Matemáticas CC.SS. I. Estadística Unidimensional. Nombre y

Transcripción

1 Matemáticas CC.SS. I Estadística Unidimensional Nombre y Curso: 1

2 Qué es la estadística descriptiva? cómo manejamos los datos? qué conclusiones obtenemos? 2

3 Características de una muestra representativa Población: conjunto de elementos sobre los que se estudian propiedades o caracteres. Exhaustiva: si se considera a la totalidad de los individuos de una población Observación Aleatorio simple todos los elementos tienen asignada la misma probabilidad de ser elegidos tomando una Muestra: Aleatorio por estratos consiste en clasificar previamente a la población en clases o estrasos y de ellos obtener muestras aleatorias Aleatorio por conglomerados es en esencia el mismo sistema que el anterior con la diferencia de que ahora la población se divide en clases con deteminados caracteres comunes entre ellas (conglomerados) 3

4 Variables estadísticas unidimensionales Qué tipos de propiedades o caracteres se estudian? Cualitativos Modalidades Caracteres Cuantitativos Variables estadísticas Variables discretas cuando toma un número finito de valores Variables continuas cuando puede tomar todos los valores de cierto intervalo 4

5 Variables estadísticas. Frecuencias. Definiciones Variable Estadística aplicación que a cada propiedad le hace corresponder un número, es decir, su medida. Frecuencia absoluta número de individuos que toman un determinado valor de una variable estadística. Frecuencia absoluta acumulada suma de las frecuencias absolutas de todos los valores menores o iguales que él. Frecuencia relativa razón entre la frecuencia absoluta y el número total de datos o tamaño de la población. Frecuencia relativa acumulada suma de las frecuencias relativas de todos los valores menores o iguales que él. xi ni Ni fi=ni/n Fi=Ni/N 5

6 Tablas para variables cuantitativas discretas o Tratamiento individual Ejemplo: Las notas de 20 alumnos de una clase son: 4, 3, 3, 5, 6, 7, 9, 0, 5, 4, 9, 10, 2, 7, 2, 2, 5, 6, 5, 0 Valor de la variable Frecuencia absoluta Frecuencia absoluta acumulada Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada xi recuento ni Ni fi Fi 0 II 2 2 2/20 2/ /20 2 III 3 5 3/20 5/20 3 II 2 7 2/20 7/20 4 II 2 9 2/20 9/20 5 IIII /20 13/20 6 II /20 15/20 7 II /20 17/ /20 17/20 9 II /20 19/20 10 I /20 20/20 6

7 Tablas para variables cuantitativas discretas o Tratamiento individual Ejemplo: Las notas de 20 alumnos de una clase son: 4, 3, 3, 5, 6, 7, 9, 0, 5, 4, 9, 10, 2, 7, 2, 2, 5, 6, 5, 0 xi recuento ni Ni fi Fi 0 II 2 2 0,10 0, ,10 2 III 3 5 0,15 0,25 3 II 2 7 0,10 0,35 4 II 2 9 0,10 0,45 5 IIII ,20 0,65 6 II ,10 0,75 7 II ,10 0, ,85 9 II ,10 0,95 10 I ,05 1,00 N=Σni=20 Σfi=1 7

8 Ejercicio: En un Instituto hay matriculados 2200 alumnos que se distribuyen por edades en la forma siguiente: 215 de 14 años, 437 de 15, 421 de 16, 396 de 17, 512 de 18, 124 de 19 y 95 de 20. Formar la tabla de distribución y de frecuencias, que incluya frecuencias acumuladas. xi ni Ni fi Fi Σ 8

9 Ejercicio: En un Instituto hay matriculados 2200 alumnos que se distribuyen por edades en la forma siguiente: 215 de 14 años, 437 de 15, 421 de 16, 396 de 17, 512 de 18, 124 de 19 y 95 de 20. Formar la tabla de distribución y de frecuencias, que incluya frecuencias acumuladas. xi ni Ni fi Fi ,0977 0, ,1986 0, ,1913 0, ,1800 0, ,2327 0, ,0564 0, , Σ ,000 9

