X = {X n, n } n N una submartingala ( supermartigala y T un tiempo de paro con respecto a { n } n N. Entonces X T es integrable y E(X T E(X 1 ( respectivamente E(X T E(X 1, en cada una de las siguientes situaciones: (i T es acotada, es decir, existe un c N, tal que T (ω c para todo ω Ω. (ii T es nito c.t.p. y X es acotada, es decir, existe un b R + tal que X n (ω b para todo n N y todo ω Ω. (iii E(T < y existe b R + tal que X n (ω X n 1 (ω b para todo n N y todo ω Ω. (2 Si alguna de las condiciones (i (iii se cumple y X es una martingala, entonces E(X T = E(X 1. Demostración. 7

8 (1 Por el Teorema anterior, para todo n N se tiene que X T n es n -medible, integrable y E(X T n E(X 1. Para (i tomando c = n, se obtiene E (X T = E (X T c E(X 1. Para (ii, como X n (ω b para todo n N y cada ω Ω y T es nito c.t.p., el Teorema de la Convergencia dominada implica Para (iii, se tiene E(X T = lim n E (X T n E(X 1. T n X T n X 1 = (X j X j 1 bt y E (bt <. Aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada se llega a esto es, E (X T E (X 1. j=2 E (X T X 1 = lim n E (X T n X 1, (2 Esta demostración se hace de forma análoga a (1. En (1 (iii del Teorema anterior, puede suceder que E(T < y que E( X T = como se muestra en el ejemplo 6.17 de Romano et al [15], donde aparecen otros ejemplos relacionados con martingalas. Teorema 1 Sean X = {X n, n } n N una martingala y T un tiempo de paro con respecto a { n } n N. Si (1 P (T < = 1, (2 E( X T <, y (3 lim n E ( X n I {T >n} =, entonces E(X T = E(X 1. Demostración. Para cualquier n N se cumple E(X T = E(X T n E ( X n I {T >n} + E ( XT I {T >n}. Como {X n T, n } n N es una martingala, entonces el Teorema 8 conduce a E(X 1 = E(X T n y, por la suposición (3, E(X T = E(X 1 + lim n E ( X T I {T >n}. La suposición (2 implica que la serie E(X T = k=1 E(X ki {T =k} converge, lo que conduce a lim n E ( X T I {T >n} = lim De aquí se concluye que E(X T = E(X 1. n k=n+1 2 Teorema de convergencia de martingalas E(X k I {T =k} =. En esta sección se considera la convergencia de submartingalas. El Teorema de los Cruces de Doob es el resultado fundamental para el estudio de la convergencia de submartingalas; con su uso se muestra que una submartingala acotada en L 1 tiene límite en c.t.p. (Teorema 14. 8

9 Teorema 11 ( Teorema de Halmos Sean {X n, n } n N una submartingala, B k B ( R k ; k = 1, 2, 3,... y Z 1, Z 2, las variables aleatorias denidas por { 1 si (X Z k = 1,..., X k B k si (X 1,..., X k / B k, es decir, Z 1 (ω = I B1 (X 1 (ω,, Z k (ω = I Bk (X 1 (ω,, X k (ω. Sean ahora Y 1 = X 1 Y 2 = X 1 + Z 1 (X 2 X 1. Y n = X 1 + Z 1 (X 2 X 1 + Z 2 (X 3 X 2 + Z 3 (X 4 X Z n 1 (X n X n 1. Entonces {Y n, n } n N es una submartingala y E(Y n E(X n para todo n N. Además, si {X n, n } n N es una martingala, entonces {Y n, n } n N es una martingala y E(Y n = E(X n para todo n N. Demostración. Es claro que Y n es n -medible e integrable para todo n N. Si {X n, n } n N es una submartingala, entonces E (Y n+1 n = E (Y n + Z n (X n+1 X n n = Y n + Z n E (X n+1 X n n Y n, esto es, {Y n, n } n N es una submartingala. Para mostrar que E (Y n E (X n para todo n N, escribiendo X k+1 Y k+1 = X k+1 (Y k + Z k (X k+1 X k = X k+1 Y k Z k (X k+1 X k + X k X k = (1 Z k (X k+1 X k + (X k Y k, y usando (3 y (1 del Teorema 2 se llega a E (X k+1 Y k+1 k = (1 Z k E (X k+1 X k k + E (X k Y k k E (X k Y k k = (X k Y k. Tomando esperanza a ambos lados de la anterior desigualdad y utilizando la propiedad de la doble esperanza ( (2 del Teorema 2 se concluye E (X k+1 Y k+1 E (X k Y k. Como E (Y 1 = E (X 1, entonces E (X k+1 Y k+1 y E (Y n E (X n para todo n N. Cuando {X n, n } n N es una martingala, basta cambiar las desigualdades por igualdades. Denición 12 (Cruces hacia arriba Sea {X i } 1 i n una sucesión estocástica nita y sean a y b dos números reales tales que a < b. Consideramos las siguientes variables aleatorias: T 1 = inf{k {1,, n} : X k a}, T 2 = inf{k {1,, n} : k > T 1 y X k b}, T 3 = inf{k {1,, n} : k > T 2 y X k a}, T 4 = inf{k {1,, n} : k > T 3 y X k b}, y así sucesivamente, haciendo T k = si el correspondiente conjunto es vacío. Si N es el número de los T k s que son nitos, denimos el número de cruces hacia arriba de [a, b] por la sucesión {X i } 1 i n como { N U n (a, b = 2 si N es par N 1 2 si N es impar. 9

