MMSPEA2 mejora del SPEA2 para problemas multi-modales: aplicación al RCMPSP

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1 MM mejora del para problemas multi-modales: aplicación al RCMPSP Pérez Vazquez, E. 1, Posada Calvo, M. 2, Herrera Triguero, F. 3 Resumen Un problema multi-modal es aquel que presenta múltiples óptimos tanto locales como globales. En problemas de un único objetivo la multi-modalidad ocasiona convergencia prematura a un óptimo local o convergencia a un único o a pocos óptimos globales. Para evitarlo se han desarrollado diferentes procesos de diversificación mediante los cuales se divide el espacio de búsqueda en zonas llamadas nichos. La competición se establece entre individuos del mismo nicho, siendo prácticamente nula entre nichos. En la optimización multi-objetivo, se han implementado procesos de diversificación pero en el espacio de objetivos para obtener soluciones distribuidas a lo largo de la Frontera Pareto, pero no tienen en cuenta el problema de la multi-modalidad en el espacio de decisión. En este artículo se presenta la primera modificación del algoritmo para adaptarlo a problemas multi-modales, en el que se implementan medidas de diversificación tanto en el espacio de objetivos como en el de decisión, permitiendo obtener Fronteras Pareto más cercanas a la óptima. Para ello, es necesario introducir un nuevo concepto, el de punto de no dominación, frente a lo que clásicamente se conoce como soluciones no dominadas. El algoritmo desarrollado denominado MM se ha aplicado al problema multi-modal RCMPSP mejorando los resultados obtenidos por el. Palabras clave Optimización multi-objetivo, algoritmos genéticos, problemas multi-modales. I. INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN MULTI- OBJETIVO EN PROBLEMAS MULTI-MODALES La optimización multi-objetivo se define de la siguiente forma [1]: Mimimizar [f 1 (x), f 2 (x),, f M (x)] s.a.: J restricciones del tipo g j (x) 0 con j=1 hasta J, K restricciones del tipo h k (x)=0 con k=1 hasta K, y x i (l) x i x i (u) con x D (espacio de las variables de decisión o espacio de decisión) con x={x 1, x 2,, x N } donde M es número de objetivos y N el número de variables. En los problema de optimización multi-objetivo las funciones objetivo suelen estar en conflicto entre si, por lo que no existe una única solución buena sino un conjunto denominado Frontera Pareto (FP) [2]. 1 Depto. Organización de Empresas y CIM. Universidad de Valladolid. elena@eii.uva.es 2 Depto. Organización de Empresas y CIM. Universidad de Valladolid. posada@eii.uva.es 3 Depto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial. Universidad de Granada. herrera@decsai.ugr.es Las soluciones que forman la FP se denominan soluciones no dominadas, cuya definición clásica para un problema de minimización es la siguiente: una solución x es no dominada sii no existe otra solución x' tal que f i (x') f i (x), para todo i=1,..,m y f i (x')< f i (x), para algún i. Esta definición es válida en los problemas clásicos de optimización, sin embargo cuando tratamos problemas multi-modales nos encontramos con soluciones distintas en el espacio de decisión con el mismo valor en el espacio de óptimos, es decir, diferentes soluciones x 1, x 2 y x 3, siendo x 1 x 2 x 3 con f i (x 1 ) = f i (x 2 )= f i (x 3 ), para todo i=1,..,m (ver Fig. 1). Por lo tanto, x 1, x 2 y x 3 están en el mismo punto no dominado de la FP, y según la definición de no dominación son no dominadas. Por lo tanto, es necesario diferenciar el punto que pertenece a la FP en el espacio de objetivos, al que denominamos punto de no dominación (punto z en la Fig.1), con las soluciones distintas entre si en el espacio de decisión, pero que pertenecen al mismo punto no dominado de la PF, a las que llamaremos soluciones no dominadas (puntos x 1, x 2 y x 3 de la, ver Fig.1) Fig. 1. x1 x 1 x 2 x2 x 3 x3 Optimización multi-objetivo multi-modal. No tener en cuenta que en cada punto de no dominación pueden existir diferentes soluciones no dominadas ocasiona problemas en el rendimiento de los algoritmos evolutivos multi-objetivo (MOEA s). El principal problema es que como todas las soluciones de un mismo punto no dominado son consideradas como no dominadas, la población puede estar formada mayoritariamente por múltiples soluciones (incluso idénticas) de un solo punto no dominado ocasionando pérdida de diversidad en el espacio de objetivos y proporcionando FP mal formadas (pocos puntos, mala distribución y lejanas a la FP óptima). z1 z z2

