Límits i continuïtat de funcions

Transcripción

1 Límits i continuïtat de funcions Números reales LITERATURA I MATEMÀTIQUES El nombre de Déu És magnífica, pare, no hi ha cap catedral igual en tot el món [ ] Sí, és un edifici etraordinari, però ja fa alguns anys que diverses ciutats estan construint catedrals amb les quals aspiren a superar Chartres Les de París, Reims i Amiens són més grans, i a Anglaterra comencen a edificar alguns temples de mida desmesurada Però estan equivocats; l important, el que fa realment bella una catedral no és la mida, ni tan sols la lluminositat dels vitralls, ni la qualitat de les escultures La bellesa, fill, és en la proporció Una catedral ha de ser com el cos humà, sens dubte la millor obra de Déu: harmònic en les proporcions, elegant en les mesures i d aspecte airós però serè»el teu oncle et va ensenyar el nombre secret de la proporció, i ho va fer massa aviat En aquest nombre es guarda tot el misteri de la bellesa d aquest nou estil, en el nombre de Déu La unitat per la unitat més dos terços digué l Enrique Aií és Aquestes proporcions epressen les mesures del rectangle perfecte, i a partir d ell s estableien totes les mesures, totes les re lacions i proporcions d una catedral [ ] Sense les proporcions geomètriques del nombre de Déu no podríem construir aquestes catedrals, almenys no tan belles [ ]»Déu ha anat deiant senyals perquè els homes trobéssim, finalment, la clau d aquest nombre Aquest nombre ha estat sempre en les proporcions de les obres de la Bíblia En el llibre del Gènesi, Déu ordenà a Noè que construís l arca segons unes mesures que va donar-li en colzes L arca on Noè embarcà una parella de cada espècie d animals tenia cinquanta colzes d ample per trenta d alt, i tres-cents de llarg Fia t en les proporcions: la raó entre l amplada i l altura és el nombre de Déu I la longitud és deu vegades l altura, i la seva relació amb l amplada és per tant la dècima part del nombre diví»però aiò no és tot, fill En el llibre de l Èode, Déu manà a Moisès, quan va pujar per segona vegada al mont Sinaí per cercar les taules de la Llei, que fabriqués una arca de fusta d acàcia i la folrés d or [ ] I igual que en cas de l arca de la salvació, també va donar-li unes mesures: l Arca de l Aliança hauria de tenir dos colzes i mig de llarg per un i mig d ample i un i mig d alt Fia-t hi, una altra vegada el nombre de Déu JOSÉ LUIS CORRAL [tet adaptat] 6

2 SOLUCIONARI El nombre de Déu José Luis Corral La novel la es desenvolupa durant l edat mitjana, al segle XIII A l argument s entrellacen diverses històries relacionades amb l amor, amb la lluita pel poder i, sobretot, amb la construcció de tres catedrals: la de Chartres, la de Burgos i la de Lleó Al paràgraf seleccionat, el mestre Juan de Rouen eplica al seu fill Enrique els principis bíblics en els quals ha fonamentat les proporcions de la catedral de Chartres, que acaba de construir Tan sols falta que també tingués aquestes proporcions el temple de Salomó va suposar l Enrique No Ja ho he comprovat El temple de Salomó tenia seianta colzes de llarg, trenta d alt i vint d ample No són les proporcions àuries, perquè si agafem aquesta amplada hauria d haver fet trenta-tres colzes d alt i seianta-sis i mig de llarg I doncs? No ho sé; al llibre Primer dels Reis es diu que el rei Salomó va decidir pel seu compte erigir un temple a Jerusalem en honor de Déu A diferència de les dues arques, les mides de les quals el Senyor va indicar amb precisió, Salomó va edificar el temple segons el seu criteri I ho va fer amb les mides més simples; humanes, podríem dir Va fer servir la mida de l amplada del temple com a referència: aií, per a la longitud, la va multiplicar per tres, i pel que fa a l altura, va sumar l amplada més la seva meitat; senzill, és a dir, humà Aquesta novel la és interessant per la visió que dóna d aquella època en paral lel amb les històries humanes que desenvolupa Escriu les epressions algebraiques que corresponen a les funcions de proporcionalitat directa i inversa amb la constant de proporcionalitat que descriu el tet Representa-les gràficament Quines diferències hi ha entre les dues gràfiques? La constant de proporcionalitat és: 5 Aií doncs, les funcions de proporcionalitat són: f ( ) 5 i g( ) 5 Y Y X X La funció de proporcionalitat directa és una recta que passa per l origen de coordenades, és una funció contínua i creient La funció de proporcionalitat inversa és una hipèrbola formada per dues branques, no és contínua en i és decreient en el seu domini

3 Límits i continuïtat de funcions ABANS DE COMENÇAR RECORDA 00 Justifica si les gràfiques següents corresponen a funcions a) Y b) Y X X a) La gràfica correspon a una funció, perquè a cada valor de correspon un únic valor de y b) La gràfica no correspon a una funció, perquè hi ha valors de als quals correspon més d un valor de y 00 Factoritza aquest polinomi: P( ) P( ) ( )( )( ) 00 Determina la factorització d aquests polinomis: a) c) 4 b) 4 d) 9 5 a) ( ) b) ( )( ) c) ( ) d) ( 5)( 5) ACTIVITATS 00 Observa la gràfica i calcula els límits de la funció en l infinit Y f ( ) X ` ` 8

4 SOLUCIONARI 00 Determina si els límits en l infinit d aquesta funció són finits Y X f( ) 9 ` 9 ` 9 00 Observa la gràfica i calcula els límits de la funció en l infinit f( ) Y X ` ` ` ` 004 Busca funcions els límits dels quals siguin els següents: a) f( ) ` d) f( ) ` ` ` b) f( ) ` e) f( ) no eistei ` ` c) f( ) ` f ) f( ) no eistei ` Resposta oberta Per eemple: ` a) f( ) c) f( ) 4 e) f ( ) cos b) f( ) d) f( ) f) f ( ) sin 005 Determina el valor de les epressions següents: a) ( ` ) c) ( `) ( `) b) ( ` ) d) ( `) ( `) a) ` b) ` c) ` d) ` 006 Troba el valor d aquestes epressions: a) ` ( `) ( `) c) ( `) ( `) b) ` ( `) ( `) d) ( `) ( `) a) ` b) ` c) ` d) ` 9