10 Teorema 13 ( Teorema del cruce de Doob Si {X i, i } 1 i n es una submartingala, entonces E (U n (a, b E ( (X n a +. (b a Demostración. Si {X i, i } 1 i n es una submartingala, entonces { (X i a +, i }1 i n una submartingala no negativa ( ver observación 4. Ahora, el número de cruces hacia arriba es de {X i, i } 1 i n entre a y b es igual al número de cruces hacia arriba de {(X i a +, i } 1 i n entre y (b a, pues X n a (X n a (X n a + =, y X n b (X n a (b a (X n a + (b a. Entonces se puede suponer que X i para i = 1, 2,, n y que a =. ( Observe que X Ti a es ahora equivalente a X Ti =. Sea ahora Z i = para i < T 1 ; Z i = 1 para T 1 i < T 2 ; Z i = para T 2 i < T 3 ; Z i = 1 para T 3 i < T 4, y así sucesivamente. Deniendo, como en el Teorema anterior, Y 1 = X 1 ; Y 2 = X 1 + Z 1 (X 2 X 1 ; ; Y n = X 1 + Z 1 (X 2 X 1 + Z 2 (X 3 X 2 + Z 3 (X 4 X Z n 1 (X n X n 1, se observa que Y n es el incremento total durante los cruces hacia arriba por la sucesión {X i, i } 1 i n más posiblemente un cruce parcial hacia arriba al nal, más una contribución debida a X 1. Así que bu n (, b Y n. Por el Teorema anterior {Y i, i } 1 i n es una submartingala con E(Y n E(X n, lo que conduce a E (U n (, b E (Y n b E (X n. b Nota. Si U(a, b denota el número de cruces hacia arriba sobre (a, b por la martingala {X n, n } n N, entonces U n (a, b U(a, b, donde U n (a, b es el número de cruces hacia arriba sobre (a, b por la martingala nita {X i, i } 1 i n. Teorema 14 ( Teorema de convergencia de submartingala de Doob Si {X n, n } n N es una submartingala y sup n N E ( X n < (equivalentemente sup n N E (X + n <, entonces existe una variable aleatoria X tal que lim n X n = X c.t.p. y E ( X <. Demostración. Supongamos que (X n n N no converge c.t.p., esto es, Como P ({ω : lim sup X n (ω > lim inf X n (ω} >. {ω : X n (ω no converge } = {ω : lim sup X n (ω > lim inf X n (ω} existen números racionales a, b con a < b tales que = a<b a,b Q {ω : lim sup X n (ω > b > a > lim inf X n (ω}, P ({ω : lim sup X n (ω > b > a > lim inf X n (ω} >. Esto implica que sobre un conjunto con probabilidad positiva (X n n N tiene un número innito cruces hacia arriba en (a, b, esto es, U(a, b =. Puesto que (U n (a, b n N es una sucesión monótona de variables aleatorias no negativas tal que lim U n(a, b = U(a, b, n 1

11 por el Teorema de la convergencia monótona lim E (U n(a, b = E (U(a, b =. n Por el Teorema 12 para n = 2, 3, se sigue que y por tanto E (U n (a, b 1 (b a E (X n a + E (X+ n + a, b a E (U(a, b = lim E (U n(a, b sup n N (E (X n + + a <, n b a lo cual es una contradicción. Luego existe una variable aleatoria X tal que lim n X n = X c.t.p.. Como X n = X n + + Xn = 2X n + X n y E (X n E (X 1, entonces con lo que E ( X n = 2E ( X n + E (Xn 2E ( X n + E (X1 <, sup n N E ( X n 2 sup E ( X + n E (X1 <. n N El Lema de atou aplicado a ( X n n N, conduce a ( E ( X = E lim X n n y por tanto X es integrable. = E (lim inf X n lim inf E ( X n sup E ( X n <, n N Observación 15 Si consideramos la σ-álgebra := σ ( n 1 n, entonces lim inf X n y lim sup X n son -medibles y por lo tanto X es -medible. Corolario 16 Si X = {X n, n } n N es una submatingala no positiva o es una martingala no negativa, entonces existe una variable aleatoria integrable y -medible X tal que lim n X n = X c.t.p.. Demostración. Si X es una submartingala no positiva, entonces para todo n N se cumple E (X 1 E (X n. De aquí que E ( X n = E (X n E (X 1 y el resultado se obtiene del Teorema anterior, en virtud de que sup n N E ( X n E (X 1 <. En el caso en que X es una martingala no negativa, el resultado se tiene puesto que sup n N E ( X n = sup E (X n = E (X 1 <. n N Observación 17 El Teorema (14 también vale para supermartingalas, pues si {X n, n } n N es una supermartingala, entonces { X n, n } n N es una submartingala. Observación 18 Si {X n, n } n N es una martingala con X n L 2 (Ω,, P para cada n N y tal que sup n N E ( Xn 2 <, entonces existe una variable aleatoria X tal que lim n X n = X c.t.p. y en L 2 (Ω,, P ( ver Capítulo 12 de Williams [1]. 11

