BONES VACANCES D'ESTIU! EXERCICIS PER A PREPARAR LA PROVA DE RECUPERACIÓ DE LES MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS (SETEMBRE 2014)

Transcripción

1 Deures estiu curs / r de BATX Socials BONES VACANCES D'ESTIU! EXERCICIS PER A PREPARAR LA PROVA DE RECUPERACIÓ DE LES MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS (SETEMBRE 0) NOMBRES I POLINOMIS. Representa (en forma d interval i a la recta real) aquests conjunts de nombres: a) { R / < } b) { R / > } { R / < }. Assenyala (en forma d interval i fent la representació a la recta) el conjunt de nombres que compleien cadascuna d aquestes desigualtats: a) < b) > 0, 0, 0. Calcula (amb calculadora): a) = 7, , , b) = ( ) (, 0 0 ) c) = 8 7, 0, 0. Racionalitza aquestes fraccions: a) =. Efectua i simplifica: b) = 7 c) = a) - ( ) ( ) = b) ( 7 ) ( 7 ) c) ( ) ( ) d) a = e) a a b ab = f) ( ) ( ) = g) = h) =. Troba el valor d aquests logaritmes (sense calculadora): a) log = b) log / 8= c) log 0,0000= d) log = 7. Troba el valor de la incògnita: a) = 0 b) log = c) log a = log 8 log d) log t = e) = f) log = log log 8. Assenyala (en forma d interval i fent la representació a la recta) el conjunt de nombres que compleien aquests desigualtat: <. A quin nombre hem d elevar el tres per obtenir 00? (planteja i resol) POLINOMIS 0. Siguin A= - ; B= ; C= Calculeu: a) (A - B) C b) B : C

2 Deures estiu curs / r de BATX Socials. Factoritza aquests polinomis i troba n les arrels: a) - - b) - c) - 0. Simplifica aquestes fraccions: a) = b) = c) =. Calcula i, si es pot, simplifica: a) = : b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = i) = : j) = : ) 0 ( k) = ) ( :. Escriu dos polinomis A i B de grau que la seva suma sigui de grau. A =... B=... AB=.... Si grau(a) = i grau(b) = i grau(c) =, quin serà el grau del polinomi (A-C) B?. Estudia si el polinomi - és múltiple de 7. Quin ha de ser el valor del paràmetre m per tal que el polinomi - sigui divisor de - m? 8. Calcula: a) ( - ) - ( - ) = b) ( ) - = c) ( ) ( - ) = d) (-) ( ) = e) ( - ) - ( -- ) = f) (0 - ) ( 0 ) =. Siguin els polinomis P = - -, Q = - - i R = - 0 Calcula: a) P Q R b) (P Q) R c) ( ) (Q - R) d) (Q R) (P R) Solucions: a) - 77 b) 8-70 c) - - d) - - 8