5 Límits i continuïtat de funcions 00 Si f( ) i g ( ) `, calcula: ` ` a) [ f( ) g( )] ` b) [ f( ) g( )] ` c) g ( ) ` d) f( ) ` a) [ f( ) g( )] ` c) g( ) ` ` ` b) [ f( ) g( )] ` d) f( ) ` ` 008 Si f( ) ` i g ( ) 5, troba: ` a) [ f( ) g( )] ` b) [ f( ) g( )] ` ` c) g ( ) ` g d) f( ) ( ) ` a) [ f( ) g( )] ` c) g( ) no eistei ` ` g b) [ f( ) g( )] ` d) ( ) ( f ) ` ` 009 Troba els límits següents: a) ` b) ` c) ` d) a) ` b) ` ` e) ` f) ` c) ` ` d) ` ` ` e) ` ` f ) ` 00 Calcula aquests límits: a) c) ` ` b) d) ` ` ` ( ) ( ) e) f) ` ` a) ` d) ( ) b) ` c) ` e) ( ) ` f ) ` ` ` 0

6 SOLUCIONARI 0 Troba els límits en l infinit de cada una d aquestes funcions a) ` b) ` ( ) ( 6)( ) 4 a) ` 8 b) ` ( ) ( 6)( ) Completa, escrivint al numerador una funció de manera ` que el resultat sigui: a) ` b) 4 c) 0 Resposta oberta Per eemple: a) ` b) ` 4 5 ` 8 4 c) ` 0 Resol els límits següents: a) ` b) ` c) ` d) 9 ` 5 5 a) ` b) ` ` c) ` d) ` ` 9 ` Calcula aquests límits: a) ` b) ` 6 c) ` 4 d) ` 6 a) ` b) ` c) d) ` ` 6 4 6

7 Límits i continuïtat de funcions 05 Calcula els límits següents: a) ` ( ) ( ) c) 4 ` b) d) 9 ` ` ( ) a) ` ` ` ( )( ) ( ) ` ` ( ) ` b) ` ` c) ` ` ( ) ` ` ( ) ` ` ( 4 ) ` ` ( ) 4 ` ` d) ` ` ( 9 ) ` ` ( ) 9 ` ` Substituei a, b, c i d per nombres de manera que: a) ` ` ( a ) b) ( b ) 4 ` 4 c) ( 9 c) ( ) d) d 5 ` `

8 SOLUCIONARI ( ) a a a) a ` ` a ` a a a ( ) b) 4 b ` ` ` 4 b 4 4 b b b b 4 b 4 4 c) ( c c) 9 9 ` ` 9 c c ( ) d) d 5 ` ` d 54 d 5 ` d > 4 0 Calcula els límits següents: a) ` c) 4 4 ` b) ` 6 d) ` a) ` ` ` ( ) ` e e b) ` ` 6 ` 6 ( 6 e ` ) 8 e e 8 c) 4 ` 4 4 ` 4 e ` 4 ` 4 ( ) ` 4 e e 4 4 e d) ` ` ` e ` ( ) ( ) 9 ` e e 9 e

9 Límits i continuïtat de funcions 08 Troba aquests límits: a) ` b) ` 6 c) ` d) ` a) ` ` e ` ` ( ) ( ) e ` 0 e b) ` ` c) ` e ` 6 ` 5 6 ( ) ` e e e d) ` 09 Observa la gràfica i calcula: Y f( ) 0 en què f ( ) si 0 si > 0 f( ) 0 f( ) f( ) 0 0 f ( ) X 00 Observa la gràfica i troba: Y f( ) f( ) f( ) 0 f( ) 0 f ( ) X f( ) ` f( ) ` f( ) f( ) 0 0 4

10 SOLUCIONARI 0 Calcula el límit de la funció f( ) en i 6 f( ) 5 f( ) ` 0 f( ) ` No eistei f( ) f( ) ` π 0 Determina el límit de la funció f( ) en i sin f( ) π f( ) ` 0 f( ) ` No eistei 0 0 f( ) ` 0 0 f ( ) 0 Resol els límits següents: a) b) 0 0 a) 0 ( ) b) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) 0 04 Calcula aquests límits: a) b) 8 9 a) ( 5 )( 5 ) 5 ( 5 ) 0 0 f( ) ` ` f( ) no eistei 5 No eistei f ( ) b) ( 9 ) ( 9 )

11 Límits i continuïtat de funcions 05 Determina si la funció f( ) és contínua en i 4 f ( ) f ( ) No eistei f () La funció no és contínua en 0 5 No eistei f () La funció no és contínua en 0 06 Digues si la funció f( ) és contínua en i f ( ) 6 6 Eistei f ( ) 6 6 Eistei f( ) f ( ) f( ) La funció és contínua en 0 Determina si aquesta funció és contínua: f( ) si si > Si < f ( ) f ( ) és contínua en (`, ) Si > f ( ) f ( ) és contínua en (, `) Si f ( ) Eistei f ( ) f( ) ( ) No eistei f( ) f( ) ( ) La funció no és contínua en, té una discontinuïtat de alt finit en aquest punt; aií doncs, f ( ) és contínua en R {} 08 Calcula a perquè aquesta funció sigui contínua en tot R f( ) si a si > Si < f ( ) f( ) és contínua en ( `, ) Si > f( ) a f( ) és contínua en (, ` ) Si f ( ) Eistei f ( ) f( ) f( ) ( a) 4 a f( ) és contínua en si: 9 f ( ) f( ) f( ) 4 a a 6