12 Los resultados demostrados sobre convergencia de martingalas, submartingalas y supermartingalas tienen una versión equivalente para martingalas, submartingalas y supermartingalas inversas. En particular destacamos el siguiente resultado. Teorema 19 Si {X n, G n } n N es una submartingala inversa e inf n N E(X n >, entonces existe una variable aleatoria integrable X tal que X = lim n X n c.t.p.. Demostración. Observe que si {X n, G n } n N es una submartingala inversa, entonces la sucesión nita {X n,, X 1 } es una submartingala. En efecto, como σ(x n, X n 1,..., X k+1 G k+1, por (9 del Teorema 2 se sigue que E (X k X n,, X k+1 = E (E (X k G k+1 X k+1, X n X k+1 c.t.p.. Sea U n (a, b el número de cruces hacia arriba de la martingala {X n,, X 1 }, entonces por el Teorema 13 E (U n (a, b 1 b a E ( (X 1 a + <, y por el Teorema 14, existe X tal que X = lim n X n c.t.p.. Veamos ahora que X es integrable. Puesto que {X n,, X 1 } es una submartingala, entonces {X n +,, X 1 + lo es, y por lo tanto } también E(X n + E(X 1 +. Ahora como X n = 2X n + X n, entonces E ( X n 2E (X n + inf n N E (X n < y por el Lema de atou se concluye E ( X lim inf E ( X n <. 3 Martingalas uniformemente integrables Como se dijo en la Subsección 1.2, el concepto clave para decidir si una martingala tiene último elemento ( ver denición 5 es el de integrabilidad uniforme. Aquí se establece que una martingala X tiene último elemento si y sólo si X es uniformemente integrable ( Teorema 25. Denición 2 Se dice que una sucesión de variables aleatorias (X n n N sobre un espacio de probabilidad (Ω,, P es uniformemente integrable, si para todo ɛ > existe c > tal que sup n N { X n >c} X n dp < ɛ, o equivalentemente, si lim sup X n dp =. c n N { X n >c} En lo que sigue se usan los siguientes hechos relacionados con integrabilidad uniforme. Teorema 21 Sean X, X 1, X 2, variables aleatoria extendidas sobre el espacio de probabilidad (Ω,, P. 1. X es integrable si y sólo si { X >c} X dp cuando c. 2. Si X es integrable, entonces para todo ɛ > existe un δ > tal que y P ( < δ implican X dp < ɛ. 3. La sucesión (X n n N es uniformemente integrable si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: 12

13 (i sup n N E ( X n <. (ii Para todo ɛ > existe un δ > tal que X n dp < ɛ para todo n N, siempre que y P ( < δ. 4. Si (X n n N es una sucesión de variables aleatorias en L 1 tal que X n X en probabilidad y (X n n N es uniformemente integrable, entonces X L 1 y X n X en L 1, esto es, E ( X n X. Para una demostración de este teorema y otras propiedades sobre integrabilidad uniforme, véase por ejemplo la Sección 4 del Capítulo 1 de Yeh [4]. Teorema 22 Si Y una variable aleatoria integrable y { n } n N una ltración, entonces la martingala {X n = E (Y n, n } n N es uniformemente integrable. Demostración. Como se estableció en el Ejemplo 1, la martingala {X n = E (Y n, n } n N satisface E ( X n E ( Y. Sea ɛ >, por (2 del Teorema anterior existe δ > tal que y P ( < δ implican E( Y Y dp < ɛ. Por la desigualdad de Chebyshev, si c > δ, entonces P ( X n > c E ( X n c E ( Y c Ahora, como { X n > c} n y E (Y n E ( Y n, entonces para todo n N se tiene { X n >c} X n dp { X n >c} < δ. Y dp < ɛ. Esto es, {X n, n } n N es una martingala uniformemente integrable. Teorema 23 Si X = {X n, n } n N es una martingala ( submartingala uniformemente integrable, entonces existe una variable aleatoria integrable y -medible X tal que: (1 X n X c.t.p. y X n X en L 1. (2 Para todo n N, X n = ( E (X n c.t.p., esto es, X es último elemento de X. Demostración. (1 Como X es uniformemente integrable, por (3 del Teorema 21, sup n N E( X n <. Por el Teorema 14 existe una variable aleatoria X que es integrable y -medible tal que X n X c.t.p.. Ahora como la convergencia c.t.p. implica la convergencia en probabilidad y como X es uniformemente integrable, entonces por (4 del Teorema 21, X n X en L 1. (2 Puesto que X es una martingala ( submartingala, para todo m n se tiene que X n = ( E (X m n c.t.p.. Así que para cualquier n X m dp = Puesto que X m X en L 1 y X m dp X dp E(X m n dp = ( X m X dp 13 X n dp. Ω X m X dp,