10 Tablas para variables cuantitativas continuas o Tratamiento por clases Cuando en una población o muestra existen muchos valores diferentes, aunque se pierda información se divide el intervalo de variación (= recorrido) en subintervalos (suele haber entre 7 y 10). Definiciones y fórmulas: clase cada subintervalo definido por sus extremos amplitud de clase distancia entre los extremos marca de clase punto central 10

11 Ejemplo: En una clase se toma una muestra de tamaño 30 con el peso de los alumnos de un aula determinada, obteniéndose los siguientes datos medidos en kg: 71.9, 63.9, 62.3, 72.5, 78.0, 70.7, 71.4, 60.5, 60.9, 68.2, 88.5, 76.1, 82.1, 63.7, 79.8, 67.5, 50.1, 69.5, 66.1, 47.3, 72.1, 59.8, 93.7, 80.7, 61.2, 64.3, 53.7, 74.7, 96.3, intervalo xi recuento ni Ni fi Fi [45, 55) 50 III 3 3 0,1000 0,1000 [55, 65) 60 IIIII III ,2667 0,3667 [65, 75) 70 IIIII IIIII I ,3667 0,7333 [75, 85) 80 IIIII ,1667 0,9000 [85, 95) 90 II ,0667 0,9667 [95, 105) 100 I ,0333 1,0000 Σ 30 1,

12 Ejercicio: El número de personas que viven en cada uno de los portales de una gran barriada es: 68, 69, 69, 88, 74, 75, 76, 90, 76, 91, 64, 80, 51, 55, 87, 104, 63, 54, 63, 56, 65, 56, 66, 67, 97, 98, 99, 80, 56, 58, 69, 108, 70, 93, 71, 73, 76, 77, 59, 77, 90, 58, 76, 67, 78, 98, 65, 102, 82, 84, 86, 87, 87, 88, 69, 58, 95, 70, 97, 80, 78, 95, 90, 112, 100, 80, 58, 106, Construye una tabla de frecuencias realizando un tratamiento por clases. mín: 51 Máx: 112 Rec: = 61 7 intervalos? intervalo xi recuento ni Ni fi Fi [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120) Σ 12

13 Ejercicio: El número de personas que viven en cada uno de los portales de una gran barriada es: 51, 54, 55, 56, 56, 56, 58, 58, 58, 58, 59, 63, 63, 64, 65, 65, 66, 67, 67, 68, 69, 69, 69, 69, 70, 70, 71, 73, 74, 75, 76, 76, 76, 76, 77, 77, 78, 78, 80, 80, 80, 80, 82, 84, 86, 87, 87, 87, 88, 88, 90, 90, 90, 91, 93, 95, 95, 97, 97, 98, 98, 99, 100, 102, 104, 106, 108, 112, xmín: 51 xmáx: 120 Rec: = 69 7 intervalos de amplitud 10? intervalo xi ni Ni fi Fi [50, 60) ,1618 0,1618 [60, 70) ,1912 0,3529 [70, 80) ,2059 0,5588 [80, 90) ,1765 0,7353 [90, 100) ,1765 0,9118 [100, 110) ,0735 0,9853 [110, 120) ,0147 1,0000 Σ 68 1,

14 Representaciones gráficas según tipo de variable y tratamientos 110 Cualitativos 82,5 Fútbol Baloncesto Yudo Gimnasia rítmica Voleibol Waterpolo 55 27,5 0 Variables discretas Caracteres 25 Cuantitativos 0 Variables continuas

15 Variable Cualitativa. Representación gráfica. Sector circular Ejemplo: Al estudiar el deporte preferido de 127 alumnos se obtuvo la siguiente información: ni fi Fútbol 40 0,3150 Baloncesto 27 0,2126 Yudo 9 0,0709 Gimnasia rítmica Voleibol 11 0, ,1260 Waterpolo 24 0,1890 TOTAL Fútbol Baloncesto Yudo Gimnasia rítmica Voleibol Waterpolo

16 Tratamiento Individual. Representación gráfica. Diagrama de barras + Polígonos de frecuencias Ejemplo: Al estudiar el número de hermanos en 20 familias se obtuvo la siguiente información: Frecuencia acumulada Frecuencia absoluta nº de hermanos nº de hermanos 16