12 SOLUCIONARI 09 Observa les gràfiques d aquestes funcions i calcula: Y Y f ( ) X g( ) X a) f( ) ` b) f( ) ` c) g ( ) ` d) g ( ) ` a) f( ) ` c) g( ) ` ` ` b) f( ) ` d) g( ) ` ` ` 00 Resol els límits de funcions següents: a) ` b) ` c) ` d) ` 5 e) ` 5 f ) ` 4 4 i) ` j) ` g) 5 k) ` h) 4 ` 5 l) 4 ` ` a) 5 ` g) 5 ` ` ` b) ` 5 ` h) ` 5 c) ` ` i ) ` d) ` e) f ) ` ` ` 4 4 j ) ` ` 4 ` k) l ) 4 ` ` `

13 Límits i continuïtat de funcions 0 Troba els límits de funcions a) ` g) ` b) ` h) ` c) ` d) ` e) ` f) ` a) 6 6 ` b) ` c) ` ` ` i) ` 5 j) ` 5 k) ` l) ` 6 6 g) ` h) i ) ` ` d) ` e) f ) ` ` j ) ` ` k) ` 6 6 ` l ) ` 0 Determina el límit d aquestes funcions: a) ( ) f) ` b) 5 ` ` g) ` c) ( 5 6) h) ` 5 ` d) ( ) i) ( )( ) ` ` e) 4 j) ` ` 8

14 SOLUCIONARI a) ) `( ` f 5 b) ` c) `( 5 6) ` d) `( ) ` e) 4 ` ` ) ` ` g) ` h) ` 5 0 i) )( ) `( ` j) ` ` 0 Calcula els següents límits de funcions: a) ( 8 8) d) ` b) ` ` e) ` c) f) ` ` 5 4 a) `( 8 8) ` 8 6 d) ` ` 5 b) 6 ` e) ` ` c) ` ` f ) 5 ` 5 4 ` 04 Determina els límits d aquestes funcions: a) ` b) 5 5 : ` c) 6 ` 5 a) 4 ` 5 6 ` b) ` : 5 c) ` 5 6 ` ` ` 5 9

15 Límits i continuïtat de funcions 05 Troba els següents límits de funcions: a) ( ) h) ( ) 4 ` ` ( ) b) i) ( 4 ) ` ` c) ( 4 ) j) 4 ` ` d) k) ` ` ` ` ( ) e) ( ) l) ( ) ` ` f) ( ) m) ( 4 ) g) ( 5 ) n) ` a) `( ) ` b) ` ` ` c) `( 4 ) ` d) ` ` e) `( ) ` f ) ) `( ` g) `( 5 ) ` h) `(( ) 4 ) ` i) `( 4 ) ` ( ) ` j) ` 4 k) ` ` ` e l) `( ) ` m) ` 4 ` ` ( ) ( ) ` ` ( ) ` 4 n) ` ` ` e ` ` ( ) e ` e e ` 4 e ` e 0

16 SOLUCIONARI 06 Calcula el límit següent: ( ) ( ) ( ) 0 Els beneficis, en milions d euros, generats pel funcionament d una indústria vénen donats en funció del temps, en anys, per: t bt () t Què ocorre quan passen molts anys? t Quan passen molts anys, els beneficis es redueien a zero t ` t 08 El nombre d individus, en milions, d una població ve donat per la funció: 8 t ft () ( t ) en què t és el temps mitjà en anys des de t Calcula la població inicial i la mida de la població a llarg termini, quan el temps tendei a ` 8 0 La població inicial és: f ( 0) milions d individus ( 0 ) 8 t A llarg termini, la població tendei a ser t ` (t ) d milió d individus 09 El nombre de fleions per minut que és capaç de fer una persona que comença el seu entrenament en un gimnàs ve donat per la funció: f( ) 6 8 En què «dies d entrenament» i f ( ) «nombre de fleions» Cap a quin valor s aproima el nombre de fleions quan crei el nombre de dies d entrenament? fleions `

17 Límits i continuïtat de funcions 040 L estudi de la rendibilitat d una empresa revela que una inversió de milions d euros produei un guany de f ( ) milions d euros, amb: 8 8 si 0 5 f( ) si > 5 Raona què passa amb la rendibilitat si la inversió s incrementa indefinidament ` 5 Si la inversió s incrementa indefinidament, la rendibilitat es reduei a zero 04 La temperatua (en C) d un objecte ve donada per la funció: t t ft () 4 t t 5 En què t és el temps en hores Calcula la temperatura inicial, la temperatura cinc hores més tard i la temperatura que pot assolir l objecte si es deia passar molt temps La temperatura inicial era: f (0) C Cinc hores més tard: f (5) ,5 C `0 t t 4 t t t 5 Si es deia passar molt de temps, la temperatura tendei a ser de 0 C 04 Una empresa de transport estima que els seus guanys, en milers d euros, durant els propers anys seguiran la fórmula: gt () t 5t 5 en què la variable t,,, 4, 5, representa el temps en anys mesurat a partir del present Els guanys s estabilitzen quan t crei? Cap a quin valor? Raona la resposta t t ` 5t A mesura que passa el temps, els guanys s estabilitzen, i tendeien a ser d milió d euros

18 SOLUCIONARI 04 Els guanys d una empresa, en milions d euros, s ajusten a la funció: f( ) en què representa els anys de vida de l empresa, quan 0 A mesura que transcorre el temps, estan itats els beneficis? En cas afirmatiu, quin n és el límit? Els beneficis estan itats, perquè amb el decurs del ` 5 temps tendeien a estabilitzar-se en 5 milions d euros 044 Epressa aquestes funcions com a funcions definides a trossos i calcula n els límits quan tendei a ` i ` a) f( ) b) f( ) ( ) si < 4 si < a) f( ) ( ) si < f( ) si < ( ) si 4 si f( ) ( 4) 4 f( ) 4 4 ` ` b) f( ) f( ) ` ` si < si < si > ` ` f( ) ` ` 045 La figura següent és la gràfica de la funció f ( ) Calcula el valor d aquests límits Y a) f( ) d) f( ) ` f ( ) b) f( ) e) f( ) X c) f( ) 0 f) f( ) ` a) f ( ),9 b) f ( ) c) f ( ) 0 d) ` f ( ) ` e) f ( ) 4 f ) ` f ( ) `