14 entonces X n dp = ( lim X m dp = X dp = E(X n dp. m De aquí que E (X n = ( X n c.t.p.. Teorema 24 Sea Z L 1 (Ω,, P, { n } n N una ltración en (Ω, y denamos X n = E (Z n c.t.p., entonces X = {X n, n } n N es una martingala uniformemente integrable tal que X n E (Z Y c.t.p. y en L 1. Demostración. Ya se sabe del Teorema 22 que X es una martingala uniformemente integrable. Por el Teorema anterior existe una variable aleatoria X, integrable y -medible tal que X n X c.t.p. y en L 1, y para todo n N se tiene que X n = E (X n. Sólo basta demostrar que X = Y c.t.p., donde Y = E (Z. Ahora, por (9 del Teorema 2 se tiene que E (Y n = E (E (Z n = E (Z n = X n, por lo que si n, entonces Y dp = X ndp. Como X n = E (X n, Y dp = X n dp = X dp. Esto dice que para todo n=1 n ( y por tanto, para todo σ( n=1 n = se tiene De aquí que Y = X c.t.p. Y dp = X dp. Los dos últimos Teoremas implican el siguiente. Teorema 25 Una martingala X = {X n, n } n N es uniformemente integrable si y sólo si tiene un último elemento. Una submartingala ( supermartingala con último elemento no necesariamente es uniformemente integrable, pero se tiene el siguiente resultado en esta dirección. Teorema 26 Si X = {X n, n } n N es una submartingala no negativa con un último elemento, entonces X es uniformemente integrable. Demostración. Si X es un elemento nal de la submartingala X, entonces X n E (X n c.t.p. para todo n N, y además E(X n E(X. Por la Desigualdad de Chebyshev para todo n N, Por consiguiente, P (X n c E(X n c E(X c cuando c. lim sup X n dp lim sup X dp =, c n N {X n c} c n N {X n c} es decir, X es uniformemente integrable. Un resultado importante sobre martingalas inversas uniformemente integrable que se usa en el Subsección 4.2 es el que sigue. 14

15 Teorema 27 Si X es una variable aleatoria integrable, {G n } n N una ltración inversa y M n = E (X G n, entonces (M n n N es una martingala inversa uniformemente integrable tal que M = E (X G = lim n M n c.t.p. y en L 1. Demostración. El ejemplo 2 muestra que {M n, n } n N es una martingala inversa, y la misma demostración del Teorema 22 muestra que ésta es uniformemente integrable. Por (2 del Teorema 2, E (M n = E (E (X G n = E (X. Así, por el Teorema 19, existe una variable aleatoria M que es integrable y -medible tal que M n M c.t.p.. Por (4 del Teorema 21 se también tiene M n M en L 1. Para ver que M = E (X G c.t.p.. se procede como en la demostración del Teorema 24. Parte II. Aplicaciones Como parte central del artículo presentamos algunas demostraciones de resultados de probabilidad y análisis, utilizando la teoría de las martingalas en tiempo discreto. 4 Aplicaciones en probabilidad 4.1 Ley cero-uno de Kolmogorov Sean (Ω,, P un espacio de probabilidad, { n } n N una sucesión de sub-σ-álgebras de, y τ n = σ ( m n m la σ-álgebra generada por n, n+1,. A τ = n 1 τ n se le llama σ- álgebra de los eventos terminales de la sucesión { n } n N. Cuando se considera la sucesión { X n = σ (X 1,, X n } n N de σ-álgebras asociada a la sucesión X = {X n } n N de variables aleatorias, a τ se le denomina σ-álgebra de los eventos terminales de la sucesión X y a las funciones f : Ω R que sean τ-medibles se les llama funciones terminales de la sucesión X. Es bien conocido que bajo la hipótesis de independencia de las σ-álgebras los eventos terminales tienen probabilidad ó 1, lo que implica que las funciones terminales son constantes. Este es el contenido del siguiente teorema. Teorema 28 Sea X = {X n } n N una sucesión de variables aleatorias independientes. Se denen las σ-álgebras τ n = σ (X n+1, X n+2, y τ = τ n. Si A τ, entonces P (A = 1 o. Demostración. Sean, A τ X = σ( n=1 X n y Y = I A L 1 (Ω,, X P. Por el Teorema 24, M n = E ( Y n X dene una martingala uniformemente integrable tal que c.t.p.. y en L 1. Y = E ( Y X = lim n E ( Y X n Puesto que para cada n N, Y = I A es τ n -medible y por tanto independiente de n X, entonces por la propiedad 11 del Teorema 2 es decir, n=1 E ( Y n X = E (Y = E (IA = P (A c.t.p., Y = lim E ( Y X n n = lim E (Y = P (A c.t.p.. n 15

16 Como Y toma sólo los valores y 1, entonces P (A {, 1}. 4.2 Ley de los grandes números En los albores de la teoría de la probabilidad, la observación sistemática de diferentes juegos de azar mostró que cada posible resultado de un juego exhibía cierta regularidad, en el sentido de que cada vez que un determinado juego se repetía un número n grande y jo de veces, un resultado particular A tendía a presentarse el mismo número n de veces, y que cuando n era cada vez más grande, la llamada frecuencia relativa del evento A: f A = n n tendía a estabilizarse alrededor de un número jo p que se llama probabilidad del evento A. Esta interpretación empírica de probabilidad tiene dentro de la concepción axiomática de la probabilidad una caracterización matemática resultado de las llamadas leyes de los grandes números. La ley débil establece la convergencia en probabilidad de la frecuencia relativa de un evento A a su probabilidad p, y la ley fuerte establece la convergencia c.t.p.. En esta sección se presenta una demostración de la ley fuerte de los grandes números utilizando martingalas. Teorema 29 ( Ley de los grandes números Sea X = {X n } n N una sucesión variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con E ( X n < para todo n N. Si S n = X X n y E (X n = µ, entonces 1 n S n µ c.t.p. y en L 1. Demostración. Consideremos la ltración inversa {G n } n N dada por G 1 = σ (S 1, S 2,, G 2 = σ (S 2, S 3,,, G n = σ (S n, S n+1,,, G = n 1 G n, y la martingala inversa {E(X 1 G n, G n } n N. Mostremos primero que E(X 1 G n = n 1 S n. Como σ (X 1,, X n y σ (X n+1, X n+2, son σ-álgebras independientes y σ (X 1, S n σ (X 1,, X n, entonces las σ-álgebras σ (X 1, S n y σ (X n+1, X n+2, son independientes. Puesto que G n = σ(s n, X n+1, X n+2,, aplicando la propiedad 11 del Teorema 2 se llega a E (X 1 G n = E (X 1 S n. Ahora, para cada B B(R, por la denición de esperanza condicional se tiene Sn 1 (B E(X 1 S n dp = Sn 1 (B X 1 dp. Si se denota por P X la ley común de las variables aleatorias X 1,, X n, por el Teorema de cambio de variables, Sn 1 (B X 1 dp = = = x 1 P X (dx 1 P X (dx n B x i P X (dx 1 P X (dx n B X i dp = Sn 1 (B Sn 1 (B donde B = {(x 1, x n : x x n B}. Por lo tanto, E(X i S n dp i = 1,, n, E (X 1 S n = = E (X n S n = 1 n E (X X n S n = 1 n E (S n S n = 1 n S n. 1 Por el Teorema 27, lim n n S n existe c.t.p. y L 1. Denotando por Y este límite, podemos escribir Y = lim inf S n n = lim inf E (X 1 G n 16 c.t.p..