17 Tratamiento por clases. Histograma de frecuencias Histograma de frecuencias Ejemplo: Al estudiar los porcentajes de territorio dedicados a zonas boscosas en 12 países, se agruparon los datos en 5 intervalos de clase y se obtuvo la siguiente información: 5 Clase [5, 10) [10, 15) Marca de clase 7,5 12,5 4 5 n i f i 1/3 5/ [15, 20) [20, 25) [25, 30) 17,5 22,5 26, /12 0 1/ [5, 10) [10. 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) 17

18 Parámetros unidimensionales de centralización Tratamiento individual Tratamiento por clases Media <x> Mediana Me Ordenados los datos de menor a mayor, la mediana es el valor de la distribución que divide a los datos en dos partes iguales. Ordenados los datos de menor a mayor, la clase medianal es aquella que contiene el valor de la distribución tal que divide a los datos en dos partes iguales. Moda Mo La moda es el dato con mayor frecuencia. Obs: da lo mismo que sea absoluta o relativa. La Clase modal es aquella con mayor frecuencia. Y la moda su marca de clase 18

19 Parámetros unidimensionales de dispersión Tratamiento individual Tratamiento por clases en k subintervalos Recorrido Rec Desviación media dm Varianza σ 2 Desviación típica o estándar σ Coeficiente de variación CV 19

20 Agrupaciones de datos en torno a la media En distribuciones con una sola moda y bastante simétricas se verifica que: En el intervalo están el % de datos (x-σ, x+σ) 68% (x-2σ, x+2σ) 95% (x-3σ, x+3σ) 99% 20

21 Tratamiento individual: Obtención de los parámetros de centralización y de dispersión de las tablas 21

22 Tratamiento individual: Obtención de los parámetros de centralización de las tablas xi ni Ni fi Fi xi ni ,0977 0, ,1986 0, ,1913 0, ,1800 0, ,2327 0, ,0564 0, ,0432 1, Σ , media 16,6 La media aritmética de la tabla. En el ejemplo: <x>=16,6 se obtiene

23 Tratamiento individual: Obtención de los parámetros de centralización de las tablas xi ni Ni fi Fi xi ni ,0977 0, ,1986 0, ,1913 0, ,1800 0, ,2327 0, ,0564 0, ,0432 1, Σ , media 16,6 La media aritmética de la tabla. En el ejemplo: <x>=16,6 se obtiene Como la moda es el valor de la variable que más se repite, se mira cual es el que tiene la frecuencia mayor. En el ejemplo: fi =0,2327, Mo = 18

24 Tratamiento individual: Obtención de los parámetros de centralización de las tablas xi ni Ni fi Fi xi ni ,0977 0, ,1986 0, ,1913 0, ,1800 0, ,2327 0, ,0564 0, ,0432 1, Σ , media 16,6 La media aritmética de la tabla. En el ejemplo: <x>=16,6 se obtiene Como la moda es el valor de la variable que más se repite, se mira cual es el que tiene la frecuencia mayor. En el ejemplo: fi =0,2327, Mo = 18 Como la mediana es el valor de la variable que divide en dos la lista de datos ordenados de menor a mayor, se busca el que tenga el primer valor con frecuencia relativa mayor al 50 % = 0,5. En el ejemplo: Fi =0,6677, Me = 17 24

25 Tratamiento individual: Obtención de los parámetros de dispersión de las tablas xi ni xi ni xi-<x> xi 2 ni n 557, , , , , , , Σ med ia 16,6 1,37 277,88 La desviación média, dm, se obtiene directamente de la tabla. En el ejemplo: dm = 1,37. 25

26 Tratamiento individual: Obtención de los parámetros de dispersión de las tablas xi ni xi ni xi-<x> xi 2 ni n 557, , , , , , , Σ med ia 16,6 1,37 277,88 La desviación média, dm, se obtiene directamente de la tabla. En el ejemplo: dm = 1,37. La varianza, σ 2, se obtiene con datos de la tabla: En el ejemplo: La desviación típica o estándar, σ, se obtiene sacando la raíz cuadrada de la varianza En el ejemplo: Para el coeficiente de variación se sustituye en la fórmula: 26

