EXAMEN DE ESTADÍSTICA Junio 2008

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1 EXAMEN DE ESTADÍSTICA Junio 2008 Apellidos: Nombre: DNI GRUPO: 1. a) Sean A y B sucesos incompatibles. Obtener una condición que asegure que también son independientes. Si X sigue una distribución normal con media 10 y varianza 16 e Y sigue una distribución normal con media 10 y varianza 15, cuál será la distribución de Z X + Y? Determinar sus parámetros poblacionales. Supóngase que X e Y son independientes. a) La independencia significa que A B Ø P(A B) 0 P(A B) P(A) P(B) 0 P(A) 0 ó P(B) 0 E(Z) E(X + Y ) E(X) + E(Y ) 20 var(z) var(x + Y ) var(x) + var(y ) Z es N(20, 31) 1

2 2. En un estudio para analizar el impacto de las radiaciones ionizantes en seres vivos se exponen al mismo nivel de radiación y durante el mismo tiempo a dos grupos, A y B, de ratas de laboratorio. Se ha encontrado que, de 50 ratas que murieron, 30 eran del grupo A, mientras que de las 60 que sobrevivieron sólo 15 pertenecían al grupo A. a) Depende el impacto de la radiación del grupo de ratas elegido? Qué tipo de errores se cometen en este tipo de contrastes? a) Construimos la tabla A B o xi Morir No morir o yi H 0 : No hay asociación entre el grupo de ratas y la mortalidad. Construimos los valores esperados en H 0 : A B Morir 45 50/ / No morir 45 60/ / Calculamos el estadístico χ 2 : χ 2 ν k m (o ij e ij ) 2 i1 j1 e ij, ν (k 1)(m 1) χ 2 ν ( ) ( ) ( ) ( ) Como se trata de una tabla de contingencia 2 2, utilizando la corrección de continuidad de Yates (aunque no es estrictamente necesario ya que las frecuencias esperadas son altas): χ 2 ν k m ( o ij e ij 0.5) 2 e i1 j1 ij n ( o11 o 22 o 12 o 21 2) n 2 o x1 o x2 o y1 o y2 110 ( ) ( ) χ , rechazamos H 0 y concluimos que hay asociación. Error tipo I: rechazar H 0 siendo H 0 cierta. Es decir, concluir que la mortalidad depende del grupo de ratas cuando no es así. Error tipo II: aceptar H 0 siendo H 0 falsa. Es decir, concluir que la mortalidad no depende del grupo de ratas cuando en realidad sí depende. 2

3 3. Calcular la probabilidad de aprobar un examen de 8 preguntas cuando las respuestas se seleccionan al azar suponiendo que el aprobado se obtiene contestando acertadamente al menos 6 preguntas y que: a) en cada pregunta hay que contestar verdadero o falso; en cada pregunta hay que elegir una respuesta correcta de entre 5 posibilidades. a) p probabilidad de acertar una pregunta 0.5 q probabilidad de no acertar 0.5 P(X 6) 8 b(r; 8, 0.5) b(6; 8, 0.5) + b(7; 8, 0.5) + b(8; 8, 0.5) r ( ) (O mirando 8 r6 b(r; 8, 0.5) en la tabla II) p probabilidad de acertar una pregunta 0.2 q probabilidad de no acertar 0.8 P(X 6) 8 b(r; 8, 0.2) b(6; 8, 0.2) + b(7; 8, 0.2) + b(8; 8, 0.2) r (O mirando 8 r6 b(r; 8, 0.2) en la tabla II) 3

4 4. En un examen de Física consistente en resolver un único problema existe una probabilidad de 0.3 de que el problema sea de Mecánica, de 0.5 de que sea de Electromagnetismo y de 0.2 de que sea de Termodinámica. Un alumno tiene probabilidades de aprobar de 0.8, 0.1 y 0.4 si el problema es de Mecánica, Electromagnetismo y Termodinámica, respectivamente. a) Qué probabilidad tiene el alumno de aprobar el examen? Sabiendo que el alumno finalmente ha aprobado, cuál es la probabilidad de que el problema haya sido de Termodinámica? P(Mecánica) 0.3; P(aprobar Mecánica) 0.8 P(Electromagnetismo) 0.5; P(aprobar Electromagnetismo) 0.1 P(Termodinámica) 0.2 ; P(aprobar Termodinámica)0.4 a) Teorema de la probabilidad total: P(aprobar) 3 P(aprobar A i ) P(A i ) (37%) i1 Teorema de Bayes: P(Termodinámica aprobado) P(Termodinámica) P(aprobar Termodinámica) P(aprobar) (22%)