2 Otro problema se presenta cuando optimizamos varios objetivos en problemas multi-modales discretos, como es el caso de casi todos los problemas de secuenciación. La FP no es continua sino que está formada por un conjunto de soluciones discretas, lo que hace que pocas veces se necesite llegar a aplicar los procedimientos de truncado que suelen implementar los MOEA`s para evitar que el conjunto de soluciones no dominadas crezca demasiado. Esto puede provocar que soluciones no dominadas distintas en el espacio de decisión pero que pertenecen al mismo punto no dominado no pasen por el proceso de truncado y se permita que vayan ocupando la mayoría de las posiciones en la población arrinconando a otros puntos no dominados con pocas soluciones, perdiendo diversidad. Para evitar estos problemas proponemos una técnica de diversificación en el espacio de decisión que limita el número de soluciones no dominadas que pueden pertenecer a un mismo punto de no dominación y elimina la existencia de copias idénticas. Esta técnica se puede aplicar a cualquier MOEA s pero para este trabajo hemos seleccionado a una de las más conocidas, el [3] desarrollando el algoritmo MM. Para demostrar las ventajas del MM frente al se han aplicado a la optimización multiobjetivo de un problema multi-modal: el problema de secuenciación de múltiples proyectos con recursos limitados (las siglas del problema en inglés son RCMPSP). El artículo se distribuye de la siguiente forma, en la sección 2 se desarrolla el problema RCMPSP analizando las funciones objetivo seleccionadas y explicando los diferentes operadores genéticos adaptados a este problema. La sección 3 se explica el y en la sección se detalla la modificación que se propone en este trabajo: el MM. En la sección 5 se detallará y analizará la experimentación realizada obteniéndose las principales conclusiones. Terminando la contribución con las conclusiones generales. II. SECUENCIACIÓN DE MÚLTIPLES PROYECTOS CON RECURSOS LIMITADOS: RCMPSP El RCMPSP busca obtener la secuencia óptima de todas las actividades que son necesarias para la realización de cada uno de los M proyectos que forman parte del problema, teniendo en cuenta restricciones tanto de precedencia entre las actividades de un mismo proyecto, como de utilización de unos recursos comunes limitados en cantidad. Por lo tanto, partimos de un conjunto de actividades a realizar, un conjunto de recursos con los que podremos realizar las actividades, unas restricciones de precedencia entre dichas actividades y una función objetivo que determinará la bondad de una solución. En la Tabla 1 se puede ver un ejemplo del problema que consta de 3 proyectos con 5, y actividades y 2 recursos comunes R 1 y R 2 cuyas cantidades están limitadas a 6 y 7 respectivamente. TABLA I Project 1 A 11 A 21 A 31 A 1 A 51 R A 11 3 R 1=5 A R 2=2 A 31 3 R 2=5 A 1 1 R 2=2 A R 1=3 Project 2 A 12 A 22 A 32 A 2 A 12 3 R 1=2 A 22 1 R 2=5 A R 2=2 A R 2=1 Project 3 A 13 A 23 A 33 A 3 A 13 3 R 1=5 A R 2=3 A 33 1 R 1=3 A R 2=2 Ejemplo sencillo de un RCMPSP La nomenclatura para el problema de secuenciación de un único proyecto es la siguiente. Tenemos A ij actividades a realizar con i desde 1 hasta N j (número total de actividades del proyecto j), la duración de cada una de ellas estará dada por d ij. Cada actividad consume r ijk recursos del tipo k, hay disponible R k cantidad del recurso k, y tenemos disponibles K tipos diferentes de recursos. El problema presenta diferentes variantes: En primer lugar, el momento en el que está disponible cada proyecto. Pueden ser idéntico, todos los proyectos están disponibles al comenzar en un tiempo relativo cero. O por el contrario, cada proyecto puede estar disponible en diferentes momentos, en las que las actividades iniciales de cada proyecto tiene su propia fecha de inicio. En cuanto a los recursos, pueden ser comunes a todos los proyectos, y las actividades de cada proyecto competirán entre si para su consumo. O en