19 Límits i continuïtat de funcions 046 Aquesta gràfica correspon a la funció g ( ) Y X g( ) Troba el valor dels límits: a) g ( ) b) g ( ) c) g ( ) 0 d) g ( ) ` e) g ( ) f) g ( ) ` a) g( ), c) 0 g( ) e) g( ),9 b) g( ) d) g( ) ` f ) g( ) ` ` 04 Si f( ), calcula aquests límits: a) f( ) a) f ( ) 9 0 b) f( ) b) f ( ) c) f( ) 0 c) f ( ) Donada f( ), determina: a) f( ) b) f( ) 5 c) f( ) 0 a) f ( ) 8 b) f ( ) 5 5 c) f ( ) Si tenim la funció f( ), quins seran els seus límits quan tendeii a 0,, i 4? ` ` f( ) ` No eistei f( ) f( ) ` f( ) ` 4 No eistei f( ) f( ) ` 4 4 4

20 SOLUCIONARI 050 Observa les gràfiques i determina els límits següents: a) Y f ( ) X f( ) ` f( ) f( ) ` f ( ) b) Y g( ) X g ( ) ` g ( ) g ( ) g( ) g( ) g ( ) ` a) f( ) f( ) ` ` f( ) ` f( ) ` b) g( ) g( ) ` g( ) ` ` g( ) ` g( ) ` g( ) ` 05 Observa la gràfica de la funció f ( ) Y f ( ) X Troba el valor dels límits: a) f( ) b) f( ) 4 c) f( ) 4 a) f( ) b) f( ) 4 c) f( ) 5 4 5

21 Límits i continuïtat de funcions 05 Calcula aquests límits: a) b) c) ( ) ( ) d) a) b) ` c) ( ) ` ( ) ` ` 6 d) ( )( ) 8 ( ) ( ) ` 6 ` 8 05 Determina els límits i, en cas que siguin infinit, determina els límits laterals: a) a) b) ( )( ) ( )( ) 5 6 b) 8 ( )( ) ( )( ) ( ( ) ( )( ) 0 ` ) ( )( ) ` ( ) ` ( )( ) 5 6 No eistei 8 6

22 SOLUCIONARI 054 Amb la funció f( ) a) f( ) b) f( ), troba: c) f( ) d) f( ) 0 e) f( ) ` f) f( ) ` a) b) ( )( )( ) ( ) c) d) 0 e) ` ` 0 4 ( )( ) 49 f ( ) ` 0 f( ) ` f( ) ` 0 0 f ) ` Si f( ) 0, calcula: a) f( ) b) f( ) c) f( ) d) f( ) 0 e) f( ) ` f) f( ) ` 6 9 a) b) 0 ( ) ( 8 ( ) ` )( ) 0 f ( ) ` No eistei f( ) f( ) ` 6 9 c) ( ) 0 d)

23 Límits i continuïtat de funcions e) f ) ` ` 6 9 ` ` 0 si < 056 Donada g( ), calcula els límits: si 5 a) g ( ) b) g ( ) 5 c) g ( ) d) g ( ) 6 a) g( ) ( ) b) g( ) ( ) 4 5 e) g ( ) ` f) g ( ) ` c) g( ) ( ) 8 g ( ) g( ) 5 g ( ) No eistei g ( ) 8 d) g( ) e) g( ) ` ` 5 f ) g( ) ( ) ` ` ` 4 si < 05 Considera: h( ) 4 4 si < 9 si > Calcula els límits: a) h ( ) 5 b) h ( ) a) h( ) 5 5 c) h ( ) 5 d) h ( ) 4 4 b) h( ) ( 4 4) 6 c) h( ) ( 9) 5 5 e) h ( ) f) h ( ) ` 8

24 SOLUCIONARI d) e) 4 h( ) h( ) l i m h( ) h( ) ( ) No eistei h( ) h( ) ( 4 4) 5 h( ) l i m h( ) h( ) l i m ( ) 9 5 h( ) 5 f ) h( ) ( 9) ` ` ` 058 Decidei si les funcions següents són contínues en els punts que s indiquen Si no ho són, determina n el tipus de discontinuïtat a) En i d) En i Y Y f ( ) f ( ) X X b) En i e) En i Y Y f ( ) f ( ) X X c) En f) En Y Y f ( ) f ( ) X X a) f ( 0) f( ) La funció és contínua en 0 f ( ) 4 f( ) La funció és contínua en 9

25 Límits i continuïtat de funcions b) No eistei f (0) f( ) f( ) 5, Eistei f ( ) 5, La funció no és contínua en, té una discontinuïtat evitable f ( ), 5 f( ) La funció és contínua en c) No eistei f ( ) f( ) f( ) f( ) No eistei f( ) f( ) La funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit d) f ( ) f( ) La funció és contínua en f ( ) 5, f( ) f( ) 5, Eistei f ( ) 5, f( ) f( ) La funció no és contínua en, té una discontinuïtat evitable e) No eistei f ( ) f( ) ` No eistei f( ) f( ) ` La funció no és contínua en i, té una discontinuïtat de salt infinit f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) No eistei f( ) La funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit f) f ( ) f( ) f( ) 5 f( ) f( ) No eistei f( ) La funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit 059 Estudia la continuïtat en i de la funció: si < f( ) 4 si si > Classifica n els tipus de discontinuïtats 40

26 SOLUCIONARI f () 4 f( ) 5 f( ) f( ) 4 f( ) No eistei f ( ) La funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit f () f( ) f( ) f( ) No eistei f( ) f( ) La funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit 060 Estudia la continuïtat de la funció en els punts i 4 si < 0 4 g ( ) si 0< si > No eistei g ( 0 ) g( ) 0 g( ) g( ) 0 0 La funció no és contínua en, té una discontinuïtat evitable g( ) g( ) No eistei g( ) g( ) ` La funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt infinit 06 Donada la funció: si 0 f( ) si 0< 4 5 si > Estudia n la continuïtat en els punts i f (0) f( ) 0 f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f (0) f ( ) La funció és contínua en 0 4