5 5. Sea {x 1, x 2, x 3,..., x n } una muestra aleatoria obtenida de una población con función de densidad f(x) { x γ e x2 /2γ si x > 0 0 demás casos que depende del parámetro desconocido γ. Encontrar el estimador de máxima verosimilitud de γ. ln L n i1 ( xi ln γ e ) x 2 i 2γ L(γ) n i1 n x x 2 i i γ e 2γ i1 ( ln x ) i γ x2 i 2γ n ln x i n ln γ i1 n i1 x 2 i 2γ ln L γ n n n γ + i1 x2 i i1 0 γ x2 i 2γ 2 2n 5

6 6. Grupos A, B, D, E: Sea una muestra de tamaño n 12 de la que se obtiene una recta de regresión de y sobre x que explica un 36% de la variación total de y. Determinar razonadamente si existe correlación lineal con significación estadística entre ambas variables (x e y). Nota: elegir, entre los valores 0.1 y 0.01, el valor del nivel de significación que minimiza el error de tipo I. r 2 Variación explicada Variación total V E V T 0.36 r 0.6 H 0 : ρ 0. Se acepta H 0 (con un nivel de significación α) si: r n 2 1 r 2 t α/2,n 2 α 0.01 t α/2,10 t 0.005, r n 2 1 r < t 0.05,10 Se acepta H 0 con α 0.01 No existe correlación lineal estadísticamente significativa entre x e y con α

7 6. Grupo C: De 120 alumnos encuestados se ha obtenido que 40 de ellos tienen pensado hacer la especialidad A. Estimar un intervalo de confianza para la proporción con α I p p q 1 p 2 3 [ ] [ ] p q 1 1 p ± z α/2 n 3 ± ± 0.08 [0.25, 0.41] 540 7

8 7. La siguiente tabla muestra la función de probabilidad para la variable X (número de observatorios meteorológicos que registran granizo en una determinada provincia durante el mes de septiembre): x f(x) ? Sabiendo que el número de observatorios meteorológicos operativos de dicha provincia es de cinco a) Encontrar f(5). Obtener la función de distribución de la variable X. c) Obtener la probabilidad de que a lo sumo dos observatorios registren granizo. d) Obtener la probabilidad de que se registre granizo en menos de dos observatorios. e) Obtener la probabilidad de que se registre granizo en más de tres observatorios. f) Calcular la media y la varianza. (2 puntos) a) 5 x0 f(x) 1 f(5) 1 4 x0 f(x) 0.09 c) P(X 2) F(2) 0.41 d) P(X < 2) P(X 1) F(1) 0.11 x f(x) F(x) e) P(X > 3) 1 P(X 3) 1 F(3) f) µ X 5 x0 xf(x) σx 2 E(X2 ) µ 2 X E(X 2 ) 5 x0 x2 f(x) σx

9 8. En la construcción de unas gafas graduadas se deposita una capa de material antirreflejante en una de las caras de cada lente. El proceso se lleva a cabo con una máquina que produce 4.2 defectos cada 1200 cm 2 de superficie recubierta de material antirreflejante. a) Si cada lente de unas gafas tiene unas dimensiones de cm 2, calcular la probabilidad de que en unas gafas no haya ningún defecto. Si se construyen 1000 gafas, cuántas habrá que desechar por la presencia de algún defecto? c) La moda cambia y los clientes demandan gafas con lentes más grandes. Las nuevas dimensiones de cada lente son ahora cm 2. Si con la manufactura de 1000 pares de gafas y la venta de las construidas sin defectos se quiere recaudar el mismo dinero que con las gafas anteriores de lentes más pequeñas, cuánto deberá incrementarse porcentualmente el precio de cada una de las nuevas gafas? (2 puntos) a) Es un típico problema de Poisson (eventos en un intervalo, en este caso espacial). Calculamos primero la superficie a recubrir en cada par de gafas. Tenemos dos lentes, cada una de cm 2. Es decir, la superficie a recubrir será S gafa cm 2. El número de defectos que esperamos en cada par de gafas será λ defectos/gafa 1200 La probabilidad que nos piden será entonces P(x 0; λ ) λ0 0! e λ e En la construcción de 1000 gafas, el número de ellas sin defectos será N gafas sin defectos 1000 P(x 0; λ ) 891 Por tanto, el número de gafas que habrá que desechar será gafas c) Ahora las gafas tienen unas dimensiones mayores (más superficie por gafa). Tenemos que repetir los cálculos de los apartados anteriores usando las nuevas dimensiones (S gafas modernas cm 2 ): λ defectos/gafa 1200 N gafas sin defectos 1000 P(x 0; λ ) 802 Comparando con el resultado del apartado, se ve de forma inmediata que el nuevo precio deberá incrementarse en la proporción 891/ , es decir, un 11%. Visto de otra forma: precio 1 N gafas,1 precio 2 N gafas,2 precio 2 precio 1 N gafas,1 precio N gafas,

