1 Antecedentes y definiciones previas

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1 Apuntes para la charla La Radiacion de Cuerpo Negro en Astrofisica Estelar. Tabare Gallardo, Catedra Alicia Goyena, 15 de mayo de Antecedentes y definiciones previas 1859 Kirchhoff: radiacion de cuerpo en equilibrio termico 186 Kirchhoff y Bunsen: leyes de radiacion 1879 Stefan: obtencion empirica del flujo total 1893 Wien: ley de desplazamiento 1896 Zeeman: efecto y aplicacion al estudio de manchas solares 19 Planck: deduccion teorica de la radiacion de cuerpo negro 196 Schwarzschild: teoria de campos de radiacion estacionarios 1911 Rutherford: modelo de atomo de nucleo y nube de electrones 1913 Bohr: atomo de H 1916 Eddington: teoria de la constitucion interna de las estrellas 1. Distancia angular medida en radianes. dθ = dl r Figura 1 2. Angulo solido medido en steradianes. 3. Relacion dλ dν: Dado que entonces debiendose cumplir dω = da = dθ dϕ sin θ r2 λν = c dλ ν + λ dν = I ν dν = I λ dλ 2 Superficie estelar emisora Figura 2 INTENSIDAD de(ν, θ) = I(ν, θ) dt dν dω da cos θ La intensidad puede definirse como el factor de proporcionalidad en la ecuacion o como la energia emitida en la direccion normal a la superficie emisora por unidad de area, de tiempo, de frecuencia y de angulo solido. DENSIDAD DE FLUJO Si sumamos la energia emitida (por unidad de area, tiempo y frecuencia) en todas direcciones tendremos la Densidad de Flujo que atraviesa la superficie emisora: 1

2 integramos en dω F (ν) = de(ν, θ) = I(ν, θ) cos θ dω dν da dt I(ν, θ) cos θ dω = 2π I(ν, θ) cos θ sin θdθ Densidad de Flujo SALIENTE ( θ π/2) de emisor isotropo (justificacion de isotropia: aleatoriedad de la direccion de salida de los fotones) F (ν) = I(ν) π/2 cos θ sin θdθ = I(ν) π Densidad de Flujo INTEGRADO en ν F = F (ν)dν LUMINOSIDAD (estrella esferica) L = F da = F da = 4π R 2 F S S 3 EQUILIBRIO TERMICO Y ETL 1. NUBE DE GAS (a) NO EQUILIBRIO TERMICO camino libre medio de los atomos demasiado grande en relacion al tamaño de la nube de gas, la energia no llega a distribuirse entre todos los atomos, no hay una temperatura uniforme en la nube (b) EQUILIBRIO TERMICO camino libre medio pequeño: la energia se distribuye entre todos los atomos, la temperatura es uniforme, la distribucion de velocidades de los atomos sigue una maxwelliana 2. NUBE DE GAS + RADIACION ELECTROMAGNETICA (a) NO EQUILIBRIO camino libre medio de los fotones demasiado grande en relacion al tamano de la nube gaseosa: T gas T rad Ejemplo 1: atmosfera terrestre (T = 3K) atravesada por la radiacion solar de T = 6K. Ejemplo 2: corona solar, T e >> T iones >> T rad (b) EQUILIBRIO TERMICO camino libre medio de los fotones pequeño, la energia de la radiacion se distribuye en el medio logrando el equilibrio de temperaturas entre el gas y los fotones. La intensidad de la radiacion resultante para cierta frecuencia ν esta dada por la ley de Planck. EQUILIBRIO TERMICO LOCAL = equilibrio termico en capas concentricas 2

3 La observacion y la teoria concuerdan en que las estrellas a grosso modo estan formadas por capas gaseosas concentricas en equilibrio termico. La intensidad de la emision resultante de un medio como este es la funcion de Planck la cual es independiente de las propiedades del medio, solo depende de su temperatura (aunque T dependera de las propiedades del medio): y la densidad de flujo integrado de donde resulta: F = I(ν) = B(ν, T ) = 2h c 2 ν 3 e hν/kt 1 F (ν)dν = πb(ν, T )dν = σt 4 L = 4π R 2 F = 4π R 2 σt 4 La temperatura deducida a traves de esta expresion se conoce como Temperatura Efectiva de la estrella y se requiere conocer el radio y la luminosidad de la estrella. En realidad la radiacion que recibimos es la suma de emisiones de diferentes capas superficiales a diferentes temperaturas pero el efecto total es equivalente al de una capa de temperatura T ef. La observacion de la intensidad (F (ν)/π) de las estrellas en funcion de la frecuencia concuerda muy bien con la curva de Planck. Ajustando las curvas de emision estelares a las de Planck podemos estimar las temperaturas (Temp de brillo, Temp de color) de las superficies que generan esa emision observada. Luego podemos deducir el radio estelar. 4 Radiacion recibida propagada en el vacio Sea un haz de fotones propagandose dentro de un angulo solido dω: Figura 3 dω = da 1 r 2 1 = da 2 r 2 2 F (r 1 ) da 1 = F (r 2 ) da 2 = constante F (r 1 ) r 2 1 = F (r 2 ) r 2 2 Ejemplo: F : densidad de flujo superficial del Sol R : radio del Sol densidad de flujo a una distancia r del centro solar: F (r) = F R 2 r 2 Si r = 1 UA, entonces F (r = 1) es la constante solar. Escala de magnitudes utilizada en Astronomia (Pogson, 1856): m m = 2.5 log F F 3

