INGENIERIA de TELECOMUNICACION

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1 INGENIERIA de TELECOMUNICACION ESTADISTICA PRACTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD OBJETIVOS: Introducción a modelos de probabilidad discretos y contínuos más comunes. Caracterización, representación gráfica. Resolución mediante simulación con MATLAB/Octave de ejercicios propuestos. 1. Introducción En general, para generar variables aleatorias contínuas utilizaremos el método de la transformación inversa de la función de distribución (siempre que exista inversa). Para el caso de v.a. s discretas utilizaremos una condición booleana. No obstante, MATLAB/Octave, dispone de funciones propias para generar variables aleatorias de modelos de probabilidad conocidos. La siguienta tabla resume algunas de las funciones más importantes para la generación de números aleatorios de modelos de probabilidad para variables contínuas y discretas en MATLAB/Octave: Función Descripción Sintaxis normrnd n o aleatorios N(µ, σ) normrnd(mu,sigma,m,n) randn n o aleatorios N(0, 1) randn(m,n) exprnd n o aleatorios Exp(λ) exprnd(1/lambda,m,n) binornd n o aleatorios Bin(n, p) binornd(n,p,m,n) poissrnd n o aleatorios Poiss(λ) poissrnd(lambda,m,n) donde m y n, son respectivamente en n o de filas y columnas a generar. 2. Caso contínuo Distribución normal Recordemos que la distribución Normal tiene como función de densidad: X N (µ, σ) : f(x) = 1 σ 1 2π exp 2σ 2 (x µ)2, donde x R, σ > 0 y µ R. 1. Crea una función en MATLAB/Octave que proporcione los valores de la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal N (µ, σ). Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 1

2 %% creamos la función fd_normal.m function y = fd_normal(x, mu, sigma) for i=1:length(x) y(i) = exp(-0.5*((x(i)-mu)/sigma)^2) / (sigma*sqrt(2*pi)); end %% 2. Utilizando la función creada en el apartado anterior, representa gráficamente la función de densidad de la v.a. normal para distintos valores de los parámetros de la distribución: a) Manteniendo σ y variando µ Considera 3 distribuciones Normales con desviación típica constante (σ = 1) y con diferentes medias (µ =-1,0,1). Cómo afectan los parámetros a la forma de la distribución? y a su posición en los ejes? b) Mantiendo µ y variando σ Considera 3 distribuciones Normales con media constante (µ = 0) y variando la desviación típica (σ =0.3,0.5,1.2). Analizar cómo afecta a la forma de la distribución y cómo afecta a su posición en los ejes. % a) >> x = -5:0.01:5; >> y1 = fd_normal(x,-1,1); % y1 es Normal con media -1 y desv. 1 >> y2 = fd_normal(x, 0,1); % y2 es Normal con media 0 y desv. 1 >> y3 = fd_normal(x, 1,1); % y2 es Normal con media +1 y desv. 1 % b) >> y4 = fd_normal(x, 0, 0.3); % y4 es Normal con media 0 y desv. 0.3 >> y5 = fd_normal(x, 0, 0.5); % y5 es Normal con media 0 y desv. 0.5 >> y6 = fd_normal(x, 0, 1.2); % y6 es Normal con media 0 y desv. 1.2 Una vez generadas las 6 variables aleatorias normales, vamos a compararlas gráficamente usando la funciones subplot 1 ; plot y hold on, hold off. 1 mediante la función subplot podemos crear varios gráficos a la vez. En el ejemplo, subplot(1,2,i), significa que dibujamos en 1 fila y en 2 columnas el gráfico i = 1 y 2 Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 2

3 % GRAFICO CASO a) >> subplot(1,2,1) % 1 fila, 2 columnas, gráfico n o 1 >> hold on % esta opcion permite superponer gráficos >> plot(x,y1, b ) % gráfico x/y1 en color azul ( blue ) >> plot(x,y2, g ) % gráfico x/y2 en color verde ( green ) >> plot(x,y3, r ) % gráfico x/y2 en color rojo ( red ) >> hold off % deshabilitamos la opción para superponer gráficos % GRAFICO CASO b) >> subplot(1,2,2) % 1 fila, 2 columnas, gráfico n o 2 >> hold on >> plot(x,y4, b ) >> plot(x,y5, g ) >> plot(x,y6, r ) >> hold off % Otro modo de hacerlo es: >> subplot(1,2,1) >> plot(x,y1, b,x,y2, g,x,y3, r ) >> subplot(1,2,2) >> plot(x,y4, b,x,y5, g,x,y6, r ) mu = -1, sigma = 1 mu = 0,sigma = 0.3 mu = 0, sigma = 1 mu = 0, sigma = mu = 1, sigma = mu = 0,sigma = NOTA: Otra manera de representar un gráfico de una distribución normal (µ = 0 y σ = 2,5) para x ( 10, 10) sería: >> fplot( fd_normal(x, 0, 2.5), [-10 10], g ) Con la sentencia disttool de MATLAB sobre el Command Window, podemos ver gráficamente Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 3