27 27

28 Tratamiento por clases: Obtención de los parámetros de centralización y de dispersión de las tablas 28

29 Tratamiento por clases: Obtención de los parámetros de centralización de las tablas intervalo xi ni Ni fi Fi xi ni [50, 60) ,1618 0, [60, 70) ,1912 0, [70, 80) ,2059 0, [80, 90) ,1765 0, [90, 100) ,1765 0, [100, 110) ,0735 0, [110, 120) ,0147 1, Σ 68 1, media 77,9 La media aritmética de la tabla. En el ejemplo: <x>=77,9 se obtiene 29

30 Tratamiento por clases: Obtención de los parámetros de centralización de las tablas intervalo xi ni Ni fi Fi xi ni [50, 60) ,1618 0, [60, 70) ,1912 0, [70, 80) ,2059 0, [80, 90) ,1765 0, [90, 100) ,1765 0, [100, 110) ,0735 0, [110, 120) ,0147 1, Σ 68 1, media 77,9 La media aritmética de la tabla. En el ejemplo: <x>=77,9 se obtiene Como la clase modal es la que más se repita, se mira cual es la que tiene la frecuencia mayor. Ej.: fi=0,2059, Mo = 75, Clase Modal =[70,80). 30

31 Tratamiento por clases: Obtención de los parámetros de centralización de las tablas intervalo xi ni Ni fi Fi xi ni [50, 60) ,1618 0, [60, 70) ,1912 0, [70, 80) ,2059 0, [80, 90) ,1765 0, [90, 100) ,1765 0, [100, 110) ,0735 0, [110, 120) ,0147 1, Σ 68 1, media 77,9 La media aritmética de la tabla. En el ejemplo: <x>=77,9 se obtiene Como la clase modal es la que más se repita, se mira cual es la que tiene la frecuencia mayor. Ej.: fi=0,2059, Mo = 75, Clase Modal =[70,80). Como la clase medianal es aquella que contiene el valor de la distribución tal que divide a los datos en dos partes iguales a los datos ordenados de menor a mayor, se busca aquella que tenga el primer valor con frecuencia relativa mayor al 50 % = 0,5. Ej.: Fi = 0,5588, Clase Medianal = [70, 80), y la Mediana se calcula con la fórmula: 31

32 Tratamiento por clases: Obtención de los parámetros de centralización de las tablas intervalo xi ni xi ni xi-<x> xi 2 ni ni [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120) Σ media 77,9 13,6 6327,9 La desviación média, dm, se obtiene directamente de la tabla. En el ejemplo: dm = 13,6. 32

33 Tratamiento por clases: Obtención de los parámetros de centralización de las tablas intervalo xi ni xi ni xi-<x> xi 2 ni ni [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120) Σ media 77,9 13,6 6327,9 La desviación média, dm, se obtiene directamente de la tabla. En el ejemplo: dm = 13,6. La varianza, σ 2, se obtiene con datos de la tabla: En el ejemplo: La desviación típica o estándar, σ, se obtiene sacando la raíz cuadrada de la varianza En el ejemplo: 33

34 Percentiles, Cuartiles y Deciles Percentil K: Se llaman percentiles a 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Cuartil t: Se llaman cuartiles a 3 valores que dividen la serie de datos en 4 partes iguales. Decil m: Se llaman deciles a 9 valores que dividen la serie de datos en 10 partes iguales. 34

35 Ejercicios de Estadística Unidimensional 1.- Dada la siguiente lista de datos: 2, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 6, 3, 5, 3, 6, 3, 4, 3, 3, 5, 3, 4, 5, 4, 5, 4, 6. a) Construye la tabla de frecuencias b) Halla todas las medidas de centralización c) Halla todas las medidas de dispersión d) Indica el intervalo donde encontraríamos el 68 % de los datos, el 95 % y el 99 %. 2.- Di qué parámetro de la distribución de renta de un país describe mejor: a) La situación de la mayoría de la población. b) La riqueza global del país. 3.- Haz un histograma de frecuencias, usando siete intervalos de amplitud 50, para la siguiente tabla de datos de la ayuda per cápita (en dólares) concedida por los 21 países donantes para la cooperación internacional. Australia 59 Alemania 87 Noruega 308 Austria 72 Irlanda 51 Portugal 25 Bélgica 88 Italia 33 España 34 Canadá 64 Japón 79 Suecia 222 Dinamarca 342 Luxemburgo 226 Suiza 148 Finlandia 81 Holanda 212 Reino Unido 55 Francia 125 Nueva Zelanda 38 EE.UU