27 Límits i continuïtat de funcions f () f( ) f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f () f ( ) La funció és contínua en 06 Considera la funció: f( ) Estudia la continuïtat de f en i si si < si > f (0) f ( ) La funció és contínua en 0 f () f( ) f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f () f ( ) La funció és contínua en 06 Digues si la funció f( ) 8 si és contínua en 4 si 4 < f (4) 8 f( ) 8 4 f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f (4) 8 f ( ) La funció és contínua en Completa la definició de la funció perquè sigui contínua en si < p ( ) si si > 4

28 SOLUCIONARI La funció és contínua si: p( ) p( ) Eistei p( ) si p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) si < Aleshores, la funció és contínua si: p( ) si si > 065 Donada la funció: demostra que no és contínua en 5 5 f( ) si si 5 Eistei alguna funció contínua que coincideii amb f ( ) per a tots els valors 5? En cas afirmatiu, dóna n l epressió f (5) ( 5)( 5) 5 5 ( 5) 5 f (5) f ( ) La funció és contínua en 5 5 Eistei una funció contínua que coincidei amb f ( ) en R {5}, i té com a epressió: 5 si 5 g( ) 5 0 si Donada la funció: F ( ) si a si > Per a quins valors de a la funció F ( ) és contínua en? La funció és contínua en si: F( ) F() F() Eistei F ( ) si F ( ) F ( ) F ( ) a a F ( ) a 4

29 Límits i continuïtat de funcions 06 Considera la funció: a si < f( ) si Calcula els valors del paràmetre a per als quals f ( ) és contínua en La funció és contínua en si: f ( ) f () f () Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 4 a 4 a a f( ) 068 Donada la funció: a si f( ) a si < (a R) si > a) Calcula el valor de a perquè f sigui contínua en b) Estudia la continuïtat de f quan a a) La funció és contínua en si: f ( ) f () f () 4a Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 4a 4a a a f( ) a si b) Si a : f ( ) si < si > f () 6 f( ) 6 f( ) f( ) f( ) No eistei f( ) La funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit f () f( ) f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f () f ( ) La funció no és contínua en 44

30 SOLUCIONARI si 069 Donada la funció: f( ) k si < < ( ) si Troba el valor de k perquè la gràfica sigui contínua per a La funció és contínua en si: f ( ) f () f ( ) Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) k f( ) k ( ) b 00 Considera la funció: f( ) si a ( ) si > Troba a i b perquè la funció sigui contínua en La funció és contínua en si: f ( ) f () f () b Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) b b a a b 4 f( ) a 0 Considera la funció definida a trossos mitjançant l epressió següent: ( ) si < f( ) si si > Estudia n la continuïtat per a tot valor de en el qual la funció està definida f ( ) està formada per funcions polinòmiques; per tant, sabem que f ( ) és contínua en R {, } f () f( ) f( ) f( ) f( ) No eistei f( ) Aií doncs, f ( ) no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit f () f( ) f ( ) f ( ) No eistei f( ) f( ) 8 Aií doncs, f ( ) no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit 45

31 Límits i continuïtat de funcions 0 Sigui la funció: Estudia n la continuïtat f( ) si si > f ( ) està formada per funcions polinòmiques; per tant, sabem que f ( ) és contínua en R {} f () f( ) f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f () f ( ) La funció és contínua en Per tant, f ( ) és contínua en R 0 Considera la funció: Estudia n la continuïtat f( ) si 0 si > 0 f ( ) està formada per funcions polinòmiques; per tant, sabem que f ( ) és contínua en R {0} f (0) f( ) 0 f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f (0) f ( ) La funció és contínua en 0 Per tant, f ( ) és contínua en R 04 Considera la funció definida per: f( ) 8 6 si 8 6 si > Estudia la continuïtat de f f ( ) està formada per funcions polinòmiques; per tant, sabem que f ( ) és contínua en R {} f () f( ) f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f () f ( ) La funció és contínua en Per tant, f ( ) és contínua en R 46

32 SOLUCIONARI 05 Considera la funció: < f( ) si 0 si 0 Estudia n la continuïtat f ( ) està formada per funcions polinòmiques; per tant, sabem que f ( ) és contínua en R {0} f (0) f( ) 0 f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f (0) f ( ) La funció és contínua en 0 Per tant, f ( ) és contínua en R 06 Sigui la funció: f( ) 9 si 6 0 si > Estudia n la continuïtat f ( ) està formada per funcions polinòmiques; per tant, sabem que f ( ) és contínua en R {} f () f( ) f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f () f ( ) La funció és contínua en Per tant, f ( ) és contínua en R 0 Considera la funció: < f( ) si 0 si 0 Estudia n la continuïtat f ( ) està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que f ( ) és contínua en R {0} f (0) f( ) 0 f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f (0) 0 f ( ) La funció és contínua en Per tant, f ( ) és contínua en R 4

33 Límits i continuïtat de funcions 08 Donada la funció: si f( ) 9 si < 6 0 si > Estudia n la continuïtat f ( ) està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que f ( ) és contínua en R {, } f () f( ) f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f () f ( ) La funció és contínua en f () 09 Sigui la funció: f( ) f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f () f ( ) La funció és contínua en Per tant, f ( ) és contínua en R Estudia n la continuïtat 5 si f( ) 6 0 si < < si 5 f ( ) està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que f ( ) és contínua en R {, 5} f () 5 f( ) 5 f ( ) f ( ) No eistei f( ) f( ) Per tant, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit f (5) 5 f( ) 5 5 f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f (5) 5 5 f ( ) La funció és contínua en 5 Per tant, f ( ) és contínua en R {} 48

