x a. Regla de Rufini. Identidades Notables. Radicales CONOCIMIENTOS MÍNIMOS MATEMÁTICAS 4 ESO (ACADÉMICAS) CONTENIDOS DESTREZAS Números y Álgebra

Transcripción

1 CONOCIMIENTOS MÍNIMOS MATEMÁTICAS 4 ESO (ACADÉMICAS) CONTENIDOS DESTREZAS Números y Álgebra Operaciones con enteros y fracciones. Números irracionales. Intervalos de la recta real Operaciones con potencias de exponente racional Reglas para operar con potencias y radicales. El logaritmo como operación inversa de la exponencial ( y a = x ó y = log x) Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Polinomios. Fracciones racionales División de un polinomio por x a. Regla de Rufini. Identidades Notables. Radicales Fracciones Racionales. Simplificación de fracciones. Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales con dos o tres incógnitas Inecuación. Inecuación de primer grado con una incógnita. Inecuación de segundo grado con una incógnita. Sistemas de inecuaciones con una y dos incógnitas Semejanza. Trigonometría a Operar con números reales usando la notación científica Manipulación de potencias y radicales. Se incluye la racionalización ogaritmo es sinónimo de exponente. Uso de las propiedades: log( x y) = log( x) + log( y) log( x/ y) = log( x) log( y) n log( x ) = n log( x) Planteo y resolución de problemas de aplicación. Operaciones con polinomios. Raíz de un polinomio. Cálculo del valor numérico de un polinomio Factorización de polinomios. Reducción de fracciones a común denominador. Suma y diferencia de fracciones. Producto y cociente de fracciones. Noción de solución. Planteo y resolución de problemas de aplicación expresados oralmente. Interpretación geométrica y análisis de la solución. Interpretación geométrica y análisis de la solución. Planteo y resolución de problemas de aplicación expresados oralmente. Interpretación geométrica y análisis de la solución. Teorema de Tales. Razón de semejanza. Escalas. Aplicaciones. 1

2 Semejanza. Medidas de ángulos. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Circunferencia goniométrica. Fórmula fundamental de la Trigonometría Reducción de un ángulo al primer cuadrante. Cálculo de los lados y ángulos de un triángulo rectángulo a partir de ciertos datos. Aplicaciones. Definición de radián y cambio de grados a radianes. Signo de un ángulo. Manejar las razones trigonométricas. Es necesario conocer la demostración de: 2 2 sen x + cos x = 1 Triangulación. Cálculo de perímetros y áreas de polígonos, circunferencia y círculo. Fórmulas para el cálculo de áreas y volúmenes de poliedros, figuras de revolución y esfera. Geometría Vectores Rectas Funciones Operaciones. Vector posición. Suma de vectores y multiplicación por un escalar, analítica y gráficamente. Distintas formas de la ecuación de la recta: explícita, paramétrica e implícita. Distancia entre dos puntos. Paralelismo y perpendicularidad de rectas. Mediatriz de un segmento. Definición de función. Dominio. Composición de funciones. Tasa de variación media. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. ímites de funciones. Asíntotas. Función exponencial y logarítmica. Gráfica de la función: bx y = Ca ( a > 1, b < 0, b > 0) Gráfica del logaritmo Estadística Variables unidimensionales Datos estadísticos, tabulación. Representación pictórica de datos estadísticos. y El alumno debe conocer las gráficas de y = ax+ b ; y = a/ x ; y = E( X) ; y = x 2 bx y = ax + bx + c; y = Ca, y las funciones definidas a trozos a partir de estas. Idea intuitiva de la noción de límite. Cálculo de límites. Estudio gráfico de la continuidad. Maneja las propiedades de la función exponencial = log a x Maneja las propiedades de la función logarítmica 2