3 Deures estiu curs / r de BATX Socials 0. Treu factor comú en aquestes epressions: a) - b) 7 - c) - d) - 8 e) m - 0m d) sy - s y s y. a) Siguin els polinomis: A= - ; B= i C= -. Calcula: C (A - B) ; B:C b) Siguin A()= - ; B()= i C() =. Calcula: (A - C) B ; A : C. a) Troba el valor de m per tal que el polinomi 8-7 m - sigui divisor de b) Quin ha de ser el valor de k per tal que el polinomi - k - k sigui múltiple de -? MATEMÀTICA FINANCERA. Un GPS té un preu de 780. Podem pagar 00 en el moment de la compra. La resta la pagarem a terminis mensuals durant dos anys. Suposant que els interessos són del 0% anual, quina quota haurem de pagar cada mes? (Sol:,77 ). Un treballador diposita.800 en un banc per un període de cinc anys amb un rendiment del 8% anual però amb pagament d interessos mensual. De quina quantitat podrà disposar al cap d aquest temps? (Sol: 0.0, ). Un altre treballador, de 8 anys, pensant en pagar l entrada d un pis, decidei ingressar a l inici de cada mes la quantitat de 00 en un compte d un banc que li produei un rendiment del % anual. De quina quantitat disposarà en el moment de comprar el pis, als anys? (Sol:.0, ). Un pare fa un dipòsit de 7.00 en un banc per quan el seu fill, que ara té anys, arribi a la majoria d edat. Suposant que el rendiment és del % anual però amb pagament d interessos mensual, de quina quantitat podrà disposar el seu fill quan arribi als 8 anys? (Sol:.0, ) 7. Una bicicleta té un preu de 80. Podem pagar 00 en el moment de fer compra. La resta la pagarem a terminis mensuals durant tres anys. Suposant que els interessos són del % anual, quina quota haurem de pagar cada mes? (Sol:, ) 8. Dipositem 00 a plaç fi durant un any a un rendiment del 7% anual i ens paguen interessos cada mes. a) Quina quantitat tindrem al cap de l any? b) Quina és la TAE corresponent? (Sol:.0,, 7,%). Un rentavaielles val 70. El client només pot pagar 0 en el moment de la compra. La resta la pagarà a terminis mensuals durant dos anys. Suposant que se li fa un pla d amortització amb interessos del % anual, quina quota haurà de pagar al final de cada mes? (Sol:,7 ) 0. Un alumne, per finançar el viatge de fi d estudis, decidei dipositar a l inici de cada mes una quantitat de 0 en un compte d un banc que li produei un rendiment del % anual. Si el primer ingrés el fa en el mes de setembre i l últim en el mes de maig (perquè el viatge es fa al juny), de quants diners disposarà al finalitzar aquest procés? (Sol:,8 )

4 Deures estiu curs / r de BATX Socials. Imagina que a la rifa de Nadal guanyes un premi de i no saps com invertir-lo. Diferents bancs et van al darrera. El Banc Menjadiners t oferei un 8% anual amb pagament d interessos cada trimestre, mentre que la Caia Portadiners Que No els Veuràs Més t oferei un 7% anual però amb pagament d interessos mensual. Suposant que vols tenir invertits aquests diners durant anys, quin tracte et convé més? (8,%TAE i 7,% TAE, per tant, el primer). Quant trigarem a pagar un deute de.00 al % anual si paguem a finals de cada any una quota de 00? (Sol:,7 anys) EQUACIONS I SISTEMES D EQUACIONS I D INEQUACIONS. Resol aquestes equacions: ( ) a) = ( ) b) - 8=0 c) = 8. Resol aquests sistemes: y = 7 a) y = y = 7 b) y = y = c) y = 8 y = 0 d) y = e) y = = ( y) 8 (Sol: a) = y=- i =-/ y=-/ b) =/ y=.. d) = y= i = y=-. Resol aquests sistemes d inequacions: a) y y > b) y y > y c) y > y d) y > y e) y. Resol aquestes inequacions: ( ) a) < b) - > 0 c) - - < 0 7. Un especulador repartei un capital de 000 en dues inversions. Una part, en un negoci que li rendei un % anual i l altra en una operació immobiliària que li dóna un guany del 8%. Sabent que els beneficis obtinguts en les dues inversions són iguals, quina quantitat ha destinat al negoci i quina a l operació immobiliària? FUNCIONS 8. Digues de quin tipus són aquestes funcions i troba n el domini: a) f()= b) f() = c) f()= d) f() =. Representar en uns mateios eios de coordenades les funcions: f() = f()= (7/) f()= (/)