4 la densidad de diferentes distribuciones, seleccionando en Function Type/PDF. 3. Genera en MATLAB/Octave números aleatorios de la distribución normal. En MATLAB/Octave es posible generar números aleatorios de una distribución normal (µ, σ), a través de funciones propias de la librería estadística stats. Así, podemos crear datos normales (n filas y m columnas) de la siguiente manera: >> x= normrnd(mu,sigma,m,n); El comando randn, permite generar números aleatorios de una distribución normal estándar (es decir, de media µ = 0 y σ = 1). A partir de randn, es posible generar números aleatorios N (µ, σ). Del siguiente modo: sea Z N (0, 1), podemos obtener X N (µ, σ), dada la siguiente relación: X = Z σ + µ >> z= randn(m,n); >> x= z*sigma + mu; Podemos comprobar, que los números generados son N (µ, σ) representando el histograma: >> m=1000; n=1; >> sigma=0.75; mu=1; >> z=randn(m,n); x=z*sigma + mu; >> hist(x) Función de distribución acumulada. En MATLAB/Octave, el comando normcdf(x,mu,sigma) devuelve la probabilidad p = P (X x) de una distribución normal de parámetros µ y σ. Representa la función de distribución acumulada, para los valores de x [ 3, 3], siendo X una normal estándar. Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 4

5 >> x = [-3:0.01:3]; >> mu=0; sigma=1; >> p = normcdf(x,mu,sigma); % p = normcdf(x) proporciona % la f. distr. acum. de % una N(0,1) % Su inversa es x = norminv(p,mu,sigma) >> plot(x,p) >> grid on Caso discreto Distribución binomial La función de probabilidad p(x) de la distribución binomial Bin(n, p) es: ( ) n X Bin(n, p) : p(x) = p x (1 p) n x donde x = 0, 1,..., n y 0 p < 1. x Siendo n el número de intentos o de ensayos y el parámetro p la probabilidad de que el suceso éxito ocurra. 1. Crea una función en MATLAB/Octave que permita representar funciones de probabilidad de una distribución binomial. %% creamos la función fp_binomial.m function y=fp_binomial(x,n,p) for i=1:length(x) y(i)=(nchoosek(n,x(i)))*(p^x(i))*((1-p)^(n-x(i))) ; end %% NOTA: la función nchoosek(n,x) permite calcular ( n x), sin embargo, para un tamaño de n grande, el resultado puede no ser exacto. Por ello, para un tamaño n grande, emplearemos Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 5

6 la función Gamma Γ: Γ(p) = + 0 e x x p 1 dx, donde p > 0 Propiedades de la función Gamma (Γ): a) Γ(1) = 0! = 1 b) Γ(p) = (p 1)Γ(p 1), p > 0 y entonces Γ(p) = (p 1)!, p N. c) ( ) n x = Γ(n+1) d) Γ( 1 2 ) = π. Γ(x+1) Γ(n x+1) 2. Crea en MATLAB/Octave que permita representar funciones de probabilidad de una distribución binomial para tamaños de n grandes. %% creamos la función fp_binomialn.m %% utilizando la propiedad 3) de la función Gamma function y = fp_binomialn(x,n,p) for i=1:length(x) y(i)=(gamma(n+1)*(p^x(i))*((1-p)^(n-x(i))))/ (gamma(x(i)+1)*gamma(n-x(i)+1)); end %% 3. Utilizando la función creada anteriormente, representa gráficamente la función de probabilidad de una variable aleatoria binomial, para los siguientes casos: a) Dejando constante p y variando n creamos 3 distribuciones binomiales: Bin(5,0.2), Bin(10,0.2), Bin(20,0.2) b) Dejar n constante y variar p creamos otras 3 distribuciones binomiales: Bin(100,0.1), Bin(100,0.5), Bin(100,0.8) Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 6