cambio, cada proyecto tiene sus propios recursos (recursos locales), existiendo un conjunto de recursos comunes a todos los proyectos (recursos globales). Nosotros para este trabajo hemos optado por la opción en la que todos los proyectos están disponibles desde el inicio y todos los recursos son globales. La función objetivo en problemas multiproyecto se puede formular teniendo en cuenta tiempos de finalización (minimizando el tiempo de finalización del proyecto que finaliza más tarde), en términos de retraso (minimizando el retraso del proyecto que se retrasa mas, o una media de retrasos) o en función de costes. Las funciones que

3 han sido más utilizadas por los investigadores y por lo tanto las que vamos a tener en cuenta son: Minimizar el tiempo total de finalización (minimizar el makespan), MIN C max. (ver ecuación 1). ([] para el problema del job shop; [5] para el problema de un único proyecto): (1) Siendo D Rj la fecha de finalización del proyecto j cuando se consideran las limitaciones de recursos, con j=1 hasta M siendo M el número de proyectos Minimizar el porcentaje medio de retraso, MIN Av.Delay (ver ecuación 2), analizado en [6]: (2) Siendo CP j la fecha de finalización del proyecto j si no existiera la limitación de los recursos. Ambos objetivos entran en conflicto. Cuando se minimiza la duración total, el retraso aumenta, y si minimizamos sólo el retraso, la duración total aumenta. Por lo que son dos objetivos idóneos para realizar con ellos optimización multi-objetivo. La adaptación de los algoritmos genéticos al problema del RCMPSP se ha realizado como se comenta en las siguientes subsecciones. II.A. CODIFICACIÓN PARA EL RCMPSP. Los Algoritmos Genéticos se ha utilizado para resolver el problema RCMPSP utilizando diversas codificaciones: las denominadas Random Keys, RK (prioridades aleatorias) [7] y Activity List, AL (Lista de Actividades) [8]. Nosotros proponemos una nueva codificación denominada Reglas de Prioridad, PR (Priority Rules). En un estudio previo realizado se ha demostrado que la codificación más adecuada depende del objetivo a optimizar. Si queremos optimizar Cmax la mejor codificación es la PR, mientras que si optimizamos el retraso medio la mejor codificación es la RK [9]. Para este estudio, en el que se han utilizado las dos funciones objetivo para tratar el problema como uno de optimización multi-objetivo, hemos seleccionado la codificación PR. La codificación PR es una adaptación de la permutacional con repetición ya existente para el problema del job shop [10] donde cada proyecto se codifica con un número entero, repetido tantas veces como actividades tenga ese proyecto. Por ejemplo, para los datos del problema mostrado en la Tabla 1 una posible solución codificada sería [ ], como hay tres proyectos hay tres números enteros (1, 2 y 3). El número 1 corresponde al primer proyecto que al constar de 5 actividades se repite en la cadena de codificación 5 veces. Los números 2 y 3 se repetirán veces cada uno de ellos. El proceso de descodificación lee la cadena de izquierda a derecha. El primer número es un 1 por lo que la primera actividad secuenciada pertenece a este proyecto. Entonces de entre todas las actividades secuenciables del proyecto 1 se selecciona la que minimice o maximice una regla de prioridad específica al problema de secuenciación y fijada previamente (por ejemplo puede ser la LPT, donde se selecciona la actividad con la mayor duración). El proceso continua con el siguiente número que es otro 1, por lo que se volverá a elegir a la actividad de mayor prioridad de entre las secuenciables del proyecto 1. El siguiente número es un 2, por lo que se seleccionará la actividad de mayor prioridad de entre las secuenciables del proyecto 2. Así continuaremos hasta el último número de la derecha que secuenciará la última actividad que queda del problema, obteniéndose así la secuencia de actividades. II.B. OPERADORES GENÉTICOS Se han utilizado dos operadores clásicos para la codificación permutacional con repetición: Operador Cruce Ordenado: OX, [11]. Operador Mutación basado en el orden OBM, [10]. Ambos operadores han sido adaptados al problema del job shop y comparados con otros específicos para la codificación permutacional