17 Como para todo k N se tiene ( ( X1 + + X n Xk X k+n Y = lim inf = lim inf, n n entonces Y es una variable aleatoria terminal de la sucesión X. Así, por el Teorema 28 se tiene que para algún c R, P (Y = c = 1, de donde es decir, 1 n S n µ en L 1. c = E (Y = lim E ( 1 n S n = µ, 4.3 Convergencia de series de variables aleatorias En esta subsección se utilizan las martingalas para demostrar uno de los resultados clásicos sobre convergencia de series de variables aleatorias independientes con varianza nita. Teorema 3 Suponga que {X k } k N es una sucesión de variables aleatorias independientes tal que para todo k N, E(X k = y σk 2 = var (X k <. Entonces 1. σk 2 < implica k=1 X k < c.t.p. k=1 2. Si las variables X k son uniformemente acotadas; es decir, X k b < para todo k N, entonces la armación recíproca es válida, esto es, k=1 X k < c.t.p implica k=1 σ2 k <. Demostración. Sean n X = σ (X 1,, X n, S n = n k=1 X k, A n = n k=1 k, σ2 Y n = Sn 2 A n, y note que las variables aleatorias X 1, X 2,, X n son n X -medibles y que la variable aleatoria X n+1 es independiente de n X. 1. Por las propiedades (1, (3 y (11 del Teorema 2 se llega a E ( S n+1 n X ( = E Sn + X n+1 n X = Sn + E (X n+1 = S n. De aquí que {S n, n X } n N es una martingala con E (S n = y E ( Sn 2 = An. Ahora bien, si k=1 σ2 k <, entonces sup n N E ( S n sup E ( S 2 1/2 n <. n N Se sigue ahora del Teorema 14 que k=1 X k = lim n S n existe c.t.p.. 2. Nuevamente, las propiedades (1, (3 y (11 del Teorema 2 implican σn+1 2 = E ( Xn+1 2 ( = E X 2 n+1 n X ( = E (S n+1 S n 2 n X = E ( Sn+1 2 n X 2Sn E ( S n+1 n X + S 2 n = E ( Sn+1 2 n X S 2 n, 17

18 es decir, E ( Sn+1 2 X n = S 2 n + σn+1. 2 De esto se sigue que E ( Sn+1 2 A n+1 n X = Sn 2 A n, o lo que es lo mismo, {Y n, n X } n N es una martingala. Considere ahora el tiempo de paro respecto de la ltració n X denido por { inf{n N : Sn > j} si {n N : S T = n > j} = si {n N : S n > j} = donde j N. Por (2 del Teorema 8 se tiene que {Y T n, X n } n N es una martingala tal que para todo n N = E (Y 1 = E (Y T n = E ( S 2 T n A T n. Como por hipótesis para todo n N se tiene X n b, entonces S T S T 1 = X T b si T es nito. De esto se sigue que S T n b + j y por tanto E (A T n = E ( S 2 T n (b + j 2, para todo n N. Dado que k=1 X k converge c.t.p, las sumas parciales S n son acotadas c.t.p.. Esto implica que para algún j N se tenga P (T = >. Puesto que para cada n N se verica A n P (T n E (A T n (b + j 2, entonces A = k=1 σ2 k <. 4.4 luctuación de Bernoulli en un segmento Considere el esquema de Bernoulli (Ω,, P donde Ω = {ω : ω = (x 1,, x n, x k = 1 o x k = P 1}, consiste de todos los subconjuntos de Ω y p(ω = p v(ω q n v(ω n, donde k=1 v(ω = x k+n 2. Sea X k (ω = x k, k = 1,, n. Entonces (X k 1 k n es una sucesión de variables aleatorias independientes tal que P (X k = 1 = p, P (X k = 1 = q, p + q = 1. Sean S = y S j = j k=1 X k; esta sucesión puede ser considerada como la trayectoria del movimiento aleatorio de una partícula que arranca en cero. La igualdad S j+1 = S j + X j quiere decir que la partícula llega al punto S j en el tiempo j y que en el tiempo j + 1 la partícula se desplaza una unidad hacia abajo con probabilidad q o una unidad hacia arriba con probabilidad p. Sean a y b enteros tales que a < < b. Un problema interesante sobre estas trayectorias aleatorias es encontrar la probabilidad que después de n pasos, la partícula haya dejado el intervalo (a, b. Es también interesante preguntarse con qué probabilidad la partícula deja el intervalo (a, b por a o por b. Estas cuestiones se abordan en la Sección 9 del Capítulo I se Shiryaev [11]. Aquí se usan las martingalas para ver el comportamiento de estas probabilidades. Teorema 31 Sean X = {X n } n N una sucesión de variables aleatorias independientes con P (X k = 1 = p, P (X k = 1 = 1 p; p (, 1, S = y S n = n k=1 X k para todo n N. Considere el tiempo de paro respecto de n X denido por T = inf {n : S n = a o S n = b}, donde 18