7 % Caso a): >> x5=0:5 % creamos una secuencia de 0 a 5 >> y5=fp_binomial(x5,5,0.2) % llamamos a la función fp_binomial.m >> sum(y5) % comprobamos que la suma de las probabilidades es 1 >> x10=0:10; >> y10=fp_binomial(x10,10,0.2); >> x20=0:20; >> y20=fp_binomial(x20,20,0.2); % Caso b): >> x100 = 0:100; >> y1 = fp_binomialn(x100, 100, 0.1); % llamamos a la función >> y2 = fp_binomialn(x100, 100, 0.5); % fp_binomialn.m >> y3 = fp_binomialn(x100, 100, 0.8); Podemos comparar ambos gráficos, como vimos en el caso de la distribución Normal. >> subplot(1,2,1) >> plot(x5,y5,., x10,y10, +, x20, y20, * ); >> legend( n=5, p=0.2, n=10, p=0.2, n=20, p=0.2 ) >> subplot(1,2,2) >> plot(x100, y1,., x100, y2, +, x100, y3, * ); >> legend( n = 100, p = 0.1, n = 100, p = 0.5, n = 100, p = 0.8 ); n=5, p=0.2 n=10, p=0.2 n=20, p= n = 100, p = 0.1 n = 100, p = 0.5 n = 100, p = Sabiendo que la distribución Bin(n, p) es la suma de n variables aleatorias Bernouilli inde- Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 7

8 pendientes: Binom(n, p) = Bern(p) Bern(p) }{{} n veces Crea una función en MATLAB/Octave para generar números aleatorios de la distribución binomial. %% creamos la función na_binomial.m function y= na_binomial(n_dat, n, p) % n_dat es el % n o de datos binomiales prob = rand(n,n_dat); % realizamos n experimentos exitos = prob < p; % si se cumple, entonces se ha producido un exito y =sum(exitos); % sumamos todos los exitos producidos %% En el Command Window: % Obtenemos 10 números binomiales obtenidos de sumar el n o % de éxitos de n intentos con una probabilidad de éxito p >> y = na_binomial(10,n,p) Numéricamente, podemos verificar las propiedades de la media y la varianza de la distribución binomial: E[X] = n p Var[X] = n p q >> n=100; p=0.1; >> y = na_binomial(10,n,p) >> mean(y) % aprox. 10 >> var(y) % aprox Generación de variables aleatorias Como se indicó en la práctica anterior, el método de la inversa nos permite generar variables aleatorias contínuas a partir de la función de distribución siempre que ésta admita inversa. Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 8

9 Caso Weibull: Sea X una variable aleatoria Weibull 2, X Weibull(α, β), con función de distribución: { 0 x > 0 F X (x) = 1 e (x/β)α 0 x donde α y β son parámetros dados. Indica cómo generarías en MATLAB/Octave variables aleatorias Weibull. Mediante el método de la inversa, tenemos que considerando u = F X (x), 1 e (x/β)α = u e (x/β)α = 1 u (x/β) α = ln(1 u) x/β = [ ln(1 u)] 1 α x = β[ ln(1 u)] 1 α Por tanto: >> u = rand(n,1); >> x = beta*(-log(1-u))^(1/alpha); 4. Función Q La función Q se define como la complementaria a la función de distribución de la N (0, 1), es decir como Q(x) = P (X > x) siendo X N (0, 1) Supongamos una función Q tiene por cotas superiores (cs1) y (cs2) y cota inferior (ci) dadas por Q(x) 1 x2 e 2 para todo x 0 (cs1) 2 Q(x) < 1 e x2 2 para todo x > 0 (cs2) 2πx Q(x) > 1 ( 1 1 ) 2πx x 2 e x2 2 para todo x > 1 (ci) 2 NOTA: Esta distribución se aplica en los análisis de fiabilidad de sistemas, para establecer, por ejemplo el tiempo de vida de un componente hasta que se produce un fallo. Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 9

10 a) La función de MATLAB normcdf(x,mu,sigma) devuelve la función de distribución acumulada de una N (µ, σ). Cómo representarías en MATLAB la función Q? >> Q = 1 - normcdf(x,0,1) b) Escribe el código en MATLAB para representar gráficamente la función Q en el intervalo (0, 5] junto con las cotas superiores cs1 y cs2 y la cota inferior ci. El resultado que se ha de obtener será similar al de la figura 1. NOTA: Representa x (0, 5] como x=[0.01:0.01:5]. Para la cota inferior ci, observa que existe una asíntota vertical en x = 1, por tanto, define xi=[1.01:0.01:5] tan sólo para esta cota. Utiliza una escala logarítmica para representar gráficamente las cotas. >>x1= [1.01:0.01:5]; >>for i=1:length(x1) ci(i) = (1/x1(i)*sqrt(2*pi))*(1- (1/x1(i)^2))*exp(-0.5*x1(i)^2); end >>x = [0.01:0.01:5]; >>for i=1:length(x) cs1(i)=0.5*exp(-0.5*x(i)^2); cs2(i)=(1/(x(i)*sqrt(2*pi))) * exp(-0.5*x(i)^2); end >>q = 1- normcdf(x,0,1); >> plot(x, log(q), black ) >> hold on >> plot(x, log(cs1), r ) >> plot(x, log(cs2), g ) >> plot(x1, log(ci), m ) >> hold off Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 10