con repetición, siendo los que han obtenido mejores resultados [12]. III. ALGORITMOS GENÉTICOS MULTI-OBJETIVO: SPEA-2 Las primeras investigaciones sobre los algoritmos evolutivos multi-objetivo (MOEA por su siglas en inglés) se remontan a 1985 [13]. Desde entonces, se han desarrollado muchos algoritmos y se han realizado una gran cantidad de investigaciones aumentando exponencialmente en los últimos 10 años [1]. Los MOEA se dividen en dos grupos (o generaciones) [1]. En la primera generación el elitismo no estaba implementado por lo que las buenas soluciones de la Frontera Pareto encontradas se perdían a lo largo del proceso evolutivo. Las aportaciones mas importantes fueron: Vector Evaluated Genetic Algorithm [13], Vector-Optimized Evolution Strategy [15], Weight-Based Genetic Algorithm [16], Multi-Objective Genetic Algorithm [17], Non- Dominated Sorting Genetic Algorithm [18], Niched Pareto Genetic Algorithm [19]. En la segunda generación, para evitar las pérdidas de buenas soluciones se implementaron diversos mecanismos de elitismo. Las

4 contribuciones más relevantes son: Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm-II [20], Distance-Based Pareto Genetic Algorithm [21], Strenght Pareto Evolutionary Algorithm-2 [3], Pareto-Archived Evolution Strategy [22], Multiobjective Evolutionary Algorithm Based on Decomposition [23]. En este estudio nos hemos centrado en uno de los algoritmos más utilizados el Strenght Pareto Evolutionary Algorithm-2 [3]. Fué desarollado en 2001 como modificación del SPEA [2]. Se basa en la identificación de las soluciones no dominadas y en función del número de soluciones a las que dominan y por las que son dominadas se les asigna una calidad que es utilizada en torneo binario para obtener el conjunto de padres. Las soluciones no dominadas encontradas a lo largo de la búsqueda son almacenadas en un conjunto exterior de tamaño fijo igual al de la población (denominado conjunto de archivo). Para que este conjunto no crezca desmesuradamente se aplican técnicas de truncado. Al final de cada iteración se unen la población recién creada de hijos P con el conjunto de archivo para actualizar el nuevo conjunto de archivo que es el conjunto sobre el que se hace la selección para obtener a los padres de la siguiente generación. El sistema evalúa a cada solución de la unión (P U ). En un primer paso se calcula para cada solución de la unión de conjuntos el número de soluciones de (P U ) a las que la solución i domina (nc i ). La calidad inicial de la solución j es la suma de los valores nc i de las soluciones i por las que j es dominada. Por lo tanto, las soluciones no dominadas que pertenecen a la Frontera tienen una calidad inicial de 0. A esta calidad inicial de cada solución se le añade una cantidad extra relacionada con la distancia al resto de soluciones (denominada distancia k-th), de tal forma que si la solución pertenece a una zona densamente poblada en el espacio de objetivos, esta parte de la calidad estará penalizada asignándola un valor más alto que si la solución estuviera aislada. Este mecanismo es el proceso de diversificación en el espacio de objetivos que el implementa para formar FP uniformemente distribuidas. De la unión (P U ) se seleccionan a los individuos no dominados. Si el número de no dominados es inferior al tamaño del conjunto de archivo (N del mismo tamaño que la población de hijos) todas las soluciones no dominadas sobreviven y son almacenadas en el nuevo conjunto de archivo. El resto de puestos del conjunto de archivo no ocupados se rellenan con las mejores soluciones dominadas (según la calidad descrita anteriormente). Si por el contrario el número es mayor, se realiza un truncado, que consiste en ir eliminando las soluciones que tengan la menor distancia a su individuo más cercano, hasta quedarnos con las N soluciones no dominadas con las que se rellena el conjunto de archivo. Una vez actualizado el nuevo conjunto de archivo se realiza el torneo binario por el que se obtiene a los padres de la siguiente generación. El torneo lo ganan los individuos de menor calidad. Se realiza el proceso de reproducción sobre el conjunto de padres para obtener el nuevo conjunto de hijos que sirve para volver a actualizar el