3 Frecuencia y frecuencia relativa. Medidas de centralización: Moda, Mediana, Media. Medidas de dispersión: Rango, dispersión. Desviación media, Varianza, desviación típica, coeficiente de variación. Variables unidimensionales Probabilidad a probabilidad de aplace. Probabilidad condicionada. Sucesos independientes. Análisis de la información contenida en un diagrama estadístico Distribución de frecuencias. Histogramas y polígonos de frecuencias. Dados unos datos, el alumno debe saber calcular las medidas de centralización y dispersión. Representa conjuntamente dos variables usando una nube de puntos. Asocia el valor de la correlación al grado de ajuste de los puntos a la recta Manejar la definición Cálculo de la probabilidad de sucesos aplicando técnicas simples de recuento Diagrama de árbol de una composición de sucesos. Regla de la multiplicación. Probabilidad de la intersección de dos sucesos. ESTÁNDARES MÍNIMOS DE APRENDIZAJE PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS Analiza y comprende el enunciado de los problemas (datos, relaciones entre los datos, contexto del problema). Valora la información de un enunciado y la relaciona con el número de soluciones del problema. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas reflexionando sobre el proceso de resolución de problemas. Identifica patrones, regularidades y leyes matemáticas en situaciones de cambio, en contextos numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos y probabilísticos Profundiza en los problemas una vez resueltos: revisando el proceso de resolución y los pasos e ideas importantes, analizando la coherencia de la solución o buscando otras formas de resolución. Expone y defiende el proceso seguido además de las conclusiones obtenidas utilizando distintos lenguajes: algebraico, gráfico, geométrico, estadístico-probabilístico. Establece conexiones entre un problema del mundo real y el mundo matemático, identificando el problema o problemas matemáticos que subyacen en él y los conocimientos matemáticos necesarios. Usa, elabora o construye modelos matemáticos sencillos que permitan la resolución de un problema o problemas dentro del campo de las matemáticas. 3

4 Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre él y sus resultados. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad y aceptación de la crítica razonada. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a la dificultad de la situación. Distingue entre problemas y ejercicios y adopta la actitud adecuada para cada caso. Establece conexiones entre un problema del mundo real y el mundo matemático, identificando el problema o problemas matemáticos que subyacen en él y los conocimientos matemáticos necesarios. Usa, elabora o construye modelos matemáticos sencillos que permitan la resolución de un problema o problemas dentro del campo de las matemáticas. Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad. Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitaciones de los modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre él y sus resultados. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad y aceptación de la crítica razonada. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a la dificultad de la situación. Distingue entre problemas y ejercicios y adopta la actitud adecuada para cada caso. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscar respuestas adecuadas, tanto en el estudio de los conceptos como en la resolución de problemas. Toma decisiones en los procesos de resolución de problemas, de investigación y de matematización o de modelización, valorando las consecuencias de las mismas y su conveniencia por su sencillez y utilidad. Reflexiona sobre los problemas resueltos y los procesos desarrollados, valorando la potencia y sencillez de las ideas claves, aprendiendo para situaciones futuras similares. Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlos manualmente. Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas, mediante la utilización de medios tecnológicos. Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar y mejorar su proceso de aprendizaje recogiendo la información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas de mejora. NÚMEROS Y ÁGEBRA Números reales Expresa en forma decimal periódico cualquier número racional y en forma fraccionaria cualquier número decimal periódico. Clasifica números racionales y números irracionales, utilizando para ello la expresión decimal. Calcula aproximaciones decimales de números irracionales y opera con ellas evaluando en todo momento el error cometido. Ordena, y representa gráficamente en la recta real los números racionales e irracionales, utilizando para ello sus sucesivas aproximaciones decimales. CT CT CT CT 4