4 5 Aplicacion: temperatura de planetas y asteroides Figura 4 ALBEDO BOND A = E reflejada E incidente Energia total absorbida por asteroide: donde E abs = F R 2 r 2 πr2 (1 A) F = σt 4 Energia total reemitida por asteroide: E em = 4πR 2 σt 4 eq Si el asteroide se encuentra a temperatura constante quiere decir que toda la energia absorbida es reemitida: E abs = E em T eq = T ( R r ) 1 1 A 2 ( 4 ) 1 4 Figura 5 Espectro de emision teorica del asteroide donde espectro observado = emision + reflexion F (ν) = πb(ν, T eq ) T eq T Figura 6 RADIOMETRIA Calculada la T eq y midiendo la densidad de flujo recibida en la Tierra proveniente de la reemision del asteroide despejamos el radio, R, del asteroide. F infrar = E em 4π 2 = R2 σteq 4 2 Figura 7 4

5 6 Radiacion a traves de un medio absorbente Figura 8 Si el medio no fuera absorbente F 1 r1 2 = F 2 r2 2 y ademas I 1 = I 2 La absorcion del medio es caracterizada por la funcion OPACIDAD: α(ν) que es el inverso del camino libre medio del foton: l = 1/α. La disminucion de la intensidad debido a la opacidad del medio esta dada por: Definimos el ESPESOR OPTICO τ(ν): entonces cuya solucion es di = I α dr dτ = α dr di I = dτ I(ν, τ) = I(ν, ) e τ EJEMPLO: absorcion de la atmosfera terrestre. y por definicion m m = 2.5 log F F = 2.5 log I I = 2.5 log(e τ ) = τ 2.5 log e m m = X k donde k es el coeficiente de extincion del lugar (para el OALM es k.2 en la region del visible) y X 1/ cos z la masa de aire que atraviesa el rayo luminoso. Como ademas resulta entonces: 2.5 log e 1 τ k cos z m m Significado de τ: Supongamos una capa gaseosa homogenea de espesor optico τ y espesor lineal r. Tendremos que el camino libre medio de los fotones que atraviesan la capa sera: 1 α = r τ 5

6 Si τ > 1 el camino libre medio sera inferior a r, es decir, lo mas probable es que el foton sea absorbido. Pero si τ < 1, los fotones en promedio logran atravesar la capa. De aqui concluimos que la mayor parte de la radiacion que recibimos es generada a profundidades opticas τ 1 Vease que en general en el visible nuestra atmosfera cumple τ k cos z < 1 o sea, nuestra atmosfera es opticamente delgada en el visible por eso vemos las estrellas!!. En otras regiones del espectro nuestra atmosfera es altamente opaca. Una capa gaseosa puede presentar un espesor optico grande debido a una alta opacidad (que depende de la composicion quimica, temperatura y densidad) o debido a un gran tamaño. Figura 9 7 Generacion del continuo y lineas En el nucleo estelar se generan rayos gamma, de alguna manera en el interior de la estrella esta radiacion se transforma en un espectro continuo hasta la region de radio. Apenas un rayo gamma es liberado este entrega su energia a un nucleo atomico o a un electron por medio de una colision. La interaccion de la radiacion con la materia es tan fuerte que un foton requiere cientos de miles de años para lograr salir a la superficie. El material es altamente opaco. La opacidad es fundamental pues si no existiera las estrellas brillarian exclusivamente en la region de rayos gamma. Depende de los elementos quimicos presentes (mas o menos similares en todas las estrellas) y de su estado de excitacion electronico (esto depende de la T de la estrella). En temperaturas relativamente bajas (atmosferas) con abundancia de atomos neutros predominan las absorciones debidas a transiciones entre niveles energeticos. Pero si la temperatura es alta (nucleo) y el material esta completamente ionizado es posible absorber un continuo de longitudes de onda por parte de los electrones libres. Las lineas unicamente se generan por transiciones entre niveles y no son lineas ideales de ancho infinitesimeal sino que presentan perfiles debido a: agitacion del gas (Doppler), presencia de subniveles, ppio. de incertidumbre (ancho natural), movimientos de la estrella, densidad del gas (las colisiones alteran el ancho natural), etc. En las estrellas de baja densidad (gigantes) las lineas de absorcion son finas, en cambio en las de alta densidad (secuencia principal) son mas anchas. 8 Ecuacion de transferencia radiativa Dijimos que las estrellas radian como cuerpo negro, pero la temperatura decrece desde el centro hacia la superficie de la estrella constatandose un flujo neto de energia hacia afuera. Evidentemente no hay equilibrio termico en el total de la estrella. El equilibrio termico en realidad ocurre en capas concentricas de igual temperatura: es el Equilibrio Termico Local (ETL). La energia generada en el nucleo estelar podria ser transportada hacia afuera por conduccion, conveccion o radiacion. La ecuacion de transferencia nos indica como la energia se transporta bajo un regimen radiativo: En funcion de τ resulta: di ν (r) = I ν (r) α ν (r) dr + j ν (r) dr di ν (τ) = I ν (τ) + S ν (τ) dτ de donde podriamos obtener I ν (τ) si conocieramos S ν (τ) = j ν α ν 6