conjunto de archivo y así cerrar el ciclo del proceso evolutivo. IV. MULTI-MODALIDAD EN EL ESPACIO DE DECISIÓN EN LOS MOEA S: MMSPEA-2 Un problema de optimización se considera multi-modal cuando existen múltiples óptimos tanto locales como globales. Es decir, soluciones que corresponden a puntos diferentes en el espacio de decisión que están el mismo punto en el espacio de objetivos (como en la Fig.1). En optimización de un único objetivo estos problemas han representado un desafío por que los procesos de búsqueda quedaban fácilmente atrapados en zonas de óptimos locales proporcionando convergencia prematura y pobres resultados, o si son capaces de encontrar un óptimo global, solo son capaces de encontrar uno o un número muy reducido de óptimos globales de todos los posibles. Para evitar estos problemas de convergencia y pérdida de diversidad se desarrollaron algoritmos genéticos específicos dotados de procesos que dividen la población en zonas diferentes del espacio de decisión limitando la competencia de las soluciones a estas zonas, y eliminando (parcialmente) la competencia de las soluciones entre diferentes zonas. A estos algoritmos se les conoce como algoritmos multi-modales MMGA. En la página web: se puede encontrar la descripción detallada de los principales algoritmos MMGA con ejecutables para el problema específico del Job Shop. La multi-modalidad también afecta a la optimización multi-objetivo porque los MOEAs tradicionales no tienen en cuenta la existencia de muchas soluciones distintas pertenecientes al mismo punto de la FP. Por ello, es necesario definir un nuevo concepto, el de punto no dominado diferente a lo que clásicamente se conoce como solución no dominada: Vamos a suponer que z es un punto no dominado de la Frontera Pareto y x q es la solución q-th perteneciente al punto no dominado z para q= 1, 2,..Q, sii Q soluciones diferentes en el espacio de decisión donde z=f(x 1 )=F(x 2 )= F(x Q ). Las FP para problemas multi-modal como el RCMPSP son peculiares porque hay múltiples soluciones no dominadas que pertenecen a cada uno de los puntos no dominados de la frontera. Esto puede ocasionar diferentes problemas en los MOEAs según el método de diversificación en el espacio de

5 óptimos que implementen. Uno de ellos es que las soluciones no dominadas de un único punto ocupen toda la población produciendo una defectuosa convergencia a una zona determinada de la FP (obteniendo menos puntos de la misma). Otro posible problema es que sólo se obtenga una única solución o una muestra muy pequeña de cada punto de la FP, lo que ocasiona pérdida de diversidad y con ello, FP bien distribuidas pero más alejadas de la óptima (convergencia más lenta). Para evitar estos problemas planteamos una modificación en el para introducir diversificación también en el espacio de decisión. Al nuevo algoritmo le hemos denominado MM. Aunque la modificación que presentamos se hace sobre el se puede aplicar a cualquier MOEA cuyo proceso de optimización se base en la definición de solución no dominada. IV.A. MM: Multi-Modal Streght Pareto Evolutionary Algorithm-2 La modificación planteada consistente en limitar el número de soluciones no dominadas que pueden pertenecer a cada punto no dominado de la FP. De esta forma, la frontera formada está mejor distribuida (con más puntos no dominados) y más cerca a la óptima que la que se obtiene con el método clásico. La única diferencia con el algoritmo se da en el proceso de clasificación de soluciones dominadas y no dominadas cuando unimos el conjunto de hijos P y el conjunto de archivo (P U ) para actualizar y obtener el nuevo conjunto de archivo de donde seleccionar a los padres. El proceso que se realiza en este punto se describe a continuación. Analizamos cada solución de la unión de conjuntos (P U ), se pueden dar tres situaciones: 1. La solución es dominada (en el sentido clásico) por otra solución cualquiera de (P U ) por lo que será clasificada como dominada. 