19 a y b son números enteros que cumplen a < < b. Entonces la probabilidad de que la uctuación {S n } n N en el instante T tome el valor a, P (S T = a = p a, es p a = [ q p 1 [ q p ] b ] a [ q p] b si p q b b a si p = q = 1 2, y la probabilidad de que tome el valor b, es P (S T = b = p b = 1 p a. Además, E(T = ap a + bp b p q si p q ab si p = q = 1 2. Demostración. Se comienza mostrando que P (T < = 1 y que E(T <. Sea x n = P ( n k= {a < S k < b} y veamos que para n sucientemente grande x n ɛ n, donde ɛ (, 1. Sea n = mj, donde m y j son enteros positivos, y sean Z 1 = X Z m Z 2 = X m X 2m. Z j = X m(j X mj. Puesto que las variables aleatorias X 1, X 2, son independientes e idénticamente distribuídas, entonces las variables aleatorias Z 1,, Z j son independientes e idénticamente distribuídas con E(Z 1 = m(p q y V (Z 1 = m[(1 (p q 2 ]. Si se hace R = a + b, entonces y por lo tanto m j k=1 {a < S k < b} j i=1 { Z i < R}, x n P ( j i=1 { Z i < R} = j P ({ Z i < R} = P ({ Z 1 < R} j. i=1 Si P ({ Z 1 R} = 1, entonces V (Z 1 = m[1 (p q 2 ] R 2. Por lo tanto, para m sucientemente grande k := P ({ Z 1 < R} < 1 y se tiene x n ɛ n, donde ɛ = k 1 m. Ahora bien, como entonces P ({T < } = 1. P ({T = } = P ( n=1{t n} = lim P ({T n} n = lim n ( n k= {a < S k < b} = lim n =, n Por otro lado, como T es una variable aleatoria no negativa, entonces ( ver Lema 3 de la Sección 3 del Capítulo IV de Shiryaev [11] n=1 P (T n E(T 1 + n=1 P (T n, 19

20 de donde E(T <. Caso 1. p = q = 1 2 En este caso. {X n } n N es una sucesión de variables aleatorias independientes con E(X n = y V ar(x n = 1. Como se mostró en el apartado anterior, si S n = n k=1 X k y si Y n = Sn 2 n, entonces {S n, n X } n N y {Y n, n X } n N son martingalas. Dado que S n+1 S n = X n+1 (ω = 1 para todo ω Ω y todo n N, por (2 del Teorema 9 se tiene E(S T = E(S 1 = E(X 1 = ; si hacemos p a := P (S T = a y p b := P (S T = b, entonces = ap a + bp b y p a + p b = 1 implican p a = b b a y p b = b a. Veamos ahora que E(T = ab. Para ello se usa la martingala {Y n = Sn 2 n, n } n N. Sobre el conjunto {T > n} se verican S n max{ a, b} := c y Sn 2 c 2. Por tanto, lim n E(S2 ni {T >n} c 2 lim P ({T > n} =. n Como E(T <, entonces por (1 del Teorema 21, lim E(nI {T >n} lim E(T I {T >n} =. n n Utilizando estos dos límites se llega a lim n E[(Sn 2 ni {T >n} ] =. Mostremos ahora que E( Y T <. Sean Y := y Z n := Y n Y n 1 ; n = 1, 2,.... Como Y T = T i=1 (Y i Y i 1, entonces Y T T i=1 Z i := W. Usando el hecho de que sobre el conjunto {T > n} se verica Z n 2c, se obtiene E(W = = = E(W I {T =i} = i=1 i=1 j=1 E((Z Z i I {T =i} i=1 i E(Z j I {T =i} = E(Z j I {T j} = j=1 2c j=1 i=j E(Z j I {T =i} E(Z j I {T >j 1} j=1 P (T j = 2cE(T <. j=1 Asi las cosas, el Teorema 1 conduce a E(S 2 T T = E(S2 1 1 =, es decir, E(T = E(S2 T = a 2 p a + b 2 p b = ab. Caso 2. p q. En este caso { [ } Sn R n = q p], X n es una martingala; pues claramente R n es n X -medible n N e integrable y por las propiedades (1 y (11 del teorema 2, E ( R n+1 X n = E ( [q p] Sn+X n+1 X n = R n E ( [q p ] Xn+1 X n = R n (p q p + q p q = R n. 2 ( ] Xn+1 X n [ q = E R n p ( [q ] Xn+1 = R n E p