5 Deures estiu curs / r de BATX Socials 0. a) Dibuia la gràfica de la funció f() = log b) A partir de la gràfica anterior dibuia la d aquestes funcions: y= log ; y = log (-) i y= -log. Representa en uns mateios eios les funcions: f() = log ; f() = log / i f() = log. De cadascuna d aquestes funcions, troba: a) Dom(f(); b) Límits en els punts de discontinuïtat c) Límits a l infinit d) Gràfica aproimada de la funció i e) R f (i) f()= (ii) f()= (iii) f()=. Sigui la funció f() = -. Troba la gràfica de: a) f() ; b) f() ; c) f() ; d) f() ; e) f(-) i f) ½ f(). Fes una taula de valors de la funció f() = log i representa-la. Representa també la funció recíproca de f().. Siguin f() = i g() =. Troba: a) f - () b) g - () c) (f o g) (). Estudia la continuïtat d aquesta funció, és a dir, digues on és contínua i, en els que no ho sigui, classifica el tipus de discontinuïtat: f() = 7. Donades les funcions f() = ; g() = i h() = a) Troba els límits en els punts de discontinuïtat b) Troba els límits a l infinit. c) Amb la informació obtinguda, fes un esbós de la gràfica 8. Siguin f() = i g() =. Troba: a) f - (); b) g - () i c) (f o g) () =. Calcula aquests límits i interpreta n gràficament el resultat: lim lim lim lim

6 Deures estiu curs / r de BATX Socials 0. El parc mòbil d una població de. habitants és de.70 cotes, i en una de.0 habitants és de 0 cotes. Quants cotes podem esperar que hi hagi en una població com Santa Coloma que té 0.0 habitants? (Sol: ). Quan fem treballar una màquina a un ritme ràpid de 0 peces/minut resulta que en surten un % de defectuoses. Si va més lenta, a un ritme de 0 peces/minut, aleshores només en surten un % de defectuoses. Quin percentatge de defectuoses podem esperar que surtin si treballa a un ritme de 70 peces/minut? (Sol:,8%). En una població de.0 habitants hi ha bicicletes que circulen habitualment pel carrer i en una de.0 n hi ha 8. Quantes podem esperar que n hi hagi en una de.00 hab.? (Sol: 0,08). Donada la gràfica de la funció f() troba les gràfiques de: a) ( - ) b) f() c) - f() d) f(). Sigui la funció f() = 8 Troba: a) Df = b) La gràfica c) Rf d) f - (). Troba els punts de discontinuïtat de la funció: f ( ) = < <. Troba el valor de k per tal que la funció: k 0 f ( ) = sigui contínua en el punt = 0. k > 0 k 7. Troba el valor de k per tal que aquesta funció sigui contínua: f()= k si si >

7 Deures estiu curs / r de BATX Socials 8. Estudia la continuïtat d aquesta funció, és a dir, digues on és contínua i, en els que no ho sigui, classifica el tipus de discontinuïtat: f() =. Sigui la funció f() =. Estudia els límits que consideris més importants i, amb la informació obtinguda, fes la gràfica de la funció. 0. Troba i classifica els punts de discontinuïtat de la següent funció. f() = 7 8. Calcula la taa de variació mitjana de la funció f()= en els intervals indicats. És creient o decreient la funció en aquests intervals? a) [-,-] b) [,] ESTADÍSTICA I PROBABILITAT. El consum d energia per càpita en milers de kwh i la renda per càpita en milers d de sis països de la UE són les següents: Alemanya Bèlgica Dinamarca Espanya França Itàlia Consum (X),7,,7,, Renda (Y), 8,,,,, a. Calcula la covariància b. Indica el coeficient de correlació entre el consum i la renda. Com és la relació entre les dues variables? c. Calcula la recta de regressió del consum d energia sobre la renda. d. Quina predicció podem fer sobre el consum d energia per càpita de Grècia si la renda és de, milers d?. Volem estudiar la possible correlació entre el temps que uns conductors han conduït de manera ininterrompuda (X) i els refleos que tenen (Y). El temps s epressa en hores i l índe de refleos es troba a partir d un test que els valora de 0 fins a 00. S obtenen els resultats que figuren a la taula. i 8 y i 8 7 a. Trobeu la covariància i el coeficient de correlació (comenteu-lo) b. Si un conductor ha estat hores seguides al volant, quin nivell de refleos podem esperar que tingui?. Mesurant el nivell de colesterol i la pressió sanguínia en un grup de persones, hem obtingut els següents resultats: Colesterol Pressió sanguínia 8 7 a. Calcula la covariància b. Calcula el coeficient de correlació. c. Quina pressió sanguínia podem esperar que tingui una persona que ha donat un nivell de colesterol de.