2. La solución es no dominada (en el sentido clásico). Entonces, se analiza a qué punto de la FP pertenece, si es a un punto en el que todavía no se ha detectado soluciones no dominadas, entonces la solución se clasifica como no dominada y el contador se pone a La solución es no dominada y pertenece a un punto no dominado en el que ya existen soluciones no dominadas analizadas previamente (por lo que su contador estará entre 1 y el valor máximo permitido: W). Si el contador del punto no dominado es menor que W analizamos si la solución es diferente (en el espacio de decisión) a las que ya están asignadas al punto (ver ecuación 3). Si la distancia a todas las demás soluciones del punto es mayor que 0, es una solución distinta a las que ya existen y se la clasifica como no dominada y el contador del punto se incrementa una unidad. Si alguna distancia es 0 esto quiere decir que esta solución es idéntica a una de las que ya han sido analizadas, por lo que se la considera como solución dominada. No se incrementa el valor W. De esta forma evitamos que copias idénticas llenen los diferentes puntos de la FP perdiendo diversidad. El cálculo de la distancia utilizada para detectar copias se realiza en el espacio de decisión según la siguiente ecuación:, (3) Donde N es el número de variables del problema.. La solución es no dominada y el contador del punto no dominado al que pertenece es igual a W. Entonces este punto se considera lleno y ninguna solución que se analice posteriormente podrá ser asignado a él. De esta forma, evitamos que un único punto de la FP llene todas las posiciones del conjunto de archivo perdiendo otros puntos de la frontera. El valor W no se incrementa. El resto de procesos que se realizan en el se mantienen. Después de clasificar a las soluciones en no dominadas y dominadas se calcula la calidad siguiendo el proceso original. Se actualiza el conjunto de archivo con las soluciones no dominadas y después se realiza selección y reproducción. V. MMSPEA-2 APLICADO AL RCMPSP En esta sección comentaremos los ejemplos sobre los que se ha realizado la experimentación, estableceremos los parámetros y las medidas que nos van a servir para realizar la comparación del método propuesto en esta contribución: MM con el original. V.A EJEMPLOS UTILIZADOS Tener un banco de ejemplos con datos sobre óptimos es muy importante para evaluar la potencia de los nuevos algoritmos que van surgiendo en un área determinada. Existen librerías de ejemplos ampliamente conocidos en investigación operativa. Sin embargo, para el problema clásico del RCMPSP no existe ninguna librería al ser un área de reciente investigación. Los artículos publicados hasta la fecha utilizan un conjunto de ejemplos generados aleatoriamente y sobre los que se aplican los diferentes algoritmos. Sin embargo, esta forma de investigación no permite la comparación entre algoritmos. Se ha desarrollado un generador aleatorio de ejemplos [25] que presenta dos inconvenientes, el primero es que es aleatorio por lo que la comparación entre algoritmos de diferentes autores

6 es imposible, y el segundo inconveniente es que genera ejemplos de pequeño tamaño 3 proyectos con 20 actividades cada uno de ellos. En el mundo real los gestores de proyectos manejan normalmente mas de proyectos a la vez [26], cada uno de ellos con más de 50 actividades [27]. Para poder resolver el problema de la falta de ejemplos estándar hemos creado una librería, que inicialmente consta de 16 ejemplos de diversos tamaños. De los que también proporcionamos el valor del óptimo alcanzado para dos funciones objetivos diferentes. En el apéndice 1 se muestra la tabla con las características principales de los ejemplos utilizados en esta experimentación. Los 1 primeros ejemplos se han creado uniendo varios proyectos de la librería de Kolisch [28]. Los dos últimos han sido creados para conocer el óptimo del valor Cmax. V.B PARÁMETROS Los parámetros de la simulación están resumidos en la Tabla 2. Para un problema de dos objetivos el tamaño óptimo tanto de la población como del conjunto de archive en el es de 250 [3, 2]. TABLA 2: PARÁMETROS GENERALES Parámetros Valores Operador Cruce OX (probabilidad 80%) Operador Mutación OBM (probabilidad 20%) Condición de Parada evaluaciones para M evaluaciones para M >5 Ejecuciones 30 repeticiones El algoritmo que proponemos en este trabajo, MM, tiene como único parámetro extra respecto al original el número máximo de soluciones que pueden pertenecer a cada punto no dominado (W). Se