21 Teniendo en cuenta que sobre el conjunto {T > n} se tiene que R n < k (para cierta constante [ Xn+1 k >, y que R n+1 R n = R q n p] 1, procediendo como en el caso anterior se llega a lim E ( R n I {T >n} < k lim P ({T > n} = y E (R T <. n n El Teorema 1 dice que Como p a + p b = 1, entonces E (R T = p a [ q p ] a [ ] q b + p b = E (R 1 = 1. p lo que conduce a p a [ q p] a + (1 p a p a = [ q p [ 1 q p ] a [ b. q p] [ ] q b = 1, p ] b inalmente mostremos que E(T = ap a + bp b. p q Es fácil ver que {S n n(p q, n X } n N es una martingala. Dado que S n+1 (n + 1(p q S n + n(p q = X n+1 (p q < 2 y E(T <, entonces por (iii del Teorema 9 tenemos esto es, E(S T = E(T (p q. Por lo tanto 5 Aplicaciones en análisis 5.1 Teorema de Radon-Nikodym E(S T T (p q = E(S 1 (p q =, E(T = E(S T p q = ap a + bp b p q Si (Ω,, P es un espacio de medida y Y una función medible tal que Ω Y dp existe, entonces la función de conjuntos Q(A = A Y dp = Ω Y I A dp,. A dene una medida signada. Además Q es absolutamente continua con respecto a P; esto es, para todo ɛ >, existe δ > tal que si A y P (A < δ, entonces Q(A < ɛ ( ver Sección 2.2 de Ash et al [12]. El Teorema de Radon-Nikodym establece la proposición recíproca cuando P es σ-nita. 21

22 Teorema 32 Sean P una medida σ-nita y Q una medida signada sobre la σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Si Q es absolutamente continua con respecto a P, entonces existe una función boreliana Y : Ω R tal que Q(A = A Y dp, A. Además, si Z es otra tal función, entonces Y = Z c.t.p.. En la teoría de la medida la demostración de este teorema se divide en casos, empezando por aquel donde P y Q son medidas nitas ( ver por ejemplo la Sección 2.2 de Ash et al [12]. Aquí utilizan las martingalas para presentar la demostración en el caso en que (Ω,, P es un espacio de probabilidad donde es una σ-álgebra separable, esto es, = σ( n : n N para alguna sucesión ( n n N de subconjuntos de Ω, y Q es una medida nita. Teorema 33 Sean (Ω,, P un espacio de probabilidad donde es una σ-álgebra separable y Q una medida nita sobre (Ω, absolutamente continua con respecto a P. Entonces existe X L 1 (Ω,, P tal que Q( = XdP para todo. Aquí X, que es única c.t.p., es llamada una versión de la derivada de Radon-Nikodym de Q con respecto a P sobre (Ω, y se escribe dq dp = X. Demostración. Como es separable, = σ( n : n N para alguna sucesión ( n n N de subconjuntos de Ω. Sean n = σ ( 1,, n, n = 1, 2, 3,. Para cada n N, n consiste de la colección de todas las uniones nitas de conjuntos de la forma B 1 B 2 B n, donde B i = i ó B i = i c. Puesto que hay a lo más 2 n conjuntos disjuntos de esta forma, entonces n tiene a lo más 2 elementos. En denitiva, se puede decir que 2n n consiste de 2 r(n posibles uniones de átomos A n 1, An 2,, An r(n de n, siendo un átomo A de n un conjunto de n tal que es el único subconjunto propio de A que es elemento de n. Dena ahora la función X n : Ω R por X n (ω = r(n k=1 βn k I A (ω, donde n k βk n = si P (A n k = Q(A n k P(A n k si P (A n k >. Entonces X n es n -medible, E ( X n < y para = s j=1 An i j n, donde indica la unión disjunta, X n dp = = r(n r(n βk n I A ndp = k k=1 s βi n j P (A n ij = j=1 Puesto que para cada n n+1 k=1 Ω β n k I A n k I dp s Q (A n ij = Q (. j=1 X n+1 dp = Q( = 22 X n dp,

23 entonces E(X n+1 n = X n. Esto signica que {X n, n } n N es una martingala no negativa. Una aplicación de (2 del Colorario 16 conduce a que X = lim n X n existe c.t.p.. Veamos que {X n, n } n N es uniformemente integrable. Como Q es absolutamente continua con respecto a P; dado ɛ >, existe un δ > tal que P ( < δ implica Q ( < ɛ. Puesto que Q es nita, existe c > tal que Q (Ω < cδ. Ahora, por la desigualdad de Chebyshev para n = 1, 2, 3, P (X n > c < E (X n c Por lo tanto para = {X n > c} n se tiene {X n>c} X n dp = {X n>c} = Q (Ω c < cδ c = δ. X n dp = Q(X n < ɛ. De acuerdo con la denición 2, {X n, n } n N es uniformemente integrable. Aplicando el Teorema 23 se llega a que {X n, n } n N converge en L 1 y que X n = E (X n. En consecuencia, para cada n Q ( = X n = X dp. Esto dice que para todo n=1 n, y por tanto, para todo σ( n=1 n = =, se tiene lo que queríamos demostrar 5.2 unciones lipschitzianas Q ( = X n = X dp. Recordemos que una función g : [a, b] R es absolutamente continua si para cada ɛ > existe un δ > tal que para cualquier sistema nito de intervalos abiertos disjuntos (a 1, b 1,, (a k, b k de [a, b] con n k=1 (b k a k < δ, se verica n k=1 (g(b k g(a k < ɛ. Es conocido que una función g : [a, b] R es absolutamente continua si y sólo si existe h L 1 [a, b] tal que g (x g (a = x a h (t dt, x [a, b] ( ver Teorema de Ash et al [12]. Es claro que si g : [a, b] R es es una función lipschitziana; esto es, existe L (, tal que para todo x, y [a, b] se cumple g(x g(y L x y, entonces g es absolutamente continua y la función f : [, 1] R denida por f(x := g(a + (b ax también es lipschitziana. El siguiente teorema trata sobre una representación de este tipo de funciones. Teorema 34 Si f : [, 1] R es lipschitziana, entonces existe h L 1 [, 1] tal que f (x f ( = x h (t dt, x [, 1] Demostración. Sean (Ω,, P = ([, 1, B ([, 1, λ y (X n n N la sucesión de variables aleatorias denidas por X n (ω = 2 n 1 k= k 2 n I [ k 2 n, k+1 2 n (ω. 23