34 SOLUCIONARI 080 Donada la funció: Estudia la continuïtat de f < f( ) 6 si si f ( ) està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que f ( ) és contínua en (, ) (, ) f () 4 f( ) f( ) f( ) No eiste f( ) f( ) 4 Per tant, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit 08 Estudia la continuïtat en l interval [0, 4] de la funció següent: < f( ) si si 4 f ( ) està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que f ( ) és contínua en (0, ) (, 4) f () 5 f( ) 5 f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) 5 f () 5 f ( ) La funció és contínua en Per tant, f ( ) és contínua en (0, 4) 08 On es troben les discontinuïtats d aquestes funcions? De quin tipus són? a) y 5 b) y c) y a) No eistei f () d) y e) y f) y f( ) ` No eistei f( ) f( ) ` La funció té en una discontinuïtat de salt infinit 49

35 Límits i continuïtat de funcions b) f( ) ` f( ) ` f( ) ` La funció té en una discontinuïtat de salt infinit c) 4 6 No eistei f ( ) f( ) ` No eistei f( ) f( ) ` No eistei f ( ) ( ) f( ) ( )( ) ( ) 8 La funció és contínua en R {, }, té una discontinuïtat evitable en i una discontinuïtat evitable en d) 0 per a qualsevol valor de, no hi ha punts de discontinuïtat e) 0 No eistei f ( ) ( ) f( ) ( )( ) No eistei f ( ) f( ) ` No eistei f( ) f( ) ` La funció és contínua en R {, }, té una discontinuïtat evitable en i una discontinuïtat de salt infinit en f) No eistei f ( 0 ) f( ) ` 0 No eistei f( ) f( ) ` 0 0 No eistei f ( ) f( ) ` No eistei f( ) f( ) ` La funció és contínua en R {0, }, té discontinuïtats de salt infinit en i en 50

36 SOLUCIONARI 08 Estudia la continuïtat d aquesta funció: si < f( ) si 8 > si Especifica els tipus de discontinuïtat que presenti f( ) és una funció polinòmica; per tant, f ( ) és contínua en (`, ) f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) és contínua en 8 f( ) està definida en R {}; per tant, f ( ) és contínua en (, ) (, `) No eistei f ( ) f( ) ` No eistei f( ) f( ) ` La funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt infinit 084 Donada la funció: 4 si < h ( ) 4 si < si > Hi eistei alguna discontinuïtat evitable? Com es podria evitar? 4 h( ) està definida en R {}; per tant, h( ) és contínua en (`, ) (, ) No eistei h( ) h( ) ` h( ) ` No eistei h( ) Aií doncs, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt infinit 5

37 Límits i continuïtat de funcions Estudiem què passa en el punt : h( ) 4 h( ) 4 h( ) 4 h( ) 4 h( ) h( ) h( ) és contínua en h( ) 4 és una funció polinòmica; aií doncs, h( ) és contínua en (, ) h( ) està definida en R {}; per tant, h( ) és contínua en (, `) Estudiem què passa en el punt : No eistei h() h( ) No eistei h( ) h( ) 8 Aií doncs, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit 085 Sigui la funció: Estudia la continuïtat d aquesta funció f( ) si 4 8 si > 4 f ( ) està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que f ( ) és contínua en R {4} f (4) f( ) 4 f ( ) f ( ) Eistei f( ) f( ) f (4) f ( ) La funció és contínua en 4 4 Per tant, f ( ) és contínua en R 086 Sigui la funció: Estudia n la continuïtat ( ) si 0 < < f( ) si 0 si 4 5

38 SOLUCIONARI f ( ) ( ) Funció polinòmica f ( ) és contínua en (`, 0) f ( ) Definida en R {0} f ( ) és contínua en (0, ) f ( ) 4 Funció polinòmica f ( ) és contínua en (, `) Estudiem el punt : f (0) f( ) 0 No eistei f( ) f( ) ` 0 0 Aií doncs, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt infinit Estudiem el punt : f () f( ) f( ) f( ) f( ) Eistei f( ) f ( ) f () f ( ) és contínua en Aií doncs, la funció no és contínua en R {0} 08 Epressa aquestes funcions com a funcions definides a trossos i estudia n la continuïtat a) y d) y g) y b) y 5 e) y 6 h) y c) y f ) y a) f( ) si 0 si < 0 f ( 0) 6 f( ) 0 f( ) f( ) 0 0 f( ) f( 0 ) f( ) és contínua en 0 La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que f ( ) és contínua en R 5

39 Límits i continuïtat de funcions b) f( ) 5 si 5 5 si < 5 f ( 5) f( ) 5 f( ) 5 f( ) 5 f( ) f( 5) f( ) és contínua en 5 5 La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, f ( ) és contínua en R si c) f( ) si > f 0 f( ) f( ) f( ) f( ) f f( ) és contínua en La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, f ( ) és contínua en R si d) f ( ) si< si > f () f( ) f( ) f( ) f ( ) f () f ( ) és contínua en f () f( ) f ( ) f( ) f ( ) f () f ( ) és contínua en La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, f ( ) és contínua en R 54

40 SOLUCIONARI e) 6 6 si f( ) 6 si < 6 si > f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) és contínua en f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) és contínua en La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, f ( ) és contínua en R f) 6 ± 6 6 si 6 f( ) 6 si 6 < 6 6 si > 6 f ( 6 ) f( ) ( 6 ) f( ) ( 6 ) f( ) 6 f( ) f( 6 ) f( ) és contínua en 6 6 f ( 6 ) f( ) ( 6 ) f( ) ( 6 ) f( ) 6 f( ) f( 6 ) f( ) és contínua en 6 6 La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, f ( ) és contínua en R 55

41 Límits i continuïtat de funcions g) f ( ) No eistei f (0) si 0 si < 0 f( ) ` 0 No eistei f( ) f( ) ` 0 0 Per tant, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt infinit La funció és contínua en R {0} h) f ( ) si si < No eistei f () f( ) ` f( )` f( ) ` Per tant, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt infinit La funció és contínua en R {} 088 Calcula la constant k perquè la funció següent sigui contínua en tots els punts: < f( ) si k si La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que és contínua en R {} Estudiem la continuïtat en el punt La funció és contínua en si: f ( ) f () f () k Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 9 9 k k 6 f( ) k 56