10 9. A partir de 10 simulaciones con un modelo de clima se obtiene un valor medio de temperatura invernal para un cierto lugar de 12.2 C y una desviación estándar de 2.5 C. Con el fin de evaluar el impacto de una supuesta deforestación en la zona, se realizan 6 simulaciones bajo estas condiciones iniciales obteniéndose un valor medio de temperatura invernal de 11.6 C, con una desviación estándar de 1.9 C. Calcúlese: a) Un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de las medias de la temperatura invernal en el lugar. Dado el resultado, se podría afirmar que la deforestación supuesta en el modelo produce un efecto en la temperatura invernal del lugar? (2 puntos) n 1 10 x s n 2 6 x s a) Al tratarse de nuestras pequeñas y varianzas poblacionales desconocidas, es preciso determinar antes si éstas son iguales o no. Estadístico: s 2 1 s 2 2 { H0 : σ 2 1 σ 2 2 F n1 1,n 2 1 si H 0 es cierta Región de aceptación de H 0 con α 10%: H 1 : σ 2 1 σ2 2 [F 1 α/2,n1 1,n 2 1, F α/2,n1 1,n 2 1] [F 0.95,9,5, F 0.05,9,5 ] [F ,5,9, F 0.05,9,5] [ , ] [0.2872, ] s 2 1 s [0.2872, ] No podemos rechazar H 0, es decir, asumimos igualdad de varianzas. Por tanto: ] I µ1 µ 2 [(X 1 X 2 ) ± t α/2,n1+n2 2s p + 1n1 1n2 [0.60 ± 2.10] [ 1.50, 2.70] con s 2 p (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2 s p t α/2,n1 +n 2 2 t 0.05, Como 0 I µ1 µ 2, no podemos afirmar que la deforestación supuesta en el modelo produzca un efecto en la temperatura invernal del lugar con un nivel de confianza del 90 %. 10

11 10. Responder únicamente si NO se aprobó el examen de prácticas o NO se tienen las prácticas aprobadas de cursos anteriores: Sea la siguiente tabla de valores de la altura (en m) de un grupo de alumnos contenidas en el fichero altura.dat: Indicar ordenadamente los comandos de matlab que se emplearían para resolver las siguientes preguntas: a) Realizar una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de clase y dibujar el histograma correspondiente. Calcular la media, moda y mediana. c) Considerando que los datos se ajustan a una distribución normal, obtener la probabilidad de que un alumno mida mas de 1.96m a) Si se introducen los datos en un vector a, >> load altura.dat >> ntot length(a); % tamaño de la muestra (50) >> intsqrt(ntot); % nos da el numero de intervalos de clase ( ) >> [n,x] hist(a,7); % nos da las marcas de clase y las frecuencias absolutas >> hist(a,7); % dibuja el histograma agrupando en 7 marcas de clase n x >> mmean(a); % valor de la media con los datos sin agrupar (1.7348) >> m2sum(x.*n)/sum(n); % valor de la media con los datos agrupados (1.7379) >> Mox(nmax(n)); % valor de la moda (1.6486) Para hallar la mediana, se buscaría el intervalo de clase que acumulara el 50% de los datos, el cual corresponde a la tercera marca de clase, que es 1.71 c) Considerando que los datos se ajustan a una distribución normal, hay que calcular la probabilidad asociada a una normal. Ya conocemos la media, nos hace falta conocer la desviación típica >> sig1sqrt(sum((a-mean(a)).ˆ2)/(ntot-1)); % desviación típica de los datos (0.1109) >> sigsqrt(sum(n.*(x-m2).ˆ2)/(ntot-1)); % desviación típica mediante % agrupamiento por intervalos (0.1093) Por tanto, la probabilidad será: P(X > 1.96) 1 normcdf(1.96, , ) Firma del alumno: 11