11 10 5 log(q) log(cs1) log(cs2) log(ci) Figura 1: Representación gráfica de la función Q con las cotas en escala logarítmica log(cs1), log(cs2) y log(ci). La línea vertical representa la asíntota en x = Ejercicios de interés 1. Si se sabe que una v.a Y del tipo Cauchy se puede obtener como Y = tg (X) con X una U ( π 2, π 2 ), cómo se puede aprovechar esta información para generar una Cauchy? Si se sabe dicha información no hace falta recurrir al método de la inversa de la función de distribución. Simplemente podemos: >> x=unifrnd(-pi/2,pi/2, 100,1); % generar uniformes en intervalo % (-pi/2,pi/2) >> y=tan(x); % aplicar la tangente 2. Sea X N (0, σ = 3). Se construye un círculo con radio un valor x de la v.a. anterior. Calcular en términos de la función Q la probabilidad de que el círculo generado tenga un área mayor o igual que π. Evaluar dicha probabilidad con MATLAB/ Octave de forma exacta y por simulación. Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 11

12 Sea C la v.a. Área del círculo, se trata de calcular P (C π) = P ( πx 2 π ) = P ( X 2 1 ) = P (X 1) + P (X 1) ( X 0 = P 1 0 ) ( X 0 + P 1 0 ) ( ) 1 = 2Q Para evaluarla con MATLAB/Octave de forma exacta: >> x=2*(1-normcdf(1/3)) Para resolverlo con MATLAB/Octave de forma simulada: >> x=normrnd(0,3,1000,1); >> area=pi*x.>2; >> c=(area>=pi); >> prob=sum(c)/ Sea X la v.a. horas que se dedica a realizar una actividad, cuya función de densidad es Se pide: f (x) = { 1 4 (x + 1) 0 < x < 2 0 resto a) Calcular, de forma analítica y con MATLAB/Octave, la probabilidad de que el tiempo empleado sea superior a una hora y media. b) Si se realizan 10 actividades según la v.a. X, calcular, de forma analítica y con MATLAB/Octave, la probabilidad de que exactamente en tres de ellas, el tiempo que se emplee en realizar cada una sea superior a una hora y media. Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 12

13 a) De forma analítica, se tiene que: P (X > 1,5) = = x=1,5 f (x) dx = 2 x=1,5 ( 4 9 ) + 1 ( 2 3 ) (x + 1) dx = = = = 0,3438 [ x 2 ] 2 1, [x]2 1,5 Para resolverlo con MATLAB/Octave, hay que utilizar el método de la inversa, con lo que hay que calcular previamente la función de distribución, que es 0 x < 0 x 1 F (x) = 0 4 (y + 1) dy = 1 8 x x 0 x < x Y ahora hay que invertir la función de distribución: 1 8 x x = u x 2 + 2x 8u = 0 x = 2 ± u 2 Dada la definición de la v.a. X la solución negativa no es válida, con lo que el procedimiento para generarla es: u U (0, 1) x = u 2 El código MATLAB/Octave para resolver este apartado es: >> u=rand(1000,1); >> x=(-2+sqrt(4+32*u))/2; >> prob=sum(x>1.5)/ b) De forma analítica, si se define Y como la v.a. número de actividades entre las 10 realizadas en las que el tiempo que se emplea es superior a una hora y media, se tiene que Y Bin ( n = 10, p = 11 32) hay que calcular P (Y = 3) = ( 10 3 ) ( ) 3 ( ) 21 7 = 0, Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 13