42 SOLUCIONARI 089 Donada la funció: f( ) si < k si Calcula la constant k perquè la funció sigui contínua en tots els punts La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que és contínua en R {} Estudiem la continuïtat en el punt La funció és contínua en si: f ( ) f () f () 4 k Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 4 k k 5 f( ) 4 k 090 Calcula la constant k perquè la funció següent sigui contínua en tots els punts k f( ) si < si La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que és contínua en R {} Estudiem la continuïtat en el punt La funció és contínua en si: f ( ) f () f () Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) k k f( ) 09 Calcula a, b, c i d perquè la funció f ( ) sigui contínua: si < a < f( ) si b si < 5 c si 5 < d si 5

43 Límits i continuïtat de funcions La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que és contínua en els intervals en els quals estan definides Estudiem els punts en què canvia l epressió algebraica La funció és contínua en si: f ( ) f () f () 6 a Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 6 a a 5 f( ) 6 a Si a 5, la funció és contínua en si: f ( ) f () f () b Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 4 b 4 f( ) b Si a 5 i b 4, la funció és contínua en 5 si: f ( ) f (5) 5 f (5) 5 c Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) c c 9 f( ) 5 c 5 Si a 5, b 4 i c 9, la funció és contínua en si: f ( ) f () f () d Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) d f( ) d 09 Considera la funció següent: si < f( ) a si < si Troba els valors de a per als quals f és contínua f ( ) Definida en R {0} f ( ) és contínua en (`, ) 58

44 SOLUCIONARI f ( ) a Funció polinòmica f ( ) és contínua en (, ) f ( ) Definida en R {0} f ( ) és contínua en (, ` ) Estudiem els punts en els quals canvia l epressió algebraica La funció és contínua en si: f ( ) f () f () a Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) a a 4 f( ) a Si a 4: f () f ( ) f ( ) també és contínua en 09 Calcula els valors de a, b R perquè la funció: a si 0 f( ) si 0< < b si sigui contínua en qualsevol punt f ( ) a Funció polinòmica f ( ) és contínua en (`, 0) f ( ) Definida en (, 0 ) (0, ) f ( ) és contínua en (0, ) f ( ) b Funció polinòmica f ( ) és contínua en (, ` ) Estudiem els punts en els quals canvia l epressió algebraica La funció és contínua en si: f ( ) f (0) f (0) a Eistei f( ) si f( ) 0 f( ) f( ) a ( ) ( ) f( ) ( ) 0 ( ) a ( ) La funció és contínua en si: f ( ) f () f () b Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) b f( ) b 59

45 Límits i continuïtat de funcions 094 Els beneficis, en milers d euros, per la venda d un article en funció de les despeses en publicitat, en milers d euros, vénen donats per la funció: B ( ) 5 5 si 0 ( ) 0 si < 8 en què representa la quantitat, en milers d euros, que es gasta en publicitat, i B() els beneficis, en milers d euros, que l empresa productora rep per la venda de l article És contínua, aquesta funció? Què passa si la despesa de publicitat és superior a 8000? La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, és contínua en els intervals en els quals estan definides Estudiem el punt en què canvia l epressió algebraica La funció és contínua en si: f ( ) f () f () Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) Eistei f( ) f( ) f ( ) f () f ( ) és contínua en Per tant, la funció és contínua en (0, 8) La funció no està definida per a valors reals més grans que 8, és a dir, no es poden determinar els beneficis a partir de Segons una determinada teoria mèdica, el perill d un virus es mesura en funció del temps que porta en l organisme mitjançant l epressió següent, en què P (t ) és per a un temps de t minuts: t si 0 t 5 Pt () 50t 6, 5 si t > 5 05, t 5 Estudia la continuïtat de la intensitat com a funció del temps P(t) t Funció polinòmica P ( t ) és contínua en (0, 5) P(t) f (5) 5 50t 6,5 0,5t 5 Definida en R {0} P ( t ) és contínua en (5, ` ) Pt ( ) 5 t 5 Pt () 5 Pt ( ) 5 t 5 t 5 t 5 P(t) P(5) P ( t ) és contínua en t 5 Per tant, la funció és contínua en (0, `) 60

46 SOLUCIONARI 096 Un inversor empra la funció següent per reinvertir a la Borsa part del capital que obté mensualment R ( ) representa la quantitat reinvertida quan el capital obtingut és (tant la quantitat com el capital, en euros): 0 si 0 < 600 R ( ) si , La quantitat reinvertida és una funció contínua del capital obtingut? R( ) Funció constant R ( ) és contínua en (0, 600) R( ) , R (600) 60 R ( ) 600 No eistei R ( ) R ( ) Está definida en R {6400} R ( ) és contínua en (600, ` ) Per tant, la funció no és contínua en 600, té una discontinuïtat de salt finit 09 Un article es ven segons aquesta regla: A 0,50 el kilo, si 0 < 0 A,50 el kilo, si 0 < 0 A 5,50 el kilo, si 0 Escriu la funció que representa el preu de venda amb «pes en kilos» i estudia n la continuïtat 0,50 si 0 < 0 f ( ),50 si 0 < 0 5,50 si 0 La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que és contínua en els intervals en els quals estan definides Estudiem els punts en què canvia l epressió algebraica La funció és contínua en si: f ( ) f (0) 0 f (0) 5 Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 5 0 No eistei f( ) f( ) Per tant, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit 6