36 Ejercicios de Estadística Unidimensional 4.- Han transcurrido los siguientes intervalos de tiempo (en minutos) entre los pasos, por una parada de autobuses consecutivos de una línea: 10, 15, 13, 20, 15, 10, 21, 12, 10, 16 y 14. Calcula la media y la desviación típica. Cuál de los dos parámetros estima mejor la regularidad del servicio? Cuál sirve para medir mejor la frecuencia del servicio? 5.- Los siguientes datos son los tantos por ciento de la renta total de cada país recibida por mujeres y hombres. a) Calcula la media de porcentajes para hombres y para mujeres. b) Compara las medias. Qué te sugiere el resultado sobre la igualdad de derechos de hombres y mujeres? Mujeres Hombres EE.UU. 40,0 60,0 España 29,4 70,6 Cuba 31,1 68,9 China 38,1 61,9 Pakistán 20,8 79,2 Senegal 35,7 64,3 6.- Sabes que el peso medio de un grupo de 50 personas es de 65 kg. a) Si se incorporara una persona que pesa 65 kg. Cuál sería el nuevo peso medio? b) Cuál sería el nuevo peso medio si la persona que se incorporara pesara 70 Kg? c) Te dicen que la persona incorporada es un adulto, y baja la media a 64 kg. Verdadero o falso? 7.- Halla media, mediana, moda, desviación típica y varianza de las dos siguientes listas de datos: a) 1, 11, 12, 13, 23; b) 1, 1, 11, 11, 12, 13, 13, 23, 23. Justifica la igualdad o diferencia entre los parámetros estadísticos de ambas listas. 36

37 8.- Se ha realizado la misma prueba en dos colegios. En ella se hacían 130 preguntas a los alumnos. En las tablas adjuntas se resumen los datos obtenidos. Colegio A Colegio B nº preguntas acertadas nº de alumnos nº preguntas acertadas nº de alumnos [70, 80) 29 [70, 80) 45 [80, 90) 138 [80, 90) 138 [90, 100) 140 [90, 100) 207 [100, 110) 86 [100, 110) 101 [110, 120) 34 [110, 120) 33 [120, 130) 2 [120, 130) 7 Halla las medias, las desviaciones típicas y los coeficientes de variación de ambas distribuciones. Indica qué colegio ha obtenido el mayor resultado individual y cuál es más uniforme. 9.- Dado el siguiente conjunto de datos estadístico: 75, 67, 69, 57, 96, 87, 91, 109, 73, 112, 106, 72, 90, 80, 45, 53, 104, 87, 47, 70, 58, 43, 81, 109, 87, 73, 99, 49, 57. a) Halla el valor medio, la desviación típica, el coeficiente de variación y la desviación media. b) Tiene sentido calcular el coeficiente de variación? c) Halla los cuartiles d) El 3 er. decil y el percentil vigésimo tercero. 37

38 Matemáticas CC.SS. I Estadística Bidimensional Jorge Gómez García 38

39 Cosas que hay que saber para empezar la lección m > 0 m < 0 Ecuación punto-pendiente de una recta: el punto que pertenece a la recta tiene de coordenadas (x, y) = (x0, y0) 39

40 Cosas que hay que saber para empezar la lección m > 0 m < 0 Ecuación punto-pendiente de una recta: el punto que pertenece a la recta tiene de coordenadas (x, y) = (x0, y0) 40

