La enseñanza del álgebra: análisis de las prácticas docentes en la Educación Básica. Cecilia Gaita Iparraguirre Elizabeth Advíncula Clemente

Transcripción

1

2

3 La enseñanza del álgebra: análisis de las prácticas docentes en la Educación Básica Cecilia Gaita Iparraguirre Elizabeth Advíncula Clemente 1

4

5 ÍNDICE Resumen 5 Objetivos del taller 7 Estructura del taller 7 Desarrollo del taller 7 l Primera etapa 7 l Segunda etapa 7 Noción clásica de problema aritmético 8 Reflexión 8 Sobre la comprensión de variable 9 Sobre la comprensión de ecuación 10 Sobre la naturaleza matemática de «variable» 11 Sobre la naturaleza matemática de «igualdad» 11 l Tercera etapa 12 Actividad 1 12 Actividad 2 14 Referencias 17 3

6 4

7 La enseñanza del álgebra: análisis de las prácticas docentes en la Educación Básica Cecilia Gaita Iparraguirre Elizabeth Advíncula Clemente Pontificia Universidad Católica del Perú- Maestría en Enseñanza de la Matemática Direcciones electrónicas: Resumen El álgebra escolar constituye uno de los temas centrales tanto en el Currículo de la Educación Básica como en el ámbito de las investigaciones en Didáctica de la Matemática. Esto básicamente debido a que el razonamiento algebraico está en el corazón de las matemáticas, concebida como la ciencia de los patrones y el orden, y donde la formalización y generalización es un objetivo central. Los Principios y Estándares para las Matemáticas del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) proponen al álgebra como uno de los conocimientos matemáticos que debe desarrollarse en todos los niveles de la educación básica. En un primer momento, se debe desarrollar el pensamiento algebraico a través del estudio de patrones geométricos y numéricos, y de regularidades en distintas áreas. Mientras que en los últimos niveles se debe proponer la identificación de relaciones y funciones, así como la representación y el análisis de situaciones matemáticas empleando símbolos algebraicos. Según el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular del Perú, el álgebra se propone desde el nivel inicial hasta el nivel secundario en la componente denominada Números, Relaciones y Operaciones. Cabe mencionar que esta propuesta no siempre corresponde con la práctica docente real, en la que la actividad matemática escolar se da con un marcado carácter pre-algebraico, que origina la existencia de una matemática desarticulada. 5

8 Por otro lado, se sabe por diversas investigaciones realizadas en el marco de la teoría antropológica de lo didáctico, que el modelo implícito en las instituciones escolares es que el álgebra resulte de prolongar las prácticas aritméticas. Esto se observa al identificar el álgebra con el lenguaje algebraico y donde el pensamiento se concibe como una supuesta extensión del pensamiento aritmético. Esta interpretación restringida del álgebra en las instituciones escolares sirve como explicación de muchos fenómenos didácticos asociados a los procesos de enseñanza y aprendizaje del álgebra. Como resultado de investigaciones epistemológicas se tiene que el núcleo central de la actividad matemática es la modelización matemática. Y en este contexto, se propone que el álgebra escolar no sea considerada como una organiza-ción matemática al mismo nivel que las demás sino como un instrumento de modelización de todas las organizaciones matemáticas escolares. La ausencia del álgebra como herramienta de modelización tiene múltiples efectos sobre la enseñanza de la matemática, como por ejemplo, la desarticulación de la matemática escolar. En este contexto, es necesario que desde nuestra posición como matemáticos y educadores contemos con herramientas teóricas que nos permitan analizar los diversos recursos que se utilizan en las clases de matemáticas. En particular, es indispensable identificar en los textos escolares qué problemas y prácticas asociadas al álgebra se contemplan y cómo se secuencian. Además, identificar qué objetos (lenguajes, problemas, propiedades, conceptos, procedimientos y argumentos) intervienen en las prácticas algebraicas. Luego de este análisis se deben señalar los conflictos semióticos a priori pueden tener los estudiantes para la realización de las prácticas matemáticas asociadas al álgebra. Finalmente, desde una postura en donde los objetos matemáticos deben ser introducidos porque son necesarios para abordar determinadas situaciones, es válida la problemática de identificar aquellas situaciones (en contextos escolares) para las que el álgebra se hace necesaria. 6