47 Límits i continuïtat de funcions La funció és contínua en si: f ( ) f (0) 0 f (0) Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 50 0 No eistei f( ) f( ) 0 0 Per tant, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit 098 Cada mes, una empresa decidei la despesa en publicitat en base als beneficis que espera obtenir durant aquest mes Per fer-ho, utilitza la funció següent, on D és la despesa en publicitat, en centenars d euros, i són els beneficis esperats, en milers d euros: 6 si 0 9 G ( ) si > 9 0 La despesa en publicitat és una funció contínua del benefici? G( ) 6 G( ) 6 Funció polinòmica G ( ) és contínua en (0, 9) Definida en R {0} G ( ) és contínua en ( 9, ` ) 0 Estudiem el punt en el qual canvia l epressió algebraica La funció és contínua en 9 si: G( ) G(9) 9 G ( 9 ),5 Eistei G ( ) si G ( ) G ( ) G ( ), 5 9 G ( ), 5 G ( ), G( ) G(9) G ( ) és contínua en 9 9 Per tant, la funció és contínua en (0, `) 099 El pes que una plana d un material determinat és capaç de suportar depèn de l edat de la plana segons la funció següent (el pes P en tones; t representa l edat en anys de la plana): 50 t si 0 t Pt () 0t 56 si t > t El pes és una funció contínua de l edat? A mesura que passi el temps, la plana aguantarà cada vegada menys pes? 6

48 SOLUCIONARI Les funcions són contínues en els intervals en els quals estan definides: En (0, ) la funció és una funció polinòmica; aií doncs, és contínua En (, `) podria presentar una discontinuïtat en els punts en els quals s anul li el denominador: t t Com que (, `), la funció és contínua en (, `) Per tant, P(t) és contínua si és contínua en t, és a dir, si: P(t) P() t P ( ) 4 Eistei Pt ( ) si Pt ( ) Pt ( ) t t t Pt ( ) 4 t Pt () Pt ( ) 4 t t 4 P(t) P() P ( t ) és contínua en t t Aií doncs, la funció és contínua en (0, `) P(t) 56 0t t ` t ` t Per tant, a mesura que passi el temps la plana aguantarà un pes de 6 tones 00 El preu, en euros, de litres d oli comprats en una almàssera ve donat per la funció: P ( ) si 0 0 a 000 si > 0 a) Determina el valor de la constant a perquè la funció P ( ) sigui contínua b) Si compressin moltíssims litres d oli, quant sortiria aproimadament el preu de cada litre? a) Com que les funcions són contínues en els intervals en els quals estan definides, f ( ) és contínua si és contínua en, és a dir, si: P( ) P(0) 0 P ( 0 ) 60 Eistei P ( ) si P ( ) P ( ) P ( ) a 000 P ( ) 400a a a 4 b) El preu de cada litre seria: P( ) P( ) ` ` a 000 a /litre 6

49 Límits i continuïtat de funcions PREPARA LA SELECTIVITAT (Activitats de Selectivitat) Sigui, en euros, el preu de venda del litre d oli d oliva verge etra Considera: 4 f( ) amb 0 la funció que representa el balanç econòmic quinzenal, en milers d euros, d una empresa agrícola Estan itats els guanys quinzenals d aquesta empresa? I les pèrdues? Com més alt sigui el preu de l oli,, més grans seran els guanys: 4 ` Els guanys quinzenals més grans de l empresa poden ser de 000 Les pèrdues es produiran quan el preu del litre d oli,, sigui molt bai, és a dir, quan tendeii a Les pèrdues quinzenals més grans de l empresa poden ser de 000 Considera la funció: si 0 f( ) si 0< si > Estudia n la continuïtat en els punts i f (0) Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 0 No eistei f( ) f( ) 0 0 Aií doncs, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt infinit f () Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) f ( ) f( ) f ( ) f () f ( ) és contínua en 64

50 SOLUCIONARI Sigui la funció: t 5t si 0 t < ft () t t9 si t 5 t 6 si 5 < t 0 Estudia la continuïtat de f en t i t 5 f () 8 Eistei ft ( ) si ft ( ) ft ( ) t t t ft ( ) 8 t ft () 8 ft ( ) 8 t t f (t) f () f (t) és contínua en t t f (5) 6 Eistei ft ( ) si ft ( ) ft ( ) t 5 t 5 t 5 ft ( ) 6 t 5 ft () 6 ft ( ) 6 t 5 t 5 f (t) f (5) f (t) és contínua en t 5 t 5 4 Sigui la funció: Analitza n la continuïtat < f( ) si 4 si La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que és contínua en els intervals en els quals estan definides Estudiem el punt en què canvia l epressió algebraica La funció és contínua en si: f ( ) f () f () Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) f ( ) f( ) f ( ) f () f ( ) és contínua en Per tant, la funció és contínua en R 65

51 Límits i continuïtat de funcions 5 Un determinat article es ven a un preu o a un altre segons la quantitat que se n compra, d acord amb les dades següents: A 0 el kilo, si 0 < 5 A 9 el kilo, si 5 < 0 A el kilo, si 0 < 0 A 5 el kilo, si 0 En què representa el pes en kilos de la quantitat comprada a) Escriu la funció que representa el preu de l article b) Estudia n la continuïtat 0 si 0 < 5 9 si 5 < 0 a) f ( ) si 0 < 0 5 si 0 b) La funció està formada per funcions polinòmiques; aií doncs, sabem que és contínua en els intervals en els quals estan definides f (5) 45 Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 50 5 No eistei f( ) f( ) Per tant, la funció no és contínua en 5, té una discontinuïtat de salt finit f (0) 0 Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 90 0 No eistei f( ) f( ) Per tant, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit f (0) 0 Eistei f( ) si f( ) f( ) f( ) 40 0 No eistei f( ) f( ) Per tant, la funció no és contínua en, té una discontinuïtat de salt finit 66

52 SOLUCIONARI 5 6 Estudia la continuïtat de la funció f( ) i classifica les discontinuïtats 5 6 que hi trobis És possible tornar a definir la funció per evitar alguna discontinuïtat? 5 6 No eistei f () ( )( ) ( )( ) Eistei f( ) Así, és un punt de discontinuïtat evitable No eistei f () ` f( ) ` No eistei f( ) f( ) ` Per tant, és un punt de discontinuïtat de salt infinit Aií doncs, la funció és contínua en R {, } Com que la primera discontinuïtat és evitable, podem definir la funció de la manera següent perquè sigui contínua en : 5 si f ( ) 5 6 si 6