5 Representa en la recta real intervalos y semirrectas que se definen mediante una desigualdad algebraica, singularmente a través del CT valor absoluto Potencias y radicales Simplifica y ordena radicales, reduciéndolos a común índice CT Agrupa y simplifica expresiones radicales, extrayendo los factores que sea posible fuera del signo radical. CT Multiplica y divide radicales, halla potencias y radicales de un radical. Racionaliza fracciones. CT Utiliza las potencias y los radicales para resolver problemas relacionados con otras ciencias o con la vida cotidiana. Opera con números expresados en notación científica CT D A S P Reduce expresiones algebraicas utilizando las propiedades del cálculo de potencias y radicales CT ogaritmos Conoce y maneja la definición de logaritmo. CT Calcula logaritmos y antilogaritmos de números mediante la definición CT Opera con expresiones logarítmicas usando las correspondientes propiedades CT Utiliza potencias o logaritmos para resolver problemas relacionados con la vida real. Polinomios. Fracciones algebraicas Traduce a lenguaje algebraico enunciados relativos a números desconocidos o indeterminados. CT D A S P Expresa, por medio del lenguaje algebraico, relaciones o propiedades numéricas. CT D A Diferencia una identidad de una ecuación. Identifica el grado, el coeficiente y la parte literal de un monomio. Clasifica los polinomios y los distingue de otras expresiones algebraicas. Calcula el valor numérico de un polinomio e e interpreta las raíces analítica y gráficamente. Suma, resta, multiplica y divide con polinomios. Realiza la división de un polinomio entre un binomio aplicando la regla de Ruffini. Extrae factor común. Factoriza polinomios. Calcula el M.C.D. y el M.C.M. Aplica las fórmulas de los productos notables. Simplifica y opera con fracciones algebraicas Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de ecuaciones. Inecuaciones Resuelve ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores. Resuelve problemas usando ecuaciones de primer grado, en problemas relacionados con las otras ciencias y con la vida cotidiana: cantidades y números, edades, fuentes, trabajadores, relojes, geometría, móviles,.. Resuelve ecuaciones de segundo grado. CT D A S P C CT D A S P C CT D A S P C 5

6 Calcula el número de soluciones de una ecuación de segundo grado utilizando el discriminante de la ecuación. Resuelve ecuaciones de segundo grado incompletas, bicuadradas, irracionales y ecuaciones sencillas de grado superior a 2. Factoriza una ecuación de segundo grado. Relaciona la suma y el producto de las raíces con los coeficientes de la ecuación de segundo grado. Resuelve problemas en diversos contextos mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones de segundo grado. CT D A S P C Resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas aplicando los métodos de sustitución, reducción e igualación Resuelve sistemas de segundo grado con dos ecuaciones y dos incógnitas. Resuelve gráficamente un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas Resuelve problemas relacionados con las matemáticas, las ciencias o la vida cotidiana mediante un sistema de ecuaciones. CT D A S P C Resuelve analítica y gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas e interpreta su solución Resuelve analítica y gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones de segundo grado con una o dos incógnitas e interpreta su solución Funciones. ímites de Funciones. Continuidad Estudia los elementos fundamentales de una función, como dominio, simetría, acotación, crecimiento, etc., a través de su expresión algebraica o su representación gráfica, e interpreta los resultados obtenidos en cada caso. Dadas dos funciones, es capaz de operar con ellas e interpretar los resultados que se obtienen. Halla la función recíproca de una función dada. Transcribe una información a su expresión funcional y extrae conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades. Interpreta la tendencia de una función a la vista de su gráfica. CT D A S P C Identifica una función lineal por su pendiente. Calcula una función afín, determinando su pendiente y la ordenada en el origen.. Calcula límites por aplicación de sus propiedades y por otros métodos que permitan salvar las indeterminaciones e interpreta los CT D A resultados obtenidos en cada caso. Determina la continuidad de una función en un punto y clasificar sus posibles discontinuidades. CT D A Funciones potenciales y racionales Reconoce las funciones potenciales y racionales a través de sus expresiones algebraicas, estudiar algunos de sus elementos fundamentales, como el dominio y las posibles asíntotas, e interpretar gráficamente los resultados obtenidos. Identifica la expresión de una función cuadrática, determina sus elementos y la gráfica. 6