9 Objetivos del taller Presentar un panorama actual de los resultados en Didáctica de las Matemáticas respecto al álgebra escolar. Presentar una herramienta para el análisis de textos escolares usados en la educación primaria en el Perú. A través del uso de dicha herramienta se identificará la naturaleza de las actividades propuestas relacionadas con el álgebra. Estructura del taller 1. Se presentarán problemas extraídos de textos escolares y de cursos de capacitación para docentes en donde se haga necesario el uso del álgebra y otros donde no lo sea. Se hará una reflexión al respecto. 2. Se comentarán los fenómenos observados en las investigaciones en didáctica de las matemáticas referidos al uso del álgebra en la educación básica. 3. Se presentarán algunas actividades que sugieren cómo introducir el álgebra en la educación básica. Desarrollo del taller Primera etapa Se analizarán algunos problemas tomados de textos de Matemática utilizados en la Educación Básica y de cursos de capacitación para docentes. Segunda etapa En el trabajo de Ruiz, Bosch y Gascón (2004) se señala que en un primer momento el álgebra aparece asociada a los problemas aritméticos escolares. 7

10 Noción clásica de problema aritmético: Aquel que puede resolverse mediante la aplicación sucesiva de operaciones aritméticas (+, -,, /) a cantidades conocidas. Tipo de problema Problema aritmético Ejemplo La edad que tendrá Ana el próximo año es 33. Qué edad tiene Ana? Cómo se resuelve? Solución aritmética: 33-1=32 Solución algebraica: x+1=33 x=33-1 x=32 Cómo se justifican las técnicas usadas en la solución? Se justifican? Técnica inversa o método del cangrejo. Por propiedad: x=33-1 La suma de dos números consecutivos es 85. Cuáles son esos números? Solución aritmética: 85-1=84 El número menor será 84/2=42 y el mayor 42+1=43 Técnica inversa. La suma de las edades de una madre y de su hija es 52. Si la hija tiene 16 años menos, qué edad tiene su madre Solución algebraica: x+x+1=85 x=42 Solución aritmética: 52-16=36 dos veces la edad de la hija 18=edad de la hija 18+16=34 edad de la madre Solución algebraica: x+x-16=52 x=34 Por propiedad: 2x=85-1 2x=84 x=84/2 Técnica inversa. Por propiedad: 2x= x=68 x=68/2 Reflexión: Era necesaria la introducción del álgebra? Las técnicas empleadas para la solución son discutidas? Cómo son los problemas que se suelen plantear en este tema, todos tienen solución? 8

11 Luego de la discusión de los ejemplos, se puede decir que el álgebra se introduce como una aritmética generalizada. Esto quiere decir que el álgebra se construye en un contexto numérico, a modo de generalización de cálculos con números y de traducir expresiones numérico-verbales. Las tareas más importantes que se proponen son la traducción de expresiones del lenguaje natural al lenguaje algebraico, el cálculo algebraico (reglas aritméticas con letras y números) y la solución de ecuaciones. Este tratamiento del álgebra permite explicar algunos fenómenos caracterizados en las investigaciones en didáctica de la matemática. A continuación se comentarán algunos de ellos. En los trabajos de Godino y Font (2003) se señala que es necesario tener en cuenta componentes cognitivas y epistémicas para explicar los comportamientos de los estudiantes al enfrentarse a tareas que implican el uso del álgebra. Sobre la comprensión de variable: Se señala que los alumnos requieren pasar por distintos estadios antes de llegar a comprender que una letra puede ser usada como una variable. Y por lo general, asumimos que ese paso es trivial. A continuación se mostrarán algunos fenómenos que tiene su explicación en lo anterior. Estadios Ejemplo Explicación Estadio 1: La letra evaluada En el problema: Hallar x en 5 + x = 11, dan como respuesta: Es 6. Se asigna mentalmente un valor numérico a la letra. Estadio 2: La letra ignorada Estadio 3: La letra usada como objeto En el problema: Hallar el valor de x + y + 3, si se sabe que x + y es 10, dan como respuesta: Es 13. En el problema: Resolver 3m + 7m, dan como respuesta: Como 3 manzanas y 7 manzanas son 10 manzanas, entonces la respuesta es 10m Como no hay necesidad de pensar en x e y como variables, se ignoran las letras. Cuando el problema se refiere a objetos concretos como por ejemplo manzanas, se entiende la letra como una abreviatura, no como un número. 9