14 El código MATLAB/Octave para resolver este apartado es: >> u=rand(1000,10); >> x=(-2+sqrt(4+32*u))/2; >> conta=(x>1.5); >> suma=sum(conta,2); >> prob=sum(suma==3)/ Ex. FEB 2004 Ing. Tel. (C1a) (link). El objetivo de este problema es analizar un canal de comunicaciones. Cuando el canal transmite un 1, el receptor recibe una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media 1 y varianza 0, 5. Si el canal binario transmite un 2, el receptor recibe una variable aleatoria Normal con media 2 y varianza 0, 5. Sea P (1) la probabilidad de transmitir un 1. a) Si P (1) = 0, 75. Cuál es la probabilidad de que un 1 haya sido transmitido cuando el receptor ha recibido una señal superior a 2? T 1 = transmitir un 1, P (T 1 ) = 0,75, R T 1 N(1, 0,5) T 2 = transmitir un 2, P (T 2 ) = 0,25, R T 2 N(2, 0,5) P (T 1 R > 2) = P (R > 2 T 1)P (T 1 ) = P (R > 2) P (R > 2 T 1 )P (T 1 ) = P (R > 2 T 1 )P (T 1 ) + P (R > 2 T 2 )P (T 2 ) Sean Z 1 = R T 1 1 0,5 y Z 2 = R T 2 2 0,5, P (Z 1 > 1,41) 0,75 P (T 1 R > 2) = P (Z 1 > 1,41) 0,75 + P (Z 2 > 0) 0,25 0,0793 0,75 = 0,0793 0,75 + 0,5 0,25 = 0,3224 En MATLAB/Octave, podemos aproximar la probabilidad mediante: >> n=10000; >> u=rand(n,1); % simulamos n experimientos aleatorios >> p=0.75; % es la probabilidad de transmitir un 1 % transmision del mensaje por el canal >> t=1*(u<=p)+2*(u>p); % recepción del mensaje >> r=(t==1).*normrnd(1,sqrt(0.5),n,1)+(t==2).*normrnd(2,sqrt(0.5),n,1); >> r=2*(r>2)+1*(r<=2); Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 14

15 % creamos una tabla de doble entrada transmitidos/recibidos (SOLO EN MATLAB) >> a=crosstab(t,r) >> a = % a(1,1) a(1,2) % a(2,1) a(2,2) % nos piden la probabilidad P(t==1 r>2), en la simulación >> a(1,2)/(a(1,2)+a(2,2)) Ex. SEP 2007 Ing. Téc. Tel. (P2b). (link). La duración en días de un tipo de sensores sigue un modelo Weibull con ( ( ) ) t 1/2 F (t) = 1 exp α ( f (t) = 1/2 ( ) ) t 1/2 α 1/2 t 1/2 exp α con α > 0. a) Se supone que se tiene una caja de 60 sensores sin usar cuya duración siguen el modelo Weibull con α = 1 4 días que verifica que E [T ] = 1 2 días y V [T ] = 5 4 días2. Si se comienza con un sensor de dicha caja y se va reemplazando instantáneamente según se vaya fundiendo con un sensor de la misma caja, cuál es la probabilidad de que cuando haya fallado el último sensor de la caja hayan pasado menos de 47 días? Utilizar alguno de los siguientes valores de la función x 1,64 1,64 1,96 1, Q (x) 0,05 0,95 0,025 0, b) Comentar línea a línea el siguiente código de MATLAB y decir el valor aproximado que tomará prob. >> u=rand(60,1000); >> w=0.25*(-log(1-u)).^(1/0.5); >> s=sum(w); >> prob=sum(s<47)/1000 Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 15

16 a) Si se define la v.a. T i como el tiempo hasta que falla el sensor i, se tiene que se pide P ( 60 ) T i 47 i=1 Como las T i verifican las condiciones del teorema central del límite, se tiene que (60 12 ), Si se estandariza P ( Z < P ( 60 i=1 T i i=1 ) T i N = P i=1 T i < ) = P (Z < 1, 96) = 1 Q (1, 96) = 1 0, 025 = 0, , 66 b) En primer lugar hay que saber generar un modelo Weibull. Para ello se aplica el método de la inversa de la función de distribución. Por lo que ( ( ) ) t β F (t) = 1 exp = u α ( ) t β ln (1 u) = α t = α [ Ln (1 u)] 1/β La primera línea genera una matriz de dimensiones con números U (0, 1). La segunda línea genera una matriz de dimensiones con números Weibull con α = 1 4 días, (se está generando los tiempos en los que van fallando los sensores). La tercera línea suma la duración total de los 60 sensores. La cuarta línea mira cuántas veces de las 1000, la duración total de los sensores es menor que 47. Eso lo hace con la ayuda de la variable booleana (s < 47). Por tanto, este código está contestando a la misma pregunta que el apartado a). El resultado de prob debería ser próximo al valor teórico calculado de 0, Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 16

17 6. Ejercicios Propuestos 1. Indica el código de MATLAB/Octave para resolver el problema: Ex. SEP 2005 Ing. Téc. Tel. C3b (link). 2. Indica el código de MATLAB/Octave para resolver el problema: Ex. JUN 2002 Ing. Inf. (P1b) (link). 3. Indica el código de MATLAB/Octave para resolver el problema: Ex. SEP 2007 Ing. Téc. Tel. (C4a y C4b). (link). Ingeniería de Telecomunicación - Estadística ( ), PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 17