7 Identifica la expresión de una función de proporcionalidad inversa, dibuja su gráfica y calcula la razón de proporcionalidad. Identifica una hipérbola equilátera por su fórmula y la dibuja. Transcribe una información a su expresión funcional y extrae conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades. Funciones exponenciales y logarítmicas Reconoce las funciones exponenciales y logarítmicas a través de sus expresiones algebraicas, estudiar algunos de sus elementos fundamentales, como el dominio, valores que toman, el recorrido, el crecimiento y las posibles asíntotas y representarlas gráficamente. Obtiene la gráfica de una función logarítmica a partir de una función exponencial dada. Transcribe una información a su expresión funcional y extrae conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades. Calcula la tasa de variación de una función en un intervalo. Semejanza Obtiene gráficamente la figura homotética de una dada en una homotecia de razón y centro dados. Calcula longitudes y áreas aplicando el teorema de Tales, la razón de semejanza y los criterios de semejanza de triángulos Obtiene figuras semejantes de otras dadas. Calcula longitudes en un triángulo rectángulo aplicando los teoremas del cateto, de la altura y de Pitágoras. Opera con medidas de ángulos que estén expresados tanto en grados sexagesimales como en radianes. Trigonometría Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del cual se conoce una cualquiera de ellas. Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo con ayuda de las de otro que pertenece al primer cuadrante. Resolución de triángulos Resuelve triángulos rectángulos mediante la utilización del teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas y recíprocas de un CT ángulo. Calcula áreas de triángulos y figuras poligonales previamente trianguladas mediante las razones trigonométricas. Calcula las distancias geométricas y analiza situaciones topográficas mediante la resolución de triángulos, aplicando las herramientas adecuadas a cada caso. Geometría analítica Resuelve situaciones relacionadas con álgebra y la geometría de los vectores libres del plano. CT Resuelve situaciones geométricas que requieran calcular los elementos homólogos en una traslación, en forma geométrica o CT algebraica. CT D A S P C CT D A S P C CT D A S P C 7

8 Resuelve situaciones relacionadas con el entorno físico y artístico que requieran la utilización del método de los vectores. Halla la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. CT Estudia la posición relativa de dos rectas. Encuentra rectas paralelas y perpendiculares a una recta dada. CT Resuelve situaciones geométricas que requieran cálculo de rectas y distancias. CT Estadística Elabora tablas estadísticas que incluyan las frecuencias absolutas y relativas, sus correspondientes acumuladas e interpretar los resultados obtenidos. Representa las distribuciones estadísticas valiéndose del diagrama de barras, polígono de frecuencias, diagrama de sectores e CT D A S P histograma. Interpreta las distribuciones estadísticas valiéndose del cálculo de los diferentes parámetros de centralización y dispersión. CT D A S Estima el número de datos de una cierta distribución estadística que CT D A S x ks, x + ks. están dentro de los intervalos ( ) CT C CT D A S P C Distribuciones bidimensionales Representa conjuntamente dos variables usando una nube de puntos CT D A S Asocia el valor de la correlación al grado de ajuste de los puntos a la recta CT D A Combinatoria. Técnicas de recuento Identifica y resuelve situaciones de recuento por medio, según convenga, de variaciones, permutaciones o combinaciones. D A S Resuelve ecuaciones en las que intervienen la terminología de la combinatoria y cálculo de números combinatorios por la aplicación CT D A de sus propiedades Desarrolla el binomio de Newton para casos determinados y obtiene el término correspondiente de dicho binomio, en función del lugar que ocupe. CT D A Utiliza el diagrama de árbol para analizar y contar los posibles resultados de un proceso. CT D A S P Cálculo de probabilidades Identifica el espacio de sucesos asociado a un experimento, con un número finito de posibles resultados. CT D A S P Resuelve problemas de operaciones con sucesos y su probabilidad aplicando las propiedades de la probabilidad. CT D A S P Resuelve problemas de experimentos simples. CT D A Resuelve problemas de experimentos compuestos aplicando la regla del producto y de la suma. CT D A Índice de abreviaturas usadas en para las competencias clave. Competencia en comunicación lingüística (). Subcompetencia básica en ciencia y tecnología (CT). Competencia digital (D). Competencia para aprender a aprender (A). sociales y cívicas (S). Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (P). Conciencia y expresiones culturales (C). 8