12 Estadio 4: La letra es usada como una incógnita específica Estadio 5: La letra usada como un número generalizado Estadio 6: La letra usada como variable En un problema, cuando simplifican expresiones y obtie nen 3 + 7x, dan como respuesta 10 ó 10x En un problema, cuando se pide resolver la ecuación a + b = 5, dan como respuesta: a = 1; b = 4 En el problema: Si se sabe que c < b < 0 < a, determinar qué a b número es mayor: ó b b c. c Aunque puedan valerse de algunos ejemplos para intuir cuál es la relación de orden correcta, en su respuesta siguen un razonamiento general para cualquier grupo de valor es de a, b, c y d que cumpla las condiciones. Si solo consideran valores particulares para a y b, estarían en el estadio 5. En este estadio los estudiantes consideran a la letra como un número desconocido pero específico y pueden operar sobre él combinando los elementos sin tener en cuenta la letra. No reconocen la necesidad de dar como respuesta todos los valores. Cuando se reconoce que la s le tras a y b deben representar un conjunto de valores no especificados Notemos lo importante que son las preguntas y las justificaciones que den los alumnos sobre sus respuestas para poder ubicarlos en un determinado nivel. Sobre la comprensión de ecuación: Inicialmente el signo de igualdad es usado para dar el resultado de una operación: 5+3=8 o hallar un número desconocido para obtener cierto resultado: 3+ = 8. Sin embargo, cuando se introduce el signo igual en las ecuaciones se requiere de una interpretación distinta. Una ecuación puede interpretarse como una función proposicional (en el sentido que puede ser verdadera o falsa) y también puede emplearse para relacionar cantidades equivalentes. Hasta qué punto esto está contemplado en la enseñanza de ese tema? 10

13 Sobre la naturaleza matemática de «variable»: Una variable es un símbolo que puede colocarse en lugar de cualquier elemento de un conjunto, sean de números u otros objetos. Las variables son muy importantes en matemáticas porque permiten expresar regularidades y establecer relaciones entre objetos de manera eficiente. Por ejemplo, a continuación se muestran tres representaciones distintas de una misma propiedad. a ( b + c) = ab + ac La multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones del primer número por cada uno de los sumandos. La multiplicación es distributiva respecto a la adición. Cuál de ellas resulta más familiar? Los usos que se le suelen dar a las variables en matemáticas son los siguientes: Como incógnitas: cuando se usan para representar un número u otro objeto matemático desconocido y se manipula como si fuera conocido. Como indeterminadas o para expresar patrones generales. Para expresar cantidades que varían conjuntamente Como constantes o parámetros. : El signo igual, =, suele emplearse para denotar que lo que se encuentra a la izquierda de este signo y lo que se encuentra a la derecha de este signo son dos maneras de designar al mismo objeto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que también se emplea para definir nuevas operaciones u objetos matemáticos. Refiriéndonos únicamente al primer sentido del signo =, y dependiendo de la naturaleza de los objetos que aparecen en una igualdad numérica, se obtienen las siguientes variantes: Cuando aparecen variables y la igualdad es verdadera para cualquier valor que ellas tomen se dice que se trata de una identidad. 11

14 Cuando la igualdad es verdadera solo para algunos valores de la variable se dice que es una ecuación. Noción de ecuación equivalente Cuando se usa para expresar una relación de dependencia entre dos o más variables y en ese caso se denomina fórmula. Tercera etapa A continuación presentamos dos actividades que sugieren como introducir el álgebra en la educación básica. La primera tomada de Fripp, A. (2009) y la segunda, de Bosch, M., García, F., Gascón, J. y Ruiz, L. (2006). Actividad 1 Marcela tiene dibujado un cuadrado en una hoja de papel cuadriculado y comienza a pintar alrededor de él como muestran estas figuras: Si tienes en cuenta el trabajo que está haciendo Marcela, podrás completar esta tabla: 1 a vuelta Pinta 8 cuadraditos 2 a vuelta Pinta 16 cuadraditos 3 a vuelta Pinta cuadraditos 4 a vuelta Pinta cuadraditos 5 a vuelta Pinta cuadraditos 12