41 Cuando nos interesa estudiar simultáneamente dos (o más) variables cuantificables de un apoblación se recurre a una variable bidimensional (o multidimensional. Ejemplos: Caracter X Caracter Y Individuo A Individuo B Individuo Individuo z I. Relación entre la altura de padres y sus primeros hijos cuando cumplen 2 años. II. Relación entre el peso de un bebé y el tiempo desde que nació. III.Relación entre la altura y el peso de los alumnos de 1º de bachillerato. IV. Puntos a favor y puntos en contra durante la liga de baloncesto del equipo A. V. Precio de una vivienda y la superficie en un determinado barrio. 41

42 Tipos de tablas para distribuir los datos de variables bidimensionales simple Variable X Variable Y Tipos de tablas simple con frecuencia doble entrada Variable X Variable Y Frecuencia = nij Variable X Variable Y frecuencias 42

43 Distribuciones bidimensionales Si x puede tomar los valores {x 1, x 2, x 3,,x n } Si y puede tomar los valores {y 1, y 2, y 3,,y n } Entonces (X, Y) puede tomar los valores {(x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ),,(x n,y n )} Capitales x (Tª media) y (Latitud) Amsterdam.. Atenas.. Bonn. Bruselas.. Copenhague Dublín.. Lisboa.. Londres Luxemburgo Madrid. París Roma

44 doble entrada > simple con frecuencia doble entrada Variable X Variable Y frecuencias simple con frecuencia Variable X Variable Y Frecuencia

45 Tabla de doble entrada con frecuencias marginales Variable X Variable Y nj frecuencias marginales de la variable Y ni frecuencias marginales de la variable X nº total de datos N = Σni = Σnj 45

46 Tabla de doble entrada con frecuencias marginales Variable X Variable Y nj ni Diagrama de dispersión Variable Y Variable X 46

47 Parámetros estadísticos para una variable bidimensional Variable X Variable Y Media Varianza Desviación típica Covarianza Coeficiente de Correlación lineal o Pearson, r 47

48 Cálculo de media, varianza y la desviación típica de la variable X. Variable X Variable Y ni nj La media de x es 31,7 porque Σ Σ/N xi ni ,7 xi 2 ni ,80 La varianza de x se calcula usando porque La desviación típica de x es 48

49 Cálculo de media, varianza y la desviación típica de la variable Y. Variable X Variable Y nj yj nj yj 2 nj 56,3 porque ni Σ Σ Σ/N 56,3 3981,57 xi ni ,7 xi 2 ni ,80 La media de y es La varianza de y se calcula usando porque La desviación típica de y es 49

50 Tabla de doble entrada con filas para análisis estadístico bidimensional Variable X Variable Y nij xiyjnij Σ Σ/N 2081,80 nº total de datos N = Σnij La covarianza, σχy, es El coeficiente de correlación lineal o de Pearson, r, es Este valor indica una correlación estadística positiva normal. 50

51 Algunas deficiones utilizadas Centro de masas: Es el punto cuyas coordenadas son los valores medios de las variables. Coeficiente de correlación o de Pearson: Es un parámetro que indica como se ajustan los datos a una función. r = σ σ x xy σ y r > 0 : correlación positiva r = 0 : sin correlación siempre positivo 1 r 1 r < 0 : correlación negativa Obs: Sólo tendremos en cuenta el ajuste a una línea recta, que se le llama Regresión lineal. 51

52 Tipos de correlación lineal Lineal, negativa y funcional. r = -1 Correlación lineal, negativa y fuerte. r = -0,89 Correlación lineal, negativa y débil. r = Correlación lineal, positiva y débil. r = 0,21 Correlación lineal, positiva y fuerte. r =0,98 Lineal, positiva y funcional: r = 1 52

53 Recta de regresión de y sobre x y Se busca que la recta que se adapte lo mejor posible a la nube de puntos. Consideramos X como variable independiente. y d 3 d 5 d 6 d 4 Criterio de los mínimos cuadrados: minimizar la suma de los cuadrados de los residuos: Recta de regresión lineal de Y sobre X d 2 d 1 x x coeficiente de regresión de Y sobre X 53