8 Deures estiu curs / r de BATX Socials. Dues proves A i B permeten detectar si un pacient patei una malaltia determinada. El 0% dels pacients d un centre hospitalari se sotmeten a la prova A i el 0% restant a la prova B. La prova A detecta la malaltia en un pacient amb una probabilitat de 0, i la prova B amb una probabilitat de 0,8. Calcula: a. La probabilitat que la malaltia no sigui detectada. b. La probabilitat que, si s ha detectat la malaltia en el pacient, hagi estat amb la prova A.. S ha comprovat estadísticament que en un país el 8% dels nadons són nenes. Si una família té dos fills calcula la probabilitat que: a. Siguin dues nenes. b. Almenys un del fills sigui nena 7. El % dels estudiants de segon de batillerat d un institut són alumnes de ciències i l altre % són alumnes d humanitats. Se sap que aproven totes les assignatures el 0% dels alumnes de ciències i el 0% del alumnes d humanitats. Si un alumne ha estat triat a l atzar, quina és la probabilitat que: a. Hagi aprovat totes les assignatures (Sol: 0,) b. Sigui d humanitats sabent que no les ha aprovat totes. (Sol: 0,) 8. En una empresa d ordinadors hi ha tres línies de fabricació i s ha comprovat estadísticament que els de la primera (A) són defectuosos en un %, els de la segona (B) ho són en un % i els de la tercera (C) funcionen bé en un 8%. Una botiga ven ordinadors que s han fabricats en aquesta empresa i nosaltres n anem a comprar un. Quina és la probabilitat que: a. el nostre ordinador vagi bé? (Sol: 0,) b. si el nostre ordinador no va bé, hagi estat muntat en la línia A? (Sol: 0,). Disposem de dues bosses, A i B. Dins la bossa A hi ha boles blanques i 8 de negres i dins la B n hi ha 8 de blanques i de negres. Fem aquesta eperiència: traiem una bola de la bossa A i la posem a la bossa B. Després traiem una bola de la bossa B i mirem el seu color. A quin esdeveniment hem d apostar: que aquesta darrera bola surti blanca o bé que surti negra? (Sol: P(B)=0, i P(N)=0,) 70. S ha comprovat que el temps que tarda un medicament a fer efecte sobre el pacient seguei una distribució normal amb una mitjana de dies i una desviació de dies. a. Si un pacient pren aquest medicament, quina és la probabilitat que tardi més de 8 dies a fer-li efecte? (Sol: 0,) b. Si el subministrem a 0 pacients, a quants podem esperar que els hi faci efecte abans de dies. (Sol: pacients) 7. Les notes de selectivitat de matemàtiques segueien una distribució N(,7, ). a. Quina és la probabilitat que la Carme tregui una nota inferior al? (Sol: 0,) b. I superior al 7? (Sol:0,) c. Si s han eaminat 8 alumnes del ins, quants podem esperar que hagin aprovat? (Sol: 7) 7. La talla mitjana dels 00 alumnes d un centre escolar és de cm, i la desviació típica, 0 cm. a. Si les talles es distribueien normalment, calcula la probabilitat que un alumne elegit a l atzar mesuri més de 80 cm. b. Quants alumnes podem esperar que mesurin més de 80 cm? c. Quants alumnes podem esperar que mesurin entre 0 cm i 80 cm?

9 Deures estiu curs / r de BATX Socials 7. Llancem set vegades una moneda trucada amb la qual la probabilitat que surti cara és 0,. Calcula les probabilitats següents: a. que surtin eactament tres cares b. que surtin almenys dos cares c. si la llancem 00 vegades quina es la probabilitat que n hi hagi menys de 80?