15 Cuántos cuadraditos pintará Marcela en la vuelta número 20? Esta es una actividad de generalización que exige que los alumnos tengan que descubrir una regla general para determinar la cantidad de cuadraditos pintados en cada una de las vueltas. Según Godino (2003), este sería un contexto adecuado para iniciar a los alumnos en el razonamiento algebraico y funcional, ya que al descubrir y describir el modelo o patrón que sigue la secuencia mostrada en la tabla anterior, podrán determinar los valores que continúan en la secuencia. Una alumna de 5to. grado llega a la siguiente conclusión: Luego, utilizando esta regla determina que Marcela en la vuelta número 20 pintará 8x20 = 160 cuadraditos. Otra solución sería utilizando símbolos, tal como se muestra a continuación: Sean C = cantidad de cuadraditos en cada vuelta V = número de vueltas Luego, C = 8.V Como V = 20, entonces C = 8.20 = 160. Por tanto, en la vuelta número 20, Marcela pintará 160 cuadraditos. 13

16 En las dos soluciones mostradas, los alumnos llegan a una regla general para determinar la cantidad de cuadraditos (regla aplicable para cualquier cantidad de vueltas). La única diferencia en ambas soluciones es el uso o no de símbolos. Ante esto, es importante reflexionar sobre la introducción temprana del uso de símbolos algebraicos en la educación escolar, pues enfatizar el uso de estos símbolos sin una comprensión de los mismos podría generar una manipulación sin sentido por parte de los alumnos. Por esta razón, es importante asegurarnos que el alumno encuentre sentido a las fórmulas que pueda producir al generalizar, poniendo énfasis en que expliciten las reglas generales que obtengan, en lugar de insistir en el uso de símbolos. Es decir, debemos insistir en que el alumno sea consciente de los procesos o modos de pensamiento algebraico involucrados. Actividad 2 Esta actividad incluye tres problemas, que muestran cómo puede utilizarse el instrumento algebraico a través de un proceso progresivo. Problema 1: Piensa un número, súmale el doble de su consecutivo, suma 15 al resultado y finalmente resta el triple del número pensado inicialmente. Qué resultado se obtiene? Qué pasa si se cambia el número pensado inicialmente? Si bien este problema puede responderse parcialmente siguiendo las instrucciones, la justificación con las técnicas aritméticas para explicar por qué se obtiene siempre el mismo resultado no es trivial. Se hace necesario traducir el problema a una formulación escrita empleando una expresión algebraica (uso de paréntesis) y trabajar las técnicas de simplificación para poder resolver el problema. Sea n el número pensado, el cálculo se puede escribir como: ((n + 2(n + 1) + 15)-3n 14

17 Utilizando técnicas de simplificación, se obtiene: ((n+2(n+1))+15)-3n = ((n +(2n +2))+15)-3n = ((3n +2)+15)-3n = (3n +17)-3n = (3n -3n)+17 = 0+17 = 17 En esta parte, hay que tener cuidado porque al parecer los números negativos se hacen imprescindibles. Y esto implicaría que se introdujeran simultáneamente con la introducción del instrumento algebraico. Así por ejemplo, si un alumno piensa en el número 100 y sigue todas las instrucciones, obtiene lo siguiente: 100+2(101)+ 15-3(100) Si el alumno decide empezar la simplificación por 15-3(100), tendría que realizar una operación con números negativos. Problema 2: Marta piensa un número. Le suma el doble de su consecutivo, le resta 17 al resultado y finalmente divide todo entre 3. Si el resultado final es 8 unidades menor que el doble del número pensado, se puede determinar qué número pensó Marta? Notemos que la solución de este problema requiere no solo simplificar sino introducir el signo de igualdad y hacer operaciones para restituir el valor original del número (álgebra: al-jabr: restauración). Se requiere manipular un nuevo objeto matemático, la ecuación. Esto implicará hacer operaciones para convertirla en otra ecuación equivalente. A esto se le denomina cálculo ecuacional. Sea n el número pensado, el cálculo que hace Marta se puede escribir como: n + 2( n + 1) 17 3 Como no conocemos este resultado, no se obtiene ninguna respuesta. Pero, la condición del problema se expresa como la siguiente igualdad: n + 2( n + 1) 17 = 2n