24 Sean X n = σ(x 1,, X n σ(x n σ( [, 1 2 n ; [ 1 2 n, 2 2 n [ 2 n 1 2 n, 1 y Y n = f (X n + 2 n f (X n 2 n. Veamos que {Y n, n X } n N es una martingala. Es claro que Y n es n X -medible e integrable. Ahora, para todo n N se tiene { X n para ω [ k 2, 2k+1 ; k =,, 2 n 1 X n+1 = n 2 n+1 X n + 1 para ω [ 2k+1, k+1 2 n+1 2 n+1 2 ; k =,, 2 n 1. n Por consiguiente, f (X n+1 = 2 n 1 k= ( ( f (X n I h k + f X 2 n, 2k+1 n n+1 2 n+1 I h 2k+1 k+1. 2n+1, 2 n Como f(x n y f(x n n son funciones X n -medibles y acotadas, entonces por la propiedad 1 del Teorema 2, se tiene E ( f (X n+1 n X 2 n 1 ( = f (X n E I h k 2 n, 2k+1 n X 2 n+1 + f k= ( X n n+1 2 n 1 k= ( E I h 2k+1 k+1 2n+1, X n 2 n. Puesto que entonces ( E I ( h k 2 n, X 2k+1 n = E I h 2 n+1 2k+1 k+1 2n+1, X n 2 n = 1 2 I [ k 2 n, k+1 2 n, E ( f (X n+1 X n Del mismo modo se llega a Por lo tanto E ( f 2 1 = 2 f (X n 1 n I [ k 2 n, k+1 2 n + 1 ( 2 f X n + 1 ( X n n+1 k= = 1 2 f (X n f ( X n n+1 E[Y n+1 X n ] = E [Y n+1 X n ] = 2 n+1 E. 2 n+1 2 n 1 k= n X = 12 ( f X n n ( f X n n. = 2 n { f ( X n + 2 n f (X n } = Y n. I [ k 2 n, k+1 2 n [ f (X n (n+1 ] f (X n+1 X n Ahora, la martingala {Y n, X n } n N es uniformemente integrable puesto que Y n = f (X n + 2 n f (X n 2 n L 1 2 n 2 n = L, 24

25 donde L es la constante de Lipschitz: f(x f(y L x y. Note que = B ([, 1] = σ ( n 1 n X. Así las cosas, el Teorema 22 garantiza la existencia de una variable aleatoria h = h(ω tal que Y n h c.t.p. y Y n = E ( h n X, esto es, Y n dp = hdp ; X n. Tomando = [, k 2 n X n en la última igualdad se llega a f ( k 2 n f( = k 2 n Y n dp = k 2 n h(ωdp. Como el conjunto D = { k 2 : n N, k =,, 2 n } es denso en [, 1] y las funciones continuas n h(tdt coinciden en D, entonces coinciden en [, 1], esto es, f(x f(, x f (x f ( = x 5.3 Sistema de funciones de Haar h (t dt para todo x [, 1]. A veces es necesario considerar sistemas ortonormales completos especiales en ciertos espacios de Hilbert. Por ejemplo, en una de las construcciones del movimiento browniano se usa el sistema de funciones Haar sobre el cual versa esta subsección ( ver el capítulo 4 de Lamperti [16]. Como en el apartado anterior, sea (Ω,, P = ([, 1, B ([, 1, λ. Cada ω [, 1 tiene una expansión binaria única ( con innitos ceros donde ω i ω = ω ω ω {, 1}. Dena las variables aleatorias X n (ω = ω n, n = 1, 2, 3,... Así para a i {, 1}, i = 1, 2,..., n; P {ω : X 1 (ω = a 1,..., X n (ω = a n } = P { ω : a a n 2 n ω < a a n 2 n + 1 } 2 n = 1 2 n De aquí que (X n n N es una sucesión de variables aleatorias independientes idénticamente distribuídas con distribución Bernoulli de parámetro p = 1 2. El sistema de funciones de [, 1 en R denido por R = {R n (ω = 1 2X n (ω, n = 1, 2,...} se denomina sistema de funciones Rademacher. Este sistema es ortonormal en L 2 (Ω,, P, esto es, 1 pero no es completo, pues para n = 1, 2, 3,... R n (ωr m (ωdω = E(R n R m = δ nm, 1 R n (ωdω = E(1R n =. 25