han analizado tres valores W=1, 10 y 30, para hallar su influencia en la construcción de la PF. V.C MEDIDAS UTILIZADAS EN LA EXPERIMENTACIÓN Una de las medidas mas utilizadas para comparar diferentes FP es la denominada Métrica-C definida por [2]. Suponemos que A y B son dos FP obtenidas con dos algoritmos diferentes. Con el valor C(AB) se determina el porcentaje de soluciones de la FP B que son dominadas por al menos una solución perteneciente a la FP A (ver ecuación ). C(AB) = u B v A: v dominate u B, () Cuando: - C(BA)=1 and C(AB)=0. Todas las soluciones de la Frontera A son dominadas por al menos una solución de la Frontera B y ninguna de B es dominada por las de A. - C(AB)<1 y C(BA)<1. Algunas soluciones de la Frontera A son dominadas por las de B, y algunas de B son dominadas por las de A. Si C(AB) es mayor que C(BA), significa que hay mas soluciones dominadas en B por A que no dominadas, y hay mas soluciones no dominadas en A que dominadas. Por lo que es mejor la Frontera A que la B. - C(AB)=C(BA)=0, ninguna frontera domina a la otra. La métrica utilizada para comparar los dos algoritmos es el valor medio de las Métricas-C obtenidas en cada una de las 30 ejecuciones realizadas. Para problemas multi-modales no solo necesitamos comparar la situación de las PF en el espacio objetivo (Métrica-C), sino que además queremos comparar el número de puntos no dominados que forman la Frontera y el número de soluciones que contiene cada punto no dominado de la Frontera. Calcularemos para cada algoritmo: - El valor medio de los puntos no dominados obtenidos en las 30 ejecuciones: (NºP N-D). - El valor medio de número total de soluciones no dominadas (N mo S N-D). V.C ANÁLISIS NUMÉRICO Para todos los ejemplos analizados se ha obtenido que la FP generada por el MM está más cerca de la optima que la generada por el. Según la Métrica-C. (ver Tabla 3). Para todos los ejemplos, el valor C(AB) es menor que el C(BA), excepto para el ejemplo 60x2. Si analizamos el valor medio para todos los ejemplos, penúltima fila de la Tabla 3, la Frontera generada por el MM domina a la generada por el en 0.61, mientras que la Frontera del domina a la generada por el MM en un TABLA 3: MÉTRICA-C Ejemplos C(AB) C(BA) 30x x x x x x x x x x x x x x Media Desviación A= y B=MM Los valores de los puntos no dominados y el valor medio de soluciones no dominadas se muestran en el Apéndice 2:

7 - NºP N_D. Para todos los ejemplos, MMM encuentra más puntos no dominados que el. Por lo tanto, su Frontera Pareto está mejor definida. - Nº mo S N-D. Para este valor la diferencia entre ambos algoritmos es evidente. El MM obtiene más soluciones no dominadas que las que se obtiene con el, por ejemplo para el MP1, el MM obtienen de media 153,77 soluciones frente a las 3,33 alcanzadas con el. VI. CONCLUSIONES En esta contribución hemos propuesto el MM, una modificación del para mejorar la optimización multi-objetivo en problemas multi-modales, en particular para el RCMPSP. La Frontera Pareto, en este tipo de problemas, está formada por puntos no dominados en los que hay diferentes soluciones no dominadas, diferentes en el espacio de decisión pero idénticas en el espacio de objetivos. Los MOEA s clásicos no están adaptados para tratar espacios de decisión multi-modales, ya que no son capaces de limitar el número de soluciones no dominadas de cada punto no dominado, ocasionando defectos en la formación de la Frontera Pareto. Aunque la modificación se ha realizado sobre el es fácilmente aplicable sobre cualquier MOEA s que se base en la clasificación de las soluciones en dominadas y no dominadas. El algoritmo propuesto, MM se ha comparado con el clásico. Los resultados experimentales obtenidos muestran para todos los ejemplos que la Frontera Pareto que se forma con el MMPEA2 está más cerca de la óptima, está mejor definida con más puntos no dominados y tiene más soluciones no dominadas que la que se forma con el. Esto nos lleva a concluir que para los problemas multi-modales es necesario realizar una modificación en las técnicas de optimización multiobjetivo para que además de diversificar en el espacio de objetivos, se pueda diversificar en el especio de soluciones. 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