18 Transformando los dos miembros de la igualdad, obtenemos una nueva ecuación equivalente a la anterior: n 5 = 2n 8 n = 2n n + 3 = 2n n n + 3 = 2n n 3 = n Es el mismo procedimiento que se siguió en el problema 1? Notemos que el grupo de problemas representado por el problema 1 está incluido en este grupo de problemas 2. Hay otros problemas como por ejemplo, hallar la altura h de un triángulo isósceles dada su área A y la longitud de sus lados iguales c. En este problema, es necesario resolver la siguiente ecuación bicuadrada en h: (2 A = 4 2 h c h 2 25 h ) h A 2 = 0 Problema 3: En un banco nos proponen el siguiente plan de inversiones: nos dan un 5% cada trimestre y nos descuentan el 1% al final del año por concepto de comisión. Cuál será el capital al final del año si la inversión inicial ha sido de 1000 soles? Y de aquí a 3 años? Qué capital inicial debería invertir para que este se hubiese triplicado al final del año? Qué porcentaje deberíamos negociar con el banco cada trimestre para duplicar el capital inicial a final de año? Cuánto tiempo ha de pasar para que el capital inicial se triplique? Para resolver este problema aparece la necesidad de modelizar algebraicamente el sistema planteado y el uso de técnicas algebraicas sofisticadas. 16

19 El modelo que permite resolver, no solo las cuestiones planteadas en este problema, sino futuras cuestiones a abordar, se sintetiza en la siguiente fórmula: C = C r d ) f 0 ( donde C 0 es el capital inicial, C f es el capital final obtenido, r es la rentabilidad que ofrece el banco (en este caso r = 1,05), d es el impuesto que el banco aplica (en este caso d = 0,99), k es el número de veces que se aplica la rentabilidad en un año (en este caso k = 4), s es el número de veces que se aplica el impuesto en un año (en este caso s = 1) y, finalmente, n es el número de años transcurridos. Resumiendo, se muestra que es posible hacer un planteamiento a nivel escolar donde el álgebra tenga una razón de ser, que no solo se limite a simplificar el trabajo aritmético mediante el cálculo ecuacional. Sino que sea interpretado como instrumento de modelización que permita tratar con diversos problemas (Godino y Font, 2003; Ruiz, 2004). k s n Referencias 1. Bosch, M., García, F., Gascón, J. y Ruiz, L. (2006). La modelización matemática y el problema de la articulación de la matemática escolar. Una propuesta desde la teoría antropológica de lo didáctico. Educación Matemática. 18 (2), Fripp, A. (2009) Álgebra en la escuela primaria? En: Quehacer educativo, N. 93. Federación Uruguaya de Magisterio - Trabajadores de Educación Primaria. Disponible en, ad980451_qe%2093%20008.pdf 3. García, F. (2007) El álgebra como instrumento de modelización. Articulación del estudio de las relaciones funcionales en la educación secundaria. Investigación en Educación Matemática XI, pp Godino, J. D. y Font, V. (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada. ISBN: [61 páginas; 1,8 MB] (Recuperable en, local/jgodino/) 17

20 5. Godino, J. D., Font, V. y Wilhelmi, M. R. (2008). Análisis didáctico de procesos de estudio matemático basado en el enfoque ontosemiótico. Publicaciones, Vol. 38: Ruiz, N., Bosch, M. y Gascón, J. (2004). La algebrización de los programnas de Cálculo Aritmético y la introducción del álgebra en secundaria. Disponible en, www4.ujaen.es/.../22%20-%20ruiz_bosch_gascon_congres_tad_2.pdf 18

21 19

22 E dición, diagramación e impresión ditorial HOZLO S.R.L. Psje. Santa Rosa Lima Telefax: guzlopster@gmail.com Esta edición consta de 0500 ejemplares Lima, agosto del

23

24