7 llamada funcion fuente. En riguroso equilibrio termico tenemos lo que implica di ν (τ) dτ = I ν (τ) = S ν (τ) = B ν (T (τ)) En Astrofisica Estelar asumimos ETL que implica S ν (τ) = B ν (T (τ)) pero diν(τ) dτ. Para poder encontrar la solucion I ν (τ) es necesario conocer T (τ). Si no hubiera absorcion en vez de ver la fotosfera veriamos el nucleo de la estrella. Si no hubiera emision S ν (τ) = j ν α ν = y la solucion seria, como ya lo vimos, una disminucion de la intensidad con el espesor optico: I ν (τ) = I ν () e τ PROFUNDIDAD OPTICA: cuando desde nuestro punto de observacion intentamos penetrar en un medio nos enfrentamos a la profundidad optica del medio. Se mide desde cero en la superficie, creciendo hacia el interior. En ETL y a partir de la ecuacion de transferencia podemos deducir que la intensidad total observada hasta una profundidad optica τ esta dada aproximadamente por I ν (τ) τ B ν (T )e t dt y si suponemos que en toda esa capa la temperatura es constante obtenemos las siguientes soluciones aproximadas para los casos extremos con τ muy grande o muy pequeño: I ν (τ) τ ν B ν (T ) (τ 1) I ν (τ) B ν (T ) (τ 1) lo cual nos permite definir la FOTOSFERA: la intensidad observada se origina a una profundidad optica no mas alla de τ ν = 1. La radiacion generada a una profundidad optica mayor habra sido muy absorbida al atravesar el medio y practicamente no llega nada hasta nosotros. 9 Lineas de absorcion τ L τ C 1 I L (T L ) I C (T C ) < 1 Observese que aun siendo lineas de absorcion no son de intensidad cero. Por el contrario hay emision, solo que de intensidad menor. Esto implica que dicha intensidad fue generada en una region a menor temperatura que las demas lineas que constituyen el continuo del espectro. Menor temperatura implica una region de la estrella mas alejada del centro, es decir una capa mas exterior. Como es posible que en el continuo observe una capa bien definida (T definida) de la estrella y en la linea observo una mas exterior? Esto es posible cuando el medio es mas opaco en la linea de absorcion. Como lo que observamos proviene de τ 1 para todas las ν, este valor ocurrira para la linea de absorcion en una region mas superficial (a menor T) que en el resto del espectro. 7

8 1 Oscurecimiento de borde y definicion de radio La fotosfera es la mejor definicion que tenemos para superficie estelar. Debemos precisar el concepto de radio. Hacia los bordes del disco solar la radiacion que observamos proviene de capas de τ 1 puesto que alli la densidad es cada vez menor y no se alcanza el valor τ = 1. Para los bordes vale entonces la expresion I ν (τ) τ ν B τ (T ) la intensidad disminuye con la profundidad optica. Alli donde la profundidad optica cae abruptamente tendremos una caida abrupta de I ν y por lo tanto notaremos un limbo o borde. Este borde claramente depende de la frecuencia de la radiacion. BIBLIOGRAFIA 1. Unsold y Baschek, El Nuevo Cosmos 2. Karttunen y otros, Fundamental Astronomy 3. Dina Prialnik, Stellar Structure and Evolution 4. Martin Harwit, Astrophysical Concepts 5. extensa lista con recursos en internet Capitulo de Evolucion e Interiores Estelares, Kepler de Souza gallardo/g22.pdf, estos apuntes. 8