54 Recta de regresión de x sobre y y Se busca que la recta que se adapte lo mejor posible a la nube de puntos. Consideramos Y como variable independiente. y d 2 d 3 d 5 d 6 d 4 Criterio de los mínimos cuadrados: minimizar la suma de los cuadrados de los residuos: Recta de regresión lineal de X sobre Y d 1 x x coeficiente de regresión de X sobre Y 54

55 Propiedades de las rectas de regresión y Rectas de regresión Se cortan en el centro de gravedad o de masas: Y La pendiente tiene el mismo signo. Observa: m σ σ 2 2 xy xy σ & xy σ # xy yx mxy = = = $! = σ x σ y σ x σ y x σ σ y % " r 2 x X 55

56 10.- La tabla de valores muestra las calorías por minuto consumidas por personas de distintos pesos durante un paseo en bicicleta a 8,85 Km./h. a) Encuentra la ecuación de la recta de regresión. b) Cuántas calorías más se esperan consumir por cada kilogramo adicional de peso? Peso (Kg.) Calorías 4,23 4,68 3,21 3,47 3,72 4, La tabla de valores muestra el número (en miles) de incendios registrados en un País en diferentes años. Halla el coeficiente de correlación y la recta de regresión. Cuántos incendios cabría esperar para 2005? Año Incendios 7,6 9,2 12,5 15,9 19, Se han calculado las rectas de regresión de Y sobre X, y de X sobre Y en una distribución bidimensional, obteniendo las expresiones siguientes: y = 0,16x - 0,1 x = 5,44y + 8,77 Cuál es el coeficiente de correlación de Pearson de la distribución? 56

57 13.- En un hospital se está exprimentando un medicamento que regula la temperatura corporal. para ello, se administran diferentes dosis del producto a 10 pacientes con fiebre alta y se observa cuánto tiempotarda en normalizarse completamente su temperatura. Se obtienen los siguientes resultados: Dosis (mg) Tiempo (min) Dosis (mg) Tiempo (min) a) Cuánto tiempo cabe esperar que tarde en normalizarse la temperatura de un paciente al que se le han adminsitrado 11,5 mg del medicamento? b) y si toma una dosis de 25 mg? 14.- Se estudia el crecimiento midiendo la altura alcanzada en centimetros (Y) de una muestra de 10 rosales en un determinado período de tiempo, según los gramos de abono aplicados (X). Se han obtenido los siguientes datos: X Y Dibuja la nube de puntos asociada a los datos y averigua, sin hacer cálculos, cuál de los siguintes números corresponde mejor al coeficiente de Pearson de la distribución: 0.15, 0.99, 0.03,

58 15.- La siguiente lista de datos dobles corresponde a estaturas de madres y de sus hijas mayores: (166, 172), (161, 161), (165, 168), (169, 180), (167, 170), (168, 160), (148, 154), (161, 180), (159, 160), (144, 162), (144, 162), (168, 169), (170, 169), (170, 178), (149, 159), (149, 159), (160, 171), (163, 160), (162, 176), (166, 178). a) Realiza una tabla de frecuencias de doble entrada, tratando por clases a las dos estaturas. b) Calcula sus medias y desviaciones típicas marginales. c) Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación lineal. d) Calcula la recta de regresión de la altura de las hijas sabiendo la de las madres. e) Calcula la recta de regresión de la altura de las madres sabiendo la de las hijas. f) Dibuja el diagrama de dispersión y las dos rectas de regresión g) Si se sabe que la hija mide 169 cm, cuál es la altura esperada de la madre? h) Si se sabe que la madre mide 171 cm, cuál es la altura esperada de la hija? 58

59 CONTROL DE EJERCICIOS REALIZADOS ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL Evaluación Fecha Evaluación Fecha Evaluación Fecha Evaluación Fecha Ejercicio 1 / / / / Ejercicio 10 / / / / Ejercicio 2 / / / / Ejercicio 11 / / / / Ejercicio 3 / / / / Ejercicio 12 / / / / Ejercicio 4 / / / / Ejercicio 13 / / / / Ejercicio 5 / / / / Ejercicio 14 / / / / Ejercicio 6 / / / / Ejercicio 15 / / / / Ejercicio 7 / / / / Ejercicio 8 / / / / Ejercicio 9 / / / / Calificación 59